„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 1

„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)


Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobností”

Štatistika popisná - vyčerpávajúce skúmanie (veda o

štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické

analýzy, výberové vzorky) Most medzi oboma druhmi štatistiky tvorí teória pravdepodobnosti• tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov


Náhodná veličina je premenná, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov v závislosti na náhode. Náhodné veličiny budeme označovať X, a ich konkrétne hodnoty: xj, j=1,2…n

Na štatistické znaky môžme pozerať ako na náhodné veličiny……….

členenie NV:diskrétne (DNV) -nadobúdajú izolované, väčšinou

celočíselné hodnoty, napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov….

spojité (SNV) -môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty z ohraničeného, alebo neohraničeného intervalu,napr.: hmotnosť, výška človeka, chyby merania, príjem...


Výberové skúmanieKaždá skúška je výberovou analýzou. Z “debny” mozgu sú ťahané “guličky” vedomostí a nevedomostí a z nich sa usudzuje na celkový stav vedomostí v mozgu


Náhodná veličina je plne popísaná zákonom rozdelenia NV

Zákon rozdelenia NV je pravidlo, ktorékaždej hodnote náhodnej veličiny

priradí pravdepodobnosť nadobudnutia danej hodnoty (DNV),

alebo množine hodnôt z každého intervalu priradí pravdepodobnosť nadobudnutia hodnôt z intervalov (SNV)


Rozlišujeme 3 zákony rozdelenia NV:

pravdepodobnostná tabuľka xj , pj=P(X= xj )len pre DNV

distribučná funkcia F(x) = P(X x ) pre DNV, SNV

funkcia hustoty f(x) len pre SNV

Poznámka: NV môžme tiež popísať pomocou číselných charakteristík. Najčastejšími sú:E(X) stredná hodnota a D(X) rozptyl


Pravdepodobnostná tabuľka- rad rozdelenia pravdepodobností - popisuje len diskrétnu náhodnú veličinu (DNV)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

pj

výnos v %

Výnos akcie

výnos akciev % (xj)

pravdepo-dobnosť ( pj)

-2 0,2

5 0,515 0,3

Spolu 1

pj = P(X=xj)… analógia relatívnych početností

pj = 1


Distribučná funkcia F(x) = P(X x)slúži k popisu diskrétnej (DNV) aj spojitej (SNV) náhodnej veličiny

• Pre DNV platí F(x) = P(X x) = pj

pre všetky xj x výnosakciev % (xj)

pravdepo-dobnosť ( pj)

F(x)

-2 0,2 F(-2)=P(X -2) = 0.2

5 0,5 F(5)=P(X 5)=0.2+0.5=0.715 0,3 F(15)=P(X 15)=1

Spolu 1 x


Spojitá náhodná veličina (SNV)

Spojitou náhodnou veličinou nazveme X, pre ktorú existuje funkcia f(x) taká, že distribučná funkcia F(x) je rovná

);(-x pre ,x

dx)x(f)x(F

Ak má distribučná funkcia F(x) pre všetky x spojitú deriváciu f(x) = F’(x) budeme veličinu Xnazývať spojitá NV a funkciu f(x) hustotapravdepodobnosti náhodnej veličiny X v bode x


funkcia hustoty

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x

F(x)


distribučná funkcia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

x


F(x) pre spojitú náhodnú veličinu

);(-x pre ,x

dx)x(f)x(F

x

Dokresli F(0),F(6)


6

0

dx)x(f)0(F)6(F)6X0(P

Dokresli do grafu !


2x

1x

1221 dx)x(f)x(F)x(F)xXx(P

1)X(P)(F

0)X(P)(F

1;0)x(F

)xX(P)xX(P)x(FVlastnosti distribučnej funkcie SNV:

Pre SNV existuje “paradox nulovej

pravdepodobnosti”P(X= x) = 0


Zhrnutie o F(x)

Každá distribučná funkcia je funkciou

neklesajúcou, spojitou zľava a vyhovujúcou

podmienkam F(-) = 0 a F() = 1.

Každú funkciu,ktorá spĺňa uvedené

podmienky možno pokladať za distribučnú

funkciu


Vlastnosti funkcie hustoty f(x)

f(x) je nezáporná, t.j. f(x) 0, pretože je

deriváciou neklesajúcej funkcie

(nie je však pravdepodobnosť)

1)F( f(x)dx-

f(x)dx)xXx(P2x

1x

21


Základné modely rozdelení NV používané v Štatistike

Normálne rozdelenieŠpeciálne rozdelenia:

Studentovo rozdelenie ( t)

CHÍ- kvadrát rozdelenie ( 2 )

Fisherovo - Snedecorovo rozdelenie (F)

Zaslúžisi pozor-nosť


Normálne rozdelenie“Gaussovo - Laplaceovo”

Riadia sa ním spojité NV, ktoré vznikajú ako dôsledok pôsobenia väčšieho počtu nezávislých, resp. slebo závislých vplyvov,

možno ním aproximovať mnohé rozdelenia, aj rozdelenia DNV

príklady: úrody plodín, chyby merania,


Gaussovo Normálne rozdelenie


Quetélet meral obvod hrude 5738 škótskych

vojakov


Funkcia hustoty normálneho rozdelenia

2

2

2

)-(x -

2.

1 )(

exf

Parametre Normálneho rozdelenia: - stredná hodnota určuje polohu rozdelenia - smerodajná odchýlka, určuje variabilitu

tvaru rozdelenia


Funkcia hustoty a distribučná funkcia normálneho rozdelenia

funkcia hustoty

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distribučná funkcia


Porovnanie normálnych rozdelení

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

fun

kcia

hu

sto

ty

N(0,1)

N(0,1.5)

N(1,1)


pravidlo 3 - sigma

-0.05

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

-3 -2 -1 0 1 2 3

- ++2-2

-3 +3

68,26%

95,45%

99,73%

Zamyslite sa dôsledne čo

hovorí!!!


Normované normálne rozdelenie( štandardizované )

• X….N(µ,2) N(0,1)

Normálne rozdelenie Normované (existuje nekonečne mnoho normálne normálnych rozdelení) rozdelenie

je tabelované!

-X

U


Tabelované hodnoty F(u) a f(u) pre N(0,1)

F(- u) = 1 - F(u)f(- u) = f(u)

-u u


Využitie rozdelenia N(0,1)• Každé normálne rozdelenie vieme takto

transformovať na normované normálne rozdelenie a využívať tabuľkové hodnoty F(u) a f(u).

• Príklad: priemerný mesačný nominálny príjem občana SR predstavuje 11tis. Sk a má približne normálne rozdelenie so smerodajnou odchýlkou 6tis. Sk. Koľko percent občanov je pod hranicou priemerného príjmu 5 tis. Sk a koľko nad 17 tis.Sk? Odhadnite koľko percent občanov zarába v priemere viac ako 23tis. Sk.


CHÍ - kvadrát rozdelenie

0 20 40 60 80 100

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2(10)

2(40)40


2 (s.v. = 12) 2 (s.v. = 40)

CHÍ - kvadrát rozdelenie

P(2 > 2 ) =

2


t(s.v.= 12) t(s.v.= 40)

Studentovo rozdelenie (t)

P(|t| > t (s.v.)) =

t(s.v.)


Fisherovo F - rozdelenie

0 1 2 3 4 5

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

F(10,10) F(40,40)

P(F > F(s.v.1;s.v.2)) =

F(s.v.1;s.v.2 )


Koniec “exkurzie” do teórie pravdepodobnosti

Documents

„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)