ESTIMATIVA DE PARÂMETROS HIDRÁULICOS E DE …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl/THESIS/4/pemufrj2012dsc... · INFERÊNCIA BAYESIANA EM MEIOS POROSOS ... simultânea dos parâmetros

ESTIMATIVA DE PARÂMETROS HIDRÁULICOS E DE TRANSPORTE POR

INFERÊNCIA BAYESIANA EM MEIOS POROSOS NÃO SATURADOS

Paulo Henrique da Silva Moreira

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-graduação em Engenharia Mecânica,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Doutor em Engenharia

Mecânica.

Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande

Renato Machado Cotta

Rio de Janeiro

Dezembro de 2012




TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Martinus Theodore van Genuchten, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Carolina Palma Naveira-Cotta, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Maria Claudia Barbosa, Ph.D.

________________________________________________ Dr. Jesús Salvador Perez Guerrero, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

DEZEMBRO DE 2012

iii

Moreira, Paulo Henrique da Silva

Estimativa de parâmetros hidráulicos e de transporte

por inferência Bayesiana em meios porosos não saturados/

Paulo Henrique da Silva Moreira. – Rio de Janeiro:

UFRJ\COPPE, 2012.

XIX, 177 p.: il; 29,7 cm.



Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2012.

Referências bibliográficas: p. 159-177.

1. Estimativa Bayesiana. 2. Dispersão em meios

porosos. 3. Experimentos em coluna de solo. I. Orlande,

Helcio Rangel Barreto et al. II. Universidade Federal do

Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia

Mecânica. III. Título.

iv

“Não vás para fora, volta a ti mesmo. No

homem interior habita a verdade”.

Santo Agostinho

À minha família

v

AGRADECIMENTOS

• Em primeiro lugar a Deus, fonte de minha inspiração, paz e força.

• Aos meus pais, Armenio e Maria, por todo o amor e dedicação que me ajudaram

a chegar até aqui.

• Aos meus irmãos, Fernando e Antonio, em quem posso sempre me espelhar.

• A Luciana e Letícia, que há vários anos se juntaram a esta família e cuja

amizade é inestimável. Também aos meus sobrinhos, Lucas e André,

simplesmente por existirem.

• Aos meus orientadores, Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande e Prof. Renato

Machado Cotta, que com dedicação deram o apoio e orientação necessária para

que cada objetivo fosse alcançado e com quem muito tenho aprendido.

• Ao Dr. Martinus Theodore van Genuchten, cuja contribuição foi essencial nesta

trajetória.

• Ao Prof. Su Jian, a Prof. Carolina Palma Naveira-Cotta, a Dra. Elizabeth May

Pontedeiro, e as colegas Camila Bezerra, Marcia Batalha e Heloisa Fernandes,

com quem tive e tenho a satisfação de trabalhar em projetos realizados.

• Aos colegas e amigos Antonio Alves, Diego Estumano, Evaldinei Monteiro,

Farith Absi, Henrique Massard, Ítalo Madeira, Ivana (de Brasília) Cerqueira,

Ivana (do Pará) Fernandes, José Martim, Lamien Bernard, Maicon Magalhães,

Milena Villar, Rafael Mendonça, Thiago Carvalho, Wellington Betencurte e

todos os demais que tornaram da convivência no LTTC uma experiência

edificante.

vi

• Aos funcionários do LTTC, Evanise, Roberta, Julio, Paulo César e Paulo Veiga,

que com muito empenho tornam possível o bom funcionamento do Laboratório

e a elaboração desta tese.

• À CAPES e ao CNPq pelo suporte financeiro, através da bolsa de doutorado.

• À Dra. Inês Mariozzi Tavares, por todo apoio e contribuição nestes últimos anos

para meu crescimento humano.

• E a todos os amigos de fora da Universidade (impossível listar todos os nomes)

que, de alguma forma, colaboraram para que cada etapa deste desafio fosse

vencida.

vii

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)




Dezembro/2012



Programa: Engenharia Mecânica

Este trabalho apresenta a utilização da inferência Bayesiana para a estimativa

simultânea dos parâmetros referentes aos problemas de escoamento e de transporte de

solutos em solos cuja umidade é abaixo do valor de saturação. É apresentado um

procedimento para experimento de dispersão em coluna de solo visando a obtenção de

medidas experimentais a serem utilizadas nas estimativas, assim como a caracterização

de amostras de solo com o intuito de se obter informações a priori dos parâmetros. É

ainda realizada a verificação dos códigos computacionais utilizados para a modelagem

do problema físico e para a solução do problema inverso de estimativa de parâmetros,

bem como a análise dos coeficientes de sensibilidade dos parâmetros estimados. É

observada concordância entre os resultados experimentais e aqueles simulados com os

parâmetros estimados.

viii

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

BAYESIAN ESTIMATION OF HYDRAULIC AND TRANSPORT PARAMETERS

IN UNSATURATED POROUS MEDIA


December/2012

Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande


Department: Mechanical Engineering

This work presents a Bayesian approach for simultaneously estimating selected

hydraulic and transport parameters affecting fluid flow and contaminant transport in

variably saturated soils and groundwater. A soil column experiment for obtaining the

required data for the analysis is presented, as well as observed data from soil samples

used to obtain a priori information for the parameters. The computational codes used

for modeling of the physical problem and for solution of the inverse problem are

verified and the sensitivity coefficients of the estimated parameters are analyzed. The

close agreement between experimental results and results simulated with the estimated

parameters was obtained.

ix

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

1.1 MOTIVAÇÃO E APLICAÇÃO ..................................................................................................................... 1 1.2 REVISÃO DE LITERATURA ....................................................................................................................... 4 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................................................. 11

CAPÍTULO 2 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS ....................................................................................... 13

2.1 PROBLEMA FÍSICO ............................................................................................................................. 13 2.1.1 Formulação do problema de escoamento hidráulico ......................................................... 14 2.1.2 Problema de transporte de soluto ...................................................................................... 17 2.1.2.1 Modelo com condição de contorno do terceiro tipo ...................................................... 18 2.1.2.2 Modelo com condição de contorno do primeiro tipo ..................................................... 19

2.2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO ....................................................................................... 23 2.2.1 Código para solução por volumes finitos ............................................................................ 23 2.2.2 Programa HYDRUS 1-D ....................................................................................................... 27

2.3 MÉTODO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA INVERSO ....................................................................................... 28 2.3.1 Método MCMC com utilização do algoritmo de Metropolis-Hastings ............................... 29

CAPÍTULO 3 - DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................ 35

3.1 COLETA DAS AMOSTRAS DE SOLO .......................................................................................................... 35 3.2 ENSAIOS PADRÃO DE CARACTERIZAÇÃO DO SOLO ..................................................................................... 38 3.3 APARATO E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PARA ENSAIO EM MEIO NÃO SATURADO ...................................... 42

CAPÍTULO 4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................................................... 53

4.1 VERIFICAÇÃO DOS MODELOS E MÉTODOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS ........................................................... 53 4.1.1 Verificação do modelo de solução do problema direto por volumes finitos ....................... 53 4.1.2 Verificação do método MCMC de solução do problema inverso ........................................ 67

4.2 RESULTADOS DAS ESTIMATIVAS ............................................................................................................ 83 4.2.1 Análise dos coeficientes de sensibilidade ........................................................................... 83 4.2.2 Estimativa de parâmetros .................................................................................................. 99 4.2.2.1 Estimativas utilizando-se medidas experimentais simuladas ........................................ 99 4.2.2.2 Estimativas utilizando-se medidas experimentais reais............................................... 119

CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES .................................................................................... 156

CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 159

x

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: ESQUEMA DAS CAMADAS DE SOLO. ................................................................................... 35

FIGURA 2: DOMÍNIO FÍSICO DO ESCOAMENTO E TRANSPORTE UNIDIMENSIONAIS............................. 13

FIGURA 3.A: COLETA DE AMOSTRA CONSOLIDADA DE SOLO DO TIPO ROCHA ALTERADA COM AMOSTRADOR DE PERCURSÃO. ........................................................................................................... 36

FIGURA 3.B: AMOSTRADOR CILÍNDRICO VAZADO................................................................................ 37

FIGURA 3.C: LOCAL DA COLETA DE SOLO NO MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL COM AMOSTRADOR CILÍNDRICO VAZADO. ........................................................................................................................... 37

FIGURA 4: ESQUEMA DO EXPERIMENTO PARA ESCOAMENTO E TRANSPORTE DE SOLUTO EM MEIO POROSO NÃO SATURADO .................................................................................................................... 44

FIGURA 5.A. MONTAGEM DO EXPERIMENTO DE DISPERSÃO EM SOLO NÃO SATURADO .................... 45

FIGURA 5.B. POSICIONAMENTO DA COLUNA DE SOLO E COLETOR DE AMOSTRAS NA CÂMARA DE VÁCUO. ................................................................................................................................................ 45

FIGURA 5.C: BOMBA DE SERINGA E RESERVATÓRIO DE SOLUÇÃO DE TRAÇADOR ............................... 46

FIGURA 6A: CURVA DE CALIBRAÇÃO DO TRANSDUTOR DE PRESSÃO CONECTADO AO TENSIÔMETRO. ............................................................................................................................................................ 48

FIGURA 6.B: CURVA DE CALIBRAÇÃO DAS MEDIDAS DE CONDUTIVIDADE ELÉTRICA ........................... 48

FIGURA 7.A: VARIAÇÃO DO FLUXO DE DESCARGA COM O TEMPO – VOLUMES-FINITOS ..................... 55

FIGURA 7.B: VARIAÇÃO DA CARGA COM O TEMPO – VOLUMES-FINITOS ............................................ 55

FIGURA 8.A: VARIAÇÃO DO FLUXO DE DESCARGA COM O TEMPO – VOLUMES FINITOS E HYDRUS 1-D ............................................................................................................................................................ 56

FIGURA 8.B: VARIAÇÃO DA CARGA NO TOPO DA COLUNA COM O TEMPO – VOLUMES FINITOS E HYDRUS 1-D ......................................................................................................................................... 57

FIGURA 9: PERFIL DE CARGA NO REGIME PERMANENTE – VOLUMES-FINITOS E HYDRUS 1-D .............. 58

FIGURA 10: PERFIL DO TEOR DE UMIDADE NO REGIME PERMANENTE – VOLUMES-FINITOS E HYDRUS 1-D ....................................................................................................................................................... 58

FIGURA 11: PERFIL DE CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA NO REGIME PERMANENTE – VOLUMES-FINITOS E HYDRUS 1-D ......................................................................................................................................... 59

FIGURA 12: PERFIL DE CAPACIDADE HIDRÁULICA NO REGIME PERMANENTE – VOLUMES-FINITOS E HYDRUS 1-D ......................................................................................................................................... 59

FIGURA 13: EFEITO DA VARIAÇÃO DE F E ααααM NA CONCENTRAÇÃO NA DESCARGA DA COLUNA, ANALISADO PELO MODELO DE VOLUMES FINITOS E PELO HYDRUS 1-D............................................... 61

FIGURA 14: COMPARAÇÃO DOS FLUXOS ACUMULADOS CALCULADOS PELO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS E PELO HYDRUS 1-D, PARA DIFERENTES REFINAMENTOS DA MALHA EM COLUNA COM UMA CAMADA DE SOLO. .............................................................................................................................. 64

FIGURA 15: COMPARAÇÃO DOS FLUXOS ACUMULADOS CALCULADOS PELO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS E PELO HYDRUS 1-D, PARA DIFERENTES REFINAMENTOS DA MALHA EM COLUNA COM DUAS CAMADAS DE SOLO. ............................................................................................................................ 65

FIGURA 16.A: VARIAÇÃO DO FLUXO ACUMULADO DE EFLUENTE E DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC ........................................................................ 69

. ........................................................................................................................................................... 69

FIGURA 16.B: COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DOS PARÂMETROS HIDRÁULICOS EM RELAÇÃO AO FLUXO ACUMULADO DE EFLUENTE PARA COLUNA COMPOSTA DE DUAS CAMADAS DE MATERIAL INICIALMENTE SATURADOS NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC ..................................................... 69

xi

. ........................................................................................................................................................... 70

FIGURA 17: AJUSTE DAS CURVAS EXPERIMENTAL E ESTIMADA DO FLUXO ACUMULADO DE EFLUENTE DA COLUNA COMPOSTA POR DUAS CAMADAS DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC ......... 72

FIGURA 18.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘR DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 73

FIGURA 18.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘS DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 74

FIGURA 18.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA KS DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 74

FIGURA 18.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA Α DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 75

FIGURA 18.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA N DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 75

FIGURA 19.A: ACEITAÇÃO DOS ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV. NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................................. 76

FIGURA 19.B: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA ΘR DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 77

FIGURA 19.C: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA ΘS DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 77

FIGURA 19.D: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA KS DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 78

FIGURA 19.E: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA Α DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 78

FIGURA 19.F: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA N DA COLUNA DE SOLO NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 79

FIGURA 20.A: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA ΘR DA PLACA CERÂMICA NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC ............................................................................................................................ 80

FIGURA 20.B: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA ΘS DA PLACA CERÂMICA NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 80

FIGURA 20.C: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA KS DA PLACA CERÂMICA NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 81

FIGURA 20.D: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA Α DA PLACA CERÂMICA NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 81

FIGURA 20.E: ESTADOS DAS CADEIAS DE MARKOV PARA N DA PLACA CERÂMICA NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 82

FIGURA 21.A – VARIAÇÃO NO TEMPO DA CARGA NA METADE DA ALTURA DA COLUNA E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (ROCHA ALTERADA)......................................................................... 88

FIGURA 21.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DA CARGA NA METADE DA ALTURA DA COLUNA (ROCHA ALTERADA) ...................................................................................... 88

FIGURA 22.A – VARIAÇÃO NO TEMPO DO FLUXO NA DESCARGA DA COLUNA E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (ROCHA ALTERADA) ............................................................................................... 89

FIGURA 22.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DO FLUXO NA DESCARGA DA COLUNA (ROCHA ALTERADA) ......................................................................................................... 90

FIGURA 23.A – VARIAÇÃO NO TEMPO DA CONCENTRAÇÃO NA DESCARGA DA COLUNA E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (ROCHA ALTERADA)......................................................................... 91

xii

FIGURA 23.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DA CONCENTRAÇÃO NA DESCARGA DA COLUNA (ROCHA ALTERADA) ....................................................................................... 92

FIGURA 24.A – VARIAÇÃO NO TEMPO DA CARGA NA METADE DA ALTURA DA COLUNA E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) ........................................................... 93

FIGURA 24.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DA CARGA NA METADE DA ALTURA DA COLUNA (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) ......................................................................... 94

FIGURA 25.A – VARIAÇÃO NO TEMPO FLUXO DE DESCARGA DA COLUNA E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) ....................................................................................... 95

FIGURA 25.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DO FLUXO DE DESCARGA DA COLUNA (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) ............................................................................................ 95

FIGURA 26.A – VARIAÇÃO NO TEMPO CONCENTRAÇÃO DE SOLUTO E DE SEUS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) ....................................................................................... 96

FIGURA 26.B – VARIAÇÃO NO TEMPO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE DA CONCENTRAÇÃO DE SOLUTO (MÓDULO DE SOLO ESTÉRIL) .................................................................................................. 97

FIGURA 27.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘR, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS . 104

FIGURA 27.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS . 104

FIGURA 27.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA KS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .. 105

FIGURA 27.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA N, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .. 105

FIGURA 27.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA αααα, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS. .. 106

FIGURA 28.A: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA ΘR, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS. ...................................................................................................................................... 106

FIGURA 28.B: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA ΘS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ....................................................................................................................................... 107

FIGURA 28.C: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA KS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .......................................................................................................................................................... 107

FIGURA 28.D: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA αααα, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .......................................................................................................................................................... 108

FIGURA 28.E: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA N, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS. .......................................................................................................................................................... 108

FIGURA 29.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA F, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ... 112

FIGURA 29.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ρρρρKD, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .......................................................................................................................................................... 112

FIGURA 29.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA DD, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS . 113

FIGURA 29.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA λλλλ, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .. 113

FIGURA 29.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ααααM, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS 114

FIGURA 30.A: ESTADOS ACEITOS DA CADEIA DE MARKOV, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ....................................................................................................................................... 115

FIGURA 30.B: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA F, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .......................................................................................................................................................... 115

FIGURA 30.C: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA ρρρρKD, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ....................................................................................................................................... 116

FIGURA 30.D: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA DD, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ....................................................................................................................................... 116

xiii

FIGURA 30.E: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA λλλλ, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS .......................................................................................................................................................... 117

FIGURA 30.F: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA ααααM, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS SIMULADAS ....................................................................................................................................... 117

FIGURA 31.A: COMPARAÇÃO DAS CURVAS EXPERIMENTAL E TEÓRICA DA CARGA AO LONGO DO TEMPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS. ................................................................................ 122

FIGURA 31.B: DIFERENÇA ENTRE OS VALORES EXPERIMENTAL E TEÓRICO DA CARGA AO LONGO DO TEMPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS. ................................................................................ 123

FIGURA 32.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘR, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .......... 123

FIGURA 32.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ΘS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 124

FIGURA 32.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA KS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 124

FIGURA 32.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA αααα, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ............ 125

FIGURA 32.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA N, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ............ 125

FIGURA 32.F: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA H0, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 126

FIGURA 32.G: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA δδδδH, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .......... 126

FIGURA 33.A: ESTADOS ACEITOS DA CADEIA DE MARKOV, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ... 127

FIGURA 33.C: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA ΘS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ... 128

FIGURA 33.D: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA KS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ... 129

FIGURA 33.E: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA αααα, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ..... 129

FIGURA 33.F: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA N, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ..... 130

FIGURA 33.G: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA H0, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ... 130

FIGURA 33.H: ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV PARA δδδδH, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .. 131

FIGURA 34.A: COMPARAÇÃO ENTRE AS CURVAS EXPERIMENTAL E TEÓRICA DA CONCENTRAÇÃO DE SOLUTO NA DESCARGA DA COLUNA UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS. .................................................................... 136

FIGURA 34.B: DIFERENÇA ENTRE OS VALORES EXPERIMENTAL E TEÓRICO DA CONCENTRAÇAO DE SOLUTO UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS. ...................................................................................................... 136

FIGURA 35.A: COMPARAÇÃO ENTRE AS CURVAS EXPERIMENTAL E TEÓRICA DA CONCENTRAÇÃO DE SOLUTO NA DESCARGA DA COLUNA UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 137

FIGURA 35.B: DIFERENÇA ENTRE OS VALORES EXPERIMENTAL E TEÓRICO DA CONCENTRAÇAO DE SOLUTO UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .............................................................................................. 137

FIGURA 36.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA F UTILIZANDO O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 138

FIGURA 36.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ρρρρKD UTILIZANDO O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 139

FIGURA 36.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA λλλλ UTILIZANDO O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 139

FIGURA 36.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA DD UTILIZANDO O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 140

FIGURA 36.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ααααM UTILIZANDO O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........................................... 140

xiv

FIGURA 37.A: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA F UTILIZANDO O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................... 141

FIGURA 37.B: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ρρρρKD UTILIZANDO O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................... 141

FIGURA 37.C: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA λλλλ UTILIZANDO O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................... 142

FIGURA 37.D: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA DD UTILIZANDO O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO , COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................. 142

FIGURA 37.E: DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI PARA ααααM UTILIZANDO O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................... 143

FIGURA 38.A: ACEITAÇÃO DOS ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 144

FIGURA 38.B: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO F UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 145

FIGURA 38.C: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ρρρρKD UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 145

FIGURA 38.D: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO λλλλ UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 146

FIGURA 38.E: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO DD UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 146

FIGURA 38.F: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ααααM UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .................... 147

FIGURA 39.A: ACEITAÇÃO DOS ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS .......................................................................................................................................................... 148

FIGURA 39.B: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO F UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 148

FIGURA 39.C: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ρρρρKD UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 149

FIGURA 39.D: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO λλλλ UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 149

FIGURA 39.E: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO DD UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 150

FIGURA 39.F: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ααααM UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ........... 150

FIGURA 40.A: ACEITAÇÃO DOS ESTADOS DA CADEIA DE MARKOV, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A

PRIORI, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS.................................................................................. 152

FIGURA 40.B: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO F, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A


FIGURA 40.C: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ρρρρKD, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A


FIGURA 40.D: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO λλλλ, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A


FIGURA 40.E: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO DD, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A


xv

FIGURA 40.F: CADEIA DE MARKOV PARA O PARÂMETRO ααααM, ALTERANDO-SE AS DISTRIBUIÇÕES A


xvi

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: PROPRIEDADES FÍSICAS PREVIAMENTE OBTIDAS NOS ENSAIOS DE CARACTERIZAÇÃO ....... 42

TABELA 2: VALORES INICIAIS DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÕES A PRIORI NA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC .................................................................................................................................. 71

TABELA 3: ESTIMATIVA DE PARÂMETROS PARA VERIFICAÇÃO DO MÉTODO MCMC ............................ 72

TABELA 4: PARÂMETROS UTILIZADOS NA GERAÇÃO DE MEDIDAS SIMULADAS. ................................ 101

TABELA 5: DISTRIBUIÇÕES A PRIORI DOS PARÂMETROS HIDRÁULICOS ESTIMADOS COM MEDIDAS SIMULADAS. ...................................................................................................................................... 102

TABELA 6: ESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS HIDRÁULICOS OBTIDOS COM MEDIDAS SIMULADAS. .. 103

TABELA 7: DISTRIBUIÇÕES A PRIORI DOS PARÂMETROS DE TRANSPORTE ESTIMADOS UTILIZANDO-SE MEDIDAS SIMULADAS. ...................................................................................................................... 110

TABELA 8: ESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS DE TRANSPORTE OBTIDAS COM MEDIDAS SIMULADAS. .......................................................................................................................................................... 111

TABELA 9: DISTRIBUIÇÕES A PRIORI DOS PARÂMETROS HIDRÁULICOS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................................................................................................................................................. 120

TABELA 10: VALORES ESTIMADOS PARA OS PARÂMETROS HIDRÁULICOS, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ....................................................................................................................... 121

TABELA 11: DISTRIBUIÇÕES A PRIORI ADOTADAS PARA OS PARÂMETROS DE TRANSPORTE, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ....................................................................................................... 133

TABELA 12: PARÂMETROS DE TRANSPORTE ESTIMADOS UTILIZANDO-SE O MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO TERCEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ...................................... 134

TABELA 13: PARÂMETROS DE TRANSPORTE ESTIMADOS UTILIZANDO-SE O MODELO DE MODELO COM CONDIÇÃO DE CONTORNO DO PRIMEIRO TIPO, COM MEDIDAS EXPERIMENTAIS REAIS ................... 134

TABELA 14: DISTRIBUIÇÕES A PRIORI DA ESTIMATIVA DE PARÂMETROS DE TRANSPORTE PARA COMPARAÇÃO ................................................................................................................................... 151

xvii

LISTA DE SÍMBOLOS

LATINOS

Cim Concentração de soluto na região estagnante

Cinj Concentração da solução de soluto injetada na coluna

Cm Concentração de soluto na região dinâmica

C0 Concentração inicial na região dinâmica

D* Coeficiente de difusão molecular efetivo

Dd Coeficiente de difusão molecular

Dm Coeficiente de dispersão

e0 Índice de vazios do solo

f Fração de massa na fase sólida da região dinâmica

h(t) Carga de pressão

hb(t) Carga piezométrica na base da coluna

hi(z) Carga piezométrica inicial ao longo da coluna

h0 Carga piezométrica inicial na metade da coluna

I Número total de volumes da malha espacial

i Índice de discretizaçao da malha espacial

J(P) Matriz de sensibilidade

K Condutividade hidráulica

Ka Condutividade hidráulica da interface entre meios

Kd Coeficiente de distribuição

Ks Condutividade hidráulica na saturação

xviii

L Comprimento

l Parâmetro de conectividade dos poros

m0 Massa da amostra de solo antes da secagem

ms Massa da amostra de solo após a secagem

n Índice de distribuição do tamanho de poros

PT Vetor de parâmetros

Pe Número de Peclet

q0(t) Fluxo de efluente

R Fator de retardamento

S(P) Função objetivo da estimativa de parâmetros

Se Saturação efetiva

S0 Grau de saturação inicial do solo

T Vetor de resposta do sistema

t Variável temporal

Vm Velocidade média da água nos poros

Vs Volume ocupado pela fase sólida no ensaio de sedimentação

W Inversa da matriz de covariancia

wf Fração do meio ocupado pelo sistema fraturado

YT Vetor de medidas

z Coordenada espacial

xix

GREGOS

α Inverso aproximado do coeficiente de entrada de ar

αm Taxa de transferência de massa

β Coeficiente adimensional dependente da geometria do problema

Γw Termo de transferência de água entre o meio fraturado e a matriz porosa

γw Fator de escala

∆t Intervalo de tempo

∆z Intervalo entre os pontos da malha espacial discretizada

δh Variação da carga piezométrica entre o centro e a extremidade da coluna

θ Teor volumétrico de umidade

θim Teor volumétrico de umidade na região imóvel

θm Teor volumétrico de umidade na região móvel

θ0 Teor mássico de umidade natural

θr Teor volumétrico de umidade residual

θs Teor volumétrico de umidade saturado

π(Y) Densidade marginal de probabilidade das medidas

π�YYYY|PPPP� Função de verossimilhança

πprior (P) Densidade a priori dos parâmetros

πposterior (P) Densidade posterior de probabilidade dos parâmetros

ρágua Massa específica da água

ρb Massa específica na base seca

ρp Massa específica real dos grãos

λ Dispersividade

1

CAPÍTULO 1 - Introdução

1.1 Motivação e aplicação

A migração de contaminantes em solos, assim como a determinação das

características hidrológicas dos solos em contato com tais contaminantes, vem sendo

tema de diversos estudos nos últimos anos. Essa importância vem do ponto de vista da

análise do impacto sobre o meio-ambiente, de se conhecer o comportamento difusivo e

dispersivo de contaminantes quando em contato com o meio e também de se descrever o

escoamento através do solo do líquido no qual estes contaminantes estão dissolvidos.

Esse conhecimento adquirido vem ao encontro do esforço computacional realizado nos

últimos anos no sentido de se desenvolver métodos e mecanismos que, se não eliminem,

pelo menos minimizem os efeitos causados pela sociedade industrial no meio ambiente.

Os resultados obtidos nesses estudos podem ser aplicados no projeto de barreiras de

engenharia para repositórios de resíduos industriais e radioativos e na simulação de

acidentes com despejo de substâncias tóxicas no solo, visando-se prever as

consequências de uma eventual ocorrência sobre o meio.

Neste contexto, vem sendo desenvolvida uma linha de pesquisa no Laboratório de

Transmissão e Tecnologia de Calor (LTTC) da COPPE/UFRJ em que se realizam

experimentos para o estudo da dispersão de agentes contaminantes em meios porosos.

Esse trabalho foi iniciado pelo Professor Roberto de Souza, com o estudo do transporte

de materiais radioativos em coluna de areia saturada e compactada visando-se a

estimativa do coeficiente de difusão aparente, utilizando-se traçador radioativo, em que

o solo da coluna era lixiviado (SOUZA et al., 1997). Posteriormente o estudo foi

realizado com um traçador não radioativo, utilizando-se solução de KBr e medindo-se a

2

concentração de sal de forma indireta, pela leitura da condutividade elétrica do efluente

da coluna (ORLANDE et al., 1999). O coeficiente de difusão foi também estimado a

partir de um experimento de coluna preenchida com areia saturada e compactada em

que não havia escoamento de líquido através do meio poroso (MOREIRA et al., 2003).

Com este resultado foi possível estimar o coeficiente de dispersão efetivo,

reproduzindo-se em menor escala o aparato experimental desenvolvido pelo Professor

Roberto de Souza (NASCIMENTO et al., 2004).

O passo seguinte foi o estudo do comportamento da dispersão e difusão de

contaminante em colunas de solo com teor de umidade menor do que aquele de

saturação (MOREIRA, 2007), em que se montou um aparato experimental que simula a

pressão negativa existente nos escoamentos não saturados, utilizando-se uma solução de

KBr como traçador. Nessa oportunidade foram estimados o coeficiente de distribuição e

o coeficiente de dispersão do traçador para diferentes tipos de solo.

Estes experimentos propiciaram um bom conhecimento a respeito dos fenômenos de

transporte em meios porosos saturados, assim como a obtenção de um conjunto de

parâmetros estimados e a possibilidade de se estimar parâmetros de transporte para

outros tipos de solo de maneira eficiente. Porém ainda não havia sido realizado nenhum

estudo visando a determinação das propriedades hidráulicas dos solos a serem

analisados, paralelamente à determinação dos parâmetros de transporte.

O presente trabalho é um prosseguimento dos estudos em meios porosos iniciados

pelo Professor Roberto de Souza e visa descrever um método experimental

desenvolvido para o estudo tanto do transporte de soluto em meio poroso não saturado,

quanto do escoamento de líquido através do mesmo meio. O trabalho também descreve

a utilização de uma abordagem Bayesiana na estimativa de parâmetros relacionados ao

problema físico. O método de Monte Carlo com cadeia de Markov (MCMC) é aplicado

3

para se estimar os parâmetros desejados a partir dos dados experimentais obtidos,

através da aplicação do algoritmo de Metropolis-Hastings. São estimados aqui os

parâmetros hidráulicos (conteúdo residual de água, θr, teor de umidade na saturação, θs,

condutividade hidráulica na saturação, Ks, o inverso do coeficiente de entrada de ar, α, e

o índice de distribuição do tamanho de poros, n) e os parâmetros de transporte (fator dos

sítios de sorção em contato com a água móvel, f, coeficiente de distribuição, Kd,

coeficiente de dispersão, Dd, dispersividade, λ, e a taxa de transferência de massa entre

as regiões dinâmica e estagnante, αm).

Os procedimentos desenvolvidos neste trabalho foram aplicados numa situação real,

para estimar as propriedades hidráulicas e de transporte de soluto do solo da região da

unidade de mineração de Urânio (URA) das Industrias Nucleares do Brasil (INB),

localizada em Caetité/Ba, onde foram coletadas as amostras de solo utilizadas nos

procedimentos experimentais realizados. O estudo das propriedades de transporte desse

solo é necessário para se avaliar eventuais riscos a longo prazo para o ambiente e gerar

dados para o eventual projeto de barreiras de engenharia.

A maior parte do Urânio utilizado nos reatores das usinas de geração de energia no

Brasil é atualmente extraído na unidade de mineração de Urânio (URA), das Indústrias

Nucleares do Brasil (INB), localizada em Caetité, BA. O processo de mineração do

Urânio, para posterior enriquecimento, produz rejeitos tanto líquidos quanto sólidos,

que são depositados de acordo com as normas de segurança estabelecidas

internacionalmente. Dada a grande quantidade de material depositada e a alta

concentração de reagentes químicos utilizados para se separar o Urânio puro da rocha,

como o ácido sulfúrico, deve-se considerar o risco de, com a ocorrência de chuvas, esse

material remanescente do processo industrial ser carregado para o ambiente.

4

1.2 Revisão de literatura Solução do problema hidráulico

O estudo do escoamento em meios poroso vem sendo assunto de uma grande

variedade de trabalhos. Van Genuchten (1980) apresentou uma formulação simples da

equação que descreve o teor de umidade em função da carga manométrica e que permite

a derivação de uma solução analítica para a a condutividade hidráulica em solos não

saturados.

Resultados para a estimativa de parâmetros hidráulicos a partir de medidas

experimentais também foram apresentados tanto para meios porosos (KOOL et al.,

1985, SIMUNEK et al., 1998) quanto para meios compostos por rocha fraturada

(PETERS e KLAVETTER, 1988, PRUESS e WANG, 1987, FLINT et al., 2001).

Também foram levantados valores para as propriedades hidráulicas de solos

frequentemente usados (LEIJ et al., 1997).

Foram desenvolvidas funções para o cálculo de parâmetros de retenção de água em

diferentes tipos de solos, a partir de propriedades físicas do mesmo (MAYR e JARVIS,

1998, SCHAAP et al., 2001, GHANBARIAN-ALAVIJEH et al., 2010). Os parâmetros

também foram estudados em casos em que se considera um meio poroso composto de

camadas sobrepostas de diferentes porosidades (DURNER et al., 1999).

Estudos foram realizados para se constatar que o teor de umidade do meio poroso

pode diferir muito do valor esperado segundo a curva de retenção, especialmente em

casos de escoamento a vazões elevadas, levando um longo período de tempo para este

ser verificado no meio (ROSS e SMETTEM, 2000, SCHULTZE et al., 1999,

5

WILDENSCHILD et al., 2001). Para esses casos, desenvolveu-se um modelo de

escoamento hidráulico em não equilíbrio em que o teor de umidade e a carga

manométrica presentes na equação de Richards clássica são desacoplados,

aproximando-se numericamente o teor de umidade de maneira independente (ROSS e

SMETTEM, 2000).

Foram feitas comparações entre resultados obtidos com uma variação do modelo de

Mualem e Van Genuchten e resultados anteriores (VOGEL et al., 2001). Valores para as

propriedades hidráulicas para solos localizados nos trópicos também foram

determinados a partir do modelo de Mualem-Van Genuchten (HODNETT e

TOMASELLA, 2002).

Foi desenvolvido o pacote de códigos computacionais HYDRUS-1D (SIMUNEK et

al., 2005) que, a partir de uma coletânea de modelos matemáticos conhecidos permite a

análise do escoamento e transporte de soluto, possibilitando a simulação do escoamento

do líquido percolante em situações de campo e experimentos de coluna (MA et al.,

2010, TAFTEH et al., 2012, JIANG et al., 2010, SIYAL e SKAGGS, 2009). Outros

códigos com a implementação de modelagem para o problema de escoamento são

utilizados na simulação do escoamento também foram desenvolvidos, sendo utilizados

no estudo da qualidade de água (ABBASPOUR et al., 2007, SCHUOL et al., 2008,

FARAMARZI et al, 2010, ROUHOLAHNEJAD et al., 2012). A influência de solos

calcários sobre as curvas de retenção também mereceu atenção especial em estudos

recentes (KHODAVERILOO et al., 2011), assim como a obtenção de parâmetros

hidráulicos de solos utilizando-se apenas informações da retenção de água

(TWARAKAVI et al., 2008).

Solução do problema de transporte de soluto

6

Diversos trabalhos também vem sendo realizados visando o estudo do transporte de

soluto em meios porosos não saturados, com a utilização de modelos matemáticos de

convecção-dispersão que descrevem as situações de equilíbrio e não-equilíbrio físico.

O escoamento em não equilíbrio físico em meio com porosidade dupla é descrito,

admitindo-se a ocorrência de caminhos preferenciais e baseando-se nas equações de

convecção-dispersão, com a formulação do modelo de porosidade dupla (PHILLIP,

1968, VAN GENUCHTEN e WIERENGA, 1976, PRUESS e WANG, 1987, GERKE,

VAN GENUCHTEN, 1993, JARVIS, 1994, HENDRICKX e FLURY, 2001, SKAGGS

e LEIJ, 2002, SIMUNEK et al., 2003). Nestes modelos, o meio poroso em estudo é

dividido eu duas regiões: uma dinâmica, onde ocorre o escoamento e outra estagnante,

onde o líquido é retido, utilizando-se a equação de Richards. Um modelo alternativo

baseado na equação cinemática da onda foi proposto por Germann (1985) e Germann e

Beven (1985), descrevendo o movimento gravitacional da água nos poros.

O meio poroso pode ainda ser dividido em regiões sucessivas (OTHMER et al,

1991; DURNER, 1994), usando para cada região a função do tipo van Genuchten-

Mualem das propriedades hidráulicas do solo. Modelos de multi-porosidade também

são utilizados, diferindo-se dos de porosidade dupla pela existência de regiões

adicionais no meio poroso (GWO et al., 1995; HUTSON e WAGENET, 1995),

podendo-se simplificá-los a modelos de porosidade dupla. Uma representação

macroscópica para a geometria estrutural para esses meios foi apresentada por Gerke e

van Genuchten (1996). Ao se sobrepor linearmente essas funções para cada região,

obtém-se um sistema de poros multi-modal (DURNER et al., 1999). Kohne et al. (2006)

mostraram que a utilização somente de dados experimentais hidráulicos é insuficiente

para a estimativa dos parâmetros hidráulicos, enquanto a utilização de dados

experimentais de escoamento, bem como da curva do avanço da frente de soluto

7

facilitam a obtenção simultânea dos parâmetros hidráulicos e de transporte. Porém,

modelos de porosidade simples e dupla apresentam eficácia limitada na previsão

simultânea dos fluxos de líquido e de soluto (HAWS et al., 2006)

O modelo de porosidade dupla tem sido utilizado na simulação e análise do

transporte de soluto e formação de caminhos preferenciais em uma grande quantidade

de situações como as em que substâncias químicas se deslocando no subsolo podem

causar danos ambientais (PETACH et al., 1991, ERIKSSON et al., 1997, SCHWARTZ

et al., 2000, KOHLER et al., 2001, MORADI et al., 2005, LARSBO e JARVIS, 2006

AKHAVAN et al., 2010). Uma modelagem para o transporte de soluto em colunas de

solo foi apresentada por Martinez et al. (2010).

Foram desenvolvidos programas comerciais e de domínio público contendo códigos

computacionais com as soluções de diversos modelos matemáticos, utilizando as

funções de van Genuchten-Mualem e suas modificações (VOGEL et al., 2001). O

código CXTFIT (TORIDE et al., 1999) também foi utilizado no estudo do transporte de

soluto, tendo sido implementadas soluções analíticas para a equação de convecção-

dispersão. A infiltração e saída de água em diferentes amostras de solo consolidado

foram simuladas (ROSS e SMETTEM, 2000).

Simulações da infiltração em amostras menores também foram realizadas

(SIMUNEK et al., 2001), mostrando relações entre a pressão e o volume de poros

ocupado por água. O programa HYDRUS (SIMUNEK et al., 2005) também possui

formulações para a solução dos problemas direto e inverso de estimativa de parâmetros

de transporte, possibilitando a simulação e análise do transporte de soluto em condições

de campo e em experimentos de coluna de solo em laboratório (NEWMANN et al.,

2011, MERK, 2012, JIANG, et al., 2010, RAMOS et al., 2011, JELLALI et al., 2010,

HEATWOLE e MCCRAY, 2007, BEGGS et al., 2011), com a possibilidade de se

8

discriminar o modelo a ser utilizado (PACHEPSKY et al., 2006) e avaliar o

comportamento dos modelos de equilíbrio e não equilíbrio físico (JELLALI et al.,

2010). O transporte de radionuclídeos provenientes de depósitos de rejeitos industriais

também foi simulado (PONTEDEIRO et al., 2010), e os resultados obtidos com o

HYDRUS foram comparados com o resultado de outros códigos (MERK, 2012).

Procedimentos experimentais

Para que os resultados de experimentos em colunas de solo de laboratório sejam

significativos, é necessário que o solo que preenche a coluna apresente características

físicas semelhantes às do ambiente natural, sendo para isso utilizadas técnicas de

compactação de solo no interior da coluna, em que o solo pode ser depositado tanto em

estado não saturado por via mecânica (OLIVEIRA et al., 1996, COMMUNAR et al.,

2004, PLUMMER et al., 2004), quanto em estado completamente saturado, onde a

coluna é previamente preenchida com água e o solo depositado homogeneamente no

fundo da coluna por ação da gravidade (SIMON et al., 2000, POWELSON e MILLS,

2001, JIN et al., 2007). Este procedimento permite a repetibilidade dos experimentos.

Porém, de acordo com Bromly et al. (2007), a compactação de amostras de solo não

consolidado com o objetivo de se obter um solo com densidade homogênea exerce

influência significativa no transporte de soluto, uma vez que para colunas de diâmetro

grande a dispersividade do solo é alterada.

Também foram realizados estudos onde o solo foi depositado na coluna de maneira

consolidada (BROWN et al., 1974, BOWMAN et al., 1994, STROCK e CASSEL,

2001, DOUSSET et al., 2004, LANDRY et al, 2004, TAKAMATSU et al., 2007). Neste

método, o experimento foi realizado em condições próximas das condições de campo, o

que permite o estudo dos macroporos que influenciam o transporte de soluto (LAWES

9

et al., 1982). Porém, há a desvantagem de não se garantir a presença significativa de

macroporos na amostra coletada (AKHTAR et al., 2003).

Uma preocupação em experimentos de coluna de solo é a ocorrência de caminhos

preferenciais não naturais como, por exemplo, o fluxo entre a superfície lateral do solo e

a superfície interna da parede da coluna (CORWIN, 2000, GHODRATI et al., 1999,

SENTENAC et al., 2001). Há uma diversidade de estudos que apresentaram propostas

para se contornar este problema (SMAJSTRA, 1985, SENTENAC et al., 2001,

CORWIN, 2000, CHABERNEAU, 2000).

Lewis e Sjöstram (2010) apresentaram um trabalho de revisão, analisando o estado

da arte na construção de colunas de solo e fornecendo informações para a otimização de

experimentos. Skaggs et al. (2002) apresentaram uma descrição de procedimentos

experimentais em laboratório com o objetivo de se reproduzir o escoamento e transporte

de soluto em meios porosos em colunas preenchidas por amostras de solo.

Experimentos em coluna de solo de laboratório também foram utilizados com o objetivo

de se obter dados experimentais a serem utilizados na estimativa de parâmetros do

problema de escoamento (KOOL et al., 1985, PARKER et al., 1985, SIMUNEK et al.,

1998, ZOU et al., 2001, KOHNE et al., 2006) e também do problema de transporte de

soluto, a partir da obtenção da curva de concentração de soluto ao longo do tempo

(KAMRA et al., 2001; BARIZON, 2004; SHASHIDHAR et al., 2007; SCHWAB et al.,

2007; CRANÇON et al., 2010).

Estimativa de parâmetros

A solução do problema de estimativa de parâmetros pela minimização da função

objetivo de máxima verossimilhança (BECK e ARNOLD, 1977) e de modelos que

reflitam as incertezas dos parâmetros antes das informações fornecidas pelos dados

10

experimentais, denominados modelos a priori (BECK e ARNOLD, 1977, KAIPIO e

SOMERSALO, 2004, LEE, 2004, TAN et al., 2006), vem sendo tema de uma grande

quantidade de trabalhos nas últimas décadas. Nesse contexto, tem-se observado um

crescente interesse na aplicação do método de Monte Carlo com cadeia de Markov

(MCMC) através do algoritmo de Metropolis-Hastings (KAIPIO e SOMERSALO,

2004, TAN et al., 2006, LEE, 2004). Foram realizados trabalhos para a estimativa das

distribuições a posteriori de parâmetros do modelo de escoamento hidráulico, dentre os

quais está a caracterização da sensibilidade e incerteza dos parâmetros a partir da

elaboração de uma base Bayesiana de dados estatísticos (HASSAN e CHAPMAN,

2006, YANG et al., 2007, HE et al., 2011). Jasper Vrugt e seus colaboradores aplicaram

computação paralela na estimativa Bayesiana de parâmetros hidráulicos (Vrugt et al.,

2006), como também introduziram a amostragem de partículas da cadeia de Markov em

sua metodologia de estimativa de parâmetros (VRUGT et al., 2012), entre outras

contribuições. A estimativa Bayesiana dos parâmetros de transporte de soluto também

tem sido objeto de estudo, com experimentos de batelada sendo realizados para se

estimar as propriedades de transporte de solos (IDEN e DURNER, 2008, ANAGU et

al., 2012). A caracterização geológica de solos também pode ser realizada a partir da

elaboração de base Bayesiana de dados estatísticos de parâmetros de transporte

(MINASNY et al., 2011).

O presente trabalho apresenta como inovação a estimativa simultânea dos

parâmetros referentes ao problema hidráulico e ao de transporte em que toda a

informação disponível sobre os parâmetros, inclusive resultados a posteriori de

estimativas de parâmetros hidráulicos, são admitidas na determinação das condições a

priori. Estão aqui reunidas todas as frentes de trabalho apresentadas nesta revisão. É

estudado o escoamento e o transporte de soluto em meios porosos não saturados, com a

11

realização de ensaios para a caracterização do solo e a utilização de um procedimento

experimental em coluna de solo não saturado. O experimento em coluna fornece

medidas das variações de carga e de concentração de soluto, que são utilizadas na

estimativa de parâmetros hidráulicos e de transporte. Primeiramente, estimam-se os

parâmetros hidráulicos através da solução do problema inverso de estimativa de

parâmetros pela aplicação de inferência Bayesiana. As distribuições a posteriori obtidas

são então utilizadas como condições a priori na estimativa simultânea dos parâmetros

hidráulicos e de transporte.

1.3 Estrutura do trabalho

No capítulo 2 são apresentados os modelos matemáticos que governam os fenômenos

físicos em estudo e os métodos de solução dos problemas direto e inverso utilizados. Na

seção 2.1 é descrito o problema físico considerado e são apresentados os modelos

matemáticos associados aos fenômenos físicos presentes no estudo. São eles um modelo

para a descrição do escoamento hidráulico baseado nas equações de Richards e um

modelo de dispersão de soluto em não-equilíbrio físico em meio poroso não saturado,

considerando-se duas regiões de porosidades diferentes, denominado “Two-Region

Model” (TRM). Duas formulações para as condições de contorno na entrada da coluna

são apresentadas para a equação de dispersão de soluto. A seção 2.2 mostra os métodos

de solução das equações apresentadas na seção 2.1 tanto nas simulações de verificação

quanto na definição do problema direto na estimativa de parâmetros. A seção 2.3, por

sua vez, traz a descrição do método de estimativa de parâmetros pelo Teorema de

Bayes, com a utilização do método de Monte Carlo com cadeias de Markov (MCMC).

12

No capítulo 3 são descritos os procedimentos experimentais utilizados para se obter

as propriedades físicas do solo utilizado neste trabalho. A seção 3.1 descreve os

resultados dos experimentos de caracterização do solo realizados no laboratório de

Geotecnia do PEC/COPPE/UFRJ, que forneceram dados utilizados nas simulações

preliminares e na especificação de distribuições a priori para a estimativa de parâmetros

hidráulicos. Na seção 3.2 são apresentados o aparato e a metodologia experimental

utilizados para a realização dos experimentos em laboratório de escoamento e dispersão

de soluto em coluna de solo para o caso de não-saturação. As especificações da

realização do experimento também são apresentadas nessa seção.

O capítulo 4 apresenta primeiramente as simulações dos experimentos de

escoamento e dispersão de soluto, realizadas com os métodos de solução do problema

direto descritos na seção 2.2 com a finalidade de se verificar o código de solução do

problema direto por volumes finitos desenvolvido para este trabalho. A análise dos

resultados obtidos na estimativa dos parâmetros hidráulicos e de transporte relativos aos

modelos matemáticos considerados também é apresentada neste capítulo.

No capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho realizado até aqui e as

sugestões para seu prosseguimento.

Por ultimo, no capítulo 6 são encontradas as referências bibliográficas citadas no

decorrer do texto.

13

CAPÍTULO 2 - Fundamentos Teóricos

2.1 Problema Físico

O problema físico aqui considerado é referente ao transporte de traçador através de

uma coluna vertical de solo não saturado de laboratório, representada esquematicamente

na figura (2). Admite-se que, inicialmente, a carga manométrica no interior da coluna

varia ao longo de sua extensão, em função da posição na direção axial. Para um tempo

maior que zero, uma solução de traçador com concentração conhecida é injetada na

extremidade superior da coluna, de maneira que se obtenha um fluxo constante de

líquido percolante. A base da coluna é conectada a uma câmara de vácuo com controle

de pressão, de maneira que a fronteira de saída da coluna pode ser mantida a uma

pressão controlada. É admitido ainda que, em cada seção transversal da coluna, os

valores da carga de pressão e concentração de soluto são uniformes, caracterizando-se

um problema unidimensional.

Figura 2: Domínio físico do escoamento e transporte unidimensionais.

14

2.1.1 Formulação do problema de escoamento hidráulico

O solo que preenche a coluna de laboratório pode ser modelado como a união de um

sistema não fraturado, denominado matriz, e um sistema fraturado. O escoamento pode

assim ser descrito por um modelo matemático que utiliza uma equação de Richards para

cada um desses sistemas, estando as duas equações acopladas pelo termo de

transferência de água, denominado modelo de porosidade dupla de Gerke e Van

Genuchten (1993). Para uma coluna, ilustrada na figura (1), o escoamento vertical de

água nos meios fraturado e na matriz porosa são então respectivamente descritos como

(SIMUNEK et al, 2003, KHONE et al, 2006):

f f wf f

f

hK K

t z z w

θ∂ ∂ Γ∂= + − ∂ ∂ ∂

(1.a)

1m m w

m m

f

hK K

t z z w

θ ∂ ∂ Γ∂= + + ∂ ∂ ∂ −

(1.b)

onde z é a coordenada espacial, que tem sua referência localizada na base da coluna e

em cuja direção negativa ocorre o escoamento, e t é a variável temporal. Os subscritos f

e m referem-se ao sistema fraturado e à matriz, respectivamente. Nestas equações, θ é o

teor volumétrico de umidade (L3/L3), h é a carga piezométrica (L), doravante

denominada carga, K é a função de condutividade hidráulica (LT-1), wf é a fração total

do meio poroso ocupada pelo sistema fraturado (0 < wf < 1) e Γw é o termo de

transferência de água entre os dois meios, definido como (GERKE E VAN

GENUCHTEN, 1993, KOHNE et al, 2006):

15

2( )w a w f mK h h

a

βγΓ = − (1.c)

onde β é um coeficiente adimensional que depende da geometria do problema, a é um

comprimento característico da estrutura da matriz (L), Ka é a condutividade hidráulica

da interface entre a matriz e o sistema fraturado (LT-1) e γw é um fator de escala,

normalmente tomado como 0.4

Neste trabalho, a percolação de líquido através da coluna de solo é descrita por um

modelo matemático de escoamento uniforme em um sistema de porosidade única,

obtido a partir da simplificação do modelo de permeabilidade dupla de Gerke e Van

Genuchten (1993), descrito nas equações (1.a-c). Neste modelo, o escoamento de água

num único meio poroso é descrito pela equação de Richards. O escoamento vertical é

então descrito como (SIMUNEK et al, 2003, KHONE et al, 2006):

hK K

t z z

θ ∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

em 0 ≤ z ≤ L e t > 0 (2.a)

onde L é o comprimento da coluna. Admitindo-se fluxo de efluente q0 (LT-1) prescrito

no topo da coluna e carga hb(t) (L) prescrito na base da coluna, utilizam-se as seguintes

condições de contorno:

h = hb(t) em z = 0 para t > 0 (2.b)

0 ( )h

K K q tz

∂− + = ∂

em z = L para t > 0 (2.c)

A condição inicial é dada em termos de carga, da forma:

16

( )ih h z= em 0 ≤ z ≤ L para t = 0 (2.d)

Uma vez que se admite uma coluna de solo homogênea, considera-se ainda que

a variação da carga ao longo da coluna é linear no instante inicial. Nesse caso, admite-se

que hi (z) varia linearmente entre hi (0) = h0 – δh na base da coluna e hi (L) = h0 + δh no

topo da coluna, onde h0 é o valor inicial da carga de pressão na metade da coluna e δh é

o valor positivo da variação da carga de pressão entre a metade da coluna e cada uma

das suas extremidades. Esta definição será de grande importância nas estimativas de

parâmetros hidráulicos apresentadas no capítulo 4.

A relação entre θ e h, assim como o modelo de condutividade hidráulica, são

dados pelas funções de van Genuchten (1980) representadas pelas equações:

( ) ( ) 1m

n

r s rh hθ θ θ θ α−

= + − + (3.a)

( )2

1/( ) 1 1m

l m

e s e eK S K S S = − − (3.b)

sendo

11m

n= − (4.a)

saturaçãoefetivare

s r

Sθ θθ θ−

= =−

(4.b)

onde θr é o conteúdo volumétrico residual de água (L3/L3) e Ks é a condutividade

hidráulica na saturação (LT-1). Também são encontrados os parâmetros empíricos α, que

17

é o inverso do coeficiente de entrada de ar (L-1), o índice da distribuição de tamanho de

poros, n, e o parâmetro de conectividade de poros, l.

2.1.2 Problema de transporte de soluto

O transporte de soluto em meios porosos é descrito por modelos matemáticos

baseados na equação diferencial de convecção-difusão, utilizando-se um modelo de

sorção. Neste trabalho foi considerado um modelo matemático que descrevesse o

transporte de soluto em ensaios de coluna com solos coletados em campo, de maneira

que se mantivessem suas características físicas o mais próximo possível daquelas

existentes no ambiente de onde foram retiradas. De acordo com Skaggs e Leij (2002),

ao se realizar ensaios em colunas de solo não perturbado ou em campo, são encontradas

discrepâncias entre os resultados experimentais e aqueles estimados com modelos de

equilíbrio físico. Essas discrepâncias foram analisadas por Moreira (2007), quando se

verificou que para esses casos o modelo de sorção linear em não equilíbrio físico

apresenta o melhor ajuste entre os resultados experimental e teórico.

O modelo de transporte em não-equilíbrio físico entre duas regiões, ou “Two-Region

Model” (TRM), também denominado modelo de porosidade dupla, modifica o modelo

de convecção-difusão, estipulando que a água presente no solo é dividida entre regiões

móveis e imóveis (ou dinâmicas e estagnantes) (VAN GENUCHTEN e WIERENGA,

1976, VAN GENUCHTEN, 1981). O transporte de soluto por convecção é suposto

como restrito a região dinâmica. Também se supõe que o transporte de soluto entre as

duas regiões é controlado por difusão. Para o caso de sorção linear para as regiões

dinâmica e estagnante, as equações deste modelo podem ser escritas da seguinte forma

18

(VAN GENUCHTEN e WIERENGA, 1976, PETRACH et al., 1991, SKAGGS e LEIJ,

2002.a):

�� + � �� =

�� − �� − �� − �� em 0 ≤ z ≤ L, t > 0 (5.a)

�� + �1 − �� = �� − �� em 0 ≤ z ≤ L, t > 0 (5.b)

Nestas equações, as variáveis Cm e Cim (ML-3) referem-se à concentração de soluto

nas regiões dinâmicas e estagnantes, respectivamente, Dm (L2T-1) é o coeficiente de

dispersão e Kd (L3M-1) é o coeficiente de distribuição. Os termos θm e θim (L3L-3)

referem-se respectivamente ao teor de umidade para as regiões dinâmica e estagnante,

enquanto o coeficiente αm (T-1) determina a taxa de transferência de massa entre as

regiões dinâmicas e estagnantes. O fluxo q (LT-1) é definido como q = Vmθm, onde Vm

(LT-1) é a velocidade média da água dos poros nas regiões dinâmicas. O fator f define a

fração de massa da fase sólida na região dinâmica e ρb (ML-3) é a massa específica na

base seca.

Neste estudo, foram consideradas duas formulações na definição das condições de

contorno na entrada da coluna (z = L). Na primeira formulação adota-se uma condição

de contorno de terceiro tipo na entrada da coluna; na segunda, a condição de contorno

escolhida é do primeiro tipo, como se pode ver na dos modelos a seguir.

2.1.2.1 Modelo com condição de contorno do terceiro tipo

19

Neste modelo, admite-se, a fim de se manter o balanço de massa na coluna, que o

transporte de soluto no topo da coluna de solo (z = L) é definido por uma condição de

contorno do terceiro tipo, considerando-se a dispersão do soluto no meio poroso, e por

uma condição de segundo tipo na base da coluna (z = 0).

0mC

z

∂=

∂ em z = 0, para t > 0 (6.a)

0 0 0( ) ( )mm m m

CD q t C q t C

zθ

∂− + =

∂ em z = L , para t > 0 (6.b)

tendo como condição inicial:

0( ,0)mC z C= em 0 ≤ z ≤ L, para 0t = (6.c)

Na definição desta condição de contorno o termo q0(t) (L T-1) é o fluxo afluente no

topo da coluna de solo.

2.1.2.2 Modelo com condição de contorno do primeiro tipo

Uma vez que, nos experimentos realizados, se conhece a concentração de soluto na

solução afluente no topo da coluna, como está descrito no capítulo 3, optou-se por se

considerar também um modelo de condição de contorno que a concentração de soluto é

prescrita na entrada de líquido na coluna, aplicando-se condição de contorno do

primeiro tipo em z = L. Na base da coluna aplica-se novamente uma condição de

contorno do segundo tipo. Neste caso, o problema é descrito pelas seguintes equações:

20

0mC

z

∂=

∂ em z = 0, para t > 0 (7.a)

Cm (L,t) = Cinj(t) em z = L, para 0t > (7.b)

tendo-se novamente como condição inicial:

0( ,0)mC z C= em 0 ≤ z ≤ L, para 0t = (7.c)

onde Cinj (ML-3) é a concentração da solução injetada na entrada da coluna e C0 (ML-3)

é a concentração inicial nas regiões dinâmicas.

O coeficiente de dispersão Dm é obtido a partir do modelo de Bear, utilizando o

modelo de Millington e Quirk para a tortuosidade (KHONE et al., 2006), através da

seguinte relação:

10 /3

2m

m m d

s

D D qθ

θ λθ

= + (8)

onde λ (L) é a dispersividade, Dd (L2T-1) é o coeficiente de difusão molecular e θs é o

teor de umidade do solo na condição de saturação. O fluxo de água q (LT-1) que percola

o meio não saturado é obtido através da Lei de Darcy-Buckingham:

( ) 1h

q K hz

∂ = − + ∂ (9)

21

Para o caso de sorção linear, o coeficiente de distribuição Kd se relaciona com o

fator de retardamento R de acordo com a equação:

1 b dKRρθ

= + (10)

sendo o conteúdo total de água θ definido por (VAN GENUCHTEN, 1981):

m imθ θ θ= + (11)

O valor da taxa de transferência de massa entre as regiões dinâmicas e estagnantes,

αm, na equação (5.b) pode ser obtido empiricamente (VAN GENUCHTEN e DALTON,

1986), podendo variar entre 0.0001 e 10 hr-1 (GRIFFIOEN et al.,1998). A variação da

fração de massa f e da fração de água móvel /mφ θ θ= provocam o mesmo efeito na

curva de efluentes (VAN GENUCHTEN e WIERENGA, 1976), assumindo-se por

simplicidade que (NKEDI-KIZZA et al., 1984):

mfθθ

= (12)

Substituindo-se as equações (8), (10), (11) e (12) nas equações (5.a-b), obtém-se a

seguinte formulação:

� �� = �

�� ∗ �� − ��" − �� − �� em 0 ≤ z ≤ L, t > 0 (13.a)

22

�1 − �� = �� − �� em 0 ≤ z ≤ L, t > 0 (13.b)

Onde

10 / 3* 10/ 3

2d

s

D fD qθ λ

θ= + (14)

e o fator de retardamento R é dado pela equação (10). As condições de contorno e

inicial são as mesmas apresentadas nas equações (6.a-c) e (7.a-c), para os casos de

condição de contorno do terceiro e primeiro tipos no topo da coluna, respectivamente.

É de se notar que o conceito da partição da água presente no solo entre móvel e

imóvel pode variar em função das circunstâncias. Regiões estagnantes podem conter

água que esteja literalmente estagnada, ou que esteja numa velocidade muito menor do

que aquela das regiões dinâmicas. Isto acontece, por exemplo, quando o solo apresenta

macroporos derivados de fendas, canais de raízes mortas, rochas fraturadas, etc. O fluxo

nessas regiões terá uma velocidade muito superior a da matriz de solo. Na matriz de

solo, a divisão entre água móvel e imóvel ocorre quando uma porção da água do solo é

retida no espaço dos poros.

23

2.2 Métodos de solução do problema direto

Foram utilizados códigos computacionais para a solução das equações

representadas anteriormente na seção 2.1. A descrição de cada código utilizado é

apresentada a seguir.

2.2.1 Código para solução por volumes finitos

A fim de se realizar a análise do escoamento e do transporte de soluto através do

meio poroso não saturado, foi desenvolvido um código computacional para a solução do

problema direto associado aos problemas físicos de escoamento e transporte de soluto

em estudo. Esse código computacional foi escrito na linguagem FORTRAN, utilizando-

se a técnica de volumes finitos. A função de interpolação foi determinada a partir do

esquema WUDS (MALISKA, 1995). Foram utilizadas malhas espaciais de 50, 100 e

200 volumes para a discretização da coluna de solo. Os resultados obtidos com esta

solução numérica foram verificados a partir da comparação com aqueles obtidos pelo

programa HYDRUS 1-D, apresentado na seção a seguir. Esta verificação está descrita

no capítulo 6.

A equação de Richards, apresentada na equação (2.a), é uma equação diferencial

parcial que apresenta forte não-linearidade em razão do termo da condutividade

hidráulica ser calculado em função da carga de pressão, que é a variável se deseja

determinar. Isto faz com que a obtenção de uma solução analítica seja possível somente

em casos muito específicos. Para a obtenção da solução numérica da equação de

Richards, submetida às condições de contorno descritas nas equações (2.b-d), foi

realizada sua integração na direção z para cada volume da malha. Ao se aplicar

24

diferenças finitas centradas nos termos difusivos e discretizar implicitamente a equação

para cada volume da malha espacial, obtém-se uma formulação discretizada para o

problema de escoamento, como se observa:

#$%&$'#$%

(� = )*%&$+,%&$

(�, − )*%&$+$%&$

(�, + )*%&$')-%&$

(� para i = 1 (15.a)

#�%&$'#�

%

.� = )-%&$+�/$%&$

.�, − 0)*%&$1)-%&$2+�%&$

.�, +

+ )*%&$+�&$%&$

.�, + )*%&$')-%&$

.3 para i = 2,..., I-1 (15.b)

#4%&$'#4

%

.� = )-%&$+4%&$

.�, + )-%&$+4/$%&$

.�, − 567��1)-%&$8.� para i = I (15.c)

onde o índice n indica a discretização da malha temporal, com cada ponto separado pelo

intervalo ∆t e o índice i = 1,...,I representa a discretização da malha espacial, sendo I o

número total de volumes da malha utilizada, q0(t) é a infiltração de líquido na coluna e

os subscritos e e w se referem às fronteiras anterior e posterior de cada volume da

malha. O ponto espacial i = 1 corresponde ao volume da malha localizado em z = 0

(base da coluna) enquanto i = I corresponde ao volume localizado em z = L (topo de

coluna). As equações (15.a-c) formam um sistema de equações que tem como variável

independente a carga de pressão, h. Este sistema é resolvido pelo algoritmo da matriz

tri-diagonal (TDMA), de maneira que o valor da carga é calculado para cada volume da

malha espacial.

Procedimento semelhante foi realizado para as equações (13.a-b) governantes do

25

problema de transporte de soluto, utilizando-se os modelos de condições de contorno do

terceiro e do primeiro tipo apresentados nas equações (6.a-c) e (7.a-c), respectivamente.

Discretizando-se implicitamente a equação (13.a) por volumes finitos temos:

* 1 11 11 1 1 11 1

,1

* 1 11 1 1

,2

11 1,1 ,1

1

2

1

2

n nn nn n n ne ee e B m m

n nn n ne ee e m

n nn n

m m im

Df zRq q z C

t z

Dq C

z

f zRC zC

t

βθα α

βα

θα

+ ++ ++ + + +

+ ++ + +

+

∆ + + + − + ∆ − ∆ ∆

− − − = ∆

∆= + ∆

∆

para i = 1 (16.a)

onde qB é o fluxo de líquido percolante na posição z = 0.

* 1 11 1 1

, 1

1 1 * 1 11 1

1,

* 1 11 1

* 1 11 1

1

2

1

2

1

2

1

2

n nn n nw ww w m i

n n n nn ni i w ww w

n

m in n

n ne ee e m

n nn ne ee e

Dq C

z

f z R Dq

t zC

Dq z

z

Dq

z

βα

θ βα

βα α

βα

+ ++ + +

−

+ + + ++ +

+

+ ++ +

+ ++ +

− + + + ∆

∆ + − − + ∆ ∆ + − + + + ∆ ∆

− − − ∆

1, 1

1, , 1

n

m i

n nn ni im i m im i

C

f z RC zC

t

θα

++

++

=

∆= + ∆

∆

para i = 2,...,I-1 (16.b)

Para o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, foi obtida a seguinte

equação discretizada no volume localizado no topo da coluna:

26

* 1 11 1 1

, 1

* 1 11 11 1 1

,

1, , 0 0

1

2

1

2

n nn n nw ww w m I

n nn nn n nw wI Iw w m m I

n nn nI Im I m im I

Dq C

z

Df z Rq z C

t z

f z RC zC q C

t

βα

βθα α

θα

+ ++ + +

−

+ ++ ++ + +

+

− + + + ∆

∆ + + − − + ∆ = ∆ ∆

∆= + ∆ −

∆

para i = I (16.c)

Para o modelo com condição de contorno do primeiro tipo, a equação da condição

de contorno no volume localizado no topo da coluna foi discretizada implicitamente por

volumes finitos da seguinte forma:

11

, 1

1 11 11

,

1

,

2

2

nnwm I

n nn nne wI Im I

nn nn eI Im I inj

Cz

f z RC

t z z

f z RC C

t z

β

β βθ

βθ

++−

+ ++ ++

+

− +∆ ∆

+ + + = ∆ ∆ ∆

∆= +

∆ ∆

para i = I (16.d)

onde Cinj é a concentração da solução injetada no topo de coluna. Os termos α e β são

definidos da seguinte forma (MALISKA, 1995):

α = sign(Pe)2

210 2

Pe

Pe+ (17)

2

2

1 0,005

1 0,05

Pe

Peβ

+=

+ (18)

27

onde Pe é o número de Peclet, dado por:

*

q zPe

D

∆= (19)

sendo D* definido pela equação (14). As equações (16.a-c) e (16.a-b,d) formaram dois

sistemas de equações lineares que tem como variável independente a concentração de

soluto e foram resolvidos pelo algoritmo da matriz tri-diagonal (TDMA), obtendo-se de

tal forma o valor da concentração de soluto em cada volume da malha espacial.

2.2.2 Programa HYDRUS 1-D

Para se verificar os resultados obtidos a partir do código computacional em

volumes finitos desenvolvido neste trabalho, foi utilizado o código (HYDRUS 1-D).

Trata-se de um código computacional em elementos finitos, que trata do transporte de

soluto em meios porosos não saturados, parcialmente saturados e saturados, podendo-se

considerar um perfil com várias camadas de solos. Esta característica permite ao

programa simular a percolação atrávés do meio poroso a ser estudado a partir de

diversos modelos matemáticos de escoamento em meios porosos, dentre os quais o

modelo de Gerke e Van Genuchten (1993) de porosidade dupla e sua versão

simplificada, representados pelas equações (1-4). O transporte de soluto em meios com

diferentes porosidades também pode ser simulado, através de modelos matemáticos de

equilíbrio e não equilíbrio físico e químico, dentre os quais se inclui o modelo não-

equilíbrio físico entre duas regiões descrito pelas equações (5.a-b). É possível ainda

28

estimar as propriedades físicas do meio poroso em estudo por meio de um outro código

embutido no mesmo programa, utilizando-se como dados de entrada informações sobre

a composição física do solo. Há ainda um catálogo de valores de parâmetros calculados

para uma variedade de solos de composição padrão.

O programa HYDRUS 1-D possui ainda uma boa interface gráfica, que permite

definir com facilidade a geometria do problema físico em estudo e a definição das

condições de contorno e pontos de medição. Graças a esta característica, foi este o

programa utilizado na simulação dos experimentos de percolação e transporte de soluto

em coluna de solo realizados ao longo do trabalho. Nas simulações, utilizou-se como

dados de entrada o comprimento da coluna de solo a ser utilizada no experimento, a

composição do solo a ser utilizado, as condições de contorno esperadas na entrada e na

saída da coluna e o gradiente de pressão ao longo da coluna, além dos parâmetros de

transporte do soluto, para os quais se utilizou valores aproximados.

2.3 Método de solução do problema inverso

Neste trabalho, os parâmetros presentes nos modelos matemáticos apresentados

anteriormente precisam ser estimados a partir de medidas experimentais obtidas. Esse

tipo de problema é denominado Problema Inverso de Estimativa de Parâmetros (BECK

e ARNOLD, 1977; OZISIK e ORLANDE, 2000).

Num grande número de trabalhos precedentes, a estimativa dos parâmetros

desconhecidos existentes nos modelos matemáticos foi realizada a partir da

minimização da norma dos mínimos quadrados pelo método de Levenberg-Marquart

(BECK e ARNOLD, 1977; LEVENBERG, 1944; MARQUARDT, 1963; OZISIK e

ORLANDE, 2000), havendo uma extensa coletânea de resultados obtidos através da

29

aplicação desse método. Neste trabalho, entretanto, optou-se pela aplicação de técnicas

de inferência Bayesiana (WINKLER, 2003), com a utilização do método de Monte

Carlo com cadeias de Markov (MCMC), implementado pelo algoritmo de Metropolis-

Hastings (KAIPIO e SOMERSALO, 2004; TAN et al., 2006; LEE, 2004; MOTA et al.,

2007; ORLANDE et al., 2007.a,b). A descrição da abordagem por inferência Bayesiana

se encontra a seguir.

2.3.1 Método MCMC com utilização do algoritmo de Metropolis-

Hastings

Na abordagem Bayesiana utiliza-se toda informação disponível a fim de se reduzir

a incerteza em problemas de inferência ou de tomada de decisão. Novas informações

obtidas são combinadas a informações previamente disponíveis, formando a base dos

processos estatísticos. O mecanismo formal para se gerar essa combinação é o Teorema

de Bayes (WINKLER, 2003). Assim sendo, o termo Bayesiano é utilizado para se

referir às denominadas técnicas estatísticas de solução de problema inverso, baseadas

nos seguintes princípios (KAIPIO e SOMERSALO, 2004):

1. Todos os parâmetros que aparecem no modelo matemático são

modelados como variáveis randômicas.

2. O grau de informação a respeito destas variáveis randômicas são

codificados em distribuições de probabilidade.

3. A solução do problema inverso é a distribuição posterior de

probabilidade.

30

Desta forma, a solução do problema inverso não se reduz a um conjunto de valores

pontuais estimados para os parâmetros, como nas técnicas tradicionais de solução, mas

sim à obtenção de uma distribuição estatística para os mesmos.

Considere-se o seguinte vetor de parâmetros da formulação matemática do problema

físico:

PT ≡ [P1,P2,...,PN] (20.a)

e o vetor de medidas na forma:

]...,,,[ 21 I

T YYY≡Y (20.b)

onde N é o número de parâmetros e I o número de medidas. O teorema de Bayes pode

ser escrito como (KAIPIO e SOMERSALO, 2004):

( ) ( )( ) ( )

( )prior

posterior

π ππ π

π= =

P Y PP P Y

Y (21)

onde πposterior(P) é a densidade posterior de probabilidade, isto é, a densidade

condicional dos parâmetros P dadas as medidas Y; πprior(P) é a densidade a priori dos

parâmetros, isto é, a informação codificada para os parâmetros disponível antes das

medidas; π(Y) é a densidade marginal de probabilidade das medidas, a qual desempenha

o papel de uma constante de normalização e π(Y|P) é a função de verossimilhança, que

31

expressa a densidade de probabilidade das medidas Y dados os parâmetros P. Supondo

erros experimentais aditivos, com distribuição Gaussiana, média zero, matriz de

covariância W-1 e independentes dos parâmetros P, a função de verossimilhança é dada

por:

/ 2/ 2 1 1( ) (2 ) exp ( ) ( )

2

II Tπ π

−− − = − Y P W Y -T W Y -T (22)

onde T é o vetor com a solução do problema direto (resposta do sistema)

correspondente às medidas Y, I é o número de medidas e W é a inversa da matriz de

covariância das medidas. Supondo ainda que as medidas não são correlacionadas,

temos:

21

22

2

1/ 0

1/

0 1/ I

σσ

σ

=

WO

(23)

Dada a dificuldade em se calcular a constante de normalização π(Y), torna-se

necessário o uso de técnicas numéricas de simulação como os métodos de Monte Carlo

com cadeias de Markov (MCMC), para obter-se amostras que representem a densidade

posterior de probabilidade. A implementação da cadeia de Markov requer uma

densidade q(P*,Pt-1

), a qual dá a probabilidade de mudança do atual estado da cadeia,

Pt-1

, para o novo estado, P*.

Um algoritmo largamente utilizado na implementação do método de Monte Carlo é

32

o de Metropolis-Hastings (KAIPIO e SOMERSALO, 2004, TAN el al., 2006, LEE,

2004, MOTA et al., 2007, ORLANDE et al., 2007.a,b), que pode ser descrito

resumidamente da seguinte forma:

1. Seleciona-se um ponto candidato P* da distribuição de movimentação

q(P*, Pt-1

).

2. Calcula-se:

* ( 1) *

( 1) * ( 1)

( | ) ( , )min 1,

( | ) ( , )

t

t t

q

q

πα

π

−

− −

=

P Y P P

P Y P P (24)

3. É gerado um número randômico U com distribuição uniforme em (0,1).

4. Se U ≤α , defina P(t)

= P* ; caso contrário, defina P(t)

= P(t-1).

5. Retorne ao passo 1 a fim de se gerar a seqüência {P(1)

, P(2)

, …, P(n)

}.

Este processo é realizado para se obter uma seqüência que represente a distribuição

posterior de probabilidade e a inferência sobre essa distribuição é obtida a partir da

inferência sobre as amostras {P(1)

, P(2)

, …, P(n)

}. Deve-se notar que os valores de P(i)

na sequência devem ser ignorados até que a cadeia tenha atingido equilíbrio.

O algoritmo de Metropolis-Hastings também é usado em um procedimento de

otimização denominado de recozimento simulado (simmulated annealing),

desenvolvido por Kirkpatrick et al (1983). Considerando-se um ponto de início P(1) é

gerada uma sequência {{P(1)

, P(2)

, …, P(n)

} de modo que uma função objetivo S(P) seja

minimizada (KIRKPATRICK et al, 1983, CORANA et al, 1987). A partir de um ponto

P(i) da sequência, um ponto candidato P* é escolhido. Caso ∆S = S(P*)-S(P

(i)) ≤ 0, o

ponto candidato é aceito, ou seja P(i+1) = P

(i). Caso contrário, o ponto candidato é aceito

33

segundo o critério de Metropolis (passo 3 acima) com probabilidade exp(-∆S/T), onde T

é um parâmetro de controle denominado de temperatura, em analogia ao processo de

mudança de estado de um material para um de menor nível de energia. O método do

recozimento simulado é iniciado com um valor alto de T. Após atingir equilíbrio, a

seqüência é reiniciada com um valor menor de T e tal procedimento é repetido até se

atingir um critério de convergência. Aspectos teóricos e maiores detalhes sobre o

algoritmo de Metropolis-Hastings e métodos de Monte Carlo com cadeia de Markov

podem ser encontrados em (KAIPIO e SOMERSALO, 2004; TAN et al., 2006; LEE,

2004).

Antes de se realizar a estimativa de parâmetros, é necessário que se faça a análise

dos coeficientes de sensibilidade da resposta do sistema em relação aos parâmetros. Os

coeficientes de sensibilidade são os elementos da chamada matriz de sensibilidade

(BECK e ARNOLD, 1977), que é definida como:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂∂

=

N

IIII

N

N

TT

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

P

T

L

MMMM

L

L

321

2

3

2

2

2

1

2

1

3

1

2

1

1

1

)()(

P

PTPJ (25)

Como se vê na equação (25), os coeficientes de sensibilidade consistem da derivada

primeira da resposta do sistema (T) em relação aos parâmetros (P) e representam a

variação das variáveis medidas T em relação a variação dos parâmetros P, pertencentes

ao modelo matemático associado. É desejável que os coeficientes de sensibilidade

tenham valores absolutos altos, de modo que pequenas variações nos parâmetros

causem grandes variações na variável medida. Caso contrário, basicamente o mesmo

34

valor de T seria obtido para uma faixa grande de valores dos parâmetros e o problema

de estimativa seria difícil ou impossível. Neste trabalho foram considerados os

coeficientes de sensibilidade reduzidos, que são obtidos pela multiplicação dos

coeficientes de sensibilidade por seus respectivos parâmetros P, de modo que os

coeficientes de sensibilidade reduzidos tem a mesma unidade das medidas T.

Quando duas ou mais colunas da matriz de sensibilidade são linearmente

dependentes temos um problema inverso mal condicionado, o que significa que a

ocorrência de erros pequenos nos dados de entrada ou nos cálculos subsequentes

acarreta em erros grandes no resultado. Neste caso, o processo de estimativa de

parâmetros é bastante dificultado, sendo necessário realizar-se uma análise da variação

dos coeficientes de sensibilidade antes da solução do problema de estimativa de

parâmetros. Tal análise é realizada no capítulo 4.

35

CAPÍTULO 3 - Desenvolvimento experimental

Com o intuito de se estudar o transporte de contaminantes em solos, foram

realizados ensaios em laboratório visando a caracterização de diferentes tipos de solo

encontrados na região ao redor da mina em Caetité/BA e a simulação do transporte de

contaminantes nesses solos, através de ensaios de coluna de solo, descritos a seguir.

3.1 Coleta das amostras de solo

Para a amostragem de solo foi aberta uma trincheira com profundidade suficiente

para que se pudesse extrair amostras consolidadas de diferentes horizontes de solo,

possibilitando-se o estudo da dispersão de substâncias contaminadoras no solo da

região. Tal solo é de composição argilosa a argilo-arenosa, resultado da alteração de

rochas ou do transporte de materiais. São observados três horizontes, sendo os dois

primeiros de solo com coloração amarelo-avermelhada a vermelho-amarelada e o

terceiro formado por alterações de rochas graníticas e gnáissicas. A figura (1) apresenta

um esquema da estratificação do terreno.

Figura 1: Esquema das camadas de solo.

Solo Vermelho

Transição vermelho-amarelo

Solo Amarelo

Transição Amarelo-rocha

Rocha Alterada

2,0 m

4,0 m

5,0 m

36

Nas análises e experimentos realizados neste trabalho, foram utilizadas as amostras

de solo coletadas no horizonte formado por alterações de rochas (doravante denominado

rocha alterada) e amostras do solo retiradas do módulo de solo estéril da Unidade de

mineração. Para se realizar a coleta de amostras de solo consolidado foram utilizados:

um amostrador de percussão em aço inox com capacidade de 100 mL e diâmetro de 50

mm (figura 3.a) e um cilindro vazado de aço inox com altura de 70 mm e diâmetro de

75 mm (figura 3.b). Na figura (3.a) é possível observar a coleta de solo do tipo rocha

alterada com a utilização do amostrador de percursão, enquanto na figura (3.c) é

apresentado o local da coleta do solo retirado do módulo de solo estéril.

Figura 3.a: Coleta de amostra consolidada de solo do tipo rocha alterada com amostrador de percursão.

37

Figura 3.b: Amostrador cilíndrico vazado

Figura 3.c: Local da coleta de solo no módulo de solo estéril com amostrador cilíndrico vazado.

38

Desta forma, foram obtidas amostras consolidadas de dois tamanhos distintos para

os dois solos considerados. As amostras obtidas com o amostrador de percussão, de

dimensões menores, foram utilizadas nos ensaios padrão de caracterização do solo

enquanto as amostras coletadas com o cilindro vazado, com dimensões maiores, foram

utilizadas nos experimentos de coluna de solo, como será demonstrado a seguir.

Também foram coletadas amostras não consolidadas de solo do tipo rocha alterada e do

módulo de solo estéril para a realização de análises de granulometria.

3.2 Ensaios padrão de caracterização do solo

Ensaios de caracterização de solos foram realizados para as amostras não-

consolidadas coletadas em Caetité, de acordo com as normas 6502/95 e 6502/80 da

ABNT. A granulometria dos solos foi realizada, determinando-se a porcentagem em

massa seca de cada uma das faixas de tamanho de grãos, em relação à massa seca total

da amostra. Estes resultados possibilitam a construção das curvas granulométricas para

classificação dos solos.

Nos ensaios de análise granulométrica, a amostra de solo é inicialmente pesada e

então inserida numa estufa à temperatura de 105º C por 24 horas. Após ser retirada da

estufa, a amostra é novamente pesada, obtendo-se seu teor de umidade natural, θ0, pela

relação:

θ0 = (m0 – ms) /ms (26)

onde ms é a massa da amostra após a secagem e m0 é a massa inicial.

O material seco é então passado por uma peneira de MESH 10 (diâmetro de 2,0

39

mm) e a quantidade retida nessa peneira é definida como pedregulho. O material que

passa pela primeira peneira é dividido em três partes: 60 gramas para a determinação da

massa específica real dos grãos, 50-100 gramas para a sedimentação e 200-600 gramas

para o peneiramento fino. O peneiramento fino se dá pela simples passagem do solo

seco pelas peneiras de tamanho de MESH variando entre 200 a 10, pesando-se a

quantidade de material retido em cada uma delas.

Na análise de sedimentação, o material é colocado em banho com defloculante

(solução de hexametafosfato de sódio) por um período de 6 a 24 horas. A mistura é

agitada com um agitador elétrico por 15 minutos e depositada numa proveta graduada,

completando-se com água destilada até se obter um volume de 1000 mL. São então

realizadas leituras de densímetro nas 25 horas subsequentes. Uma vez que os grãos do

solo decantam com velocidades diferentes, dependendo da forma, peso e diâmetro do

grão e viscosidade da água, as leituras sucessivas do densímetro possibilitam que se

determine a proporção correspondente a cada faixa de tamanho de grão.

A massa específica real dos grãos é determinada segundo a norma NBR 6508/84.

Para a medida dessa variável, deposita-se o solo num recipiente cerâmico, imergindo-o

em água destilada por 12 horas. O solo é cuidadosamente depositado num balão

volumétrico de 500 mL, sem que haja perda de material. Água é adicionada até que o

volume ocupado no balão seja de exatamente 500 mL. O conjunto é então pesado e a

massa específica real dos grãos é obtida pela relação

ρp = ms / Vs (27)

40

onde Vs é o volume ocupado pela parte sólida depositada, obtida pela diferença entre

o volume do balão e o volume total de líquido depositado.

Com este procedimento, conhecendo-se os valores para a massa seca da amostra

(ms), do volume da amostra (V) e a massa específica real dos grãos (ρp), foi possível

calcular também a massa específica aparente, ρb, o índice de vazios, e0 e o grau de

saturação inicial, S0 pelas relações abaixo:

ρb = ms / V (28)

e0 = ρp / ρb (29)

S0 = ρp θ0 / ρágua e0 (30)

A porosidade, que no caso do solo estar saturado pode ser considerada igual ao seu

teor de umidade na base volumétrica, θs, foi obtida a partir do valor calculado em

ensaios geotécnicos para o índice de vazios, e0, através da relação:

θs = e0 / (1+e0) (31)

Também foram realizados ensaios para determinar a permeabilidade em amostras de

solo não deformado coletados em cilindros de aço inoxidável de 4,90 cm de diâmetro e

altura aproximada de 5,30 cm, cravados in situ. As amostras primeiramente

permanecem embebidas em água por um período mínimo de 48 horas para se garantir

total saturação do material. Uma vez saturada, a amostra de solo é percolada pela

aplicação de um gradiente de pressão. É utilizado um cilindro metálico que é colocado

41

sobre uma pedra porosa. Sobre a pedra porosa são depositados areia grossa e um filtro

(metálico ou mesmo de papel), com o mesmo diâmetro do cilindro. A amostra, não

deformada, é colocada sobre o filtro, de modo a ficar concêntrica ao cilindro. O espaço

em volta da amostra é preenchido com argila plástica até que sua altura seja alcançada,

compactando-se o material de maneira adequada para se evitar a ocorrência de

caminhos entre o corpo de prova e a parede do cilindro. Deposita-se novamente areia

grossa sobre a amostra de solo e a argila plástica até se preencher todo o cilindro. Este

conjunto é chamado de permeâmetro.

O permeâmetro é colocado dentro de uma câmara e esta é fechada e vedada.

Procede-se à saturação do corpo de prova no sentido base-topo, para se facilitar a

retirada do ar presente nos vazios do solo, até que a água saia pelo topo do

permeâmetro. Um sistema de pressurização é utlizado para aplicar pressão confinante ao

corpo de prova dentro da câmara, de forma a aumentar a pressão interna, garantindo-se

a efetiva saturação do solo a ser analisado. A pressão aplicada é mantida constante

durante todo o ensaio e pode ser monitorada através de um manômetro afixado na

câmara do permeâmetro.

Para que seja possível a percolação do corpo de prova dentro da câmara

pressurizada, é utilizado um sistema de entrada de água localizado no fundo da câmara.

Este é ligado por meio de uma mangueira rígida a um reservatório de água, que consiste

de uma bureta, dotada de vedação e proteção, e capaz de suportar a pressão aplicada.

Uma linha de saída de água inicia no topo do corpo de prova, saindo da câmara e

desembocando em um segundo reservatório, a pressão atmosférica.

Uma vez montado o experimento, é estabelecido um fluxo, em que a água sai da

bureta, passa pelo corpo-de-prova e chega ao reservatório a pressão atmosférica. São

feitas leituras da carga e de seus tempos correspondentes, bem como anotações da

42

temperatura da água. Com essas medidas calcula-se a condutividade hidráulica do solo a

ser analisado. O ensaio é realizado até que sejam obtidos pelo menos quatro valores

iguais para a condutividade hidráulica, Ks. Os resultados obtido através dos

procedimentos descritos são apresentados na tabela 1.

Tabela 1: Propriedades físicas previamente obtidas nos ensaios de caracterização Parâmetro (± 1,0%) Rocha alterada Módulo de solo estéril

θr 0,046 0,042

θs 0,388 0,408

ρb (g/cm3) 1,700 1,637

Ks (cm/s) 1,800 x 10-3 9,370 x 10-4

α (cm-1) 0,036 0,040

n 3,363 2,632

3.3 Aparato e procedimento experimental para ensaio em meio não saturado

Para a estimativa dos parâmetros dos modelos matemáticos de escoamento e de

transporte de soluto, foram realizados ensaios de escoamento e dispersão de traçador em

colunas de solo.

O aparato experimental utilizado consiste de uma coluna acrílica preenchida com

solo não deformado, acoplada a uma câmara de vácuo. O solo é colocado saturado na

coluna, o que assegura sua homogeneidade. A não saturação é obtida com a aplicação

de vácuo, o que reduz o teor de umidade a um valor inferior ao seu valor de saturação.

Um determinado fluxo é aplicado na entrada da coluna por meio de uma bomba de

seringa, que pode ser ajustada de modo a fornecer a vazão desejada, enquanto na saída

da coluna aplica-se vácuo. As condições hidráulicas do solo são monitoradas pelo uso

43

de um tensiômetro, fixado na metade da coluna. A injeção de soluto, que neste trabalho

foi o Brometo de Potássio, é iniciada quando se atinge o valor desejado do vácuo na

saída da coluna. Para a aplicação do vácuo na saída da coluna foi utilizada uma câmara

de vácuo metálica com tampa em acrílico, conectada a uma bomba de vácuo através de

tubulação apropriada. A leitura da pressão no interior da câmara de vácuo foi realizada

por um manômetro em “u” acoplado à tampa acrílica e seu valor pode ser regulado por

meio de uma válvula acoplada à linha de vácuo.

Uma coluna acrílica de diâmetro interno igual a 5,1 cm é utilizada. A coluna é

submetida a um fluxo de líquido que é bombeado a vazão constante por uma bomba de

infusão de seringa, desde um reservatório, através de uma mangueira de silicone. O

acoplamento à câmara se dá pelo ajuste entre a borracha cônica que envolve seu tubo de

saída e o orifício existente na tampa da câmara. Para garantir a vedação, a superfície da

borracha é recoberta com silicone líquido.

A tampa acrílica é fixada à câmara por parafusos e o contato é feito por um anel de

borracha fixo à câmara. Novamente, utiliza-se silicone líquido para garantir a vedação.

O líquido que sai da coluna é armazenado em pequenos tubos de coleta. Esses tubos

são fixados num coletor de fração, que por sua vez é posicionado dentro da câmara de

vácuo, de modo que o tubo de coleta fique exatamente abaixo da saída de líquido da

coluna. Cada tubo fica na posição de coleta durante um tempo previamente

determinado, sendo um após o outro preenchido. Obtém-se assim uma coleção de

amostras de líquido efluente, a cada uma das quais corresponde um instante de medição.

A concentração de traçador é então medida de maneira indireta, através da leitura da

condutividade elétrica em cada amostra por meio de um condutivímetro, obtendo-se

assim os dados da curva “breakthrough”. Isto é possível uma vez que a concentração do

Brometo de Potássio na solução aquosa é diretamente proporcional à condutividade

44

elétrica observada, dentro da faixa de concentração considerada, como está demonstrado

adiante. Simultaneamente, a variação da carga no solo contido no interior da coluna

acrílica é captada por um transdutor de pressão conectado ao tensiômetro afixado na

parede da coluna. O transdutor é alimentado eletricamente por uma fonte externa, da

qual recebe uma tensão constante igual a 9,0 V, e emite um sinal elétrico cuja

intensidade é proporcional ao valor da pressão captada pelo tensiômetro. Um sistema de

aquisição de dados (Agilent no. 34970A) permite a transmissão desse sinal elétrico para

um computador, e seu armazenamento. Uma representação esquemática do experimento

é mostrada na figura 4. Nas figuras 5.a-c pode-se ver a montagem deste experimento.

Figura 4: Esquema do experimento para escoamento e transporte de soluto em meio poroso não saturado

Bomba de vácuo

Coletor de amostras

Bomba de seringa

Datalogger

computador

Reservatório

Coluna de solo

Tubo

Regulador de vácuo

Câmara de vácuo Linha de vácuo

Tensiômetro

Leitura de pressão na câmara de vácuo

45

Figura 5.a. Montagem do experimento de dispersão em solo não saturado

Figura 5.b. Posicionamento da coluna de solo e coletor de amostras na câmara de vácuo.

46

Figura 5.c: Bomba de seringa e reservatório de solução de traçador

O tensiômetro utilizado para a medição da pressão no interior da coluna de solo

consiste num tubo acrílico com diâmetro de 1,0 cm e extensão de 6,1 cm. A uma de

suas extremidades é fixada uma barra cerâmica de 0,6 cm de diâmetro que fica em

contato com o solo, enquanto na outra extremidade é acoplado um transdutor de

pressão, que registra a variação da pressão negativa do solo e a transmite para o sistema

de aquisição de dados por meio de um sinal elétrico. O tensiômetro foi previamente

calibrado a partir da utilização de um manômetro de mercúrio, que consiste em um tubo

em “u” parcialmente preenchido com mercúrio, mantido na posição vertical por uma

estrutura metálica e preso a uma placa de compensado coberta com papel milimetrado.

Quando o valor da pressão é igual nas duas extremidades do tubo, o fuido contido nos

dois lados do tubo permanece nivelado. A uma das extremidades conectou-se uma

tubulação, ligada a uma bomba de vácuo. A outra extremidade do tubo em “u”

47

permaneceu em contato com a atmosfera. O acionamento da bomba de vácuo provocou

uma diferença de pressão entre as duas extremidades do tubo, levando a um

deslocamento dos níveis de mercúrio em cada lado. Esse desnível equivale a uma cota

que pode ser lida com o auxílio do papel milimetrado, obtendo-se valores de pressão em

milímetros de mercúrio. O transdutor de pressão foi conectado à linha de vácuo ligada a

uma das extremidades do tubo. Ao mesmo tempo que as colunas de mercúrio se

desnivelavam, o transdutor de pressão emitiu um sinal elétrico na escala de milivolt, que

variou linearmente com o aumento da diferença de pressão no tubo. Desta forma foi

possível obter a curva de calibração do tensiômetro utilizado para a medição da pressão

no interior da coluna de solo, apresentada na figura (6.a), que mostra uma variação

linear do sinal elétrico com o valor de carga correspondente. As incertezas de medição

observadas foram de 2,0 mmHg para o manômetro e 0,05 mV para o tensiômetro.

A calibração das medidas de concentração através da condutividade elétrica

também foi realizada, diluindo-se Brometo de Potássio em 1 litro de água, a

concentrações que variaram de 5,0 x 10-4 % (v/v) a 2,0 %(v/v) e medindo-se o valor da

condutividade elétrica correspondente a cada concentração. Na figura (6.b) observa-se

que os valores das duas grandezas são diretamente proporcionais e variam de maneira

linear. As incertezas de medição na calibração das medidas de condutividade foram

estimadas em 2% da maior variação.

48

Figura 6a: Curva de calibração do transdutor de pressão conectado ao tensiômetro.

Figura 6.b: Curva de calibração das medidas de condutividade elétrica

49

A amostra consolidada a ser utilizada no experimento de coluna de solo foi

primeiramente embebida em água deionizada por 24 horas e depois cuidadosamente

transferida para a coluna cilíndrica, obtendo-se uma coluna de solo com extensão de

aproximadamente 7,0 cm. Note-se que após a colocação na coluna, o solo está

totalmente saturado. Esse procedimento foi realizado para se garantir a homogeneidade

do meio poroso no experimento.

Nos experimentos realizados, utilizaram-se amostras de solos do tipo rocha alterada

e do módulo de solo estéril, ambas coletadas na área da unidade de mineração de Urânio

das Industrias Nucleares do Brasil (INB). Ensaios padrão de caracterização realizados

no laboratório de Geotecnia do PEC/COPPE/UFRJ, forneceram os valores utilizados

para o teor de umidade do solo saturado, θs, a massa específica do solo na base seca, ρb,

e a condutividade hidráulica, Ks. Os valores do teor de umidade residual, θr, do inverso

da entrada de ar, α, e do índice de distribuição do tamanho de poros, n, foram obtidos

para os dois tipos de solo através da utilização do código Rosetta (SCHAAP et al.,

2001), que calcula os parâmetros hidráulicos a partir de funções de pedotransferência

em função da granulometria e da massa específica na base seca do solo e está presente

no pacote de códigos computacionais HYDRUS 1-D. Foi admitido um erro de 1,0% na

leitura dos resultados experimentais dos ensaios padrão de caracterização e nos

resultados obtidos pelo Rosetta a partir de da massa específica do solo. Os valores dos

parâmetros obtidos de maneira direta e calculados pelo Rosetta são apresentados na

seção 4.2.

A tampa superior da coluna foi fixada, garantindo uma vedação perfeita. Um

tensiômetro foi fixado na metade da coluna (3,5 cm acima de sua base). Antes de se

realizar o experimento, aplicou-se vácuo com valor de 55 mmHg na descarga da coluna

durante 5 horas, a fim de se retirar uma quantidade considerável de água, uma vez que

50

se desejava realizar um experimento em que o solo inicialmente não estivesse

completamente saturado. Ao final desse processo, foram retirados 10 mL de água do

solo contido na coluna.

A solução de traçador Brometo de Potássio (KBr) utilizada no experimento foi

preparada adicionando-se 1,25 g do sal em 500 mL de água deionizada, obtendo-se uma

solução com concentração de 2,5 g/L. O líquido foi então colocado no reservatório e

este conectado a bomba de seringa. A bomba por sua vez foi ajustada para injetar 0,4

mL da solução de traçador em intervalos determinados de acordo com a permeabilidade

do solo a ser utilizado, cujo valor pode ser obtido a partir dos ensaios de permeabilidade

descritos na seção anterior. Tubos de coleta foram fixados no coletor de fração, já

devidamente posicionado no interior da câmara de vácuo. O coletor foi então ajustado

para realizar a troca dos tubos a cada 18 minutos. Desta forma, estabeleceu-se o

intervalo de tempo entre cada medida de concentração de traçador no líquido que sai da

coluna.

A câmara foi fechada e a coluna de solo posicionada no orifício cônico da tampa, já

com o tubo de entrada de líquido conectado na tampa superior. A bomba de vácuo foi

então ligada e a variação da pressão interna da câmara de vácuo foi observada pela

leitura de um manômetro de mercúrio, conectado por um tubo à câmara. Quando o valor

para a pressão negativa dentro da câmara lido pelo manômetro de mercúrio alcançou os

51,5 mmHg (ou 70,0 cmH20) o regulador de vácuo foi ajustado para que se mantivesse

esse valor constante. Admitindo-se que a carga negativa no interior da coluna de solo

varia linearmente com a altura em relação a sua base, esperou-se tempo suficiente para

que a leitura do tensiômetro indicasse o valor de 66 cmH20. Nesse momento, a bomba

de seringa foi ligada, dando-se início ao experimento. Pulsos de 4 mL de solução de

traçador foram injetados com intervalos constantes de 60 segundos, resultando num

51

fluxo de líquido q igual a 3,25 x 10-4 cm/s. Após algum tempo, esse líquido começou a

fluir pela saída da coluna, sendo armazenado nos tubos de coleta posicionados no

coletor de fração no interior da câmara. Durante todo o experimento, a pressão negativa

no interior da coluna foi medida pelo transdutor conectado ao tensiômetro e enviada

para um computador por meio de um sistema de aquisição de dados. Desta maneira,

pode-se registrar a variação da pressão ao longo do tempo em virtude do aumento do

teor de umidade após o início da injeção de solução.

O experimento foi realizado seguindo-se as etapas descritas acima. Ao fim do

experimento a câmara foi despressurizada e aberta. Retirou-se cada um dos tubos de

coleta e a leitura da condutividade elétrica do líquido contido foi feita, utilizando-se um

condutivímetro (DIGIMED). A incerteza observada nas leituras do condutivímetro foi

de 1%. Os valores foram anotados sucessivamente e divididos pelo valor da

condutividade elétrica da solução de traçador. Como cada tubo corresponde a um

intervalo de tempo, conforme já descrito, obteve-se uma tabela da condutividade na

saída da coluna em função do tempo. Como a concentração de soluto é linearmente

proporcional ao valor da condutividade, conforme visto na figura (6.b), foi possível

obter a curva da variação da concentração de KBr ao longo do tempo na saída da coluna

de solo em valores adimensionais, dividindo-se o valor da condutividade lido em cada

amostra de líquido pelo valor verificado no reservatório da solução.

Observou-se que a variação da pressão negativa medida pelo tensiômetro afixado

no meio da coluna de solo atingiu o regime num intervalo de tempo bastante menor que

a variação da concentração de soluto. A pressão negativa na saída da coluna e o fluxo de

líquido injetado em sua entrada permaneceram constantes durante todo o experimento,

de maneira que se verificaram as condições de contorno descritas nas equações (2.b-c).

52

O experimento, portanto, forneceu como dados experimentais a variação da

concentração de soluto na descarga da coluna de solo e a variação da pressão negativa

no interior da amostra de solo ao longo do tempo. Estes dados serão aqueles utilizados

na estimativa dos parâmetros hidráulicos e de transporte.

53

CAPÍTULO 4 - Resultados e discussões

Os resultados obtidos para as estimativas de parâmetros realizadas neste trabalho a

partir dos modelos e métodos matemáticos e procedimentos experimentais descritos

anteriormente, bem como a verificação e verificação dos métodos utilizados são

apresentados nas seções deste capítulo.

4.1 Verificação dos modelos e métodos matemáticos utilizados

Para se assegurar a acurácia e confiabilidade dos resultados obtidos, foi realizada a

verificação dos modelos de escoamento e transporte de soluto pelo método de volumes

finitos adotados neste trabalho a partir da elaboração de casos testes, como também a

verificação do método de estimativa Bayesiana, através da reprodução de resultados

disponíveis na literatura, como se pode ver a seguir.

4.1.1 Verificação do modelo de solução do problema direto por

volumes finitos

Para se verificar a adequação da solução matemática por volumes finitos

desenvolvida neste trabalho ao problema unidimensional de escoamento e transporte de

soluto, realizaram-se simulações matemáticas a partir de casos testes, que se encontram

descritas a seguir.

Foi realizada a simulação do transporte de soluto em uma coluna de solo com

características semelhantes às dos experimentos de coluna de solo realizados. Neste

caso teste, foi considerada uma coluna de solo com extensão de 7,3 cm, com um fluxo

54

de infiltração em seu topo igual a 3,05 x 10-4 cm/s. Admitiu-se uma distribuição inicial

uniforme da carga ao longo da coluna, com valor igual a –60 cm. Os valores dos

parâmetros físicos considerados foram definidos a partir de resultados obtidos de análise

para uma das amostras de solo coletados na região da cava da mina de Caetité/BA,

sendo portanto a teor de umidade residual θr = 0,046, o teor de umidade na saturação, θs

, igual a 0,388 e a condutividade hidráulica na saturação, Ks , igual a 1,80 x 10-3 cm/s.

O parâmetro α, definido como o inverso do coeficiente de entrada de ar, foi tomado

igual a 0,036 cm-1, e o índice de distribuição do tamanho de poros, n, foi tomado igual a

3,363. À fração de sítios em contato com água móvel, f, foi atribuído o valor de 0,5. A

massa específica do solo na base seca, ρb, foi igual a 1,661 g/cm3, o coeficiente de

distribuição, kd foi igual a 1,0 cm3/g, a dispersividade λ, foi igual a 1,0 cm e o

coeficiente de difusão molecular, Dd, igual a 1,0 x10-5 cm2/s. O coeficiente de

transferência de massa, αm, recebeu valores de 1,0 x 10-5 s-1 e 1,0 x 10-6 s-1. A

concentração inicial de soluto no meio poroso foi considerada igual a zero e a

concentração da solução injetada no topo da coluna teve valor normalizado igual a 1,0.

O problema de escoamento e transporte de soluto em coluna de solo foi então

simulado numericamente pelo código de solução por volumes finitos, comparando-se os

resultados obtidos com a utilização de malhas de 50 e 100 pontos. Tais resultados

também foram comparados aos resultados obtidos com o programa HYDRUS 1-D.

Nas figuras (7.a,b) as variações do fluxo de descarga e da carga utilizando-se o

código de solução por volumes finitos, com malhas de 50 e 100 pontos, são

apresentadas. A figura (7.a) traz a variação do fluxo de descarga na saída da coluna ao

longo do tempo para as duas malhas utilizadas e é possível verificar uma concordância

satisfatória entre os resultados. A figura (7.b) apresenta a variação da carga ao longo do

tempo em duas posições de medição, notadamente na metade e no topo de uma coluna

55

de solo simulada no caso teste. Novamente utilizaram-se malhas de 50 e de 100 pontos

e nos dois casos houve concordância entre os resultados obtidos, indicando

convergência numérica da solução em termos das malhas analisadas.

Figura 7.a: Variação do fluxo de descarga com o tempo – Volumes-finitos

Figura 7.b: Variação da carga com o tempo – Volumes-finitos

56

O fluxo de descarga e a variação da carga foram novamente simulados, desta vez

utilizando-se o código computacional comercial HYDRUS 1-D. Ao se sobrepor os

gráficos destes resultados e aqueles obtidos através do modelo de volumes finitos nota-

se que os resultados obtidos através os dois métodos utilizados são concordantes para o

fluxo de descarga e apresentam uma pequena discrepância, da ordem de 2%, para a

carga de pressão, como se pode observar nas figuras 8(a-b).

Figura 8.a: Variação do fluxo de descarga com o tempo – Volumes finitos e HYDRUS 1-D

57

Figura 8.b: Variação da carga no topo da coluna com o tempo – Volumes finitos e HYDRUS 1-D

Os perfis de carga, teor de umidade, condutividade hidráulica e capacidade

hidráulica no regime permanente também foram obtidos utilizando-se o código em

volumes finitos e o programa HYDRUS 1-D, como se pode observar nas figuras (9-12).

Nota-se que o número de volumes da malha espacial do código em volumes finitos não

proporcionou mudanças significativas nas curvas características, uma vez que as curvas

obtidas com 100 e 1000 volumes são praticamente coincidentes. Nota-se ainda pelos

gráficos das figuras (9-12) que os perfis da variação dos parâmetros físicos desde a base

da coluna (z = 0 cm) até o topo (z = 7,3 cm) calculados por volumes finitos e pelo

HYDRUS 1-D apresentam excelente concordância.

58

Figura 9: Perfil de carga no regime permanente – Volumes-finitos e HYDRUS 1-D

Figura 10: Perfil do teor de umidade no regime permanente – Volumes-finitos e HYDRUS 1-D

59

Figura 11: Perfil de condutividade hidráulica no regime permanente – Volumes-finitos e HYDRUS 1-D

Figura 12: Perfil de capacidade hidráulica no regime permanente – Volumes-finitos e HYDRUS 1-D

60

Simulações também foram realizadas para o problema de transporte de soluto em

coluna de meio poroso, em que uma solução de soluto com concentração normalizada

Cinj = 1 é injetada no topo da coluna a uma taxa constante. A figura 13 apresenta a

variação da concentração de soluto no líquido efluente da coluna, obtida tanto pelo

programa em volumes finitos quanto pelo pacote de programas HYDRUS, para o valor

de f igual a 1,0 (equilíbrio físico) e para f igual a 0,5, com valores de αm iguais a 1,0 x

10-5 e 1,0 x 10-6 s-1. Observa-se que as curvas obtidas com os dois programas foram

concordantes para o caso de equilíbrio físico e apresentaram discordâncias de até 5% no

regime transiente para o caso em que f = 0,5. Nas simulações realizadas com o

HYDRUS, para cada valor de f utilizou-se valores de θim iguais a 0,02 e 0,04, sem que

se notassem diferenças significativas.

Pode-se observar pela análise das figuras 8 e 13 que o problema de transporte

demora mais tempo a atingir o regime permanente que o problema hidráulico. Nas

figuras também se encontram demonstrados os efeitos do não-equilíbrio físico, que

antecipa a chegada da pluma de traçador na descarga da coluna, mas também causa

efeito assintótico na variação da concentração de soluto ao se aproximar do regime

permanente. Esse efeito é atribuído a transferência de massa para regiões estagnantes do

solo, e é mais acentuado para valores mais elevados do coeficiente de transferência de

massa αm.

61

Figura 13: Efeito da variação de f e αm na concentração na descarga da coluna, analisado pelo modelo de volumes finitos e pelo HYDRUS 1-D

Os resultados apresentados nas figuras (7-13) indicam que a formulação em

volumes finitos adotada neste trabalho para solucionar os problemas de escoamento e

transporte de soluto em coluna de solo descreve de maneira satisfatória a variação de

concentração de soluto na descarga da coluna, a variação do fluxo de descarga e que a

variação da pressão no interior da coluna. Observaram-se discrepâncias não superiores a

5% para estas grandezas ao comparar estes resultados com aqueles obtidos com o

programa HYDRUS 1-D. A comparação dos resultados obtidos com os dois programas

para os perfis de variação da carga de pressão e de seus parâmetros dependentes ao

longo da extensão da coluna apresentam discrepâncias maiores, de até

aproximadamente 15%, o que indica uma propagação do erro observado para a carga de

pressão no cálculo dos demais parâmetros.

62

O segundo caso teste considerado na verificação da formulação do modelo

matemático do problema direto foi a simulação do experimento de escoamento

unidimensional transiente em coluna de solo inicialmente saturado realizado por Parker

et al. (1985) e na reprodução da estimativa de parâmetros hidráulicos realizada nesse

trabalho. Neste caso, mede-se a variação no tempo do fluxo acumulado de efluente de

uma coluna, que consiste numa amostra de solo saturado depositada sobre uma placa

cerâmica com propriedades hidráulicas distintas. É aplicada uma pressão no topo da

coluna que faz com que a água retida nos poros da amostra de solo escoe para fora da

coluna. Considera-se nesta simulação uma amostra de solo com diâmetro igual a 5,40

cm e extensão de 3,95 cm. A amostra é colocada sobre uma placa cerâmica com 0,55

cm de espessura e diâmetro com o mesmo valor da amostra de solo. Obtém-se desta

forma uma coluna de 4,50 cm de extensão e 5,40 cm de diâmetro, composta por duas

camadas correspondentes a dois materiais com características hidráulicas distintas. Na

análise do escoamento através da coluna de solo descrita para este caso teste, utiliza-se a

formulação do problema de escoamento apresentada no capítulo 4. Os parâmetros

hidráulicos relativos à amostra de solo são definidos de tal forma que o valor do teor de

umidade residual, θr, é igual a 0,117, o teor de umidade na saturação, θs, igual a 0,388, a

condutividade hidráulica na saturação, ks, igual a 1,3 x 10-3 cm/s, o inverso do

coeficiente de entrada de ar, α, igual a 0,031 cm-1 e índice de distribuição do tamanho

dos poros, n, igual a 1,290 (PARKER et al, 1985). Para a placa cerâmica, admitiram-se

valores de parâmetros tais que o efeito de sua presença no escoamento fossem

desprezíveis se comparado à amostra de solo, de modo que θr foi definido como igual a

zero, θs igual a 1,0, ks igual a 8,7 x 10-7 cm/s, α igual a 1,0 x 10-20 cm-1 e n igual a 1.

Foi considerado o escoamento unidimensional na direção axial da coluna, durante

um período de aproximadamente 2,7 horas. As condições de contorno nas superfícies de

63

fronteira ortogonais à direção do escoamento são definidas por uma pressão constante

igual a -1000 m na base da coluna e de fluxo constante e igual a zero no topo da coluna.

O fluxo transiente acumulado de líquido efluente da coluna de solo é simulado

computacionalmente através da utilização da formulação matemática do problema

direto de escoamento por volumes finitos. A fim de se avaliar se os resultados obtidos

por este método correspondem àqueles esperados, o experimento de escoamento

unidimensional transiente é também simulado utilizando-se o programa HYDRUS 1-D,

admitindo-se em ambas as simulações os mesmos valores de parâmetros e a mesma

geometria e condições de contorno do problema, considerados nesta simulação.

A simulação foi inicialmente realizada admitindo-se a coluna como sendo composta

apenas pela camada correspondente à amostra de solo, tendo-se desta maneira uma

coluna com propriedades hidráulicas uniformes ao longo de uma extensão de 3,95 cm.

Admitiu-se que, no início da simulação, a carga hidráulica ao longo da coluna

apresentava uma variação linear, sendo os valores no topo e na base da coluna iguais a

-3,95 cm e zero, respectivamente. Considerou-se que a coluna estava submetida a uma

pressão negativa igual a -1000 cm na superfície imediatamente abaixo de sua base e a

um fluxo constante de líquido igual a zero em sua superfície imediatamente acima do

seu topo. Foram consideradas malhas de 50, 100 e 200 volumes e, para cada um desses

casos, a curva da variação do fluxo de efluente acumulado obtida através da formulação

do problema de escoamento por volumes finitos apresentou excelente concordância com

aquela obtida através do HYDRUS 1-D, como se pode observar na figura 14. Esta

figura mostra uma excelente concordância entre os resultados obtidos com o programa

desenvolvido neste estudo e aqueles obtidos com o HYDRUS 1-D.

64

Figura 14: comparação dos fluxos acumulados calculados pelo método de volumes finitos e pelo HYDRUS 1-D, para diferentes refinamentos da malha em coluna com

uma camada de solo.

O passo seguinte foi realizar a comparação dos resultados obtidos ao se simular o

escoamento através da coluna de 4,50 cm de extensão, constituída pela camada de solo e

pela placa cerâmica. Considera-se, portanto, uma coluna de solo em que os parâmetros

hidráulicos apresentam valores distintos ao longo do domínio dimensional, sendo a

malha dividida em duas regiões, uma para cada material. O número de volumes

admitido em cada região é definido em função do número total de volumes da malha, de

maneira que se mantenha a mesma razão observada entre a extensão da coluna

preenchida pelo material correspondente e a extensão total da coluna. O código

computacional desenvolvido neste trabalho, que inicialmente admitia valores de

parâmetros constantes ao longo de toda a malha, foi então modificado para que este

caso teste pudesse ser corretamente modelado.

As condições de contorno foram definidas por uma pressão de -1000 cm na base da

coluna (abaixo da placa cerâmica) e fluxo constante e igual a zero no topo da coluna.

Admitiu-se como condição inicial uma distribuição linear da pressão ao longo da

65

extensão da coluna, com os valores variando entre -2,0 cm no topo da coluna e 2,5 cm

em sua base, obtendo-se um gradiente de pressão igual a -4,5 cm ao longo da coluna. O

fluxo transiente acumulado foi simulado utilizando-se malhas de 50, 100 e 200 volumes

no domínio espacial e estes resultados foram comparados com aqueles obtidos através

do HYDRUS. Em todas estas simulações foram utilizados os valores dos parâmetros

hidráulicos apresentados nesta seção para a camada de solo e a placa cerâmica. A figura

15 apresenta as curvas de variação do fluxo transiente acumulado para cada uma das

simulações realizadas.

Figura 15: Comparação dos fluxos acumulados calculados pelo método de volumes finitos e pelo HYDRUS 1-D, para diferentes refinamentos da malha em coluna com

duas camadas de solo.

Desta vez verificou-se uma discrepância entre os resultados obtidos com diferentes

refinamentos de malha. O resultado obtido com uma malha de 200 volumes foi o que

mais se aproximou da curva de valores calculados pelo HYDRUS, apresentando uma

diferença de aproximadamente 2% em relação à curva obtida pelo HYDRUS. O

resultado que apresentou o maior erro em relação aos resultados do HYDRUS foi o

66

obtido com a malha de 50 volumes, com uma diferença de aproximadamente 5% em

relação à referência.

Observa-se que o número de volumes utilizados na malha espacial ainda não foi

suficiente para haver convergência, sendo necessário melhorar o refinamento da malha

para se obter a concordância entre as curvas calculadas pelos dois programas.

Entretanto, como esta solução seria ainda utilizada para modelar o problema direto da

estimativa Bayesiana de parâmetros, um maior refinamento da malha acarretaria um

acréscimo significativo do custo computacional da estimativa. Por este motivo, optou-se

por se utilizar o a malha de 200 volumes para a verificação do método MCMC, como

está descrito a seguir.

67

4.1.2 Verificação do método MCMC de solução do problema

inverso

Para se verificar o método de Monte Carlo com obtenção das cadeias de Markov

(MCMC), implementado através do algoritmo de Metropolis-Hastings, procedeu-se à

reprodução da estimativa de parâmetros realizada por Parker et al., (1985), referente ao

experimento de escoamento unidimensional transiente em coluna de solo inicialmente

saturado, composta por uma camada de solo e uma placa cerâmica. Tal modelo físico é

o mesmo considerado na seção 4.1.1, e sujeito às mesmas condições de contorno. Os

parâmetros hidráulicos relacionados ao problema foram estimados a partir de medidas

experimentais relativas ao fluxo acumulado de líquido efluente da coluna e os resultados

foram comparados com aqueles obtidos por Parker et al. (1985). O problema inverso ao

se estimar o vetor de parâmetros desconhecidos a partir da minimização da função

objetivo baseada no método da máxima vizinhança de Marquardt (MARQUARDT,

1963). O vetor de parâmetros estimados nesse trabalho consistiu nos valores do teor de

umidade residual, θr, igual a 0,161, o inverso do coeficiente de entrada de ar, α, igual a

0,033 cm-1 e a distribuição do tamanho de poros, n, igual a 1,387. Ensaios geotécnicos

foram realizados para se obter de maneira direta os valores do teor de umidade saturado,

θs =0,388 e da condutividade hidráulica saturada, ks =1,5 x 10-3 cm/s. Para verificar o

método MCMC utilizado neste trabalho, realizou-se a estimativa destes cinco

parâmetros relacionados ao escoamento, admitindo-se para o problema direto a

formulação do problema de escoamento apresentada no capítulo 4.

Antes da estimativa de parâmetros, realizou-se a análise dos coeficientes de

sensibilidade do fluxo acumulado em relação aos parâmetros hidráulicos da coluna

considerada (BECK e ARNOLD, 1977). Os valores de parâmetros admitidos no cálculo

dos coeficientes de sensibilidade foram os mesmos obtidos por Parker et al. (1985). Para

68

a placa cerâmica, admitiram-se valores de parâmetros tais que o efeito de sua presença

no escoamento fossem desprezíveis se comparado à amostra de solo, de modo que θr foi

definido como igual a zero, θs igual a 1, Ks igual a 8,7 x 10-7 cm/s, α igual a 1 x 10-20

cm-1 e n igual a 1.

A figura (16.a) mostra a variação do fluxo acumulado na saída da coluna de solo,

juntamente com os coeficientes de sensibilidade reduzidos do fluxo acumulado em

relação aos parâmetros referentes à formulação matemática que modela o escoamento

na coluna composta por duas camadas de material inicialmente saturada. Estes

coeficientes são obtidos pela multiplicação dos coeficientes de sensibilidade por seus

respectivos parâmetros, de modo que os coeficientes de sensibilidade reduzidos tem a

mesma unidade da variável medida, possibilitando que se identifique de maneira

adequada eventuais dependências lineares e pequenas magnitudes dos coeficientes em

relação à variável. Observando a figura (16.a), nota-se que os coeficientes de

sensibilidade são muito pequenos se comparados à variação do fluxo acumulado. A

figura (16.b) mostra uma ampliação dos valores dos coeficientes de sensibilidade

reduzidos no tempo, onde se pode ver que a magnitude dos coeficientes é

aproximadamente três vezes menor que a do fluxo acumulado, significando que a

influencia da variação dos parâmetros hidráulicos na variação do fluxo acumulado é

pequena. Analisando-se a figura (16.b), observa-se que existe dependência linear entre

os parâmetros θr e θs e entre os parâmetros ks, α e n. Assim, as estimativas simultâneas

de θr e θs, assim como de Ks, α e n, não são possíveis.

O uso de técnicas de estimativas, dentro de uma abordagem Bayesiana, permite que

informações sobre parâmetros, obtidas em outros experimentos, sejam codificadas em

termos de distribuições estatísticas. Assim, dentro de cada um destes dois grupos de

parâmetros linearmente dependentes, apenas um parâmetro será considerado com uma

69

distribuição a priori não informativa, enquanto os outros serão considerados como

distribuições informativas, conforme descrito a seguir.

Figura 16.a: Variação do fluxo acumulado de efluente e dos coeficientes de sensibilidade na verificação do método MCMC

.

Figura 16.b: Coeficientes de sensibilidade dos parâmetros hidráulicos em relação ao fluxo acumulado de efluente para coluna composta de duas camadas de material

inicialmente saturados na verificação do método MCMC

70

. No estudo realizado por Parker et al. (1985), os valores do teor de umidade na

saturação, θs, e da condutividade hidráulica na saturação, ks, foram obtidos diretamente,

através de ensaios geotécnicos. Desta forma, suas condições a priori podem ser

definidas por distribuições Gaussianas centradas nos valores obtidos para cada um dos

parâmetros. Ainda assim, os parâmetros α e n permanecem com uma forte dependência

linear, já que as curvas de seus coeficientes de sensibilidade coincidem. Fez-se

necessário encontrar uma forma de se fixar uma distribuição a priori Gaussiana para um

destes dois parâmetros, de modo a se possibilitar a estimativa. Em Van Genuchten

(1978) é apresentado um procedimento onde é possível calcular graficamente a

distribuição do tamanho dos poros, n, a partir de valores de teor de umidade e de

maneira independente de α, sendo este parâmetro posteriormente determinado a partir

do valor obtido para n. Baseando-se nesse procedimento, optou-se por adotar uma

distribuição a priori Gaussiana para n, centrada no valor estimado por Parker et al.

(1985).

Desta forma, apesar da pequena magnitude dos coeficientes de sensibilidade

reduzidos e da dependência linear observada, foi possível reproduzir a estimativa dos

parâmetros pelo método MCMC, admitindo-se distribuições a priori Gaussianas para θs,

ks e n, centradas nos valores apresentados em Parker et al. (1985) e distribuições a

priori uniformes para θr e α, centradas nos valores iniciais adotados por Parker et al.

(1985), como se pode observar na tabela (2). Na tabela (3), os valores estimados para os

parâmetros através da utilização do método MCMC são apresentados, com os seus

respectivos intervalos de confiança e comparados com os valores previamente obtidos

por Parker et al. (1985). Na estimativa pelo método MCMC foram utilizadas medidas

de fluxo acumulado de descarga simuladas no programa HYDRUS 1-D e admitidas

como condições de contorno do problema direto condições de fluxo nulo no topo de

71

coluna e pressão constante em sua base, com uma distribuição inicial linear ao longo do

domínio espacial formado pela coluna de solo e a placa cerâmica, conforme descrito na

verificação do problema de fluxo transiente da seção 4.1.1. Pode-se observar que os

valores estimados por Parker et al. (1985) encontram-se dentro dos intervalos de

confiança obtidos pelo método MCMC, a exceção do parâmetro α, que se encontra

próximo ao limite superior do intervalo.

Tabela 2: Valores iniciais de parâmetros e distribuições a priori na verificação do método MCMC

Parâmetro Valor Inicial (Parker et al.)

Distribuição (MCMC)

Dados da Distribuição

rθ 0,200 Uniforme Intervalo: (0,6r ; 1 r)

r = 0,200

sθ 0,388 Normal Média: sθ = 0,408

Desvio-Padrão: 0,01 sθ

sK 1,50 x 10-3 cm/s Normal Média: sK = 4,2 x 10-4

cm/s

Desvio-Padrão: 0,01 sK

α 2,50 X 10-2 cm-1 Uniforme Intervalo: (�: ; 1,2 �:) cm-1

α = 2,5 x 10-2 cm-1

n 1,387 Normal Intervalo: ( 0,8n ; 1,2n )

Desvio-Padrão: 0,01 n

72

Tabela 3: Estimativa de parâmetros para verificação do método MCMC Parâme

tro

Valor estimado (Parker et al.)

Valor estimado (MCMC)

Intervalo de 99% de Confiança (MCMC)

θr 0,161 0,164 (0,107 ; 0,220)

θs 0,388 0,385 (0,381 ; 0,388)

ks (cm/s) 1,500 x 10-3 1,498 x 10-3 (1,491 x 10-3; 1,504 x 10-3)

α (cm-1) 3,350 x 10-2 2,745 x 10-2 (2,371 x 10-2; 3,120 x 10-2)

n 1,387 1,388 (1,386 ; 1,390)

A figura (16) apresenta o ajuste entre a curva das medidas experimentais da variação

do fluxo acumulado e a curva do fluxo acumulado simulado a partir dos valores de

parâmetros hidráulicos estimados pelo método MCMC. Na mesma figura também se

observa a variação dos resíduos, isto é, da diferença entre os valores medidos e

estimados para o fluxo. Uma análise da figura (17) mostra que as curvas medida e

estimada apresentaram excelente concordância, embora os valores dos resíduos

apresentem pequena correlação.

Figura 17: Ajuste das curvas experimental e estimada do fluxo acumulado de efluente da coluna composta por duas camadas de solo na verificação do método MCMC

73

As figuras (18.a-e) apresentam os histogramas das distribuições a posteriori dos

valores estimados para cada parâmetro hidráulico. Nota-se que os parâmetros θs e ksat

apresentaram distribuições a posteriori Gaussianas. Nota-se também que para os

parâmetros θr, α e n, as distribuições a posteriori permaneceram uniformes,

diferentemente do que era esperado. Este resultado indica que a função de

verossimilhança teve pouca contribuição na estimativa dos valores de θr, α e n, o que

pode ser explicado pela dependência linear e pequena magnitude dos coeficientes de

sensibilidade destes parâmetros, observada na figura (16.b).

Figura 18.a: Distribuição a posteriori para θr da coluna de solo na verificação do método MCMC

74

Figura 18.b: Distribuição a posteriori para θs da coluna de solo na verificação do método MCMC

Figura 18.c: Distribuição a posteriori para Ks da coluna de solo na verificação do método MCMC

75

Figura 18.d: Distribuição a posteriori para α da coluna de solo na verificação do método MCMC

Figura 18.e: Distribuição a posteriori para n da coluna de solo na verificação do método MCMC

76

As figuras (19.a-f) apresentam a variação dos estados aceitos nas cadeias de

Markov para cada um dos parâmetros de transporte estimados. Foram considerados

10000 estados candidatos, com uma aceitação de aproximadamente 70%. Foi observada

uma boa convergência para os parâmetros cuja distribuição a priori foi definida como

uniforme. A convergência não foi tão boa para os parâmetros com distribuição a priori

Gaussiana, porém estes permaneceram confinados dentro de uma pequena faixa de

variação, devido ao baixo valor dos desvios padrão usados na distribuição a priori.

Figura 19.a: Aceitação dos estados das cadeias de Markov. na verificação do método MCMC

77

Figura 19.b: Estados das cadeias de Markov para θr da coluna de solo na verificação do método MCMC

Figura 19.c: Estados das cadeias de Markov para θs da coluna de solo na verificação do método MCMC

78

Figura 19.d: Estados das cadeias de Markov para ks da coluna de solo na verificação do método MCMC

Figura 19.e: Estados das cadeias de Markov para α da coluna de solo na verificação do método MCMC

79

Figura 19.f: Estados das cadeias de Markov para n da coluna de solo na verificação do método MCMC

Os valores dos parâmetros hidráulicos da placa cerâmica, embora oferecessem

pouca serventia para efeitos de comparação de resultados, também foram considerados

na estimativa de parâmetros hidráulicos pelo método MCMC e suas cadeias de Markov

estão apresentadas nas figuras (20.a-e). Foram admitidas distribuições a priori

Gaussianas centradas nos valores admitidos na modelagem do problema matemático e

apresentados no início desta seção, sendo θr definido como igual a zero, θs igual a 1, Ks

igual a 8,7 x 10-7 cm/s, α igual a 1 x 10-20 cm-1 e n igual a 1 e desvio padrão definido

igual a 0,01. Como os valores referentes à placa cerâmica são conhecidos, tivemos

distribuições a priori informativas para os parâmetros da placa. As cadeias de Markov

apresentaram pouca variação nos valores dos parâmetros, conforme o esperado.

80

Figura 20.a: Estados das cadeias de Markov para θr da placa cerâmica na verificação do método MCMC

Figura 20.b: Estados das cadeias de Markov para θs da placa cerâmica na verificação do método MCMC

81

Figura 20.c: Estados das cadeias de Markov para Ks da placa cerâmica na verificação do método MCMC

Figura 20.d: Estados das cadeias de Markov para α da placa cerâmica na verificação do método MCMC

82

Figura 20.e: Estados das cadeias de Markov para n da placa cerâmica na verificação do método MCMC

83

4.2 Resultados das estimativas

A estimativa dos parâmetros físicos relacionados ao escoamento e transporte de

soluto em meios porosos foi realizada segundo uma abordagem Bayesiana pelo método

MCMC, com a utilização do algoritmo de Metropolis-Hastings (KAIPIO e

SOMERSALO, 2004, TAN el al., 2006, LEE, 2004, MOTA et al., 2007, ORLANDE et

al., 2007.a,b) a partir de medidas de carga e concentração de soluto obtidas em

experimentos de coluna de solo em laboratório realizados conforme o procedimento

demonstrado na seção 3.3. Antes, porém, de se proceder com a estimativa de parâmetros

é necessário se verificar a existência de dependência linear entre eles. Para isso foi

realizada a análise dos coeficientes de sensibilidade dos parâmetros para os dois tipos de

solo considerados neste trabalho, como está apresentado a seguir.

4.2.1 Análise dos coeficientes de sensibilidade

Os coeficientes de sensibilidade dos parâmetros hidráulicos e de transporte a serem

estimados para os solos utilizados foram obtidos através do cálculo da matriz de

sensibilidade (BECK e ARNOLD, 1977), definida na equação (25), que descreve o

comportamento das medidas em relação à variação dos parâmetros físicos. Nesta

análise, considera-se como medidas experimentais disponíveis a variação da carga no

sensor localizado no meio do comprimento da coluna, assim como a variação da

concentração de soluto presente no líquido efluente coletado na descarga da coluna e

também a variação do fluxo desse líquido. Foram utilizadas as soluções numéricas

listadas escritas na linguagem FORTRAN descritas na seção 2.2 para a solução do

problema direto, sendo o problema de escoamento solucionado pelas equações (15.a-c)

84

e o de transporte de soluto resolvido pela solução do modelo de condições de contorno

do terceiro tipo, descrito pelas equações (16.a-c).

Primeiramente apresentam-se os vetores de parâmetros a serem analisados e

estimados, que são definidos como:

0[ , , , , , , ]T

Hidráulico s s rK n h hθ θ α δ=P (32)

[ , ( ), , , ]T

Transporte b d d mf K Dρ λ α=P (33)

PT = [PTHidráulico , PTTransporte] (34)

onde PTHidráulico é o vetor de parâmetros hidráulicos a serem estimados, pertencentes ao

modelo hidráulico definido na seção 2.1.1 e PTTransporte é o vetor de parâmetros de

transporte estimados, pertencentes ao modelo de transporte de soluto apresentado na

seção 2.1.2. Finalmente, PT é o vetor total de parâmetros estimados ao se resolver

simultaneamente os problemas inversos de estimativa de parâmetros hidráulicos e de

transporte, tendo sido definido anteriormente pela equação (20.a).

Nota-se que o vetor PTHidráulico contém os parâmetros referentes a carga, h0 e δ h

que são, respectivamente, a leitura inicial da carga na posição de medição e o gradiende

de pressão ao logo da coluna. Estes parâmetros foram definidos pois, conforme está

relatado na seção 4.2.2.2, fez-se necessária a estimativa de seus valores juntamente aos

demais parâmetros hidráulicos. Pode-se observar ainda que os parâmetros bρ e dK

aparecem multiplicados no vetor PTTransporte. Isto acontece devido ao fato de não ser

85

possível estimá-los de forma independente, uma vez que eles também aparecem

multiplicados na formulação matemática do problema de transporte de soluto. Assim,

para efeito de estimativa de parâmetros, considerou-se o produto ( bρ dK ) como um

único parâmetro a ser estimado. Tal fato não gera grandes restrições, tendo em vista que

a massa específica bρ pode ser facilmente medida em outros ensaios.

Para a análise dos coeficientes de sensibilidade dos parâmetros presentes nos

modelos matemáticos adotados neste trabalho foi elaborado um caso teste que levou em

conta as características do experimento de coluna descrito na seção 3.3, considerando-se

uma coluna de solo com extensão de 7,3 cm, com um fluxo de infiltração em seu topo

igual a 3,05 x 10-4 cm/s. Admitiu-se a distribuição inicial da carga ao longo da coluna

como sendo uniforme e igual a –60 cm. A análise dos coeficientes de sensibilidade foi

então realizada tanto para o solo do tipo rocha alterada, que foi considerado na obtenção

de medidas experimentais simuladas, quanto para o solo do módulo de estéril, utilizado

nos experimentos de coluna não saturada em laboratório. Os parâmetros previamente

conhecidos destes dois tipos de solo, cuja obtenção foi descrita no capítulo 3, são os

mesmos apresentados na 1,.

86

Apresentam-se primeiramente os resultados da análise de sensibilidade dos

parâmetros pertinentes ao solo rocha alterada. Os valores dos parâmetros foram

definidos como sendo o teor de umidade residual, θr, igual a 0,046, o teor de umidade

na saturação, θs , igual a 0,388 e a condutividade hidráulica na saturação, Ks , igual a

1,8 x 10-3 cm/s. O parâmetro α, definido como o inverso do coeficiente de entrada de ar,

foi determinado igual a 0,036 cm-1, e o índice de distribuição do tamanho de poros, n,

foi determinado igual a 3,363 Admitindo-se que o transporte de soluto é governado pelo

modelo de não-equilíbrio físico, a fração de sítios em contato com água móvel, f, foi

definida como igual a 0,500. A massa específica do solo na base seca, ρb, foi igual a

1,661 g/cm3. Admitindo-se um transporte de soluto pouco reativo, o coeficiente de

distribuição, kd foi admitido igual a 1,0 cm3/g, a dispersividade λ, foi ajustada como

igual a 1,0 cm e o coeficiente de difusão molecular, Dd, igual a 1,0 x 10-5 cm2/s. O

coeficiente de transferência de massa, αm, recebeu valores de 1,0 x 10-5 s-1. A

concentração inicial de soluto no meio poroso foi considerada igual a zero e a

concentração da solução injetada no topo da coluna teve valor normalizado igual a 1.

A figura (21.a) mostra a variação da carga na metade da extensão da coluna de solo,

juntamente com os coeficientes de sensibilidade reduzidos da carga em relação aos

parâmetros do modelo do problema hidráulico. Estes coeficientes são obtidos pela

multiplicação dos coeficientes de sensibilidade por seus respectivos parâmetros, de

modo que os coeficientes de sensibilidade reduzidos tem a mesma unidade da variável

medida, possibilitando identificar de forma adequada eventuais dependências lineares e

pequenas magnitudes dos coeficientes em relação à variável. Observe-se pela figura

(21.a) que os coeficientes de sensibilidade são praticamente nulos quando comparados a

variação da carga. Na figura (21.b) é apresentada uma ampliação da figura (21.a) na

região de interesse para a análise dos coeficientes de sensibilidade, onde se pode

87

verificar que a magnitude dos coeficientes reduzidos é aproximadamente 4 vezes menor

que a da carga. Conclui-se assim que, para o caso em análise, a influência dos

parâmetros na variação da carga é praticamente inexistente. A análise da figura (21.b)

revela que os coeficientes de sensibilidade com relação a Ks e n são linearmente

dependentes, assim como os coeficientes de sensibilidade com relação aos grupos de

parâmetros (θr, θs, δh) e (n, h0). Portanto, os parâmetros Ks e n não podem ser estimados

simultaneamente com medidas da carga. Da mesma forma, os parâmetros θr, θs e δh não

podem ser estimados simultaneamente com medidas dessa variável. A mesma restrição

ocorre para a estimativa simultânea de n e h0. Observa-se ainda que os coeficientes de

sensibilidade dos parâmetros de transporte são nulos. Tal comportamento já era

esperado, devido ao fato dos parâmetros de transporte não afetarem as variáveis

hidráulicas, tal como a carga. A figura (21.b) também mostra que os coeficientes de

sensibilidade tendem a valores nulos ou constantes ao se aproximar o regime

permanente. Portanto, as medidas no regime permanente não fornecem informação

significativa para a estimativa dos parâmetros.

88

Figura 21.a – Variação no tempo da carga na metade da altura da coluna e de seus coeficientes de sensibilidade (rocha alterada)

Figura 21.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade da carga na metade da altura da coluna (rocha alterada)

89

A variação do fluxo de efluente na saída da coluna é apresentada na figura

(22.a), assim como seus coeficientes de sensibilidade reduzidos. Neste caso,

novamente os coeficientes de sensibilidade reduzidos são praticamente nulos e a

ampliação apresentada na figura (22.b) mostra que a sua magnitude é

aproximadamente 4 vezes menor que a do fluxo de efluente. Os coeficientes de

sensibilidade do fluxo em relação aos parâmetros de transporte são nulos, já que tal

variável não é afetada pelos parâmetros de transporte e, além disso, os coeficientes

de sensibilidade do fluxo em relação aos parâmetros hidráulicos são todos

linearmente dependentes. Portanto, para o caso em análise, as medidas de fluxo na

descarga não fornecem informação útil para a estimativa dos parâmetros hidráulicos

e de transporte.

Figura 22.a – Variação no tempo do fluxo na descarga da coluna e de seus coeficientes de sensibilidade (rocha alterada)

90

Figura 22.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade do fluxo na descarga da coluna (rocha alterada)

Os coeficientes de sensibilidade da concentração de soluto no líquido efluente na

descarga da coluna em relação aos parâmetros hidráulicos e de transporte são então

analisados. A figura (23.a) apresenta a variação da concentração de traçador na

descarga da coluna e seus coeficientes de sensibilidade, que mais uma vez são

praticamente nulos em relação a magnitude da variável medida. Na figura (23.b), os

coeficientes reduzidos são ampliados na região de interesse para a análise e pode-se

verificar que sua magnitude é quatro ordens de grandeza menor que a magnitude da

concentração de soluto. Observa-se que os coeficientes de sensibilidade para o teor

de umidade na saturação, θs, para a condutividade hidráulica, ks, e para o índice de

distribuição do tamanho de poros, n são consideravelmente menores que os

coeficientes para os parâmetros de transporte e os coeficientes de sensibilidade da

concentração são praticamente nulos para todos os demais parâmetros hidráulicos. A

figura (23.b) também mostra que o coeficiente de sensibilidade com relação ao

91

coeficiente de difusão molecular é nulo. Tal fato deve-se à forte influência da

dispersão hidrodinâmica no coeficiente de dispersão, em relação à difusão molecular

para o caso analisado, conforme pode ser observado na equação (14). Apesar da

pequena magnitude, os coeficientes de sensibilidade com relação aos parâmetros sθ ,

, ( ), eb d mf Kρ λ α são linearmente independentes.

Figura 23.a – Variação no tempo da concentração na descarga da coluna e de seus coeficientes de sensibilidade (rocha alterada)

92

Figura 23.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade da concentração na descarga da coluna (rocha alterada)

A análise dos coeficientes de sensibilidade também foi realizada para os

parâmetros referentes ao problema de escoamento e transporte de soluto no solo do

módulo de solo estéril. Neste caso, o teor de umidade residual, θr, foi tomado igual a

0,042, o teor de umidade na saturação, θs, igual a 0,408 e a condutividade hidráulica

na saturação, Ks , igual a 9,37 x 10-4 cm/s. O parâmetro α, definido como o inverso

do coeficiente de entrada de ar, foi fixado igual a 0,040 cm-1, e o índice de

distribuição do tamanho de poros, n, foi fixado igual a 2,632. Admitindo-se que o

transporte de soluto é governado pelo modelo de não-equilíbrio físico, a fração de

sítios em contato com água móvel, f, foi definida como igual a 0,500. A massa

específica do solo na base seca, ρb, foi igual a 1,637 g/cm3. Admitindo-se um

transporte de soluto pouco reativo, o coeficiente de distribuição, kd foi admitido

93

igual a 1,0 cm3/g, a dispersividade λ, foi ajustada como igual a 1,0 cm e o

coeficiente de difusão molecular, Dd, igual a 1,0 x 10-5 cm2/s. O coeficiente de

transferência de massa, αm, recebeu valores de 1,0 x 10-5 s-1. A concentração inicial

de soluto no meio poroso foi considerada igual a zero e a concentração da solução

injetada no topo da coluna teve valor normalizado igual a 1.

Nas figuras (24.a-b), pode-se notar que, a exemplo do observado nas figuras

(21.a-b), referentes a rocha alterada, a variação da carga na saída de efluente da

coluna de solo do módulo de solo estéril apresenta uma magnitude quatro ordens de

grandeza maior que a da variação dos coeficientes de sensibilidade reduzidos dos

parâmetros em relação à carga. Na figura (24.b) observa-se a ocorrência de

dependência linear entre os parâmetros θr e θs e entre os parâmetros ks, α e n. Os

coeficientes de sensibilidade se mostraram nulos para os parâmetros h0 e ∆h, assim

como para os parâmetros de transporte.

Figura 24.a – Variação no tempo da carga na metade da altura da coluna e de seus coeficientes de sensibilidade (módulo de solo estéril)

94

Figura 24.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade da carga na metade da altura da coluna (módulo de solo estéril)

As figuras (25.a-b) apresentam a variação do fluxo de líquido efluente da coluna e

seus coeficientes de sensibilidade em relação aos parâmetros físicos do solo em análise.

Nota-se novamente que os coeficientes de sensibilidade reduzidos apresentam uma

magnitude quatro ordens de grandeza menor que a magnitude das medidas de fluxo.

Além disso, todos os parâmetros hidráulicos apresentam dependência linear entre si e os

coeficientes de sensibilidade dos parâmetros de transporte são praticamente nulos. Desta

forma, à semelhança do que foi observado na análise dos coeficientes de sensibilidade

do fluxo de descarga para o solo do tipo rocha alterada, as medidas de fluxo também

não fornecem dados relevantes para a solução do problema inverso de estimativa de

parâmetros no presente caso em estudo.

95

Figura 25.a – Variação no tempo fluxo de descarga da coluna e de seus coeficientes de sensibilidade (módulo de solo estéril)

Figura 25.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade do fluxo de descarga da coluna (módulo de solo estéril)

96

A variação da concentração de soluto no líquido efluente, assim como análise dos

seus coeficientes de sensibilidade são apresentadas nas figuras (26.a-b). Novamente se

observa que os coeficientes de sensibilidade reduzidos apresentam uma magnitude

quatro ordens de grandeza menor que a variação da concentração ao longo do tempo.

Na figura (26.b) é apresentada a variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade em

relação à concentração de soluto. Nota-se que os parâmetros α e n apresentam

dependência linear, assim como os parâmetros θs e ks. Os coeficientes de sensibilidade

para h0 e ∆h são novamente nulos. A figura ainda mostra que, a exemplo do que

aconteceu na análise da rocha alterada e apesar da pequena magnitude, os parâmetros de

transporte , ( ), eb d mf Kρ λ α são linearmente independentes. O coeficiente de

sensibilidade do coeficiente de dispersão molecular, Dd, é nulo o que se explica pela

forte influência da dispersão hidrodinâmica no coeficiente de dispersão, em relação à

difusão molecular para o caso analisado, conforme pode ser observado na equação (14).

Figura 26.a – Variação no tempo concentração de soluto e de seus coeficientes de sensibilidade (módulo de solo estéril)

97

Figura 26.b – Variação no tempo dos coeficientes de sensibilidade da concentração de soluto (módulo de solo estéril)

Apesar das amplitudes das curvas de sensibilidade apresentadas nas figuras (21.b),

(23.b), (24.b) e (25.b) serem pequenas, foi possível utilizar as medidas de carga para

estimar o vetor de parâmetros hidráulicos 0[ , , , , , , ]T

Hidráulico s s rK n h hθ θ α δ=P ,

admitindo-se uma distribuição a priori uniforme para o teor de umidade residual θr, o

inverso da entrada de ar α, o índice de distribuição do tamanho de poros n, a pressão

inicial na posição de medição, h0, e gradiente de pressão, δh. A análise de sensibilidade

mostra que θs e Ks apresentam dependência linear com outros parâmetros, o que

impediria a estimativa dos sete parâmetros simultaneamente. Por outro lado, os ensaios

de caracterização realizados com o solo utilizado no experimento forneceram medidas

precisas para estes parâmetros, possibilitando que se adote uma distribuição a priori

Gaussiana para eles.

98

A análise de sensibilidade também mostra que o vetor de parâmetros de transporte

[ , ( ), , , ]T

Transporte b d d mf K Dρ λ α=P pode ser estimado a partir das medidas experimentais

de concentração de soluto na saída da coluna de solo. Pode-se observar nas figuras

(23.b) e (26.b) que a amplitude do coeficiente para o coeficiente de difusão molecular,

Dd, é muito menor do que para os demais parâmetros, o que indica que a influência de

efeitos difusivos no problema pode ser considerada desprezível. Optou-se porém por

admitir uma distribuição a priori Gaussiana para Dd e uma distribuição a priori

uniforme para os demais parâmetros.

Apesar da dependência linear entre parâmetros verificada e da pequena magnitude

apresentada por todos os coeficientes de sensibilidade nas análises realizadas para os

dois tipos de solo, é possível, com o uso da inferência Bayesiana, realizar a estimativa

dos parâmetros do problema de maneira simultânea, uma vez que nesta técnica se utiliza

informação a priori, codificada em distribuições estatísticas para os parâmetros, na

geração da distribuição posterior de probabilidade. Em contrapartida, as incertezas das

distribuições a priori deverão sempre ser pequenas para os parâmetros linearmente

dependentes com coeficientes de sensibilidade de baixa magnitude.

Com base na influência da variação dos parâmetros hidráulicos e de transporte nas

medidas de fluxo, carga e concentração de soluto observadas nas análises realizadas, foi

estabelecido que as medidas experimentais de carga seriam utilizadas na estimativa dos

parâmetros hidráulicos, enquanto os parâmetros de transporte seriam estimados a partir

de medidas experimentais de concentração de soluto.

99

4.2.2 Estimativa de parâmetros

A partir das medidas experimentais de concentração de soluto e carga foi possível

estimar os parâmetros hidráulicos e de transporte pela aplicação do teorema de Bayes,

através do método de Monte Carlo com cadeias de Markov (MCMC).

Foram primeiramente estimados os parâmetros hidráulicos, a partir das medidas de

carga. Os parâmetros de transporte foram estimados num segundo momento, quando

que se tomou como informação a priori os valores médios dos parâmetros hidráulicos,

assim como a matriz de covariância, obtidos a partir das distribuições a posteriori da

estimativa de parâmetros hidráulicos. Nesta segunda etapa, foram utilizadas medidas

experimentais da variação da carga e da concentração de soluto.

Este procedimento foi realizado utilizando-se tanto medidas experimentais

simuladas quanto medidas experimentais reais, conforme descrito nas seções a seguir.

4.2.2.1 Estimativas utilizando-se medidas experimentais simuladas

Inicialmente, foram simulados experimentos em coluna de solo considerando-se as

propriedades físicas do solo do tipo rocha alterada, que estão descritas na tabela 1.

Foram simuladas as medições da variação da carga na posição de medição do

tensiômetro afixado na metade da coluna de solo e da variação da concentração de

soluto no efluente coletado na descarga da coluna.

Para a simulação das medidas experimentais de carga e concentração, os problemas

de escoamento e transporte apresentados na seção 2.1.1 foi calculado, adicionando-se

aos valores obtidos erros randômicos, não correlacionados, com distribuição normal,

média zero e desvio padrão constante (ORLANDE et al., 2009). Os valores constantes

de desvio padrão foram definidos como 1 cm para as medidas simuladas de carga (que

100

corresponde a aproximadamente 3% da variação da carga no tempo) e 0,01 para a

concentração reduzida de soluto (correspondente a 1 % da variação de concentração). A

partir das medidas simuladas de carga na posição do tensiômetro e das medidas de

concentração de soluto no efluente, foi realizada a solução do problema inverso para

estimativa de parâmetros hidráulicos e de transporte pelo método MCMC.

Medidas simuladas de carga foram utilizadas para se estimar o vetor de parâmetros

hidráulicos [ , , , , ]T

Hidráulico s s rK nθ θ α=P . Neste caso, admitiu-se a carga ao longo de

toda a coluna como tendo um valor inicial uniforme igual a -60 cm. Como foram

utilizadas medidas simuladas para a carga de pressão, não houve necessidade de se

estimar os parâmetros h0 e δh. As medidas simuladas foram obtidas ao se calcular o

problema de escoamento utilizando-se os valores de parâmetros apresentados na tabela

4.

101

Tabela 4: Parâmetros utilizados na geração de medidas simuladas. Extensão da coluna de solo L = 7.3 cm

Fluxo de infiltração q0(t) = 3.05 x 10-4 cm/s

Carga inicial na coluna de solo hi(z) = - 60 cm

Teor de umidade residual θr = 0.0456

Teor de umidade saturado θs = 0.388

Condutividade hidráulica saturada Ks = 1.8 x 10-3 cm/s

Valor do inverso da entrada de ar α = 0.0359 cm-1

Índice de distribuição do tamanho de poro n = 3.3628

Fração de massa da fase sólida na região dinâmica f = 0.5

Massa específica na base seca ρb = 1.7 g/cm3

Coeficiente de distribuição Kd = 1.0 cm3/g

Coeficiente de dispersão Dd = 10-5 cm2/s

Coeficiente de transferência de massa αm = 10-5 s-1

Concentração inicial reduzida ci = 0

Concentração reduzida da solução de traçador

injetada

c0 = 1

As cadeias de Markov foram geradas utilizando-se 20.000 estados, dos quais os

4.000 primeiros foram excluidos dos cálculos estatísticos de cada parâmetro. As cadeias

foram iniciadas com os valores médios dos parâmetros com distribuições a priori

Gaussianas e com os valores mínimos daqueles com distribuições a priori uniformes.

A tabela 5 apresenta as distribuições a priori utilizadas na estimativa dos parâmetros

hidráulicos. Para a solução do problema inverso, considerou-se a disponibilidade de

medidas simuladas de carga até o tempo igual a 27.400 segundos após o início da

injeção no topo da coluna. Na tabela 6, são apresentados as médias e os intervalos de

102

confiança para as distribuições marginais a posteriori de cada parâmetro. Os valores

exatos, que foram aqueles utilizados na geração de medidas simuladas de carga, estão

de maneira geral contidos dentro dos intervalos de confiança, ou bem próximos a seus

limites.

Tabela 5: Distribuições a priori dos parâmetros hidráulicos estimados com medidas simuladas.

Parâmetro Distribuição Dados da distribuição

rθ Uniforme Intervalo: (0 , sθ )

sθ Normal Média: sθ = 0.388

Desvio padrão: 0.05sθ

sK Normal Média: sK = 1.8x10-3 cm/s

Desvio padrão: 0.05sK cm/s

α Uniforme Intervalo: ( 0.8α , 1.2α ) cm-1

α = 0.0359 cm-1

n Uniforme Intervalo: (0.8n , 1.2n )

n = 3.3628

103

Tabela 6: Estimativas dos parâmetros hidráulicos obtidos com medidas simuladas. Parâmetro Média Intervalo de 99% de

Confiança Valor exato

rθ 0.0537 (0.0473 , 0.0602) 0.0456

sθ 0.393 (0.389 , 0.397) 0.388

sK (cm/s) 1.81x10-3 (1.80x10-3 , 1.82x10-3) 1.80x10-3

α (cm-1) 0.0359 (0.0357 , 0.0361) 0.0359

n 3.3813 (3.2616 , 3.5011) 3.3628

A matriz de covariância foi calculada para os parâmetros hidráulicos. Nota-se na

equação (35) uma forte correlação entre estes parâmetros, evidenciada pela elevada

ordem de grandeza dos termos fora da diagonal principal, comparados aos termos da

diagonal.

-5 -5 -8 -6 -4

-5 -5 -8 -7 -4

-8 -8 -10 -10 -7

-6 -7 -10

0.63x10 0.19x10 -0.46x10 -0.12x10 0.66x10

0.19x10 0.24x10 -0.27x10 0.18x10 -0.17x10

cov( , , , , ) -0.46x10 -0.27x10 0.15x10 0.92x10 -0.25x10

-0.12x10 0.18x10 0.92x10 0.64r s sK nθ θ α =

-8 -5

-4 -4 -7 -5 -2

x10 -0.35x10

0.66x10 -0.17x10 -0.25x10 -0.35x10 0.22x10

(35)

As distribuições a posteriori dos parâmetros hidráulicos estimados são apresentadas

nas figuras (27.a-e). De maneira geral, os resultados apresentados se aproximam das

distribuições Gaussianas esperadas.

104

Figura 27.a: Distribuição a posteriori para θr, com medidas experimentais simuladas

Figura 27.b: Distribuição a posteriori para θs, com medidas experimentais simuladas

0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06 0.062

θr

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.389 0.39 0.391 0.392 0.393 0.394 0.395 0.396 0.397 0.398

θs

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Freq

uênc

ia r

elat

iva

Freq

uênc

ia r

elat

iva

105

Figura 27.c: Distribuição a posteriori para Ks, com medidas experimentais simuladas

Figura 27.d: Distribuição a posteriori para n, com medidas experimentais simuladas

0.001792 0.0018 0.001808 0.001816 0.001824

ksat( (cm/s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.2 3.22 3.24 3.26 3.28 3.3 3.32 3.34 3.36 3.38 3.4 3.42 3.44 3.46 3.48 3.5

n

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Freq

uênc

ia r

elat

iva

Freq

uênc

ia r

elat

iva

106

Figura 27.e: Distribuição a posteriori para α, com medidas experimentais simuladas.

As figuras (28.a-e) apresentam os estados das cadeias de Markov para cada um dos

parâmetros hidráulicos estimados. De maneira geral, observa-se uma convergência para

as cadeias, com excessão dos parâmetros θs e Ks, devido a suas dependências lineares

em relação a θr e n, respectivamente.

Figura 28.a: Estados da cadeia de Markov para θr, com medidas experimentais

simuladas.

0.0354 0.0355 0.0356 0.0357 0.0358 0.0359 0.036 0.0361 0.0362 0.0363

α (cm-1)

0

0.04

0.08

0.12

0 4000 8000 12000 16000 20000

States of the Markov Chain

0

0.02

0.04

0.06

0.08

θ r

Freq

uênc

ia r

elat

iva

107

0 4000 8000 12000 16000 20000


0.386

0.388

0.39

0.392

0.394

0.396

θ s

Figura 28.b: Estados da cadeia de Markov para θs, com medidas experimentais simuladas

0 4000 8000 12000 16000 20000


0.001795

0.0018

0.001805

0.00181

0.001815

0.00182

0.001825

k sat

(cm

/s)

Figura 28.c: Estados da cadeia de Markov para Ks, com medidas experimentais simuladas

108

0 4000 8000 12000 16000 20000


0.028

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

α (

cm-1)

Figura 28.d: Estados da cadeia de Markov para α, com medidas experimentais simuladas

0 4000 8000 12000 16000 20000


2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

n

Figura 28.e: Estados da cadeia de Markov para n, com medidas experimentais simuladas.

Após a estimativa dos parâmetros hidráulicos, as medidas simuladas de carga e de

concentração de soluto foram utilizadas para a estimativa do vetor dos parâmetros

hidráulicos e dos parâmetros de transporte, [ , ]T T T

Hidráulico Transporte=P P P , onde

109

[ , , , , ]T

Hidráulico s s rK nθ θ α=P e [ , ( ), , , ]T

Transporte b d d mf K Dρ λ α=P , utilizando-se o

modelo com condição de contorno do terceiro tipo apresentado na seção 2.1.2. Os

valores obtidos na estimativa dos parâmetros hidráulicos foram, desta vez, adotados

como informação a priori. As distribuições Gaussianas apresentadas na tabela 6

definiram as novas distribuições a priori e a matriz de covariâncias apresentada na

equação (35) o desvio padrão dos parâmetros hidráulicos. Foi simulado um experimento

de dispersão de soluto, segundo os procedimentos descritos na seção 3.2, com duração

de 13000 segundos, tempo suficiente para a concentração reduzida chegar ao regime

permanente na descarga da coluna. Nesta simulação, foram consideradas as

características físicas conhecidas para a amostra de solo do tipo rocha alterada,

apresentadas na tabela 1. As distribuições a priori adotadas para os parâmetros de

transporte estão apresentadas na tabela 7. A tabela 8 apresenta os valores estimados para

os parâmetros de transporte, juntamente com seus respectivos intervalos de confiança e

os valores exatos, utilizados na geração de medidas simuladas de carga. Repare-se que

esses valores exatos estão de maneira geral dentro do intervalo de confiança, ou bem

próximos ao seu limite.

110

Tabela 7: Distribuições a priori dos parâmetros de transporte estimados utilizando-

se medidas simuladas.

Parâmetros Distribuição Dados da distribuição

f Uniforme Intervalo: (0 , 1)

b dKρ Uniforme Intervalo: ( 0.8 b dKρ , 1.2 b dKρ )

b dKρ = 1.7

λ Uniforme Intervalo: ( 0.8λ , 1.2λ )

λ = 1 cm

dD Normal Média: dD = 10-5 cm2/s

Desvio padrão: 0.05dD cm2/s

mα Uniforme Intervalo: ( 0.8 mα , 1.2 mα )

mα = 10-5 s-1

111

Tabela 8: Estimativas dos parâmetros de transporte obtidas com medidas simuladas. Parâmetro Média Intervalo de 99% de

confiança Valor exato

rθ 0.0538 (0.0537 , 0.0539) 0.046

sθ 0.393 (0.392 , 0.393) 0.388

sK (cm/s) 1.8099x10-3 (1.8097x10-3 , 1.810x10-3) 1.80x10-3

α (cm-1) 0.035909 (0.035907 , 0.035912) 0.036

n 3.3769 (3.3754 , 3.3783) 3.363

f 0.500 (0.497 , 0.503) 0.5

b dKρ 1.69 (1.67 , 1.71) 1.70

λ (cm) 1.00 (0.99 , 1.01) 1.00

dD (cm2/s) 1.000x10-5 (0.997 , 1.004) x 10-5 1,0x10-5

mα (s-1) 1.000x10-5 (0.990 , 1.010) x 10-5 1,0x10-5

Os histogramas das distribuições a posteriori dos parâmetros de transporte são

apresentados nas figuras (29a-e). Deve-se notar que as distribuições são, de maneira

geral, Gaussianas, exceto para Dd em virtude de seu coeficiente de sensibilidade ser

nulo.

112

0.496 0.497 0.498 0.499 0.5 0.501 0.502 0.503 0.504 0.505 0.506 0.507

f

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Figura 29.a: Distribuição a posteriori para f, com medidas experimentais simuladas

1.636 1.64 1.6441.6481.6521.656 1.66 1.6641.6681.6721.676 1.68 1.6841.6881.692

ρ Kd

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Relative Frequency

Figura 29.b: Distribuição a posteriori para ρKd, com medidas experimentais simuladas

Freq

uênc

ia r

elat

iva

Freq

uênc

ia r

elat

iva

113

9.98E-006 1E-005 1.002E-005 1.004E-005 1.006E-005

Dd(cm2/s)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 29.c: Distribuição a posteriori para Dd, com medidas experimentais simuladas

0.94 0.945 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01

λ (cm)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 29.d: Distribuição a posteriori para λ, com medidas experimentais simuladas

Freq

uênc

ia r

elat

iva

Freq

uênc

ia r

elat

iva

114

1E-005 1.008E-005 1.016E-005 1.024E-005

α(s-1)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Figura 29.e: Distribuição a posteriori para αm, com medidas experimentais simuladas

Nas figuras (30.a-f) é apresentada a variação dos estados aceitos nas cadeias de

Markov para cada um dos parâmetros de transporte estimados. O número de estados

aceitos foi relativamente baixo, mas note-se que a taxa de aceitação diminui quanto

maior for a convergência da cadeia. Isto pode ser verificado nas figuras (30.b-f). A

cadeia de Markov de maneira geral convergiu com aproximadamente 2000 estados,

exceto para o parâmetro Dd, que por sua vez, tendo coeficiente de sensibilidade nulo,

não tem influência significativa no valor da concentração de soluto na descarga da

coluna.

Freq

uênc

ia r

elat

iva

115

0 4000 8000 12000 16000 20000

0

400

800

1200

States Accepted

Figura 30.a: Estados aceitos da cadeia de Markov, com medidas experimentais simuladas

Figura 30.b: Estados da cadeia de Markov para f, com medidas experimentais simuladas

0 4000 8000 12000 16000 20000States of the Markov Chain

0.4

0.6

0.8

1

f

116

0 4000 8000 12000 16000 20000

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

ρKd

Figura 30.c: Estados da cadeia de Markov para ρKd, com medidas experimentais simuladas


9.98E-006

9.99E-006

1E-005

1.001E-005

1.002E-005

1.003E-005

1.004E-005

Dd(

cm2 /

s)

Figura 30.d: Estados da cadeia de Markov para Dd, com medidas experimentais simuladas

117

Figura 30.e: Estados da cadeia de Markov para λ, com medidas experimentais simuladas


8E-006

8.5E-006

9E-006

9.5E-006

1E-005

1.05E-005

α (

s-1)

Figura 30.f: Estados da cadeia de Markov para αm, com medidas experimentais simuladas


0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

λ (

cm)

118

A convergência das cadeias de Markov e a distribuição a posteriori Gaussiana dos

parâmetros hidráulicos e de transporte, com erros randômicos, estimados neste caso

indicam a acurácia do método de solução do problema inverso utilizado para o caso em

que se utiliza medidas simuladas para a carga na posição do tensiômetro afixado na

coluna de solo. O passo seguinte no trabalho é repetir-se o procedimento de estimativa

de parâmetros, desta vez utilizando-se medidas experimentais reais para a carga e

concentração de soluto.

119

4.2.2.2 Estimativas utilizando-se medidas experimentais reais

As primeiras tentativas de se estimar o vetor de parâmetros hidráulicos com medidas

experimentais reais não foram bem sucedidas, uma vez que as curvas experimental e

teórica, obtida a partir das equações (2.a-d) apresentavam perfis distintos, quaisquer que

fossem as distribuições a priori dos parâmetros e passos de procura na escolha de

pontos amostrais da cadeia de Markov. Após uma série de análises, percebeu-se que ao

se alterar o valor inicial da carga na modelagem do problema direto do código

computacional de estimativa de parâmetros, as curvas começavam a apresentar uma

melhor concordância. Como, de acordo com os procedimentos descritos na seção 3.3, o

solo foi depositado na coluna acrílica inicialmente saturado, sendo depois retirado o

excesso de água, era muito provável que o teor de umidade do solo utilizado tivesse um

valor inicial diferente daquele obtido a partir da curva de retenção para a pressão

negativa de 66 cm lida pelo tensiômetro dentro da coluna de solo no início do

experimento. Optou-se então por modificar o vetor de parâmetros hidráulicos, de modo

a se estimar também o valor da carga correspondente ao teor de umidade no início do

experimento e definí-lo como valor inicial da carga dentro da coluna de solo na posição

do tensiômetro, h0, assim como o gradiente de pressão ao longo da coluna, δh. Assim, o

vetor de parâmetros hidráulicos passou a ser representado por

0[ , , , , , , ]T

Hidráulico s s rK n h hθ θ α δ=P .

Esta medida surtiu efeito desejado, uma vez que as curvas experimental e teórica de

carga passaram a apresentar uma concordância razoável, embora o valor estimado para

a carga inicial na posição do tensiômetro fosse de fato diferente daquele medido

experimentalmente. As informações a priori usadas para os parâmetros são

apresentadas na tabela 9. Nota-se que se admitiu um valor alto para o desvio padrão de

120

Ks, uma vez que não havia total confiança no valor encontrado através de ensaios de

permeabilidade e que forneceram a informação a priori. A escolha do tipo de

distribuição (normal ou uniforme) escolhido para cada parâmetro foi feita levando-se

em conta a qualidade das informações a priori disponíveis sobre cada parâmetro. Como

θs e Ks, h0 e δh tinham valores previamente conhecidos de desvio padrão e média,

adotou-se uma distribuição normal para eles. Na ausência destas informações a priori

para os demais parâmetros, optou-se por utilizar distribuição uniforme.

Tabela 9: Distribuições a priori dos parâmetros hidráulicos, com medidas experimentais

reais Parâmetro Distribuição Dados da Distribuição

rθ Uniforme Intervalo: (0 , sθ )

sθ Normal Média: sθ = 0,408

Desvio-Padrão: 0,01sθ

sK Normal Média: sK = 4,2 x 10-4 cm/s

Desvio-Padrão: 0,2sK

α Uniforme Intervalo: (0,8α , 1,2α ) cm-1

α = 0,015 cm-1

n Uniforme Intervalo: ( 0,8n , 1,2n )

n = 1,3

h0 Normal Média: = -66,0 cm

Desvio-Padrão: 0,05cm/s

δh Normal Média: = 3,5 cm

Desvio-Padrão: 0,05cm/s

121

Para a estimativa de parâmetros, a cadeia de Markov foi gerada com 50000 estados,

desprezando-se os 20000 primeiros na obtenção dos resultados finais. Considerou-se

para a solução do problema inverso as medidas de carga até um tempo final de 3300

segundos e os erros das medidas experimentais com distribuição Gaussiana, média zero

e desvio padrão constante igual a 2 cm (equivalente a 5% da diferença entre o menor e o

maior valor medido). A tabela 10 apresenta os valores obtidos para cada parâmetro,

assim como seus respectivos intervalos de confiança e a equação (36) apresenta a matriz

de covariância obtida.

Tabela 10: Valores estimados para os parâmetros hidráulicos, com medidas experimentais reais

Parâmetro Média Intervalo de 99% de Confiança

rθ 0,852 x 10-3 (0; 0,283 x10-2)

sθ 0,408 (0,407; 0,409)

sK (cm/s) 6,710 x 10-4 (6,270 x 10-4; 7,151 x10-4)

α (cm-1) 1,733 x 10-2 (1,683 x 10-2; 1,784 x10-2)

n 1,268 (1,262; 1,273)

h0 (cm) -59,275 (-59,622; -58,929)

δh (cm) 3,532 (3,523; 3,541)

5.92E-07 7.28E-08 2.89E-09 4.79E-08 -6.95E-08 5.59E-06 -2.25E-07

7.28E-08 1.12E-07 4.37E-09 5.85E-08 -3.04E-07 2.55E-05 -8.88E-07

2.89E-09 4.37E-09 2.92E-10 3.03E-09 -3.36E-08 1.92E-07 -2.30E-08

cov( , , , , , , ) 4.r s s oK n h hθ θ α δ = 79E-08 5.85E-08 3.03E-09 3.79E-08 -2.57E-07 1.11E-05 -4.06E-07

-6.95E-08 -3.04E-07 -3.36E-08 -2.57E-07 5.28E-06 1.19E-04 6.76E-08

5.59E-06 2.55E-05 1.92E-07 1.11E-05 1.19E-04 1.81E-02 -3.46E-04

-2.25E-07 -8.88E-07 -2.30E-08 -4.06E-07 6.76E-08 -3.46E-04 1.16E-05

(36)

122

Com estes valores estimados para os parâmetros hidráulicos, foi possível traçar a

curva teórica da variação da carga na posição do tensiômetro ao longo do tempo, e

confrontá-la com a curva de medidas experimentais, onde se considera o erro relativo

das medições, como se observa na figura (31.a). O erro de medição foi definido como

sendo igual a 5% da diferença entre o maior e o menor valor medido para a carga,

chegando-se ao valor de 2,0 cm. No ajuste das curvas experimental e teórica nota-se que

os valores teóricos da carga estão dentro da faixa de incerteza dos valores

experimentais, exceto no período inicial do experimento em virtude da necessidade de

se estimar h0. Observa-se na figura (31.b) que os resíduos obtidos na estimativa de

parâmetros são correlacionados, o que indica que o modelo matemático utilizado para a

descrição do problema físico de escoamento ainda pode ser melhorado.

Figura 31.a: Comparação das curvas experimental e teórica da carga ao longo do tempo, com medidas experimentais reais.

123

Figura 31.b: Diferença entre os valores experimental e teórico da carga ao longo do tempo, com medidas experimentais reais.

Os histogramas das distribuições marginais a posteriori dos parâmetros estimados

são apresentados nas figuras (32.a-g). Pode-se observar que o perfil das distribuições se

aproxima de uma distribuição Gaussiana.

Figura 32.a: Distribuição a posteriori para θr, com medidas experimentais reais

124

Figura 32.b: Distribuição a posteriori para θs, com medidas experimentais reais

Figura 32.c: Distribuição a posteriori para Ks, com medidas experimentais reais

125

Figura 32.d: Distribuição a posteriori para α, com medidas experimentais reais

Figura 32.e: Distribuição a posteriori para n, com medidas experimentais reais

126

Figura 32.f: Distribuição a posteriori para h0, com medidas experimentais reais

Figura 32.g: Distribuição a posteriori para δh, com medidas experimentais reais

127

As figuras (33.a-h) mostram os a aceitação dos estados da cadeia de Markov e as

cadeias das distribuições a posteriori de cada um dos parâmetros estimados. Pode-se

observar que houve uma convergência razoável para as cadeias, exceto para θs e Ks, o

que pode ser explicado pela dependência linear destes parâmetros com θr e n,

respectivamente e pela necessidade de se usar um alto valor para o desvio padrão de Ks

em virtude da baixa qualidade da informação a priori para esse parâmetro.

Aproximadamente 14% dos estados da cadeia de Markov foram aceitos para a

estimativa de parâmetros.

Figura 33.a: Estados aceitos da cadeia de Markov, com medidas experimentais reais

128

Figura 33.b: Estados da cadeia de Markov para θr, com medidas experimentais reais

Figura 33.c: Estados da cadeia de Markov para θs, com medidas experimentais reais

129

Figura 33.d: Estados da cadeia de Markov para Ks, com medidas experimentais reais

Figura 33.e: Estados da cadeia de Markov para α, com medidas experimentais reais

130

Figura 33.f: Estados da cadeia de Markov para n, com medidas experimentais reais

Figura 33.g: Estados da cadeia de Markov para h0, com medidas experimentais reais

131

Figura 33.h: Estados da cadeia de Markov para δh, com medidas experimentais reais

As medidas experimentais da carga e da concentração de soluto coletadas nos

ensaios em laboratório foram utilizadas para a estimativa dos parâmetros de transporte

do modelo matemático associado ao problema físico em questão. Nesta etapa, foi

calculado o vetor de parâmetros [ , ]T T T

Hydraulic Transport=P P P , no qual

[ , ( ), , , ]T

Transport b d d mf K Dρ λ α=P e o vetor de parâmetros hidráulicos é o mesmo

calculado na seção 4.2.2.2. A variação da concentração de soluto no líquido efluente foi

registrada a partir de medidas da condutividade elétrica realizadas em amostras

coletadas a cada nove minutos. A fim de se gerar mais dados experimentais para a

solução do problema inverso de estimativa de parâmetros de transporte, essas medidas

foram interpoladas, de maneira a se obter o registro dos valores da concentração de

soluto a cada dez segundos. O desvio padrão das medidas experimentais foi admitido

como igual a 2 cm para as medidas de carga e 0,01 para as medidas de concentração

132

normalizada. Para os erros das medidas experimentais foi admitida uma distribuição

Gaussiana, com média zero e desvio padrão constante. Os parâmetros hidráulicos

estimados na seção 4.2.2.1 foram agora adotados como informação a priori com as

distribuições Gaussianas apresentadas na tabela 2 e a matriz de covariâncias apresentada

na equação (36). Deve-se lembrar que, como se utilizou uma solução não reativa (KBr)

como traçador no experimento de coluna e o solo apresenta baixa retenção, espera-se

que o fator de retardamento no transporte de soluto seja próximo de 1. Isto leva, de

acordo com a equação (10), a um valor bastante pequeno para o coeficiente de

distribuição, Kd, sendo desta forma definido um valor inicial de 1,0 x 10-11 cm3/g para

este parâmetro, a ser multiplicado pela massa específica na base seca, ρb, para a

estimativa de parâmetros. Foram utilizados os modelos com condições de contorno do

terceiro e do primeiro tipo, respectivamente, descritos na seção 4.2.2.2. As distribuições

a priori dos parâmetros de transporte para os dois casos são apresentadas na tabela 11.

133

Tabela 11: Distribuições a priori adotadas para os parâmetros de transporte, com medidas experimentais reais

Parâmetro Distribuição Dados da Distribuição (modelo com condição de contorno do terceiro tipo)

Dados da Distribuição (modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo)

f Uniforme Intervalo: (0 , 1) Intervalo: (0 , 1)

b dKρ Uniforme Intervalo: ( 0,8 b dKρ , 1,2 b dKρ )

b dKρ = 1,637 x 10-11

Intervalo: ( 0,8 b dKρ ,

1,2 b dKρ )

b dKρ = 1,637 x 10-11

λ (cm) Uniforme Intervalo: �0,2 > ?, 1,8 > ?�

λ = 7,00 x 10-1

Intervalo: �0,2 > ?, 1,8 > ?�

λ = 7,00 x 10-1

dD (cm2/s) Normal Média: dD = 1,00 x 10-5

Desvio-Padrão: 0,01dD

Média: dD = 1,00 x 10-5


mα (s-1) Uniforme Intervalo: (0,01 mα , 1)

mα = 1,00 x 10-2

Intervalo: (0,01 mα , 1)

mα = 1,00 x 10-2

Com estas informações foi possível estimar os parâmetros de transporte, utilizando-

se ambos os modelos matemáticos adotados, descritos na seção 2.1.2, como se pode ver

nas tabelas 12 e 13, respectivamente. Pode-se observar que os valores estimados para o

parâmetro f apresentaram discrepâncias, sendo praticamente nulo ao se utilizar o modelo

de condição de contorno do terceiro tipo e perto do esperado no transporte de soluto em

não equilíbrio físico ao se utilizar a condição do primeiro tipo. Os demais parâmetros

apresentaram valores similares ao se utilizar ambos os métodos.

134

Tabela 12: Parâmetros de transporte estimados utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais


f 4,722 x 10-3 (0,0 ; 2,304) x 10-2

b dKρ 1,696 x 10-11 (1,669 ; 1,724) 10-11

λ (cm) 0,275 (0,271 ; 0,278)

dD (cm2/s) 9,996 x 10-6 (9,991 x 10-6 ; 1,000 x 10-5)

mα (s-1) 0,207 (0,204 ; 0,209)

Tabela 13: Parâmetros de transporte estimados utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais


f 0,535 (0,514 ; 0,577)

b dKρ 1,655 x 10-11 (1,639 ; 1,671) x 10-11

λ (cm) 0,225 (0,222 ; 0,227)

dD (cm2/s) 1,004 x 10-5 (1,000 ; 1,008) x 10-5

mα (s-1) 0,276 (0,274 ; 0,280)

Com estes parâmetros, foi possível então traçar a comparação das curvas

experimental e teórica da variação da concentração de soluto na descarga da coluna,

como se vê nas figuras (34.a-b e 35.a-b). Nota-se que se obteve um bom ajuste entre as

curvas no perfil transiente com o modelo de condição de contorno do terceiro tipo. O

modelo de condição de contorno do primeiro tipo não é o mais adequado para ser

utilizado na descrição do transporte de soluto, uma vez que não garante a conservação

de massa. Porém, neste caso em que se realizou um experimento no qual a concentração

135

de soluto na solução afluente é plenamente conhecida, o que consiste num caso

específico de concentração prescrita, o modelo de condição de contorno do primeiro

tipo foi capaz de descrever o transporte de soluto de maneira satisfatória, de maneira

que se obteve também uma ótima concordância entre as curvas do perfil transiente. A

figura (34.b) mostra que os resíduos (diferença entre os valores experimental e teórico)

tem valores próximos à incerteza das medidas de concentração ao se utilizar condições

de contorno do terceiro tipo no problema direto, enquanto a figura (35.b) apresenta

resíduos predominantemente inferiores à incerteza das medidas quando se utiliza

condições de contorno do primeiro tipo. Também se observa que os resíduos são

novamente correlacionados, o que indica que os modelos matemáticos utilizados ao

problema físico devem ser melhorados.

136

Figura 34.a: Comparação entre as curvas experimental e teórica da concentração de soluto na descarga da coluna utilizando-se o modelo com condição de contorno do

terceiro tipo, com medidas experimentais reais.

Figura 34.b: Diferença entre os valores experimental e teórico da concentraçao de soluto

utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais.

137

Figura 35.a: Comparação entre as curvas experimental e teórica da concentração de soluto na descarga da coluna utilizando-se o modelo de modelo com condição de

contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 35.b: Diferença entre os valores experimental e teórico da concentraçao de soluto

utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

138

Os histogramas das distribuições marginais a posteriori dos parâmetros de

transporte estimados são apresentados nas figuras (36 e 37.a-e). Nota-se que o perfil das

distribuições se aproxima de uma distribuição Gaussiana, conforme o esperado. No

entanto o parâmetro Dd, cujos coeficientes de sensibilidade em relação à concentração

de soluto nulos, não apresenta distribuição Gaussiana quando estimado para o modelo

de condição de contorno do primeiro tipo.

Figura 36.a: Distribuição a posteriori para f utilizando o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

139

Figura 36.b: Distribuição a posteriori para ρKd utilizando o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 36.c: Distribuição a posteriori para λ utilizando o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

140

Figura 36.d: Distribuição a posteriori para Dd utilizando o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 36.e: Distribuição a posteriori para αm utilizando o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

141

Figura 37.a: Distribuição a posteriori para f utilizando o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 37.b: Distribuição a posteriori para ρKd utilizando o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

142

Figura 37.c: Distribuição a posteriori para λ utilizando o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 37.d: Distribuição a posteriori para Dd utilizando o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo , com medidas experimentais reais

143

Figura 37.e: Distribuição a posteriori para αm utilizando o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

A evolução das cadeias de Markov foi analisada para as estimativas de parâmetros

utilizando os dois modelos de problema direto considerados. Ao se utilizar o modelo de

condição de contorno do terceiro tipo foram necessários 50.000 estados na cadeia de

Markov para que se observasse convergência, sendo considerados os últimos 15.000

estados para efeito do cálculo das médias e desvios-padrão das distribuições a posteriori

para os parâmetros. Ao se utilizar o modelo de condição de contorno do primeiro tipo

no problema direto foram necessários 25.000 estados para que a convergência fosse

verificada, considerando-se os últimos 10.000 estados para efeito de cálculo. As figuras

(38.a e 39.a) mostram a taxa de aceitação das duas estimativas. Nota-se que a taxa de

aceitação dos estados para o modelo do terceiro tipo foi de aproximadamente 22%,

enquanto que para o modelo de condição de contorno de primeiro tipo a taxa de

aceitação foi de aproximadamente 15%. As figuras (38.b-f) e (39.b-f) apresentam as

cadeias de Markov para os parâmetros de transporte, obtidas nas estimativas utilizando-

144

se os modelos com condições de contorno do terceiro tipo e do primeiro tipo,

respectivamente. Pode-se observar que, com a utilização do modelo de condição de

contorno do primeiro tipo, as cadeias apresentam convergência mais cedo do que é

observado ao se adotar as condições de contorno do terceiro tipo, especialmente para o

parâmetro f.

Figura 38.a: Aceitação dos estados da cadeia de Markov utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

145

Figura 38.b: Cadeia de Markov para o parâmetro f utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 38.c: Cadeia de Markov para o parâmetro ρKd utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

146

Figura 38.d: Cadeia de Markov para o parâmetro λ utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 38.e: Cadeia de Markov para o parâmetro Dd utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

147

Figura 38.f: Cadeia de Markov para o parâmetro αm utilizando-se o modelo com condição de contorno do terceiro tipo, com medidas experimentais reais

148

Figura 39.a: Aceitação dos estados da cadeia de Markov utilizando-se o modelo de

modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 39.b: Cadeia de Markov para o parâmetro f utilizando-se o modelo de modelo

com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

149

Figura 39.c: Cadeia de Markov para o parâmetro ρKd utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 39.d: Cadeia de Markov para o parâmetro λ utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

150

Figura 39.e: Cadeia de Markov para o parâmetro Dd utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

Figura 39.f: Cadeia de Markov para o parâmetro αm utilizando-se o modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo, com medidas experimentais reais

151

Realizou-se uma última estimativa para se avaliar a influência da distribuição a

priori na convergência da cadeia de Markov. Utilizou-se novamente o modelo com

condição de contorno do primeiro tipo, porém desta vez utilizando outra distribuição a

priori para os parâmetros de transporte. Isto foi feito ao se aumentar a extensão dos

intervalos das distribuições uniformes de b dKρ e λ e alterando a média da distribuição

Gaussiana de mα , como apresentado na tabela 14.

Tabela 14: Distribuições a priori da estimativa de parâmetros de transporte para comparação

Parâmetro Distribuição Dados da Distribuição (modelo de modelo com condição de contorno do primeiro tipo)

f Uniforme Intervalo: (0 , 1)

b dKρ (g/cm3) Uniforme Intervalo: (0,6 b dKρ , 1,4

b dKρ )

b dKρ = 1,637 x 10-11

λ (cm) Uniforme Intervalo: (0, 2λ )

λ = 7,00 x 10-1

dD (cm2/s) Normal Média: dD = 1,00 x 10-5


mα (s-1) Uniforme Intervalo: (0,01 mα , 1)

mα = 5,00 x 10-2

152

As cadeias de Markov então calculadas estão representadas nas figuras (40.a-f).

Nota-se que, mesmo alterando todas as distribuições a priori, a cadeia convergiu para

valores semelhantes àqueles observados nas figuras (39.b-f). Isto indica a robustez do

código de estimativa de parâmetros por inferência Bayesiana pelo uso do método

MCMC para as cadeias de Markov, uma vez que em se alterando as distribuições a

priori dos parâmetros os resultados obtidos não sofreram alterações significativas.

Figura 40.a: Aceitação dos estados da cadeia de Markov, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

153

Figura 40.b: Cadeia de Markov para o parâmetro f, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

Figura 40.c: Cadeia de Markov para o parâmetro ρKd, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

154

Figura 40.d: Cadeia de Markov para o parâmetro λ, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

Figura 40.e: Cadeia de Markov para o parâmetro Dd, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

155

Figura 40.f: Cadeia de Markov para o parâmetro αm, alterando-se as distribuições a priori, com medidas experimentais reais

156

CAPÍTULO 5 - Conclusões e sugestões

Neste trabalho foi feita a estimativa dos parâmetros hidráulicos e de transporte para

amostras de solo por meio de ensaios em laboratório e o método de Monte Carlo com

cadeias de Markov.

Implementou-se um método experimental e de análise do problema inverso para o

estudo simultâneo do escoamento e da dispersão de soluto em meio poroso não

saturado. Foram estudados o escoamento, medindo-se a variação da carga no interior da

coluna em virtude da mudança do teor de umidade, e também a migração de soluto no

meio poroso, com a medição da variação de concentração de traçador no líquido

efluente que sai da coluna. Para a modelagem do problema de escoamento foi

considerado um modelo baseado na equação de Richards e para a modelagem do

problema de transporte adotou-se um modelo de convecção-difusão de não-equilíbrio

físico em duas regiões (TRM). Neste caso, foram consideradas duas modelagens para as

condições de contorno. Foram apresentados os resultados das estimativas dos

parâmetros hidráulicos e de transporte, assim como suas distribuições a posteriori e os

gráficos das cadeias de Markov para cada parâmetro estimado. Os resultados obtidos

para as estimativas utilizando-se os dois modelos para o problema de transporte foram

comparados. Também foi estudada a influência da escolha da distribuição a priori dos

parâmetros estimados na convergência da cadeia de Markov.

Foi desenvolvido um código computacional em linguagem FORTRAN para a

estimativa de parâmetros por inferência Bayesiana, com a utilização dos métodos de

Monte Carlo com cadeias de Markov (MCMC). Para a determinação do problema direto

nesse código, utilizou-se uma formulação por volumes finitos para a solução das

equações diferenciais que governam os fenômenos hidráulicos e de transporte. Para a

157

verificação da solução por volumes finitos, foram feitas simulações do escoamento e de

transporte de soluto utilizando-se esta metodologia. Esses resultados foram então

comparados com aqueles utilizando-se o programa HYDRUS-1D. Para a verificação da

estimativa de parâmetros por inferência Bayesiana pelo método MCMC foi realizada a

estimativa de parâmetros hidráulicos em coluna de solo a partir de medidas

experimentais de fluxo acumulado na descarga da coluna e os resultados obtidos foram

então comparados com aqueles disponíveis na literatura (PARKER et al., 1985).

Os parâmetros de transporte foram estimados considerando-se os modelos com

condição de contorno do terceiro e do primeiro tipo no problema direto. Obteve-se um

bom ajuste da curva experimental de variação da concentração de soluto com a curva

calculada com os valores de parâmetros estimados ao se considerar o modelo de

condição de contorno do terceiro tipo. Ao se considerar o modelo de condição de

contorno do primeiro tipo, as curvas obtidas apresentaram também uma boa

concordância, apesar deste modelo não garantir a conservação de massa, o que pode ser

explicado pelo fato da concentração da solução afluente no experimento de coluna ser

conhecida. Ao se mudar a distribuição a priori dos parâmetros de transporte,

considerando-se o mesmo modelo para o problema direto, os resultados obtidos foram

muito próximos aos originalmente obtidos, o que mostra a robustez da metodologia de

estimativa de parâmetros utilizada.

Apesar de se ter observado a ocorrência de resíduos correlacionados, indicando que

o modelo matemático utilizado para a descrição do problema físico ainda pode ser

melhorado, foi possível utilizar de maneira bem sucedida a estimativa de parâmetros por

inferência Bayesiana, com a utilização dos métodos de Monte Carlo com cadeias de

Markov (MCMC), para se obter os valores dos parâmetros hidráulicos e de transporte

158

referentes ao problema estudado.

Por fim, o problema de escoamento pode ser também resolvido para o caso de

escoamento em não equilíbrio, de maneira a se abranger o caso de meios fraturados e

com forte ocorrência de caminhos preferenciais. O procedimento de estimativa

Bayesiana de parâmetros apresentado neste trabalho pode ser aplicado para a

caracterização de diferentes tipos de solos, o que possibilitaria a criação de um banco de

dados de propriedades físicas para a simulação do escoamento e transporte de soluto em

solos situados nas diversas regiões do Brasil.

159

CAPÍTULO 6 - Referências

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