Click here to load reader

Esential. Matematica - Clasa 7. Partea IIcdn4.libris.ro/userdocspdf/829/Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II - Marius... · Cuprins nLcesRA Cap. 1 - Calculu! algebric 1.1. Adunarea

  • View
    152

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Esential. Matematica - Clasa 7. Partea IIcdn4.libris.ro/userdocspdf/829/Esential. Matematica - Clasa...

  • Marius PERIANUIoan BALICAPaula BALICA

    ESENTIAL)

    Matematiciclasa a Vll-a

    II

    %/ cLueul \/nrreumogtruon\

  • CuprinsnLcesRACap. 1 - Calculu! algebric1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere .................1.2. lnmu llirea gi impS(i rea numerelor reale reprezentate prin litere .............1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor reale

    reprezentate prin litere.

    1.4. Formule de calcul prescurtat

    1 .5. Metode de descompunere in factori........Teste de eval uare ....................

    1.6. Ecuafia de forma * = a, unde a eQ ................Test de eval uare ..................

    1.7. Probleme cu caracter aplicativ.......

    Cap. 2 - Ecuatii gi inecuatii2.1. Rela[ia de egalitate in mul[imea numerelor reale. Proprieteti .................... 552.2. Ecua[ii de gradul I cu o necunoscutd.

    Ecua[ii reductibile la ecuatii de gradul I cu o necunoscuti.......................... 58Teste de eval uare ...........,........... 64

    67

    7"1

    75

    Teste de eval uare ...........................

    2.6. Probleme cu caracter aplicativ

    Cap.3 - Elemente de organizare a datelor3.1. Produsul cartezian a doui mullimi nevide. Reprezentarea punctelor

    in plan cu ajutorul sistemuluide axe ortogonale.Distanfa dintre doud puncte din plan

    3.2. Reprezentarea 5i interpretarea unor dependente funclionaleprin tabele, diagrame 5i 9rafice.......Teste de eval uore ...............,,.

    3.3. Probabilitatea realizdrii unor evenimente.

    7lt

    162"1

    25

    3242

    45

    4851

    2.3. Relalia de inegalitate < pe mulfimea numerelor reale.Proprietifi ale rela[iei de inegalitate. lnegalitd[i algebrice

    2.4. lnecualii de forma ax+b> 0 (,

  • Cap.4 - Rela[ii metrice in triunghiul dreptunghic4.1. Proiec[ii ortogonale pe o dreapti. Teorema indlfimii4.2. Teorema catetei..........4.3. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora..........................::.....

    4.4. No[iuni de trigonometrie in triunghiul dreptunghic4.5. Ariile poligoanelor studiate........

    Teste de eva I ua re ......................

    4.6. Probleme cu caracter aplicativ.....

    Cap.5 - Cercul5.1. Elemente in cerc. CoardS, arg unghi la centru.......5.2. Unghi, triunghi gi patrulater inscris in cerc................5.3. Pozifiile relative ale unei drepte fa[5 de un cerc...

    Teste de evaluare5.4. Poligoane regulate5.5. Lungimi 5i ariiin cerc..

    5.6. Probleme cu caracter aplicativ.......

    Cap.6 - Subiecte pentru evaluirile finale6.1. Variante de subiecte pentru tezi.....6.2. Variante de subiecte pentru evaluarea fina1i.............

    So1utii.................

    111

    t't41't7122125130137141

    1451491541s8"161

    1U166169

    't73

    176

    l,

    =6sf(!o

    IJ

    Ec(!-9

    t=OElttI6J'cc,

    =

    -

    4

    183

  • CAPITOLUL TCalcul algebric

    1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere1.2. inmul;irea gi impirfirea numerelor reale reprezentate prin litere1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor reale

    reprezentate prin litereTeste de evaluare

    1,4. Formule de calcul prescurtat

    1.5. Metode de descompunere in factori

    1.5.1. Metoda factorului comun

    L.5.2. Unlizarea formulelor de calcul prescurtat

    1.5.3. Metode combinate de descompunere in factori

    Teste de evaluare

    1.6. Ecualia de forma x2 = a, a e Q

    Teste de evaluare

    1.7. Probleme cu caracter aplicativ

  • CAPITOLUL 1

    Calcul algebricTema 1.1.

    Adunarea gi sciderea numerelor realereprezentate prin litere

    gtim cI ZJi + I Ji = 1Z + l';Ji = g16 . in general, 2a + 7 a = (2 + 7\a= 9a undea este un numlr real. Numerele 2a Si 7a se numesc termenii sumei 2a * 7a, iarnumerele 2 gi7 poartnnumele de coeficienlii lui a. ln s:uma 3x+2y numerele reale 3gi 2 se numes c coeficienli, iar .r gi y reprezintl partea literald.

    O sumd algebricd este o suml in care unele numere reale sunt reprezentate prinlitere. Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care aparaceleagi litere ridicate la aceleagi puteri.

    Exemplu. in suma algebricl 7a-2ry2 -4a+Ji +0,9ry2 +ll$+54 suntasemenea urrntrtorii termeni:

    o '7a cu4a qi cu 5a, a cilror sumd este a(7 * 4 + 5) = 8a;. -+-rf cu 0,9xf , a ciror sumr este {l (1 + 0,9) = -l,lxf ;. lE cr lh6,acirorsumreste r6(t+tl)=lzJi.Adunind temenii asemenea, se spune cd se re&tc termenii osemeneo, iar suma

    inilial[ este egali cu 8a-1,1ry' +12J5 .

    Exercifii. Reduceli termenii asemenea din urmitoarele sume algebrice:

    a) 1x+1222 -6ry +92' +20x+6xy + z2 ;b) l4x -l4y +1222 -l4x + 6y -82' +8y -322 ;

    Rezolvare. Folosind proprietilile de asociativitate gi comutativitate, avem:

    a) --7x+20x+1222 +922 +22 -6ry+6ry=e7 +20)x+(12+9+l)22 +(-6+6)xy=

    --l3x+2222 .

    b) l4x-l4y+1222 -l4x+6y-822 -l}x+8y-Zz' =L4 -fr+(-14+ 6+8)y +(12-8 -3\22 =22 .

    Proprietitile adunirii numerelor reale1. Asociativitatga: (a + b) + c = q + (b t c), oricare ar fi a,b, c e R .2. Comutativitatea: a + b = b I a, oicate ar fi a,6 e JR3.0 (zero) este elementneutru: alO=0* a= a,oicare arfi a e IR .4. Suma oricdror doul numere opuse 4 gi --a este egal6 cu 0: a + (--a) = -4 * 67 = S,

    oricarearfi aelR..Observatie. Suma dinhe numdrul real a gi opusul numlrului real D se numegtediferenya numerelor reale a gi b gi se noteazd cu a - b. Aqadar, a + (-b) = a - b .

    I

    l!t=tEr!lEoIJF

    =lr|F

    =

  • cuNoA$TERE $r EXERSAREf . in urmltoarele sume algebrice, subliniati termenii asemenea, conform modelului:

    'P H!2:k:!)-"?*!iat lsi* s-p: m"it w "." -1 " "rt * r-.

    2. Completafi urrnltorul tabel:

    Suma algebrici 2x+4y 7x- y 5.y+ x 17x 1,5y+0,(3)yCoeficientul lui x ICoeficientul luiy -l 0

    3. Completa[i urmitorul tabel:

    Termenul 6x 4a 3,5b 3-v4"7ry -3*y' -a'b' 3x3

    Opusul termenului

    4. Reduceti termenii asemenea:

    9-3.:-6::, * ,b)-f:i:::.r*.' *j*: i^1ir*2::!*-,--.- **i4t"{t:t-t}*-.-i-.irl-.F**2drl9r-:=---i i---j-#11i:&-:J-qr-F--"i- -i "i- -i

    5. Reduceti terrnenii asemenea:,a)7a-zi+la+l2a:=''" 1 ' b'st++t-:i+t*+i"1": 1 i ":

    ,c)!|c129+?or:J?"=.;"...,d)1'6-d,+!]!.yz5,d.t-t4-=.-.6. Efectuafi:

    !o{|.vzy:u1r1:1; i , , ' , i:"j::-i::i::il-t--:,:i:J::r,III'q:,e?1tra\{e;:;;5H-l*-l-*]"^t-*, ; , ; "i "; ; 'i"*l*i:,c|.ly.+Gy_2y^)_.2|7:.-.-"",".,"":-_ :"'i I ' : : l' ,,!)-!::9kb)-:-95b,-*90:i-i -i L i- .j-.,.-i-,-j - j- --:- --i--.i,--j--i" -: i

    tJ

    osaGo-

    Iaocl!-9

    D-sculo'=|!

    =

  • IIACUMULARE 5l CONSOLIDARE

    Rezolvare. b) 4x - x + 5y + 3x - 4y = (4x - x + 3x) + (5y - afl = 6x I !.

    10. Calculafi:

    Rezolvare. b) (7 x + 2a) -(3c - -r) + (- x * a) = 7 x + 2a - 3a + x - x + a = 7 x'

    1 1. Calculati:

    9. Efectuafi:a) x+3y+4x-2y+x;c) 7a+3b+a-6b+b-Za;

    a) (2x-y\+(3x+4y)-x;c) (a+2b\-(a-2b)-4b;

    a) 3a+b+2c-2a+2b-c+a;c) 6a+5m-3n+5m-6a+3n;

    12. Calculafi:

    b) 4x-x+5y+3x-4y;d) l1a + 3c - 6c + 5a + 3c - 2a.

    b) (7 x + 2a\ - (3a - x\ + (-x + a);d) (lic -l4d\ + (t5d -r4c) - (c + d).

    b) 4x -2a +2x +3b + x + 4a + 5b;d) llx -32 + 4y +2x + z - y +22 -3y.

    a) 4x2 -3a2 +6x2 +a'-2x'; b) 6x2 -4y'-*'+3yz +x2 +y2;c) -3a2 +2b2 +o2 -b2 +4a2; d) m2 +2m2 +6n2 +m' -3n'.Rezolvare. a1 4x2 -3a2 +6x2 +a2 -2x2 =8x2 -2a2.

    13. Efectuati:a) 2, 5 x + 3,7 y - l,6x + 0,3y + O,lx; b) 2,6a + 3b - 1,7 a - 0,3b + O,la;

    c) l,2x-0,4b+b+0,8x-0,6b; d) 0,25x-1,1y+0,25x+ y +0,5x.14. Efectuati:

    (x x x\ (t I I \ - : I 5 7 Io l;.;.i)-lr-* ,'*A* ), b) Ax+ix--x+-x+rx;x 2x 4x 7x x ,.26 I 7 7 18q ;.;-i+:-x+l; tt) 7x--x +-x--x+r5x'

    xlxllndicatie. a,) r= r*, i = i*,...

    15. Calculafit -rot qL * + zL o + e! * +l! o - l- o -eL, - s' 4 5 2 2 lO 3

    '12*;

    nt 21,-(-1r')-l! u*s**(-z!v*lr \ ( t 13 )'6 t5 ) 8' \ s"+'',J-[r'-oo')'

    I

    C'f

    =IEIE

    sUIJF

    =ltl!--

  • IJ

    6g).E

    CL

    t,

    Ec(o-9

    :,=EaIE)'='!=

    "t (. i.' ., l.').(r| o . r|,,).(i.,. i o ),at r fr,, -l(#., - * -)-(*", - i*))- **

    16. Calculati:

    0 3Jix + 4Jix - s"fzx + t J-zx;D J so * + J-tz * - J-t z * + Jfr *;4 J-ax + J n x-.l[ + Ji oa, +.f+sr;a) J zo* + J-tzs *+ J+s, - Ji so, *./fr *.

    17. Calculati:

    0 3"f-6 x + 4.1-5 x - s ^fax * ^l-s x;D J-zs * * J-ah - Jfr * + J-qs * ;O eJ% + Jsqla -.1 ua + lzJe + Jx)" + Jsso;a) tJ aa + gJt so - #+ I a + 1J tm - zJE)t + t.J-tt - rc{a o.

    18. Fie numerele: A = 2x-3, B = 4x -'7 gi C = 6x-5 .Calculali:a) A+B; b) A-B; c) A+B+C;d) A+(B-C); e) -A+B-C; 0 (A-B)+(B-C)+(C-A).

    1 9. Considerlm numirul 7g = (3x' * y' ) - @' + l) + (l - yr ) .c/ Calculafi iI, dacl x =2;i y = 4;b) fudtati cE y'f > 0, oricare ar fi x,y e IR .

    20. F ie A = (5 + o,zsx' ) - {z,s r, + 2,7 s) - (2,25 - 3,25 x2 ). Ar;tali cd A este pdtratperfect, pentru orice valori ale numlrului natural x.

    rrrAPROFUNDARE gt DEZVOLTARE

    21. Dacd x +2y = 5 gi 2x + y = 3, calculali:a) 3x+3y; b) y-x; c) 4x+5y; d) 7x+5y .

    22. Efectuafi:a) x + 2x + 3x +...+ fu;b) x + 2x + 3x +...+ 25x;c) i +zx2 +3i +...+ lool .

    23. DacI x +2y - 5= 0, calculali (3x + 6y -t4)tM .24. Scrie,ti numIrul N =(4a'+3b')-(za'+zb'+g)+(rz-b2) ca sumil de dou6

    pEtrate.

  • Testul 1(3p)l.Calculafi: a) x+2x-5x+8x; b) x3:xz +3x; c) (x+1)(x+3).l2pl 2.Efectuafi, respectand ordinea efectulrii operaliilor:

    (x + 1)(x2 - 2) - 2x2 (x -l) + x(x + l).(1p) 3. DacLx+ y = 3, calculali valoarea numIrului:

    a = 2(x + y) + 3(x + y)2 + 4(x + y\3 .

    (1p) 4. Aretaf cd a = 2, oricare ar fi numlrul real x, unde

    a = 2(x' -3x +l) - (2x+ l)(x - l) + 5x -1.(1p) 5. Calculali o.b,tnde

    a = 0,25x.2x +2x' .1,7 5 - 4x.1,25x gi

    b = 2,4x3 : (2x) - 0,6x4 : (3x2) + 3x : (0, 5x).(1p) 6. Aflafi aria unui pltat care are perimetrul egal cu 8r , unde x e N *

    NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acord[ un punct din oficiu.

    Testul 2(3p)l.Calculafi: a) 2x-x+8x-6x; b) 4xs:(2x3)-2x'x; c) (x+l)(x-2).(2p) 2. Efectuali, respectlind ordinea efectuirii operafiilor:

    (x - 3)(x2 + 1) - r(x2 + 2x) + x2 (x - 2).(1 p) 3. DacL x - y = 2, calculafi valoarea numirului:

    a = 3(x - y) + 5(x - y)' - 2(* - y)' .(1p) 4. Aret4i cL b = 3, oricare ar fi numlrul real x, unde

    b =3(x3 -x2 +2x)-(x2 +l)(3x-1) +2x(x-l)-x+2.(1p) 5. Calculafi a. b,wde

    a = 1,5x2 .2x -3x3 .1,25 + 6xa : (4x) + (0,5x)' ., gi" b = (0,1x)2 .(10x) : x2 +0,3x.3.

    (1p) 6. Aflati aria unui pltrat care are perimetrul egal cu l2ry,wde r, y e N * .

    NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordi un punct din oficiu.

    I

    IEJ

    t!r!tE

    UIJl-

    =IIF

    =21