Estructuras de Materiales Compuestos 4 - Mecanica de... · determinar la matriz rigidez o flexibilidad del mismo. ... Estructuras de Materiales Compuestos –Mecánica de lámina

Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos

Mecánica de lámina

Constantes de ingeniería

2

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina

Definición

Son constantes elásticas de un material, independientes que pueden ser utilizados para determinar la matriz rigidez o flexibilidad del mismo.

Se desprenden directamente de ensayos normalizados.

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Módulo de elasticidad

3


• Si y sólo si el material esta sometido a un estado uniaxial detensión normal si en la dirección i

• ei es la deformación normal en la dirección i


i

ii

i

Es

e

L L

xs

L

xs

x

L

Le

Módulo de corte

4


• Si y sólo si el material esta sometido a un estado de cortepuro tij en el plano ij.

• gij es la deformación por corte ingenieril en el plano ij


ij

ij

ij

Gt

g

xyt

2xy xy g e

Coeficientes de Poisson

5


• Si y sólo si el material esta sometido a un estado uniaxial detensión normal si en la dirección i.

• ei y ej son las deformaciones normales en las direcciones i yj respectivamente.


j

ij

i

eu

e

x

L

Le

y

W

We

L L

xs

L

W

W W

xs

Caracterización del material

6


La cantidad de constantes necesarias para definir lasrelaciones constitutivas dependen de las características delmaterial.


Tipo de Material N

Generalmente anisótropo 21

Generalmente ortótropo 13

Especialmente ortótropo 9

Transversalmente isótropo 5

Especialmente ortótropo transversalmente isótropo (sólo

considerando tensiones y deformaciones en el plano)4

Isótropo 2

Caracterización del material

7


Estas constantes adquieren mayor sentido físico cuando las expresamos en función de constantes de ingeniería.

Recordando la matriz para un material especialmente ortótropo:


1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

4 44 4

5 55 5

6 66 6

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S S

S

S

S

e s

e s

e s

g t

g t

g t

Matriz flexibilidad

Ensayo mental - Axil

8


Si imaginamos que el material esta sometido a un estado uniaxial de tensión s1


1 11 12 13 1

2 21 22 23

3 31 32 33

4 44

5 55

6 66

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S S

S

S

S

e s

e

e

g

g

g


9


Escribiendo explícitamente las 6 ecuaciones y despejando


0

0

0

6

5

4

1313

1212

1111

g

g

g

se

se

se

S

S

S

1

331

1

221

1

111

s

e

s

e

s

e

S

S

S


10


Recordando las definiciones de las constantes de ingeniería y considerando que el estado es uniaxial en x:


11

11

1S

E 12

21

11

SE

u 13

31

11

SE

u

Análogamente, si se realizan los ensayos en x e y, se obtiene

21

12

22

SE

u 22

22

1S

E 23

32

22

SE

u

31

13

33

SE

u 32

23

33

SE

u 33

33

1S

E

Ensayo mental - Corte

11


Si imaginamos que el material está sometido a un estado corte puro t4


1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

4 44 4

5 55

6 66

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S S

S

S

S

e

e

e

g t

g

g

Ensayo mental - Corte

12


Escribiendo explícitamente las 6 ecuaciones y despejando


0

0

0

0

0

6

5

4444

3

2

1

g

g

tg

e

e

e

S

4

44

4

Sg

t


13


Recordando las definiciones de las constantes de ingeniería y considerando que el estado es de corte puro en el plano 23:


Analogamente, si se realiza el mismo ensayo en los planos 13 y 12

44

23

1S

G

55

13

1S

G

66

12

1S

G

Matriz flexibilidad

14


Introduciendo los resultados en la matriz flexibilidad


3121

1 2 3

3212

1 11 2 3

2 213 23

3 31 2 3

4 4

235 5

6 6

13

12

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E E

G

G

G

uu

uu

e s

e su u

e s

g t

g t

g t

Matriz flexibilidad

15


De la simetría de la matriz se obtienen las siguientes relaciones:


12 21

1 2E E

u u

13 31

1 3E E

u u

23 32

2 3E E

u u

ij ji

i jE E

u u

Matriz rigidez

16


Invirtiendo la matriz flexibilidad se obtiene la matriz rigidez expresada en función de las constantes de ingeniería


23 32 12 13 32 31 21 32

2 3 1 3 2 3

1

12 13 32 13 31 23 21 13

2

1 3 1 3 1 2

3

31 21 32 23 21 13 12 21

4

2 3 1 2 1 2

5

23

6

13

12

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

G

G

G

u u u u u u u u

su u u u u u u u

s

su u u u u u u u

t

t

t

1

2

3

4

5

6

e

e

e

g

g

g

21 31

12 32

1 2 3

13 23

11

1

1E E E

u u

u u

u u

donde

Tensión plana

17


Recordando la hipótesis de tensión plana en el plano 12para láminas delgadas, podemos reducir las dimensiones de la matriz flexibilidad:


3121

1 2 3

3212

1 11 2 3

2 213 23

3 1 2 3

4

235

6 6

13

12

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0

010 0 0 0 0

0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E E

G

G

G

uu

uu

e s

e su u

e

g

g

g t

Tensión plana

18


Explícitamente


21

1 1 2

1 2

12

2 1 2

1 2

13 23

3 1 2

1 2

4

5

6

6

12

1

1

0

0

E E

E E

E E

G

ue s s

ue s s

u ue s s

g

g

tg

21

1 1 2

1 2

12

2 1 2

1 2

6

6

12

1

1

E E

E E

G

ue s s

ue s s

tg

Las tensiones y deformaciones en el plano son independientes de las deformaciones fuera del plano.

Tensión plana - flexibilidad

19


En forma matricial


21

1 2

1 1

12

2 2

1 2

6 6

12

10

10

10 0

E E

E E

G

u

e su

e s

g t

12 21

1 2E E

u u

' 'Se s

4 constantes elásticas independientes que caracterizan la lámina en su plano

donde

Tensión plana - rigidez

20


Invirtiendo la matriz flexibilidad reducida, se obtiene una matriz rigidez mucho más sencilla que la completa


4 constantes elásticas independientes que caracterizan la lámina en su plano

1 12 2

12 21 12 21

1 1

12 2 2

2 2

12 21 12 21

6 6

12

01 1

01 1

0 0

E E

E E

G

u

u u u us e

us e

u u u ut g

' 'Qs e

1

Q S


21

Ejemplo



1

2

12

12

160

8

4.5

0.3

E GPa

E GPa

G GPa

u


22

Ejemplo



1

2

12

12

160

8

4.5

0.3

E GPa

E GPa

G GPa

u

015.01

21221

E

Euu

GPaGPaQ

5,400

004,841,2

041,272,160

5,400

0015,03,01

8

015,03,01

160015,0

0015,03,01

83,0

015,03,01

160

Nomenclatura

23Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP


1

x

y

2z=3

q

6

2

1

'

t

s

s

s

xy

y

x

t

s

s

s

Vector de tensiones en el sistema 123

Vector de tensiones en el sistema XYZ

Nomenclatura



2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

2

x

y

xy

m n mn

n m mn

mn mn m n

s s

s s

t t

1

x

y

2z=3

q

' Ts q s

q

q

senn

m cos

Nomenclatura



6

2

1

'

g

e

e

e

xy

y

x

g

e

e

e

6

2

1

*'

e

e

e

e

xy

y

x

e

e

e

e *

Vector de deformaciones

ingenieriles en el sistema 123


ingenieriles en el sistema XYZ


tensoriales en el sistema 123


tensoriales en el sistema XYZ

Matriz R



1 1

2 2

6 6

' * '

1 0 0

0 1 0

0 0 2

Re e

e e

e e

g e

1

*

1 0 0

0 1 0

0 0 1/ 2

x x

y y

xy xy

Re e

e e

e e

e g

1

1 1

2 2

6 6

* ' '

1 0 0

0 1 0

0 0 1/ 2

Re e

e e

e e

e g

*

1 0 0

0 1 0

0 0 2

x x

y y

xy xy

Re e

e e

e e

g e

Podemos definir una matriz R que transforme las deformaciones de tensoriales a ingenieriles

Nomenclatura



1

x

y

2z=3

q

2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

2

x

y

xy

m n mn

n m mn

mn mn m n

e e

e e

e e

q

q

senn

m cos

* ' *Te q e

Transformación de coordenadas

28


Ya sea a través de ensayos o de estimaciones micromecánicas, podemos caracterizar el comportamiento de la lámina en sus ejes principales


En un laminado, nos interesa saber el comportamiento observado en el sistema XYZ del laminado. En este sistema, el material no es especialmente ortótropo.

1

x

y

2z=3

q

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

00

0

0

g

e

e

t

s

s

Q

QQ

QQ


29


De acuerdo a la nomenclatura adoptada


' 'Qs e

1 12 2

12 21 12 21

12 2 2

12 21 12 21

12

01 1

01 1

0 0

E E

E EQ

G

u

u u u u

u

u u u u

Sistema 123 Deformaciones ingenieriles Sistema 123

1

x

y

2z=3

q

Qs e ?Sistema XYZ Deformaciones

ingenieriles Sistema XYZ




' 'Qs e

1

' R T Re q e

' Ts q s

' Ts q s

' * 'Re e

* ' *Te q e

1

* Re e




' 'Qs e

1

T Q R T Rq s q e

1 1

T Q R T Rs q q e

1 1

Q T Q R T Rq q

Qs e

Reemplazando las expresiones obtenidas para la tensión y la deformación

Premultiplicando por la inversa de la matriz T(q)

Recordando que




4 4 2 2 2 2

11 22 12 66

4 4 2 2 2 2

11 22 12 66

2 2 2 2 4 4 2 2

11 22 12 66

22 2 2 2 2 2 2 2

11 22 12 66

3 3 3 3 3 3

11 22 12 66

3 3 3

11 22

2 4

2 4

4

2

xx

yy

xy

ss

xs

ys

Q m Q n Q m n Q m n Q

Q n Q m Q m n Q m n Q

Q m n Q m n Q m n Q m n Q

Q m n Q m n Q m n Q m n Q

Q m nQ mn Q mn m n Q mn m n Q

Q mn Q m nQ m

3 3 3

12 66n mn Q m n mn Q

xx xy xs

xy yy ys

xs ys ss

Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q

1 1

Q T Q R T Rq q

q

q

senn

m cos


33


Se puede realizar el mismo análisis con la matriz flexibilidad


21

1 2

12

1 2

12

10

10

10 0

E E

SE E

G

u

u

1 1

S R T R S Tq q

Se s

' 'Se s




4 4 2 2 2 2

11 22 12 66

4 4 2 2 2 2

11 22 12 66

2 2 2 2 4 4 2 2

11 22 12 66

22 2 2 2 2 2 2 2

11 22 12 66

3 3 3 3 3 3

11 22 12 66

3 3

11 2

2

2

4 4 8

2 2 2

2 2

xx

yy

xy

ss

xs

ys

S m S n S m n S m n S

S n S m S m n S m n S

S m n S m n S m n S m n S

S m n S m n S m n S m n S

S m nS mn S mn m n S mn m n S

S mn S m nS

3 3 3 3

2 12 662 m n mn S m n mn S

xx xy xs

xy yy ys

xs ys ss

S S S

S S S S

S S S

1 1

S R T R S Tq q

q

q

senn

m cos


35

Ejemplo



Calcule las matrices Q de una lámina unidireccional calculada anteriormente, orientada 45° y -45° respecto al eje Xde un laminado siendo

GPaQ

5,400

004,841,2

041,272,160


36

Ejemplo



1 1

Q T Q R T Rq q

2 2

2 2

2 2

2

2

m n mn

T n m mn

mn mn m n

q

1cos 45º

2

145º

2

m

n sen

45ºq

1 1 12 2

1 145 12 2

1 1 02 2

T

1

1 1 12 2

1 145 45 12 2

1 1 02 2

T T


37

Ejemplo



1 1

4545 45Q T Q R T R

GPa

GPaQ

412,382,38

2,389,479,38

2,389,389,47

2100

010

001

02121

12121

12121

200

010

001

5,400

004,841,2

041,272,160

02121

12121

12121

45


38

Ejemplo



Para la lámina -45°, puedo utilizar las propiedades de la matriz transformación e invertir las posiciones de la matriz T-1 y T

1 11 1

45 45 45 45Q T Q R T R T Q R T R

GPa

GPaQ

412,382,38

2,389,479,38

2,389,389,47

2100

010

001

02121

12121

12121

200

010

001

5,400

004,841,2

041,272,160

02121

12121

12121

45

Términos de acoplamiento



Al realizar la transformación de coordenadas, aparecen nuevos términos Sxs y Sys. Eso significa que al aplicar una carga normal pura podemos tener distorsión.

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys

s xs ys ss

S S S

S S S

S S S

e s

e

g

s xs xSg s

sg sxsx

1 2

X

Y

Términos de acoplamiento



De la misma manera, al aplicar una carga de corte puro podemos tener extensión normal

0

0

x xx xy xs

y xy yy ys

s xs ys ss s

S S S

S S S

S S S

e

e

g t

x xs s

y ys s

S

S

e t

e t

X tsts

1 2Y

Coeficientes de influencia



Coeficientes de influencia mutua de primer tipo

Si y sólo si el estado de tensión es decorte puro en el plano ij,

i

ij i

ij

e

g

Coeficientes de influencia mutua de segundo tipo

,

ij

i ij

i

g

e

Si y sólo si el estado es de tensiónuniaxial en la dirección i

Los coeficientes de influencia mutua representanrelaciones de deformaciones específicas tal como elcoeficiente de Poisson.

Constantes de ingeniería equivalentes



Para caracterizar el comportamiento de una lámina en elsistema XYZ, podemos definir las constantes de ingenieríaequivalentes a partir de la matriz flexibilidad.

Tomando el caso de tensión normal uniaxial en la direcciónx, tendremos:

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys

s xs ys ss

S S S

S S S

S S S

e s

e

g

1x

xx

x xx

y

xy xy xx

x

s

xs xs xx

x

ES

S E

S E

s

e

eu

e

g

e




Explícitamente y en función del ángulo de laminación

2 2 2 22 2 2 2

12 21

1 2 12

2 2 2 22 2 2 2

12 21

1 2 12

2 2 2 22 2 2 2

12 21

1 2 12

22 22 2 2 2

12 21

1 2 12

2 2 2 2

12 21

1 2

1

1

1 4 41 1

2 2

x

y

xy yx

x y

xy

xs sx

x xy

m n m nm n n m

E E E G

n m m nn m m n

E E E G

m n m nm n n m

E E E E G

m nm n m n

G E E G

mn mnm n n m

E G E E

u u

u u

u uu u

u u

u u

3 3

12

3 32 2 2 2

12 21

1 2 12

2 2ys sy

y xy

mn m n

G

mn mn m n mnn m m n

E G E E G

u u

q

q

senn

m cos


44

Ejemplo



Calcule la rotación que sufre un tubo laminado a 45°, de radio R=50mm y montado sobre un rodamiento plano, al desplazar el apoyo derecho 1mm hacia la izquierda.

u = 1mmr

x

L = 1 m


45

Ejemplo



y

x

019,0

286,0

97,3

10

4,151

21

12

12

2

1

u

u

GPa G

GPa E

GPa E

Propiedades del material


46

Ejemplo



Trabajando con las propiedades del material, podemos hallar el coeficiente de influencia de la lámina cuyas fibras están orientadas a 45°

2 2 2 22 2 2 2

12 21

1 2 12

3 32 2 2 2

12 21

1 2 12

1 1

11.27

2 2 10.047

x

xs sx

x xy

m n m nm n n m

E E E G GPa

mn mn mn m nm n n m

E G E E G GPa

u u

u u


47

Ejemplo



Recordando las expresiones halladas para el coeficiente de influencia, podemos hallar el coeficiente de influencia de la lámina cuyas fibras están orientadas a 45°

0.00053xyg 0.53

xy

xs

x

g

e

0.001xe


48

Ejemplo



La longitud de arco desplazado es

j

xyS L Rg j

º,rad m

m

R

Lxy6100106,0

05,0

100053,0

gj


49

Ejemplo de aplicación



Lámina unidireccional de carbono-epoxy

Calculamos y graficamos las constantes de ingeniería para diferentes ángulos de laminación entre -90° y 90°

014,03,010170

1089

9

12

1

221

uu

E

E

3,0

5,4

8

170

12

12

2

1

u

GPa G

GPa E

GPa E




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x 1010

q [grados]

Ex ,

Ey [

GP

a]

x

y




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

1

2

3

4

5

6

7

8

x 109

q [grados]

Gxy

[G

Pa]




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

q [grados]

xy

,

yx

xy

yx




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

-3

-2

-1

0

1

2

3

q [grados]

xs

,

sx ,

ys

,

sy

xs

sx

ys

sy




Observaciones

• Se puede observar que el máximo coeficiente de Poisson es mayor que ambos coeficientes correspondientes a los ejes principales de la lámina

• Si bien el módulo de corte es máximo a +45° y -45° de ángulo de laminación, el incremento no es demasiado grande

• Los coeficientes de influencia mutua son siempre nulos para -90°, 0° y 90°

• El módulo elástico cae muy rápidamente con el ángulo de laminación.


55

Ejemplo de aplicación



Lámina tejida 0-90 de carbono-epoxy

05,005,01066

10669

9

12

1

221

uu

E

E

05,0

6,4

66

66

12

12

2

1

u

GPa G

GPa E

GPa E

Calculamos y graficamos las constantes de ingeniería para diferentes ángulos de laminación entre -90° y 90°




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

1

2

3

4

5

6

7

x 1010

q [grados]

Ex ,

Ey [

GP

a]

x

y




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 1010

q [grados]

Gxy

[G

Pa]




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

q [grados]

xy

,

yx

xy

yx




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

q [grados]

xs

,

sx ,

ys

,

sy

xs

sx

ys

sy




Observaciones

• En este caso se puede observar que el módulo de corte aumenta hasta casi 7 veces su valor en los ejes principales. Esto sucede ya que las fibras a +45 y -45 actúan como resortes en serie. El módulo de corte estará dominado por el más débil de los resortes.

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