ep3.nuwm.edu.uaep3.nuwm.edu.ua/5817/1/04-02-11.pdf · Методичні вказівки і завдання для самостійної роботи з навчальної дисципліни

Міністерство освіти і науки УкраїниНаціональний університет водного господарства та

природокористуванняКафедра вищої математики

04-02-11

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ І ЗАВДАННЯдля самостійної роботи

з дисципліни "Математичний аналіз" з розділу

"ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНИХІНТЕГРАЛІВ"

для студентів спеціальності113 "Прикладна математика"

денної форми навчання

Рекомендовано науково-методичноюкомісією зі спеціальності113 "Прикладна математика".Протокол № 3 від 25.11.2016 р.

Рівне ─ 2017

Методичні вказівки і завдання для самостійної роботи знавчальної дисципліни "Математичний аналіз" длястудентів спеціальності 113 "Прикладна математика"денної форми навчання / Кушнір О. О., Кушнір В. П. ─Рівне: НУВГП, 2017. ─ 52 с.

Упорядники:О. О. Кушнір, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики;В. П. Кушнір, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики НУВГП;

Відповідальний за випуск: Я. Г. Іващук, кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри вищоїматематики.

© Кушнір О. О., Кушнір В. П., 2017

© Національний університетводного господарства таприродокористування, 2017

Вступ

З метою надання студентам методичної допомоги докожної теми з розділу "Застосування визначених інтегралів"подано короткі теоретичні відомості та наведені прикладирозв'язання типових задач. Зокрема студентам пропонуютьсятакі задачі:

1. Обчислити невласний інтеграл (або довести йогорозбіжність).

2. Дослідити, при яких значеннях параметра невласнийінтеграл ─ збіжний.

3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданимирівняннями в прямокутних декартових чи полярнихкоординатах або заданими параметрично.

4. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколоданої осі фігури, обмеженої даними лініями.

5. Знайти довжину лінії, заданої рівнянням в прямокутнихдекартових чи полярних координатах або заданоїпараметрично.

6. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо даної осі лінії, заданої рівняннями впрямокутних декартових чи полярних координатах абозаданої параметрично.

7. Розв’язати задачу на знаходження сили тиску.8. Розв’язати задачу на знаходження роботи сили.9. Розв’язати задачу на знаходження витрати рідини.10. Розв’язати задачу на знаходження пройденого шляху та

середньої швидкості.11. Розв’язати задачу на знаходження моменту сили.12. Розв’язати задачу на знаходження маси.13. Розв’язати задачу на знаходження затраченого часу.14. Розв’язати задачу на знаходження площі отвору.

Всього наводиться 44 варіантів завдань.Автори висловлюють щиру вдячність рецензенту

Світлані Петрівні Цецик за виправлення, які покращили виклад.

3

§ 1. Невласні інтеграли першого роду

Нехай для всіх b>a функція f (x) ─ інтегрована

за Ріманом на відрізку [a , b] . Границя limb→+∞

∫a

b

f ( x)dx

називається невласним інтегралом першого роду і

позначається ∫a

+∞f (x )dx .

Невласний інтеграл називається збіжним, якщо цяграниця існує і є скінченною, та розбіжним, якщо вона не існуєабо нескінченна.

Аналогічно вводиться ∫−∞

b

f (x)dx , який також

називається невласним інтегралом першого роду.

Нарешті, ∫−∞

+∞f ( x)dx ─ це повторна границя

lima→−∞

limb→+∞

∫a

b

f (x )dx .

Функція f :ℝ→ℝ називається фінітною, якщо існує

відрізок, за межами якого вона дорівнює нулю, тобто

f (x)={ 0, x<a ;

g(x ) , a≤x≤b ;

0, x>b .Невласний інтеграл першого роду від фінітної функції

завжди ─ збіжний і дорівнює інтегралові Рімана:

∫−∞

+∞f (x)dx=∫

a

b

g(x )dx .

Приклад 1. Обчислити невласний інтеграл

∫−∞

+∞x2 f (x)dx (або довести його розбіжність), де

4

f (x)={0, x<2 ;

1x

, 2≤x≤5 ;

0,x>5.

.

Розв’язання. ∫−∞

+∞x

2f (x)dx=∫

2

5

xdx= x2

2 |25

=10,5.


∫−∞

+∞x f (x)dx (або довести його розбіжність), де

f (x)={0, x<1 ;

1

x2

, x≥1..


+∞x f (x)dx=∫

1

+∞dx

x=ln x|1

+∞=+∞ .

Інтеграл ─ розбіжний.


∫−∞

+∞x2 f (x)dx (або довести його розбіжність), де

f (x)={0, x<1;

1

x4

, x≥1..


+∞x2 f (x)dx=∫

1

+∞dx

x2=−1

x |1+∞=1.

Інтеграл ─ збіжний.

§ 2. Дослідження на збіжність невласних інтегралів

Нехай функція f (x) ─ неперервна на [a , с )∪( с ,b ] ,але необмежена в околі точки c . Сума однобічних границь

5

limt→c−

∫a

t

f (x)dx+ limt→c+

∫c

b

f (x)dx називається невласним

інтегралом другого роду і позначається ∫a

b

f (x)dx (так

само, як і інтеграл Рімана).Невласний інтеграл другого роду називається збіжним,

якщо обидві границі існують і є скінченними, та розбіжним увсіх інших випадках.

Теорема 1. Якщо функція f (x) є підпорядкованою

додатній функції g(x) при x→c

( f (x)=O(g(x)) , x→c ) ,

то із збіжності невласного інтеграла ∫a

b

g(x )dx випливає

збіжність невласного інтеграла ∫a

b

f (x)dx .

Наслідок. Якщо додатні функції f (x) та g(x) є

асимптотично рівними при x→c

( f (x)∼g (x) , x→c ) ,

то збіжність невласного інтеграла ∫a

b

f (x)dx рівносильна

збіжності невласного інтеграла ∫a

b

g(x )dx.

Аналогічно вводиться невласний інтеграл другого роду

∫a

b

f (x)dx у випадках, коли функція f (x) ─ необмежена в

околі точки a чи в околі точки b , або має декілька точок

розриву. Твердження теореми 1 та її наслідку переносяться і натакі інтеграли, як також і на невласні інтеграли першого роду.

6

Приклад 4. При яких значеннях параметра α невлас-

ний інтеграл ∫2

+∞dx

x lnα x — збіжний?

Розв’язання. Інтегруючи методом підведення під знакдиференціала, знаходимо

∫ dx

x lnα x=∫ d ln x

lnα x={ln

−α+1 x

−α+1, якщоα≠1,

lnln x , якщоα=1.Оскільки lim

b→+∞ln lnb=+∞ , то при α=1 цей

невласний інтеграл — розбіжний.

При α<1 знаходимо limb→+∞

ln−α+1 b

−α+1=+∞ , отже,

невласний інтеграл — розбіжний.

При α>1 знаходимо limb→+∞

1

(1−α)lnα−1 b=0,

отже, невласний інтеграл — збіжний.

Відповідь. Невласний інтеграл ∫2

+∞dx

x lnα x — збіжний

при α>1.



3ln x dx

|x−1|α — збіжний?

Розв’язання. Підінтегральна функція — необмежена воколах точок 0 та 1. Щоб розглянути ці випадки окремо, подамоневласний інтеграл у вигляді суми трьох інших, що маютьтільки по одній особливості.

∫0

3ln x dx

|x−1|α=∫

0

0,2ln xdx

|x−1|α+∫

0,2

1ln xdx

|x−1|α+∫

1

3ln x dx

|x−1|α .

7

Досліджуємо на збіжність перший доданок, використо-

вуючи наслідок теореми 1.ln x

|x−1|α∼ln x , x→0.

Методом інтегрування частинами знаходимо

∫0

0,2

ln x dx=x ln x|0,2

0−∫

0

0,2

dx=0,2ln 0,2− limx→+0

x ln x+0,2.

Границю знаходимо за правилом Лопіталя.

limx→+0

x ln x= limx→+0

ln x

1 / x= lim

x→+0

1 / x

−1/ x2= lim

x→+0(−x)=0.

Отже, ∫0

0,2ln x dx

|x−1|α — збіжний при всіх значеннях

параметра α .Досліджуємо за наслідком на збіжність третій доданок.

Використавши асимптотичну рівність ln(1+ x )∼x , x→0,

отримаємоln x

|x−1|α∼

x−1

|x−1|α=(x−1)

1−α, x→1+.

∫1

3

(x−1)1−α

dx — збіжний при α<2.

При всіх α<2 підінтегральна функція другого

доданкаln x

|x−1|α∼

x−1

|x−1|α=O (|x−1|

1−α ) , x→1, тому, за

теоремою 1, ∫0/ 2

1

(x−1)1−α

dx — також збіжний.


3ln x dx

|x−1|α — збіжний

при α<2.

8



+∞sin xα dx

x √x — збіжний?

Розв’язання. Подамо невласний інтеграл у вигляді сумидвох інших, що мають тільки по одній особливості.

∫0

+∞sin xα dx

x √x=∫

0

1sin xα dx

x√ x+ ∫

1

+∞sin xα dx

x √ x.

Для доведення збіжності другого доданка використаємотеорему 1. Оскільки |sin xα|≤1, то

sin xα

x√ x=O ( 1

x √x ) , x→+∞.

∫1

+∞dx

x √x=−2

√ x |+∞1 =2, отже, ∫1

+∞sin xα dx

x √x—

збіжний при всіх значеннях параметра α . sin xα

x√ x∼x

α−3/2, x→+0.

∫0

1

xα−3/ 2

dx — збіжний при α>1 /2 .


+∞sin xα dx

x √x —

збіжний при α>1 /2 .



+∞arctg x3 dx

xα — збіжний?

Розв’язання. Подамо невласний інтеграл у вигляді сумидвох інших, що мають тільки по одній особливості.

9

∫0

+∞arctg x

3dx

xα=∫

0

1arctg x

3dx

xα+ ∫

1

+∞arctg x

3dx

xα.

arctg x3

xα∼ π

2xα, x→+∞ .

∫1

+∞ π dx

2xα— збіжний при α>1 .

З іншого бокуarctg x3

xα∼x3−α , x→+0.

∫0

1

x3−α

dx — збіжний при α<4 .


+∞arctg x3 dx

xα—

збіжний при 1<α<4 .

§ 3. Обчислення площ плоских фігур Площа множини, обмеженої згори та знизу графіками

функцій M={⟨x , y ⟩∈ℝ2 |f (x )≤y≤g(x ), a≤x≤b} ,обчислюється за допомогою інтеграла

S (M )=∫a

b

(g(x )−f (x ))dx . (3.1)

Якщо функції f та g (або одна з них) задані пара-

метрично, то в цьому інтегралі робимо відповідну підстановку.

Наприклад, якщо y=g (x) задана рівностями

{x=x (t) ,y= y (t ),

то ∫a

b

g(x )dx= ∫x(−1)(a)

x(−1)(b)

y (t )x ' (t)dt . (3.2)

Якщо множина М задана в полярних координатах

нерівностями ρ1(ϕ)≤ρ≤ρ2(ϕ) , α≤ϕ≤β , то

10

S (M )=12∫α

β

(ρ22(ϕ)−ρ1

2(ϕ))d ϕ . (3.3)

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої

лініями x=0, y=2 та {x=4 cos t−2,y=6 sin t+5

(справа вгорі).

Розв’язання. Множина М зображена на Рис. 3.1.

Рис. 3.1. Множина М (приклад 8)

Як бачимо, графіком функції y=g (x) є дуга CА, а

графік функції y=f (x ) складається з відрізка DВ та дуги ВА.Знайдімо координати точок D, А, В, С. Абсциса точки А

є максимальною на лінії: x=2, що відповідає значеннюпараметра t=0. Абсциса точки С дорівнює 0, а ордината

y>2. Тоді з рівняння 4 cost−2=0 та нерівності

6 sin t+5>2 знаходимо t=π/ 3. Аналогічно знаходимо

значення параметра, яке відповідає точці В: t=−π /6. Тоді її

абсциса x=2√3−2.За формулами (3.1; 3.2) знаходимо

S (M )=∫π /3

0

y (t )x ' (t)dt− ∫0

2 √3−2

2dx− ∫−π / 6

0

y (t )x ' (t)dt=

11

D

A

x

y

B

C

M

y=2

O

=− ∫−π / 6

π /3y (t) x ' (t)dt−4√3+4=

=− ∫−π / 6

π /3(6 sint+5 ) (−4 sint ) dt−4√3+4=

=4 ∫−π / 6

π /3(6 sin

2t+5 sin t ) dt−4 √3+4=

=4 ∫−π / 6

π /3(3−3cos 2t+5 sint ) dt−4√3+4=

=6π−6√3−10+10√3−6√3+4=6(π−1) .Відповідь. S (M )=6(π−1) .

Приклад 9. Обчислити площу фігури, обмеженоїлініями, заданими рівняннями в полярних координатахρ=sinϕ , ρ=cosϕ+sinϕ (спільна частина).

Розв’язання. Множина М зображена на Рис. 3.2.


Лінії перетинаються при cosϕ=0, тобто ϕ=π /2.Іншою точкою перетину є полюс ρ=0. При кожному значеннікута спільна частина простягається від полюса до ближчої лінії.

12

О x

y

Знайдемо області визначення даних функцій,розв'язавши нерівності cosϕ+sinϕ≥0, sinϕ≥0.

Оскільки cosϕ+sinϕ=√2 sin ( π4 +ϕ) , то обидві

нерівності виконуються при 0≤ϕ≤3π / 4.Отже, за формулою (3.3),

S (M )=12∫0

π / 2

sin2(ϕ)d ϕ+1

2∫π /2

3π / 4

(cosϕ+sinϕ)2 d ϕ=

= 14∫0

π /2(1−cos2ϕ)d ϕ+1

2∫π /2

3π / 4

(1+sin 2ϕ)d ϕ= π8+ π

8− 1

4.

Відповідь. S (M )=π−14

.

§ 4. Обчислення об’ємів тіл обертанняНехай множина знаходиться з одного боку від осі.Об’єми тіл, утворених обертанням навколо

координатних осей множини

M={⟨x , y ⟩∈ℝ2 |f (x )≤y≤g(x ), a≤x≤b}

обчислюються за допомогою інтегралів

VOX(M )=π∫

a

b

|g2(x)−f2(x)|dx ; (4.1)

VOY(M )=2π∫

a

b

(g(x )−f (x ))|x|dx . (4.2)

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо полярної

осі множини М, заданої в полярних координатах нерівностями

ρ1(ϕ)≤ρ≤ρ2(ϕ) , α≤ϕ≤β , обчислюється за формулою

VOX(M )=2π

3∫α

β

(ρ23 (ϕ)−ρ1

3(ϕ))|sinϕ |d ϕ , (4.3)

13

а навколо прямої, перпендикулярної до полярної осі, щопроходить через полюс, — за допомогою інтеграла

VOY(M )=2π

3∫α

β

(ρ23(ϕ)−ρ1

3(ϕ))|cosϕ |d ϕ . (4.4)

Приклад 10. Обчислити об’єм тіла, утвореногообертанням навколо осі (OX ) множини

{ ⟨ x , y ⟩∈ℝ2| x2+ y

2≤−6 y ; x≥y } .Розв’язання (1-й спосіб). Виділивши повний квадрат у

рівності x2+ y2+6 y=0, напишемо її у вигляді

x2+( y+3)2=9. Це — рівняння кола з центром у точці (0,

-3) та радіусом 3.Множина М зображена на Рис. 3.3.


Вона обмежена згори відрізком АО з рівнянням y=x

та дугою ОВ з рівнянням y=−3+√9− x2

, а знизу —

дугою АВ з рівнянням y=−3−√9−x2.

За формулою (4.1) знаходимо

VOX(M )=π∫

−3

0

((−3−√9−x2)

2−x

2)dx+

14

-6

-3 0

y

x

A B

О

M

3

+π∫0

3

((−3−√9−x2)

2−(−3+√9−x

2)2)dx=

=π∫0

3

(18−2 x2+6 √9−x

2)dx+π∫0

3

12√9−x2dx=

=2π∫0

3

(9−x2 )dx+18 π∫

0

3

√9−x2

dx=

=36π+18π ∫0

π / 2

9cos2t dt=36 π+81

2π2

.

Розв’язання (2-й спосіб). Перейшовши до полярнихкоординат, отримаємо ρ≤−6 sinϕ ; cosϕ≥sinϕ . Оскількиρ≥0, то з першої нерівності випливає sinϕ≤0, отже,−π≤ϕ≤0 . При таких ϕ друга нерівність виконується

тільки тоді, коли −3π /4≤ϕ≤0 .За формулою (4.3),

VOX(M)=2π

3∫

−3 π / 4

0

(−6 sinϕ )3(−sinϕ )d ϕ=

=144π ∫−3π /4

0

sin4ϕ d ϕ=36π ∫

−3π / 4

0

(1−cos2ϕ)2 d ϕ=

=36π ∫−3π /4

0

(1−2cos 2ϕ+ 12+ cos 4ϕ

2 )d ϕ=81π2

4+36π .

Приклад 11. Обчислити об’єм тіла, утвореногообертанням навколо осі (OY ) фігури, обмеженої лінією,

заданою параметрично {x=5cost ,

y=3 sin t .

15

Розв’язання. Дана фігура є еліпсом, симетричним від-носно осі (OY ) . Права частина еліпса лежить з одного боку

від (OY ) . Зробивши у формулі (4.2) підстановкуx=5cos t , отримаємо

VOY(M )=2π ∫

π /2

0

3 sint⋅5cos t (−5 sint ) dt−

−2π ∫−π /2

0

3 sint⋅5cos t (−5 sint ) dt=

=150π ∫−π / 2

π /2sin

2t cos t dt=100 π .

§ 5. Обчислення довжин лінійДовжина лінії γ , заданої параметрично

γ :{x=x (t ),y= y( t) ,

α≤t≤β , обчислюється за формулою

l(γ)=∫α

β

√(x '(t ))2+ ( y ' ( t))2 dt ; (5.1)

довжина графіка функції y=f (x ) , a≤x≤b — задопомогою інтеграла

l(Γf)=∫

a

b

√1+ ( f ' (x))2 d x , (5.2)

а довжина лінії, заданої рівнянням у полярних

координатах γ : ρ=ρ(ϕ) , ϕ1≤ϕ≤ϕ2 — за формулою

l(γ)=∫ϕ

1

ϕ2

√ρ2(ϕ)+ (ρ '(ϕ))2 d ϕ . (5.3)

16

Приклад 12. Обчислити довжину лінії, заданої

параметрично {x=95

cos3 t ,

y= 94

sin3 t .

Розв’язання. Функції x (t) та y (t) — 2π-періодич-ні, тому −π≤t≤π . За формулою (5.1),

l(γ)=∫−π

π

√(−275

cos2t sin t )2

+(274

sin2 t cos t )2

d t=

=2∫0

π2720|cost sint|√16cos2t+25 sin2t d t=

=2,7 ∫−π /2

π /2|sin t cos t|√16 sin

2t+25cos

2t d t=

=5,4 ∫0

π / 2

sin t cos t√16+9cos2t d t=

=−2,7 ∫0

π /2

√16+9cos2t d cos

2t=

=−0,2 (√16+9cos2 t )3|π /20

=−12,8+25=12,2.

§ 6. Обчислення площ поверхонь обертанняПлощі поверхонь, утворених обертанням лінії γ

навколо осей (OX) та (OY ) обчислюються за допомогою

криволінійних інтегралів першого роду

SOX=2π∫

γ|y|dl; S

OY=2π∫

γ|x|dl . (6.1)

17

Приклад 13. Обчислити площу поверхні, утвореноїобертанням навколо полярної осі лінії, заданої рівнянням в

полярних координатах ρ=3√cosϕ .Розв’язання. Область визначення даної функції

−π /2≤ϕ≤π /2 .Із формули (5.3) випливає, що в даному випадку

dl=√ρ2(ϕ)+ (ρ '(ϕ))2 d ϕ=3√cosϕ+( −sinϕ2√cosϕ )

2

d ϕ=

=32 √ 4 cos

2ϕ+ sin2ϕ

cosϕd ϕ .

Далі знаходимо |y|=ρ|sinϕ|=3√cosϕ|sinϕ|.За формулою (6.1),

SOX=2π ∫

−π / 2

π /23√cosϕ|sinϕ|3

2 √ 4 cos2ϕ+sin2ϕcosϕ

d ϕ=

=18π ∫0

π / 2

sinϕ√4cos2ϕ+sin

2ϕd ϕ=

=18π ∫0

π / 2

√3 cos2ϕ+1d (−cosϕ)=18 π∫

−1

0

√3u2+1du=

=18π(u√3 u2+1| 0

−1−∫−1

03 u2

√3 u2+1du)=

=18π(2−∫−1

0

√3 u2+1du+∫−1

0du

√3u2+1 )=

=9π(2+ 1

√3ln|√3 u+√3u2+1|| 0

−1)=18

=9π(2− 1

√3ln (2−√3 ))=3π (6+√3 ln (2+√3 ) ) .

§ 7. Обчислення сили тискуСила тиску рідини на занурену поверхню дорівнює

добуткові площі поверхні на тиск у її геометричному центрімас.

Об’єм тіла обертання дорівнює добуткові площі фігурина довжину кола, яку описує її геометричний центр мас приобертанні.

Приклад 14. Обчислити силу тиску води на повнуповерхню вертикального кругового конуса із радіусом основи

R та висотою H . Конус занурений у воду основою внизтак, що його вершина знаходиться на поверхні води.

Розв’язання. Сила тиску на дно конуса

Fосн=ρgHS

осн=π R2ρgH . (7.1)

Площа його бокової поверхні

S=π RL=π R√R2+H

2. (7.2)

Глибина занурення геометричного центра мас

xc=1

S∫σ

xdS . (7.3)

Щоб знайти диференціал площі, напишемо спочаткуформулу площі частини цього конуса, що відповідає висоті x.

S (x)=S ( x /H )2 ; dS=2Sx /H2 .

Отже, за формулою (7.3), xc= 2

H2∫0

H

x2dx=2

3H .

Тоді алгебраїчно сумарна сила тиску на бокову поверхню

Fб=ρg

23

H π R√R2+H2 , а на всю поверхню —

F=πρg HR (R+ 23√R2+H 2) .

19

(Рівнодійна сила тиску дорівнює виштовхувальній силі

Fвишт

=π3

R2ρgH . ЇЇ можна отримати, віднявши від сили

тиску на дно вертикальну проекцію сили тиску на бокову

поверхню, тобто Fб

cosα=Fб

R /√R2+H

2 . )

Відповідь. F=πρg HR (R+ 23√R2+H 2) .

Приклад 15. Обчислити силу тиску води на греблю уформі прямокутника, завершеного знизу півкругом. Висотапрямокутника — H , а основа — 2R .

Розв’язання. Сила тиску на прямокутник

F1=ρgH

2⋅2RH=ρ g H

2R .

При обертанні півкруга навколо його діаметра

утворюється куля з об’ємом V= 43πR3 , а площа півкруга

S= π2

R2 . Тоді геометричний центр мас півкруга знаходиться

на відстані xc= V

2πS=4 R

3πвід його основи. Отже, сила

тиску на півкруг F2=π2

R2ρg (H+ 4 R

3 π ) . Тоді сумарна сила

тиску F=ρgR(H2+ π2

RH+ 23

R2).§ 8. Обчислення роботи сили

Робота дорівнює скалярному добуткові сили напереміщення. Якщо сила або переміщення — змінні, то роботадорівнює визначеному інтегралові.

Робота проти сили тяжіння землі при переміщенні навелику висоту обчислюється за формулою

20

A=mgR2 ∫

R

R+Hdx

x2, (8.1)

де R — радіус Землі, H — висота підняття, g —

прискорення вільного падіння, а m — маса тіла.

Приклад 16. Обчислити, яку роботу необхідно виконати,щоб викачати воду з горизонтальної циліндричної цистерни зрадіусом поперечного перерізу R та довжиною L.

Розв’язання. На висоту x потрібно піднімати шар

води з площею S (x)=2√R2−(R−x)2

L (та висотою dx ).

Отже, A=∫0

2 R

x ρg S (x)dx=2ρg∫0

2 R

x√ x (2R−x )dx .

Зробивши підстановку x=2 R sin2 t , dx=4 R sint cos t dt ,

отримаємо A=2ρg ∫0

π /216 R

2sin

4t cos

2t dt=

=4ρgR2 ∫

0

π / 2

sin2 2 t(1−cos 2t )dt=2ρgR

2∫0

π /2(1−cos4 t)dt−

−2ρgR2 ∫

0

π / 2

sin2 2 t d sin 2t=πρgR

2.

§ 9. Обчислення витрати води та часу її витіканняЗа законом Торічеллі, швидкість витікання води через

маленький отвір v=0,6√2 gh , де h — висота рівня води.

Тоді витрата води Q=dV

dt=Sv=0,6 √2 gh S , де S —

площа отвору. При цьому висота рівня води змінюватиметься

зі швидкістюdh

dt=0,6√2gh S /S (h) , де S (h) — площа

поверхні води на висоті h .

21

Звідси отримуємо час витікання води

t=−∫H

0S (h)dh

0,6 √2 ghS. (9.1)

Приклад 17. У дні посудини, яка має форму параболоїдаобертання з радіусом основи R та висотою H утворивсяотвір площею S . Через який час витече вода, що її заповнює?

Розв’язання. Рівняння параболоїда z=H (x2+ y2)

R2.

Тоді площа поперечного перерізу на висоті z дорівнює

S (z)=πR2 z /H . За формулою (9.1),

t=−∫H

0π R

2zdz

0,6 √2 gz SH= −5π R

2

3SH √2g∫H

0

√z dz=

= 10π R2

9 SH √2 gH √H=5π R2

9 S √ 2 H

g.

Варіанти завдань для самостійної роботиВаріант 1

1. Обчислити невласний інтеграл

∫−∞

+∞( x−2,5 )2 f (x )dx (або довести його розбіжність), де

f (x)={0, x<1 ;

13

, 1≤x≤4 ;

0, x>4.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, задани-

ми рівняннями y=2 та {x=√2 cos t ,

y=2√2 sint (верхня частина).

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями y2=(x+4)

3, x=0.

22

4. Знайти довжину лінії y=2+ln x , √3≤x≤√8 .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

кривої, заданої рівнянням в полярних координатах

ρ=3√cos2ϕ навколо полярної осі. 6. Пластинка у формі трикутника занурена вертикально у

воду так, що її основа довжиною 10 см знаходиться наглибині 20 см паралельно до поверхні води, а вершина — наглибині 32 см. Знайти силу тиску води на кожен бікпластинки.

Варіант 21. При яких значеннях параметра α невласний

інтеграл ∫1/2

3/2dx

x|ln x|α — збіжний?

2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією,заданою рівнянням в полярних координатах ρ=2cos4 ϕ .

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OX) фігури, обмеженої лініями

y=x √3 /2 , y=0, x=√1−y2.

4. Знайти довжину лінії {x=2cos t ,

y=2 sint .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

лінії, заданої рівнянням x2+ y2=9 навколо осі (OY ) .

6. Канат довжиною 50 м та площею поперечного

перерізу 2 см2 виготовлений з матеріалу густиною

6400 кг /м3. Визначити роботу, яку необхідно затратити,щоб витягнути його з шахти на поверхню землі.

Варіант 3

1. Обчислити невласний інтеграл ∫−∞

+∞x2 f (x )dx (або

23

довести його розбіжність), де f (x)={0, x≤−1 ;

1

√1−x2

, −1< x<1 ;

0, x≥1.


ми рівняннями x=2 та {x=4√2 cos3 t ,

y=2√2 sin3 t(права частина).

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OY ) фігури, обмеженої лініями

4 x−5 y+3=0, x=0, y=0.4. Знайти довжину логарифмічної спіралі, заданої в

полярних координатах рівнянням

ρ=3 e3ϕ /4 , −π2≤ϕ≤π

2.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) графіка функції y=sin x , 0≤x≤π

2.

6. Швидкість руху точки задається формулою

v=√ t+1 м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 8 с відпочатку руху. Чому дорівнює середня швидкість руху на цьомупроміжку часу?


інтеграл ∫0

1arctg√ xdx



ми рівняннями y=4 та {x=4 (t−sin t) ,y=4 (1−cos t)

(верхня частина).


осі (OX) фігури, обмеженої лініями y2=(x−1)

3, x=2.

24

4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=3cos (π4 +ϕ) , 0≤ϕ≤π4

.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OY ) кривої, заданої рівнянням y=1−x2 при

обмеженні y≥0.6. У випадку ламінарного потоку рідини через трубу

круглого перерізу радіуса a , швидкість потоку v в точці,що знаходиться на відстані r від осі труби, задається

формулою v= P

4μ l(a2−r

2 ) , де P — різниця тисків рідин

на кінцях труби, μ — коефіцієнт в’язкості, l — довжинатруби. Визначити витрату рідини Q , яка дорівнює об’ємовірідини, яка протікає через поперечний переріз труби за одиницючасу.

Варіант 51. Обчислити невласний інтеграл (або довести його

розбіжність)

∫−∞

+∞

(x−13 )

2f (x )dx , де f (x)={ 0, x<0 ;

3e−3 x

, x≥0.2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією,

заданою рівнянням в полярних координатах ρ=3 cos5ϕ .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініями

x=3√ y−2 , y=1, x=1.4. Знайти довжину лінії

y=√1−x2+arccos x , 0≤x≤8 /9 .


навколо осі (OX ) циклоїди {y=10(1−cos t) ,x=10 (t−sint) ,

0≤t≤2π.

6. Обчислити роботу, яку необхідно затратити, щобвикачати бензин з посудини, яка має форму повернутого

25

вершиною вгору конуса висотою 4 м та радіусом основи 1 м.

Густина бензину 700 кг/м 3 .



+∞arctgα x dx

x — збіжний?


ми рівняннями y=1 та {x=3+2 cos t ,

y=2 sint(верхня частина).


осі (OX) фігури, обмеженої лініями y=x2 , y=1, x=2.4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=10(1−cosϕ).5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням

y2+4 x=2 ln y , 1≤y≤2.6. Склянка циліндричної форми наповнена олією.

Обчислити силу тиску олії на бічну поверхню склянки, якщо її

висота 8 см, радіус основи 3,5 см. Густина олії 900 кг/м 3 .


розбіжність) ∫−∞

+∞x f (x )dx , де f (x)= 1

√2πe−x2/ 2

.

2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією,заданою рівнянням в полярних координатах ρ=√2cos 6ϕ .


осі (OX ) фігури, обмеженої лінією x2+( y−2)

2=1.

4. Знайти довжину лінії x2/3+ y2/3=52 /3 .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням y=√x при об-

26

меженні y≥x .6. Яку роботу необхідно затратити, щоб тіло масою

100 кг підняти на висоту 1000 км від поверхні Землі?Радіус Землі дорівнює 6400 км .

Варіант 8

1. При яких значеннях параметра α невласний


+∞ arctg (x√ x)dx



ми рівняннями в полярних координатах ρ=√2 cos (ϕ−π / 4 )та ρ=√2 sin (ϕ−π /4 ) (спільна частина).


осі (OX) фігури, обмеженої лініями y=x2+1, y=3 x−1.

4. Знайти довжину лінії 1

1ln

x

x

e

ey , 32 x .


навколо осі (OX ) графіка функції y=x3 , −23≤x<2

3.

6. Стискання пружини пропорційне докладеній силі.Обчислити роботу сили при стисканні пружини на 6 см, якщосила 10 н стискує її на 1 см.


розбіжність) ∫−∞

+∞x f (x )dx , де f (x)= 1

1+ x2.


ми рівняннями y=6 та { x=2cos t ,

y=5+2 sint (верхня частина).


27

осі (OX) фігури, обмеженої лініями x2+ y2=1, y2=3 x

2(права частина).

4. Знайти довжину лінії y=arcsinex , −ln 2≤x≤0 .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо полярної осі лінії, заданої рівнянням в полярнихкоординатах ρ=5√sinϕ .

6. Труба з діаметром 6 м лежить горизонтально інаполовину наповнена водою. Знайти тиск води на вертикальнузаслінку, яка закриває трубу.



+∞xα dx

√ x2+x+1— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданоюрівнянням в полярних координатах ρ=cos ϕ−sinϕ .


осі (OX) фігури, обмеженої лінією 13/23/2 xy .

4. Знайти довжину лінії y=ex+6 ,

3 ln2

2≤x≤ ln15

2.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) лінії, заданої параметричними рівняннями

{ x=cos t ,

y=3+sin t .6. Обчислити силу тиску води на вертикальний круговий

конус із радіусом основи 5 м та висотою 10 м. Конусзанурений у воду вершиною вниз так, що його основазнаходиться на поверхні води.


28


π /2sin x dx


2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,заданими рівняннями в полярних координатах ρ=3 sinϕ таρ=5 sinϕ .

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OX ) фігури, обмеженої лініями y=0 та

{ x=2(t−sint) ,y=2(1−cos t) ,

0≤t≤2π .

4. Знайти довжину лінії x= y2

4−ln y

2, 1≤ y≤2 .


навколо осі (OY ) лінії, заданої рівнянням y=x2 /2 при

обмеженні y≤3 /2. 6. Обчислити роботу, яку необхідно затратити, щоб

викачати воду з конічної посудини, повернутої вершиною вниз,якщо її висота 4 м, а радіус основи 1 м.



π /2sin xαdx

√x— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, описану радіус-вектором спіралі Архімеда ρ=ϕ при одному його оберті, починаючи від ϕ=0.


y=2− x2

2, x+ y=2.

4. Знайти довжину лінії

29

{ x=7 (t−sint ),y=7(1−cos t ),

0≤t≤2π .


навколо осі (OX) графіка функції y=e−x , x≥0.

6. Вітер спричиняє рівномірний тиск 1 г/ см2на двері

шириною 7 дм та висотою 15 дм. Знайти момент сили тиску вітру, який повертає двері.

Варіант 13



довести його розбіжність), де

f (x)={0, x<−1 ;

34(1−x

2) , −1≤x≤1 ;

0, x>1.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,

заданими рівняннями y=(x−2)3

та y=4 x−8.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури M={⟨x , y ⟩∈ℝ| 0≤ y≤e−x , x≥0}. ,


рівнянням ρ=7 sin (ϕ+π / 4 ) .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням

x2+ y2=1, −1≤x≤1.6. У дні півсферичної посудини радіусом R=43 см

утворився отвір площею S=0,2 см2. Через який час витечевода, що її заповнює? Швидкість руху води обчислюється заформулою v=0,6√2gh , де h — висота рівня води.

30



1/2dx

x lnα x— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням в полярних координатах ρ=2+cosϕ .


y=1−x2 , x=√ y−2, x=0, x=1.4. Знайти довжину лінії

{x=(t2−2)sint+2 t cos t ,

y=(2−t2)cos t+2 t sint ,

0≤t≤π .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнав-коло осі (OX) лінії, заданої рівнянням

9 y2=x (3−x)

2.

6. Тіло рухається прямолінійно за законом x=5 t3 .( x в метрах, t в секундах). Опір середовища пропорційнийквадратові швидкості з коефіцієнтом пропорційності 10 (всистемі СІ). Знайти роботу, яку виконає сила опору припереміщенні тіла з точки 0 у точку 5 м.

Варіант 15



довести його розбіжність), де f (x)={0, x<1;

3

x4

, x≥1.


ми рівняннями x=1 та { x=2cos t ,

y=5+2 sin t .(права частина).

31

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OX ) фігури, обмеженої лініями

√ x+√ y=√2 , x=0, y=0.4. Знайти довжину лінії

y=√1−x2+arcsin x , 0≤x≤7 /9 .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням лінії, заданої рівнянням в полярних координатах ρ=4cosϕ навколо полярної осі.

6. В циліндрі площею основи 10 см 2 та висотою 30 см є

повітря. Яку роботу потрібно затратити, щоб стиснути поршеньна 20 см? Атмосферний тиск дорівнює 100 кПа. Процес —ізотермічний ( constPV ).



+∞arctg xα dx

x— збіжний?

2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією, за-даною рівнянням в полярних координатах ρ=cosϕ+sinϕ .

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OX ) фігури, обмеженої лінією, заданою параметрично

{x=2 cos3t ,

y=2 sin3t .

4. Знайти довжину лінії y=6ln cos (x /6) , 0≤ x≤π .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OY ) лінії, заданої рівнянням y3=3x при

обмеженнях 0≤y≤2.6. Знайти силу тиску на бічні стінки акваріума,

наповненого водою до висоти 0,5 м, якщо його дно має розміри1,2 м × 1,3 м.

32

Варіант 171. Обчислити невласний інтеграл

∫−∞

+∞(x−1/ 4)

2f (x )dx (або довести його розбіжність),

де f (x)={0, x<−1 ;

14

, −1≤x≤0 ;

34

, 0< x≤1;

0 , x>4 .

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,заданими рівняннями в полярних координатах ρ=3 таρ=6 sin3ϕ (зовнішня частина однієї пелюстки).


осі (OX ) фігури, обмеженої лініями y2=4−x , x=0.

4. Знайти довжину лінії 2 y=x2−2 , −√2≤x≤√2 .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OY ) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=3 cos3t ,

y=3 sin3t .

6. Вертикальна гребля має форму параболічногосегмента з основою 40 м на поверхні води і з вершиною наглибині 16 м. Обчислити силу тиску води на цю греблю.



+∞sin xα dx

x2

— збіжний?


ми рівняннями y2=4−x , y=x+2, y=−2.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

33

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями

x2

4− y2

9=1, y=3 , y=−3.

4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах рівнянням ρ=3(1+cosϕ) .


навколо осі (OX) графіка функції y= x2

3, −1

2≤x≤1

2.

6. Дерев’яний поплавок циліндричної форми, площею

4000 см 2 та висотою 50 см плаває на поверхні води. Яку роботу

потрібно затратити, щоб витягнути поплавок на поверхню?

(Густина дерева 800 кг/м 3 .)

Варіант 19


+∞x2 f (x)dx (або

довести його розбіжність), де f (x)={0, x≤0 ;

1

2√x, 0< x≤1;

0 , x>1 .2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,

заданими рівняннями в полярних координатах ρ=4 cos3ϕта ρ=2 (зовнішня частина однієї пелюстки).

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OY ) фігури, обмеженої лінією, заданою параметрично

{ x=2( t−sin t) ,y=2(1−cos t) .

4. Знайти довжину лінії y= x2

4− ln x

2, 2≤x≤4 .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням

34

y2=4+x , x≤2.6. Знайти масу кулі радіусом 10 см, якщо густина

речовини в кожній її точці пропорційна віддалі від точки до

центра кулі, а на поверхні дорівнює 2500 кг/м 3 .



+∞dx

xα(x2+1)— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням в полярних координатах ρ=1 /2+sinϕ .


y=x3 , y=8 , x=0.

4. Знайти довжину лінії {x=5cos3t ,

y=5 sin3t .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням

x2+( y−2)2=1.

6. Вода наповнює конічну лійку висотою 20 см. Радіусверхньої основи 12 см. Нижній отвір, крізь який витікає вода,має радіус 0,3 см. Через який час рівень води в лійці знизитьсяна 5см? Швидкість руху води обчислюється за формулою

v=0,6√2 gh , де h — висота рівня води.

Варіант 21




35

f (x)={0, x≤0 ;

sin x

x, 0< x≤π ;

0 , x>π .


заданими рівняннями y=2 та { x=4 (t−sin t),y=4(1−cos t ).


y=5 cos x , y=cos x , x=0.4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=8 sinϕ .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої рівняннямx2

16+ y2

9=1 .

6. Верхній край шлюзу, що має форму квадрата зістороною 8 м, лежить на поверхні води. Визначити силу тискуводи на кожну з частин шлюзу, утворених поділом квадратаоднією з його діагоналей.

Варіант 221. При яких значеннях параметра α невласний інте-

грал ∫1

+∞dx

x lnα x— збіжний?

2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням в полярних координатах ρ=sin6 ϕ .


y=1−x2 , y=x2+2 , x=−1, x=1.4. Знайти довжину лінії

y=2+√ x−x2+arcsin√x , 1/ 4≤x≤1.

36

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) графіка функції

y=3 (ex / 6+e−x /6) ,−6≤x≤6 .6. Яку роботу треба затратити, щоб насипати кучу піску

у формі зрізаного конуса висотою H і радіусами основ R таr ? Густина піску ρ . Пісок піднімають із поверхні землі, на

якій лежить більша основа конуса.

Варіант 23


∞

x2

f (x )dx (або

довести його розбіжність), де f (x)={0, x<1 ;

18(x−1) , 1≤x≤5;

0, x>5.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, задани-ми рівняннями в полярних координатах ρ=sinϕ та

ρ=√3cosϕ (спільна частина).3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініямиy=x+1 , y=2 x+1, x=2 .


{ x=et (cos t+ sint) ,

y=et(sint−cos t ),−π

4≤t≤π

4.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=5 cos t ,

y=3 sint .6. В дні циліндричної посудини з площею основи

100 см2і висотою 30 см є отвір. Обчислити його площу,

якщо вода, що наповнювала посудину, витекла з неї за 2 хв.

37

Швидкість руху води обчислюється за формулою

v=0,6√2 gh , де h — висота рівня води.



1arcsinα x dx

x — збіжний?


заданими рівняннями y=√ x

2, y=1, y= 1

2 x.

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколополярної осі фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням уполярних координатах ρ=sinϕ .

4. Знайти довжину логарифмічної спіралі, заданої в по-

лярних координатах рівнянням ρ=2e4ϕ /3 , −π2≤ϕ≤π

2.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням

y2=2+x , x≤3 /2 .6. Котел має форму параболоїда обертання з радіусом

основи 2 м та висотою 4 м наповнений рідиною з густиною

800 кг /м2 . Знайти роботу, яку потрібно затратити, щобвикачати рідину з котла.

Варіант 25




f (x)={0, x<−2 ;

29(x+2) , −2≤x≤1 ;

0, x>1.

38


заданими рівняннями x= 8

y2+4та y2=4 x .

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколополярної осі фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням уполярних координатах ρ=3(1+cosϕ) .


рівнянням ρ=5 sin3 ϕ3

.


навколо осі (OY ) графіка функції y=√9−x2.

6. Розміри піраміди Хеопса приблизно такі: висота —140 м, ребро основи у вигляді квадрата — 200 м. Густина

каменю 2500 кг/м 3 . Обчислити роботу, затрачену на будів-

ництво цієї піраміди.



π / 2sinα x dx

√ x— збіжний?


ми рівняннями x=8−y2 та x=−2 y .

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколополярної осі фігури, обмеженої лінією, заданою рівнянням уполярних координатах ρ=3ϕ , 0≤ϕ≤π .

4. Знайти довжину лінії 3 y=√ (x2−2 )3 , 2≤x≤6.5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо полярної осі лінії, заданої рівнянням в полярних коор-динатах ρ=2(1+cosϕ).

6. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати

олію, густиною 900 кг/м 3 з вертикальної циліндричної посуди-

ни висотою 6 м та радіусом основи 2 м.

39



+∞dx

√ x2+xα— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, задани-ми рівняннями в полярних координатах ρ=sinϕ+cosϕ таρ=cosϕ (спільна частина).


осі (OX) фігури, обмеженої лініями y2=6 x , x=5.

4. Знайти довжину лінії y=(x−3)√ x

3.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OY ) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=4 cos t ,

y=3 sint .6. Знайти масу стержня довжиною 10 см, якщо його

лінійна густина змінюється за законом (в системі СІ)α=6+0,3 x .


грал ∫1

+∞dx

√1+xα— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданою

параметричними рівняннями {x=2cos t−cos2 t ,

y=2 sint−sin2 t .


осі (OX ) фігури, обмеженої лініями 2 y=x2 , 2 x+2 y=3.

4. Знайти довжину лінії y3=x2 , 0≤x≤8.5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо прямої, що проходить через полюс перпендикулярно дополярної осі, лінії, заданої рівнянням в полярних координатах

40

ρ=6 sinϕ .6. Вертикальна гребля має форму трапеції. Обчислити

силу тиску води на греблю, якщо відомо, що верхня основагреблі — 70 м, нижня основа — 50 м, а висота греблі — 20 м.

Варіант 29




f (x)={0, x<−π /2 ;

cos x

2, −π /2≤x≤π /2 ;

0, x>π /2.2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією,

заданою рівнянням в полярних координатах ρ=√sin 4 ϕ .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями y2=4−x , x=0.4. Знайти довжину лінії

{y=3(sint−t cos t) ,x=3(cos t+ t sin t ) ,

0≤t≤π3

.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX) графіка функції y=1 / x , 1≤x≤2.

6. Обчислити роботу, яку необхідно затратити, щобвикачати воду з півсферичного казана з радіусом 10 м.



π / 2tg xα dx

x— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,заданими рівняннями в полярних координатах ρ=sinϕ таρ=cosϕ (спільна частина).

41

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколоосі (OX ) фігури, обмеженої лінією, заданою параметрично

{x=5 cos t ,

y=3 sint .

4. Знайти довжину лінії y=ln sin x ,π3≤x≤π

2.


нав-коло осі (OY ) лінії, заданої рівнянням y=x2−4 при

обмеженні y≤2.

6. Квадратна пластинка занурена вертикально у бензин

густиною 700 кг/м 3 так, що одна з вершин квадрата

знаходиться на поверхні бензину, а діагональ — паралельна дойого поверхні. Сторона квадрата 1 см. З якою силою бензинтисне на кожну зі сторін пластинки?

Варіант 31


+∞x f (x )dx (або


f (x)={0, x<0 ;

sin x

2, 0≤x≤π ;

0, x>π .


ми рівняннями y=4 ex , y=3 / x , y=3, y=4.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями y=9−x2 , y=0.4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=4ϕ , 0≤ϕ≤3/4 .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої рівнянням 8 y2+4 x4=x2 .

42

6. Знайти глибину x , на якій прямокутний шлюз ви-сотою h розділиться горизонтально на такі дві частини, на яківода тисне однаково.


грал ∫1

+∞ (2 x2−5 x+4)dx

xα— збіжний?

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, задани-ми рівняннями в полярних координатах ρ=2cosϕ таρ=3 cosϕ .


( y−3)2=3 x , y=6, x=0.

4. Знайти довжину лінії y=ln(1−x2) , 0≤x≤12

.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OX ) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=2cos t−cos2 t ,

y=2 sin t−sin2 t .6. У циліндричній посудині поперечного перерізу

100 см2 є повітря під атмосферним тиском 100 кПа. В

посудині є поршень, який спочатку знаходиться на відстані 10см від дна. Циліндр помістили у вакуум, завдяки чому повітрястало розширюватися, виштовхуючи поршень. Обчислити робо-ту газу, коли він перемістить поршень на 20 см від його

початкового стану. Процес адіабатичний (PV 1,4=const ) .

Варіант 33




43

f (x)={0, x<−1 ;

1 , −1≤x≤0 ;

3 , 0≤x≤1 ;0, x>1.

2. Обчислити площу всієї фігури, обмеженої лінією,заданою рівнянням в полярних координатах ρ=√ sinϕ .


y=x+1 , y=3 x+1, x=1 .4. Знайти довжину лінії

{ x=3+2 sin t ,

y=5−2cost ,0≤t≤ π

6.


навколо осі (OY ) графіка функції y=4− x2

2, 0≤ x≤3.

6. Знайти масу стержня довжиною 0,3 м, якщо йоголінійна густина змінюється за законом γ=8+0,1 x (в системіСІ).

Варіант 34




29

x , 0≤ x≤3 ;

0, x>3.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,заданими рівняннями в полярних координатах ϕ=0 та

ρ=eϕ , 0≤ϕ≤2π .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініями y=x2 , y=4 .

44

4. Знайти довжину лінії {x=3+5 cost ,

y=2+5 sin t .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OY ) графіка функції y=x2−2 , 0≤x≤2.6. Вертикальна гребля має форму трикутника, поверну-

того вершиною вниз, з основою 40 м на поверхні води і звершиною на глибині 24 м. Обчислити силу тиску води на цюгреблю.

Варіант 35


+∞f (x)dx (або


12(x−2) , 2≤x≤4 ;

0, x>4.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками

функцій y=9−x2, y=x−3 .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX) фігури, обмеженої лініями y=√1−x2, y=0 .

4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатахрівнянням ρ=cosϕ .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо осі (OY ) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=3+cos t ,

y=sin t .

6. Тіло рухається прямолінійно за законом x=3 t2 ( x у метрах, t у секундах). Сила опору середовища

F=10 v2 , де v — швидкість в м / с, F — в Н. Знайтироботу, яку виконає сила опору при переміщенні тіла з точки 0 вточку 5 м.

45

Варіант 36


+∞f (x)dx (або


f (x)={0, x≤−1;

1

√1−x2, −1≤x≤1 ;

0, x≥1.


функцій y=x2+ x−2, y=3 x+1 .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX) фігури, обмеженої лініями

y=0, y=√sin x , 0≤x≤π .4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=sinϕ .5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OY ) лінії, заданої параметричними рівняннями

{x=5+3 cost ,

y=2+3 sin t .6. Швидкість руху точки задається формулою

v=5 t+1 м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 8 с відпочатку руху. Чому дорівнює середня швидкість руху на цьомупроміжку?

Варіант 37


+∞x f (x)dx (або


12

, 1≤x≤3 ;

0, x>3.

46


функцій y=x2−5 x+4 , y=2x−2.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями y=x3 , y=0, x=2.4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=eϕ ,0≤ϕ≤ln 2.5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

навколо осі (OX) лінії, заданої параметричними рівняннями

{ x=2 cost ,

y=3+2 sin t .6. Вертикальна гребля має форму прямокутника з

основою 40 м на поверхні води і з висотою 16 м. Обчислитисилу тиску води на цю греблю.

Варіант 38




13

, 1≤x≤4 ;

0, x>4.


функцій y=x2 , y=2−x2 .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініями y2=(x+4)3, x=0 .


{ x=e t(cos t+ sint) ,

y=et(sint−cos t ),0≤t≤π

2.

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертаннямнавколо полярної осі лінії, заданої рівнянням в полярнихкоординатах ρ=2 sinϕ .

47

6. Обчислити роботу, яку необхідно затратити, щобвикачати воду з посудини, яка має форму циліндра висотою 2 мта радіусом основи 1 м.

Варіант 39


+∞f (x)dx (або

довести його розбіжність), де f (x)={ 0, x<0;

3 e−3 x

, x≥0.2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданою

рівнянням в полярних координатах ρ=2 .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініями

y=x3+1, y=0, x=1.4. Знайти довжину лінії

{x=et(cos t−sint ) ,

y=et(sint+cos t) ,0≤t≤π

6.


навколо осі (OY ) графіка функції y=4+2 x2 , 0≤x≤1.6. Швидкість руху точки задається формулою

v=3 t2 м / c . Знайти шлях, пройдений тілом за перші 8 свід початку руху. Чому дорівнює середня швидкість руху нацьому проміжку?

Варіант 40




48

f (x)={0, x≤−1;

1

√1−x2, −1≤x≤1 ;

0, x≥1.


функцій y=25/ 4−x2 , y=x−5/ 2.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OY ) фігури, обмеженої лініями4 x−5 y+3=0 , y=0, x=0.

4. Знайти довжину логарифмічної спіралі, заданої в

полярних координатах рівнянням ρ=5 e2ϕ ,0≤ϕ≤ln 3.3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лінією, заданою параметрично

{x=4 cos3t ,

y=4 sin3t .

6. Бак з прямокутною основою 50 см × 80 см івисотою 60 см, наповнений водою. Яку роботу потрібновиконати, щоб викачати всю воду з нього?

Варіант 41



довести його розбіжність), де f (x)=e−x2 /2

.2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,

заданими рівняннями y=(x+1)2, y2=x+1.


осі (OY ) фігури, обмеженої лініями y=1−x2 , y=0.4. Знайти довжину лінії, заданої в полярних координатах

рівнянням ρ=2 cos (ϕ− π4 ) , 0≤ϕ≤π

2.


49

навколо осі (OX) лінії, заданої параметричними рівняннями

{ x=3(t−sin t) ,y=3(1−cos t) ,

0≤t≤2π .

6. Знайти масу стержня довжиною 0,1 м, якщо йоголінійна густина змінюється за законом (в системі СІ)

α=6+0,2 x .

Варіант 42

1. Обчислити невласний інтеграл ∫1

3

f (x)dx (або

довести його розбіжність), де f (x)= 1

x ln3 x.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданоюрівнянням в полярних координатах ρ=cos2ϕ .


y=±(x−1)3,

x=2.

4. Знайти довжину лінії {x=2cos2t ,

y=2 sin2t ,

0≤t≤ π4

.


навколо осі (OY ) графіка функції y=1−3 x2 , 0≤x≤1.6. Стискання пружини пропорційне прикладеній силі.

Обчислити роботу сили при стисканні пружини на 6 см, якщосила 5 Н стискує її на 1 см.

Варіант 43




1+ x2.

50

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданоюрівнянням в полярних координатах ρ=√2cos (ϕ−π /4) .


y=x2 , x=2, y=0 .4. Знайти довжину лінії

{ x=cos t+t sint ,

y=sint−t cos t ,0≤t≤ π

4.


навколо осі (OX) графіка функції y=2√ x , 0≤x≤1.6. Знайти силу тиску рідини густини 900 кг/м 3 на вер-

тикальний прямокутник з висотою 12 м та основою 8 м, якщойого верхня основа паралельна до поверхні води на глибині 7 м.

Варіант 44


+∞f (x)dx (або


1+ x2.

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, заданою

рівнянням в полярних координатах ρ=√2cosϕ .3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі (OX ) фігури, обмеженої лініями y2=4−x , x=0 .4. Знайти довжину лінії y=lncos x , 0≤ x≤π

3.


навколо осі (OX) графіка функції y=x3 , −1≤x≤1.6. Швидкість руху точки задається формулою

v=5 t2+3 t+1 м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші5 с від початку руху. Чому дорівнює середня швидкість руху нацьому проміжку?

51

Література:

1. Давидов М. О. Курс математичного аналізу /М.О.Давидов. — Ч.1. Функції однієї змінної. — К.: Вища школа— 1990. — 380 с.

2. Ильин В. А. Математический анализ: учебник длястуд. вузов, обучающихся по спец. "Математика", "Прикладнаяматематика" и "Информатика": В 2 ч. / В. А. Ильин,В.А.Садовничий, Бл. Х. Сендов //Ред. А. Н. Тихонов. — Ч. 1. —М.: Издательство Проспект, 2007. — 660 с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу дляВТУЗов / Под ред. Б.П. Демидовича — М.: Наука, 1978. — 480 с.

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математическогоанализа / Г. Н. Берман — М.:Наука, 1985. — 383 с.

5. Данко Л. Е. Высшая математика в упражнениях изадачах. Ч.1. / Л. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. — М.:Высшая школа, 1986.— 304 с.

6. Зайцев І. Л. Елементи вищої математики. / І. Л. Зайцев.— К.: Вища школа, 1973. — 356 с.

7. Каплан И. А. Практические занятия по высшейматематике: В 5 ч. / И. А. Каплан. Х.: Изд-во Харьковского гос.университета, 1974. — Ч.3 –– 374 с.

8. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1.Введение в анализ, производная, интеграл. Пособие длястудентов университетов и технических ВУЗов / И. И. Ляшко,А.К.Боярчук, Я .Г. Гай, Г. П. Головач –– К.: Вища школа, 1974.— 680 с.

9. Математичний аналіз у задачах і прикладах /Л.І.Дюженкова, Т. В. Колесник, М. Я. Лященко та ін. –– Ч. 1. ––К.: Вища школа, 2002. –– 462 с.

10. Михайленко В. М. Сборник прикладных задач повысшей математике / В. М. Михайленко, Р. А. Антонюк –– К.:Вища школа, 1990. — 167 с.

11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального иинтегрального исчисления: В 3-х т./ Г. М. Фихтенгольц. –– Т.1.–– М.:Физматлит, 2003. –– 680 с.

52

Documents

ep3.nuwm.edu.uaep3.nuwm.edu.ua/5817/1/04-02-11.pdf · Методичні вказівки і завдання для самостійної роботи з навчальної дисципліни