Estructuras algebraicas

MATEMÁTICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

CAPITULO 5

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

5.1 Ley de composición interna

Definición.Sea E un conjunto, se llama “ley de composición interna en E” si y sólo si:

EbaEcba ,,

Observación. 1) también se llama “operación binaria interna en E

2) Podemos decir que el conjunto E está cerrado para 3) es ley de composición interna en E si y sólo si es función EEE:

Ejemplos.1) La adición es ley de composición interna en RQZN ,,,2) definida en por a es ley de composición interna en Z abbab Z

3) Si A es un conjunto y entonces, la operación definida en es ley de composición interna en

AXXAP /)()(AP )(AP

Proposición. Sea ley de composición interna en y , entonces: E Eba,

a) Eccbcaba

b) Ecbcacba

Demostración.a) es decir ),(),(),(),( cbbacbcaba cbca

b) Análogo

5.1.1 Asociatividad

Definición.Sea ley de composición interna en , decimos que es asociativa si y sólo

si a )E

Ecbacbacb ,,)((

Ejemplos.1) La adición en Z es asociativa 2) La multiplicación es asociativa en ,,, QZN

3) definida en por: es asociativa ya que: abbaba 2)2()( bccbacba

)2(2)2( bccbabccba

abcacabbccba 4222Por otro lado

cabbacba )2()(cabbacabba )2(2)2(

abcbcaccabba 4222Como entonces es asociativa cbacba )()(

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C.

.

.

98


4) definida en por: no es asociativa ya que, por ejemplo,baba 2241122112)65(2)325(2)35(2 no es igual a1832123123)102(3)522(3)52(

5) Si es un conjunto y entonces la operación ,A AXXAP /)( definida en es asociativa )(AP

5.1.2 Distributividad

Definición. Sean dos leyes de composición interna en el conjunto E, ,a) Se dice que distribuye por la izquierda sobre si y sólo si

Gcbacabacba ,,)()()(b) Se dice que distribuye por la derecha sobre si y sólo si

Gcbaacabacb ,,)()()(c) Se dice que es distributiva sobre si y sólo si cumple a) y b)

Ejemplos.1) La multiplicación es distributiva con respecto de la adición en ya que

a y (cbacabacb ,,)( cbacbcacba ,,)

2) La adición no es distributiva con respecto de la multiplicación en ya que, por ejemplo, )42()52()45(2

3) Sean tal que y tal que : abba : baba

dos leyes de composición interna. a) Pruebe que es distributiva por la izquierda con respecto de b) Pruebe que no es distributiva por la derecha con respecto de Demostración.a) Debemos demostrar que a cbacabacb ,,)()()(

a )()()()()( cabacbcbcbacb aaa

b) Como ( y ( y dado quebaccbacba )() baba ccccbca )()

c concluimos que no es distributiva por la derecha con respecto de baba c

5.1.3 Elemento neutro

Definición. Sea ley de composición interna en E, e se llama elemento neutro paraE

si y sólo si e Eaaeaa

Ejemplos.1) 0 es neutro para la adición en los números reales 2) 1 es neutro para la multiplicación en los números reales 3) donde X es un conjunto y es el conjunto potencia de X tiene neutro e ya que

)()()(: XPXPXP

X

)(XP

P(X)AAAXXA


.

.

99


Proposición. Sea ley de composición interna en E entonces, si existe elemento neutro,

éste es único Demostración.Sean dos neutros para , debemos demostrar que e ; tenemos:1, ee 1e

11 eee ya que es neutro, por otro lado ya que e es neutro, así, e eee 1 1 1ee

5.1.4 Conmutatividad

Definición.Sea ley de composición interna en E, es conmutativa en E si sólo si

Ebaabba ,

Ejemplos.1) La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas en RQZ ,,2) La unión y la intersección de conjuntos son operaciones conmutativas en el

conjunto potencia del conjunto A3) La operación definida en R tal que no es conmutativa, ya

que, por ejemplo, 3baba 2

83272

5.1.5 Elemento inverso

Definición.Sea ley de composición interna en E tal que existe elemento neutroEe con respecto de ; se llama elemento inverso de con respecto de

al elemento

Ea

Ea tal que Eaeaaaa

Ejemplo.Considere la operación definida en por a tal que es

asociativa y con neutro e . ¿Qué elementos a tienen inverso

abbab 2

0 a ?

Solución.

Imponiendo la condición de inverso, se debe cumplir que eaa , así:

eaa12

)21(02a

aaaaaaaaa donde

2

1a , por otro

lado 012

2

122

1212 a

aaaa

a

aaa

a

aa

a

aaa de donde:

2

1a existe a tal que

12a

aa

Proposición. Sea ley de composición interna en E tal que es asociativa y con elemento

neutro entonces, si tiene inverso, este es único. e Ea

Demostración.

Sean 21 , xx dos inversos de entonces se cumple:x exxxx 11 y además

Exexxxx 22 ; debemos demostrar que 21 xx , veámoslo:


.

.

100


22212111 )()( xxexxxxxxexx

Proposición. Sea ley de composición interna en E tal que es asociativa y con elemento

neutro tal que tienen elemento inverso e Eba, ba , , entonces:

a) a(a)

b) abba )(Demostración.

b) Si demostramos que abc es tal que , habremosdemostrado que c es inverso de ; veámoslo:

ecba )( y ebac )(ba

))()()()()( abbaabbaabbacba eaaaea

Análogamente, c , así, el inverso de es eba )( ba ab de donde se cumple

abba )(

Ejemplo.Considere la operación definida en por a tal que es

asociativa, con neutro e y

abbab 2

012a

aa con

2

1a

a) Resuelva la ecuación 3)2( x

b) Resuelva la inecuación 2)2( x

Solución.

Conviene aplicar la propiedad abba )( , tenemos:

a) 3)2( x 35

23

122

232 xxx

5

17

5

13)

5

2(2

5

2xxx de donde 17x

b) 2)2 x( 22x 23

22

1)2(2

)2(xx

2)3

2(2

3

2xx 8

3

8

3

1xx

La solución es 2

1,8

5.2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.Cuando dotamos a un conjunto de una o más leyes de composición es que

estamos dando a dicho conjunto cierta estructura. Una estructura, por consiguiente,queda definida por los axiomas que rigen las relaciones y las operaciones de las que está dotada. En lo que sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundamentalesdel álgebra: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales.


.

.

101


5.2.1 Grupo

Definición. Un grupo es un par ( donde: ),G

1) G es un conjunto 2) es ley de composición interna en G tal que:

a) Gcbacbacba ,,)()(b) Existe tal que Ge Gaaaeea

c) Si GaGa existeentonces tal que eaaaa

ObservaciónDecimos que el grupo ( es conmutativo si la operación es conmutativa),G

Ejemplos.1) ( es grupo conmutativo),Z

2) ( es un grupo conmutativo),0

3) ( tal que ),Q2

abba es grupo conmutativo

Proposición. Sea un grupo entonces : ),(G Gcbabacbca ,,,

Demostración.) Si a debemos demostrar que acbc b

a cbc ccbcca )()(

)() ccbcc(a

baebea

) Propuesto Proposición.

Sea un grupo, entonces, la ecuación tiene solución única),(G Gba, bxa

en G

Demostración.

bxa baxaa )(

baxaa )(

baxbaxe

Es claro que ba es solución y única

Ejemplos.1) donde es el conjunto de los números complejos y la adición esta definida por ( , es un grupo conmutativo

),(C babaC ,/),(dcba ,(), Cdcbadbca ),(,),(),()

2) donde es el conjunto de las

matrices cuadradas de tamaño 2 en y la suma se define por:

),),2((M dcbadb

caM ,,,/),2(


.

.

102


hdfb

gcea

hf

ge

db

ca

,,( bgceahf

ge

db

ca

es un grupo conmutativo donde

), hdf

3) Demuestre que las dos funciones ; x

xgxxf1

)(,)( , , tienen

estructura de grupo bajo la composición de funciones

0Qx

Demostración.

Como: )(1

)1

())(())(( xgxx

fxgfxgf

)(1

)())(())(( xgx

xgxfgxfg

)()1

())(())(( xfxx

gxggxgg

, entonces la composición es ley de

composición interna en

)()())(())(( xfxxfxffxff

)(),( xgxfA

Estos resultados podemos escribirlos es la siguiente tabla de doble entrada

)(xf )(xg

)(xf ) )(xf (xg

)(xg ) )(xg (xf

Es inmediato que: El elemento neutro es )(xfe

El elemento inverso de ; el elemento inverso de )(es)( xfxf )(es)( xgxg

La asociatividad la puede probar Ud. Así, es grupo; además es grupo conmutativo.),(A

4) Sea tal que , . Demuestre que ( es grupo ),(Z 2baba Zba, ),Z

Demostración.Claramente es ley de composición interna en Z Debemos demostrar que es asociativa, posee neutro e inverso en Z i) )2()( cbacba 2)2( cba

a 4cb

( 2cbacba )2() )2( cba

4cba

así, Zcbacbacba ,,)()(ii) Debemos probar que existe neutro tal que e Zaaaeea

Imponiendo la condición a tenemos:ae

a ae 22 eaea

Ahora debemos verificar que el neutro opera por la derecha, tenemos:; así. el neutro es aaaae 222 2e


.

.

103


iii) Debemos demostrar que, para todo existeZa 2que tal aaaaZa

Imponiendo la condición 2aa tenemos:

2aa aaaa 422

Por otro lado, como 22)4()4( aaaaaa entonces aa 4 Concluimos: ( es grupo ),Z

5) Sea y un grupo. Demuestre que el grupo es conmutativobaA , ),(A

Demostración.Debemos demostrar que a abb

Como es grupo entonces debe poseer neutro e; supongamos que entonces

),(A

be abaeaeaba

6) Sea una ley de composición interna definida en Q tal que

. Se sabe que ( es grupo donde determine el neutro e en A.

Q

A 1),()(),( dbcaccba ,d ),A Qxx /),( ;

Solución.Sea tal elemento neutro; imponiendo la condición de neutro debe

cumplir: (

Ape ),1(

x ,1(),1 AAxxxpp ),1(),1(),1(),1()De tenemos ( , de aquí concluimos

, de donde , así, el neutro lateral derecho es e

),1(),1(),1( xpx

xp p

),1(),1 xpx

x 0 )0,1(Ahora debemos verificar que es neutro lateral izquierdo, tenemos:

Ax)(1,),1()0,1(),1()0,1(),1( xxxxe , luego, e )0,1(

7) Sea . Pruebe que (3, Zyx 333) yxyx

Solución.))()(()( 3 yxyxyxyx

3223 33 xxyyxx

, ya que 333 yx )3(mod0

5.2.2 Anillo

Definición.El trío se llama anillo si y sólo si: ),,(A

a) es grupo conmutativo),(A

b) es ley de composición interna en A c) es asociativa d) es distributiva con respecto de +

Definición. Sea un anillo, entonces: ),,(A

a) es conmutativo si y sólo si es conmutativa),,(A

b) es un Anillo con unidad si y sólo si existe elemento neutro para ),,(A


.

.

104


Ejemplos.1) es anillo),,(Z

2) es anillo, donde ),,(E parnúmerounes/ xZxE

3) donde es anillo),,(Z abba 24) tal que y es

anillo),,( ),(),(),( dbcadcba ),(),(),( bdacdcba

5) tal que , ,),,(C C ),(),(),( dbcadcba

),(),(),( bcadbdacdcba es un anillo

6) es anillo ),,( 4Z

7) es anillo donde ),),,2((Mdwbzdybx

cwazcyax

wy

zx

db

ca

Proposición.Sea un anillo con neutro aditivo 0 e inverso aditivo),,(A

de el elementoa a

Se cumple:a) Aaaa 000b) Ababababa ,)()()(

Demostración.a) 0)()(000 aaaaaaa

0)( aaaaa

)0()( aaaa

0)( aaaa

Análogamente se demuestra que 00 a

b) Demostraremos que ( son inversos aditivos de , entonces, por)(y) baba ba

la unicidad del inverso concluiremos que ( )() baba

( , así, es inverso aditivo de 00)() bbaababa ba)( ba

Por otro lado , es inmediato que es inverso aditivo de )( ba ba

De manera análoga se demuestra que )()( baba

Corolario.Si es un anillo entonces:),,(A Aba,000 baba

En efecto, usando la contrapositiva y la parte a) de la proposición anteriortenemos: 0)00( baba

Observación.El recíproco del corolario no se cumple, ya que, por ejemplo

a) En el anillo se tiene ),),,2((M00

00

01

00

00

01

b) En el anillo se tiene ),,( 4Z 022


.

.

105


Definición.Un anillo conmutativo es un triple tal que: ),,(A

a) es anillo ),,(A

b) es conmutativa

Ejemplos.a) es anillo conmutativo),,(Zb) El anillo ( no es conmutativo),),,2(M

c) En general ( es anillo conmutativo),,mZ

d) El anillo ( no es conmutativo ya que por ejemplo),),,2(M

01

33

32

01

01

11

25

11

01

11

32

01

Definición.Un anillo con identidad es un triple tal que: ),,(A

a) ( es anillo ),,A

b) Existe 1 tal que 1A Aaaaa 1

Ejemplos.1) ( es anillo con unidad ),,Z

2) ( es anillo con 1),),,2(M10

01

3) ( tal que y es anillo con unidad 1

),, ),(),(),( dbcadcba ),(),(),( bdacdcba

)1,1(4) ( tal que C , ,),,C ),(),(),( dbcadcba

( es un anillo con unidad 1),(),(), bcadbdacdcba )0,1(

5) ( es anillo conmutativo con unidad ),,4Z

5.2.3 Dominio de Integridad.Una de las formas para solucionar una ecuación de segundo grado es factorizar,

allí usamos la proposición , sin embargo existen algunos

conjuntos donde esto no ocurre, por ejemplo, en tenemos

)00()0( baba

4Z 022 .

Definición.Sea ( un anillo. Si son no nulos tal que con 0 el neutro

para + entonces, se llaman divisores del cero

),,A

a

Aba, 0ba

by

Ejemplos.1) ( es anillo con divisores del cero ),,6Z

2) ( es anillo con divisores del cero ),),,2(M


.

.

106


Teorema. Un anillo ( no tiene divisores del cero si y sólo si es válida la ley de cancelación para la multiplicación.

),,A

Demostración) Sea (A un anillo sin divisores del cero y tal que ,

debemos demostrar que: si entonces , veámoslo:),, Acba ,, 0c

cbca ba

cbca 0cbca

0c a

; como ( es un anillo sin divisores del cero y entonces , de donde,

0)( cba

0b

),,A

ba

Supongamos que se cumple la cancelación para la multiplicación, debemosdemostrar que:

))00(0 baba

Si a entonces a de donde 0 00 abab 0b

Definición. Un dominio de integridad es un triple ( tal que: ),,A

a) es anillo conmutativo con identidad ),,(A

b) donde el neutro para + es 0 )0)00( baba

Observación.Sea ( un dominio de integridad, entonces: ),,A

a) 0c,,,)( Acbabacbca

b) La ecuación a , tiene solución única bx 0a

c) )00(0 baba

Ejemplos.a) es dominio de integridad ),,( 5Z

b) tal que C , ,),,(C ),(),(),( dbcadcba

( es dominio de integridad ),(),(), bcadbdacdcba

Observación.En el anillo , la ecuación tiene dos soluciones, naturalmente

que nos interesa una estructura tal que una ecuación del tipo tenga solución única; en la estructura de cuerpo una ecuación del tipo a tiene solución y es única.

),,( 4Z 02 x

bxa

bx

5.2.4 Cuerpo

Definición.El triple ( e un cuerpo si y sólo si: ),,A

a) es anillo conmutativo con unidad 1 ),,(A

b) tal que AaAa 10 11aa

Ejemplos.a) es cuerpo ),,( 3Z


.

.

107


b) tal que C ; ,

es cuerpo donde

),,(C

),( ba ,( adbdac

),(),(),( dbcadcba

)bc),( dc )a

b-,(

22221

bba

a),ba(

Observación.a) Si ( es un cuerpo entonces es dominio de integridad; en efecto: ),,A ),,(A

sólo falta demostrar que ; lo demostraremos usando la contrapositiva (

0)00( baba

)00() ba0ba

Supongamos que ba y que b , entonces ( , de aquí deducimos que , lo que constituye una contradicción.

0 0 11 0) bbba

0a

b) El recíproco no es cierto, es decir, dominio de integridad no implica que sea un cuerpo, ya que, por ejemplo, es dominio de integridad y sin

embargo no es un cuerpo

),,(A

(),,(A ),,Z

5.3 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Decida si las siguientes operaciones son o no ley de composición interna en elconjunto declarado a) tal que ZZZ: 2abba

b) definida en tal que 0Z 2y

xyx

c) definida en Z tal que 2)( baba

d) definida en Z tal que 3

2baba

e) definida en Q tal que 3

2baba

f) La multiplicación usual definida en ; ;2,0,1A 1,0B ...6,4,2C

g) donde A es un conjunto y P(A) es la potencia de A)()()(: APAPAP

2) Sea ley de composición interna definida en el conjunto E , demuestre:a) cbcaba )( Ecba ,,b) bcacba )( Ecba ,,

3) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas”son asociativas: a) definida en tal que a abbab

b) definida en tal que a bab 2c) La unión de conjuntos , )()()(: APAPAP

4) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas” tienen neutro e para la operación binaria interna definida a) tal que donde A es un conjunto y

P(A) es la potencia de A )()()(: APAPAP RPRP ),(


.

.

108


b) definida en tal que Q2

abba

c) definida en tal que a 1bab

d) definida en tal que xxyyx

5) Sea una ley de composición interna en el conjunto E. Demuestre: Si existe elemento neutro para , este elemento es único.

6) Decida cuales de las siguientes “leyes de composición internas” son conmutativaspara la operación binaria interna definida

a) definida en tal que a abbab 3b) definida en tal que a abbab 2

7) Determine la tabla de multiplicar para definida en el conjunto tal

que

4,3,2,1E

baba ,máx

8) Sea ley de composición interna definida en el conjunto E tal que la operación

es asociativa y tiene neutro e. Demuestre que: si tiene inverso Ex x entonces este es único.

9) En T se define la ley de composición interna por abbaba

Estudie la asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inverso.

10) En Z se define la operación binaria interna tal que a 2bab


11) En se define por QQ ),(),(),( badacdcba


12) En el conjunto se define por la siguiente tabla: cbaS ,,

a b c a a b c b b a c c c c c


13) En se define las operaciones binaria interna y por y Z 1baba

a abbab

a) ¿Es el par ( un grupo?),Z

b) ¿Es el par ( un grupo?),Z

c) ¿Es distributiva con respecto de ?d) ¿ Es distributiva con respecto de ?


.

.

109


14) Sea y un grupo. Demuestre que el grupo es conmutativobaA , ),(A

15) Sea un grupo, demuestre:),(Ga) Gcbabacbca ,,c) la ecuación a tiene solución única en G bx

16) Demuestre que es un grupo si C es el conjunto de los),(C yxyx ,/),( números complejos donde ),(),(),( dbcadcba

17) Demuestre que donde s el

conjunto de las matrices cuadradas de tamaño 2 en y

, es un grupo

)),,2((M

dfb

cea

dcbadb

caM ,,,/),2( e

h

g

hf

ge

db

ca

18) En + definimos las operaciones binarias internas y tal que yabba

a b = ab. Demuestre que distribuye por la izquierda a pero que no hace por la derecha

19) Demuestre que el par es un grupo donde),1( abbaba

Resuelva la ecuación 2 x 6 = 18

20) Demuestre que el trío es un anillo donde + es la suma usual y a b =2ab),,(Z

21) Demuestre que el trío con las características dadas en el ejercicio 17

y es un anillo

),),,2((M

dhbgdf

chagcf

be

ae

hf

ge

db

ca

22) Demuestre que el trío con las características del ejercicio 16 y donde),,(C( es un anillo ),(),(), bcadbdacdcba

23) Demuestre que es un anillo ),,( 4Z

24) Sea un anillo con neutro aditivo 0 y opuesto aditivo de el elemento. Demuestre:

),,(A Aa

a

a) a 00 Aaa 0 b) ( Abaabbaba ,)()()

25) ¿Los anillos de los ejercicios 21 y 22 son dominio de integridad?

26) Demuestre: Un anillo no tiene divisores del cero si y sólo si es valida la ley),,(A

de cancelación para la multiplicación.


.

.

110

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