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Estudo da Fendilhação de Estruturas de Betão Armado reforçadas externamente com CFRP ou chapas de aço
José Diogo Andrade da Silva de Almeida Honório
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientador: Prof. Doutor António José da Silva Costa
Vogal: Prof. Jorge Manuel Vinagre Alfaiate
Junho de 2008
i
RESUMO
Ao longo deste trabalho são estudados dois tipos de reforço, a aplicar externamente, que são os
laminados de carbono (CFRP) e as chapas de aço, bem como a influência que estes têm no
controlo da fendilhação.
Numa primeira parte é feita uma pesquisa bibliográfica onde se começam por saber as
propriedades mecânicas, vantagens (e desvantagens) e, ainda, o modo de aplicação de cada um
dos reforços. Seguidamente, é feito um levantamento das metodologias de cálculo existentes
para o cálculo da abertura de fendas, tanto para os elementos reforçados como os não
reforçados. Isto porque haverão zonas onde o reforço não é aplicado.
No capítulo seguinte, começa-se por aplicar as metodologias referidas, a uma dada viga, através
de três estudos. Para os dois primeiros, são feitos dois tipos distintos de estudo da fendilhação
na zona de aplicação do reforço. No primeiro calcula-se a abertura de fendas para vários
acréscimos da carga de dimensionamento e, ainda, segundo diferentes níveis de carga na altura
de execução do reforço. O segundo estudo é feito para sucessivos aumentos da armadura de
reforço, sob carga constante. O terceiro estudo corresponde ao cálculo da fendilhação nas zonas
não reforçadas. É ainda repetido o primeiro dos estudos acima referidos, usando agora uma viga
de dimensões maiores.
Através estes estudos pretende-se tirar conclusões sobre a coerência das metodologias, o
reforço preferível e a influência das dimensões da viga no que diz respeito à fendilhação.
PALAVRAS-CHAVE
- Reforço
- Fendilhação
- CFRP
- Chapa de aço
ii
ABSTRACT
Throughout this work the two types of externally bonded reinforcement (CFRP and steel plates)
will be studied, as well as their influence on the cracking behavior of the structure.
First, a bibliographic research is made in order know the mechanical properties, advantages (and
disadvantages) and the application method of each of one of the reinforcements. Then, a general
research is made in order to find the existent methodologies for the calculation of crack widths,
both for reinforced and non-reinforced members, since there will be surfaces where no externally
bonded reinforcement is applied.
In the following chapter, the referred methodologies are applied, to a certain beam, trough three
different studies. For the first two, these studies focus on the cracking behavior in the surfaces
where the reinforcement is applied. In the first one, the cracks widths are calculated for different
increases of the ultimate load and for different loads at the time of application of the
reinforcement. The second study concerns the calculation of the crack widths for different
increases of reinforcement needed, under constant load. In the third study the cracking behavior
will be studied for the non-reinforced zones. The first study mentioned is then repeated for a
beam with larger dimensions.
With these studies one can make some interesting conclusions regarding the coherence of the
methodologies, the preferred reinforcement and the influence of the dimensions of the beam
regarding the cracking behavior.
KEYWORDS
- Reinforcement
- Cracking
- CFRP
- Steel plates
iii
AGRADECIMENTOS
Para começar, agradeço de uma forma geral à minha faculdade, Instituto Superior Técnico, pelos
cinco anos de constante aprendizagem que me proporcionou.
Agradeço ao meu Professor e Mentor Dr. António Costa pelo empenho, entusiasmo e,
sobretudo, paciência demonstrados ao longo destes meses de trabalho.
Finalmente, uma palavra especial para a minha família e grupo de amigos que tanto me têm
apoiado ao longo dos anos.
iv
v
SIMBOLOGIA
Caracteres Latinos
Unidades
Ac,eff m2 Área traccionada efectiva
Aeq m2 Área equivalente de reforço (varões e reforço externo)
Ar,eq m2 Área equivalente de reforço externo
As1 m2 Área da armadura inferior
As2 m2 Área da armadura superior
b m Largura da secção
c m Recobrimento
cp KN/m Carga permanente actuante ao longo do vão
d m Distância do topo da secção à armadura inferior
d2 m Distância do topo da secção à armadura superior
deq m Distância da zona de reforço equivalente (varões e reforço
externo) ao topo da secção
ds m Diâmetro dos varões de aço
Ec GPa Módulo de elasticidade do betão
Ef GPa Módulo de elasticidade do material FRP na direcção das
fibras
Efib GPa Módulo de elasticidade das fibras
Em GPa Módulo de elasticidade da matriz
Es GPa Módulo de elasticidade do aço
fck MPa Tensão do betão à compressão (valor característico)
fctm MPA Tensão de rotura do betão à tracção
ff MPa Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras
ffib MPa Resistência à tracção das fibras
fm MPa Resistência à tracção da matriz
frd MPa Tensão de cedência do reforço externo
fu MPa Tensão de rotura à tracção
fy MPa Tensão de cedência
fyk MPa Tensão de cedência à compressão (valor característico)
h m Altura da secção
Ico m4 Momento de inércia da secção fendilhada
k1 m Coeficiente de aderência dos varões
k2 m Coeficiente em função da distribuição de tensões na secção
vi
L m Comprimento do vão
M0 KNm Momento de serviço actuante antes da aplicação do reforço
Mcr KNm Momento de fendilhação
Mk KNm Momento de serviço actuante após da aplicação do reforço
Mrd KNm Momento resistente
Msd KNm Momento de dimensionamento
Nb KN Força de compressão do betão
Nf KN Força de tracção do reforço exterior
Nrk KN Força de tracção total
Ns1 KN Força de tracção da armadura inferior
Ns2 KN Força de compressão da armadura superior
P0 KN/m Carga actuante na altura de aplicação do reforço
Prd KN/m Carga resistente
Psd KN/m Carga de dimensionamento
q KN/m2 Sobrecarga actuante na laje
r Factor de redução
rcp KN/m Restantes cargas permanentes
sc KN/m Sobrecarga actuante ao longo do vão
sr,max m Espaçamento máximo entre fendas
sr,min Espaçamento mínimo entre fendas
srm m Espaçamento médio entre fendas
tf mm Espessura do material FRP
tfib mm Espessura das fibras
uf m Perímetro de aderência do reforço externo
us m Perímetro de aderência dos varões de aço
Vfib % Percentagem de volume das fibras
Vm % Percentagem de volume da matriz
w mm Abertura de fendas
wk mm Abertura de fendas (valor característico)
X m Posição da linha neutra nas secções dos apoios
Xe m Posição da linha neutra após da aplicação do reforço
Xo m Posição da linha neutra antes da aplicação do reforço
ze m Braço entre as forças de tracção e compressão totais
vii
Caracteres Gregos
Unidades
αf Razão entre Ef e Ec
αs Razão entre Es e Ec
β Coeficiente que relaciona os valores médio e característico da abertura de fendas
β1 Coeficiente que contabiliza as características de aderência da armadura
β2 Coeficiente que contabiliza o tipo de carga
γb KN/m3 Peso volúmico do betão
ε0 Extensão inicial da fibra inferior da secção de betão
ε2 Extensão do reforço (armaduras e reforço externo) no estado totalmente fendilhado
εc Extensão da fibra superior da secção de betão após aplicação do reforço
εc0 Extensão inicial da fibra superior da secção de betão
εrm.r Extensão média do aço (armadura) em relação ao betão
εs Extensão no aço
εs1 Extensão das armaduras no estado totalmente fendilhado
εsm Extensão média relativa
ζ Coeficiente de rigidez em tracção do betão entre fendas
ζfm MPa Tensão de aderência do reforço externo
ζsm MPa Tensão de aderência do aço
ξb Parâmetro de aderência
ρc,ef Rácio entre as áreas das armaduras (interna e externa) e área traccionada efectiva
ρeq Rácio da armadura equivalente
σc MPa Tensão no betão
σcr MPa Tensão actuante nos varões de aço para primeira carga de fendilhação
σs MPa Tensão no aço
Ψ2 Parâmetro da combinação quase permanente de acções
ω Percentagem mecânica de armadura
viii
ix
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 – Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço......... 10
Quadro 2 – Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão de rotura fu dos aços macios
correntes (EN 10025-2)................................................................................................................ 11
Quadro 3 – Propriedades das fibras............................................................................................ 13
Quadro 4 – Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminados CFRP – S&P
Laminates e Sika-CarboDur.......................................................................................................... 20
Quadro 5 – Propriedades mecânicas dos materiais utilizados.................................................... 35
Quadro 6 – Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura...................................................... 37
Quadro 7 – Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento... 40
Quadro 8 – Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante................... 43
Quadro 9 – Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono........................ 44
Quadro 10 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço................................... 45
Quadro 11 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1.. 46
Quadro 12 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
1.................................................................................................................................................... 47
Quadro 13 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 1............................................................................................................................... 48
Quadro 14 – Parâmetros utilizados no cálculo da abertura de fendas segundo a metodologia
2.................................................................................................................................................... 52
Quadro 15 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
2.................................................................................................................................................... 53
Quadro 16 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 2............................................................................................................................... 54
Quadro 17 – Aumento da área de CFRP a partir da área dimensionada.................................... 62
Quadro 18 – Aumento da área de chapas de aço a partir da área dimensionada...................... 62
Quadro 19 – Parâmetros comuns ao cálculo das extensões εc eεs , na zona dos apoios........... 68
Quadro 20 – Cálculo das extensões εc eεs para os vários níveis de acréscimo de carga........... 68
Quadro 21 – Constantes utilizadas no cálculo de abertura de fendas......................................... 69
Quadro 22 – Cálculo da abertura de fendas, nas secções não reforçadas, para os vários
acréscimos de carga de dimensionamento, segundo EC2............................................................
69
Quadro 23 - Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura.................................................... 71
Quadro 24 - Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento.. 72
Quadro 25 - Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante.................. 73
x
Quadro 26 - Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono...................... 74
Quadro 27 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço.................................. 75
Quadro 28 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
2.................................................................................................................................................... 76
Quadro 29 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 2............................................................................................................................... 78
Quadro 30 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1.. 81
Quadro 31 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
1.................................................................................................................................................... 82
Quadro 32 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 1............................................................................................................................... 83
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Tipos de sistemas FRP: “in-situ” (direita) e pré-fabricados (esquerda)...................... 15
Figura 2 – Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção ....................................................... 17
Figura 3 – Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material
compósito...................................................................................................................................... 19
Figura 4 – Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço................................................ 20
Figura 5 – Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio............................................ 21
Figura 6 – Situação inicial antes da aplicação do reforço............................................................ 22
Figura 7 – Análise elástica linear da secção fendilhada.............................................................. 24
Figura 8 – Cálculo do parâmetro k2 ............................................................................................ 27
Figura 9 – Esquema representativo para o cálculo de Nrk........................................................... 30
Figura 10 – Laje do modelo de cálculo........................................................................................ 34
Figura 11 – Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a
meio-vão e nos apoios.................................................................................................................. 34
Figura 12 – Diagrama de Momentos Flectores............................................................................ 36
Figura 13 – Modelo de cálculo do momento de dimensionamento positivo para um dado
acréscimo de sobrecarga.............................................................................................................. 38
Figura 14 – Esquema representativo de deq e Aeq para o cálculo da área de reforço Ar.............. 39
Figura 15.a – Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp+Ψ2sc
segundo a metodologia 1.............................................................................................................. 50
xi
Figura 15.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp segundo a
metodologia 1................................................................................................................................50
Figura 15.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.75cp
segundo a metodologia 1...............................................................................................................50
Figura 15.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp
segundo a metodologia
1............................................................................................................................ 51
Figura 15.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.25cp
segundo a metodologia 1.............................................................................................................. 51
Figura 15.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P0=0 segundo a
metodologia 1............................................................................................................................... 51
Figura 16.a – Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp+Ψ2sc
segundo a metodologia 2.............................................................................................................. 56
Figura 16.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp p segundo
a metodologia
2................................................................................................................................56
Figura 16.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.75cp
segundo a metodologia 2...............................................................................................................56
Figura 16.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp
segundo a metodologia
2............................................................................................................................ 57
Figura 16.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.25cp
segundo a metodologia 2.............................................................................................................. 57
Figura 16.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P0=0 segundo a
metodologia 2................................................................................................................................57
Figura 17 – Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para
vários acréscimo de carga sob a combinação de serviço Pcqp = 0.75 cp..................................... 60
Figura 18.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um
acréscimo de carga de dimensionamento de 20%....................................................................... 63
Figura 18.b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP ,para um
acréscimo de carga de dimensionamento de 30%....................................................................... 63
Figura 18.c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um
acréscimo de carga de dimensionamento de 40%....................................................................... 64
Figura 18.d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um
acréscimo de carga de dimensionamento de 50%....................................................................... 64
Figura 19.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para
um acréscimo de carga de dimensionamento de 20%................................................................. 65
xii
Figura 19.b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço ,para
um acréscimo de carga de dimensionamento de 30%................................................................. 66
Figura 19.c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para
um acréscimo de carga de dimensionamento de 40%................................................................. 66
Figura 19.d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para
um acréscimo de carga de dimensionamento de 50%................................................................. 67
Figura 20 - Laje do modelo de cálculo......................................................................................... 70
Figura 21 - Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a
meio-vão e nos apoios...................................................................................................................70
Figura 22.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois
tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp, segundo a metodologia 2........................ 79
Figura 22. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os
dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.5 cp, segundo a metodologia 2................... 79
Figura 22.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois
tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.25 cp, segundo a metodologia 2........................ 80
Figura 22. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os
dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P0 = 0, segundo a metodologia 2...........................
80
Figura 23.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois
tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp, segundo a metodologia 1........................ 84
Figura 23. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os
dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.5 cp, segundo a metodologia 1................... 85
Figura 23.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois
tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.25 cp, segundo a metodologia 1........................ 85
Figura 23. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os
dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P0 = 0, segundo a metodologia 1...........................
85
Figura 24 – Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para
vários acréscimo de carga sob a carga, na altura de aplicação do reforço, P0 = 0.75 cp............ 86
xiii
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO...................................................................................................... 1
1.1 NOTA INTRODUTÓRIA........................................................................................................... 1
1.2 OBJECTIVOS........................................................................................................................... 2
1.3 TIPOS DE REFORÇO.............................................................................................................. 3
1.3.1 AÇO................................................................................................................................. 3
1.3.2 CFRP............................................................................................................................... 4
1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE....................................................................................................... 5
CAPÍTULO 2 – PESQUISA BIBLIOGRÁFICA.............................................................................. 7
2.1 REFORÇO................................................................................................................................ 7
2.1.1 CHAPAS DE AÇO................................................................................................................. 8
2.1.1.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS....................................................................... 9
2.1.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS.......................................................................... 11
2.1.2 SISTEMAS FRP................................................................................................................... 11
2.1.2.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS..................................................................... 15
2.1.2.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS.......................................................................... 17
2.2 FENDILHAÇÃO...................................................................................................................... 22
2.2.1 SITUAÇÃO INICIAL............................................................................................................. 22
2.2.2 REFORÇO EXTERNO......................................................................................................... 23
2.2.3 LIMITAÇÃO DE TENSÕES................................................................................................. 25
2.2.4 METODOLOGIAS DE CÁLCULO........................................................................................ 26
2.2.4.1 ZONAS COM REFORÇO APLICADO................................................................. 26
2.2.4.2 ZONAS SEM REFORÇO APLICADO.................................................................. 31
CAPÍTULO 3 – AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS REFORÇADAS
FACE À FENDILHAÇÃO............................................................................................................. 33
3.1 CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO....................................................................... 34
3.2 DIMENSIONAMENTO............................................................................................................ 36
3.2.1 CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA...................... 36
3.2.2 DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO................................................................... 38
3.3 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO........................................................................................... 42
3.3.1 SECÇÕES A MEIO VÃO........................................................................................ 42
3.3.1.1 DIFERENTES NÍVEIS DE CARGAS ACTUANTES............................................ 42
3.3.1.2 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS........................................................ 60
3.3.1.3 AUMENTO DA ÁREA DE REFORÇO SOB CARGA CONSTANTE.................... 61
3.3.2 SECÇÕES DOS APOIOS....................................................................................... 68
3.4 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO A MEIO VÃO PARA UM NOVO CASO PRÁTICO............ 70
xiv
3.4.1 CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO....................................................... 70
3.4.2 CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA...................... 71
3.4.3 DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO................................................................... 72
3.4.4 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO........................................................................... 73
3.4.5 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS........................................................... 86
CAPÍTULO 4 – CONCLUSÃO..................................................................................................... 88
- 1 -
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 NOTA INTRODUTÓRIA
O constante melhoramento da infra-estrutura existente tem sido sempre motivo de interesse no
campo da engenharia civil. Muito deste melhoramento passa por reforçar a infra-estrutura com
outros elementos de modo a fornecer ao conjunto um bom comportamento perante as
adversidades que esta vai encontrar no seu tempo útil de vida.
As causas que levam ao reforço (e, por vezes, reabilitação) de uma estrutura são várias:
- Corrosão das armaduras
- Deterioração do betão
- Acções acidentais sobre as estruturas
- Sismos
- Erros de cálculos no projecto
- Deficiência de execução
- Alteração da estrutura inicial
Assim sendo, tem existido uma necessidade crescente de melhorar todas estas infra-estruturas
de modo a garantir uma maior segurança e durabilidade. Neste trabalho será abordado o reforço,
a estruturas de betão armado, por meio de chapas de aço (tecnologia mais tradicional) ou
através de materiais compósitos de carbono (tecnologia mais recente), no que diz respeito ao
comportamento destas face à fendilhação. Isto é, serão calculados os parâmetros relativos ao
espaçamento e abertura de fendas e estes valores serão comparados entre os dois tipos de
reforço em estudo. Espera-se, no final, chegar a um consenso sobre qual o tipo de reforço mais
adequado no que diz respeito ao controlo da fendilhação.
- 2 -
1.2 OBJECTIVOS
Este trabalho tem como principal objectivo o estudo da fendilhação de elementos de betão
armado reforçados externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. Com esse estudo
pretende-se, não só averiguar qual o reforço mais adequado para satisfazer este ponto dos
Estados Limites de Utilização, como também estudar este fenómeno para diversas situações
práticas, como se verá mais à frente no capítulo 3.
No entanto, e dada a vasta quantidade de informação que esta Tese reúne, existem diversos
tópicos secundários que podem ser estudados, como sejam a melhor compreensão da
constituição e propriedades dos diversos materiais intervenientes neste sistema betão armado –
reforço, o que por si só, irá envolver conceitos como a constituição dos materiais compósitos
utilizados e o modo de aplicação destes.
- 3 -
1.3 TIPOS DE REFORÇO
As estruturas existentes de betão armado podem, por vezes, necessitar de reforço de modo a
melhorar o seu comportamento, tanto a nível de um melhoramento da capacidade de flexão e
corte como do controlo de fendilhações e deformações.
1.3.1 AÇO
O aço é uma liga ferro-carbónica formada a partir de minérios de ferro, cujos componentes
principais são o ferro e o carbono (existem ainda outros componentes considerados como
impurezas que resultam do processo de fabrico, [15])
Os aços mais utilizados na construção metálica são aços laminados a quente, caracterizados por
baixas percentagens de carbono (na ordem dos 0.2 %).
O reforço externo de chapas de aço a um elemento de betão armado trata-se do tipo de reforço
mais comum e a sua aplicação tem-se espalhado um pouco por todo o mundo, devido às
vantagens económicas e estruturais destes sistemas. Aplicam-se sobretudo no reforço à flexão
(lajes) e ao esforço transverso em vigas. Já para reforçar à compressão, não se costumam
utilizar chapas de aço dada a sua tendência em encurvar. [14]
Os sistemas de ligação, para o reforço de estruturas de betão armado com adição de chapas de
aço, podem ser realizados de duas maneiras:
- Colagem da chapa, através de um agente adesivo (resina epóxidica)
- Fixação da chapa por meio de buchas metálicas, grampos, ou pernos
Este tipo de reforço externo tem sido utilizado desde os finais da década de 60. [14]
- 4 -
1.3.2 CFRP
O mais recente material de reforço para estruturas de betão é feito por meio do uso de polímeros
reforçados de fibras de carbono (CFRP – Carbon Fibre Reinforced Polymer) externamente
ligados ao elemento a reforçar.
Desde os anos 40 que os materiais compósitos têm tido um papel importante no que diz respeito
às engenharias aeroespacial, náutica e automobilística. Mais tarde, estes materiais despertaram
o interesse no campo da engenharia civil e, actualmente, são vistos pelos engenheiros de
estruturas como um material novo e altamente prometedor na indústria da construção, muito
devido à sua elevada resistência à corrosão, ao seu baixo peso e outras vantagens, e
desvantagens, que veremos mais à frente.
No campo dos materiais compósitos existem ainda os polímeros reforçados com fibras de vidro e
aramida, no entanto, estes não serão abordados neste trabalho.
- 5 -
1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE
O trabalho está organizado em quatro capítulos.
O primeiro capítulo diz respeito à Introdução. Aqui será fornecida alguma informação geral sobre
o conteúdo do trabalho bem como uma breve introdução ao tema do reforço externo de
elementos de betão armado.
Na segunda parte, será feita uma pesquisa bibliográfica relativamente às informações-base em
que esta tese se apoia - os dois tipos de reforço em estudo (CFRP e Aço) e as diversas
metodologias de cálculo no que diz respeito ao cálculo da fendilhação.
Neste capítulo mais teórico serão referidas, entre outros, as propriedades mecânicas e
geométricas dos reforços, as suas vantagens e desvantagens face à utilização de um ou de
outro, processo de aplicação, etc.
No que diz respeito ao cálculo de fendilhações para elementos de betão armado com reforço,
CFRP ou Aço, será feito um levantamento dos diversos procedimentos existentes em prática
para, no capítulo seguinte, se comparar, não só, os resultados entre as diferentes metodologias,
mas também ambos os tipos de reforço externo.
Seguidamente, no terceiro capítulo, será posto em prática todo o tipo de estudo enunciado
anteriormente recorrendo a casos práticos. Através destes, ir-se-á chegar a certas conclusões
sobre o trabalho realizado, algumas serão imediatas e explicadas há medida que se vão
analisando os resultados e outras, mais gerais, serão referidas no quarto e último capítulo da
tese.
- 6 -
- 7 -
CAPÍTULO 2 – PESQUISA BIBLIOGRÁFICA
2.1 REFORÇO
Elementos intervenientes
O reforço externo de estruturas betão armado compreende sempre os seguintes elementos
intervenientes:
- Substrato
- Adesivo
- Reforço
Substrato
Não é mais do que a superfície do elemento de betão armado onde se vai colocar o reforço. Esta
superfície deverá estar adequada à aplicação do reforço. Caso não esteja, serão utilizados
certos produtos complementares com vista a melhorar a adesão entre o substrato e o reforço
externo a ser aplicado.
Adesivo
São os agentes responsáveis por assegurar a ligação entre o material FRP e o elemento de
betão a ser reforçado, e asseguram passagem das tensões de corte do elemento a ser reforçado
para o reforço (material compósito). Para o adesivo desempenhar correctamente as suas
funções é necessário que exista uma total compatibilidade entre o adesivo e o material de
reforço, desta forma é recomendado que o adesivo usado seja o recomendado pelo fornecedor
do material de reforço.
O tipo de adesivo mais comum resulta da mistura da resina epoxídica (polímero) com um
endurecedor e apresenta boas vantagens para o seu uso, [9].
- 8 -
Reforço
O reforço externo a aplicar, segundo este trabalho, poderá ser de dois tipos:
- Chapas de aço
- CFRP
As propriedades destes bem como as suas vantagens e desvantagens serão abordadas nos
pontos seguintes deste trabalho.
Produtos Complementares
Por vezes, a aplicação dos sistemas FRP no substrato requer a utilização de produtos adicionais
de modo a garantir um bom reforço. Destes, os produtos mais regularmente usados são os
primários e os regularizadores de superfície.
Primário – Tem como finalidade melhorar a propriedade adesiva da superfície. Este produto
penetra na superfície do betão por capilaridade.
Regularizador de superfície – Tem como função alisar e homogeneizar a superfície do substrato
de modo a garantir uma boa superfície de contacto para a aplicação do adesivo.
2.1.1 CHAPAS DE AÇO
Tal como já se viu em 1.3.1, o reforço com chapas de aço pode ser realizado através da colagem
destas, por meio de um agente adesivo, ao elemento de betão armado. Ou, pela aplicação de
buchas metálicas. No ponto seguinte serão referidas as vantagens da utilização do reforço de
aço, primeiro em geral e depois partindo para o particular no que diz respeito ao modo de ligação
das chapas ao substrato.
- 9 -
2.1.1.1 VANTAGENS DE DESVANTAGENS
O uso de chapas de aço como reforço externo de elementos de betão armado é um reforço em
expansão devido a vantagens gerais como:
- Aumento da capacidade da carga última
- Melhoria do comportamento em serviço
- Pouco aumento de peso e tamanho relativamente ao elemento existente
- Acessibilidade para inspecção e manutenção
- Rapidez de execução
- Possibilidade de manter a estrutura em utilização durante a execução
E desvantagens globais ao nível de:
- Corrosão da chapa externa
- Peso das chapas – para efeitos de transporte e manuseamento
- Mão-de-obra especializada
Porém, o reforço por meio de chapas de aço por ser feito, como já foi referido, por ligação
através de um agente adesivo ou por meio de buchas ou pernos. As vantagens e desvantagens
de cada tipo de ligação estão sumariadas no quadro seguinte - Quadro 1.
Ainda relativamente ao reforço de chapas de aço por meio de buchas metálicas, devem-se
colocar no mínimo duas buchas na extremidade (devido às forças de tracção e às concentrações
de tensões que se geram nas extremidades da chapa), ainda que os cálculos demonstrem o
contrário. O custo envolvido não é significativo e melhora-se a segurança da ligação, [13]
- 10 -
Tipo de Ligação Vantagens Desvantagens
Adesivo
- Camada adesiva oferece boa
protecção à corrosão da
chapa de aço mais próxima do
betão
- Face externa lisa
- Pode necessitar de
conectores para auxiliar na
ancoragem e evitar
descolagem
- Preparação da superfície de
betão in-situ requer grandes
cuidados para aplicação do
adesivo
- Possível descolamento da
chapa
Buchas metálicas
- Maior segurança a longo
prazo visto não haver
problema de descolamento
- Permite posicionar mais
facilmente as chapas de
reforço
- Não requer cuidados
especiais na preparação da
superfície de contacto in-situ
- Corrosão da placa externa
na sua face interna
- Tempo e custo de mão-de-
obra associados à realização
dos furos
- Aparência estética
Quadro 1 – Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço
- 11 -
2.1.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS
Os valores da tensão de cedência fy e da tensão de rotura à tracção fu, dos tipos de aço
utilizados (definidos segundo a norma EN-10025-2, [6], e tomados como valores característicos),
são indicados no quadro seguinte – Quadro 2.
Espessura nominal t [mm]
t ≤ 40 mm 40 < t ≤ 80 mm
Classe de
aço
fy [N/mm2] fu [N/mm2] fy [N/mm2] fu [N/mm2]
Módulo de
Elasticidade
[KN/mm2]
S 235 235 360 215 360
S 275 275 430 255 410
S 355 355 510 335 470
S 450 440 550 410 550
210
Quadro 2 – Valores da tensão de cedência fy e da tensão de rotura fu dos aços macios correntes
(EN 10025-2), [15]
2.1.2 SISTEMAS FRP
Material Compósito FRP
Estes materiais são compostos por um grande número de fibras (destacam-se carbono, aramida,
vidro) que são pequenas, contínuas, direccionadas e não-metálicas. Estas fibras são então
embebidas numa matriz polimérica (normalmente de resina).
Matriz Polimérica
Tem como função unir as fibras, distribuir as cargas, que suporta, entre estas e proteger as fibras
dos agentes mais agressivos do meio ambiente e dos danos mecânicos. A matriz tem uma
grande influência em diversas propriedades mecânicas do material compósito (propriedades de
corte, propriedades na compressão, módulo e força transversos).
- 12 -
Tal como, nos adesivos, as resinas epoxídicas apresentam melhores propriedades mecânicas e
uma maior durabilidade, ao passo que os restantes têm vantagem na vertente económica por
serem mais baratos, [16].
Fibras
Podem ser contínuas ou descontínuas (cortadas), sendo que nos compósitos FRP só se usam
fibras contínuas, [9]. As fibras contínuas têm um diâmetro na ordem dos 5-20 µm e podem ser
fabricadas como reforço uni ou bidireccional. A fracção de volume de fibras nos materiais
compósitos FRP é à volta de 50-70%, para o caso dos laminados (Sistemas pré-fabricados), e
cerca de 25-35% para as mantas e tecidos (Sistemas Wet lay-up).
Têm um comportamento perfeitamente elástico e não apresentam patamar de cedência e,
consequentemente, deformação plástica. Na direcção principal das fibras tanto o módulo de
elasticidade como a resistência à tracção são máximos.
Existem três grandes grupos de fibras que são usadas no campo da engenharia civil – Aramida,
Vidro e Carbono – sendo que as propriedades mecânicas, como seria de esperar, variam
consoante o tipo de fibra escolhida. Assim, dependendo do tipo de fibra que compõe o material
compósito FRP, estes podem ser referenciados como AFRP (compósito à base de fibras de
aramida), GFRP (vidro) ou CFRP (carbono).
Neste trabalho serão estudados os materiais compósitos à base de fibras de carbono – CFRP –
uma vez que são os mais utilizados no reforço de estruturas pelas propriedades que veremos
nos pontos 2.1.2.1 e 2.1.2.2 deste trabalho.
As fibras são obtidas a partir do processo de carbonização de fibras de polímeros orgânicos a
temperaturas da ordem dos 1000ºC a 3000ºC e podem ser do tipo pitch ou PAN. A diferença
entre os dois tipos de fibra reside no processo de fabrico, pois ambas geram produtos de
elevada força e elasticidade, [16]
- Fibras pitch – usam carvão ou petróleo destilado que é passado por uma extremidade
fina e estabilizado por aquecimento
- Fibras PAN – feitas de poliacrilonitrilo carbonizado
- 13 -
Em termos de diâmetro as fibras pitch têm um diâmetro aproximado de 9 a 18 µm, ao passo que
as fibras PAN têm um diâmetro na ordem dos 5-8 µm, o que nos permite ter a noção de que um
conjunto de 10000 destas fibras tem uma espessura aproximada a um fio de cabelo, [11], e é, no
entanto, um produto extremamente resistente e com uma eficaz transferência de cargas entre as
várias fibras, por via da matriz, derivado do elevado valor da razão comprimento/diâmetro já
falado anteriormente.
No quadro seguinte – Quadro 3 – temos uma melhor percepção das propriedades dos vários
tipos de fibra.
Tipo de Fibra Tensão de Rotura
[N/mm2]
Módulo de Elasticidade
[KN/mm2]
Diâmetro das Fibras
[µm]
Aramida 2700-4500 115-130 12-15
Carbono - Pitch 3000-3500 400-800 9-18
Carbono PAN 2500-4000 350-700 5-8
Vidro (S) 3400-4800 85-100 5-25
Quadro 3 – Propriedades das fibras, [16]
Tipos de sistemas
Os sistemas FRP variam consoante o fabricante e fornecedor e, como tal, podem apresentar
diferente configuração, tipos de fibras, adesivos, etc. No entanto, consegue-se classificar dois
tipos distintos de sistemas:
- Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ)
- Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados)
Existem, ainda, sistemas especiais, que estão mais relacionados não só com o fabricante que os
desenvolveu mas também com a sua técnica de execução.
- 14 -
Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ), [9]
São sistemas de fibras contínuas que, como o próprio nome indica, são aplicados no local de
obra (in-situ). A manta de FRP seca é impregnada com resina imediatamente antes da sua
aplicação. Depois, são então aplicados sobre o adesivo, de modo a aderirem ao substrato.
Devido ao facto de serem impregnados apenas, e aquando, a sua aplicação, os sistemas wet
lay-up apresentam uma maior flexibilidade e, consequentemente, maior trabalhabilidade. Desta
forma, tornam-se ideais para o reforço de superfícies curvas, além do seu uso normal para
superfícies planas.
Existem mantas unidireccionais ou multidireccionais, consoante as fibras contínuas estejam
todas orientadas na direcção longitudinal ou, se uma parte das fibras estiver orientada segundo a
direcção longitudinal e outra parte orientada segundo uma outra direcção diferente (90º, 45º, -
45º). Têm uma espessura aproximada de 0.15 mm e uma largura de, cerca de, 300 mm. O
comprimento será o desejado para o tipo de aplicação, sendo que estas mantas são produzidas
e armazenadas em rolos com comprimentos superiores a 50 m. O peso médio das mantas é à
volta de 200-300 g/m2. Para este tipo de sistemas, a fracção de volume de fibras é cerca de 25-
35% do volume do sistema.
Estes sistemas podem, também, ser chamados de sistemas de “fibras secas” devido ao facto de
terem pouca quantidade de resina no seu interior. Aqui, a aplicação do adesivo tem como
funções ligar o material compósito ao elemento de betão armado e impregnar as fibras.
Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados), [9]
Tratam-se de produtos compósitos pré-formados que tomam a sua forma e dureza final já em
fábrica, vindo destas com as propriedade geométricas e mecânicas finais, prontos a serem
aplicados no elemento (sempre com a aplicação do adesivo entre ambos). São obtidos por meio
de impregnação de um conjunto de feixes de fibras com uma resina termoendurecível e, depois,
consolidadas por um processo de pultrusão, onde as fibras são extrudidas por tracção.
Nestes sistemas, as fibras estão orientadas longitudinalmente – unidireccionais – o que lhes
confere maior rigidez e resistência segundo essa direcção.
- 15 -
Pelo facto de serem pré-fabricados, as configurações destes sistemas dependem do fabricante.
Normalmente estão sob a forma de laminados com espessuras na ordem de 1 mm e largura a
variar entre os 50 mm e 150 mm,[9]. Tal como nos sistemas wet lay-up, o comprimento dos
laminados será o desejado, sendo que são armazenados em rolos de comprimentos superiores
a 50 m.
Este tipo de sistemas é mais adequado para o reforço de superfícies planas. Podem, no entanto,
ser usados para superfícies curvas caso o seu fabrico já tenha em conta a forma do elemento a
reforçar.
Na figura seguinte – Figura 1 – estão representados ambos os tipos de sistemas FRP
Figura 1 – Tipos de sistemas FRP: “in-situ” (direita) e pré-fabricados (esquerda)
2.1.2.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS
No reforço de elementos de betão armado, o uso de sistemas de materiais compósitos à base de
fibras (FRP – Fibre Reinforced Polymer), principalmente os sistemas à base de fibras de carbono
(CFRP – Carbon Fibre Reinforced Polymer), como veremos mais à frente, é vantajoso devido a,
[9]:
- Imunidade à corrosão
- Reduzido peso específico - cerca de ¼ do Aço o que facilita a sua aplicação em
espaços condicionados
- 16 -
- Elevada resistência à tracção - cerca de 10 vezes superior ao Aço e módulos de
elasticidade da mesma ordem de grandeza
- Grande capacidade de deformação
- Geometria e dimensões ilimitadas
- Elevada resistência à fadiga e ao impacto
- Elevada resistência ao ataque químico
- Elevada durabilidade
- Menores custos de manutenção
Todas estas vantagens acima referidas reflectem-se no custo de mão-de-obra que, como
esperado, irá ser mais reduzido fruto da facilidade de manuseamento deste tipo de material em
obra.
Estes sistemas apresentam, no entanto, algumas desvantagens, que serão enumeradas de
seguida, [9]:
- Comportamento elástico e linear até à rotura (Figura 2 - este material tem um
comportamento diferente do aço que apresenta um comportamento elasto-plástico)
- Custo do material, em termos de €/Kg
- Custo do materiais, fibras e resina, é mais elevado que o aço
- Coeficiente de expansão térmica diferente do betão
- Exposição a altas temperaturas, por exemplo incêndio, pode ser causa de degradação
prematura e, consequente, rotura (alguns constituintes dos sistemas FRP – resinas
epoxídicas – quebram a rigidez para uma temperatura de 60ºC a 80ºC, [11])
- A aplicação destes materiais apresenta dificuldades na forma de ancoragem (o que
pode implicar a necessidade de sistemas adicionais de ancorar as fibras)
- Eventuais problemas de aderência retiram o aproveitamento máximo das
potencialidades dos materiais FRP
- Reduzida experiência na utilização destes materiais
- 17 -
Figura 2 – Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção
No entanto, algumas destas desvantagens, nomeadamente os custos, têm um lado positivo. Ou
seja, apesar do custo dos materiais FRP (fibras e resina) ser mais caro que o do aço, o custo
que envolve a parte dos equipamentos e mão-de-obra será mais barato derivado do facto de ser
um material de mais fácil aplicação e de necessitar de menores custo de manutenção (imune à
corrosão). Além disso, se estabelecermos uma comparação de custo em termos de resistência
do material, o custo dos materiais FRP já será mais favorável do que o do aço.
Desta forma podemos afirmar que os sistemas FRP apresentam boas propriedades que lhes
permitem, à partida, ser uma das primeiras escolhas para reforço de elementos de betão
armado. Devem, no entanto, ser sempre tidos em conta todos os factores, não só em termos
mecânicos, mas também em termos de construção e durabilidade a longo prazo.
2.1.2.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS
As propriedades mecânicas básicas dos materiais FRP podem ser estimadas, se forem
conhecidas as propriedades dos seus constituintes (matriz polimérica e fibras) bem como a sua
respectiva fracção de volume, por aplicação da “regra das misturas”, [9]:
+≈
+=
mmfibfibf
mmfibfibf
VfVff
VEVEE
- 18 -
Onde,
Ef – Módulo de Young (ou módulo de elasticidade) do material FRP na direcção
das fibras
Efib – Módulo de elasticidade das fibras
Em – Módulo de elasticidade da matriz
Vfib – Percentagem de volume das fibras
Vm – Percentagem de volume da matriz
ff – Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras
ffib – Resistência à tracção das fibras
fm – Resistência à tracção da matriz
Esta regra é uma aproximação do comportamento mecânico dos materiais compósitos. Como
tal, de modo a obter uma informação mais correcta deverão ser feitos estudos de tracção, [9].
Para os sistemas wet lay-up, as fracções de volume e espessura obtidas no produto final são
incertas, fazendo com que o seu cálculo baseado nas propriedades do sistema FRP (fibras e
matriz) seja pouco rigoroso. Por vezes, para estes casos, o fabricante fornece somente as
propriedades das fibras, [9].
Já para os sistemas pré-fabricados, as propriedades dos materiais são baseadas na sua área
total da secção (normalmente fornecidas pelo fabricante), [9].
Devido a estes métodos diferentes de obter as propriedades mecânicas consoante o sistema
usado, deve haver algum cuidado quando se pretende fazer a comparação de propriedades
mecânicas entre sistemas diferentes.
O módulo de elasticidade (Efib) e resistência (ffib) das fibras são muito maiores do que o módulo
de elasticidade e resistência da matriz (Em e fm, respectivamente). Assim, as propriedades do
material FRP (Ef e ff) são controladas pelas propriedades e área da secção das fibras, fazendo
com que exista um forte relação entre a fracção de volume das fibras e as propriedades do
material FRP, [9]. Isto é ilustrado na figura (Figura 3) seguinte:
- 19 -
Figura 3 – Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material
compósito
Para os sistemas wet lay-up, onde as fracções de volume e espessura são incertas, as
propriedades do FRP podem ser calculadas somente com base nas propriedades das fibras.
Neste caso, na aplicação da “regras das misturas”, pode-se ignorar o segundo termo de ambas
as equações, considerar Vfib = 1 e as dimensões do FRP devem ser calculadas com base nas
dimensões nominais das mantas. Caso esta aproximação seja, de facto, a utilizada, as
propriedades resultantes devem ser multiplicadas por um facto de redução r, de modo a ter em
conta tanto a eficiência do sistema fibra-resina como a forma das mantas. Este factor de redução
(r) deve ser fornecido pelo fabricante do material FRP. Alternativamente, o fabricante do FRP
pode fornecer directamente as propriedades in-situ (espessura, módulo de elasticidade,
resistência à tracção) do sistema impregnado. Estas informações fornecidas pelo fabricante
(facto de redução, propriedades in-situ) devem ser baseadas em testes, [11].
Para exemplificar esta informação, pode-se assumir que uma determinada manta tem uma
espessura nominal tfib e um módulo elástico Efib (ambos calculados com base nas propriedades
das fibras). Após a impregnação do material FRP, este terá uma espessura tf e um módulo de
elasticidade Ef. Os dois sistemas tornam-se equivalentes através da seguinte expressão:
fffibfib EtrEt =
Onde,
tfib – Espessura das fibras
Efib – Módulo de elasticidade das fibras
r – Factor de redução
tf – Espessura do material FRP
Ef – Módulo de Young do material FRP na direcção das fibras
- 20 -
Sistemas CFRP
Como já foi referido, todos os sistemas FRP apresentam um comportamento linear até à rotura.
Os sistemas de compósito à base de fibras de carbono – CFRP – não são excepção, e podem
ser produzidos consoante os valores do módulo de elasticidade ou tensão de rotura pretendidos.
Estes respectivos valores oscilam entre os 150 GPA e os 650 GPA.
Por consulta de catálogos, nomeadamente Sika-CarboDur e S&P Laminates, consegue-se reunir
e expor as principais características mecânicas, dos diferentes tipos de laminados de carbono
mais utilizados, no Quadro 4:
Tipo de Laminado
Tensão de
Rotura
[N/mm2]
Módulo de
Elasticidade
[KN/mm2]
Alongamento de
dimensionamento
[%]
Espessura
[mm]
Largura
[mm]
S&P CFK 150/2000 2700 165 0.6 – 0.8 1.2 - 1.4 50 – 100
S&P CFK 200/2000 2400 205 0.6 – 0.8 1.4 50 – 120
Sika-CarboDur S 3100 165 0.85 1.2 50 – 120
Sika-CarboDur M 3200 210 0.65 1.4 60 – 120
Sika-CarboDur H 1500 300 0.25 1.4 50
Quadro 4 – Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminado CFRP – S&P
Laminates, [20] e Sika-CarboDur, [21]
Nas figuras seguintes tem-se dois tipos de comparação entre sistemas FRP e metais. Na
primeira figura (Figura 4) testa-se o comportamento à tracção.
Figura 4 – Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço
- 21 -
Como se pode ver da figura anterior, os materiais CFRP suportam grandes tracções (na ordem
dos 3000 MPa) mas, no entanto, no que diz respeito às deformações são os materiais que ficam
mais a perder. Na figura seguinte (Figura 5) comparam-se as diversas propriedades mecânicas
entre os materiais compósitos e os metais.
Figura 5 – Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio
Por esta figura verifica-se que os materiais compósitos têm elevada rigidez e resistência o que,
aliados ao seu baixo peso, favorece a sua utilização na construção civil, nomeadamente no
reforço de elementos de betão armado.
- 22 -
2.2 FENDILHAÇÃO
O controlo da fendilhação é bastante importante tanto ao nível da estética como da segurança e
tempo de vida da estrutura. Isto é, a abertura de fendas expõe o aço estrutural aos agentes
ambientais levando, consequentemente, à corrosão destes. Para estruturas de betão armado
reforçadas externamente, as novas fendas irão aparecer entre as já existentes. Desta forma, irá
surgir uma fendilhação mais densa mas com menor abertura de fendas.
De uma forma geral pode-se dizer que o fenómeno da fendilhação ocorre sempre que a tensão
no elemento iguala a tensão de rotura do betão à tracção – fctm. O estudo deste fenómeno em
estruturas de betão armado já se encontra bastante desenvolvido mas o mesmo não se pode
dizer acerca das mesmas reforçadas externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. De
facto, no que diz respeito ao comportamento em serviço deste tipo de estruturas, este está,
ainda, em claro desenvolvimento (quando comparado com os vários estudos realizados para a
verificação aos estados limites últimos).
2.2.1 SITUAÇÃO INICIAL
Antes de se iniciar o cálculo da fendilhação para o elemento reforçado, deve-se ter em conta o
seu estado inicial, ou seja, as propriedades do elemento antes do reforço. Assim, tendo como
base a teoria da elasticidade e com M0, o momento de serviço actuante (sem consideração de
coeficientes de segurança) na secção crítica, a distribuição inicial das deformações pode ser
calculada. Como o M0 é normalmente maior que o momento de fendilhação – Mcr – os cálculos
são baseados numa secção fendilhada – Figura 6.
Figura 6 – Situação inicial antes da aplicação do reforço
- 23 -
Com base na figura acima relativa a uma secção fendilhada, a posição da linha neutra – Xo -
pode ser determinada através de uma igualdade entre momentos estáticos (tracção e
compressão):
)()()1(2
1122
2ossosso XdAdXAbX −=−−+ αα
Onde, αs=Es/Ec.
A deformação inicial do betão na fibra superior (compressão) é dada por:
coc
ooco
IE
XM=ε
Onde, Ico é o momento de inércia da secção fendilhada:
21
222
3
)()()1(3
ossosso
co XdAdXAbX
I −+−−+= αα
A deformação do betão na fibra inferior é, então dada por, [16]:
o
ocoo
X
Xh −= εε
Esta deformação é a deformação inicial da secção ao nível do FRP.
2.2.2 REFORÇO EXTERNO
Os cálculos efectuados para verificar os estados limites de utilização, em particular a
fendilhação, podem ser realizados de acordo com uma análise elástica, [11], sendo que serão
feitas referências tanto às secções não-fendilhada (estado 1) e fendilhada (estado 2).
Num elemento de betão armado, a posição da linha neutra é independente do momento
actuante. No entanto, o mesmo já não se verifica para um elemento de betão armado reforçado
exteriormente devido às extensões iniciais existentes antes do reforço ser aplicado.
- 24 -
Assumindo um comportamento elástico do material e admitindo que o betão não resiste à
tracção, a secção fendilhada é baseada na figura seguinte – Figura 7, [16].
Figura 7 – Análise elástica linear da secção fendilhada
Através do equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações, a posição da linha neutra – Xe
– é obtida:
+−+−=−−+ e
c
ffessesse XhAXdAdXAbXε
εααα 0
1222 1)()()1(
2
1
Onde, αs=Es/Ec e αf=Ef/Ec. Para valores baixos de ε0, o termo (1+ε0/εc) é, praticamente, igual a 1,
fazendo com que a equação acima seja directamente resolvida, e o valor de Xe obtido. Por outro
lado, quando ε0 toma valores elevados, quando comparado com εc, a posição da linha neutra Xe,
deixa de ser independente do momento actuante Mk (existe uma alteração das características de
secção durante a actuação de carga) e passa a ser obtida através da resolução conjunta da
equação anterior e da seguinte:
( ))()()1(
32
112
22 dh
X
XdAdh
X
dXA
XhbX
ME
e
ess
e
ess
ee
kcc
−−
−−−
−+
−
=
αα
ε
- 25 -
Se desprezarmos a armadura sujeita à compressão (As2 = 0) e assumirmos h/d ≈ 1.1, [16], a
equação acima por ser simplificada para:
)
305.1(
2
1 ee
kcc X
dbX
ME
−
=ε
2.2.3 LIMITAÇÃO DE TENSÕES
Aquando da actuação de cargas de serviço, torna-se necessária a limitação de tensões do
betão, armadura interna e FRP, de modo a prevenir a degradação ou fluência excessiva do
betão, cedência das armaduras e fluência excessiva do material FRP.
Se um reforço externo é implementado, e visto que a força de compressão é igual à força de
total de tracção, o betão irá ficar mais solicitado à compressão (pois a sua área não se altera).
De modo a prevenir compressão excessiva o Eurocódigo 2, [5], sugere as seguintes limitações,
para a tensão de compressão:
ckc f60.0≤σ - para a combinação rara de acções
ckc f45.0≤σ - para a combinação quase-permanente de acções
Onde σc = Ecεc, valor obtido pelas equações anteriores do ponto 2.2.2.
De modo a prevenir a cedência das armadura internas, o Eurocódigo 2, [5], preconiza:
yk
e
ecss f
X
XdE 80.0≤
−= εσ - para a combinação rara de acções
Do mesmo modo, a tensão no reforço, deve ser limitada, [16], do seguinte modo:
fko
e
ecff f
X
XhE ηεεσ ≤
−
−= - para a combinação quase-permanente de acções
- 26 -
Onde η < 1 é o coeficiente de limitação de tensão do material FRP. Este mesmo coeficiente
depende do tipo de FRP e deve ser obtido através de ensaios experimentais. Com base em
testes de rotura por fluência foram sugeridos, [11], os valores indicativos de η = 0.8, 0.5 e 0.3
para CFRP, AFRP e GFRP, respectivamente. Convém, também, referir que por vezes, o
dimensionamento da estrutura é condicionado pelos Estados Limites de Utilização e, como tal,
esperam-se baixas extensões de serviço, fazendo com que rotura por fluência deixe de ser
preocupante, [8].
2.2.4 METODOLOGIAS DE CÁLCULO
Para controlar a abertura de fendas na superfície do elemento, os projectistas recorrem a
determinadas metodologias já estudadas. Estas metodologias, apresentadas de seguida, diferem
entre si pelo facto de terem sido desenvolvidas por investigadores diferentes, o que leva à
utilização de variáveis diferentes para o cálculo de abertura de fendas.
De uma forma geral, a abertura de fendas é dada por:
][ mmsw smrm ε×=
Onde srm corresponde ao espaçamento médio entre fendas e εsm a extensão média relativa no
elemento de betão armado.
A maneira como cada um destes parâmetros é calculado é que irá originar diferentes
metodologias de cálculo para a abertura de fendas.
2.2.4.1 ZONAS COM REFORÇO APLICADO
i) Metodologia 1
Eurocódigo 2 – 1992, [7]
Esta metodologia, descrita no artigo referenciado, tem como base as expressões da versão de
1992 do EC2.
- 27 -
Utilizando a expressão geral de cálculo para a abertura de fendas, o espaçamento mínimo entre
fendas, sr,min, é dado por:
efp
sr
dkks
,
21min, 25.050ρ
×+=
Onde, k1 é o coeficiente de aderência dos varões (igual a 0.8 para varões nervurados, e 1.6 para
varões lisos); o coeficiente k2 tem em conta a distribuição de tensões na secção (igual a 0.5 para
flexão simples e 1 para tracção pura). Nos casos em que a distribuição de tensões, na área
efectiva, é um misto entre flexão simples e tracção pura. O parâmetro k2 é obtido por:
1
212
2ε
εε +=k
Figura 8 – Cálculo do parâmetro k2
O parâmetro ds corresponde ao diâmetro dos varões de aço e ρp,ef é obtido através de:
effc
sffs
efpA
EEAA
,
,
/+=ρ
Af e Ef correspondem à área e módulo de elasticidade, respectivamente, do reforço externo; As e
Es dizem respeito às mesmas grandezas mas para o aço e Ac,eff é a área traccionada efectiva
dada pela seguinte expressão:
{ } 3/)( ; )(5.2 min, bXhbdhA eeffc −−×=
1ε
2ε
efcA ,
- 28 -
No entanto, o espaçamento entre fendas a ser considerado no cálculo de abertura das mesmas
é sr,max :
csd
kkcs r
efp
sr 4.37.1425.04.3 min,
,
21max, +=+=ρ
Onde c representa o recobrimento das armaduras.
A extensão média é obtida através da fórmula:
−=
−=
2
21
2
21 11k
crs
s
crssm
M
Mββε
σ
σββεε , para Mk > Mcr
Os parâmetros β1 e β2 são coeficientes que têm em conta as características de aderência da
armadura e do tipo de carga, respectivamente:
aderência alta de varões
normal aderência de varões
−
−=
1
5.01β
−
−=
duração curta de tocarregamen
duração longa de tocarregamen
1
502
.β
Nesta fórmula, σcr é a tensão actuante nos varões de aço para primeira carga de fendilhação e
σs e εs, a tensão e deformação devido ao momento flector Mk. Mcr é o momento de fendilhação.
( )
e
ecs
X
Xd −= εε
Reparamos de imediato que esta metodologia não tem em conta o estado inicial do elemento
antes da aplicação de reforço. Isto é, não considera o nível de extensão inicial da armadura
existente.
- 29 -
ii) Metodologia 2
fib – Externally bonded FRP reinforcement for RC structures – 2001, [9,11,16]
Neste documento, o cálculo da abertura de fendas baseia-se no Eurocódigo 2 e nas suas
fórmulas gerais para depois partir para o caso específico de reforço com laminados FRP. Assim,
o valor característico de abertura de fendas é dado por:
rrmrmk sw .εβ ××=
Onde, β é um coeficiente que relaciona os valores médio e característico da abertura de fendas
e tem valor igual a 1.7; εrm.r – extensão média do aço (armadura) em relação ao betão.
Esta expressão mais geral, pode ser alterada para ter outros parâmetros em conta:
2εςβ ×××= rmk sw
ζ – Coeficiente de rigidez em tracção do betão entre fendas:
>
−=
<=
crk
n
k
cr
crk
MMM
M
MM
1
0
21ββς
ς
Onde,
n = 2, de acordo com o CEB (1993) – para betões de alta resistência considera-se n = 3
(Lambotte e Taerwe – 1990).
Mk – Momento de serviço
Mcr – Momento de fendilhação
ε2 é a deformação da armadura no estado totalmente fendilhado. De seguida, o relatório da fib
assume:
012 εεεε +≈≈ fs
Desta forma temos:
ffss
ffrk
AEAE
AEN
+
+=
0
2
εε
- 30 -
com, força de tracção - e
krk
z
MN = e
tNNce xxhz −−= .
Figura 9 – Esquema representativo para o cálculo de Nrk
Onde Nc e Nt são as forças de compressão e tracção, obtidas através do somatório das força de
compressão da armadura superior Ns2 e força de compressão do betão Nb e força de tracção da
armadura inferior Ns1 e força de tracção do reforço Nf, respectivamente. O posicionamento de
cada uma das forças totais de compressão e tracção é obtido através das seguintes fórmulas:
+=
+
+=
fs
sNt
bs
be
s
Nc
NN
Ndx
NN
NX
Ndx
1
11
2
22 3
Onde Ni = Aifyd e d1 = d2 = 0.05 m.
O espaçamento médio entre fendas, srm, tendo em conta a armadura e o reforço externo é dado
pela expressão (Rostásy et al. 1996):
ffbss
ffb
ffm
effcctm
ffbss
ss
ssm
effcctm
rmAEAE
AE
u
Af
AEAE
AE
u
Afs
ξ
ξ
τξτ +×=
+×=
,, 22
- 31 -
Onde, Ac,eff é a área efectiva à tracção definida no Eurocódigo 2. smτ =1.8 fctm (CEB 1993) e
fmτ =1.25 fctm (Holzenkampfer 1994), são as tensões de aderência do aço (varões) e reforço
externo, respectivamente. us e uf são os perímetros de aderência do aço e reforço externo,
respectivamente, e ξb é o parâmetro de aderência. us e ξb são dados por:
∑Π= ss du
ffsm
ssfm
sffsm
fssfm
btE
dE
uAE
uAE
4τ
τ
τ
τξ ==
Onde ds é o diâmetro médio dos varões de aço e tf, a espessura do reforço externo. Se se
desprezar, o efeito da rigidez em tracção do betão entre fendas (ζ=1) e assumindo ε0 ≈ 0, a
abertura de fendas é, então, dada por:
fseqs
keffck
uudE
Mw
694.0
11.2 ,
+×=
ρρ
bdA effceffc /,, =ρ é o rácio da área efectiva à tracção e eqρ é o rácio da armadura equivalente.
2.2.4.2 ZONAS SEM REFORÇO APLICADO
A fendilhação nas zonas não reforçadas é calculada pelo EC2, [5]. A abertura de fendas é dada
por:
srmrsw ε×= max,
A expressão do espaçamento máximo entre fendas sr,max é igual à da alínea i) do ponto 2.2.4.1
com o parâmetro ρp,ef a ser obtido por:
effc
sefp
A
A
,
, =ρ
- 32 -
Com As a ter o valor da área da armadura superior (armadura traccionada). A extensão média
entre o aço e o betão εsrm é:
)1( ,
,
efps
efps
ctmtssrm
E
fk ρα
ρεε +−=
Onde ( )
X
Xdcs
−= εε ,
IE
XM
c
kc
−
=ε e kt pode tomar os valores 0.6 ou 0.4 consoante se tratem
de acções de curta duração ou longa duração.
- 33 -
CAPÍTULO 3 – AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE
ESTRUTURAS REFORÇADAS FACE À FENDILHAÇÃO
De modo a avaliarem-se, tanto as diferentes metodologias utilizadas, como a influência do tipo
de reforço para os estados limites de utilização, recorreram-se a dois casos de estudo.
A consideração de dois casos distintos justifica-se pela influência que a geometria da viga tem
na fendilhação. Deste modo considerou-se em primeiro lugar uma viga com dimensões correntes
(0.5 x 0.25 m2) e em seguida realizou-se a análise para uma viga com dimensões relativamente
elevadas (1.0 x 0.3 m2).
Nestes casos de estudo serão levados a cargo diversos tipos de estudo:
- Estudo da fendilhação, na zona de aplicação do reforço, para vários acréscimos da
carga de dimensionamento e segundo diferentes níveis de carga na altura da execução do
reforço:
- cp + Ψ2sc
- cp
- 0.75 cp
- 0.5 cp
- 0.25 cp
- 0
- Estudo da fendilhação, na zona de aplicação do reforço, para diferentes níveis de
armadura de reforço, sob carga constante.
- Estudo da fendilhação nas zonas não reforçadas, para diferentes níveis de acréscimo
de carga.
- 34 -
3.1 – CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO
O modelo de cálculo que irá servir de base a este estudo consiste numa laje subdividida em
bandas de 7 x 3.5 m. A situação acima descrita está ilustrada na Figura 10.
Figura 10 – Laje do modelo de cálculo
Assim, considera-se um vão de 7 m bi-encastrado com a carga inteiramente distribuída ao longo
deste.
Para este trabalho, considerou-se uma laje tem uma espessura de 0.15 m e a viga tem uma
secção b x h de 0.25 x 0.5 m e é armada conforme se vê na Figura 11, para as secções a meio-
vão e secções no apoio:
Figura 11 – Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a
meio-vão (esquerda) e nos apoios (direita)
- 35 -
Os materiais e respectivas propriedades mecânicas estão tabelados de seguida (Quadro 5):
Material fid Ei fctm
A500 435 [MPa] 200 [GPa] -
C30/37 20 [MPa] 33 [GPa] 2.9 [MPa]
CFRP 1300 [MPa] 200 [GPa] -
Chapa de Aço 235 [MPa] 200 [GPa] -
Quadro 5 – Propriedades mecânicas dos materiais utilizados
No dimensionamento do reforço com CFRP considerou-se uma extensão limite de 0.65 % de
acordo com o recomendado na abordagem 1 no boletim 14 da fib.
- 36 -
3.2 – DIMENSIONAMENTO
3.2.1 – CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA
Neste ponto do trabalho tem como objectivo obter o valor de sobrecarga que esta estrutura pode
suportar.
Assim, obtém-se a percentagem mecânica de armadura (ω) e determina-se a capacidade
resistente:
cdrd
cd
yds fdbMTabelasf
f
db
A 2
µµω =→→→=
Devido ao facto de se ter um vão bi-encastrado, o diagrama de momentos será:
][ 8
PM
2rd
TOTrd, KNmL×
=
Figura 12 – Diagrama de Momentos Flectores
Finalmente a sobrecarga q suportada pela laje será calculada através das expressões:
][
2
1
)35.025.0()15.0(2
1
)(5.1
KN/m
qLsc
rcpLcp
sccpP
bb
rd
×=
××+
+××=
+×=
γγ
- 37 -
Obtêm-se, então os valores tabelados no seguinte quadro:
Quadro 6 – Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura
Laje + Viga
Vão 7 [m]
As-(varões) 12.57 [cm2] 4Ф20
As-(1/2 van)(varões) 6.28 [cm2] 2Ф20
As+(varões) 6.03 [cm2] 3Ф16
w-(β=0.5) 0.243
w+(β=1) 0.117
µ- 0.220
µ+ 0.110
TABELA A500
d2/d=0.10
Msd- 222.75 [Kim]
Msd+ 111.375 [Kim]
Prd 54.55 [KN/m]
rp 1.5 [KN/m2]
cp 20.56 [KN/m]
sc 15.8 [KN/m]
q 4.5 [KN/m2]
- 38 -
3.2.2 – DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO
O cálculo de uma área de reforço implica que existe um acréscimo de carga que justifique a
aplicação de um material que torne a estrutura resistente à nova carga actuante. Este material é
vulgarmente aplicado exteriormente e nas zonas de maior acessibilidade (como a meio vão) uma
vez que torna a sua execução mais fácil e consequente baixo custo de mão-de-obra.
Este acréscimo de carga irá gerar um novo momento de dimensionamento – MSD’. O cálculo
deste momento tem em conta a capacidade resistente já calculada para a nossa estrutura –
Figura 12 - e é obtido através da expressão seguinte:
][ 8
' 2'
KNmMLP
M rdsd
sd−+ −
×=
Figura 13 – Modelo de cálculo do momento de dimensionamento positivo para um dado
acréscimo de sobrecarga
Obtido o valor do momento volta-se a adoptar a metodologia descrita no ponto anterior, com o
auxílio das tabelas, [3], mas com ligeiras alterações:
yd
cdeqeq
cdeq
sd
f
fdbATabelas
fbd
M
2ωωµ =→→→=
Para o cálculo da área de reforço, Ar ,necessária, calcula-se primeiro uma área equivalente, Aeq,
que não é mais do que uma homogeneização entre a área da armadura inferior e do reforço,
localizada à distância deq do topo da secção – Figura 14.
8
LPsd' 2×
- 39 -
Figura 14 – Esquema representativo de deq e Aeq para o cálculo da área de reforço Ar
Os parâmetros deq e Aeq são, então, obtidos pelas expressões:
][ 2
mhd
deq
+=
][ 2cm
f
fAAA
yd
rdrseq +=
Onde frd é a tensão de cedência consoante reforço escolhido – Quadro 5.
Foi-se então calcular a área dos dois tipos de reforço em estudo necessária para os vários
acréscimo de carga (10% a 50%) e obtiveram-se os resultados que estão sintetizados no
Quadro 7.
Um dado acréscimo de carga é sempre provocado pelo aumento da sobrecarga actuante, uma
vez que a carga permanente se mantêm constante. Desta feita, realizou-se, também, um estudo
paralelo de modo a avaliar a influência que um acréscimo de carga (na carga de
dimensionamento) tem na sobrecarga actuante na laje. Cálculo realizado utilizando a fórmula já
descrita para a obtenção de Psd.
- 40 -
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Psd' 60.01 65.46 70.92 76.37 81.83 [KN/m] q' 19.44 23.08 26.72 30.35 33.99 [KN/m]
qlaje' 5.6 6.6 7.6 8.7 9.7 [KN/m2]
Msd+' 144.79 178.20 211.61 245.03 278.44 [Kim]
β 0.5
deq 0.48 [m]
µ+' 0.118 0.146 0.175 0.203 0.231
w+' 0.127 0.159 0.192 0.224 0.255
TABELA
Aeq 7.01 8.77 10.59 12.36 14.07 [cm2]
ACFRP 0.33 0.92 1.53 2.12 2.69 [cm2]
1.2 x 50 1.4 x 65 1.4 x 110 2 [1.4 x 75] 2 [1.4 x 100] [mm x mm] Laminado
0.60 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]
Ar,eq(CFRP) 1.08 2.72 4.60 6.28 8.37 [cm2]
Ar,eq/As 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388
AChapa 1.81 5.08 8.45 11.71 14.88 [cm2]
10 x 20 10 x 50 10 x 85 10 x 120 10 x 150 [mm x mm] Chapa 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]
Ar,eq(Chapa) 1.08 2.70 4.59 6.48 8.10 [cm2]
Ar,eq/As 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344
Quadro 7 – Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento
.
A razão entre a área de reforço equivalente Ar,eq e a área de armadura inferior As é um valor
que se irá utilizar mais tarde na análise de gráficos. Sendo que yd
rdreqr
f
fAA =, , onde Ar é a área
do reforço em questão.
Tal como seria de esperar, quanto maior é o acréscimo de carga imposto, maior será a área de
reforço necessária a aplicar na nossa estrutura.
Outro facto também importante a assinalar diz respeito à eleva discrepância (mais notável à
medida que Psd’ aumenta) que existe entre a área de CFRP e chapas de aço, para a mesma
carga. Tal deve-se ao facto de que a tensão de cálculo dos materiais CFRP (1300 MPa) ser
muito maior do que a das chapas de aço (235 MPa), levando a que, para resistir ao colapso,
- 41 -
uma menor área de laminado de carbono tenha a mesma eficácia que uma chapa de aço com
dimensões maiores.
Verifica-se, ainda, que cada aumento de 10% implica o aumento de 1 KN/m2 na sobrecarga
actuante na laje.
- 42 -
3.3 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO
3.3.1 – SECÇÕES A ½ VÃO
Tal como já foi referido, a zona a meio vão vai ser a zona onde o reforço exterior é aplicado, pela
sua facilidade de execução e pelo facto de não modificar internamente a estrutura existente.
3.3.1.1 – DIFERENTES NÍVEIS DE CARGA ACTUANTES
Este ponto do trabalho compreende o cálculo da fendilhação, a meio vão, para os seguintes tipos
de carga actuante na altura da execução do reforço:
- cp + Ψ2sc, (Ψ2=0.4)
- cp
- 0.75 cp
- 0.5 cp
- 0.25 cp
- 0
O facto de se ir, sucessivamente, aliviando a estrutura da carga actuante irá fazer com que o
momento actuante seja cada vez menor, resultando em menores deformações iniciais ou seja, a
abertura de fendas final tenderá a ser cada vez menor.
i) Situação inicial
Assim, com base no ponto 2.2.1 obtêm-se os resultados tabelados no Quadro 8 para as várias
situações iniciais consoante o tipo de carga actuante. Os momentos de serviço iniciais M0 são
calculados segundo as expressões:
][
24
122
00
20
0
KNmLP
M
LPM
×=
×=
+
−
Onde P0 é carga de serviço e que toma os valores dos casos acima
- 43 -
Vão 7 [m]
Tipo de carga actuante cp + Ψ2sc cp 0.75 cp 0.5 cp 0.25 cp 0
P0 26.58 20.56 15.42 10.28 5.14 0.00 [KN/m]
M0- 108.55 83.96 62.97 41.98 20.99 0.00 [Kim]
M0+ 54.27 41.98 31.49 20.99 10.50 0.00 [Kim]
As-(1/2 vão)=As2 6.28 [cm2]
As+=As1 6.03 [cm2]
αs 6.06
X0 0.096 [m]
Ic0 5.38E-04 [m4]
εc0 2.99E-04 2.37E-04 1.78E-04 1.19E-04 5.92918E-05 0.00
ε0 0.00126 0.00100 0.00075 0.00050 0.00025 0.00
Mcr 30.21 [Kim]
Quadro 8 – Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante
Numa primeira observação repara-se que quanto mais aliviada é a estrutura antes de aplicação
do reforço menores serão, também, os momentos actuantes e as extensões iniciais.
Repara-se também que a extensão ε0 tem um valor muito elevado no caso em que a estrutura
não está, de alguma forma, aliviada da carga actuante. Ir-se-á ver, mais à frente, as possíveis
consequências deste elevado valor de 0.00126.
Nesta parte do trabalho optou-se por calcular já o momento de fendilhação Mcr (que será
utilizado mais à frente para o cálculo de abertura de fendas), uma vez que é igual para todos e
só depende das propriedades do betão utilizado e das dimensões da secção:
][ 6
2
KNmbh
fM ctcr ×=
ii) Aplicação do reforço
Determinados os parâmetros iniciais, aplica-se o reforço e calculam-se os novos momentos de
serviço actuantes, Mk, bem como a nova posição da linha neutra – Xe – tanto para cada tipo de
reforço como para cada acréscimo de carga, com as expressões do ponto 2.2.2. O cálculo dos
momentos Mk segue o mesmo raciocínio que se usou para o cálculo dos M0, mas com a seguinte
carga actuante:
- 44 -
'2'
0 sccpP ψ+=
Onde os valores de cp e sc’ foram já calculados e estão explícitos nos Quadros 6 e 7,
respectivamente. Obtêm-se, então os seguintes resultados para cada um dos reforços em
estudo:
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Vão 7 [m]
P0' 28.34 29.79 31.25 32.70 34.16 [KN/m]
Mk- 115.72 121.66 127.60 133.54 139.48 [Kim]
Mk+ 57.86 60.83 63.80 66.77 69.74 [Kim]
ACFRP 0.36 0.91 1.54 2.1 2.8 [cm2]
αf 6.06
P0 = cp + Ψ2sc
Xe 0.096 0.097 0.098 0.099 0.1 [m]
εc 0.00033 0.00035 0.000359 0.00037 0.00039
P0 = cp
Xe 0.097 0.098 0.099 0.1 0.103 [m]
εc 0.00033 0.000344 0.000355 0.000367 0.000377
P0 = 0.75 cp
Xe 0.098 0.099 0.101 0.103 0.105 [m]
εc 0.00033 0.000344 0.000349 0.000359 0.000367
P0 = 0.5 cp
Xe 0.099 0.1 0.103 0.106 0.108 [m]
εc 0.00033 0.000337 0.000344 0.000351 0.000358
P0 = 0.25 cp
Xe 0.1 0.101 0.105 0.108 0.112 [m]
εc 0.00032 0.00033 0.000338 0.000344 0.000348
P0 = 0
Xe 0.1 0.13 0.107 0.111 0.115 [m]
εc 0.00032 0.000329 0.000331 0.000336 0.000338
Quadro 9 – Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono
- 45 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Vão 7 [m]
P0' 28.34 29.79 31.25 32.70 34.16 [KN/m]
Mk- 115.72 121.66 127.60 133.54 139.48 [Kim]
Mk+ 57.86 60.83 63.80 66.77 69.74 [Kim]
AChapa 2 5 8.5 12 15 [cm2]
αf 6.06
P0 = cp + Ψ2sc
Xe 0.097 0.099 0.101 0.103 0.105 [m]
εc 0.00033 0.00034 0.000345 0.00036 0.00037
P0 = cp
Xe 0.099 0.103 0.107 0.11 0.113 [m]
εc 0.000323 0.00033 0.000332 0.000338 0.000345
P0 = 0.75 cp
Xe 0.102 0.108 0.114 0.118 0.122 [m]
εc 0.000316 0.000314 0.000314 0.000317 0.000323
P0 = 0.5 cp
Xe 0.104 0.114 0.122 0.128 0.133 [m]
εc 0.000309 0.0003 0.000295 0.000295 0.000298
P0 = 0.25 cp
Xe 0.107 0.12 0.132 0.141 0.148 [m]
εc 0.000301 0.00029 0.000274 0.00027 0.00027
P0 = 0
Xe 0.11 0.128 0.145 0.16 0.17 [m]
εc 0.000294 0.000269 0.000252 0.000242 0.000239
Quadro 10 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço
Numa primeira análise a ambos os quadros vê-se que, para o mesmo acréscimo de carga, a
posição da linha neutra vai descendo à medida que a estrutura fica menos sobrecarregada na
altura de aplicação do reforço.
Verifica-se ainda que a posição da linha neutra, quando se utiliza um reforço à base de chapas
de aço, se situa sempre mais abaixo do que para um reforço com CFRP. Esta diferença de
valores é ainda mais notória à medida que a estrutura vai ficando mais aliviada, isto é, P0 mais
baixo.
- 46 -
Ambos os resultados eram já esperados. O primeiro caso deve-se à situação inicial, ou seja,
quanto menor for a carga actuante na altura da aplicação do reforço, menores serão as
extensões, nomeadamente ε0, fazendo com que a linha neutra Xe desça. A segunda conclusão a
que se chegou é explicada pela diferença de áreas de reforço necessárias para um e outro tipo,
sendo que é sempre necessária uma maior área de chapa de aço para o mesmo caso, fazendo
então com que a linha neutra se situe mais abaixo.
iii) Cálculo da abertura de fendas
Neste ponto vai-se proceder ao cálculo da abertura de fendas de acordo com cada uma das
metodologias descritas no ponto 2.2.4.
Metodologia 1 - Eurocódigo 2 – 1992
Nesta metodologia existem valores que são comuns a todos os casos:
Varões de alta aderência k1 0.8
Diâmetro dos varões inferiores ds 0.016 [m] Recobrimento das armaduras c 0.025 [m]
Quadro 11 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1
Nos quadros seguintes estão tabelados os valores mais relevantes para o cálculo de abertura de
fendas (sendo que os quadros completos podem ser consultados no Anexo A):
- 47 -
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Pcqp = cp + Ψ2sc
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.275 0.262 0.247 [m]
εsm 0.00106 0.00109 0.00115 0.00118 0.00122
w 0.329 0.317 0.315 0.308 0.302 [mm]
Pcqp = cp
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.275 0.261 0.247 [m]
εsm 0.00105 0.00107 0.00112 0.00115 0.00115
w 0.325 0.313 0.307 0.302 0.285 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εsm 0.00103 0.00104 0.00107 0.00109 0.00109
w 0.318 0.304 0.294 0.284 0.270 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εsm 0.00101 0.00103 0.00103 0.00102 0.00103
w 0.313 0.300 0.282 0.267 0.254 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.309 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εsm 0.00098 0.00100 0.00099 0.00098 0.00095
w 0.303 0.292 0.270 0.255 0.235 [mm]
Pcqp = 0
ρc,ef 0.021 0.023 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.309 0.291 0.274 0.261 0.246 [m]
εsm 0.00097 0.00097 0.00094 0.00092 0.00089
w 0.300 0.284 0.258 0.240 0.220 [mm] Quadro 12 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
1
- 48 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Pcqp = cp + Ψ2sc
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.264 0.215 0.184 0.164 0.153 [m]
εsm 0.00104 0.00106 0.00106 0.00109 0.00110
w 0.274 0.228 0.195 0.179 0.169 [mm]
Pcqp = cp
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.264 0.215 0.183 0.164 0.153 [m]
εsm 0.00099 0.00098 0.00095 0.00094 0.00093
w 0.261 0.210 0.173 0.154 0.142 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83
sr,max 0.263 0.215 0.183 0.164 0.152 [m]
εsm 0.00093 0.00087 0.00082 0.00080 0.00079
w 0.246 0.187 0.151 0.131 0.120 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.069
k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.263 0.214 0.183 0.163 0.151 [m]
εsm 0.00089 0.00078 0.00070 0.00067 0.00064
w 0.234 0.166 0.129 0.109 0.097 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
ρc,ef 0.026 0.035 0.047 0.060 0.072
k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.263 0.214 0.181 0.160 0.148 [m]
εsm 0.00084 0.00070 0.00059 0.00053 0.00050
w 0.220 0.150 0.106 0.085 0.074 [mm]
Pcqp = 0
ρc,ef 0.026 0.036 0.049 0.064 0.076
k2 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.263 0.212 0.177 0.156 0.144 [m]
εsm 0.00079 0.00059 0.00047 0.00039 0.00036
w 0.207 0.126 0.084 0.062 0.051 [mm]
Quadro 13 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia 1
- 49 -
A leitura dos quadros permite reparar que os valores da abertura de fendas tanto descem à
medida que a estrutura sofre um acréscimo de carga para um P0 constante, como, para os
mesmos cálculos para P0 sucessivamente menores. O acréscimo de carga origina uma maior
área de reforço, no dimensionamento, e portanto um ρp,ef maior também, o que faz baixar o valor
de espaçamento entre fendas srm e, como tal, a abertura de fendas w será menor.
Quando se observam os valores dos momentos de dimensionamento MSD’ e os momentos
actuantes Mk (Quadros 7 e 9) verifica-se que ambos vão aumentado à medida que se vão dando
os vários acréscimos da carga de dimensionamento e também que o aumento de MSD’ é na
ordem dos 30 KNm, de caso para caso, e o de Mk é de 3 KNm, ou seja, dez vezes menor. Vê-se
ainda que os momentos de dimensionamento são, em média, três vezes superior aos momentos
actuantes. Daqui conclui-se que o reforço está bem dimensionado para suportar os esforços de
dimensionamento mas que se revela sobredimensionado na verificação da fendilhação. Este
facto, aliado à explicação dada no final do parágrafo anterior faz com que abertura de fendas vá
sendo menor à medida que se aumenta a carga de dimensionamento Psd’.
Tal como se viu anteriormente, nomeadamente na análise de resultados do Quadro 10, quanto
mais a estrutura for aliviada na altura do reforço menores serão as extensões iniciais e,
consecutivamente, as finais. Com o auxílio dos quadros completos do Anexo A, vê-se que, na
maioria dos casos, são mesmo as extensões finais que irão determinar os valores finais da
abertura de fendas. No entanto, para o estudo do reforço com chapas de aço, verifica-se que a
partir de um P0 = 0.5 cp, existem casos onde a descida da linha neutra provoca uma descida dos
valores da área efectiva à tracção Ac,eff e, como tal, valores de w menores.
Vê-se, também, que elementos reforçados com chapas de aço geram sempre fendas menores.
Isto porque o facto de os laminados de carbono suportarem tensões maiores conduzir a tensões
de serviço mais elevadas e, consequentemente, deformações ε maiores.
Este dados são mais perceptíveis através da elaboração de gráficos, para cada tipo de P0, onde
se estabelece a relação entre a abertura de fendas w e a razão entre a área de reforço
equivalente Ar,eq e a área de armadura inferior As, sob os vários acréscimos de carga de
dimensionamento. Sendo que yd
rdreqr
f
fAA =, .
- 50 -
Figura 15.a
Figura 15.b
Figura 15.c
Figuras 15.a, b e c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para
P0=cp+Ψ2sc, P0=cp e P0=0.75 cp, respectivamente, segundo a metodologia 1
P0 = cp + Ψ2sc EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = cp EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0.75cp EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
- 51 -
Figura 15.d
Figura 15.e
Figura 15.f
Figuras 15.d,e e f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5cp,
P0=0.25 cp e P0=0,,respectivamente, a metodologia 1
P0 = 0.5cp EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0.25cp EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0 EC2
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
- 52 -
Além do que já se tinha constatado, a observação dos gráficos permite reparar que a diferença
de valores de w, consoante o acréscimo de carga, é mais notória no caso das chapas de aço. De
facto, quando a estrutura se encontra totalmente sobrecarregada na fase de aplicação do
reforço, P0 = cp + Ψ2sc, o valor da abertura de fendas é praticamente independente do nível de
reforço. Esta questão aponta, uma vez mais, para a diferença de tensões de cálculo dos dois
materiais (CFRP e chapas de aço). Enquanto que um acréscimo de 10% na carga provoca uma
subida de 0.6 cm2 de área de laminado de carbono necessária, o mesmo acréscimo provoca um
aumento de 3 cm2 de chapa de aço (Quadros 9 e 10). Desta forma a descida da linha neutra,
nos elementos reforçados com chapa de aço, será mais acentuada e irá causar menores
aberturas de fendas e com valores mais díspares entre cada situação de acréscimo de carga.
Metodologia 2 – Boletim 14 da fib
Nesta metodologia os parâmetros apresentados no quadro seguinte têm valores constantes:
Constante para cálculo de wk β 1.7
Tensão de aderência do aço τ sm 5.22 [MPa]
Tensão de aderência do reforço externo τ fm 3.625 [MPa]
Alta aderência β1 1
Carregamento de longa duração β2 0.5
Diâmetro dos varões inferiores ds 0.016 [m]
Perímetro de adesão do reforço externo us 0.1508 [m]
Quadro 14 – Parâmetros utilizados no cálculo da abertura de fendas segundo o boletim 14 da fib
Os resultados obtidos segundo esta metodologia estão tabelados nos quadros seguintes (mais
uma vez optou-se por colocar apenas os valores mais relevantes, estando os quadros completos
no Anexo B deste trabalho).
- 53 -
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91
P0 = cp + Ψ2sc
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00116 0.00120 0.00124 0.00127 0.00130
wk 0.347 0.318 0.286 0.265 0.241 [mm]
P0 = cp
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00114 0.00117 0.00119 0.00121 0.00122
wk 0.343 0.309 0.274 0.251 0.226 [mm]
P0 = 0.75 cp
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00111 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114
wk 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]
P0 = 0.5 cp
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00109 0.00111 0.00109 0.00108 0.00107
wk 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]
P0 = 0.25 cp
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00107 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099
wk 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]
P0 = 0
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
ε2 0.00105 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091
wk 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]
Quadro 15 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia 2
- 54 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91
P0 = cp + Ψ2sc
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
ε2 0.00119 0.00122 0.00125 0.00127 0.00128
wk 0.368 0.342 0.312 0.287 0.268 [mm]
P0 = cp
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
ε2 0.00112 0.00111 0.00110 0.00109 0.00109
wk 0.348 0.309 0.274 0.248 0.229 [mm]
P0 = 0.75 cp
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
ε2 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092
wk 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]
P0 = 0.5 cp
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1471 0.1333 [m]
ε2 0.00100 0.00088 0.00081 0.00076 0.00074
wk 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]
P0 = 0.25 cp
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]
ε2 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056
wk 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]
P0 = 0
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]
ε2 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039
wk 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]
Quadro 16 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 2
Observando os dois quadros anteriores repara-se, mais uma vez, que a abertura de fendas é
menor à medida que a carga de dimensionamento aumenta, para a mesma carga inicial
- 55 -
actuante, e também menor, para o mesmo acréscimo de carga, quando P0 decresce. Ao
aumentar a carga de dimensionamento, está-se também a aumentar a área de reforço externo
necessária para evitar o colapso da estrutura. Tal como se viu na discussão de resultados da
metodologia 1, a área de reforço é dimensionada para resistir ao colapso e, como tal, está
sobredimensionada para o cálculo da fendilhação. Assim, o aumento dessa área de reforço irá
originar um menor espaçamento entre fendas srm que levará a menores valores de wk. Existirão
ainda casos (reforço com chapas de aço) onde a descida da linha neutra irá provocar uma Ache
menor e, por conseguinte, srm ainda menor.
O segundo facto é explicado da mesma forma que para os resultado obtidos com a metodologia
1. Ou seja, menores cargas iniciais P0 irão resultar em menores deformações iniciais, e estas,
em menores deformações finais. Como se vê em ambos os quadros, e analisando uma dada
coluna respeitante a um determinado acréscimo de carga de dimensionamento, é justamente a
deformação final ε2 que vai determinar a diferença de valores de wk.
Vê-se também que existem três valores de ε2 em cada quadro destacados a cor. Se se analisar
a metodologia descrita em 2.2.4.1 repara-se que o cálculo de ε2 se baseia na expressão
012 εεεε +≈≈ fs . No entanto, os valores assinalados são menores do que a extensão inicial ε0
(Quadro 8). Assim, conclui-se que esta metodologia não é adequada para ser empregue em
casos onde um dado acréscimo de carga de dimensionamento origine uma área de reforço
externo relativamente pequena para uma estrutura totalmente carregada na altura de aplicação
do reforço.
Agora, por meio de gráficos, serão comparados os valores da abertura de fendas para elementos
reforçados, com um e outro tipo de reforço, e para as várias combinações de serviço (tal como
se fez feito no estudo da metodologia 1).
- 56 -
Figura 16.a
Figura 16.b
Figura 16.c
Figuras 16.a,b e c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para
P0=cp+Ψ2sc, P0=cp e P0=0.75cp,respectivamente, segundo a metodologia 2
P0 = cp + Ψ2sc fib14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = cp Fib 14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0.75cp Fib 14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
- 57 -
Figura 16.d
Figura 16.e
Figura 16.f
Figuras 16.d,e e f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp,
P0=0.25 cp e P0=0,respectivamente, segundo a metodologia 2
P0 = 0.5cp Fib 14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0.25cp Fib 14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
P0 = 0 Fib 14
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de aço
- 58 -
Através desta metodologia nota-se uma situação estranha nos gráficos das figuras 16.a e b. No
primeiro vê-se que os elementos reforçados com chapas de aço têm uma maior abertura de
fendas do que os mesmos reforçados com laminados de carbono. E no segundo gráfico os
valores de abertura de fendas são muito similares. Como já se viu anteriormente, o reforço à
base de CFRP gera sempre fendas maiores devido ao facto de a sua tensão de cálculo ter um
valor muito elevado quando comparado com o reforço externo por meio de chapas de aço.
Donde se pode concluir que esta metodologia não está afinada para estruturas que não estejam
devidamente aliviadas (P0 ≥ cp) da carga actuante na altura de execução do reforço.
Esta análise, vem completar o que já se havia constatado na observação dos quadros 15 e 16.
Isto é, quando a combinação de serviço utilizada é P0=cp+Ψ2sc, os valores obtidos são
incoerentes e distantes da situação real. Porém, se se for diminuindo esta mesma carga de
serviço, principalmente se P0 < cp, já se começam a obter resultados mais próximos da
realidade. Assim, ir-se-á obter uma extensão inicial ε0 bastante menor que irá influenciar os
cálculos seguintes. Uma melhor compreensão deste efeito é obtida se se analisar a expressão
de cálculo de ε2. Ou seja, quando o objectivo é comparar, para a mesma situação, as extensões
finais de um elemento reforçado ou com laminados de carbono, ou com chapas de aço, por
observação da expressão abaixo vê-se que o único parâmetro que difere de um para o outro
caso é, justamente, a área de reforço Ar.
rrss
rrrk
AEAE
AEN
+
+= 0
2
εε
À medida que se vai aliviando a estrutura da sua carga de serviço, a extensão inicial ε0 fica cada
vez menor até chegar ao valor 0. Este facto faz com que a expressão de ε2 se aproxime de:
rrss
rk
AEAE
N
+=2ε
E agora vê-se que um Ar maior irá resultar numa extensão ε2 menor, e daí , á medida que P0
diminui, os elementos reforçado com chapas de aço tenham extensões finais menores e, como
tal, uma menor abertura de fendas.
Já o valor de espaçamento entre fendas srm não é tão influenciado pelo alívio de carga, como se
pode constatar nos quadros 15 e 16. Aliás, os valores de srm mudam quando se utiliza reforço
com chapas de aço e no caso de, ou o acréscimo de carga de dimensionamento, ou alívio da
carga actuante P0, ou então ambos, causem a descida da linha neutra da secção e, uma
- 59 -
consequente diminuição da área afectiva traccionada Ac,eff. Este facto fará com que o
espaçamento entre fendas diminua relativamente ao valor obtido para o P0 anterior.
Assim, conclui-se que o principal responsável pela descida de valores de abertura de fendas é
mesmo a diminuição do valor da extensão inicial à medida que a estrutura é cada vez mais
aliviada na altura de execução do reforço.
- 60 -
3.3.1.2 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS
Realizado o primeiro estudo do caso prático do nosso trabalho, torna-se necessário comparar os
resultados de ambas as metodologias. Já se viu que, tirando duas excepções (Figuras 16.a e b),
o andamento dos gráficos das figuras 14 e 15 é semelhante. Desta forma ir-se-á, aqui, comparar
os valores obtidos para a combinação Pcqp = 0.75 cp, dado que é uma situação média para
ambos os métodos de cálculo de abertura de fendas.(os restantes gráficos de comparação
podem ser consultados no Anexo C).
Figura 17 – Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para
vários acréscimo de carga sob a combinação de serviço Pcqp = 0.75 cp
Observando o gráfico repara-se, de imediato, que existe uma clara diferença de valores entre as
duas metodologias. Consegue-se, também, ver quer as curvas geradas pela metodologia 2 têm
o mesmo andamento e valores de abertura de fendas, para os dois tipos de reforço utilizado,
próximos, o que não acontece com a metodologia 1.
Quando se analisa de uma forma mais atenta as duas metodologias verifica-se que o cálculo
usado com base nas fórmulas da metodologia 1 é bastante simplificado e só tem em conta o
efeito de um reforço externo no cálculo ρp,ef e o diagrama de tensões da estrutura através do
parâmetro k2. A metodologia 2 tem em conta, não só a área do reforço externo, como o estado
P0=0.75cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
- 61 -
de deformação inicial ε0, as tensões de aderência desta ao elemento a reforçar fmτ e ainda um
parâmetro de aderência ξb.
3.3.1.3 AUMENTO DA ÁREA DE REFORÇO SOB CARGA CONSTANTE
Neste ponto do trabalho estuda-se a variação da abertura de fendas, em função de um aumento
constante da área de reforço, para cada carga actuante na altura de aplicação do reforço. Os
cálculos deste ponto do trabalho foram realizados utilizando a metodologia 2, fazendo
acréscimos de carga entre os 20% e os 50% e utilizando as seguintes combinações de carga de
serviço cargas iniciais P0.
- 0.75 cp
- 0.5 cp
- 0.25 cp
- 0
Esta variação será mais perceptível mediante a elaboração e observação de gráficos onde a
abertura de fendas wk irá variar, novamente, com a razão entre a área de reforço equivalente
Ar,eq e a área de armadura inferior As. yd
rdreqr
f
fAA =, .
Os vários aumentos de área a considerar para os vários acréscimo de carga de
dimensionamento estão tabelados nos quadros seguintes, para ambos os tipos de reforço. Mais
uma vez mostram-se, apenas, os valores relevantes sendo que todos os valores necessários
para este cálculo podem ser consultados no Anexo D.
- 62 -
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]
(Ar,eq/As)(0) 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388
A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03 [cm2]
(Ar,eq/As) (1) 0.400 0.600 0.900 1.100 1.500
A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23 [cm2]
(Ar,eq/As) (2) 0.500 0.700 1.000 1.200 1.600
A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43 [cm2]
(Ar,eq/As) (3) 0.600 0.800 1.100 1.300 1.700
A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63 [cm2]
(Ar,eq/As) (4) 0.700 0.900 1.200 1.400 1.800
Quadro 17 – Aumento da área de CFRP a partir da área dimensionada
Chapas de aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]
(Ar,eq/As) (0) 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344
A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74 [cm2]
(Ar,eq/As) (1) 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500
A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86 [cm2]
(Ar,eq/As) (2) 0.400 0.700 1.000 1.300 1.600
A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98 [cm2]
(Ar,eq/As) (3) 0.500 0.800 1.100 1.400 1.700
A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09 [cm2]
(Ar,eq/As) (4) 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800
Quadro 18 – Aumento da área de chapas de aço a partir da área dimensionada
- 63 -
Com os valores dos quadros anteriores (Quadros 17 e 18) e com base no relatório da fib,
calcularam-se os valores das respectivas aberturas de fendas, para cada uma das áreas de
reforço Ai e ilustrou-se esta mesma relação nos gráficos seguintes (as tabelas completas com os
resultados usados na elaboração dos gráficos estão no Anexo E). Primeiro para o reforço com
laminados de carbono:
Acréscimo de 20% de carga - CFRP
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 18.a
Acréscimo de carga de 30% - CFRP
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 18.b
Figuras 18.a e b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo
,para um dado acréscimo de carga de dimensionamento.
- 64 -
Acréscimo de carga de 40% - CFRP
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 18.c
Acréscimo de carga de 50% - CFRP
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 18.d
Figuras 18.c e d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo
,para um dado acréscimo de carga.
- 65 -
Vê-se que para o mesmo acréscimo de carga, a abertura de fendas diminui à medida que se vai
aumentando a área de reforço. Isto sucede porque o aumento da área de reforço vai originar
uma diminuição substancial do valor do espaçamento entre fendas srm (ponto 2.2.4.1 –
metodologia 2) e também uma diminuição da extensão final ε2. Os valores deste estudo podem
ser consultados no Anexo F.
Tal como seria de esperar, vê-se que à medida que o acréscimo de carga considerado é maior, o
valor de abertura de fendas diminui. Facto já constatado e explicado no ponto anterior do
trabalho. Vê-se também que um maior acréscimo de carga gera maior área de reforço e, como
tal, o valor da relação Ar,eq/As vai sendo cada vez maior. Por fim, reforça-se a ideia de que quanto
mais aliviada, da sua carga actuante, for a estrutura na altura de aplicação do reforço, menor
será a fendilhação.
De seguida ir-se-ão observar os mesmo gráficos respeitantes ao reforço externo com chapas de
aço:
Acréscimo de carga de 20% - Chapas de aço
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 19.a
Figuras 19.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para
um dado acréscimo de carga.
- 66 -
Acréscimo de carga de 30% - Chapas de aço
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 19.b
Acréscimo de carga de 40% - Chapas de aço
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 19.c
Figuras 19.b e c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo
,para um dado acréscimo de carga, e para as várias combinações de serviço.
- 67 -
Acréscimo de carga de 50% - Chapas de aço
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
Ar,eq/As
wk
0.75cp
0.5cp
0.25cp
0
Figura 19.d
Figuras 19.c e d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo
,para um dado acréscimo de carga, e para as várias combinações de serviço.
Tirando as observações já feitas para os gráficos das figuras 18, repara-se que os gráficos de
cada P0 estão mais distantes uns dos outros. Isto sucede porque um aumento de área
equivalente Ar,eq irá implicar um aumento significativamente maior de chapa de aço do que de
CFRP, devido ao facto de a tensão de cálculo do laminado de carbono ser largamente superior
(cerca de cinco vezes e meia) à da chapa de aço. Relembra-se uma vez mais que
yd
rdreqr
f
fAA =, .
Tal como aconteceu no reforço com CFRP, a abertura de fendas diminui à medida que se vai
aumentando a área de reforço. Mais uma vez, através dos resultados tabelado no Anexo F, vê-
se que o espaçamento entre fendas srm é o parâmetro mais influenciado pelo aumento da área
de reforço.
Através dos gráficos anteriores fica-se com a ideia cimentada de que o aumento da área de
reforço irá baixar o nível de fendilhação, qualquer que seja o aumento da carga de
dimensionamento quer a estrutura seja muito, ou pouco, aliviada durante a aplicação do reforço.
Não é necessária a comparação de valores entre CFRP e chapas de aço uma vez que esse
estudo já foi feito e analisado com a conclusão de que os elementos reforçados com laminados
- 68 -
de carbono irão gerar sempre fendas maiores, e com a distância entre os valores de ambos a
aumentar à medida que a estrutura vai sendo menos sobrecarga na fase de execução do reforço
P0 cada vez menor. No entanto, elabora-se, na mesma, gráficos onde são comparados os
valores de fendilhação obtidos para os dois tipos de reforço em função do aumento da área
destes e colocaram-se no Anexo G, a título de curiosidade.
3.3.2 – SECÇÕES DOS APOIOS
Como já se viu anteriormente, a posição da linha neutra é independente do momento actuante.
Assim, todos os casos em estudo terão as seguintes constantes usadas no cálculo das
deformações do betão e do aço εc eεs, respectivamente.
As-(apoio)=As2 12.57 [cm2]
As+=As1 6.03 [cm2]
αs 6.06 X 0.132 [m]
I 0.000983 [m4]
Quadro 19 – Parâmetros comuns ao cálculo das extensões εc eεs , na zona dos apoios
Desta forma, para os vários acréscimos de carga de dimensionamento obtêm-se os valores
necessários para o posterior cálculo da fendilhação:
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50% Vão 7 [m]
P0' 28.52 29.94 31.36 32.78 34.20 [KN/m]
Mk- 116.46 122.26 128.05 133.85 139.65 [Kim]
Mk+ 58.23 61.13 64.03 66.93 69.83 [Kim]
εc 0.00047 0.00050 0.00052 0.00054 0.00057
εs 0.00114 0.00120 0.00126 0.00131 0.00137
Quadro 20 – Cálculo das extensões εc eεs para os vários níveis de acréscimo de carga
- 69 -
Calculando a abertura de fendas:
ds 0.02 [m]
k1 0.8 c 0.025 [m]
kt 0.4
Quadro 21 – Constantes utilizadas no cálculo de abertura de fendas
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Ac,ef 0.0307 0.0307 0.0307 0.0307 0.0307 [m2]
k2 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83
ρp,ef 0.0410 0.0410 0.0410 0.0410 0.0410
sr,max 0.2232 0.2232 0.2232 0.2232 0.2232 [m]
εsrm 0.00097 0.00102 0.00108 0.00114 0.00119
w 0.2155 0.2282 0.2409 0.2536 0.2663 [mm]
Quadro 22 – Cálculo da abertura de fendas, nas secções não reforçadas, para os vários
acréscimos de carga de dimensionamento, segundo EC2
Quando se observam os valores do quadro acima repara-se que a abertura de fendas aumenta
com o aumento da carga de dimensionamento, e vê-se que esse aumento se deve ao aumento
da extensão média relativa entre o aço e o betão εsrm. Ao ter-se em conta as expressões dos
pontos 2.2.4.3, vê-se que isto sucede porque o aumento do momento negativo actuante Mk- irá
aumentar a extensão no betão εc e, consequentemente, a extensão no aço εs. Finalmente, o
aumento de εs é o principal parâmetro responsável pelo aumento de εsrm, porque todos os outros
se mantêm constantes.
Estes valores de abertura de fendas têm andamento contrário dos valores do estudo da
fendilhação das secções reforçadas (meio vão). Isto sucede porque estas zonas não têm
reforçado aplicado e desta forma não vai existir uma área de reforço excessiva (no que diz
respeito à verificação da fendilhação) que faz baixar os valores de wk.
- 70 -
3.4 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO A 2
1 VÃO PARA UM NOVO
CASO PRÁTICO
3.4.1 – CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO
Neste ponto do trabalho será calculada o valor de abertura de fendas utilizando uma nova
secção e depois será feita a comparação com os valores obtidos no caso anterior (será feito
somente o estudo referente ao ponto 3.3.1.1 – avaliação da fendilhação para diferentes níveis de
carga actuantes). Assim, a nova laje e secção transversal são:
Figura 20 - Laje do modelo de cálculo
Mais uma vez tem-se um vão bi-encastrado com a carga a actuar inteiramente na sua direcção.
As secções no meio-vão e apoio são:
Figura 21 - Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a
meio-vão (esquerda) e nos apoios (direita)
- 71 -
3.4.2 – CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA
Fazendo os mesmos cálculos, que nos pontos 3.2.1 e 3.2.2 chega-se aos valores da sobrecarga
suportada pela estrutura e área de reforço necessária aquando do acréscimo da sobrecarga:
Laje + Viga
Vão 10 [m]
As-(varões) 19.24 [cm2] 2Ф25+3Ф20
As-(1/2 van)(varões) 9.42 [cm2] 3Ф20
As+(varões) 9.42 [cm2] 3Ф20
w-(β=0.5) 0.147
w+(β=1) 0.072
µ- 0.136
µ+ 0.070
TABELA A500
d2/d=0.10
Med- 736.44 [Kim]
Med+ 379.05 [Kim]
Prod 89.24 [KN/m]
rap 1.5 [KN/m2]
cp 38.5 [KN/m]
sc 21.0 [KN/m]
q 4.2 [KN/m2]
Quadro 23 - Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura
Vê-se que esta nova estrutura tem uma capacidade resistente da mesma ordem de grandeza
que a estrutura anterior.
- 72 -
3.4.3 – DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Psd' 98.16 107.09 116.01 124.93 133.86 [KN/m] sc' 26.94 32.89 38.84 44.79 50.74 [KN/m]
sclaje' 5 7 8 9 10 [KN/m2]
Msd+' 490.60 602.15 713.70 825.25 936.80 [Kim]
β 0.5
deq 0.98 [m]
µ+' 0.086 0.106 0.125 0.145 0.164
w+' 0.081 0.099 0.116 0.134 0.150
TABELA
Aeq 10.89 13.31 15.60 18.02 20.17 [cm2] ACFRP 0.49 1.30 2.07 2.88 3.60 [cm2]
Ar,eq/As 0.156 0.413 0.656 0.913 1.141 AChapa 2.73 7.21 11.44 15.92 19.90 [cm2]
Ar,eq/As 0.156 0.413 0.656 0.913 1.141
Quadro 24 - Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento
Por observação da tabela acima repara-se que o aumento da carga de dimensionamento resulta,
tal como no caso anterior, no aumento de 1 KN/m2 da sobrecarga por cada acréscimo de 10% da
carga de dimensionamento. Devido ao facto de os esforços de dimensionamento serem maiores,
que no caso anterior, a área de reforço será, também, maior como se pode ver nas últimas duas
linhas da tabela.
- 73 -
3.4.4 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO
Tal como no ponto 3.3.1.1, para se calcular a abertura de fendas da nova estrutura começa-se
por avaliar a situação inicial desta e depois obtêm-se a posição da linha neutra Xe, já com a
estrutura reforçada.
i) Situação inicial
Vão 10 [m]
Tipo de carga actuante cp + Ψ2sc cp 0.75 cp 0.5 cp 0.25 cp 0
P0 46.90 38.50 28.88 19.25 9.63 0.00 [KN/m]
M0- 390.83 320.83 240.63 160.42 80.21 0.00 [Kim]
M0+ 195.42 160.42 120.31 80.21 40.10 0.00 [Kim]
As-(1/2 van)=As2 9.42 [cm2]
As+=As1 9.42 [cm2]
αs 6.06
X0 0.166 [m]
Ic0 0.003991 [m4]
εc0 0.000246 0.000202 0.000152 0.000101 0.000051 0.00
ε0 0.00124 0.00102 0.00076 0.00051 0.00025 0.00
Mcr 145.00 [Kim]
Quadro 25 - Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante
Por observação directa do quadro acima e por comparação com os valores do quadro 8, vê-se
que os momentos actuantes iniciais M0 são maiores, facto já esperado uma vez que tanto a
carga actuante como o comprimento do vão são maiores que na estrutura anterior. Vê-se, ainda,
que os valores das extensões iniciais são muito similares. De facto, as extensões iniciais da fibra
superior εc0 são da mesma ordem de grandeza (ainda que ligeiramente menores) e as extensões
da fibra inferior ε0 têm praticamente os mesmos valores.
Já o aumento do momento de fendilhação Mcr se deve ao facto de o seu cálculo se basear única
e exclusivamente nas dimensões da secção. Como esta nova secção é significativamente maior,
também o Mcr o será.
- 74 -
ii) Aplicação do reforço
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Vão 10 [m]
P0' 49.28 51.66 54.04 56.42 58.80 [KN/m]
Mk- 410.64 430.47 450.30 470.13 489.96 [Kim]
Mk+ 205.32 215.24 225.15 235.07 244.98 [Kim]
ACFRP 0.49 1.30 2.07 2.88 3.60 [cm2]
αf 6.06
P0 = cp + Ψ2sc
Xe 0.167 0.167 0.169 0.17 0.171 [m]
εc 0.00026 0.00028 0.00029 0.0003 0.00031
P0 = cp
Xe 0.167 0.169 0.171 0.173 0.175 [m]
εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.0003
P0 = 0.75 cp
Xe 0.168 0.171 0.174 0.176 0.179 [m]
εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.0003
P0 = 0.5 cp
Xe 0.169 0.173 0.176 0.18 0.183 [m]
εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00028 0.00029
P0 = 0.25 cp
Xe 0.17 0.175 0.18 0.184 0.188 [m]
εc 0.00026 0.00027 0.00027 0.00028 0.00028
P0 = 0
Xe 0.17 0.177 0.183 0.189 0.194 [m]
εc 0.00026 0.00026 0.00027 0.00027 0.00027
Quadro 26 - Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono
- 75 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Vão 10 [m]
P0' 49.28 51.66 54.04 56.42 58.80 [KN/m]
Mk- 410.64 430.47 450.30 470.13 489.96 [Kim]
Mk+ 205.32 215.24 225.15 235.07 244.98 [Kim]
AChapa 2.73 7.21 11.44 15.92 19.90 [cm2]
αf 6.06
P0 = cp + Ψ2sc
Xe 0.168 0.17 0.173 0.176 0.179 [m]
εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.00029
P0 = cp
Xe 0.171 0.176 0.181 0.185 0.189 [m]
εc 0.00026 0.00026 0.00027 0.00027 0.00028
P0 = 0.75 cp
Xe 0.175 0.184 0.192 0.198 0.204 [m]
εc 0.00025 0.00025 0.00025 0.00026 0.00026
P0 = 0.5 cp
Xe 0.179 0.193 0.204 0.214 0.221 [m]
εc 0.00025 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024
P0 = 0.25 cp
Xe 0.183 0.204 0.22 0.235 0.246 [m]
εc 0.00024 0.00023 0.00022 0.00022 0.00022
P0 = 0
Xe 0.188 0.217 0.24 0.262 0.279 [m]
εc 0.00024 0.00022 0.00021 0.0002 0.0002
Quadro 27 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço
Observando os dois quadros anteriores, verifica-se que as extensões finais são menores que no
caso anterior, tanto para o caso de reforço com CFRP como com reforço com chapas de aço.
Continua-se a verificar que a posição da linha neutra desce à medida que a carga inicial P0 é
menor. E também que esta descida é mais notória no caso de reforço com chapas de aço.
Também neste caso se verifica a discrepância existente entre os momentos de
dimensionamento MSD’ e os actuantes Mk (observação dos quadros 24 e 27). MSDN’ é também,
em média, cerca de três vezes Mk. Assim podem-se esperar valores da área de reforço que
suportam bem a carga da estrutura mas que se revelam excessivos para a verificação à
fendilhação, fazendo com que a abertura de fendas desça à medida que a carga de
dimensionamento aumenta.
- 76 -
Metodologia 2
Os parâmetros constantes deste cálculo foram já tabelados no quadro 14, com alteração relativa
ao diâmetro dos varões ds e ao perímetro de ligação destes us, que tomam os valores 0.02 e
0.1885, respectivamente.
Os resultados obtidos para os dois tipos de reforço são então:
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.75 0.77 0.79 0.81 0.82
ξb 2.480 2.480 2.480 2.480 2.480
srm 0.1957 0.1646 0.1431 0.1258 0.1135 [m]
P0 = cp + Ψ2sc
ε2 0.00123 0.00128 0.00132 0.00135 0.00138
wk 0.308 0.276 0.254 0.234 0.220 [mm]
P0 = cp
ε2 0.00122 0.00125 0.00128 0.00130 0.00132
wk 0.305 0.270 0.246 0.225 0.211 [mm]
P0 = 0.75 cp
ε2 0.00121 0.00122 0.00123 0.00124 0.00125
wk 0.302 0.264 0.237 0.215 0.200 [mm]
P0 = 0.5 cp
ε2 0.00120 0.00119 0.00119 0.00118 0.00118
wk 0.299 0.257 0.229 0.205 0.189 [mm]
P0 = 0.25 cp
ε2 0.00119 0.00116 0.00114 0.00112 0.00112
wk 0.296 0.251 0.220 0.194 0.178 [mm]
P0 = 0
ε2 0.00117 0.00113 0.00110 0.00106 0.00105
wk 0.293 0.244 0.211 0.184 0.167 [mm]
Quadro 28 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia 2
Tem-se, uma vez mais, um valor destacado que corresponde a uma extensão final com valor
inferior à respectiva extensão inicial. O que não pode acontecer. Há, no entanto, uma melhoria
desta metodologia pois agora só há um resultado impossível, ao passo que no quadro 15
haviam três.
- 77 -
Comparando, ainda, com o quadro 15, vê-se que a fendilhação tem o mesmo comportamento,
ou seja, o valor da abertura de fendas decresce tanto à medida que aumentamos a carga de
dimensionamento Psd’ como à medida que vamos aliviando a estrutura na fase de aplicação do
reforço, P0 menor.
Porém, comparando os valores de abertura de fendas vê-se que estes são menores para o novo
caso, onde a estrutura tem dimensões maiores (facto mais perceptível mediante a elaboração de
gráficos de seguida). Tal deve-se ao facto de tanto as extensões finais como o espaçamento
entre fendas srm (excepto para o caso de acréscimo de 10% na carga Psd’) serem menores que
no caso anterior.
ε2 é menor devido ao aumento da área dos varões As e da área de reforço Af. A diminuição de
srm face ao caso anterior deve-se, essencialmente, ao aumento da armadura inferior, fazendo
com que o parâmetro de aderência ξb aumente de valor (devido ao maior diâmetro ds dos
varões). Este último, aliado ao aumento do perímetro de ligação us e a uma maior área de
reforço Af irá resultar na diminuição do valor do espaçamento entre as fendas.
- 78 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.75 0.77 0.79 0.81 0.82
ξb 0.347 0.347 0.347 0.347 0.347
srm 0.2009 0.1746 0.1555 0.1393 0.1275 [m]
P0 = cp + Ψ2sc
ε2 0.00123 0.00126 0.00128 0.00129 0.00130
wk 0.316 0.290 0.268 0.248 0.233 [mm]
P0 = cp
ε2 0.00119 0.00117 0.00116 0.00115 0.00115
wk 0.304 0.268 0.243 0.221 0.206 [mm]
P0 = 0.75 cp
ε2 0.00113 0.00106 0.00102 0.00100 0.00098
wk 0.289 0.243 0.214 0.191 0.176 [mm]
P0 = 0.5 cp
ε2 0.00107 0.00095 0.00088 0.00084 0.00081
wk 0.275 0.218 0.185 0.161 0.145 [mm]
P0 = 0.25 cp
ε2 0.00102 0.00084 0.00075 0.00068 0.00064
wk 0.260 0.193 0.156 0.131 0.115 [mm]
P0 = 0
ε2 0.00096 0.00073 0.00061 0.00052 0.00047
wk 0.246 0.168 0.128 0.101 0.085 [mm]
Quadro 29 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 2
A discussão dos resultados da tabela acima é análoga à discussão para o reforço com CFRP,
sendo que estes resultados deverão ser comparados com o quadro 16. No entanto, importa
salientar dois aspectos importantes relacionados com a comparação entre os quadros 28 e 29.
Vê-se que, tal como no caso anterior, para a carga inicial P0 = cp + Ψ2sc, as chapas de aço
apresentam maiores valores de abertura de fendas, o que já se viu não ser possível devido ao
facto de o reforço com CFRP ter tensões de cálculo maiores (de onde têm de resultar fendas
maiores). Já para P0 = cp, não se verifica uma igualdade entre as aberturas de fendas para os
dois reforços (o que acontecia no caso anterior) ainda que os valores estejam muito próximos, e
já se verifica uma situação mais adequada à realidade com o reforço com CFRP a gerar fendas
maiores.
- 79 -
Agora vão-se comparar os resultados obtidos de uma forma mais perceptível com a elaboração
de gráficos, mas considerando, apenas a partir de uma carga inicial P0 < 0.75 cp uma vez que
são as situações a partir das quais se obtêm resultados mais coerentes:
Figura 22.a
Figura 22.b
Figuras 22.a e b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com
os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp e P0 = 0.5 cp, respectivamente,
segundo a metodologia 2
P0=0.75cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
P0=0.5cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
- 80 -
Figura 22.c
Figura 22.d
Figuras 22.c e d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com
os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.25 cp e P0 = 0, respectivamente, segundo
a metodologia 2
Através da observação dos gráficos das figuras 22, vê-se que a abertura de fendas, no caso 2,
é sempre menor que os valores do caso 1 para os mesmos tipos de reforço. Ou seja, a viga
reforçada de menores dimensões vai gerar fendas maiores do que a viga reforçada de dimensão
maior.
Vê-se, também, que a diminuição da carga inicial actuante gera uma maior diferença de valores
de abertura de fendas, entre os dois tipos de reforço, para o primeiro caso do que para o novo
caso, onde as curvas de CFRP e chapa de aço têm um andamento ligeiramente mais próximo.
P0=0.25cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
P0=0
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
- 81 -
Metodologia 1
Vai-se agora repetir o estudo, mas utilizando a metodologia 1 e procurar ver se a alteração do
diagrama de tensões (parâmetro k2) tem alguma influência nos novos resultados.
Tem-se assim, uma vez mais, valores comuns a todos os casos:
Varões de alta aderência k1 0.8
Diâmetro dos varões inferiores ds 0.02 [m] Recobrimento das armaduras c 0.025 [m]
Quadro 30 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1
E agora os resultados obtidos para os dois tipos de reforço e diversos acréscimos de carga
tabelados nas páginas seguintes.
- 82 -
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Pcqp = cp + Ψ2sc
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.323 0.305 0.290 0.277 0.266 [m]
εsm 0.00092 0.00101 0.00106 0.00111 0.00116
w 0.296 0.310 0.308 0.308 0.310 [mm]
Pcqp = cp
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]
εsm 0.00092 0.00096 0.00101 0.00106 0.00110
w 0.252 0.252 0.252 0.252 0.252 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]
εsm 0.00091 0.00095 0.00099 0.00103 0.00107
w 0.250 0.248 0.247 0.246 0.245 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]
εsm 0.00090 0.00094 0.00098 0.00097 0.00100
w 0.248 0.245 0.243 0.231 0.230 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]
εsm 0.00090 0.00092 0.00092 0.00094 0.00094
w 0.247 0.241 0.228 0.225 0.215 [mm]
Pcqp = 0
ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]
εsm 0.00090 0.00088 0.00090 0.00088 0.00087
w 0.247 0.229 0.223 0.210 0.199 [mm] Quadro 31 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia
1
- 83 -
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
Pcqp = cp + Ψ2sc
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.279 0.227 0.198 0.178 0.165 [m]
εsm 0.00091 0.00096 0.00100 0.00103 0.00103
w 0.254 0.217 0.197 0.184 0.170 [mm]
Pcqp = cp
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]
εsm 0.00089 0.00088 0.00091 0.00090 0.00093
w 0.214 0.175 0.159 0.144 0.139 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]
εsm 0.00083 0.00080 0.00078 0.00080 0.00078
w 0.200 0.160 0.137 0.127 0.117 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]
εsm 0.00081 0.00073 0.00070 0.00067 0.00065
w 0.194 0.144 0.122 0.106 0.097 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]
εsm 0.00076 0.00065 0.00058 0.00054 0.00052
w 0.181 0.129 0.101 0.086 0.077 [mm]
Pcqp = 0
ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078
k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92
sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]
εsm 0.00073 0.00057 0.00049 0.00043 0.00040
w 0.175 0.114 0.086 0.067 0.059 [mm] Quadro 32 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a
metodologia 1
- 84 -
Em termos de abertura de fendas, a análise dos valores destes quadros é praticamente igual à
análise feita no ponto 3.3.1.1 para os quadros 12 e 13 com a excepção do valor de abertura de
fendas da viga reforçada com CFRP e carregamento, na altura de aplicação do reforço, de P0 =
Ψ2sc+cp e P0 = cp (Quadro 31). Aqui verifica-se uma situação de aumentos e descidas do valor
de abertura de fendas, ainda que os valores estejam tudo muito próximos uns dos outros, para o
primeiro caso. Já para o segundo caso descrito, vê-se que a abertura de fendas é sempre igual
para todos os acréscimos de carga.
Analisando agora o parâmetro k2 (relativo à distribuição de tensões) vê-se que este tem o valor
de 0.92, quando no caso anterior era de 0.84, o que significa que o diagrama de tensões na área
efectiva Ache se aproxima da tracção pura.
Uma vez que na metodologia 2 apenas foram comparados os resultados entre as duas vigas
para cargas de aplicação P0 inferiores a 0.75cp (carga a partir da qual se obtiveram resultados
coerentes) agora também só serão feitas comparações para os mesmos casos. Assim,
elaboram-se os seguintes gráficos de comparação, dos valores de aberturas de fendas, entre as
duas vigas estudadas e consoante o tipo de reforço externo utilizado:
Figura 23.a
Figuras 23.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os
dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp segundo a metodologia 1
P0=0.75cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
- 85 -
Figura 23.b
Figura 23.c
Figura 23.d
Figuras 23.b, c e d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com
os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp, P0 = 0.25 cp e P0 = 0 cp,
respectivamente, segundo a metodologia 1
P0=0.5cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
P0=0.25cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
P0=0
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
CFRP - Caso 1
CFRP - Caso 2
Chapa de aço - Caso 1
Chapa de aço - Caso 2
- 86 -
A observação dos gráficos das figuras 23 permite tirar as mesmas conclusões que no ponto
3.3.3, onde foi feita a comparação dos dois casos usando a metodologia 2. Isto é, a abertura de
fendas para o caso 2 é sempre menor que no caso 1, consoante o tipo de reforço, e a diminuição
de P0 gera uma maior diferença de valores de abertura de fendas entre os dois tipos de reforço.
3.4.5 – COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS
De seguida, vão-se comparar os valores obtidos, entre as duas metodologias, para o novo caso
de modo a verificar se a alteração do diagrama de tensões na área efectiva fez realmente
alguma diferença.
Figura 24 – Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para
vários acréscimo de carga sob a carga, na altura de aplicação do reforço, P0 = 0.75 cp
Observando o gráfico acima, e comparando-o com o gráfico da figura 17, vê-se que os dois têm
andamentos muito idênticos com a ligeira diferença de que os valores da abertura de fendas da
figura 24 são menores (facto já verificado na observação dos quadros anteriores).
P0 = 0.75 cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
- 87 -
CAPÍTULO 4 - CONCLUSÃO
Ao longo deste trabalho foi possível aprender um pouco sobre o reforço externo de estruturas de
betão armado, quer o reforço fosse à base de CFRP ou de chapas de aço. Desta forma, foram
dadas algumas luzes sobre as vantagens e desvantagens de cada tipo de reforço, bem como do
seu modo de aplicação.
Se, à partida, o reforço com CFRP parecia uma melhor solução, verificou-se, mais tarde, que
para o caso da fendilhação, o reforço com chapas de aço tinha um comportamento bastante
melhor.
De uma forma geral, relativamente ao estudo da fendilhação a meio vão, viu-se que a abertura
de fendas vai diminuindo tanto à medida que se alivia a carga da estrutura na altura de aplicação
do reforço (P0 menor), como à medida que se vai aumentando a carga de dimensionamento (Psd’
maior). Viu-se, ainda, que para vigas que suportem a mesma sobrecarga, a viga que tem
dimensões maiores será aquela que vai ter menores valores de abertura de fendas.
Particularizando para os dois tipos de metodologias estudadas, verificou-se que a metodologia 2
(boletim 14 da fib) apesar de não contemplar a distribuição de tensões na área efectiva através
do parâmetro k2, tem em conta a tensão e o parâmetro de aderência do reforço externo, o que já
não acontece com a metodologia 1 (Eurocódigo 2). Viu-se também que ambas as metodologias
apresentam resultados mais coerentes a partir do momento em que a estrutura se encontra
aliviada da sua carga actuante em cerca de 75% da carga permanente, na altura de aplicação de
reforço (P0 <0.75cp). ´
De uma forma geral não se chegou a nenhuma conclusão sobre qual a metodologia mais
correcta uma vez que uma primou pelos resultados gerados (metodologia 1) e outra pelos
parâmetros que utilizou nos cálculos (metodologia 2). Este equilíbrio só foi atingido pela
metodologia 2 e para um P0 <0.75cp.
Para o estudo da fendilhação nas zonas dos apoios viu-se que o valor de abertura de fendas irá
aumentar com o aumento da carga de dimensionamento (Psd’).
Numa avaliação global, admite-se que se trata de um trabalho interessante na medida em que
nunca tinha sido realizado um estudo deste tipo, tanto a nível de comparação das várias
metodologias de cálculo de fendilhação já feitas, como do estudo individual de cada uma destas,
de modo a avaliar a sua veracidade e coerência.
ANEXO
ANEXO A
Abertura de fendas segundo a metodologia 1
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
P0 = cp + Ψ2sc
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84 sr,max 0.310 0.292 0.275 0.262 0.247 [m]
εs 0.001228 0.00124 0.001289 0.001312 0.00135
εsm 0.00106 0.00109 0.00115 0.00118 0.00122
w 0.329 0.317 0.315 0.308 0.302 [mm]
P0 = cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.275 0.261 0.247 [m]
εs 0.001212 0.00122 0.001259 0.001285 0.001270
εsm 0.00105 0.00107 0.00112 0.00115 0.00115
w 0.325 0.313 0.307 0.302 0.285 [mm]
P0 = 0.75 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εs 0.00119 0.00119 0.001206 0.001209 0.001206
εsm 0.00103 0.00104 0.00107 0.00109 0.00109
w 0.318 0.304 0.294 0.284 0.270 [mm]
P0 = 0.5 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εs 0.00117 0.00117 0.00116 0.00114 0.00113
εsm 0.00101 0.00103 0.00103 0.00102 0.00103
w 0.313 0.300 0.282 0.267 0.254 [mm]
P0 = 0.25 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.309 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]
εs 0.00113 0.00114 0.00111 0.00109 0.00105
εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
w 0.303 0.292 0.270 0.255 0.235 [mm]
P0 = 0
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.309 0.291 0.274 0.261 0.246 [m]
εs 0.00112 0.00111 0.00106 0.00103 0.00098
εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
w 0.300 0.284 0.258 0.240 0.220 [mm]
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
P0 = cp + Ψ2sc
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84 sr,max 0.264 0.215 0.184 0.164 0.153 [m]
εs 0.00120 0.00121 0.00119 0.00121 0.00122
εsm 0.00104 0.00106 0.00106 0.00109 0.00110
w 0.274 0.228 0.195 0.179 0.169 [mm]
P0 = cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84
sr,max 0.264 0.215 0.183 0.164 0.153 [m]
εs 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
w 0.261 0.210 0.173 0.154 0.142 [mm]
P0 = 0.75 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067
k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83
sr,max 0.263 0.215 0.183 0.164 0.152 [m]
εs 0.0011 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009
εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
w 0.246 0.187 0.151 0.131 0.120 [mm]
P0 = 0.5 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0310 0.0306 [m2]
ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.069
k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.263 0.214 0.183 0.163 0.151 [m]
εs 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0007
εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
w 0.234 0.166 0.129 0.109 0.097 [mm]
P0 = 0.25 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0307 0.0299 0.0293 [m2]
ρc,ef 0.026 0.035 0.047 0.060 0.072
k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.191 0.162 0.142 0.130 0.123 [m]
εs 0.0010 0.0008 0.0007 0.0006 0.0006
εsm 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0005
w 0.220 0.150 0.106 0.085 0.074 [mm]
P0 = 0
Ac,ef 0.0313 0.0310 0.0296 0.0283 0.0275 [m2]
ρc,ef 0.026 0.036 0.049 0.064 0.076
k2 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83
sr,max 0.263 0.212 0.177 0.156 0.144 [m]
εs 0.0009 0.0007 0.0005 0.0004 0.0004
εsm 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004
w 0.207 0.126 0.084 0.062 0.051 [mm]
ANEXO B
Abertura de fendas segundo a metodologia 2
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91
Pcqp = cp + Ψ2sc
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 240.00 242.50 245.00 247.50 250.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.68 144.22 148.96 154.36 159.77 [KN]
ε2 0.00116 0.00120 0.00124 0.00127 0.00130
wk 0.347 0.318 0.286 0.265 0.241 [mm]
Pcqp = cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 242.50 245.00 247.50 250.00 257.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.72 144.26 148.99 154.40 159.91 [KN]
ε2 0.00114 0.00117 0.00119 0.00121 0.00122
wk 0.343 0.309 0.274 0.251 0.226 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 245.00 247.50 252.50 257.50 262.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.043 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.75 144.30 149.08 154.53 160.00 [KN]
ε2 0.00111 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114
wk 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 247.50 250.00 257.50 265.00 270.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.042 0.043 0.043 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.79 144.34 149.16 154.66 160.14 [KN]
ε2 0.00109 0.00111 0.00109 0.00108 0.00107
wk 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 250.00 252.50 262.50 270.00 280.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.83 144.38 149.25 154.76 160.34 [KN]
ε2 0.00107 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099
wk 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]
Pcqp = 0
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]
ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984
srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 250.00 257.50 267.50 277.50 287.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]
xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 138.83 144.46 149.34 154.90 160.50 [KN]
ε2 0.00105 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091
wk 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]
Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91
Pcqp = cp + Ψ2sc
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 242.50 247.50 252.50 257.50 262.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.043 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]
Nrk 140.00 144.32 149.09 154.38 160.14 [KN]
ε2 0.00119 0.00122 0.00125 0.00127 0.00128
wk 0.368 0.342 0.312 0.287 0.268 [mm]
Pcqp = cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 247.50 257.50 267.50 275.00 282.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]
Nrk 140.08 144.49 149.35 154.71 160.54 [KN]
ε2 0.00112 0.00111 0.00110 0.00109 0.00109
wk 0.348 0.309 0.274 0.248 0.229 [mm]
Pcqp = 0.75 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 255.00 270.00 285.00 295.00 305.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.042 0.043 0.044 0.044 0.045 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]
Nrk 140.20 144.71 149.69 155.12 161.04 [KN]
ε2 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092
wk 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]
Pcqp = 0.5 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0310 0.0306 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1471 0.1333 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 260.00 285.00 305.00 320.00 332.50 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]
Nrk 140.28 144.99 150.11 155.69 161.71 [KN]
ε2 0.00100 0.00088 0.00081 0.00076 0.00074
wk 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]
Pcqp = 0.25 cp
Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0307 0.0299 0.0293 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 267.50 300.00 330.00 352.50 370.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.043 0.045 0.047 0.048 0.050 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.41 0.42 0.42 0.43 0.43 [m]
Nrk 140.41 145.30 150.69 156.52 162.74 [KN]
ε2 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056
wk 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]
Pcqp = 0
Ac,ef 0.0313 0.0310 0.0296 0.0283 0.0275 [m2]
tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]
ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278
srm 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]
Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]
Nb 275.00 320.00 362.50 400.00 425.00 [KN]
Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]
Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]
xN1 0.043 0.046 0.049 0.052 0.054 [m]
xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]
ze 0.41 0.42 0.42 0.42 0.42 [m]
Nrk 140.55 145.74 151.52 157.87 164.45 [KN]
ε2 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039
wk 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]
ANEXO C
Comparação entre as metodologias, EC2 e Fib14, para o estudo de abertura de fendas
P0 = cp + Ψ2sc
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
P0 = cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
P0=0.75cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
P0 = 0.5cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
P0 = 0.25cp
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
P0 = 0
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ar,eq/As
wk
Chapas de aço - Fib 14
Chapas de aço - EC2
CFRP - Fib 14
CFRP - EC2
ANEXO D
Aumentos de área a considerar para os vários acréscimo de carga de dimensionamento
CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]
Ar,eq(0) 1.08 2.72 4.60 6.28 8.37 [cm2]
(Ar,eq/As)(0) 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388
(Ar,eq/As) (1) 0.400 0.600 0.900 1.100 1.500
Ar,eq(1) 2.412 3.618 5.427 6.633 9.045 [cm2]
A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03 [cm2]
(Ar,eq/As) (2) 0.500 0.700 1.000 1.200 1.600
Ar,eq(2) 3.015 4.221 6.03 7.236 9.648 [cm2]
A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23 [cm2]
(Ar,eq/As) (3) 0.600 0.800 1.100 1.300 1.700
Ar,eq(3) 3.618 4.824 6.633 7.839 10.251 [cm2]
A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43 [cm2]
(Ar,eq/As) (4) 0.700 0.900 1.200 1.400 1.800
Ar,eq(4) 4.221 5.427 7.236 8.442 10.854 [cm2]
A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63 [cm2]
Chapas de aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]
Ar,eq(0) 1.08 2.70 4.59 6.48 8.10 [cm2]
(Ar,eq/As) (0) 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344
(Ar,eq/As) (1) 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500
Ar,eq(1) 1.809 3.618 5.427 7.236 9.045 [cm2]
A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74 [cm2]
(Ar,eq/As) (2) 0.400 0.700 1.000 1.300 1.600
Ar,eq(2) 2.412 4.221 6.03 7.839 9.648 [cm2]
A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86 [cm2]
(Ar,eq/As) (3) 0.500 0.800 1.100 1.400 1.700
Ar,eq(3) 3.015 4.824 6.633 8.442 10.251 [cm2]
A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98 [cm2]
(Ar,eq/As) (4) 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800
Ar,eq(4) 3.618 5.427 7.236 9.045 10.854 [cm2]
A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09 [cm2]
ANEXO E
Tabelas para o estudo da relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para um dado acréscimo de carga, e para as várias
cargas iniciais actuantes.
CFRP 20%
Ar,eq/As 0.451 0.600 0.700 0.800 0.900 0.75cp 0.301 0.270 0.259 0.240 0.231 0.5cp 0.292 0.260 0.248 0.228 0.219
0.25cp 0.284 0.249 0.237 0.216 0.207 0
wk
0.274 0.239 0.226 0.204 0.194
[mm]
30%
Ar,eq/As 0.763 0.900 1.000 1.100 1.200 0.75cp 0.262 0.243 0.232 0.219 0.206 0.5cp 0.251 0.231 0.219 0.206 0.192
0.25cp 0.239 0.219 0.206 0.193 0.178 0
wk
0.228 0.206 0.193 0.179 0.164
[mm]
40%
Ar,eq/As 1.041 1.100 1.200 1.300 1.400 0.75cp 0.238 0.230 0.215 0.209 0.202 0.5cp 0.225 0.216 0.201 0.194 0.188
0.25cp 0.211 0.203 0.187 0.180 0.174 0
wk
0.198 0.189 0.173 0.166 0.159
[mm]
50%
Ar,eq/As 1.388 1.500 1.600 1.700 1.800 0.75cp 0.211 0.199 0.193 0.188 0.179 0.5cp 0.197 0.184 0.179 0.173 0.164
0.25cp 0.182 0.170 0.164 0.158 0.148 0
wk
0.168 0.155 0.149 0.143 0.134
[mm]
Chapas de Aço
20%
Ar,eq/As 0.448 0.600 0.700 0.800 0.900 0.75cp 0.278 0.254 0.235 0.224 0.214 0.5cp 0.247 0.221 0.200 0.188 0.178 0.25cp 0.216 0.186 0.162 0.149 0.138
0
wk
0.183 0.149 0.123 0.110 0.098
[mm]
30%
Ar,eq/As 0.762 0.900 1.000 1.100 1.200 0.75cp 0.238 0.222 0.208 0.200 0.192 0.5cp 0.202 0.185 0.171 0.162 0.154 0.25cp 0.163 0.144 0.129 0.121 0.113
0
wk
0.123 0.104 0.089 0.081 0.074
[mm]
40%
Ar,eq/As 1.075 1.200 1.300 1.400 1.500 0.75cp 0.210 0.198 0.191 0.181 0.175 0.5cp 0.172 0.159 0.151 0.141 0.135 0.25cp 0.130 0.118 0.111 0.101 0.096
0
wk
0.090 0.078 0.071 0.063 0.058
[mm]
50%
Ar,eq/As 1.344 1.500 1.600 1.700 1.800 0.75cp 0.192 0.179 0.173 0.168 0.163 0.5cp 0.152 0.139 0.133 0.128 0.123 0.25cp 0.111 0.099 0.094 0.089 0.085
0
wk
0.072 0.061 0.057 0.053 0.049
[mm]
ANEXO F
Tabelas para o estudo da relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para um dado acréscimo de carga, e para as várias
cargas iniciais actuantes.
CFRP
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80
A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03
A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23
A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43
A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63
[cm2]
P0 = 0.75 cp
(ε2)0 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114
(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
(wk)0 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]
(ε2)1 0.00109 0.00111 0.00112 0.00114 0.00113
(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]
(wk)1 0.290 0.270 0.243 0.230 0.199 [mm]
(ε2)2 0.00108 0.00110 0.00111 0.00112 0.00112
(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]
(wk)2 0.271 0.259 0.232 0.215 0.193 [mm]
(ε2)3 0.00106 0.00108 0.00109 0.00111 0.00112
(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]
(wk)3 0.255 0.240 0.219 0.209 0.188 [mm]
(ε2)4 0.00106 0.00108 0.00108 0.00111 0.00110
(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]
(wk)4 0.245 0.231 0.206 0.202 0.179 [mm]
P0 = 0.5 cp
(ε2)0 0.00112 0.00110 0.00109 0.00108 0.00106
(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
(wk)0 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]
(ε2)1 0.00106 0.00107 0.00106 0.00107 0.00104
(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]
(wk)1 0.282 0.260 0.231 0.216 0.184 [mm]
(ε2)2 0.00104 0.00105 0.00104 0.00104 0.00103
(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]
(wk)2 0.262 0.248 0.219 0.201 0.179 [mm]
(ε2)3 0.00102 0.00103 0.00103 0.00104 0.00102
(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]
(wk)3 0.245 0.228 0.206 0.194 0.173 [mm]
(ε2)4 0.00100 0.00102 0.00101 0.00103 0.00101
(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]
(wk)4 0.234 0.219 0.192 0.188 0.164 [mm]
P0 = 0.25 cp
(ε2)0 0.00111 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099
(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
(wk)0 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]
(ε2)1 0.00103 0.00103 0.00100 0.00100 0.00096
(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]
(wk)1 0.274 0.249 0.219 0.203 0.170 [mm]
(ε2)2 0.00100 0.00101 0.00098 0.00097 0.00095
(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]
(wk)2 0.253 0.237 0.206 0.187 0.164 [mm]
(ε2)3 0.00098 0.00098 0.00096 0.00096 0.00094
(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]
(wk)3 0.234 0.216 0.193 0.180 0.158 [mm]
(ε2)4 0.00096 0.00096 0.00094 0.00095 0.00092
(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]
(wk)4 0.223 0.207 0.178 0.174 0.148 [mm]
P0 = 0
(ε2)0 0.00110 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091
(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]
(wk)0 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]
(ε2)1 0.00100 0.00098 0.00095 0.00094 0.00088
(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]
(wk)1 0.266 0.239 0.206 0.189 0.155 [mm]
(ε2)2 0.00097 0.00096 0.00092 0.00090 0.00087
(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]
(wk)2 0.244 0.226 0.193 0.173 0.149 [mm]
(ε2)3 0.00094 0.00092 0.00089 0.00089 0.00085
(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]
(wk)3 0.224 0.204 0.179 0.166 0.143 [mm]
(ε2)4 0.00092 0.00090 0.00086 0.00087 0.00083
(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]
(wk)4 0.212 0.194 0.164 0.159 0.134 [mm]
Chapa de Aço
Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%
A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00
A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74
A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86
A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98
A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09
[cm2]
P0 = 0.75 cp
(ε2)0 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092
(srm)0 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]
(wk)0 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]
(ε2)1 0.00100 0.00096 0.00093 0.00091 0.00090
(srm)1 0.1983 0.1772 0.1576 0.1420 0.1291 [m]
(wk)1 0.293 0.254 0.222 0.198 0.179 [mm]
(ε2)2 0.00098 0.00094 0.00091 0.00090 0.00089
(srm)2 0.1907 0.1683 0.1505 0.1380 0.1259 [m]
(wk)2 0.274 0.235 0.208 0.191 0.173 [mm]
(ε2)3 0.00095 0.00092 0.00090 0.00089 0.00089
(srm)3 0.1837 0.1628 0.1461 0.1326 0.1228 [m]
(wk)3 0.258 0.224 0.200 0.181 0.168 [mm]
(ε2)4 0.00093 0.00091 0.00090 0.00089 0.00088
(srm)4 0.1772 0.1576 0.1420 0.1291 0.1198 [m]
(wk)4 0.244 0.214 0.192 0.175 0.163 [mm]
P0 = 0.5 cp
(ε2)0 0.001 0.0009 0.00081 0.00077 0.00074
(srm)0 0.2096 0.1833 0.1649 0.1456 0.1328 [m]
(wk)0 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]
(ε2)1 0.00091 0.00084 0.00078 0.00074 0.00072
(srm)1 0.1984 0.1755 0.1569 0.1404 0.1248 [m]
(wk)1 0.267 0.221 0.185 0.159 0.139 [mm]
(ε2)2 0.00088 0.0008 0.00075 0.00073 0.00071
(srm)2 0.1882 0.1670 0.1504 0.1352 0.1211 [m]
(wk)2 0.245 0.200 0.171 0.151 0.133 [mm]
(ε2)3 0.00084 0.00078 0.00074 0.00071 0.0007
(srm)3 0.1819 0.1613 0.1444 0.1298 0.1182 [m]
(wk)3 0.226 0.188 0.162 0.141 0.128 [mm]
(ε2)4 0.00081 0.00075 0.00073 0.00071 0.00069
(srm)4 0.1761 0.1586 0.1393 0.1243 0.1152 [m]
(wk)4 0.211 0.178 0.154 0.135 0.123 [mm]
P0 = 0.25 cp
(ε2)0 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056
(srm)0 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]
(wk)0 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]
(ε2)1 0.00082 0.00071 0.00062 0.00057 0.00054
(srm)1 0.1983 0.1767 0.1530 0.1348 0.1198 [m]
(wk)1 0.240 0.186 0.144 0.118 0.099 [mm]
(ε2)2 0.00077 0.00066 0.00059 0.00056 0.00052
(srm)2 0.1907 0.1660 0.1449 0.1303 0.1165 [m]
(wk)2 0.215 0.162 0.129 0.111 0.094 [mm]
(ε2)3 0.00072 0.00063 0.00057 0.00053 0.00051
(srm)3 0.1837 0.1593 0.1395 0.1241 0.1130 [m]
(wk)3 0.194 0.149 0.121 0.101 0.089 [mm]
(ε2)4 0.00068 0.00060 0.00056 0.00052 0.00050
(srm)4 0.1772 0.1534 0.1348 0.1202 0.1099 [m]
(wk)4 0.177 0.138 0.113 0.096 0.085 [mm]
P0 = 0
(ε2)0 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039
(srm)0 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]
(wk)0 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]
(ε2)1 0.00073 0.00058 0.00047 0.00040 0.00036
(srm)1 0.1983 0.1720 0.1463 0.1268 0.1112 [m]
(wk)1 0.214 0.149 0.104 0.078 0.061 [mm]
(ε2)2 0.00066 0.00052 0.00043 0.00038 0.00034
(srm)2 0.1907 0.1602 0.1373 0.1219 0.1074 [m]
(wk)2 0.185 0.123 0.089 0.071 0.057 [mm]
(ε2)3 0.00060 0.00048 0.00041 0.00036 0.00033
(srm)3 0.1808 0.1532 0.1317 0.1152 0.1038 [m]
(wk)3 0.160 0.110 0.081 0.063 0.053 [mm]
(ε2)4 0.00055 0.00045 0.00039 0.00034 0.00032
(srm)4 0.1720 0.1463 0.1268 0.1112 0.1003 [m]
(wk)4 0.140 0.098 0.074 0.058 0.049 [mm]
ANEXO G
Comparação dos valores de fendilhação obtidos para os dois tipos de reforço em função do aumento da área destes
Pqp=0.75cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento
0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.5cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento
0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.350
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.25cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.75cp com acréscimo de 30% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.500 1.000 1.500
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.5cp com acréscimo de 30% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.500 1.000 1.500
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.25cp com acréscimo de 30% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0cp com acréscimo de 30% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.75cp com acréscimo de 40% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.5cp com acréscimo de 40% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.25cp com acréscimo de 40% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0cp com acréscimo de 40% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/Asw
k CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.75cp com acréscimo de 50% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.5cp com acréscimo de 50% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0.25cp com acréscimo de 50% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
Pqp=0cp com acréscimo de 50% da carga de dimensionamento
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Ar,eq/As
wk CFRP
Chapas de Aço
REFERÊNCIAS:
[1] ACI, 1996, “State-of-the-art report on fiber reinforced plastic reinforcement for concrete
structures. ACI Report 440R-96, Detroit, Michigan, 1990.
[2] ACI Committee 318-1995. “Building code requirements for structural concrete”. ACI 318-95,
American Concrete Insitute, Detroit, Michigan, USA, 1995.
[3] Augusto Gomes, João Vinagre, 1997, “Tabelas de cálculo de betão armado e pré-esforçado”,
Setembro, 1997.
[4] Clark, A. P., 1956, “Cracking in reinforced concrete flexural members”, ACI Journal,
Proceedings, 1956.
[5] Eurocode 2, 1992, “Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and
rules for buildings”, 1992.
[6] European structural steel standard EN 100025, 2004.
[7] F. Ceroni, M. Pecce, 2006, “Cracking behavior of RC beams externally strengthened with
emerging materials”, Agosto, 2006.
[8] fib bulletin 2, 1999, “Structural Concrete – Textbook on Behavior, Design and Performance”,
Fédération Internacionale du béton (fib), 1999.
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