En 1935 A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, en un ataque directo a la mecánica cuántica publicaron su famoso artículo en el que planteaban una aparente paradoja dentro de la teoría, basándose en principios de realidad propuestos por ellos.

 Al ser evidentes los resultados de la teoría cuántica, se propusieron a mostrar su incompletitud, en vez de su invalidez.

  Variables “escondidas”.

  Principio de realidad: Si podemos, sin alterar un sistema, predecir con certidumbre el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de la realidad física correspondiente a esta cantidad física.

  Principio de Localidad: Si dos sistemas están causalmente desconectados, el resultado de una medición hecha en un sistema no puede influenciar la medición hecha en el segundo sistema.

Criterios de Realidad

Se asumen dos criterios que debe cumplir una teoría física, para ser viable o real:

  Supongamos que tenemos dos sistemas (partículas), I y II que interactúan de t=0 a t=T, después no interactúan en forma alguna.

  Supongamos que conocemos los estados de ambos sistemas antes de t=0.

  Podemos calcular con ayuda de la ecuación de Schrödinger el estado del sistema combinado I+II en cualquier momento posterior, en particular t>T.

 No podemos calcular el estado en el que alguno de los dos sistemas está después de la interacción. Esto se puede hacer solo con ayuda de futuras mediciones.

  Sean los eigenvalores de alguna cantidad física A, perteneciente al sistema I y las correspondientes eigenfunciones, donde x1 son las variables utilizadas para describir al primer sistema. Entonces , considerada como función de x1 se puede expresar como,

  donde x2 representa las variables usadas para describir al segundo sistema. Los pueden verse aquí como coeficientes de la expansión de en una serie de funciones ortogonales .

a1,a2 ,a3,...

u1(x1),u2 (x1),u3(x1),...

Ψ

Ψ(x1, x2 ) = ψ n (x2 )un (x1)n=1

∞

∑

ψ n (x2 )

un (x1)Ψ

  Supongamos que hacemos una medición y nos da el valor ak. Se concluye que después de la medición, el primer sistema se queda en un estado dado por la función de onda y que el segundo sistema se queda en el estado dado por la función de onda , reduciendo el paquete de ondas a un solo término.

  Si en vez de esto hubiéramos escogido otra cantidad, digamos, B, con eigenfunciones obtendríamos otra expansión,

  Podemos reducir el paquete de ondas análogamente.

uk (x1)ψ k (x2 )

v1(x1),v2 (x1),v3(x1),...

Ψ(x1, x2 ) = ϕn (x2 )vn (x1)n=1

∞

∑

 Al hacer dos mediciones distintas en el primer sistema, el segundo sistema puede tener estados descritos por dos funciones de onda distintas i.e. , es posible asignar dos funciones de onda distintas a la misma realidad.

 No puede haber cambios en el segundo sistema al medir el primero, pues no interactúan.

  Puede ocurrir que las dos funciones de onda y sean eigenfunciones de dos operadores que no conmuten. Digamos P y Q.

  Entonces, si medimos P en el primer sistema, y medimos otra cantidad (dígase B) en el otro, podemos llegar a conocer Q, mediante la reducción del paquete de ondas.

ψ kϕr

  Entonces, asumiendo que la función de onda no tiene una descripción completa (1) o que cuando dos operadores no conmutan, las dos cantidades físicas no tienen realidad simultánea (2) son las únicas posibilidades.

  Llegamos a que la negación de (1) nos lleva a la negación de (2).

 He ahí la paradoja.

  Puede ser que los principios de realidad no sean tan restrictivos.

 Uno no llegaría a una paradoja asumiendo que:

 Dos o mas cantidades físicas pueden ser elementos de la realidad simultáneamente sólo cuando pueden ser simultáneamente medidas o predichas.

  P y Q no pueden ser predichas simultáneamente.

  Con lo que nos queda la medición.

  Lo cual contradice el principio de localidad.

  Considere el decaimiento natural de un mesón pi (pión) en un electrón y un positrón.

  El pión tiene espín cero, la conservación del momento angular nos indica que el sistema está en un estado:

  Estado de Bohm.

π 0 → e− + e+

Ψ =1201 − 10( )

  Estado correlacionado.

  Pero esto es independiente de la distancia.

  Supongamos que A y B están causalmente desconectados. Δx = cΔt

  Estado correlacionado.

  Pero esto es independiente de la distancia.

  Supongamos que Alice y Bob están causalmente desconectados. Δx = cΔt

  1 kParsec = 3.0856 x 1019m

  Con eigenestados de

  Si Alice mide +1, el estado de Bohm se colapsa a Bob medirá -1 y viceversa.

 No es posible simultáneamente para dos ejes.

  Variables “escondidas” .

Ψ =12( + − − − + )

+ y − σ x

+ −

  En 1964 John Bell propuso una solución a la paradoja de EPR.

  Supongamos válido el principio de localidad.

  Supongamos además que existen las variables escondidas, y que las propiedades físicas de una partícula existen siempre.

  Sólo una dirección se mide.

 Usamos un Stern-Gerlach por ejemplo

  Tomemos tres vectores unitarios en general, no mutuamente ortogonales.

  Lo que vamos a medir son proyecciones, .

 Deben ser estados complementarios (las dos partículas).

  Entonces, hay 8 opciones mutuamente excluyentes y disjuntas:

a,b,c

S ⋅a,S ⋅b,S ⋅ c

(a+,b−,c−)↔ (a

−,b+,c+)

N 3+N4 ≤ (N2 + N4 ) + (N3 + N7 )

 Alice encuentra positivo y Bob positivo.

  Esta desigualdad se da porque los Ni son positivos definidos.

  Tenemos las siguientes probabilidades:

 Desigualdad de Bell

S1 ⋅a

S2 ⋅b

P(a+;b+) = (N3 + N4 )

Nll

8∑

P(a+;c+) = (N2 + N4 )

Nll

8∑

P(c+;b+) = (N3 + N7 )

Nll

8∑

⇒ P(a

+;b+) ≤ P(a

+;c+) + P(c

+;b+)

  Este resultado es incompatible con la mecánica cuántica.

P(a+;b+) = (1

2)sin2 (θab

2)

  En 1982 Alain Aspect y otros colaboradores llevaron a cabo el experimento y observaron que la desigualdad de Bell se violaba y quela mecánica cuántica predecía bien lo que ocurría.

 No es posible tomar como verdadero el principio de Localidad.

  La mecánica cuántica describe mejor a la naturaleza.

  El entrelazamiento no sirve para mandar información.

  Problema de la medición (“aspecto moral”).

“. . . what is proved by impossibility proofs is lack of imagination.” -John S. Bell

“. . . quantum phenomena do not occur in a Hilbert space, they occur in a laboratory.” -Asher Peres

  A.Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).

  A. Aspect, J. Dalibard, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982).

  D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 1ª Ed. Prentice Hall.

  G. Benenti, G. Casati, and G. Stini, Principles of Quantum Computation and Information Vol 1, 1ª Ed., World Scientific.

  M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information 1ª Ed., Cambridge University Press.

  J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 2ª Ed., Addison-Wesley.

  J. S. Bell, Speakable and Unspeakable In Quantum Mechanics, 2ª Ed., Cambridge University Press.