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21-PYCJ1G11 Page 8/15
EXERCICES au choix du candidat (5 points)
Vous indiquerez sur votre copie les 2 exercices choisis : exercice A ou exercice B ou exercice C
EXERCICE A : LES SUPERCONDENSATEURS (5 POINTS)
Mots-clĂ©s : modĂšle du condensateur, circuit RC sĂ©rie. Un supercondensateur permet de stocker et de restituer rapidement de lâĂ©nergie Ă©lectrique. Dans certains transports en commun, un supercondensateur est utilisĂ© pour emmagasiner un maximum dâĂ©nergie Ă©lectrique en quelques secondes lors des phases de freinage. Si des condensateurs classiques Ă©taient utilisĂ©s Ă la place des supercondensateurs, il faudrait des armatures de trĂšs grandes surfaces et trĂšs rapprochĂ©es, sĂ©parĂ©es par un excellent diĂ©lectrique.
Cet exercice a pour objectifs :
de comparer qualitativement un supercondensateur avec un condensateur usuel ;
dâĂ©tudier le comportement dâun supercondensateur lors de sa charge afin de dĂ©terminer expĂ©rimentalement la valeur de sa capacitĂ© et de la comparer Ă celle fournie par le fabricant.
Données constructeur sur le supercondensateur étudié :
dimensions : 35 mm Ă 60 mm
capacité : 400 F
tension maximale : 2,5 V
Ă©nergie maximale : 0,35 Wh
1. Comparer la valeur de la capacité du supercondensateur étudié aux valeurs usuelles des capacités des condensateurs utilisées au lycée ou en électronique.
La valeur de la capacitĂ© đ¶ dâun condensateur plan peut ĂȘtre dĂ©terminĂ©e Ă lâaide de la relation :
đ¶ = đ đ
đ
oĂč :
đ est la surface en regard des deux armatures,
đ est lâĂ©cartement entre les deux armatures,
đ est une constante caractĂ©ristique du matĂ©riau isolant placĂ© entre les deux armatures.
2. Justifier qualitativement les parties en italique et soulignées du texte de présentation des supercondensateurs.
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Ătude du modĂšle du circuit RC sĂ©rie
On souhaite dĂ©terminer la valeur de la capacitĂ© du supercondensateur en utilisant un cycle de charge dans un circuit RC. Pour cela, on Ă©tudie dans un premier temps le comportement dâun modĂšle de circuit RC sĂ©rie.
On considĂšre le circuit Ă©lectrique schĂ©matisĂ© ci-dessous (figure 1) composĂ© dâune source idĂ©ale de
tension đž, dâun interrupteur đŸ, dâun conducteur ohmique de rĂ©sistance đ , du supercondensateur de
capacitĂ© đ¶ et dâun ampĂšremĂštre de rĂ©sistance interne nĂ©gligeable (la tension aux bornes de lâampĂšremĂštre est considĂ©rĂ©e comme nulle).
figure 1. Circuit électrique RC série
Le supercondensateur est initialement dĂ©chargĂ©. Ă lâinstant đĄ = 0 s, on ferme lâinterrupteur.
3. Donner la relation entre lâintensitĂ© đ(đĄ) du courant Ă©lectrique et la dĂ©rivĂ©e de la charge đ(đĄ) portĂ©e par lâarmature A du supercondensateur, puis la relation entre lâintensitĂ© đ(đĄ), la capacitĂ© đ¶ et la dĂ©rivĂ©e de la tension Ă©lectrique đąđ¶(đĄ) aux bornes du supercondensateur.
4. Montrer que lâĂ©quation diffĂ©rentielle dont la tension Ă©lectrique đąđ¶(đĄ) aux bornes du supercondensateur est une solution est de la forme :
đđąđ¶
đđĄ(đĄ) +
1
đ đąđ¶(đĄ) =
đž
đ
Exprimer la constante de temps đ en fonction de đ et de đ¶.
5. Vérifier que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :
đąđ¶(đĄ) = đŽ đâ đĄđ + đž
DĂ©terminer lâexpression de đŽ pour la situation Ă©tudiĂ©e.
Etude expérimentale et détermination de la valeur de la capacité
On rĂ©alise le montage prĂ©cĂ©dent avec une source idĂ©ale de tension de valeur đž = 2,5 đ et un conducteur ohmique de rĂ©sistance đ = 2,0 Ω .
Ă lâaide dâune carte dâacquisition, on rĂ©alise le suivi temporel de la tension aux bornes du supercondensateur durant sa charge (figure 2 page 10/15).
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figure 2.
6. DĂ©terminer la valeur đ¶1 de la capacitĂ© du supercondensateur en explicitant la dĂ©marche suivie.
Ă lâaide dâun microcontrĂŽleur et dâun programme en python, on peut reproduire lâexpĂ©rience un grand nombre de fois pour affiner la dĂ©termination du temps caractĂ©ristique du dipĂŽle RC rĂ©alisĂ© avec ce mĂȘme supercondensateur. Ce programme permet dâobtenir le temps caractĂ©ristique du dipĂŽle RC en dĂ©terminant la date pour laquelle le condensateur est chargĂ© Ă 63%.
AprÚs 10 exécutions successives du programme, on obtient, pour le temps caractéristique du dipÎle
RC, la série de valeurs suivantes exprimées en ms :
811614 818076 810301 810495 818526 812067 811327 813109 817838 819474
La moyenne đ2Ì de la sĂ©rie de mesures est đ2Ì = 814,2827 s.
La calculatrice donne 1,175 s pour le calcul de lâincertitude-type.
7. Ăcrire de maniĂšre appropriĂ©e le rĂ©sultat de la mesure du temps caractĂ©ristique avec son incertitude-type.
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On estime que lâincertitude-type de la rĂ©sistance du conducteur ohmique est đą(đ ) = 0,1 Ω.
Lâincertitude-type sur la valeur de la capacitĂ© C2 du supercondensateur se dĂ©duit des mesures de la rĂ©sistance et du temps caractĂ©ristique moyen par la relation :
đą(đ¶2) = đ¶2â(đą(đ )
đ )
2
+ (đą(đ2Ì )
đ2Ì )
2
8. DĂ©terminer la valeur de la capacitĂ© đ¶2 du supercondensateur ainsi que son incertitude-type.
9. Comparer la valeur de la capacitĂ© đ¶2 mesurĂ©e expĂ©rimentalement avec la valeur de
rĂ©fĂ©rence đ¶đđđ donnĂ©e par le constructeur en utilisant le quotient |đ¶2âđ¶đđđ|
đą(đ¶2). Conclure.