Estructuras de Materiales Compuestos 7 - Mecanica de... · Hipótesis 3 Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados • Las láminas que componen el laminado presentan

Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos

Mecánica de laminados

Introducción

2

Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados

• Comportamiento macroscópico de laminados compuestos por láminas con diferentes orientaciones

• Estimar la influencia de la secuencia de laminado

• Estimar los esfuerzos y deformaciones de cada lámina que compone el laminado

• Estimar la resistencia del laminado

• Realizar un diseño adecuado a las necesidades de la misión

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Hipótesis

3


• Las láminas que componen el laminado presentan un comportamiento ortótropo

• El laminado es delgado: las dimensiones de la placa son mucho mayores que el espesor.

• Cada lámina esta sujeta a un estado plano de tensiones

• Los desplazamientos son pequeños con respecto al espesor del laminado

• Los desplazamientos son continuos en todo el laminado (no hay despegado de láminas)


Hipótesis

4


• Los desplazamientos en el plano del laminado varían linealmente en el espesor

• Las deformaciones por corte transversal (g4,g5) son despreciables, lo cual implica que las rectas normales a la sección transversal permanecen normales luego de la deformación

• Las relaciones de tensión-deformación y desplazamiento-deformación son lineales

• La deformación normal transversal ez es despreciable con respecto a ex y ey.


Hipótesis

5



ZY

X

u0

uB

w

A’

C’

D’

B’

AB

C

D

Z

Xzb

ax·zb

ax

Campo de desplazamientos

6


• Al asumir que ez es despreciable, el desplazamiento w(x,y,z) de cualquier punto de la placa es igual al desplazamiento w0(x,y) del plano medio.

• De este modo, los desplazamientos de cualquier punto de la placa pueden ser expresados en función de los desplazamientos del plano medio y las rotaciones.


( ) ( )0, , ,w x y z w x y

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

0

0 0

0

0 0

0

,, , , , ,

,, , , , ,

, , ,

x

y

w x yu x y z u x y z x y u x y z

x

w x yv x y z v x y z x y v x y z

y

w x y z w x y

a

a

Campo de deformaciones

7


El problema tridimensional queda reducido a un problema bidimensional debido a las condiciones de deformación impuestas por las hipótesis. Podemos expresar las deformaciones en función de los desplazamientos del plano medio.


x

y

xy

u

x

v

y

u v

y x

e

e

g

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

0 0

2

2

0 0

2

2

0 0 0

, ,, ,

, ,, ,

, , ,, , 2

x

y

xy

u x y w x yx y z z

x x

v x y w x yx y z z

y y

u x y v x y w x yx y z z

y x x y

e

e

g

Deformaciones del plano medio

8


El primer término de las expresiones obtenidas representa las deformaciones del plano medio


( )( )

( )( )

( )( ) ( )

00

00

0 00

,,

,,

, ,,

x

y

xy

u x yx y

x

v x yx y

y

u x y v x yx y

y x

e

e

g

Curvaturas del plano medio

9


El segundo término de las expresiones obtenidas representa las deformaciones de cada plano Z = cte. debido a las curvaturas del plano medio


( )( )

( )( )

( )( )

2

0

2

2

0

2

2

0

,,

,,

,, 2

x

y

xy

w x yx y

x

w x yx y

y

w x yx y

x y

Campo de deformaciones

10


Reemplazando las definiciones anteriores

Y reescribiendo en un modo más compacto:


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

e e

e e

g g

0

ze e

Campo de tensiones

11


El campo de deformaciones definido anteriormente posee validez en todo el laminado. Para calcular las tensiones se debe tener en cuenta que las relaciones constitutivas pueden ser diferentes de lámina a lámina:

Reemplazando la expresión hallada para la deformación:


k k

kQ e

0k

k kQ z Q e

• Sistema XYZ, comportamiento generalmente ortótropo

• Válido en el subdominio de z correspondiente a la lámina k

Observaciones

12


• De acuerdo a este modelo, las tensiones varían linealmente en cada lámina

• Como la matriz [Ǭ]k es diferente para cada lámina, las tensiones son, en general, discontinuas a través del espesor del laminado


k=4

k=3

k=2

k=1

Z Z Z

ex Ex x

Esfuerzo axil

13


Podemos definir un esfuerzo axil por unidad de ancho de laminado en la dirección X

Esta magnitud posee dimensión de Fuerza por unidad de longitud.

Análogamente


( ) ( )2

2, , ,

t

x xt

N x y x y z dz

( ) ( )2

2, , ,

t

y yt

N x y x y z dz

Esfuerzo de corte en el plano

14


Integrando los esfuerzos de corte en el espesor del laminado obtendremos el esfuerzo de corte resultante por unidad de ancho del laminado

Esta magnitud posee dimensión de Fuerza por unidad de longitud


( ) ( ) ( )2

2, , , ,

t

xy s st

N x y N x y x y z dz

Nxy

Z

xy

Vector de esfuerzos

15


Podemos compactar la notación en un vector de esfuerzos


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tN x y x y z dz

( )( )( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

, ,,

, , ,

,, ,

t

xt

xt

y yt

txy

xyt

x y z dzN x y

N x y x y z dz

N x yx y z dz

Momento flector

16


Podemos definir el momento flector resultante por unidad de ancho de la placa y de las tensiones normales, integrando en el espesor el producto de la tensión en cada punto por el brazo de palanca al plano medio.

• Momento flector X por unidad de ancho de la placa

• Momento flector Y por unidad de ancho de la placa


( ) ( )2

2, , ,

t

x xt

M x y z x y z dz

( ) ( )2

2, , ,

t

y yt

M x y z x y z dz

Momento flector

17



( ) ( )2

2, , ,

t

x xt

M x y z x y z dz

Z

x

Mx

Momento torsor

18


Integrando en el espesor del laminado el producto de la tensión de corte en el plano por el brazo de palanca al plano medio, obtendremos el momento torsor resultante por unidad de ancho de laminado.


( ) ( ) ( )2

2, , , ,

t

xy s st

M x y M x y z x y z dz

Mxy

Z

xy

Vector de momentos

19


Podemos compactar la notación en un vector de momentos


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tM x y z x y z dz

( )( )( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

, ,,

, , ,

,, ,

t

xt

xt

y yt

txy

xyt

z x y z dzM x y

M x y z x y z dz

M x yz x y z dz

Integración en el laminado

20



h0h1

h2

hnhn-1hkhk-1

zk=n

k

k=2

k=1


21


Reemplazando la expresión de la tensión y partiendo la integral en una suma de integrales dentro de cada lámina:

Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera al igual que la matriz rigidez de la lámina


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tN x y x y z dz

0k

k kQ z Q e

( )1

0

1

k

k

n h

k khk

N Q z Q dze

( )1 1

0

1

k k

k k

n h h

k h hk

N Q dz zdze


22


Resolviendo las integrales

Separando las sumatorias y reordenando

Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :


( ) 2 2

0 1

1

1 2

nk k

k kkk

h hN Q h he

( ) 2 2

0 1

1

1 1 2

n nk k

k k k kk k

h hN h h Q Qe

0

N A Be


23


Reemplazando la expresión de la tensión y partiendo la integral en una suma de integrales dentro de cada lámina:

Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera al igual que la matriz rigidez de la lámina


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tM x y z x y z dz

0k

k kQ z Q e

( )1

0 2

1

k

k

n h

k khk

M z Q z Q dze

( )1 1

0 2

1

k k

k k

n h h

k h hk

M Q zdz z dze


24


Resolviendo las integrales

Separando las sumatorias y reordenando

Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :


2 2 3 3

0 1 1

1 2 3

nk k k k

kk

h h h hM Q e

2 2 3 3

01 1

1 12 3

n nk k k k

k kk k

h h h hM Q Qe

0

M B De


25


Resumiendo


0

N A Be

0

M B De

0N A B

M B D

e

Matrices A, B y D

26



( )1

1

n

k k kk

A h h Q

2 2

1

1 2

nk k

kk

h hB Q

3 3

1

1 3

nk k

kk

h hD Q

Matriz A

27


Observaciones• Define la relación entre esfuerzos y deformaciones del plano medio• Es independiente del orden de laminación• Si todas las láminas poseen el mismo espesor, la matriz A es igual al

producto del espesor de lamina y la suma de las matrices de cada lámina• Como la matriz [Ǭ] es simétrica, A resulta simétrica también• Axs y Ays son nulos para laminados balanceados, es decir, laminados en los

cuales por cada lámina +q hay una lámina -q


1

n

k kk

A t Q

( )1k k kt h h

1

xx xy xs xx xy xsn

xy yy ys k xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

A A A Q Q Q

A A A t Q Q Q

A A A Q Q Q

Donde tk es el espesor de la k-ésima lámina

Matriz B

28


Nuevamente, si tk = (hk - hk-1) es el espesor de la k-ésima lámina se tiene


2 2

1

1 2

nk k

kk

h hB Q

1

n

k k kk

B t h Q

( )

222

111

2

1

2

kkk

kkkk

kk hht

hhhh

hh

Y si definimos un nuevo parámetro ( )1

2

k k

k

h hh

Matriz B

29


Observaciones

• La matriz B define el acoplamiento entre esfuerzos en el plano y curvaturas del plano medio

• A su vez, representa el acoplamiento entre momentos resultantes y deformaciones en el plano

• La matriz B depende del orden de laminación• Como la matriz [Ǭ] es simétrica, B resulta simétrica también• B es nula cuando el laminado es simétrico


1

n

k k kk

B t h Q

1

xx xy xs xx xy xsn

xy yy ys k k xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

B B B Q Q Q

B B B t h Q Q Q

B B B Q Q Q

Matriz D

30


Observaciones• La matriz D representa la relación entre los momentos resultantes del

laminado y las curvaturas del plano medio del laminado• La matriz D depende del orden de laminado• La ponderación de cada lámina es aproximadamente proporcional al

cuadrado de la distancia al plano medio de la lámina. Es decir, las láminas más alejadas al plano medio tendrán mayor influencia en la matriz D que las más cercanas (conceptualmente, se podría hacer una analogía con el momento de inercia de las láminas)

• Dxs y Dys son nulos en laminados anti-simétricos.


3 3

1

1 3

nk k

kk

h hD Q

3 3

1

1 3

xx xy xs xx xy xsnk k

xy yy ys xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

D D D Q Q Qh h

D D D Q Q Q

D D D Q Q Q

Rigidez de laminados

31



0

0

0

xx xy xs xx xy xsx x

xy yy ys xy yy ysy y

xs ys ss xs ys sss s

xx xy xs xx xy xsx x

xy yy ys xy yy ysy y

xs ys ss xs ys sss s

A A A B B BN

A A A B B BN

A A A B B BN

B B B D D DM

B B B D D DM

B B B D D DM

e

e

g

Flexibilidad en laminados

32


Si se desea conocer las deformaciones y curvaturas del laminado a partir de los esfuerzos aplicados, se debe invertir la matriz anterior:

Observaciones

• b no es una matriz simétrica. • Para calcular a, b y d es necesario invertir la matriz de 6x6 completa• Sólo si el laminado es simétrico, B=0, b=0 , a=A-1 y d=D-1


10

T

a bA B N N

B D M Mb d

e

Constantes de ingeniería de laminados

33


Las constantes de ingeniería de laminados definen el comportamiento plano del plano medio del laminado.

• Tensión media o equivalente


xx

k

N

t

y

y

k

N

t

i

i

k

N

t

xy

xy

k

N

t

Z

x

x


34


Bajo la hipótesis de someter el laminado a un esfuerzo uniaxial solamente

• Nx ≠ 0

• Ny,Ns,Mx,My,Ms = 0


0 0

x xx

x x k

NE

t

e e

0

0

y

xy

x

e

e


35


• Laminados simétricos y balanceados


0

0

0

0

0 0

0 0 0

x xx xy x

xy yy y

ss s

N A A

A A

A

e

e

g

0 0

0 0

0

0

0

x xx x xy y

xy x yy y

s

N A A

A A

e e

e e

g

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 00

0 0 0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 00

xx xyx x

xy yy y

ss s

xx xy xs x

xy yy ys y

xs ys ss s

A AN

A A

A

D D D

D D D

D D D

e

e

g


36


• Laminados simétricos y balanceados

Despejando

Análogamente


21

0

xy

y yy

k xx

xy

xy

xx

ssxy

k

xs ys sx sy

AE A

t A

A

A

AG

t

21

xy xy

x xx xy

k yy yy

A AE A

t A A


37


• Laminados simétricos no balanceados

Las constantes de ingeniería se expresan directamente en función de los elementos de la inversa de la matriz A.


0

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

xx xy xsx x

xy yy ysy y

xs ys sss s

xx xy xsx x

xy yy ysy y

xs ys sss s

A A AN

A A AN

A A AN

D D DM

D D DM

D D DM

e

e

g


38




0

0

0

x xx xy xs x

y yx yy ys y

s sx sy ss s

a a a N

a a a N

a a a N

e

e

g

0

0

0

1

1

1

yx sx

x y xy

x x xx xy xs x xx xy xs x

xy sy

y y yx yy ys y yx yy ys y

x y xy

s s sx sy ss s sx sy ss s

ysxs

x y xy

E E Ga a a N a a a

a a a N h a a aE E G

a a a N a a a

E E G

e

e

g

Recordando que

10

A a B


39




1x

xx k

yx

xy

xx

sxxs

xx

Ea t

a

a

a

a

1y

yy k

xy

yx

yy

sy

ys

yy

Ea t

a

a

a

a

1

xy

ss k

xssx

ss

ys

sy

ss

Ga t

a

a

a

a


40


• Laminados cuasi-isótropos

Ciertos laminados poseen características elásticas en el plano independiente de la orientación del sistema de referencia.

Ordenes de laminación:

Ejemplos: [0, 60, -60]S [0,45,90,-45]S


' '

' '

' '

constante

constante

0

x y xy

x y xy

xs xs ys ys

A A

a a

A A A A

' '

' '

' ' ' '

constante

constante

constante

0

x x y x

xy x y

xy x y yx y x

sx xs ys sy

E E E E

G G

2 1 20 / / / ... / / / ... /

s s

no

n n n n n

Nomenclaturas

41



Simétrico

(Bij = 0)

Balanceado(Axs = Ays = 0)

Simétrico y balanceado

(Bij = 0; Axs = Ays = 0)

General

(Aij = Bij = Dij ≠ 0)

Angle-ply

(n impar)

[ q / -q / q / … / q ]

Axs , Ays ≠ 0

Dxs , Dys ≠ 0

Axs ,Ays ,Dxs ,Dys ∝ 1/n

Antisimétrico

Dxs = Dys = 0

Bij ≠ 0

Crossply simétrico(láminas

a 90 grados entre si)

Dxs = Dys = 0

Láminas isótropas

Axs = Ays = 0

Bxs = Bys = 0

Dxs = Dys = 0

Axx = Ayy

Bxx = Byy

Dxx = Dyy

Crossply

antisimétrico

Dxs = Dys = 0

Bxx = Byy

el resto Bij = 0

Angle ply

[ ±q ]ps

Dxs , Dys ≠ 0

Dxs ,Dys ∝ 1/n

Angle-ply

antisimétrico

[ ±q ]p

Dxs = Dys = 0

Bxs , Bys ≠ 0

el resto Bij = 0

Tetragonal

Axx = Ayy

Láminas

especialmente

ortótropas

Axs = Ays = 0

Bxs = Bys = 0

Dxs = Dys = 0

cuasi-isótropo

Aij , aij , Eij

independientes de ejes de

referencia

Tensiones dentro del laminado

42


Conocidos los esfuerzos aplicados sobre un laminado, la matriz de flexibilidad permitirá obtener las deformaciones y curvaturas del plano medio


10

T

a bA B N N

B D M Mb d

e

0

0

0

xx xy xs xx xy xs xx

yx yy ys yx yy ys yy

sx sy ss sx sy ss ss

xx yx sx xx xy xs xx

xy yy sy yx yy ys yy

xs ys ss sx sy ss ss

a a a b b b N

a a a b b b N

a a a b b b N

b b b d d d M

b b b d d d M

b b b d d d M

e

e

g


43


Debido a las condiciones de deformación impuestas, tendremos también las deformaciones de cada punto del laminado

Las deformaciones de la k-ésima lámina están descriptas por las siguientes ecuaciones:

Las deformaciones varían linealmente dentro de cada lámina.


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

e e

e e

g g

( ) 0k k

ze e donde z(k) es el dominio de z correspondiente a la lámina k


44


Las deformaciones calculadas anteriormente están definidas en el sistema de coordenadas del laminado XYZ. Utilizando la matriz rigidez del laminado podemos obtener las tensiones en el sistema XYZ:

Generalmente se desea conocer las tensiones definidas en el sistema de ejes materiales principales de la lámina, por lo cual se debe rotar las tensiones obtenidas. Las tensiones de la lámina en el sistema 123 son:


k k

kQ e

( ) ( ) ( )k

xy

y

x

k

k

kk

k

k

k

nmmnmn

mnmn

mnnm

ensn ,cosm T

qqq

22

22

22

6

2

1

2

2

'

Tablas de diseño

45



100 % láminas a 0°

0 % láminas a 0°

Tablas de diseño

46



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

8

5% 0°

10% 0°

15% 0°

20% 0°

25% 0°

30% 0°

35% 0°

40% 0°

45% 0°

50% 0°

55% 0°

60% 0°

65% 0°

70% 0°

75% 0°

80% 0°

85% 0°

90% 0°

95% 0°

100% 0°

porcentaje láminas +/-45º

Tensió

n m

edia

de f

alla

del la

min

ado

x

Ejemplo de diseño

47



porcentaje láminas a +/-45º

porc

enta

je lám

inas a

90º

Envolvente de limitaciones de Tensión x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

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