Anton NECRILAMaria NECRILA

Soluliile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

https://www. ed itu rapa ralela4 5.ro Idown load/sol utii_teste_de_autoeval ua re

_consolidare_clasaS_p1 _201 9-2A20.pdf

matG 2000 - Gons0lidarc

mffi8msti0fralgGlrigG0mGttiG

Glasa a UllFa[artea !edilia a Vlll-a

1. Teste cu erercilii gi probleme recapitutrative pentru pregitirea testlrii iniliale.............52. -\{odele de teste pentru evaluarea iniliald ........14

Capitolul I. Numere reale1. Mullimi de numere. Forme de scriere a unui num[r .................. .............1 g

Test de autoevaluare .....".................2,52. Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .........."........273. Reprezentarea pe axd. Ordonarea numerelor reale. Valoarea absolutd.Aproximarea nurnerelor rea1e............ ..................2gTe.st de autoevaluare .............".... .........................354. Intervale de numere reale.......".... ..........."........37

4.1. Intervale in R. Defini{ie, reprezentare pe ax5."......" .........................374.2. Operalii cu intervale .............4A

Test de au|oevq|uare ...............".. ...................."....455. Recapitulare qi sisternatizare prin teste............ ......... .........476. Opera{ii cu numere rea1e.........".. ............".......4g'fest de autoeyalttore.".....".......... ........".............,..5g7. ltecapitulare Ei sisterratizare prin teste.......".... .........."........618. Probleme de nratematicd aplicat[ in via{a cotidian[".... .."....63

Capitolul II. Calcule cu numere reale reprezentate prin litereA. Opera,tii cu numere reale reprezentate prin litere... ......64tr. Adunarea gi scdderea.. .................642. Inmulfirea. Imp5rlirea. Ridicarea la putere...... ......."............663. Ordinea efectudrii operaliilor algebrice..... ......69Test de autoevaluare .......................714. Formule de calcul prescurtat .......73

4.1. Pdtratul sumei (diferenlei) a doi termeni ......................734.2. Produsul sumei cu diferenla. .....................754.3. Pdtratul sumei a trei termeni .....................77

5. Descompunerea in factori.......... ......................7g5.1. Metoda factorului cofirun......... ...........".....79S.2.Utilizarea formulelor de calcul prescurtat ....................g15.3. Gruparea termenilor ..............935.4. Metode combinate ................g55.5. Maxime gi minime. Inegalitdli algebrice ......................96

Test de autoevaluare .......................g96. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ......"............91B. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere .......931. Amplificarea. Simplificarea........... ......"..........93Test de autoevaluare .......................g72. Opera[ii cu rapoarte.. ...................99

GEOMETRIE

... 1 89

0c)l. L .{dunarea gi scdderea ."."""'"""7a

i.l. irunullirea. imp54irea. Ididicarea la putere.....' 101

l.l. Oldinea electuirrii opera{iilor 9i folosirea parantezelor .....'.."..",.."" 103

Tc s t cle r:tioettaluare 109

-3 . Recapitulare gi sistematizare priti leste ............ ........ 1 X 1

.tr. Pr obleme de matematic[ aplicatd in viala cotidianb

T'est de auloeveluare ........."......""... 1 37

9. Pozi{iile relative a doud plane. Plane paralele. Distanla dintre doud piane paralele.....139

1 0. iuallirnea prismei....,. ............... 1 43

11. Secfiuni parale lc cubaza in cotpurile studiate. Trurrchiul de piranrid[....."."..".."'..'.144

Te.:t de autoevoluarr: ".......14712. Problerne rie matematicd apiicatd in via{a coti<lian1..'.. .....'............""" 149

13. Recapitulare gi sistematrzareprin teste...." ...............""" "150

Capitolul II. Froiec{ii ortogonale pe un planl. Proiectii de puncte. de segmenre de dreaptb gide drepte pe un pian..". . ....... 153

2. Unghiul clintre o r]r:eaptd gi un plan" Lungimea proiecfiei unui segment................,..156

7"est cle at,tloettaltrot'e .................. ....'.'........""""" 159

3. T'eorerna celor trei perpencl.iculare. Calculul distanlei de ia ttn punct la o dreapt6.

Clalcului distan{ei rie la nn punct la un plan. Clalculul distanlei dintre dou[ drepte

paralele ......."""""""' i61

Te.st tJe atrloet'aluare "'....'.".""""' i65

4. Recapitulare qi sistematizare prin teste ...........' ......"..'.'..'.1675. Unghi diedru. Unghi plan corespunzdtor cliedmlui. Unghiul dintre doui plane....."." 16tl

5. Plane perpencliculale.............".. ............'....""1 71

l'e.st rle autoevalua.r'e ............'.".."'i757. ProbLeme de matematicd aplicatd in via{a cotidian5..... ..117

8. Recapitulare gi sistematizare prin teste ....."...... ..'......'.'.....178

Modele de teze semestriale

Algebri

Capitolul INumere reale

Observalii:r\Z* :Z\ {O};inplus, sd

Go r, € N*. Ar"rn cdZ' c.Zg\

b) Avem, pentru x, y, z, t e

i) x+y eZ,x-y eZii) Dacdx2 * Y2:O,afriii)x:yeZ,y+0da

x:yz+/,undereMultimea numerelor rrfi

o: i,r.Obeervalii:

a) Avem cd Z c. Q, iar r

6lregi. De asemeneq Q':b) Un numlr ra{ional es

Vom numi fracfie o pereche

It

,cltxry,z,t e

Cs.

::.'lli

.l.lt't1e , se oblin fraclii ec

i) amplificare: - =

iit simplificrr*, '

YOfraclie-..r..r'c . --

y

Un numlr rafional ca:: :

tbrma zecimali impiqin. .

in luncqie de lactorii ::,

tiactia zecimald poate ti:i) frac{ie zecimald finita

de 2 sau/gi numai factori d; 5

$1

-r

v

x

v

oI

HHH

(,ovloorci.(J.FoEq)+-o

=18

f[ Comp*entre rpecifiie

ldentificarea in exemple, in exercilii sau in probleme a numerelor reale 5i aformulelor de calcul prescurtat

Utilizarea in exercilii a definiliei intervalelor de numere realegi reprezentarea acestora pe axa numerelor

Alegerea formei de reprezentare a unui numdr real gi utilizareade algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale

Folosirea terminologiei aferente noliunii de numlr real (semn, modul, opus,invers, parte intreag5, parte frac[ionard) in contexte variate

Deducerea gi aplicarea formulelor de calcul prescurtatpentru optimizarea unor calcule

@ 1. Mullimi de numere. Forme de scriere a unui numer

Mulfimea numerelor naturale, notatd cu N, este N : {O; l;2;3; ... n; ...).

Observalii:

a) Mullimea notatd, cu N* este N. : { 1; 2; 3; ... n; .. .) 9i N. c N.

b) Avem, pentru orice r, y e N, c5:

i) x+y e N, x.y e N, gi consecinfele: x + y:0inseamnd x:!:Q,iarx.y: I

inseamnix:y:1.ii) x - y e N numai dacd x) y, iar x : y € N numai dacb existi z e N astfel incAt

y ' z : x. Dacd acest iucru nu are loc, se foloseqte teorema implrfirii cu restx : yz * l, cu I e N, 0 < t <y,y*0.

iii)y' e N, cu excep{ia cazului 00.

Mul{imea numerelor intregi, notatd atZ, este

at

st

oa)2,.:Z\{O\;inplus,sedefinesc: V, - {...;-n;...;-3,2; l\ qiZ*- {1;2;...;n;...},

.-Lr /? € N*. Avem cdZ. cZ Si,inplus, N c Z.

Z:Z v{0}vZ*b) Avem, pentru x, )), z, t e Z, cd'.

i) r+veZ,x ye-L,x'yeZ.ii) Daca ,' + Y': 0, atunci r -/ : 0.

iii)r:y eZ,)'*0dacdqi numai dacdexistd z eZ cur: )''z.incazcantrar,x : yz -f /, unde t e Z SiO < l/l < lyl.

, notat[ cu Q, este:

I - ,lQ: lr lexistd y.: eZ.-- + 0, astlel incAt x - !-l .

t z)

oa) Avem cd Z c Q, iar mullimea Q \ Z se numegte mullimea numerelor ra{ionale

neintregi. De asemenea, Q-: Q \ {0}.

b) Un numlr ra{ional este reprezentat de o lractie de Fo*u I. cu r € Z Si y e Z-.))

Vcm numi frac{ie o pereche de numere intregi r, y, cu y + 0, scrish sub fbrma I . DouAv

- .. I Z:l'actii a qi :, cu x,)),2, t e Z, y' t + 0, se numesc frac{ii echivalente dacdxt : yz.Datd

yt

o tiac(ie I , se oblin fraclii echivalente cu ea prin:v

i) amplificar", "{ =! ,cu-tr,jt, teZ,y't+o;v y't

ii) simplilicu.*, It' :*t' ,cu.tr,f, teZ,y't+0;llrqirly.y y:t

O fracfie ! , ",, e Z, y + 0. se nume$le frac{ie ireductibil5 daca (x, /) : Iv

Un numir rational care are ca reprezentant o fracfie 't . ,. ., e Z, y + 0, se scrie subv

rorm[ zecimali imp6(ind numdr[torul -t ia numitorul y.

in funclie de factorii in care se descompune numitontl b al fracliei ireductibile 1,v

tiaclia zecimalS poate fi:i) frac{ie zecimali finiti, dach numitorul conline in descompunerea sa numai factori

de 2 sau/qi numai factori de 5; t9

oI

HHH

oorao\):o.U+(,Eq)l-o€

ii) fracfie zecimall periodicl simpll, dacd descompunerea numitorului in prodLrs de

factori primi confine al{i f-actori decdt 2 gi 5;iii) fractie zecimal5 periodicl mixtI, dac[ descompunerea numitorr-rlui in produs de

fhctori prinri contine factori de 2 sau/gi numai factori de 5. cAt gi un alt thctor prim.Reciproc: Daci ur.r numir ralional este reprezentat prirttr-o frac{ic zecimall, cl poatc

. rr.rn.tirnrat sub fbnnd de frac{ie ordinarl folosind reguli de transl'irrmare pentrLlirecare tip de fi'acfre zecimald:

i) frac(ie zecimali finitd o.b,b.b....lt,

{oi,z!;t;iy;,

{-'*,*}',,-'

= abrbrb....bn .

10" )

ii) fracfie zecimali periodicl sirnpli: ,,ftt,t"ttr.-trS = ,,LU\:!n ,

iii) fracfie zecimall periodicl mixti: ,nrbrt-rcrrr*q\- obtb'"'L'ctc,:ft-b'!'"'bo .

2e? epog. o/ cifre k cifre

c)Pentruoricex,"), € Q,avemcd x-l! e Q,r-l e Q,x..y E Q, x:y e Q, l+ 0,f e

€Q,x+0,peZ.Mulfimea numerelor ira{ionale, notatd cu IR \ Q, este mul}imea numerelor care se

scriu zecimal cu o infinitate de zecimale care nu se repeti periodic.Mul{imea numerelor reale, notatd IR., este mullimea formatd din reuniunea mullimii

numerelor ra{ionale cu mullimea numerelor iralionale. in mod asemdndtor, R- : R. \ {0}.

Avem qirul de incluziuni N c Z c Q c IR.

Exerci[ii rezolvate:

32,000 : l5:2,133...30--24

l5:5015-.50

45_-5

klR.E3\Q; l)R\QcL at -{rirad c5:

fi Jr; (ii) "5;fl Jnrt nuilrere ira,tionale.

bl Stabilifi valoarea de ader

(0 Produsul oricirord(i0 Suma oric6ror dou(iii) Suma dintre un nur(iv) Produsul dintre o

iralional.(v) Pdtratul oriclrui nr(vi) Orice numdr iralior

!" Amplificali fracliile: 6 ' 18

" ta'v{ Se consider[ fracliile: 9. -

10 1

naturald a numdrului 4, pentru

!. Amplific a1i tuac11ile: l.: )15.:egal cu c.m.m.m.c. al numitori

!. a) Care dintre fracliil.r 1; ]4tb) Amplificali cu 4 fracliilr

c) Simplificali cu 5 fractiilt

d) Determinali din girul un1612s52' 37' 6' 1133'

(i) ireductibile; (iii sul

a3'

oI

HHHgorno()rci.9+-gEq)+.o

=?o

a1

{. Se dn nrrmanrl -'".1.5

a) Scrie{i numlrul sub fonnd zecimall.b) Stabiliti care este a 23-a zecin"rall a liactiei.c) Comparafi citia miimilor cu cifra zecimilor.

Soltrlie:12

a) :2.1(3).i5

b) a23-a zecirnald este 3.

c) I <3.

+).1.

2. Fie murrirnea r : J 8 t: :' -15 ,,irz, .,6-E : -,[4'..r, ,f,1 1

t1: lbilr:

=' -fi'

"6(r': -G: 'r 'v 'l

Determinagimullimile:l nN, A e:Z,l nQ,l n (1R'.Q),1 Z^A- Q Eil R.

Solulie:Mulliruea,4 se mai scrie.

(l1A: 1-2: l: 5; -2Vl:l3t

-tLl: a, n i'l:rJ

O O O octivitE

nr.

g).--: -

Geometrie

Capitolul IRelafii intre puncte,

drepte Si plane

@ 1. Puncte, drepte, plane. Determinarea dreptei

Punctul, dreapta qi planul fac parte din noliunile debazd ale geometriei in spaliu. Elesunt noliuni primare: nu se definesc, dar pot fi descrise.

Punctul. Se reprezint6 prin atingerea vdrfului unui creion bine asculit de foaia de scris:., x. Se noteazd cu litere maril. A, B, C, ...

oI

HHH

(,ou(,Urci.9+oEq)l-(,

=113

;lf;omp,eienfe Cnecif i ce

Recunoa$terea gi descrierea unor proprietSli ale unor figuri geometrice planein configuratii date in spaliu sau pe desfSgurdri ale acestora

geometrice spaliale date

Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea prin desen,in plan, a corpurilor geometrice

Alegerea reprezentlrilor geometrice adecvate in vederea optimizlrii descrieriiconfigurali i lor spa!iale

Utilizarea proprietS{ilor referitoare la drepte gi unghiuri in spaliu pentruanalizarea poziliilor relative ale acestora

. Exprimarea prin reprezentlri geometrice a nofiunilor legate de drepte gi

unghiuri ?n plan gi in spaliu

Alegerea reprezentdrilor geometrice adecvate in vederea optimiz5rii descrieriiconfiguraliilor spaliale gi in vederea optimizlrii calculelor de lungirni desegmente gi de mdsuri de unghiuri

, lnterpretarea reprezentlrilor geometrice gi a unor informalii deduse dinacestea, in corela[ie cu determinarea unor lungimi de segmente gi a unormdsuri de unghiuri

Clasificarea corpurilor geometrice dupE anumite criterii date sau alese

Transpunerea unei situa[ii-problenrd in I imbaj geometric, rezolvareaproblemei oblinute gi interpretarea rezultatului

oI

HHH

ooiaoc

)o.9+oEq)+o

=

Dreapta. Este formatd din puncte gi se reprezinti printr-un fir de a!6 foarte subfireintins la nesfdrgit in ambele sensuri. Se noteaz[ cu litere mici: a, b, d, ...

DacE punctele A qi,B sunt pe o dreaptd, atunci putem nota dreapta cu AB.

Planul. Poate fi asem6nat cu suprafala linigtitl a unei ape. De asemenea, planul estenesf6rqit in toate directiile. Se noteazd cu litere din alfabetul grec: o, F, !, fr, ... Un plancare confine trei puncte necoliniare A, B qi C se noteazb prin (ABQ. Planul se reprezintiiprintr-un paralelogram.

Propozifiidespre puncte, drepte gi planeP,r. Prin doui puncte distincte trece o dreaptd gi numai una. Orice dreapti are cel pu.tin

doud puncte distincte.

Pr. (Axioma paralelelor sau Postulatul lui Euctid). tntr-un plan, printr-un punctexterior unei drepte se poate duce o paraleld gi numai una la acea dreaptd.

Fiind date trei puncte necoliniare, existi un plangi numai unul care sI le confind. intr-un plan exista celputin trci puncte necoliniare.

Dacd doud puncte distincte A qi B sunt situateintr-un plan, atunci dreapta determinati de ele are toatepunctele in acel plan.

Daci doud plane distincte au un punct comun,atunci ele mai au cel pulin incd un punct comun.

Consecin(I: Dacd doua plane distincte au un punctcomun, atunci ele au o dreapt5 comun5.

Existd patru puncte nesituate in acelagi plan

. (acestea se numesc necoplanare).114

Problemi rezolvati:

1. Se considerd puncteleliniare.

a) Determinali c6te drq

b) Dacd s{^esc:84 cfiSolulie:

a) Dreptele sunt: AB, Al

b) s4nuc- BC'd@ I

rz _ BC.d(D, BC)*+A.qL'D - =.12

trCompletafi spaliile punc:.a) Trei puncte necolinia::b) Prin doud puncte disrr:c) Dacd doud plane disti:d) Patru puncte necoplar.:Stabilili valoarea de ade-.a) Oricare trei puncte su:b) Patru puncte coliniar.' .

c) DacE doud plane au d...d) Patru puncte, dinrre c":Scrieli toate dreptele dere:

Fiind date patru puncre .t.;ate doud in fiecare din :ir;,.

a) oricare trei dintre pur;::b) trei dintre puncte sun. .-

c) punctele sunt necopl::.a) C6tor drepte poate si .c .

b) C6tor plane pot sd le "::

O O O activiti

BYB

X

lFErffi".,=.

Problemi rezolvati:

{. Se considerb punctele A, B, C, D necoplanare, oricare trei dintre puncte fiind neco-

liniare.

a) Determinali cAte drepte se pot ob{ine unindu-le doul c6te dou6.

b) Dacd s{Lqac : 84 cr}, d(1, Bq: 14 cm qi d(D, Bq : 15 cm, calculali drcco.Solulie:

a) Dreptele sunt'. AB, AC, AD, BC. BD gi CD, deci 6 drepte.

b\ ,'/Laac - BC 'd(:4' BC\ , 84: BC

^14 => BC: 12 cm.

BC.d(D. B; t2 ts l. ./ tB<'D =) , /LBCD : )

:) .' / \BCD : YU Cm . It-

O O O octivit6ti de ?nvdtore O O O

Completafi spaliile punctate cu rdspunsul corect:

a) Trei puncte necoliniare determind un ....b) Prin doub puncte distincte trece o gi numai una.

c) Dacd doud plane distincte au un punct comun, atunci ele au o .. . . '.... comund.

d) Patru puncte necoplanare determina drepte.

Stabilili valoarea de adevdr a fleclreia dintre urmdtoarele propozilii:

a) Oricare trei puncte sunt coplanare.b) Patru puncte coliniare sunt coplanare.c) Dacd doud plane au douS puncte comune, atunci ele au o dreaptd comun6.

d) Patru puncte, dintre care oricare trei sunt coliniare, determind o dreaptS.

Scrieli toate dreptele determinate de punctele date in figura de mai jos.

4. Fiind date patru puncte A, B, C 9i D, stabilifi cdte drepte se pot obline unindule dou6

c6te doub in fiecare din situaliile:a) oricare trei dintre puncte sunt necoliniare;b) trei dintre puncte sunt coliniare;c) punctele sunt necoplanare.

5. a) Cdtor drepte poate sd le aparlind un punct dat?

b) C6tor plane pot sd le aparfini doud puncte distincte date?

oI

HHH

oov)(,U:<i.9+(,Eq)+o=115

ta

!in

PElAplicare si exersare **

nct

d

\)

*

nsuri

1" Teste cu exercilii gi probleme recapitulative pentru pregitirea testirii inilialeALGEBRATestull:1.a)3;b)2;c)4;d)1;e)2.2.a)m,:25;mr:24;b)m":37,5;mr:36;c)m,:|Ji;

m,: t2; d) m.: ,ll ; *r: Ji .s. .a)

s: {3}; b) ,s: {;} , ., s: {-6; 2}; d) s: {-3; e}. 4.200:ei.

5. a)39; b) 8.6. a)3x(x+ f)';U;1,+ 1)(4x-3); c) (x- 2)(x+a); d) (x+2)(x+4);e)(x- z)(x_ 6);D @ - 2)(t + 2)(x + 3). 7 " A : {t, 2, 4, s, 6, e}.

Testul2: l.ar f <E;bl -+r-+:c)0.2<0.r2):d) {.5>-0,(5)re)0,r(2)>0.(r2): r')-0.1(4)<t4 15 4 s

<-0.(34). 2.a)a- h:4:b) a:b -4.3. An e: {-r.r,-3.5ror: 19 3ll_ I -:il,on0R e):: {+, Ji; *r"5' .6

i . 4. ay mo : g.,t ms: 6r br *" : :!9: mr : 6.. c\ mo .-3: ,r, : .A ;12 )

d) m": 2Ji ; mr:2. s. a)-4; b) 36; .) -: 6.320 rei.7. Ecua{iile au aceea;i solu{ie. a) x: 1;2

b) x:4; c) x: 6.

Testur 3: l. a)F: blA:c)A;dr F: e) F; 0 F. 2.A ne: {*r.t, s, !, -5.t2lr g; -[] 3. a)g=t 3 3 3):{-la};b)S:{7};c):re {-4:2};d)x e {-8;-2}.4.t8feteqi12bdieli. S.a:7x-5;a)x:1;ur.. {-l, z|;o*. {1,9};d)x:r.6.a)-:; ur +1r cr 3.6.| 7 ) 17 1) '4'-'"'"'restuf 4: t.*+;tt]; c)1.2.a)xe{4;4};b)xe{-5; 7};c)x. {-:.6; s".6} ;a) xe{-4;6}.3.300 lei.4.a)Frac{iasimplificatdeste-r+ l gicum xeN-, atuncix+ I eN-; b)x+3 eN-,

(v)xeN.. 5. a) s: { 8}; b) s: {s}; c).!: {-4; 2}; d) s : {*Jr, ili} . a.a) 6; b) $, r,,7.4: {-3,-2,-1,7.2,3,4,1,6,7,8,9};B: {-12,-3,0,7,2,3,6,15};Ar-,8: {.3,1,2,3,6}.Testul5: 1. a) a< b;b) a> b; c) a> b; d) a < b.2. a) a: l; b:9;b) i,: S; ms:3.' 3. aj n':25;b) n: 1; c) n : 71. 4" 240lei, rest 96 lei. 5. a) S : {-2}; b) S : { t;7}; c) S : {_+.6; 2.6} ; a) S _

: \-zJi-L 1). 6.Cad(A n e):5.7. a) (x_ 2)(x-7); b) (x+2)(x- 8); c) (x+ 1)(3.r_ 1);

d) (x + 2)(x - 3) (x i- 3), e) (x + 3)(5 +y); f) (;r + 4)(x + 7).Testul6: l.a)a: b:1;b) a:b:3.2.A:{-13;-6;4;-3; 2;-I;t;8};r:{_5; 3,_2;_1;0:3};A r,.t B : {-13; 6; 4; -3 -2; -1;0; I ; 3; 8}; A o B : {4; -3; i;-1 }. 3. a) J5 ; D -2Jl _ SJi ;

Q1.4"300 1ei.5.xe {-4;-1;1; 3; 4; 5; 8}.6.a)m,:3;me:7;b)m,:4;ms:2;c)m.:t;ms:J6: + 7.ata--2:b-3;b)a: -t:b:-2:c)a:-JJ: b: -2,t7:dta: -!,u: +/\

ol

HHH

o(n

-ir.9{-

q)+-

€

189

lndic