ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Frank Portorreal 16 - 0281

Estructura de Grupo

Grupo. Si G es un conjunto dotado de una ley de composición interna (operación) *, se dice que (G, *) es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:

■ Axioma 1: ∀𝑥 ∀𝑦 : 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺. Clausurativa

■ Axioma 2: ∀𝑥 ∀𝑦 ∀𝑧 : 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧)Asociativa

■ Axioma 3: ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐺 ∀𝑥 : 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 Existencia del elemento neutro.

■ Axioma 4: ∀𝑥 ∃𝑥! : 𝑥 ∗ 𝑥′ = 𝑥′𝑥 = 𝑒 Existencia del elemento simétrico

■ Se dice que el grupo es finito si el grupo tiene un numero finito de elementos.

Ejemplos de Grupos

Ejemplos■ El conjunto de posibles parejas de números racionales (a,b) es un grupo con respecto a la

adición cuando la ley de composición se define de la siguiente manera:

■ (𝑎1, 𝑏1 ) + (𝑎2, 𝑏2 ) = (𝑎1+𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 )

■ Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = am y y = an para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = aman = am + n = an +m = anam = yx. En particular, el grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Zn.

■ Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.

■ Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

■ Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, y por lo tanto, para todo subgrupo hay un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumas directas de grupos abelianos son también abelianos.

Subgrupo

■ Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice entonces que H es un subgrupo de G.

■ Un grupo G con mas de un elemento admite por lo menos 2 subgrupos: e y G.

Ejemplos de Subgrupos

Grupo Subgrupo

(Z, +) Grupo aditivo de los enteros pares

(𝐶𝑞 0 , °) (𝑄 ∗ +, °)

(𝐶𝑞 0 , °) ( −1,1 , . )

Grupo del triangulo equilátero Grupo de las rotaciones del triangulo equilátero.

Ejemplo 1

■ El menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es el elemento neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.

Ejemplo 2

■ Sea el grupo <{0;1;2;3;4},+5> cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la tabla:

no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se incumple el axioma del cierre de los grupos.

+5 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

Definición de Anillos

■ Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el productoes distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera

es

Propiedades

Se verifican las propiedades:

1a) * es una operación interna.2a) * es asociativa.3a) Hay elemento neutro para *.4a) Todo elemento de A tiene su inverso para *.5a) * es conmutativa. -- (A, *) es un grupo abeliano--1b) º es una operación interna.2b) º es asociativa. -- (A, º) es un semigrupo ---1c) La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.

a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

Ejemplos de Anillo

Definicion de Cuerpo

■ Un conjunto 𝐾 dotado de dos leyes de composición internas la una escrita + (adicion) y la otra escrita (.) (multiplicacion), esta dotado de una estructura de cuerpo si:

■ 1. (K, +, . ) es un anillo unitario.

■ 2. (K*, . ) es un grupo multiplicativo.

Ejemplos de Cuerpo