Exploración numero aureo

7/25/2019 Exploracin numero aureo

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El nmero ureo es un nmero cuyo origen remonta siglos atrs y que se encuentra presenteen pinturas, obras arquitectnicas y elementos cotidianos. Fue mientras investigaba paraArte, que descubr que los rostros siguen proporciones ureas, al igual que las tarjetas decrdito ya que stas son ms atractivas a la vista, y as al ir a la emana de la !atemtica en

la "niversidad de #uenos Aires, quede plenamente atrapada con el tema, tras acudir a unac$arla sobre las propiedades ureas dada por %abriela Armentano. &ecid entonces que mie'ploracin sera sobre el (nmero de oro) del que poco conoca pero tanta curiosidaddespertaba en mi, para ver a qu poda llegar.

Qu es el nmero ureo?

El nmero ureo o de oro *tambin llamado ra+n e'trema y media, ra+n urea, ra+ndorada, media urea, proporcin urea y divina proporcin representado por la letra griega*p$i-*en minscula- o */$i-, en $onor al escultor griego Fidias, es un nmero irracionali 0

Fue un $alla+go de los griegos en la poca clsica y 1ue el libro Elementos, de Euclides deAlejandra, el que desat la investigacin cuando escribi0 (e dice que un segmento estdividido en media y e'trema ra+n cuando la longitud de la lnea total es a la de la partemayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor). Esto signi2cara que teniendo unsegmento ', si lo divido en media y e'trema ra+n de manera iique el segmento mayor me

quede 3 y el menor '43. &e manera que la particin en e'trema ra+n ser0x

1=

1

x1

i resuelvo la igualdad, multiplicando sus productos en cru+, obtengo una ecuacin desegundo grado o cuadrtica.

usando la 1rmula resolvente x=b b24 ac

2 a obtengo dos races siendo la positiva

y la que nos interesa0 =1+ 5

2

1,618

El resultado que obtenemos es un nmero decimal no peridico del que podemos conocertantas ci1ras como deseemos.Al reempla+ar en la ecuacin *ra+ de la misma- x

2x1=0 obtengo

2+1=0 y al despejar se produce la siguiente igualdad0 2=+1

Al multiplicar miembro a miembro sucesivamente por , obtengo

3=2+

4

=3

+2

5=4+3

6=5+4

7

=6

+5

8=7+6

1

1

1 =

x

x

x.(x1)=1

x2 x=1

x2 x1=0

3
http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griego


2/20

9=8+7

10=9+8

5o que signi2ca que cualquier potencia de es igual a la suma de las dos potenciasanteriores. i quisiera obtener 20 basta con que sume las dos potencias anteriores

19

y 18 .Al llegar a esta conclusin me di cuenta que as como $aba reempla+ado x con podra reempla+ar el

2 en la e'presin 3=2+ con la igualdad 2=+1

Entonces obtendra0

3=+1+ 3=2+1

4=3+2 (2+1)+(+1)

4=3 +2

5=4+3 (3 +2)+(2 +1) 5=5+3

6=5+4 (5+3 )+(3+2 ) 6=8+5

7=6+5 (8+5 )+ * 5+3 - 7=13+8

8=7+6 (13+8 )+(8+5) 8=21+13

9=8+7 (21+13 )+(13+8 ) 9=34+21

10=9+8 (34 +21)+(21+13) 10=55 +34

e obtienen la sucesin de Fibonacci0 3,6,7,8,9,37,63,7: en los trminos independientes astambin como en los coe2cientes que acompa;an a 6,7,8,9,37,63,7:,88. El valor del

trmino independiente corresponde a la del nmero que acompa;a a en la potenciaanterior.

7=13+8

8=21+13

i observamos el nmero 63 corresponde a la suma de los dos trminos anteriores en 7 .

/ara obtener cualquier potencia de podemos entonces multiplicar el nmero ureo porun nmero que es la suma de los coe2cientes de las potencias anteriores de y sumarleun nmero que es el coe2ciente de la potencia anterior.

e genera la siguiente 1rmula0

iendo A el nmero que acompa;a a A30 3 A603 A706 A:0 7 A808

!otivada por la conclusin anterior me pregunt que pasara si trabajo con la 1uncinasociada la ecuacin original y la trans1ormo multiplicando sucesivas veces por x ) paraobtener 1unciones polinmicas con un grado cada ve+ mayor.

&ecid investigar las 1unciones obtenidas y gra2qu en %eogebra las distintas 1unciones0

y=x2x1 y=x3x2x

6

n=an +an1


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y=x4x3x2 y=x5x4x3 y=x6x5x4 y=x7x6x5 y=x8x7x6 y=x9x8x7 y=x10x9x8

ucesivamente 4?.@39

>?

>3.@39. >

5a ra+ ? presenta di1erentes tipos de multiplicidad mientras las otras dos *4?.@39 y 3.@39-son simples.egn su multiplicidad en '>? sea de tipo par *curva (rebota)- o impar *curva (atraviesa)- segeneran dos grupos de 1unciones que siguen un patrn.!e propongo obtener las reas que las 1unciones determinan con el eje ' para luegoinvestigar si las mismas encierran alguna relacin especial u obedecen a algn patrnmatemtico .

5as reas obtenidas en cada caso 1ueron0

1 f(x)=x2x1

0

1.618

f(x ) dx=1.51503

f(x ) dx=0.34836

0,618

0

Brea total0 3.9@77

7

1x

2x

3x


4/20

2g (x)=x3x2x

0.618

0

g (x ) dx=0.0758

0

1.618

g (x ) dx=1.00751

Brea total0 3.?9773

3h(x)=x4x3x2

0,618

0

h (x )dx=0,02

0

1,618

h(x )=0,908

Brea total0 ?.C69

4 p(x )=x5x4x3

0.618

0

p (x )dx=0.00915

0

1.618

p (x ) dx=0.94085

Brea total0 ?.C8

5

q(x )=x 6x5x4

:


5/20

0,618

0

q (x ) dx=0,00382

0

1.618

q (x )dx=1.061

Brea total0 3.?@:96

6

r (x)=x

7

x6

x5

0.618

0

r (x ) dx=0.00171

0

1.618

r (x ) dx=1.266

Brea total0 3.6@DD3

7 s (x)=x8x7x6

0,618

0

s (x ) dx=0.0008

0

1.618

s (x ) dx=1.574 6

Brea total0 3.8D8

8


6/20

8

T(X)=x9x8x7

0.618

0

T(x ) dx=0.00039

0

1.618

T(x )dx=2.019

Brea total0 6.?3C7C

9

u(x)=x10x9x8

0.618

0

u (x ) dx=0.00019

0

1.618

u (x ) dx=2.653

Brea total0 6.@873C

@


7/20

3?- v (x )=x11x10x9

0.618

0

v (x ) dx=0.0001

0

1.618

v (x) dx=3.55748

Brea total0 7.88D89

11

w(x)=x 12x11x10

k1: 0.618

0

w (x ) dx=0.00005

l 1 :0

1.618

w (x ) dx=4.84737

Brea total0 :.9:D:6

12

z (x)=x 13x12x11

0.618

0

z (x ) dx=0.0003

0

1.618

z (x )dx=6.69594

D


8/20

Brea total0 @.@C@6:

13(x )=x14x13x12

0.618

0

(x ) dx=0.00001

0

1.618

(x ) dx=9.35789

Brea total0 C.78DC

14

(x)=x 15x14x13

0.618

0

(x ) dx=0.00001

0

1.618

(x )dx=13.21011

Brea total0 37.63?36

9


9/20

15

(x)=x 16x15x14

0.618

0

(x

)dx=

0

0

1.618

(x ) dx=18.81201

Brea total0 39.936?3

16

(x )=x17x16x15

0.618

0

(x ) dx=0

0

1.618

(x )dx=26.99632

Brea total0 [email protected]@76

17

(x)=x 18x17x16

0.618

0

(x ) dx=0

0

1.618

(x )dx=39.00619

Brea total0 7C.??@3C

C


10/20

18

(x )=x19x18x17

0.618

0

(x ) dx=0

0

1.618

(x )dx=56.70263

Brea total0 [email protected]?6@7

19

!(x)=x20x19x18

0.618

0

! (x ) dx=0

0

1.618

! (x ) dx=82.87881

Brea total0 96.9D993

20

"(x)=x21

x20

x19

0.618

0

" (x ) dx=0

0

1.618

" (x ) dx=121.73743

Brea total0 363.D7D:7

3?


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A partir de las reas obtenidas constru la siguiente tabla con la suma de las reas obtenidasen cada caso *rea total-0

%rado de la

1uncin Brea total6 3,9@7 3,?9: ?,C78 ?,C8@ 3,?@D 3,6D9 3,89C 6,?6

3? 6,@833 7,8@36 :,9837 @,D?3: C,7@38 37,633@ 39,933D 6D,??39 7C,?33C 8@,D?6? 96,9963 363,D:

epresento, con %eogebra, las coordenadas obtenidas en un sistema cartesiano y observoque al ver gra2cados los puntos de ambas reas *rea total- me pareci que poda ajustarse auna 1uncin cuadrtica del tipo 0 y=ax2+bx+c

A-

1.8633=a# (1 )2+b#1+c $4.8474=a # (11 )2+b # 11+c% 1.0833=a#(2)2+b#2+c &6.696=a# (12)2+b#12+c

'0.9315=a #(3)2+b # 3+c (9.3579=a#(13)2+b#13+c

) 0.95=a #(4)2+b #4+c *13.2101=a # (14 )2+b# 14+c+1.2677=a # (6 )2+b # 6+c,18.812=a # (15 )2+b #15+c- 1.0648=a #(5)2+b #5+c . 26.9963=a # (16 )2+b# 16+c

33

0 Brea total determinada con

G0 grado de la1uncin


12/20

/1.575=a #(7)2+b #7+c 0 39.0062=a# (17 )2+b#17+c

12.0194=a# (8)2+b#8+c 2 56.7026=a # (18 )2+b #18+c32.6552=a#(9)2+b # 9+c 4 82.8788=a # (19 )2+b# 19+c53.5575=a # (10 )2+b # 10+c T121.734=a # (20 )2+b # 20+c

Hon estas 6? ecuaciones se 1orma un sistema con 7 incgnitas *aIbIc- que para obtener suresultado aplicar resolucin matricial para buscar una 1uncin cuadrtica que modelice lasituacin0

!atri+ de coe2cientes *6?'7- !atri+ de incgnitas *7'3- !atri+ deresultados *6?'3-

36


13/20

1 1 1

4 2 1

9 3 1

16 4 1

25 5 136 6 1

49 7 1

64 8 1

81 9 1

100 10 1

121 11 1

144 12 1

169 13 1

196 14 1

225 15 1

256 16 1

289 17 1

324 18 1

361 19 1

400 20 1

#

>

37

a

b

c

1.8633

1.0833

0.9315

0.95

1.0648

1.2677

1.575

2.0194

2.6552

3.5575

4.8474

6.969

9.3579

13.2101

18.812

26.9963

39.0062

56.7026

82.8788121.734


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5lam a la matri+ de coe2cientes (A)I a la matri+ de incgnitas (G) y a la matri+ de resultados(#) reali+ar 6 # 7=8

&ado que al multiplicar la matri+ de coe2cientes *llmese (A)- por la matri+ de incgnitas*llmese (G)- se debe obtener la matri+ de resultados, la matri+ (G), deber ser despejada.

!ultiplico por la matri+ transpuesta de A, es decir si A es del orden 6?'7, su transpuesta es7'6?, esto lo $ar con el 2n de poder obtener una matri+ cuadrada que puede tener inversa.

Jeniendo0 6 #X=8 la multiplico por la transpuesta de (A)9

( : # 9)# X=9:# %

la

multiplicacin de matrices es asociativa , adems puedo multiplicar por la matri+ inversa

999

( : # 9)1 # 9:# %

( : # 9)# X=( : # 9)1#

5o resaltado en colorado, tiene como resultado la matri+ identidad9

( : # 9)1 #(9 :# %)

(1 00 1)# X=es decir0

9

( : # 9)1#9:#%X=

Aplicndolo a mis datos, utilic la calculadora gr2ca en el modo de matrices siguiendo estos

procedimientospara obtener que el resultado de G es0

( 0.5978.33821.796

) iendo la primer 2la el valor de mi incgnita (a), el segundo (b) y la tercer 2la el valor de miincgnita (c).

Hon estos resultados reempla+o en la 1uncin polinmica y> a x2+bx+c resultando0

f(x )=0.597x28.338x+21.796

Al gra2carla observ que lo que $aba credo inicialmente no era cierto, ya que el ajustepolinmico no se ajusta de manera precisa a mis puntos

3:



15/20

Homo el resultado no es el que esperaba, observando este ltimo gr2co creo que la 1uncinaparenta crecer de manera e'ponencial.

5a 1uncin e'ponencial responde la 1orma f(x )=k#ax /ara averiguar las incgnitas K, a , tomar 6 puntos de mi gr2co correspondientes a uno delprincipio *punto H- y uno de la mitad *punto !-. 5as coordenadas que componen a estospuntos son (') e (y) .H> *7I ?.C738- !> *37I C.78DC-

5os puntos obtenidos tienen un dominio (discreto), incluido en , a pesar de esto busco unpatrn con );

H- 0.9315=k #a3

10.065=a10

1010.065=a

esultado 2nal0 1.26a

2=k 0.465k

38



16/20

A$ora puedo reempla+ar en la 1uncin e'ponencial las incgnitas y podr gra2car0

f(x )=0.465 #(1.26)x

5o obtenido se muestra en el siguiente gr2co0

ealic una tabla con las reas comprendidas entre las races ?$asta con el eje x , luego ajust con %eogebra0

3@



%rado Brea de ? a 6 3,838?77 3,??D83: ?,C?98 ?,C:?98@ 3,?@3D 3,6@@9 3,8D:6C 6,?3C

3? 6,@8733 7,88D:936 :,9:D7D37 @,@C8C:3: C,78D9C38 37,63?333@ 39,9363?33D 6D,??39 7C,?33C 8@,D?6? 96,9963 363,D:


17/20

/rob sise llegaba a una progresin geomtrica pero comprob que no, ya que la e'ponencial no tiene

un ajuste per1ecto a los puntos.un=u

1#r n1

un=u

1#rn

r

un=

u1r#r

n

u1

r=0,465

u11.26

=0,465

u1=0,5859

Lo se veri2ca la obtencin de u1

porque el ajuste no es per1ecto, debiera $aber sido3,838?7, resultado obtenido recin al reali+ar un ajuste polinmico de grado 8.

Honclusin0

En un principio no encontr lo que an$elaba0 una cone'in con la serie de Fibonacci en lasucesin de reas obtenidas I de todas maneras me interes $aber investigado ms sobreeste nmero que me $aba llamado la atencin por su gran importancia.&e todos modos creo que 1ue un trabajo esperan+ador porque me 1ui encontrando conelementos geomtricos que pude trans1ormarlos en algebraicos e ir avan+ando.


18/20

39


19/20

#ibliogra1a

3C


20/20

ii Horbaln Fernando, (5a /roporcin Burea 0 El lenguaje matemtica de la belle+a),E&MJEH,6?3?, pg.6746D

ii %r2co obtenido en $ttp0NNes.OiKipedia.orgNOiKiNLPH7P#AmeroQPH7PA3ureo&isponible 6Cde julio 6?3:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

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