EXOPLANETER - astrogymblog.files.wordpress.comExoplaneter. Af Michael Andrew Dolan Møller. Maj 2012. side 5/25 frem til følgende sammenhæng: vradial= λmålt−λlab λlab ⋅c

EXOPLANETER

Michael Andrew Dolan MoslashllerRosborg Gymnasium og Hf-kursus

Maj 2012

Stjernen Qatar-1 har en (usynlig) planet kredsende om sig (Kilde Simbad-databasen)

Exoplaneter Af Michael Andrew Dolan Moslashller Maj 2012 side 125

Indholdsfortegnelse

1 Introduktion 22 Detektion af lys 2

Fotometri 3Spektre 4

3 Planetbevaeliggelsesmodeller 5Radialhastighedsmetoden 5

Cirkulaeligr bane 5Ellipsebane 8

Numerisk analyse af radialhastighedsdata 10Koslashrsel af programmet Exofit for PC-brugere 10

Transitmetoden 11Planetens radius i forhold til stjernens radius 12Bestemmelse af inklination 13

4 Exoplaneters atmosfaeligrer 15Temperaturen af en exoplanet 15Flydende vand 17En kompliceret atmosfaeligremodel 17

Atmosfaeligren 20Jordoverfladen 20

5 Fremtidens Missioner 216 Opgave Radialhastighedskurven for HD121504b 227 Projekt Transitkurve samt analyse af Qatar-1b 228 Opgave Temperaturen af en planet 239 Programmer litteratur og data 25

IntroduktionSiden den foslashrste exoplanet blev opdaget i 1995 af Mayor og Queloz er der til dags dato (marts 2012) fundet 763 exoplaneter og der er derudover flere tusind kandidater der mangler at blive endeligt bekraeligftet1

Dermed startede Mayor og Queloz en ny gren af astronomien som man forventer store ting af ndash blandt andet kan vi laeligre at forstaring hvordan planetsystemer formes i langt stoslashrre detalje end vores nuvaeligrende viden vi kan maringske faring dybere indsigt i forstaringelsen af livet og endelig kan vi muligvis finde liv paring en anden klode ndash et sposlashrgsmaringl som indtil nu kun har kunnet behandles af science fiction-forfattere

I denne tekst laeligrer du at analysere data saring du kan finde radius masse og banehaeligldning af en exoplanet om dens stjerne og du bliver i stand til at vurdere temperaturen af planetatmosfaeligrer

Detektion af lysDen eneste maringde vi kan laeligre om indholdet af verdensrummet er ved at maringle paring det lys som stjerner taringger planeter mv udsender Al information om for eksempel planetsystemer skal derefter traeligkkes ud af det lys som samles op af observatoslashren Det lyder jo som en formidabel opgave men matematikken og lidt snilde kan hjaeliglpe os med at loslashse denne opgave

Uanset om man observerer et legeme fra Jorden eller fra en satellit saring er princippet det samme ndash man skal bruge et apparat til at indsamle lyset samt et apparat til at lagre lyset Dertil bruger man en kikkert samt et digitalkamera Paring figur 1 er et spejlteleskop vist Lyset kommer ind oslashverst fra hoslashjre rammer et stort krumt spejl hvorefter det reflekteres op i det lille spejl som sidder monteret oppe i toppen af kikkerten Derefter reflekteres lyset ned i det graring kamera nederst til venstre paring billedet

Fordelen ved at bruge en kikkert er at man kan samle lys fra et stort areal og dermed bliver det muligt at se lyssvage legemer ndash men bemaeligrk at stjernerne er saring langt vaeligk at det er ganske umuligt at bruge en kikkerts forstoslashrrelsesevne til noget

Naringr lyset rammer kameraets lysfoslashlsomme omraringde CCD-detektoren laver elektronikken det indkommende signal om til en raeligkke tal som kan indlaeligses i en computer Smaring tal svarer til smaring lysstyrker og store tal svarer til store lysstyrker Disse tal kan man saring analysere ved hjaeliglp af computerprogrammer

1 Man kan foslashlge med i opdagelserne paring httpexoplaneteu

Figur 1 Et teleskop med en detektor anbragt i enden Laeligg maeligrke til at det ikke er noslashdvendigt med et kikkertroslashr saringfremt man observerer paring et moslashrkt sted Kilde wwwsouthern-astrocomau

Paring figur 2 kan man se et billede af nogle stjerner og et computerprogram har fortolket alle tallene om til et billede Billedet er vist som et negativ

Fotometri

Man kan nok taelignke sig at hvis lyset forstyrres paring sin vej mod kameraet kan det oslashdelaeliggge kvaliteten af dataene Dette sker i vid udstraeligkning naringr lyset passerer ned gennem Jordens atmosfaeligre og derfor bruger astronomer satellitter til at foretage ultrapraeligcise maringlinger Vi kan dog til en vis grad tage hoslashjde for atmosfaeligrens indvirkning paring lyset hvis vi benytter os af en disciplin der kaldes differentialfotometri hvor vi anvender et logaritmisk maringl for den maringlte lysstyrke og sammenligner lys fra flere stjerner

Betragt figur 3 Der er vist en stjerne hvis lys vi oslashnsker at maringle paring

Stjernen antages at sende lige meget lys ud i alle retninger og hvis stjernens samlede effekt2 kaldes L vil en observatoslashr i afstanden d

modtage en intensitet3 I (d )=L

4sdotπsdotd 2

Afhaeligngigt af ens udstyr vil en observatoslashr maringle en flux4 f som er proportional med I(d)

Instrumentstoslashrrelsesklassen defineres derefter som m=minus25sdotlog ( f )

Denne stoslashrrelse afhaelignger af det anvendte udstyr observationsstedet stjernens hoslashjde over horisonten samt atmosfaeligrens temperatur og sammensaeligtning paring observationstidspunktet

Det interessante ved instrument-stoslashrrelsesklassen er at de parametre der giver varierende instrumentstoslashrrelsesklasser virker paring samme maringde for to forskellige stjerner der observeres paring samme tidspunkt og det viser sig at hvis man maringler forskelle i instrument-stoslashrrelsesklasser saring forsvinder bidraget fra disse parametre

2 Astronomer kalder stjernens effekt for den absolutte luminositet3 Astronomer kalder intensiteten I for den tilsyneladende luminositet4 Flux vil vi her betragte som den maringlte effekt

Figur 2 Et billede af nogle stjerner hvor der med sikkerhed er fundet en planet om en af stjernerne (Qatar-1b) Billedet er vist med programmet Aladin og billedet er optaget af Andreacute van der Hoewen

Figur 3 En stjerne udsender lys i alle retninger Vi er placeret i afstanden d hvor pilen ender Kugleoverfladens areal er

A=4sdotπsdotd 2

EksempelVi mistaelignker en stjerne for at have en exoplanet om sig Vi maringler fluxen fra stjernen og vi faringr f 1=35671 Stjernen ligger i et omraringde hvor der er andre stjerner Intensiteten for en af de andre stjerner maringles til f2=40982

Dermed bliverm1=minus25sdotlog ( f 1)=minus25sdotlog(35671)=minus1138m2=minus25sdotlog( f 2)=minus25sdotlog(40982)=minus1153δ m=minus1153minus(minus1138)=015

En anden observatoslashr vil maringle forskellige m1- og m2-vaeligrdier men forskellen δm vil vaeligre den samme Vi skal altsaring have data fra mindst to stjerner naringr vi vil finde δm og den stjerne vi sammenligner med skal vaeligre en meget lysstabil stjerne I praksis maringler man flere referencestjerner for at vaeligre sikker paring at i hvert fald eacuten af de maringlte stjerner sender et konstant signal

Spektre

En nyttig maringde at hente information fra lys paring er ved at sende lyset gennem et gitter et prisme eller en kombination heraf ndash et saringkaldt grisme Vi kender fra fysikken at hvis man sender lyset gennem et gitter saring vil lysets forskellige boslashlgelaeligngder diffrakteres i forskellige retninger og sammenhaeligngen mellem gitterkonstant boslashlgelaeligngde og afboslashjet vinkel er givet ved gitterformlen

sin(ϕ)=nsdotλd

Altsaring kan man finde boslashlgelaeligngderne af det udsendte lys

Der findes faeligrdige apparater som direkte kan tegne spektret for en Et eksempel paring et saringdant spektrum kan se ud som vist paring figur 4

Spektre kan altsaring bruges til at finde grundstoffer med men man kan ogsaring benytte spektret samt Dopplereffekten til at maringle stjernens hastighed i retningen mod os og vaeligk fra os Doppler fandt

Figur 4 Et solpektrum taget fra Rosborg med Ocean Optics-spektroskopet

frem til foslashlgende sammenhaeligng vradial=λmaringltminusλ lab

λ labsdotc c angiver lysets hastighed λi angiver de

maringlte boslashlgelaeligngder i laboratoriet eller ude ved kikkerten og vradial angiver stjernens hastighed vaeligk fra os (Hvis vradiallt0 bevaeligger stjernen sig imod os)

EksempelBrint har en spektrallinie paring 65634nm En observatoslashr finder denne linie i et maringlt stjernespektrum og aflaeligser boslashlgelaeligngden til 6565nm Dermed maring stjernes hastighed vaeligk fra observatoslashren vaeligre

v radial=6565minus6563365633

sdot299792458sdot108 ms

=777 kms

Ovenstaringende hastighed er ikke stjernens faktiske hastighed gennem verdensrummet for vi kan med denne metode kun maringle den del af hastigheden der garingr i synsliniens retning Man skal ogsaring huske paring at Jorden bevaeligger sig ca 30kms i sin bane omkring Solen og at Solen heller ikke staringr stille

Vi er nu i stand til maringle hastigheder af stjerner samt maringle lyskurver for stjerner Dette er sammen med nogle passende matematiske modeller nok til at faring bestemt masse og radius samt banehaeligldning af en usynlig exoplanet Nedenfor starter vi med at lave en model hvor en stjernes radialhastighedsdata kan bruges til at veje en exoplanet

Planetbevaeliggelsesmodeller

Radialhastighedsmetoden ndash cirkulaeligr bane

Ved hjaeliglp af Dopplereffekten vil vi udlede en formel til at bestemme massen af en planet som vi ikke direkte kan observere Betragt figur 5

Mellem stjernen med massen M og massemidtpunktet er der afstanden R Mellem planeten med massen m og massemidtpunktet er der afstanden r

Vaeliggtstangsreglen giver at der altid gaeliglder msdotr=MsdotR

OslashvelseSolens masse er 1989sdot1030kg Jupiters masse er 19sdot1027 kg og Jupiters middelafstand til centrum af Solsystemet er 778sdot1011 mBeregn R for Solen

Figur 5 En stjerne og en planet bevaeligger sig om deres faeliglles massemidtpunkt De har samme omloslashbstid omkring massemidtpunktet Stjernens baneradius er overdrevet

Det var Johannes Kepler der viste at stjerner med tunge omkredsende planeter ikke staring stille

Hvis du har haft vektorregning kan du vise vaeliggtstangsreglen hvis du anvender formlen for massemidtpunktet samt saeligtter origo for koordinatsystemet i massemidtpunktet Har du ikke haft vektorregning maring du noslashjes med at acceptere formlen uden videre Vaeliggtstangsreglen indeholder den stoslashrrelse vi leder efter ndash nemlig planetens masse m derfor vil vi bruge denne formel De oslashvrige stoslashrrelser er ikke kendt saring dem skal have fundet paring anden vis foslashrst

I afsnittet om spektre paring side 4-5 blev Dopplers formel postuleret vradial=Δλλ0

Naringr man betragter et stjerneplanetsystem betragtes det normalt med en vis vinkel imellem normalen til planetbanen og synslinien Se figur 6 Denne vinkel kalder man for inklinationen

Paring figur 7 er punkt D paring midterste tegning fra figur 6 indtegnet saring man ser vinkelret ind paring banen Udfra figur 7 kan man se foslashlgende sammenhaeligng mellem stjernens rotationsfart v rot og stjernens maksimale radialhastighed vrad

vradmax

=sin (i)hArrvrot=vrad

sin(i)

Figur 6 En refleksbane for en stjerne Ellipsebanen haeliglder oftest i forhold til observatoslashren Paring den midterste kurve er rotationshastigheden (fuldt markerede pile) samt radialhastighederne (stiplede pile) indtegnet Radialhastighederne er numerisk stoslashrst i punkterne B og D Man ser at radialhastighederne i punkterne A og C er 0 da rotationen her garingr vinkelret paring synslinien

Paring figur 8 kan man laeligse den maksimale radialhastighed

vradmax som amplituden og man

kan aflaeligse stjernens (eller planetens) omloslashbstid paring 1 aksen

Hvis betragtningsvinklen i er kendt kan man altsaring bestemme stjernens rotationsfart Men rotationsfarten indgaringr jo ikke i formlen for m saring vi skal nu manipulere vaeliggtstangsreglen saring vi kommer frem til en brugbar sammenhaeligng

For enkelthedens skyld antager vi at planeten og stjernen bevaeligger sig i cirkelbaner omkring massemidtpunktet og saring faringr vi foslashlgende sammenhaelignge

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

TVaeliggtstangsreglen msdotr=MsdotR

Dvs msdotr=MsdotTsdotvrot

stjerne

2sdotπOvenfor har vi altsaring et udtryk hvor stjernens rotationsfart indgaringr Men planetens afstand r til stjernen indgaringr jo ogsaring saring vi skal have den erstattet af noget kendt Til dette kan vi bruge Keplers 3 lov

T 2 =Gsdot(M stjerne+mplanet)

4sdotπ2 hArr

r=[Gsdot(M stjerne+mplanet)

4sdotπ2 sdotT 2]

Nu kan vi endelig sammenfatte vores formler Dermed faringr vi

m=Tsdotvrot

stjerne

2sdotπsdotrsdotM andvrot

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

Gsdot(M stjerne+m planet)

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

sin(i)sdot2sdotπsdotrsdotM andrasymp[

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

msdotsin (i )=Tsdotv rad

maxsdotM

2sdotπsdot[GsdotM stjerne

4sdotπ2 sdotT 2]

msdotsin (i)=v radmaxsdot[

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

Bemaeligrk at vi ved at maringle den maksimale radialhastighed samt omloslashbstid for banen kan bestemme

Figur 8 En radialhastighedskurve for stjernen HD330075 1 aksen viser tiden i julianske dage (Antal dage fra skabelsen af Edens have) Man ser at T = 339 dage og at amplituden er ca (6144-61335)kms=105ms Denne hastighed er planetens maksimale radialhastighed Stjernens hastighed er praeligcist maringlt 1059ms Kilde httpwwwlsesoorglasillasciops3p6harpssciencehtml

Figur 7 En observatoslashr betragter stjerneplanetsystemet fra en vinkel i Observatoslashren kan maringle radialhastigheden men ikke rotationsfarten Paring tegningen kan du se vrot

indtegnet samt vrad max vrad max er den pil som peger ind mod oslashjet vrot ligger i samme plan som planetbanen

msdotsin( i) saringfremt vi kender stjernens masse Heldigvis er stjernemasser noget astrofysikere arbejder med og ved at betragte stjernens spektrum kan de fortaeliglle hvad stjernerne vejer For at finde planetens eksakte masse er det ogsaring noslashdvendigt at kende inklinationen og den vil transitmetoden som beskrevet paring s 10 hjaeliglpe os med at finde

Eksempel Stjernen 51 PegasiDen foslashrste exoplanet man fandt var omkring stjernen 51 Pegasi Den hedder 51 Peg b Man fandt foslashlgendeT=423 doslashgnM=1MSol Denne stoslashrrelse blev bestemt ved at finde ud af stjernens typevrad max=561 msInklinationen er ret daringrligt bestemt til i=79ordmplusmn30ordm

Tallene saeligttes ind i (6)

msdotsin (i )=v radmax

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

423 dagesdot86400 s dagesdot(1989sdot1030 kg )2

2sdotπsdot667sdot10minus11 Nsdotm2

)13=848sdot1026 kg

Ovenstaringende masse er 45 af Jupiters masse Hvis vi vaeliglger i = 79ordm faringr vi en masse paring 044 jupitermasser men i er som sagt yderst daringrligt bestemt

Oslashvelse HD330075bPlaneten HD330075b har en periode paring T=339 dagevrad max = 1059msM = 07plusmn01 Msol

i er ukendt

Vis at msdotsin (i )=062sdotM Jupiter

Planeten er i oslashvrigt 0039AU fra stjernen Til sammenligning er Merkur 03871AU fra Solen

Radialhastighedsmetoden - ellipsebane

Vores formel gjaldt jo kun for baner der var cirkulaeligre I virkeligheden er banerne ofte ganske ellipseformede og derfor skal man for det generelle tilfaeliglde bruge en anden formel Den vil vi ikke udlede da matematikken er ret uoverkommelig Derfor postuleres den nedenfor Man skal lave en parametertilpasning til maringlte data og i dette tilfaeliglde er det ganske indviklet saring det maring vente til universitetsstudierne

Betragt figur 9 paring naeligste side Den viser en planetbane som er ellipseformet og banens storakse ligger tilfaeligldigt anbragt i rummet Banen har en inklination i med himmelplanet Den sande anomali θ angiver planetens placering i sin bane

Vi betragter altsaring det generelle tilfaeliglde for en planetbane saringfremt den bevaeligger sig i en ellipsebane Dette er en god antagelse saringfremt gravitationsparingvirkningen fra eventuelle naboplaneter er nul Hvis naboplaneter paringvirker planetbanen skal man ty til saringkaldte numeriske Nbody-simuleringer hvilket er en indviklet disciplin

Bemaeligrk at vi slet ikke kan se ellipsebanen ndash ikke engang med de stoslashrste kikkerter i verden Vi har altsaring lavet en matematisk model af virkeligheden og modellen indeholder flere parametre som man kan manipulere med indtil modellen giver resultater der passer med analyse af det lys som vi modtager fra systemet

Hidtil har vi set paring stjernens refleksbane ndash tegningen viser planetens bane Man kan vise at planetbanens ellipseform er den samme som stjernens ellipseform Ellipseformen anfoslashres ved tallet

e=radic1minusb2

a2 hvor b er banens lilleakse og a er banens storakse Parameteren e har navnet

eccentriciteten

Astronomer har paring baggrund af tegningen ovenfor udledt en formel til at bestemme planetmassen og den formel er

v (t )=v0 z+2sdotπsdotasdotmsdotsin (i)

(m+M )sdotTsdotradic1minuse2sdot[cos (θ( t)+ω0C)+esdotcos (ω0C)]

Ovenfor er stjernens radialhastighed v a er planetens halve storakse T er planetens omloslashbstid m er planetens masse og de andre stoslashrrelser er defineret i teksten til figur 9 Den lidt indviklede formel er delt ind i flere dele v0 z er stjernens almindelige hastighed vaeligk fraimod Jorden (Fordi baringde Jord Sol og stjerne bevaeligger sig) Det naeligste led er den del af stjernens hastighed der skyldes planetens traeligkken i den Vi ser at det er en harmonisk svingning og den bestaringr af parametrene a m T e ω0C sin(i) og M M kan astrofysikere levere resten skal vi finde ud fra en serie (t v(t))-maringlinger

Den sande anomali θ(t) er svaeligr at finde direkte men man kan beregne den saringkaldte middelanomali ved at kende perioden og eccentriciteten af banen Derefter kan den sande anomali beregnes Det

Figur 9 Planeten viser en ellipsebane z-aksen er langs synslinien x-aksen ligger vinkelret paring z-aksen og den ligger i himmelens plan Den er defineret som skaeligringslinien mellem himmelen og planetbanen ϑ er planetens sande anomali dvs den vinkel der maringles fra x-aksen og til planetens position ω0C angiver vinklen mellem x-aksen og planetens naeligrmeste afstand til sin stjerne Det punkt kaldes pericenteret

naeligste problem opstaringr naringr man skal tilpasse formlen til maringledataene ndash der er mange parametre og saring viser et kompliceret problem sig nemlig at der kan vaeligre mere end en loslashsning paring tilpasningen Det er jo problematisk da man dermed ikke ved hvilken loslashsning der er den korrekte

Det vi kan goslashre er at aflaeligse amplituden og perioden paring vores graf ndash men de oplysninger der er gemt i selve formen af grafen kraeligver en noslashjere analyse Formen af grafen giver eccentriciteteten e og den er altsaring umulig at udregne analytisk Derfor maring vi faring den oplyst af andre eller foretage en numerisk analyse ved hjaeliglp af programmer som er skrevet af andre

Numerisk analyse af radialhastighedskurver

Sreekumar Thaithara Balan amp Ofer Lahav har skrevet et computerprogram Exofit der kan anvendes til at analysere komplicerede radialhastighedskurver Man kan downloade programmet paring linket i kilde [9] Programmet er skrevet i et saringkaldt kildetekstformat dvs det er skrevet i C++ og det skal oversaeligttes til et computersprog ens computer kan forstaring Har man en linux-maskine boslashr programmet kunne installeres paring saeligdvanlig vis Har man en PC kan man installere linux-systemet Cygwin paring sin pc Indefra Cygwin kan man oversaeligtte programmet til et almindeligt Microsoft-program der kan koslashres fra en kommandoprompt Cygwin kan downloades via linket i kilde [10]

Paring websiden httpastro-gymdk findes et arkiv rdquoExoplaneterziprdquo hvor en version at programmet til Windows 7 kan findes Den kan man anvende hvis Cygwin virker for uoverskueligt

Koslashrsel af programmet Exofit for PC-brugereMan skal lave en mappe paring sin PC hvor exofitexe skal ligge I det foslashlgende antages at denne mappe er doslashbt radialhastighed Ligeledes skal systemet vide hvor filen cygblas-0dll er anbragt (Kopier den feks fra Exoplaneterzip-arkivet ind i din system32-mappe)

I mappen radialhastighed skal exofitexe naturligvis ligge men derudover skal man ogsaring laeliggge en

Figur 10 Et radialhastighedskurve for stjernen HD65216 Bemaeligrk at formen af kurven ikke laeligngere er en paelign sinuskurve men den er dog periodisk Analysen af grafen giver P=613 dage e=041 a=137AU msin(i)=121MJupiter Stjernen vejer 092 solmasser og det er en G5V-stjerne hvilket svarer til en effektiv temperatur paring 5666K Kilde Mayor et al [6]

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

tekst-fil med radialhastighedsdataene Disse data skal vaeligre punktumseparerede Normalt bruger man i Danmark jo komma til at separere decimaler men programmet kraeligver den engelske konvention Hvis man har en hastighed paring f eks 7604 ms skal der altsaring staring 7604 i filen Formen paring filen skal vaeligre en soslashjle med observationsdagen og enheden skal vaeligre i dage en soslashjle med hastighederne hvor enheden skal vaeligre ms og endelig en soslashjle med usikkerheden paring hastighederne som ligeledes skal vaeligre i enheden ms

Det er ogsaring en god ide at have R-filen orbit_plotR i samme mappe saring alt er samlet naringr man skal lave statistik paring parametrene

I mappen kan man ogsaring laeliggge filen statedat I den kan man variere de intervaller som programmet leder efter parametre i Se mere i dokumentationen til Exofit [9]

Man koslashrer programmet ved at aringbne en kommandoprompt (skriv cmd og tryk paring ENTER) bevaeligge sig hen til mappen med program+data (For eksempel kan man skrive cd cradialhastighed hvis det er der man har oprettet mappen) Endelig skriver man exofit DATAFIL hvor DATAFIL skal vaeligre navnet paring den tekstfil hvori radialhastighederne er anfoslashrt Dernaeligst ventes et stykke tid Paring en 226GHz Core2-processor tager en koslashrsel typisk ca 30 minutter saringfremt man koslashrer med 50 cpu-reservation til processen (Ved kun at koslashre med 50 belastning kan maskinen ogsaring bruges til andre formaringl mens der regnes)

Naringr exofit er faeligrdig med at soslashge efter parametre skal kvaliteten af de fundne vaeligrdier undersoslashges Til dette har forfatterne skrevet et script der hedder orbit_plotR Dette script virker kun i det statistikprogram der hedder R Programmet er gratis og det kan downloades via linket i kilde [11] Programmet findes til baringde Linux Windows og Mac Anvendelsen af programmet kan du laeligse mere om i kilde [9]

Transitmetoden

Ved at maringle luminositeten af en stjerne som funktion af tiden kan man finde ud af om der kredser en planet rundt om den ndash saringfremt planeten skygger for stjernens lys naringr den kredser om stjernen Man kan ogsaring anvende kurven til at bestemme planetbanens inklination samt dens radius Lyskurver er altsaring meget nyttige kilder til at faring information om exoplaneter

Man skal normalt tage hoslashjde for atmosfaeligrens spredningaborption af lys og det goslashr vi ved at sammenligne stjernens luminositet med flere referencestjerner ndash det viser sig nemlig at man med god tilnaeligrmelse kan antage at den relative aeligndring i det modtagne lys fra en stjerne er ens for forskellige stjerner

En lyskurve er altsaring en (t δm)-graf hvor δm=minstrument-mreference Et eksempel paring en saringdan kurve er vist paring figur 11

Planetens radius i forhold til stjernens radiusNaringr stjernens lys ikke delvist spaeligrres af planeten udsendes fluxen F I transitten altsaring naringr planeten daeligkker for lidt af stjernens lys udsendes fluxen Ft Vi maringler jo stoslashrrelser der er proportionale med baringde F og Ft saring de er kendte Herunder sammenkaeligdes de to maringlte stoslashrrelser med planetens- og stjernens radius

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

( AstjerneminusAPlanet)sdotIAstjernesdotI

=1minusAstjerneminusAPlanet

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

I betegner den effektareal som udstraringles fra stjernens overflade og A er overfladearealet af hhv stjernen og planeten (Altsaring den skive af stjernenplaneten som vender mod os)

Udtrykt i instrumentstoslashrrelsesklasser mi farings

m stjerne=minus25sdotlog( f stjerne)andmref =minus25sdotlog( f ref )and f i=F isdotαhArr

δmstjerne=mstjerneminusmref =minus25sdotlog( f stjerne)minus(minus25sdotlog( f ref ))=minus25sdotlog(f stjerne

δmstjerne=minus25sdotlog(F stjernesdotα

F refsdotα)=minus25sdotlog (

F stjerne

Ovenfor angiver α den broslashkdel af stjernens sande flux som opfanges af observatoriet Eftersom referencestjernen og stjernen med planeten er optaget paring noslashjagtigt samme tidspunkt maring broslashkdelen vaeligre ens for de to stjerner

Tilsvarende udtryk kan skrives op naringr man paring et andet tidspunkt observerer stjernen naringr planeten er i transit Her vil atmosfaeligren pga det skiftende vejr mv tillade en anden broslashkdel β af lyset at passere men det vil stadigvaeligk vaeligre ens for de to stjerner Dvs

Figur 11 Eksempel paring lyskurve Bemaeligrk at stoslashrrelsesklasserne stiger for faldende lysstyrke Δm er dybden af lyskurven og den er altsaring positiv Kilde brucegarynet

δmtransit=minus25sdotlog(F transitsdotβ

F refsdotβ)=minus25sdotlog(

F transit

)andδm stjerne=minus25sdotlog(F stjernesdotα

F refsdotα)=minus25sdotlog(

F stjerne

Δ m=δmtransitminusδm stjerne=minus25sdot(log(F transit

)minuslog(F stjerne

))=minus25sdotlog(F transit F ref

F stjerne F ref

Δ m=δmtransitminusδm stjerne=minus25sdotlog(F transit

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=radic1minus10minusΔm25

Man kan altsaring sammenfatte ovenstaringende som foslashlger Man maringler den maksimale dybde af lyskurven talvaeligrdien er positiv Derefter indsaeligttes i formlen ovenfor og hvis man kender stjernens radius ndash den kan astrofysikere normalt levere har man altsaring fundet radius af planeten og det selvom planeten er usynligt for os

Planetbanens inklinationEn planetbane haeliglder oftest i forhold til himmelbaggrunden Vinklen mellem himmelbaggrunden og planetens bane kaldes som naeligvnt i afsnittet om radialhastighedsmetoden for inklinationen i Det er ganske vigtigt at finde inklinationen da man ellers ikke kan bestemme planetens masse

Eftersom planetradius og -masse er fundamentale egenskaber ved en planet vil vi opstille en model for banen og kaeligde modellen sammen med observationsdata

Betragt figur 12 Den orangefarvede planet kredser i en ellipsebane om sin stjerne og banens halve storakse er betegnet med bogstavet a Planeten bevaeligger sig altsaring ind og ud af papirets plan Hvis inklinationen i er 90ordm vil planeten bevaeligge sig paring en ellipse hvor a er sammenfaldende med synsretningen for observatoslashren Naringr i er forskellig fra 90ordm vil synslinien vaeligre sammenfaldende med en linie der ikke skaeligrer i stjernens centrum Afstanden fra centrum er paring tegningen kaldet for b og b kaldes stoslashd-parameteren

Figur 12 Planeten Jorden og stjernen staringr i konjunktion - dvs paring en lige linie Planetens baneradius er angivet ved a Bemaeligrk at b=acos(i)

Figur 13 Samme som ved figur 12 - men nu set fra observoslashrstedet

Modellen paring figur 12 ser anderledes ud fra observatoslashren Dette er forsoslashgt vist paring figur 13

Af figur 13 kan man se at det for observatoslashren ser ud som om at planeten i transittiden bevaeligger sig 2middotl henover skiven Denne transittid kan vi i oslashvrigt maringle paring lyskurven som tidsrummet fra starten af dykket til slutningen af dykket Af tegningen kan vi beregne l ved hjaeliglp af Pythagoras saeligtning Vi faringr

b=asdotcos (i)andb2+ l2

=(R s+R p)2hArr

radic(R s+Rp)2minus(asdotcos (i))2

Betragt figur 14 Figuren viser igen planetbanen om stjernen men nu er den forsoslashgt perspektivisk

tegnet Man ser at foslashlgende relation maring gaeliglde α2sdotπ

hvor T er transittiden P er planetens

omloslashbstid og α broslashkdelen af den vinkel som planeten krydser af sin tilsyneladende bane henover stjernen Der er antaget jaeligvn cirkelbevaeliggelse Der er fundet adskillige exoplaneter som slet ikke bevaeligger sig i cirkelbaner Hvis man ved hjaeliglp af radialhastighedsmetoden kan finde baneparametrene for planetbanen kan man anvende Keplers 2 lov til at justere i formlen ovenfor Det udsaeligtter vi dog til en anden gang Betragt atter figur 14 Her ser man at

sin(α2

=radic(R stjerne+R planet)

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

)=radic(Rstjerne+Rplanet )

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

)=(R stjerne+R planet)

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 hArrsin2(πsdotTP

)=( Rstjerne+ Rplanet )

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

( Rstjerne+ Rplanet)2

a2minussin2

(πsdotTP

i=arccos(plusmnradic(Rstjerne+Rplanet )2

a2 minussin2(πsdotTP

Figur 14 α er den vinkel som planeten bevaeligger sig i transittiden Planeten bevaeligger sig fra A til B og observatoslashren ser den projicerede bevaeliggelse markeret som 2middotl Kilde paulanthonywilsoncom og Transiting Exoplanets af Carole A Haswell [4]

Vi kan maringle transittiden T som den stoslashrste bredde af lysdaeligmpningen paring lyskurven og ved at maringle tidsrummet fra en transit til den naeligste kan vi finde planetens omloslashbstid P

Ved kendskab til den observerede stjernes masse M kan vi bestemme planetbanens halve storakse

a ved at indsaeligtte i Keplers 3 lov Keplers 3 lov siger at a=3radicGsdotMsdotP2

4sdotπ2 G=667sdot10minus11 Nsdotm2

Dermed kan man altsaring bestemme inklinationen i

Exoplaneters atmosfaeligrerDet lyder umiddelbart overmodigt at udtale sig om exoplaneters atmosfaeligrer naringr man for langt de flestes tilfaeliglde ikke engang kan se planeten men atter kan man ved snilde og omhyggelighed alligevel faring information om deres atmosfaeligrer Vi vil starte ud med at regne lidt paring planeternes temperaturer

Temperaturen af en exoplanet

Stefan-Boltzmanns lov lyder som foslashlger rdquoFluxen fra et absolut sort legeme med temperaturen T er

proportional med temperaturen i 4 potensrdquo I formelsprog F=σsdotT eff4 σ=567sdot10minus8 W

m2sdotK 4

Fluxen er den udsendte effekt pr areal

For eksempel kan vi regne Solens effekt ud hvis vi kender Solens samlede overfladeareal A Den samlede effekt maring vaeligre P=AsdotF Overfladearealet af Solen er A=4sdotπsdotR2 Dvs Solens samlede effekt er L=4sdotπsdot(696sdot108 m)

2sdotσsdot(5800K)

4=3846sdot1026W Tilsvarende kan man regne den

modtagne effekt pr areal ud ved en planet saringfremt man kender afstanden mellem planeten og stjernen

Hvis vi kan regne ud hvor meget energi en planet modtager fra sin stjerne saring har vi ogsaring mulighed for at bestemme planetens temperatur saringfremt vi ved hvor meget lys planeten reflekterer og om planeten har en atmosfaeligre eller ej Betragt figur 15 En planets oslashvre atmosfaeligre modtager effekten

P=a planetsdotFandF=L4sdotπsdotd 2 hArr P=

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

Ovenfor angiver a planetens tvaeligrsnitsareal En vis broslashkdel A af effekten fra stjernen reflekteres ndash A kaldes for albedoen ndash og derfor absorberes der broslashkdelen (1-A) Alt i alt modtager planeten altsaring effekten

Planeter og stjernes navne

Stjerner har mange forskellige slags navne ndash nogle minder om menneskenavne og andre navne angiver en placering i et stjernekatalog Planeters navne er altid opkaldt efter stjerners navne ndash med et bogstav tilfoslashjet For eksempel har stjernen Qatar-1 en planet og planetens navn er dermed Qatar-1b Den foslashrst opdagede planet faringr altid bogstavet b tilfoslashjet stjernens navn Opdages andre planeter faringr de tilfoslashjet bogstaverne c d osv

Figur 15 En planet modtager fluxen F fra sin stjerne

P=(1minusA)sdotπsdotRplanet

2sdotL

4sdotπsdotd 2

Naringr planeten modtager lys fra stjernen opvarmes den og dermed udstraringler den ogsaring varme til omgivelserne Paring et tidspunkt opnarings der ligevaeliggt saring den indkommende effekt og den udstraringlede effekt bliver ens Dette er naturligvis et ideelt eksempel for vi ved jo fra Jorden at temperaturen et givet sted varierer ganske meget paring et doslashgn samt i loslashbet af aringrstiderne Men midlet ud over et aringr har Jorden en bestemt middeludstraringling og middeltemperatur Hvis en planets atmosfaeligre er betragteligt tykkere end Jordens atmosfaeligre vil variationerne i temperaturen vaeligre mindre ndash tilsvarende vil en planet uden atmosfaeligre have voldsomme temperaturaeligndringer

Lad os antage at exoplaneten har en atmosfaeligre som fordeler varmen ud over hele overfladen Dermed vil den udsende varmestraringling fra hele sin overflade dvs a=4sdotπsdotRPlanet

2 Altsaring vil

planeten udsende effekten P=asdotσsdotT planet4 Saeligttes de to udtryk for effekten sammen farings

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

=(1minusA)sdotπsdotR planet

2sdotL

4sdotπsdotd 2 hArrT Planet=12sdot[(1minusA)sdotL

σsdotπsdotd 2 ](14

Vi har altsaring nu et udtryk for planetens middeltemperatur saringfremt vi kender albedoen afstanden til planeten d og saringfremt atmosfaeligren er saring tyk at varmen fra stjernen fordeles over hele planeten L kender vi da astrofysikere har bestemt den for os

For at kunne sige noget om en planets atmosfaeligre maring vi foslashrst vaeligre i stand til at undersoslashge om der er overhovedet eacuter en atmosfaeligre Vi saring paring figur 13 hvordan en exoplanet spaeligrrer for lidt af stjernens lys naringr den bevaeligger sig ind over stjernens skive Paring figuren ser det ud som om planeten har en skarp kant Men hvis planeten har en atmosfaeligre er kanten diffus Ydermere absorberer gasser lys forskelligt afhaeligngigt at det lys der gennemstroslashmmer atmosfaeligren For eksempel ved vi fra Jorden at blaringt lys spredes mere end de oslashvrige farver i atmosfaeligren og derfor ser vores himmel blaring ud Paring Mars er det den roslashde farve der spredes mest saring der ser himmelen roslashd ud

Ligeledes er der bestemte boslashlgelaeligngder i lyset der kan anslaring atomer i atmosfaeligren og disse bestemte farver vil altsaring til en stoslashrre grad blive absorberet i planetatmosfaeligren end andre farver Maeligngden af den absoberede lys for bestemte boslashlgelaeligngder er uhyre lille Faktisk er den for en bestemt orangeagtig5 farve ca 002 af den oprindelige lysdaeligmpning (Se eksemplet i figur 11) Alligevel kan man med satellitmaringlinger detektere denne lille aeligndring

I praksis goslashr man altsaring som foslashlger Foslashrst maringles en lyskurve som omtalt paring pp 2-4 Derefter gentages proceduren men hvor man har sat et filter foran detektoren saring den kun tillader lys med en bestemt boslashlgelaeligngde at passere Saring sammenligner man de to lyskurver og hvis de ikke har samme dybde saring kan der vaeligre fundet en atmosfaeligre Hvis man har mistanke om at der er en atmosfaeligre kan man gentage oslashvelsen med andre filtre som undersoslashger for andre grundstoffer Det vil jo vaeligre oplagt at undersoslashge for brint da det er det mest almindelige grundstof i Universet

Naringr man saring har fundet planetens radius for det samlede lys og bagefter fundet radius for filteret kan forskellen mellem de to resultater angives som planetens atmosfaeligretykkelse (Husk at dybden af kurven giver mulighed for at beregne planetens radius (Se formel side 12 oslashverst))

Ved at maringle med mange filtre faringr man altsaring ogsaring en indikation af hvilke grundstoffer atmosfaeligren

5 Farven er den samme som man ser i orange natrium-gadelamper Boslashlgelaeligngderne er 588995nm og 589592nm

bestaringr af og saring kan man ad den vej anslaring planetens albedo A

Flydende vand

Et fundamentalt sposlashrgsmaringl om exoplaneter er om de indeholder ilt i deres atmosfaeligrer og om der er flydende vand Vi vil undersoslashge dette sposlashrgsmaringl nedenfor

Vi forestiller os at vi ved hjaeliglp af radialhastigheds- og transitmetoderne har bestemt planetens masse radius afstand fra stjernen at der er en atmosfaeligre og albedoen er A Stjernens effekt er ogsaring antaget kendt

Sposlashrgsmaringlet er saring om vi kan forvente mulighed for flydende vand paring planeten

Vi har allerede udledt et udtryk for planetens gennemsnitstemperatur T Planet=12sdot[

(1minusA)sdotLσsdotπsdotd 2 ]

Vaeligrdier for Jorden er A=037 L=3846sdot1026 W d=1496sdot1011 m Det giver en middel-temperatur paring 248K=-25ordmC Jordens atmosfaeligre virker som en dyne og det loslashfter middeltemperaturen op paring +15ordmC Dette kan naturligvis ogsaring ske for andre planeter saring det skal vi huske paring naringr vi fortolker resultaterne

OslashvelseFor planeten Qatar-1b er der detekteret en atmosfaeligre Opdagerne har antaget at A=0 Stjernens temperatur T=4900K og dens radius R=573sdot108 m Afstanden til planeten er 002342AU Det giver at stjernens absolutte luminositet er

L=135sdot1026W (Se kilde [7] eller Alsubai et al [5])

bull Vis paring den baggrund at Qatar-1bs temperatur er 1400Kbull Antag at albedoen svarer til Jupiters dvs A=052 Beregn TPlanetbull Kan denne planet indeholde flydende vand (Begrund dit svar)bull Hvis du har loslashst transitopgaven samt opgaven om massebestemmelse kan du nu beregne tyngdeaccelerationen

paring planetens overflade Brug formlen g=GsdotMR2

En kompliceret atmosfaeligremodel

Ovenfor saring vi at formlen for temperaturen af Jorden ikke er saeligrlig god og det skyldes naturligvis at vi ikke har taget hoslashjde for drivhuseffekten fra atmosfaeligren Nedenfor vil vi anvende en model som er udviklet af Kiehl amp Trenberth (1997) Modellen er ganske simpel men den forudsiger Jordens overfladetemperatur ganske godt og selvom den er simpel er matematikken vist rigelig kompliceret for de fleste

Modellen er tilpasset drivhuseffekten paring Jorden og vi vil i en opgave forsoslashge at generalisere til andre atmosfaeligrer Betragt figur 16

Til venstre i figuren kan man se at 342Wm2 indstraringles fra Solen Dette kan man forstaring ved at

udenfor Jordens atmosfaeligre findes en intensitet fra Solen paring I 0=L

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

daeligkker en skive med arealet A skive=πsdotR2 Da Jorden har en atmosfaeligre fordeles varmen over hele

planetens overflade og dette areal er paring Aoverflade=4sdotπsdotR2 Altsaring modtager hver kvadratmeter paring

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

Oslashvelse Find Solens data samt afstand til Jorden i en tabel og kontroller tallet ovenfor

Man ser ogsaring til venstre i figuren at noget straringling reflekteres af Jorden eller Jordens atmosfaeligre Den broslashkdel der reflekteres kaldes for Bond-Albedoen ndash eller bare albedoen Man ser at 107Wm2

reflekteres ud af 342Wm2 Dermed maring albedoen vaeligre A=107342=0313

I midten af figuren kan man se at 67Wm2 absorberes af atmosfaeligren dvs 235Wm2 ud af de 342Wm2 absoberes af planetenatmosfaeligren I midten og til hoslashjre kan man se at Jordoverfladen baringde udstraringler energi i form af varmestraringling men at overfladen ogsaring afleverer energi til atmosfaeligren i form af opvarmet vand og via konvektion Dvs Jordoverfladen udstraringler 350Wm2 til atmosfaeligren og 40Wm2 direkte til verdensrummet De resterende 102Wm2 afleveres altsaring ikke via straringling

Til hoslashjre ser man at Jorden modtager 324Wm2 fra atmosfaeligren mens atmosfaeligren udstraringler165Wm2 til verdensrummet

Alt i alt indstraringles altsaring netto 235Wm2 og der udstraringles lige saring meget Atmosfaeligren soslashrger dog for at Jordens straringlingsligevaeliggt findes ved en hoslashjere temperatur end uden atmosfaeligren

Figur 16 Kilde Kiehl and Trenberth (1997) [8]

Da Jordoverfladen i form af varmestraringling udstraringler I =390W

m2=σsdotT 4

hArrT =288K=15oC Hvis

vi ikke havde taget hoslashjde for atmosfaeligrens betydning udover at varmen transporteres rundt paring hele kloden ville temperaturen have endt paring -25ordmC hvilket jo er ubehageligt lidt for et menneske

I figur 16 er der allerede indsat talvaeligrdier der passer til Jorden ndash men de passer naeligppe til andre planeters atmosfaeligrer Derfor vil vi generalisere figuren saring tallene erstattes af nogle parametre som vi selv kan justere Betragt figur 17

Figur 17 Atmosfaeligremodellen med variable stoslashrrelser indsat

Fortolkning af parametreneα Broslashkdelen af den indstraringlede intensitet som rammer Jordoverfladenβ Broslashkdelen af overfladens udstraringlede intensitetγ Broslashkdelen af atmosfaeligrens udstraringlede intensitet der rammer jordoverfladenδ Broslashkdelen af den totale afleverede intensitet fra Jordoverfladen som afleveres i form af konvektion og opvarmning af vandIeff Den del af Solens indstraringlede intensitet som absorberes af planetenatmosfaeligrenIbrutto Al den intensitet som Jordoverfladen afleverer i form af varmestraringling konvektion og vandopvarmningIatm Al den intensitet som atmosfaeligren afleverer (Men det reflekterede sollys er ikke med)

Stefan-Boltzmanns lov siger at et absolut sort legeme i ligevaeliggt udsender straringling ifoslashlge formlenI =σsdotT 4 Jorden er ikke et absolut sort legeme ndash albedoen er jo forskellig fra 0 men for

enkelthedens skyld regner vi med at den er det

Vi kan nu opstille nogle formler for temperaturerne af atmosfaeligren og jordoverfladen

AtmosfaeligrenAtmosfaeligren modtager i alt intensiteten I atm=(1minusα)sdotI eff +δsdotI brutto+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotI brutto Desuden kan vi for ligevaeliggt indse at I brutto=αsdotI eff +γsdotI atm Dermed kan vi bortsubstituere Ibrutto Vi faringr foslashlgende

I atm=(1minusα)sdotI eff +δsdot(αsdotI eff +γsdotI atm)+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdot(αsdotI eff +γsdotI atm)hArr

I atm=(1minusα)sdotI eff +δsdotαsdotI eff +δsdotγsdotI atm+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotαsdotI eff +(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI atmhArr

I atmminusδsdotγsdotI atmminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI atm=(1minusα)sdotI eff +δsdotαsdotI eff +(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotαsdotI eff lArr

[1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγ]sdotI atm=[(1minusα)+δsdotα+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotα]sdotI eff hArr

I atm=(1minusα)+δsdotα+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotα

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI eff rArr

σsdotT atm nedre4

=γsdotI atmrArrT atm nedre=σminus14 sdot(

(1minusα)+δsdotα+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotα

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI effsdotγ)

σsdotT atm oslashvre4

=(1minusγ)sdotI atmrArrT atm oslashvre=σminus14 sdot(

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI effsdot(1minusγ))

JordoverfladenI overflade= I bruttominusδsdotI brutto=(1minusδ)sdotI bruttoand I brutto=αsdotI eff +γsdotI atmhArr

I overflade=(1minusδ)sdot(αsdotI eff +γsdotI atm)=(1minusδ)sdotαsdotI eff +(1minusδ)sdotγsdotI atmhArr

I overflade=(1minusδ)sdotαsdotI eff +(1minusδ)sdotγsdot((1minusα)+δsdotα+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotα

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγsdotI eff )hArr

I overflade=[α+γsdot((1minusα)+δsdotα+(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotα

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγ)]sdot(1minusδ)sdotI eff =σsdotT overflade

T overflade=σminus14 sdot[α+γsdot(

1minusδsdotγminus(1minusβ)sdot(1minusδ)sdotγ)]

14sdot[(1minusδ)sdotI eff ]

Oslashvelse Proslashv at kontrollere beregningerne ovenfor

Modellen ovenfor er ikke voldsomt indviklet og det er da ogsaring muligt at opstille udtryk for de 3 temperaturer men laeligseren vil nok medgive at kompleksiteten i beregningerne er saring stor at det sandsynligvis bliver ganske indviklet at lave en mere avanceret model Derfor noslashjes vi med denne model

Modellen bruges i opgaven Atmosfaeligremodel som er bagest i haeligftet

Figur 18 Stoslashrrelsen af fremtidens JWST Kilde wwwjwspnasagov

Fremtidens missionerNaringr man soslashger efter exoplaneter har jordbaserede observationer vist sig at vaeligre udmaeligrkede til at fremstille transitkurver Dog kraeligver atmosfaeligredetektion adgang til rumteleskoper Her har Hubble teleskopet samt Spizter teleskopet vaeligret af uvurderlig hjaeliglp Lige nu er Keplersatelitten i gang med at indsamle data for over 170000 stjerner og foreloslashbig har satelitten vaeligre en fremragende succes

Jordbaserede teleskoper til radialhastighedsmaringlinger har hidtil givet os gode data men Jordens atmosfaeligre er en evig kilde til usikkerheder paring maringlingerne ndash det er heller ikke muligt kontinuerligt at maringle paring stjernerne da det jo bliver dag paring Jorden De bedste kikkerter er anbragt hos ESO i Chile

Lige nu arbejder NASA med James Webb Space Telecope som bliver et stort teleskop med en spejldiameter paring 65m Dermed er diameteren 3 gange saring stor som det succesrige Hubbleteleskop Teleskopet bliver mest foslashlsomt i det infraroslashde omraringde saring det netop bliver i stand til se de kolde legemer i rummet ndash som feks exoplaneter Opsendelsen af dette teleskop er planlagt til 2018 Du kan laeligse mere om JWSP her httpwwwjwstnasagov

JWSP vil kunne detektere planeter ved direkte fotografi og den vil kunne maringle spektre for exoplaneter Dermed vil man kunne sammenligne planeternes atmosfaeligrer med Jordens atmosfaeligre som er unik i og med at vi har meget O2 og O3 i atmosfaeligren Disse molekyler er markoslashrer for den version af livet som findes paring Jorden ndash hvis vi finder disse molekyler i en fremmed klodes atmosfaeligre er det en indikation af liv som paring Jorden

Indenfor de naeligste 10-20 aringr kan vi maringske faring besvaret det store sposlashrgsmaringl rdquoEr der nogen deruderdquo

Radialhastighedskurve Exoplanet Qatar-1bDin laeligrer giver dig et regneark med en serie (t v(t))-vaeligrdier

a) Du skal lave en formel der folder punkterne om en periode som du skal gaeligtte Dvs det er fasen der skal afbildes paring x-aksen Eccentriciteten saeligttes til e=003

b) Naringr du er tilfreds med din tilpasning skal du aflaeligse amplituden af signaletc) Beregn nu mmiddotsin(i)d) Sammenlign dine resultater med forskeres resultater (Se talvaeligrdier i kilde 6)

Transitkurve Planeten Qatar-1bVed at anvende 33 billeder som er optaget af stjernen Qatar-1 skal vi konstruere en lyskurve for stjernen som ligger i stjernebilledet Dragen (Draco) Koordinaterne for stjernen er (α δ) = (20h 13m

32s +65ordm 09 43rdquo) Billederne er optaget af Andreacute van der Hoeven6 fra Emmaus College i Holland Den observerede exoplanet hedder Qatar-1b7 Ud fra lyskurven og kendskab til stjernens masse og radius skal exoplanetens radius og baneinklination bestemmes

Billederne er optaget den 3110-2011 kl 214301 UT og fremefter For foslashrste billede er midtpunktet af de 5 eksponeringer 214508 Koordinater for observationssted (l b) = (4ordm 38 5101 E 51ordm 50 4064 N)

For at maringle instrumentstoslashrrelsesklasserne skal man goslashre som foslashlger1 Indlaeligs billederne i SalsaJ Aladin (eller tilsvarende program) og identificer mindst eacuten men

gerne nogle flere referencestjerner og maringl deres flux F samt baggrund (Se hjaeliglp nedenfor)2 Identificer stjernen Qatar-1 og maringl dens flux F samt baggrund Soslashrg for at du faringr hele

fluxen med3 Noter rdquoMidpointrdquo i FITS-headeren saring observationstidspunktet kendes4 Noter tallene i det udleverede regneark5 Gentag for alle billederne (I kan f eks udmaringle 1 billede hver og derefter dele jeres

resultater)

Hjaeliglp til identifikationen af stjernen

6 Oemstraat 5 3341GH HI-Ambacht NL7 Her er Andreacutes datafremlaeligggelse httpvar2astroczENtrescatransit-detailphpid=1320186591

For at identificere stjernerne skal man generelt bruge koordinaterne for stjernen De er oplyst ovenfor Dernaeligst skal man indlaeligse et stjernekort over omraringdet og sammenligne stjernekortet med det optagne billede Det goslashres ved at aringbne f eks Aladin og indtaste Qatar-1bs koordinater Du kan ogsaring bare noslashjes med at bruge figur 16 til identifikationen

DatabehandlingBeregn nu instrumentstoslashrrelsesklasserne ved hjaeliglp af formlen mins=minus25sdotlog( FminusFbaggrund ) (I SalsaJ eacuter baggrunden fratrukket) Tegn en (t δm)-kurve Bestem transittiden T saring godt du kan Bestem den totale aeligndring i stoslashrrelsesklasse for stjernen

Det er fra tidligere studier fundet at planeten har en omloslashbstid P = 142 dage og stjernen har en masse paring M = 085M samt en radius paring R = 0823R

Beregn planetens halve storakse a Beregn planetens radius RP og beregn endelig inklinationsvinklen i

Hvis du har lavet opgaven med Qatar-1bs radialhastighedskurve kan du nu bestemme planetens masse

Beregn gennemsnitsmassefylden af Qatar-1b Hvad slags planet er der tale om

AtmosfaeligremodelKlassen inddeles i ca 10 grupper Alle loslashser sposlashrgsmaringl a og b og hver gruppe vaeliglger eacutet af de efterfoslashlgende sposlashrgsmaringl

Figur 19 Qatar 1b er markeret med bogstavet Q

a) Benyt tallene i figur 16 Solens absolutte luminositet (effekt) samt afstanden mellem Jorden og Solen til at finde vaeligrdien af parametrene A Ibrutto α β γ og δ

b) Beregn temperaturerne af Jordoverfladen samt nedre- og oslashvre atmosfaeligrec) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5

parametreVarier α i dens gyldige interval og tegn 3 grafer over temperaturerne i samme koordinatsystem

d) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametreVarier β i dens gyldige interval og tegn 3 grafer over temperaturerne i samme koordinatsystem

e) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametreVarier γ i dens gyldige interval og tegn 3 grafer over temperaturerne i samme koordinatsystem

f) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametreVarier δ i dens gyldige interval og tegn 3 grafer over temperaturerne i samme koordinatsystem

g) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Varier A i dens gyldige interval og tegn 3 grafer over temperaturerne i samme koordinatsystem

h) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Varier d og giv en vurdering af det interval der giver basis for flydende vand paring Jorden (Dette interval kaldes den beboelige zone)

i) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Varier luminositeten L og giv en vurdering af det interval der giver basis for flydende vand paring Jorden

j) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Saeligt d til afstanden 0723AU (Venus afstand til Solen) og juster parametrene saring du finder en konfiguration der kan give flydende vand paring Jorden

k) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Saeligt d til afstanden 1524AU (Mars afstand til Solen) og juster parametrene saring du finder en konfiguration der kan give flydende vand paring Jorden

l) Konstruer et regneark hvor temperaturformlerne er angivet som funktion af de 5 parametre Saeligt d til afstanden 5203AU (Jupiters afstand til Solen) og juster parametrene saring du finder en konfiguration der kan give flydende vand paring Jorden

Programmer litteratur og data1 Aladin httpaladinu-strasbgfr2 SalsaJ httpwwweuhounet3 Spitzerdata httpwwweuhounet4 Carole A Haswell rdquoTransiting Exoplanetsrdquo Cambridge University Press 20105 Preprint Monthly Notices of The Royal Astronomical Society 000 1-8 rdquoQatar-1b a hot

Jupiter orbiting a metal-rich K dwarf starrdquo af K Alsubai et al6 Astronomy and Astrophysics v 415 p391-402 (2004) rdquoThe CORALIE survey for

southern extra-solar planets XII Orbital solutions for 16 extra-solar planets discovered with CORALIErdquo Af M Mayor et al

7 httpstar-wwwst-andacuk~kdh1qatar1html 8 J T Kiehl amp K E Trenberth rdquoEarths Annual Mean Global Energy Budgetrdquo National

Center of Atmospheric Research Boulder 1997 httpwwwcgducareducasTrenberthtrenberthpapersKiehlTrenbBAMS97pdf

9 Sreekumar Thaithara Balan amp Ofer Lahav httpzuserver2staruclacuk~lahavexofithtml10 Cygwin-projektet httpwwwcygwincom 11 R-programmet httpwwwr-projectorg

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden

Exoplaneters atmosfaeligrer


Flydende vand


Fremtidens missioner

Radialhastighedskurve Exoplanet Qatar-1b

Transitkurve Planeten Qatar-1b

Atmosfaeligremodel

-o-

Programmer litteratur og data

Indholdsfortegnelse

1 Introduktion 22 Detektion af lys 2

Fotometri 3Spektre 4

3 Planetbevaeliggelsesmodeller 5Radialhastighedsmetoden 5

Cirkulaeligr bane 5Ellipsebane 8

Numerisk analyse af radialhastighedsdata 10Koslashrsel af programmet Exofit for PC-brugere 10

Transitmetoden 11Planetens radius i forhold til stjernens radius 12Bestemmelse af inklination 13

4 Exoplaneters atmosfaeligrer 15Temperaturen af en exoplanet 15Flydende vand 17En kompliceret atmosfaeligremodel 17

Atmosfaeligren 20Jordoverfladen 20

5 Fremtidens Missioner 216 Opgave Radialhastighedskurven for HD121504b 227 Projekt Transitkurve samt analyse af Qatar-1b 228 Opgave Temperaturen af en planet 239 Programmer litteratur og data 25

Fotometri

4sdotπsdotd 2

A=4sdotπsdotd 2

Spektre

sin(ϕ)=nsdotλd

=777 kms

vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Fotometri

4sdotπsdotd 2

A=4sdotπsdotd 2

Spektre

sin(ϕ)=nsdotλd

=777 kms

vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Fotometri

4sdotπsdotd 2

A=4sdotπsdotd 2

Spektre

sin(ϕ)=nsdotλd

=777 kms

vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Spektre

sin(ϕ)=nsdotλd

=777 kms

vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


=777 kms

vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


vradmax

sin(i)

vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


vrotstjerne

=2sdotπsdotR

stjerne

4sdotπ2 hArr

4sdotπ2 sdotT 2]

m=Tsdotvrot

stjerne

stjerne=

v radmax

sin (i)andr=[

4sdotπ2 sdotT 2]

13rArr

m=Tsdotv rad

GsdotM stjerne

4sdotπ2sdotT 2]

13 da m≪M rArr

maxsdotM

4sdotπ2 sdotT 2]

TsdotM 2

2sdotπsdotG]13

sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


sdot[TsdotM 2

2sdotπsdotG]13=561

mssdot(

)13=848sdot1026 kg

i er ukendt

e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


e=radic1minusb2

eccentriciteten

2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


2451000 2451500 2452000 2452500 24530004256

Radialhastighed

HD65216

Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Transitmetoden

Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Δ F rel=FminusF t

F=1minus

Astjerne

=Aplanet

Astjerne

=πsdotR planet

πsdotR stjerne2 =(

Rplanet

Rstjerne

F stjerne

F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


F transit

F stjerne

)minuslog(F stjerne

F stjerne F ref

F stjerne

)and1minusF transit

F stjerne

=(Rplanet

Rstjerne

10minusΔ m25 =

F transit

F stjerne

and1minusF transit

F stjerne

=(R planet

R stjerne

R planet

R stjerne

=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


=(R s+R p)2hArr

sin(α2

2minusa2

sdotcos2(i)

sin(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

sin2(πsdotTP

2minusa2

sdotcos2(i)

a2 minuscos2(i)hArr

cos2(i)=

a2minussin2

(πsdotTP

m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


m2sdotK 4

2sdotσsdot(5800K)

πsdotR planet2

4sdotπsdotd 2

2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


2sdotL

4sdotπsdotd 2

2 Altsaring vil

4sdotπsdotRplanet2

sdotσsdotT planet4

2sdotL

Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Flydende vand

4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


4sdotπsdotd 2=1168

m2 Jorden

JordenI 0sdotAskive

Aoverflade

m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


m2=σsdotT 4

σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


σsdotT atm nedre4

resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


resultater)

Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Introduktion

Detektion af lys

Fotometri

Spektre





Transitmetoden



Flydende vand





Atmosfaeligremodel

-o-


Documents

EXOPLANETER - astrogymblog.files.wordpress.comExoplaneter. Af Michael Andrew Dolan Møller. Maj 2012. side 5/25 frem til følgende sammenhæng: vradial= λmålt−λlab λlab ⋅c