Scuola Estiva di Fisica Modernaper studenti di scuole secondarie superiori - IDIFO3

Fare scienza con il computer

Meccanica Quantistica eProbabilità:

Un approccio numericoGiorgio Pastore (pastore@ts.infn.it)Maria Peressi (peressi@ts.infn.it)

28 luglio 2011

L'imprevedibilità di alcuni fenomeni fisici puòessere controllata in modo statistico attraverso ilconcetto di distribuzione di probabilità.

Nella fisica classica ci sono molti esempi didescrizioni probabilistiche di fenomeni fisici manella fisica moderna la meccanica quantistica

assegna al punto di vista probabilistico un ruolocentrale.

Ne discuteremo attraverso esempi di calcolirelativi alla trattazione quantistica della posizionedi elettroni (rilevati su uno schermo, o in atomi emolecole).

Perché ci interessiamo dimeccanica quantistica?

... per affrontare un argomento nuovo…

Ma c'è anche una ragione pratica che rende attuale questoargomento. I più recenti sviluppi della tecnologia (come lananotecnologia) si basano sulla manipolazione di singoli atomi,elettroni, molecole e sul tentativo di usare questi oggetti perapplicazioni innovative. Il comportamento di questi oggettimicroscopici è controllato dalla meccanica quantistica. Questanon è dunque solo importante per il progresso dellaconoscenza scientifica; sicuramente essa diventerà sempre piùdeterminante per lo sviluppo delle tecnologie del futuro.

Gli atomi oggi si possono“vedere” e manipolare…

La parola “atomo”(letteralmente qualcosa

come “bambino originale”)in caratteri Kanji

“scritta” con atomi di Fesu superficie (111) di Cu

La prima immagine degliatomi” la sigla IBM“scritta” con atomi di Xesu superficie (110) di Ni

http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html

Un numero per capire: tipica distanza tra atomi: ~3Å (3x10–8 cm)

Nanochitarra(Cornell Univ.)Ogni corda ha uno spessore di 10nm, cioe’ circa 100 atomi

Prima di parlare di meccanica quantistica efenomeni probabilistici, dobbiamo mettere afuoco che cosa è una distribuzione diprobabilità in generale e imparare autilizzarla.

Distribuzioni di probabilità

Ad es. il lancio di un dado: la variabile “numero checompare sulla faccia superiore” è una variabilecasuale. Più lanci danno una sequenza di numeri casuali,cioè una sequenza di numeri che sembranoimpredicibili ma che hanno ben definite proprietàstatistiche.I singoli risultati ci interessano poco, ma possiamochiederci:

-Qual è l’istogramma delle frequenze o distribuzione diprobabilità ? (contiamo quante volte è uscito un certo numero)-Qual è il valore medio (o massimo) ?

Distribuzione uniforme diprobabilità

E’ il caso del lancio di un singolo dado alla volta e della variabile casuale associata

“numero che compare sulla faccia superiore” VariabiliCasuali.javalanciato con Nvariabili=1, Nvalori=6, Nconf=3000

• istogramma delle frequenze ?

• valore medio? valore più probabile?

VariabiliCasuali.javalanciato con Nvariabili=2 o più, Nvalori=6, Nconf=….

Giochiamo con due o più (N) dadi..Lanciati simultaneamente, e consideriamo la sequenza

dei risultati ottenuti per la variabile casuale“somma dei numeri delle facce superiori di N dadi”

Distribuzioni non uniformi diprobabilità

Distribuzioni non uniformi di probabilità“somma dei numeri delle facce superiori di più dadi”

Somma di2 dadi

Somma di10 dadi

Distribuzione triangolare Distribuzione gaussiana

• Il problema: come generare una o più variabilicasuali i cui valori seguono una distribuzione di probabilità assegnata ?

• Una soluzione: Algoritmo rifiuto-accettazione

• Sguardo a programma distribuzione.cpp e uso gnuplot

Distribuzioni diprobabilità

Algoritmo rifiuto-accettazioneSi vuole generare una variabile casuale x con distribuzione diprobabilità f(x) su un intervallo [a,b].

1. si genera una coppia di variabili (x,u) distribuite in modo uniforme nel rettangolodefinito dagli intervalli [a,b][0,M] (M dev’essere maggiore o uguale al massimo dif(x) in [a,b]) e si calcola f(x).2. si accetta il valore di x se u<f(x), lo si rifiuta se è u>f(x) (cioè: lo si accetta conprobabilità pari a f(x)/M, lo si rifiuta con probabilità 1- f(x)/M )3. il conteggio dei valori di x accettati dà un istogramma che ha la forma di f(x)(poi va normalizzato)

• Punti corrispondenti a valori di x accettati

• Punti corrispondenti a valori di x rifiutatif(x)

M

a b

Teniamo presente quanto abbiamo imparatosulle distribuzioni di probabilità e cominciamoad addentrarci nella meccanica quantistica …

Cos’è la Meccanica quantistica? - 1

A livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutronile leggi della meccanica classica non valgono più.

La fisica del ‘900 ha scoperto nuove leggi più adeguate a descriveree progettare sistemi e dispositivi di dimensioni atomiche.

Per quanto poco familiari possano apparire alla nostra percezione delmondo costruita sulla base di esperienza su scala macroscopica,

i principi e risultati della meccanica quantistica (MQ) sono coerenti e basati su fatti sperimentali,

esattamente come quelli della meccanica classica.

Quando masse, energie e dimensioni divengono confrontabili con quelle della scala quotidiana, la fenomenologia descritta dalla MQ

è ben approssimata dalla meccanica classica.

A livello formale è possibile partire da principi così come nellameccanica classica (MC) si parte dai principi di Newton.

Tuttavia, la struttura matematica della MQ è più complessadi quella della MC.

Ci limitiamo quindi ad enunciare due dei principi della MQ in formaqualitativa, senza pretesa di essere completi o rigorosi.

Cos’è la Meccanica quantistica? - 2

1. Ogni misura di una proprietà fisica del sistema permette, ingenerale, di fare predizioni puramente probabilistiche sui valori di

misure successive dello stesso o altri osservabili (però, in alcuni casi,la probabilità può anche arrivare ad 1). Questo comporta che anchenella descrizione più completa possibile dello stato di un sistema

quantistico permane un aspetto genuinamente stocastico.

2. Non c’è nessun limite (salvo di tipo pratico) sulla precisione concui posso misurare una singola quantità fisica. Ma ogni misura può(secondo regole fisse) modificare la distribuzione di probabilità di

altre quantità fisiche dello stesso sistema.

Cos’è la Meccanica quantistica? - 3

Conseguenze pratiche:

1. Lo stato del sistema non è più caratterizzabile, come in meccanica classica, mediante i valori di (poche) quantità osservabili

(es: posizione, velocità, energia,…) ma richiede di assegnare (misurare)una distribuzione di probabilità per i diversi possibili valori;

2. Le distribuzioni di probabilità di alcune quantità fisiche sono collegate: un aumento di precisione sul valore di una quantità

(distribuzione di probabilità più concentrata) implica una diminuzione di precisione su un’ altra(distribuzione di probabilità meno concentrata)(relazioni di indeterminazione di Heisenberg).

Cos’è la Meccanica quantistica? - 4

Misure di posizione

1. La descrizione più completa sul risultato di una misura diposizione r è data, in MQ, dalla funzione d’onda Φ; per una

singola particella, questa è una funzione di r (in 3D: r=(x,y,z)),il cui quadrato Φ(r)2 fornisce la distribuzione di probabilità di misure

di posizione.

Cos’è la Meccanica quantistica? - 5

Elettroni e probabilitàC’è un esperimento che ci fa ben capire la natura

probabilistica della posizione di un elettrone.

Consideriamo un cannone elettronicoche invii elettroni su uno schermo,dopo aver attraversato una doppiafenditura: quali saranno le posizionipiu’ probabili?

Facciamo come i dadi: lanciamonetanti, e, poiche’ ciascun elettronecolpisce lo schermo in una posizioneben precisa, individuata dalla macchialuminosa che produce (come ognilancio di un dado ci da’ un numeroben preciso), guardiamo il risultato...

Esperimentodoppia fenditura

(a) Con pochi elettroni non possiamo diremolto circa la probabilità che unaparte o l’altra dello schermo vengacolpita: le posizioni sembranodistribuite in modo casuale e uniforme

(b) Ancora..

(c) Ora invece si cominciano a distingueredelle zone piu’ o meno colpite, cioe’una distribuzione non uniforme

(d) Aumentando il numero di elettroniquesto e’ sempre piu’ evidente

(e) Si tratta di un’alternanza di zone piu’o meno popolate… assomiglia ad

una tipica figura di interferenza

Esperimento doppia fenditura

Un filmino dell’esperimento:http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html

E anche (alcuni italiani lo hanno fatto per primi!):http://www.bo.imm.cnr.it/users/lulli/downintel/index.html

Esperimento doppia fenditura

…ad esempio leonde (sullasuperficiedell’acqua):

Ma queste figure di interferenza ciricordano qualcosa dal mondo realemacroscopico a noi più familiare?

…viste anche in questo filmino:http://www.youtube.com/watch?v=5PmnaPvAvQY&feature=related

Esperimento doppia fendituraLa figura di interferenza

creata da molti elettroni èanaloga a quella ottenibile conluce monocromatica e simile a

quella di onde materiali(acqua)

Esperimento doppia fendituraLa figura di interferenza creatada molti elettroni è diversa da

quella formata dai punti diimpatto di oggetti macroscopici

(2 massimi, no frange)

Non per nulla abbiamocominciato a parlare dimeccanica quantistica

dicendo chea livello di oggetti molto

piccoli come atomi, elettroni,protoni, neutroni

le leggi della meccanicaclassica non valgono più.

Esperimento doppia fenditura- computazionale

Implementazione codice distribuzione.cpp

Commenti:

•Simula la “costruzione” di un sistema di frange didiffrazione a partire a singoli eventi (misurare lapresenza di un elettrone) la cui distribuzione diprobabilità è assegnata e mostra effetti diinterferenza.•Effetti di aumento della statistica•…

L’ atomo di idrogenoE’ il più semplice atomo, costituito da un protone (nucleo)e da un elettrone. L’elettrone può avere diversi valori

dell’ energia e del momento angolare e, in corrispondenza, diverse funzioni d’onda Φ (orbitali), individuate dai valori di indici interi (i numeri quantici), che generano (via Φ2) le distribuzioni di probabilità per la posizione nello spazio

attorno al nucleo.

Questa e’ una raffigurazione delladistribuzione di probabilitàdell’elettrone dell’atomo di H nellostato ad energia piu’ bassa (1s)

L’ atomo di idrogenoQueste sono altre raffigurazioni

della distribuzione diprobabilita’ dell’elettronedell’atomo di H nello statoprecedente e in altri stati

L’ atomo di idrogenoImplementazione codice Horbitals.cpp –

visualizzazione plotta.gn/plotta_colori.gn

Commenti:

•Anche qui simuliamo misure indipendenti di posizionesu atomi identici nello stesso stato

•Effetti di aumento della statistica•Nodi delle funzioni d’onda•Estensione delle funzioni d’onda•…

•Si potrebbe anche calcolare l‘energia potenziale…Come?

Molecole espiegazione quantistica del

legameH2

+ e sovrapposizione di orbitali atomici

Molecole espiegazione quantistica del

legameH2

+ e sovrapposizione di orbitali atomici

•Studio distribuzione di carica in funzionedella distanza intramolecolare R codice H2.cpp

•Verifica dell’accumulo di elettroninell’orbitale legante codice H2bond.cpp

Ancora atomi e molecole

Ora che sappiamo qualcosa, possiamo anche vedere altriprogrammi in rete :

- Per l’atomo di idrogeno:http://www.falstad.com/qmatom/

-Per lo ione molecolare H2+:

http://www.falstad.com/qmmo/

-Dalle rappresentazioni mediante nuvole di punti a altrerappresentazioni di densità ed orbitali:

http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/1s/e-density-dots.html