Upload
nguyenkhanh
View
263
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Interpolasi Polinom
Komputasi dalam Bioteknologi
FTP – UB
Interpolasi
• Metode untuk menentukan nilai di antara dua nilai yang telah ditentukan, dimana suatu interpolasi itu menghubungkan data-data yang sudah ada.
• Ekstrapolasi
– Metode prediksi terhadap titik-titik yang akan muncul dimana adanya perluasan data di luar data yang tersedia, tetapi tetap mengikuti pola dari data yang tersedia
Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Interpolasi Linier
Interpolasi Kuadratik
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
Interpolasi Kubik
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
7
Interpolasi Linear
001
0101 xx
xx
xfxfxfxf
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut
Contoh: f(x) = ln x
(1, 0) dan (6, 1.791759)
x1 = 1 dan x2 = 6:
f1(2) = 0.3583519
(1, 0), (4, 1.386294)
x1 = 1 dan x2 = 4
f1(2) = 0.4620981
ln 2 = 0.6931472
Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!
8
Interpolasi Kuadratik
02
01
01
12
12
201
01100
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
bxx
xfxfbxfb
1020102 xxxxbxxbbxf
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratik f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik di atas
Contoh: f(x) = ln x
Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
ln 2 = 0.6931472
9
Interpolasi Polinomial Newton
011
011
00
xxxxfb
xxfb
xfb
nnn ,,,
,
110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
ji
jiji
xx
xfxfxxf
,
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)
Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anx
n yang melewati n titik tersebut.
dengan
ki
kjji
kjixx
xxfxxfxxxf
,,,,
0
02111011
,...,,,...,,,,...,,
xx
xxxfxxxfxxxxf
n
nnnnnn
Rekursif!
10
Contoh Interpolasi Polinomial Newton
2103102010 xxxxxxbxxxxbxxbbxfn
182.065
791759.1609438.1,203.0
46
386294.1791759.1,462.0
14
0386294.1, 231201
xxfxxfxxf
020045
203018200520
16
46202030123012 .
..,,.
..,,
xxxfxxxf
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3
f3(2) = 0.629
008015
)0520(02000123 .
..,,,
xxxxf
11
Contoh Interpolasi Polinomial Newton
x0 x1
x3
x2
12
Perkiraan Error Polinomial Newton
11
1
1
n
ii
n
n xxn
fR
!
n
n
n xxxxxxxxn
fR
210
1
1 !
110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
Untuk suatu polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:
Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita
gunakan
nnnnn xxxxxxxxxxxxfR 210011 ,,,,
(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)