Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai matriks dan ... · PDF filesalah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan ... interpolasi polinominal p(x ... Contoh soal:

Ributhermanto201043118 mekanika untuk Universitas

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl

Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga

matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai

salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks

teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,

lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut












x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12


Jawab:














x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12


Jawab:




B1 x 1 ,. Untuk merubah a11 menjadi 1

B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a21 menjadi 0



B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a32 menjadi 0

B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi

Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3








Eselon-baris)


x + 2y + z = 6

y + z = 3








Eselon-baris)


x + 2y + z = 6

y + z = 3


z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya

lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi

Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke

dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks

Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-

variabelnya tanpa substitusi balik.


x + 2y + 3z = 3


2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5


Jawab:



Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1



Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1


2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5


Jawab:








2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5


Jawab:










Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-

baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar.

Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari

interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x

2+a1x+a0

bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)

2+p(x)=a1(x-x0)+a0

dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita

tuliskan menjadi





baris tereduksi)


Bentuk Newton






2+a1x+a0


2+p(x)=a1(x-x0)+a0


tuliskan menjadi





baris tereduksi)


Bentuk Newton






2+a1x+a0


2+p(x)=a1(x-x0)+a0


tuliskan menjadi


p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton

form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran

simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang

berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada

gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan

operator refleksi. Operator ini bersifat linier.




p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0



Operator Refleksi




x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y








p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0



Operator Refleksi




x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y






Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi

tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang


x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y


Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx

T adalah:

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang

memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang

melalui asalnya.


Operator Proyeksi




x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y



T adalah:



melalui asalnya.


Operator Proyeksi




x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y



T adalah:



melalui asalnya.


Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut

operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat

operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif

yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ

adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari

rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r

sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ

w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w1 = x cos Θ - y sin Θ

w2 = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier

sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:


Operator Rotasi







sin (ɵ + ɸ)










Operator Rotasi







sin (ɵ + ɸ)










Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di

titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm +

am-1xm − 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data.

Kurva ini harus memenuhi

karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

=

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n

= m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):








=










=




= (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan

elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem

Vandermonde.

Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem

Vandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

=


= (1)



Vandermonde.

Contoh soal:


Vandermonde.

Jawab:


=


= (1)



Vandermonde.

Contoh soal:


Vandermonde.

Jawab:


=


Untuk data di atas, kita mempunyai

=

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi

dengan 3



=




dengan 3



=




dengan 3


Baris ke-3 dikurangi baris ke-2


Baris ke-4 dibagi dengan 2


Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas














Jadi, interpolasinya adalah

Eliminasi Gauss-Jordan

Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon

baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris

tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris

yang dilakukan.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan

oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama

pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan

dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Misal kita punya matriks berikut:







yang dilakukan.


















yang dilakukan.













Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.

Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk

menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)

Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah

1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1

utama.

Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)

Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris

di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.


-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi

dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga

seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris.

lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol

baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama

-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah

1 utama.


baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1

baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.

Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas,

tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk

memperoleh nol di atas 1 utama.

kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.


-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama

5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama

Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah

6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.

Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan

x1 + 2×2 +3 x4 = 2

x3 = 1

x5=2

Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk

memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).

dapat dilihat di sini Eliminasi gauss-jordan

Soal terapan eliminasi gauss jordan

1.pabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk

masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.


Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan

Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan

Kirchoff pada tiap lup arus.

Persamaannya adalah :

Apabila kita susun kembali, maka :


Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik

menjadi :

Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan

tegangan masing-masing, sehingga :

Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan

menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :


1. Metode Eliminasi Gauss

Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain.

Maka :

Matrik augmentasinya menjadi :

Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan

baris ketiga kolom kedua bernilai 0.

Matrik triangularisasinya menjadi :


Maka arus masing-masing hambatan :

2. Metode Cramer

Matrik yang digunakan :

Determinan matrik A adalah :

Solusi numeriknya adalah :


Documents

Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai matriks dan ... · PDF filesalah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan ... interpolasi polinominal p(x ... Contoh soal: