PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo conA l’evento “esce un punteggio inferiore a 4”A ={1, 2, 3}B l’evento “esce un punteggio dispari”B = {1, 3, 5}Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindiP(A)=P(B)=1/2.Supponiamo ora di essere venuti a sapere chelanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari,che cosa possiamo dire per la probabilità di A?

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che ilpunteggio è dispari?

Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lospazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questoinsieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamoquindi dire che la probabilità di ottenere un punteggioinferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è2/3

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Qual è la probabilità, lanciando una moneta due voltedi ottenere due T?Lo spazio degli eventi èΩ={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevolel’equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4Qual è la probabilità, lanciando una moneta due voltedi ottenere due T, sapendo che al primo lancio si èottenuto T?Lo spazio degli eventi diventa, in baseall’informazione ricevutaΩ={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Qual è la probabilità, lanciando una moneta due voltedi ottenere due T, sapendo che almeno uno dei duelanci ha dato T?Lo spazio degli eventi diventa, in baseall’informazione ricevutaΩ={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilitàrichiesta è 1/3

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Torniamo al primo problema:Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A),sapendo che il punteggio è dispari(evento B)?Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme ipunteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l’insieme {1,3}corrisponde di fatto a A∩B. Nel valutare la probabilitàdi ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che ilpunteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scrittodi fatto il rapporto tra P(A∩B)=2/6 e P(B)=3/6,ottenendo appunto 2/3

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

In generale, indichiamo con P(A|B) la probabilitàdell’evento A sapendo che si è verificato B, definiamo

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0

Chiameremo tale probabilità:probabilità condizionale di A noto B

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma

P(A∩B)= P(B)·P(A|B)

Tale relazione viene detta legge delle probabilitàcomposte

Tale relazione esprime la probabilità dell’eventointersezione (o evento congiunto) come prodotto tra laprobabilità di uno dei due eventi e la probabilitàcondizionale dell’altro.

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavieda una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(M) e6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è laprobabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F.Possiamo pensare in termini di due estrazionisuccessive dalla gabbia che contiene le cavie.Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità diprendere una cavia F alla prima estrazione, si haP(FI)=6/10Possiamo quindi calcolare P(FII|FI), che esprime laprobabilità di prendere una cavia F alla secondaestrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Si ottiene P(FII|FI)=5/9

La legge delle probabilità composte ci dice allora cheLa probabilità di prendere due cavie entrambe F è

P(FI ∩ FII) = P(FI)·P(FII|FI) = (6/10)·(5/9) = 1/3

OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionaresecondo lo schema classico, calcolando il rapporto tranumero casi “favorevoli” e numero casi “possibili”.Ottenendo ?…..

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilitàcondizionale, scambiando A con B, naturalmente seP(A)>0, si ottiene P(B|A) = P(A∩B) / P(A)Per l’evento congiunto, quindi possiamo dire che vale

P(A∩B)= P(B)·P(A|B), ma ancheP(A∩B)= P(A)·P(B|A)Dunque, possiamo dire che P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento Aè modificata dal sapere che si è verificato un evento B,vale a dire P(A|B)≠P(A), come nel caso precedentedelle cavie, o nel caso del lancio del dado per l’evento“esce un punteggio inferiore a 4” , sapendo che ilpunteggio ottenuto è dispari.Se P(A|B) > P(A) diremo che i due eventi sonocorrelati positivamente, B rende A più probabileATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia unacausa di A!Se P(A|B) < P(A) diremo che i due eventi sonocorrelati negativamente, B rende A meno probabile.

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

Talvolta, invece, si ottiene P(A|B)=P(A),vale a dire che il venire a conoscenza dell’evento Bnon modifica la probabilità dell’evento A

ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte diuna moneta, la probabilità di avere T al secondo lancionon è modificata dalla conoscenza dell’esito del primo.

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

DEFINIZIONE: Se P(A|B) = P(A), diremo che glieventi A, B sono indipendenti.

Quando gli eventi sono indipendenti la legge dellaprobabilità composta diviene P(A∩B) = P(A)·P(B)

Si osserva che se P(A|B) = P(A), anche P(B|A) = P(B)(perché?…)

PROBABILITA’ CONDIZIONALE

ATTENZIONE! Non confondere la proprietà diincompatibilità con quella di indipendenza!

Due eventi A, B sono incompatibili quando A∩B=ØIn questo caso P(A∩B) =0

Due eventi A, B sono indipendenti quandoP(A∩B) =P(A)·P(B)

Quando due eventi A, B sono sia incompatibili cheindipendenti ?……

TEST DIAGNOSTICI

Si chiama test diagnostico un esame effettuato perstabilire se un dato individuo è affetto o no da unacerta malattia.

Il test, come ogni esame, ha un certo margine di errore,può risultare positivo anche se l’individuo è sano, onegativo se l’individuo è malato.

TEST DIAGNOSTICI

Indichiamo conM l’evento “l’ individuo è affetto dalla malattia”¬M l’evento “l’individuo non è affetto dalla malattia”T+ l’evento “il test è risultato positivo”T− l’evento “il test è risultato negativo”

Si definisce specificità del test la probabilitàcondizionale P(T− | ¬M )Si definisce sensibilità del test la probabilitàcondizionale P(T+ | M )

TEST DIAGNOSTICI

Si dicono valori predittivi del test le probabilitàcondizionali P(M| T+ ), P(¬M | T− )

La probabilità P(M) viene detta tasso di incidenzadella malattia

La specificità e la sensibilità del test viene testata sucampioni di individui per i quali è noto se sono o menoaffetti dalla malattia.A partire dalla conoscenza del tasso di incidenza dellamalattia e della specificità e sensibilità del test, sicalcolano i valori predittivi.

TEST DIAGNOSTICI

P(M| T+ ) = P(M)·P(T+ |M) / P(T+ )

Come calcoliamo P(T+ )?Il test può risultare positivo se la persona è affetta dallamalattia oppure se la persona non è affetta, ma il test hadato erroneamente esito +

P(T+ ) = P(M)·P(T+ |M) + P(¬M ) ·P(T+ |¬M)

Quanto vale P(T+ |¬M)?P(T+ |¬M) = 1 - P(T− | ¬M )

TEST DIAGNOSTICI

P(M| T+ ) = P(M)·P(T+ |M) /[P(M)·P(T+ |M) + P(¬M )·(1-P(T− | ¬M ))]

Analogamente

P(¬M | T− ) = P(¬M) ·P(T− |¬M) /[P(¬M) ·P(T− |¬M)+ P(M)(1- P(T+ |M))]

TEST DIAGNOSTICI

Una certa malattia, presente in una data popolazione,ha un tasso di incidenza 0.003. Un test diagnostico neiconfronti della malattia ha sensibilità 0.999 especificità 0.998. Calcolare i valori predittivi del test.

Abbiamo P(M) = 0.003, P(T+ | M ) = 0.999,P(T− | ¬M )= 0.998

Vogliamo calcolare P(M| T+ ) e P(¬M | T− )

TEST DIAGNOSTICI

P(M| T+ ) =P(M)·P(T+ |M) /[P(M)·P(T+ |M) + P(¬M )·(1-P(T− | ¬M ))]

P(M| T+ ) =0.003·0.999/[0.003·0.999 + 0.997·0.002 ] ≈0.6 quindi il valore predittivo del test nel caso risultipositivo è circa del 60%, vale a dire che la probabilitàche l’individuo sia effettivamente malato è circa 0.6

TEST DIAGNOSTICI

P(¬M | T− ) = P(¬M) ·P(T− |¬M) /[P(¬M) ·P(T− |¬M)+ P(M)(1- P(T+ |M))] = 0.997·0.998/[0.997·0.998 +0.003·0.001]≈0.99999

Il valore predittivo in caso di esito negativo del test èmolto alto