Unidad 4 estructuras algebraicas

I.N.T.”SAN FERNANDO REY” – Prof. para el tercer ciclo de E.G.B.3 y Polimodal – ÁLGEBRA 2004

UNIDAD 4 – ESTRUCTURAS ALGEBRAICASLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAUna ley de composición interna, definida en un conjunto no vacío A, consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento A. Esto significa que a cada objeto de A x A le corresponde un único elemento de A.

Definición:Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A, es toda función de A x A en A.En forma simbólica:

Es decir:

Son leyes de composición interna, la adición y multiplicación en

PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA

1. Asociatividad:

2. Conmutatividad:

3. Existencia de elemento neutro: Nos preguntamos si existe un elemento e perteneciente al conjunto A, que compuesto a izquierda y a derecha con cualquier otro elemento de A no lo altere. Si tal elemento existe se lo llama neutro o identidad respecto de la ley de acuerdo con la siguiente definición.

4. Existencia de inverso en una ley con neutro Sea una ley interna en A, con neutro e. Dado , interesa saber si existe , tal que com-puesto a izquierda y derecha con a de por resultado e.

El neutro es un elemento del conjunto relativos a todos los elementos del mismo, El inverso si existe, es relativo a cada elemento.Los elementos de A que admiten inverso respecto de se llaman inversibles.

Unicidad del neutroSi existe neutro en A respecto de , entonces es único.Suponemos que existe e y e’ que son neutros respecto de en A, entonces por ser e y e’ neutros se tiene:

Unicidad del inverso respecto de una ley asociativaSi un elemento admite inverso respecto de la ley asociativa , entonces dicho inverso es único.Supongamos que a’ y a’’ son inversos de a.

5. Regularidad de un elemento respecto de una ley interna La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste en que es cancela-ble o simplificable a izquierda y a derecha en los dos miembros de una igualdad.

La regularidad bilateral se llama regularidad a secas; si es preciso distinguir, habrá que especificar si lo es a izquierda o a derecha.

La regularidad es relativa a la ley de composición, y, lo mismo que la inversión, depende de cada elemento. Así como existen elementos que admiten inverso, y otros que no, aquí puede ocurrir que un elemento sea regular o no. Si todos los elementos de un conjunto son regulares respecto de cierta ley de composición in-terna, se dice que vale la ley de composición interna, se dice que vale la ley cancelativa o simplificación.

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Distributividad de una ley de composición interna respecto de otraConsideremos el caso de dos leyes de composición interna “ ” y “ ”, definidas en un mismo conjunto A. In-teresa caracterizar el comportamiento relativo de dichas leyes internas en el sentido de obtener elementos del tipo .

Definición:

Para toda terna de elementos a, b y c en A

La distributividad a izquierda de “ ” respecto de “ ” queda definida por

Se dice que “ ” es distributiva respecto de “ ” si y solo si es a izquierda y a derecha.

Análogamente se define la distributividad de “ ”respecto de “ ”.

LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNASe presenta a menudo la necesidad de operar con elementos de dos conjuntos, de modo que la composi-ción sea un elemento de uno de ellos. Esta situación es una de las característica del la estructura de espa-cio vectorial.Sean dos conjuntos A y , este último llamado operadores.

Definición:Una ley de composición externa definida en A, con operadores de , es toda función de x A en A.Usualmente, una ley de composición externa en A con operadores en se debita mediante “.”, y suele lla-marse producto de operadores de por elementos de A.En símbolos se tiene

Mediante esta función, la imagen del par (α, a) se escribe α . a

Ejemplo:Si A es conjunto de los segmentos contenidos en un plano y es el conjunto de los números naturales, una ley de composición externa en A con operadores o escalares en es el producto de números natura-les por segmentos del plano.

TABLAS DE UNA OPERACIÓNRECONOCIMIENTO DE LAS PROPIEDADES EN LA TABLAAlgunas de las propiedades que estudiaremos en las distintas estructuras algebraicas pueden reconocerse fácilmente en las tablas.Sea el conjunto

Ley de cierre: En todas las celdas de la tabla figura un elemento de C.

Elemento neutro: a Si a es neutro a izquierda, en la fila de a figura el conjunto ordenado C. Si a es neutro a derecha, en la columna de a figura el conjunto ordenado C.

Ley conmutativa Los elementos están simétricamente dispuestos con respecto a la diagonal

Elementos inversos Se buscan las celdas que contiene el neutro. Si a es neutro y entonces: b y c son inversos.

Elemento absorbente: c

a b ca a b cb b c ac c a b

a b ca a b cb bc c

a b ca a b cb b c ac c a b

a b cab ac

a b ca cb cc c c c

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Si c es absorbente a la izquierda, figura en todas las celdas de la fila de c.Si c es absorbente a la derecha, figura en todas las celdas de la columna de c.

Ley de Idempotencia: El conjunto ordenado C, figura en la diagonal

ESTRUCTURAS ALGEBRAICASEs su forma más simple, una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna definidas en el. En situaciones más complicadas puede definirse más de una ley de composición interna en el conjunto, y también leyes de composición externas. Según sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras algebraicas, que son, exactamente, sistemas axiomáticos.

ESTRUCTURA DE MONOIDEDefinición:El par (M, ), donde y es una función, es un monoide si y sólo si es una ley de composición in-terna en M.En este sistema axiomático los términos primitivos son M y , y el único axioma establece que es una función de M2 en M.Son modelos de monoides los conjuntos , con la adición ordinaria de números.

En cambio, el par no es un monoide, ya que la sustracción no es ley de composición interna en

ESTRUCTURA DE SEMIGRUPODefinición:El par , donde y es una función, es un semigrupo si y solo si es ley interna y asociativa en

A.En otras palabras, un semigrupo es un monoide asociativo.En particular, si la ley de composición es conmutativa, entonces el semigrupo se llama conmutativo; y si existe elemento neutro, se dice que el semigrupo tiene unidad.El elemento neutro suele llamarse identidad.El par es un semigrupo conmutativo, sin neutro. En cambio tiene elemento neutro 0.

El objeto es un semigrupo conmutativo, con elemento neutro o identidad igual a 1.

ESTRUCTURA DE GRUPODefinición:Sean un conjunto no vacío G, y una función . El par es un grupo si y sólo si es una ley interna en

G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de .En forma simbólica

es un grupo si y sólo si se verifican los axiomas:

Si además verifica

Entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano.

PROPIEDADES DE LOS GRUPOSUnicidad del neutro y del inversoTal lo demostrado anteriormente el elemento neutro es único y el inverso de cada elemento es único.

RegularidadLos elementos de todo grupo son regulares.Hipótesis)

Tesis) b = cDemostración)

a b ca ab bc c

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Por hip. Componiendo a izquierda con a’, inverso de a: Por asociatividad

Análogamente se prueba la regularidad a derecha.La regularidad significa que la ley cancelativa es válida para todos los elementos del grupo.

Ecuaciones en un grupoSea un grupo. Entonces, cada una de las ecuaciones admite solución única.

a) Componiendo los dos miembros de la primera ecuación a izquierda con b’, se tiene

La unicidad de la solución se debe a la unicidad del inverso, y al hecho de que es una función de G2 en G.

b) Para la segunda ecuación, componiendo los dos miembros a derecha con b’, se tiene

En particular, se presentan estos casos:

i) Si el grupo es aditivo, la ecuación

y la solución hallada, es , donde –b es el inverso de b.

Por definición, la suma de un elemento con el opuesto de otro se llama diferencia entre los mismos, y se escribe

Vinculando este resultado con la ecuación propuesta, queda justificada la trasposición de términos de un miembro a otro de una igualdad.

ii) Supongamos un grupo multiplicativo, y la segunda ecuación, que se convierte en

Al componer a derecha con el inverso multiplicativo de b, resulta la solución.

Por definición, el producto de un elemento del grupo por el inverso multiplicativo de otro se llama cociente y se expresa

Entonces, en los grupos multiplicativos numéricos es lícito el pasaje de factores no nulos de un miembro al otro, como divisores.

El inverso del inverso de un elemento es el mismo elemento

Por G4 :

Multiplicamos ambos miembros a derecha por :

Por G2 :

Por G3 :

Por G3 :

Inverso de la composiciónEn todo grupo, el inverso de la composición de dos elementos es igual a la composición de los inversos en orden permutado.Se trata de probar que

Sabemos que

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ACLARACIÓN SOBRE NOTACIÓN

i) Si la ley de composición es aditiva, suele denotarse con el signo “+”, y si , entonces su inverso aditi-vo suele llamarse opuesto y se indica ii) Si la ley de composición es multiplicativa, suele denotarse con el signo “.”, y si , entonces su inver-so multiplicativo suele llamarse inverso y se indica

SUBGRUPOSDefinición:El subconjunto no vacío H, del grupo G, es un subgrupo de si y sólo si es grupo.

Hacemos notar que es claro que si H es un grupo de G, y K es un subgrupo de H, entonces K es un su -bgrupo de G.

Ejemplo:i) Todo grupo admite como subgrupo al mismo G, y al conjunto cuyo único elemento es “e”. Ambos

se llaman subgrupos triviales de .

ii) es un subgrupo de .

iii) El conjunto de los enteros pares, con la adición, es un subgrupo de .

En cambio no lo es el conjunto de los enteros impares con la misma ley, ya que la suma de dos enteros im-pares es par, y no se verifica G1 (ley de cierre).

Condición suficiente para la existencia de subgrupoNo toda parte no vacía de un grupo es un subgrupo. Además de ser una parte no vacía, la definición exige que tenga estructura de grupo con la misma ley de composición. Esto nos obliga a la investigación de los cuatro axiomas, y resulta conveniente disponer de alguna condición más económica, que permita decidir si se trata de un subgrupo.TeoremaSi H es un subconjunto no vacío del grupo , que verifica entonces es

un subgrupo de ,

Hipótesis) es grupo

Tesis) es un subgrupo de

Demostración) Debemos probar que se cumplen los axiomas de grupo para HI) La asociatividad de en H se verifica por ser

II) El neutro pertenece a H. En efecto

Por hipótesis y definición de inverso

III) Todo elemento de H admite su inverso en H Sea por II) y por hipótesis

IV) H es cerrado para la ley Sean por III) , por hipótesis y por inverso del inverso, se tiene

Lo demostrado en I,II,III,IV prueba que es un subgrupo de . Esta condición suficiente es obvia-

mente necesaria. Se la utiliza en la práctica de la siguiente manera: de acuerdo con la hipótesis del teore-ma, para que H sea un subgrupo de debemos probar:

i) ii) iii) Si dos elementos cualesquiera pertenecen a H, entonces el primero compuesto con el inverso del se-gundo, debe pertenecer a H.

Ejemplo:

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Sean grupo abeliano de los pares ordenados de números reales con la suma ordinaria de pares y

Es claro que un elemento de pertenece a H si y sólo si la segunda componente es el duplo de la prime-ra.

Comprobaremos que es un subgrupo de

Verificamos las hipótesis de la condición suficiente demostradai) , ya que

ii) por la definición de H

iii) Sean ; debemos probar que:

En efecto: Por definición de H, la sustracción en , definición en H, y la suma de pares

OPERACIONES CON SUBGRUPOSIntersección de subgrupos

Sean un grupo, y una familia de subgrupos de

TeoremaLa intersección de toda familia no vacía de subgrupos de es un subgrupo.

Hipótesis) es grupo.

es tal que es subgrupo de G,

Tesis)

es subgrupo de

Demostración)i)

Entonces, por definición de intersección

ii)

iii) Sean

Unión de subgruposLa propiedad anterior no se verifica en el caso de la unión. Para ello basta un contraejemplo: sean H 1 y H2

dos subgrupos distintos de , y no triviales, como lo muestra la figura.

Si

y sin embargo

Es decir, la unión no es cerrada para la suma de pares, y por lo tanto no es subgrupo de ,

HOMOMORFISMOS DE GRUPOS.Definición:Sean los grupos , la función es un homomorfismo si y sólo si la imagen de la

composición de G es igual a la composición de las imágenes en G’.En símbolos:

En un diagrama

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En particular, el homomorfismo establece la igualdad de los objetos , y las dos posibi-

lidades son: componer en G y hallar la imagen, o bien, hallar cada imagen y componer éstas en G’. Como sinónimo suele utilizarse el vocablo morfismo.

HOMOMORFISMO ESPECIALES

PropiedadSi es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen del neutro del primer grupo es el neutro del segundo grupo.Se trata de probar que , donde e’ denota el neutro de G’.

En efecto cualquiera que sea

Entonces Por definición de homomorfismo

Por G3 en el grupo

Y por ley cancelativa en G’ resulta

PropiedadSi es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen del inverso de todo elemento de G es igual al inverso de su imagen.Es decir

Cualquiera sea x en G, por G4

Entonces

Por definición de homomorfismo y propiedad anterior

Además en toda ecuación

En un diagrama (G, ) (G’, ’) x f(x) e f(e)=e’ x-1 f(x-1)=[f(x)]’Núcleo e imagen de un homomorfismo de gruposNúcleo de un homomorfismo de gruposSea un morfismo de grupos. La determinación de los elementos del primer grupo, cuyas imáge-nes por f son el neutro del segundo grupo, conduce a un subconjunto de G, llamado núcleo del homomor-fismo.Definición:Núcleo del homomorfismo es la totalidad de los elementos de G cuyas imágenes por f se identifi-can con el neutro de G’.Es decir

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Es claro que el núcleo de f es la pre-imagen de

De acuerdo con la definición, se tiene

Esto significa que para verificar que un elemento pertenece al núcleo es suficiente probar que su imagen es e’.

PropiedadEl núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del primero.Hipótesis) son grupos.

es un homomorfismo.Tesis)

es subgrupo de

Demostración)i) Por propiedad anterior

ii) por definición de núcleo

iii)

En virtud de la condición suficiente para la existencia de grupo, resulta un subgrupo de

PropiedadUn homomorfismo es inyectivo, es decir, un monomorfismo si y sólo si el núcleo es unitario

Sea el núcleo del homomorfismo

i) f es inyectiva

La demostración es inmediata, porque si el el núcleo hubiera otro elemento distinto de e, entonces dos ele-mentos distintos de G tendrían la misma imagen por f, y no sería una función inyectiva.

ii) f es inyectiva

En efecto, sean .

Componiendo con el inverso de f( y ), en G’

Como la imagen del inverso de todo elemento de G es igual al inverso de su imagen, y por G4 en

Por definición de homomorfismo

Por definición de núcleo

Por ser resulta

Componiendo a derecha con y

O sea x = y

En consecuencia f es inyectiva.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA COMPATIBLEConceptoSean un grupo, y “~” una relación de equivalencia en G.

Teorema fundamental de compatibilidadSi ~ es una relación de equivalencia compatible con la ley interna del grupo , entonces existe en el

conjunto cociente una única ley de composición interna , tal que la aplicación canónica es

un homomorfismo, y además es grupo.

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Definición

El grupo a que se refiere el teorema se llama grupo cociente de G por la relación de equivalencia com-

patible con .

EjemploConsideremos el grupo aditivo de las clases de restos módulo n. En este caso

La congruencia módulo n es compatible con la adición en ; entonces, por el teorema fundamental de compatibilidad, se tiene en el conjunto cociente una única ley de composición interna inducida, llamada

suma de clases, tal que la aplicación canónica es un homomorfismo, siendo el grupo adi-tivo de las clases de restos módulo n.Para sumar dos clases en , procedemos así

Dividiendo u + v y n se obtienen q y r, tales que

De (1) y (2)

ya que

GRUPO COCIENTE ASOCIADO A UN SUBGRUPORelación de equivalencia y coclasesSea un subgrupo de . Definimos en G la relación ~ mediante

(1)Es decir, dos elementos están relacionados si y sólo si la composición del inverso del primero con el segun-do pertenece a H.La relación (1) es de equivalencia pues verifica.i) Reflexividad

ii) Simetría

iii) Transitividad

Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una partición en G en clases de equi-valencia, siendo

Ahora bien

En consecuencia

Ku recibe el nombre de coclase a izquierda del subgrupo H en G. Si denotamos con los símbolos uH y Hu los conjuntos

Entonces es fácil verificar que Ku = uH, y el conjunto cociente es el de las coclases a izquierda de H en

G.

GRUPOS FINITOSÍndice de un subgrupoSea G un grupo. Por definición, G es finito si y sólo si c(G) = n. Orden de un grupo finito es el número cardi -nal del mismo.

Sea H un subgrupo del grupo finito G. El grupo cociente , de las coclases a izquierda de H, es finito y su

cardinal se llama índice del subgrupo H en G,

TeoremaSi H es un subgrupo de orden k del grupo finito G, entonces la coclase izquierda de H tiene k elementos

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Hipótesis)

Tesis) Demostración) Debemos probar que H y uH son coordinables ( es decir que existe una biyección entre ambos) y para ello definimos

i) f es la restricción de la traslación a izquierda al subconjunto H, en consecuencia es inyectiva.

ii) f es sobreyectiva, pues para todo , tal que

En consecuencia, f es biyectiva y

Teorema:(Lagrange)Sea G un grupo de orden finito n y H un subgrupo de G. El orden de H divide al orden de G.Demostración)Si H es subgrupo de G, y = k, por el teorema anterior hemos visto que el cardinal de toda clase lateral iz-quierda de H es k, y como estas son disjuntas resulta

Es decir

ESTRUCTURA DE ANILLOSean un conjunto no vacío A, y dos funciones: leyes de composición internaDefiniciónLa terna es anillo si y sólo si:

1. El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano.2. El conjunto con la segunda ley es un semigrupo.3. La segunda ley es doblemente distributiva respecto de la primera.

Reformulamos la definición teniendo en cuenta que las dos leyes de composición se llaman aditiva y multi-plicativa, y que se las suele denotar con “+” y “.” , respectivamente

Definición:La terna es un anillo si y sólo si

1. es un grupo abeliano.

2. es un semigrupo

3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma.

A1 La adición es ley de composición interna en A. (ley de cierre)

A2 La adición es asociativa en A

A3 Existe neutro en A, que denotaremos con 0, respecto de la adición.

A4 Todo elemento de A admite inverso aditivo u opuesto.

A5 La adición es conmutativa.

A6 El producto es ley de composición interna en A. (ley de cierre).

A7 El producto es asociativo en A.

A8 El producto es doblemente distributivo respecto de la suma.

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Si además ocurre que la segunda ley de composición es conmutativa diremos que el anillo es con-

mutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del producto, que denotaremos con 1, entonces se llamará anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama anillo de división.

Ejemplos:Clasificamos las siguientes ternas.i) no es anillo, pues no existe neutro para la adición.

ii) no es anillo, porque los elementos no nulos de carecen de inverso aditivo

iii) es anillo conmutativo y con unidad.

PROPIEDADES DE LOS ANILLOS1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro para la primera ley es igual a éste.

Hipótesis) es anillo.

Tesis) a . 0 = 0 . a = 0 Demostración)Cualquiera que sea , por A3 se verifica

x + 0 = xPremultiplicando por a

a . (x + 0) = a . xPor la distributividad

a . x + a . 0 = a . xEn virtud de A3

a . x + a . 0 = a . x + 0Por ley cancelativa en el grupo (A, +)

a . 0 = 0Análogamente se prueba que 0 . a = 0Esta propiedad suele enunciarse así: “En todo anillo, el producto por 0 es 0”.

2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por otro, es igual al opuesto de su producto.

Por distributividad, A4 y producto por 0, se tiene

Es decir

Entonces

De manera similar se prueba que

3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es igual al producto de los mismos.

Aplicando reiteradamente la propiedad anterior, y por el opuesto del opuesto, resulta:

4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia.

Se trata de probar que

Por definición, se sabe que . entonces, aplicando A8 y la propiedad 2.

ANILLOS SIN DIVISORES DE CERODefinición:El anillo no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan producto no nulo.

En símbolos: carece de divisores de cero

Equivalentemente, por medio de la implicación contrarrecíproca se tiene

Esto significa que, para demostrar que un anillo no existen divisores de cero, es suficiente probar que si el producto de dos elementos cualesquiera es cero, entonces alguno de los factores es cero.Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólicamente la definición

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Definición:El anillo tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos que dan producto nulo.

PropiedadEl anillo no tiene divisores de cero si y sólo si n es primo.

Por definición, el número natural n >1 es primo si los únicos divisores son 1 y n. decimos que n >1 es com-puesto si y sólo si n = x . y, siendo Demostración)I) Si no tiene divisores de cero, entonces es primo.

Suponemos que n es compuesto, es decir

n = x . y donde (1)

Si es la función canónica, se tienef( n ) = f ( x . y )

Como f es un morfismo respecto del productof( n ) = f ( x ) . f ( y )

De acuerdo con (1)

Además, como n ~ 0, por definición de aplicación canónica e imagen del neutro por un homomorfismo, es

Sustituyendo en la igualdad anterior resulta

lo que nos dice que en hay divisores de cero, contra la hipótesis.

II) Si n es primo, entonces no tiene divisores de cero.

Demostración) Sean .Se trata de probar que .

Por definición de función canónica, la igualdad anterior puede escribirse

Por ser un morfismo

Y por definición de función canónica

Por definición de congruencia módulo n

Utilizaremos una propiedad que demostraremos en la unidad 5, “si un número primo es divisor de un pro-ducto, entonces es divisor de alguno de los factores”.

Es decir

En consecuencia

Ley cancelativa del productoEn el anillo se verifica la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo.

En cambio en es falsa la proposición.

por ser verdadero el antecedente y falso el consecuente. Es decir, en no es válida la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del anillo. La no existencia de divisores de cero es condición necesa-ria y suficiente para la validez de la ley cancelativa del producto.

PropiedadUn anillo no tiene divisores de cero si y sólo si vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo.Hipótesis) carece de divisores de cero.

Tesis) Demostración)I) Por Hipótesis es:

Por trasposición en

Por distributividad

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Como no existen divisores de cero y resulta

Es decir

II) Hipótesis) es tal que

Tesis) Demostración) Suponemos que . Debe ser necesariamente Por A3, cualquiera que sea , se verifica

Como por hipótesis , se tiene

Por distributividad

Por ley cancelativa, ya que , resulta

Es decir x = 0

DOMINIO DE INTEGRIDADTodo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de integridadLas ternas son dominio de integridad. Si P denota el conjunto de los enteros pa-

res, entonces es anillo conmutativo, sin divisores de cero y sin elemento unidad; en consecuencia

no es dominio de integridad.

SUBANILLOS E IDEALESConcepto de subanilloSea un anillo. Un subanillo de es una parte no vacía de A que tiene estructura de anillo con las mismas leyes de composición

Definición:El subconjunto no vacío es un subanillo de si y sólo si es subgrupo de , y ade-más es cerrado para el producto.Resulta obvio que una parte no vacía es un subanillo de si y sólo si para todo par de elemen-

tos se verifica

Ejemplo:Sea entonces el conjunto de todos los múltiplos enteros de a.

es un anillo de

Si Luego

Es decir

Por otra parte

Concepto de idealSea un subanillo de .

DefiniciónEl subanillo I de A es un ideal a izquierda si y sólo si El subanillo I de A es un ideal a derecha si y sólo si

DefiniciónEl subanillo I de A es un ideal si y sólo si es un ideal a izquierda y a derecha de A.

En el caso de anillo conmutativo no es preciso distinguir entre ideales a izquierda o a derecha.

Las condiciones que se imponen al subconjunto , para que sea un ideal, son las siguientes.

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Ejemplo:El subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de . En cambio, no es un ideal de

Todo anillo admite dos ideales: el mismo A y , y son llamados ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no trivial.

ESTRUCTURA DE CUERPOConcepto de cuerpo.Un anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles, se llama anillo de división. Todo anillo de división conmutativo es un cuerpo.

DefiniciónLa terna es un cuerpo si y sólo si es un anillo conmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.

Los axiomas que caracterizan la estructura de cuerpo son:1. es grupo abeliano.

2. es grupo abeliano.

3. El producto es distributivo respecto de la suma.

Ejemplo: no es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son -1 y1.

En cambio con n primo, son cuerpos.

Propiedades de los cuerpos.Sea un cuerpo

I) Los cuerpos no admiten divisores de ceros

Sean Si x = 0, nada hay que demostrar porque la proposición x = 0 y = 0 es V.Consideramos el caso x ≠ 0. Por definición de cuerpo existe x-1.Multiplicamos (1) por x-1

II) En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. Es una consecuencia de I y de la ley cancelativa del producto.

III) Se b 0, entonces la ecuación admite solución única en K.Sea con b 0 Multiplicando por b-1

es la solución única de la ecuación propuesta. En efecto, sea y otra solución; esto significa que

y como

El producto de un elemento de K por el inverso multiplicativo de otro no nulo se denota con el símbolo.

y suele llamarse cociente entre a y b

IV) El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco.

De acuerdo con la propiedad que el producto de los opuestos de dos elementos es igual al producto de los mismos, y por el inverso multiplicativo, se tiene.

Multiplicando por

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Por asociatividad e inversos multiplicativos resulta

V) En todo cuerpo se verifica

En efecto

Ejemplo: con n primo es un cuerpo

Consideremos el conjunto formado por las clases de restos módulo n.

Definimos la suma y el producto en como sigue: sean a y b en .

Siendo “+” y “.” la suma y el producto en .En las tablas siguientes se describen las operaciones explícitamente para NotaPor comodidad en las tablas escribiremos 1,2,3,4... en lugar de

0 1 0 1

0 0 1 0 0 01 1 0 1 0 1

0 1 2 0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 01 1 2 0 1 0 1 22 2 0 1 2 0 2 1

0 1 2 3 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 2 3 0 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 0 23 3 0 1 2 3 0 3 2 1

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 24 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

Para construir la tabla

a) 3 1 = 4 pues y resto r = 4 3 1= 3 pues y resto r = 3

b) 4 2 = 1 pues y resto r = 1 4 1= 3 pues y resto r = 3

En las tablas se puede apreciar que cuando n es primo, es un cuerpo, o sea todo elemento no nulo es inversible en .Por ejemplo en : 1-1 = 1, 2-1 = 3, 3-1 = 2, 4-1 = 4

BIBLIOGRAFÍA ÁLGEBRA I – Armando O. Rojo – Editorial “El Ateneo” – Bs. As. 1972. NOTAS DE ÁLGEBRA I – GENTILE, Enzo R. – Ediciones Colihue – EUDEBA - 1988 ÁLGEBRA MODERNA - Herstein, I. N – Editorial E. Trillas S.A – México - 1970 ÁLGEBRA MODERNA – AYRES, Frank Jr. _ Ed. Mc Graw Hill – 1991 ÁLGEBRA ABSTRACTA – FRALEIGH, John B. – Ed. Addison-Wesley Iberoamericana S.A – 1987.

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