Entwicklung eines mathematischen Optimierungsmodells für ein junges Technologieunternehmen

Z Plan Unternehmenssteuerung (2011) 21: 369–403DOI 10.1007/s00187-011-0119-6

O R I G I NA L PA P E R

Entwicklung eines mathematischenOptimierungsmodells für ein jungesTechnologieunternehmenEin Projekt an der Schnittstelle von Finanzierungs-und Technologiemanagement

Michael Gutiérrez

Online publiziert: 1. April 2011© Springer-Verlag 2011

Zusammenfassung Der vorliegende Beitrag zeigt die Formulierung, Implemen-tierung und Auswertung eines mathematischen Optimierungsmodells anhand einesFalls aus der Beratungspraxis, der die schrittweise Weiterentwicklung einer patentba-sierten Technologie durch eine neu zu gründende Gesellschaft zum Gegenstand hat.Ihre Finanzierung soll vor allem mittels sukzessiver Zeichnung von Kapitalerhöhun-gen durch einen Investmentfonds und weitere Investoren erfolgen. Hierbei wird einMehrphasenmodell zugrunde gelegt, in welchem sich an jede F&E-Phase eine die er-zielte Wertsteigerung der Technologie reflektierende Finanzierungsrunde anschließt.Neben den Einschätzungen der Projektbeteiligten über die relevanten Umweltpara-meter wurden einschlägige Bestimmungen des Aktien- und Kapitalmarktrechts so-wie empirische Befunde zur Effizienz von F&E-Prozessen bei der Entwicklung undAnalyse des nichtlinearen Optimierungsmodells berücksichtigt. Seine Zwecksetzunglag nicht in der exakten Umsetzung einzelner Detailergebnisse, sondern in der Ab-leitung struktureller Erkenntnisse und optimaler Verhandlungsstrategien mit potenzi-ellen Investoren. Der Beitrag wendet sich gleichermaßen an den Praktiker wie auchan den Wissenschaftler: Dem Praktiker sollen der Nutzen von Optimierungsmodel-len und ein Leitfaden für die nichtlineare Modellierung, dem Wissenschaftler Rah-menbedingungen und Gestaltungsparameter ihres Einsatzes an der Schnittstelle vonFinanzierungs- und Technologiemanagement exemplarisch aufgezeigt werden.

Schlüsselwörter Optimierungsmodell · Nichtlineare Optimierung · Finanzierung ·Unternehmensgründung · Forschung und Entwicklung (F&E) · Patent

Dr. M. Gutiérrez (�)GCI Management Consulting GmbH, Brienner Str. 7, 80333 München, Deutschlande-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

370 M. Gutiérrez

1 Moderne Optimierungstools als Brücke zwischen Wissenschaft und Praxis

Mathematische Optimierungsmodelle können Entscheidungsprozesse unterstützen,indem sie verschiedene Handlungsalternativen unter Berücksichtigung gegebenerRahmenbedingungen im Hinblick auf ein gewünschtes Ziel bewerten und die besteAlternative identifizieren. In der Betriebswirtschaftslehre und anderen Wissenschafts-disziplinen wurden sie für zahlreiche Anwendungsfelder entwickelt, wie etwa fürProduktion und Logistik (vgl. z. B. Tayur et al. 1999; Küpper und Helber 2004;Tempelmeier 2006) oder Investition und Finanzierung (vgl. Albach 1962, S. 154 ff.und S. 305 ff.; Weingartner 1963, S. 16 ff. und S. 139 ff.; Hax 1964, S. 435 ff.;Hanssmann 1995, S. 248 ff.; Blohm et al. 2006, S. 280 ff.; Kruschwitz 2009, S. 225ff.; Morris und Daley 2009, S. 621 ff.). In der Praxis werden zur quantitativen Analy-se und Entscheidungsunterstützung vielfach Tabellenkalkulationsprogramme einge-setzt, um verschiedene Szenarien hinsichtlich der interessierenden Zielgrößen, z. B.Gewinn oder Kosten, „durchzuspielen“.

Mit Softwaretools, die als Add-Ins für Tabellenkalkulationsprogramme zur Verfü-gung stehen, kann eine Brücke zwischen Wissenschaft und Praxis geschlagen werden:Sie gestatten die Entwicklung und Lösung von Optimierungsmodellen in der für vieleAnwender „vertrauten“ Umgebung z. B. von Microsoft® Excel und somit ein unmit-telbares Anknüpfen an einer möglicherweise bereits erarbeiteten Grundstruktur desbetrachteten Problems in einem Excel-Arbeitsblatt. Unter Nutzung derartiger Softwa-re zeigt der vorliegende Beitrag die Formulierung, Implementierung und Auswertungeines mathematischen Optimierungsmodells anhand eines Falls aus der Beratungs-praxis an der Schnittstelle von Finanzierungs- und Technologiemanagement.

Um die notwendige Grundlage hierfür zu schaffen, führt Abschn. 2 in den Projekt-hintergrund ein. Gegenüber dem Originalfall wurden in diesem Beitrag zum Zweckeder Anonymisierung Ausgangsdaten sowie für die Modellkonstruktion unwichtigeRandaspekte modifiziert; auf die herausgearbeiteten Wirkungsmechanismen inner-halb des Modells, die Richtung und Stärke der aufgezeigten Effekte sowie auf dieabgeleiteten strukturellen Erkenntnisse und Handlungsempfehlungen hat dies jedochkeinerlei Einfluss. Abschnitt 3 entwickelt im Anschluss ein Excel-Arbeitsblatt, wel-ches als Basis für die finanzielle Analyse des Gesamtprojekts dient, und zeigt denOptimierungsbedarf auf. Um diesem Bedarf Rechnung tragen zu können, werden inAbschn. 4 ein Optimierungsmodell formuliert sowie ausgewählte Leitlinien für dienichtlineare Modellierung und den Lösungsprozess erörtert. Auf dieser Grundlagewerden in Abschn. 5 wichtige strukturelle Erkenntnisse für das Projekt abgeleitetund damit das Potenzial der Optimierung für die Praxis aufgedeckt. Ein abschlie-ßendes Fazit ordnet die Bedeutung des Optimierungsmodells im Spannungsfeld vonunternehmerischem Erfahrungswissen einerseits und „formalen Rechenwerken“ an-dererseits ein.

2 Projekthintergrund: Finanzierung der Weiterentwicklungeiner patentbasierten Technologie

Eine kleine Gruppe von Personen und Unternehmen (nachfolgend: die „Gründer“)beabsichtigt die Gründung eines Technologieunternehmens in Form einer Aktienge-

Entwicklung eines mathematischen Optimierungsmodells 371

sellschaft nach deutschem Recht unter der Firma „HighTech Revolution AG“ (Pseudo-nym). Ihr Geschäftszweck liegt in dem Erwerb von Patenten und Technologien1 so-wie in deren Weiterentwicklung und Vermarktung (Verkauf oder Auslizenzierung2).Aufgrund der Branchenkontakte der Gründer eröffnet sich zu attraktiven Konditio-nen die Möglichkeit des Erwerbs mehrerer Patente auf dem Gebiet einer innovativenTechnologie, die hohe Wertsteigerungspotenziale versprechen. Nach dem Erwerb derPatente sollen diese schrittweise weiterentwickelt und anschließend eine Pilotanlageim industriellen Maßstab errichtet werden. Eine Börsennotierung der Aktien der Ge-sellschaft ist zunächst nicht vorgesehen.

Zur Startfinanzierung wird die HighTech Revolution AG von den Gründern mit ei-nem Grundkapital in Höhe von EUR 500.000 ausgestattet, welches in 500.000 Stück-aktien mit einem rechnerischen Anteil am Grundkapital von EUR 1,– je Aktie einge-teilt ist. Im weiteren Projektverlauf soll die Finanzierung der Gesellschaft durch imRahmen von Privatplatzierungen (Private Placement)3 erfolgende Zeichnungen einerUnternehmensanleihe und von Kapitalerhöhungen durch „Pre-Investoren“ sowie vorallem durch einen Investmentfonds bereitgestellt werden. Bei letzterem handelt essich nicht um einen Publikumsfonds, sondern um einen sich ausschließlich an insti-tutionelle Investoren wie z. B. Banken, Versicherungen, Pensionskassen und Vermö-gensverwaltungen richtenden (Spezial-)Fonds, der seine Mitteleinwerbung wiederumüberwiegend im Rahmen von Privatplatzierungen betreibt.

Das Gesamtprojekt lässt sich gemäß Abb. 1 durch ein Phasenmodell beschrei-ben, welches die Gründungsphase, vier Kapitalerhöhungsrunden (KE 1 bis KE 4),drei F&E-Phasen, den Bau der Pilotanlage sowie die Vermarktung der Technologieumfasst. Nach Gründung der HighTech Revolution AG und dem Erwerb der Patentewerden im Rahmen einer ersten Kapitalerhöhungsrunde zunächst nur Pre-Investorenaus dem Netzwerk der Gründer zur Zeichnung der ersten Kapitalerhöhung noch vorEinstieg des Fonds zugelassen. Das von ihnen zu zahlende Agio reflektiert die impli-ziten Erwartungen und Verhandlungsergebnisse der beteiligten Parteien. Um einer-seits einen genügend hohen Mittelzufluss zur Finanzierung der sich an die erste Ka-pitalerhöhungsrunde anschließenden ersten F&E-Phase sicherzustellen, andererseitsaber aus Sicht der Gründer keine zu große Verwässerung ihres Grundkapitalanteilshinnehmen zu müssen, bietet die HighTech Revolution AG den Pre-Investoren alsflankierende Kapitalmaßnahme die Zeichnung einer Anleihe an.

1Im Rahmen dieses Beitrags wird im Einklang mit Gerpott (2005, S. 19) und dem allgemeinen Sprachge-brauch der Wirtschaftspraxis folgend ein weites Begriffsverständnis von Technologie zugrunde gelegt, dassowohl Technologie i.e.S. als auch Technik umfasst; vgl. zu diesen Begriffen z. B. auch Brockhoff (1999,S. 27).2Hinsichtlich einer Auslizenzierung können folgende Varianten in Betracht kommen: „Down Payments“(Einmalzahlung an den Lizenzgeber bei Abschluss eines Lizenzvertrags), „Milestone Payments“ (Zahlun-gen, die bei Erreichen bestimmter weiterer Entwicklungsschritte an den Lizenzgeber gezahlt werden) oder„Royalty Payments“ (laufende Lizenzgebühren, welche sich z. B. als Prozentsatz vom Umsatz berechnen,den der oder die Lizenznehmer mit Lizenzprodukten während der Laufzeit der Lizenzen erzielen); vgl. zudiesen Begriffen z. B. Müller (2003, S. 51 und 63); Raasch (2006, S. 86).3Bei einem Private Placement besteht „. . . zwischen dem Anbieter bzw. einem von ihm Beauftragten unddem Anleger bereits vor dem Angebot eine persönliche Verbindung. . .“ (Groß 2009, S. 321). Gegensatzzur Privatplatzierung ist das „öffentliche Angebot“ im Sinne des Wertpapierprospektgesetzes (WpPG).

372 M. Gutiérrez

Abb

.1Ph

asen

mod

ell


Im Rahmen der F&E-Phasen erfolgt die schrittweise Weiterentwicklung der inder Gründungsphase erworbenen Patente bzw. Technologie mit dem Ziel ihrer Wert-steigerung (Aufwertung). An jede F&E-Phase schließt sich eine Kapitalerhöhungs-runde an, in welcher der Fonds weitere Kapitalerhöhungen der HighTech RevolutionAG zeichnet. Im Unterschied zu den Pre-Investoren darf der betrachtete Fonds Ka-pitalerhöhungen mit Agio jedoch nur auf Basis eines von einem zugelassenen Wirt-schaftsprüfer erstellten Bewertungsgutachtens zeichnen; daher wird jede F&E-Phasemit einer Unternehmensbewertung4 abgeschlossen und damit die Grundlage für diejeweils nachfolgende Kapitalerhöhungsrunde geschaffen. Aufgrund der Attraktivitätdes Geschäftsmodells der HighTech Revolution AG und weiterer Gestaltungspara-meter der Gesamtfinanzierungskonzeption gehen die Projektbeteiligten davon aus,dass der Fonds die Kapitalerhöhungen der Gesellschaft – unter Beachtung der Be-zugsrechte der Altaktionäre – vollumfänglich zeichnen wird und dass er als Voraus-setzung hierfür seinerseits in ausreichendem Umfang Mittel bei institutionellen In-vestoren einwerben kann; sollte dies wider Erwarten nicht der Fall sein, würde dieHighTech Revolution AG den zunächst nicht platzierten Teil der neuen Aktien weite-ren ausgesuchten Investoren zur Zeichnung anbieten. Am Ende der vierten Kapital-erhöhungsrunde sollen genügend Mittel für den anschließenden Bau der Pilotanlageverfügbar sein; letztgenannte Phase sowie die Vermarktung der Technologie sind indiesem Beitrag jedoch nicht Gegenstand der Betrachtung.

3 Entwicklung eines Excel-Arbeitsblattes als Grundlage für die finanzielleAnalyse des Gesamtprojekts

3.1 Überblick über den Aufbau des Arbeitsblattes

Zur Darstellung der finanziellen Entwicklung des Gesamtprojekts wurde das in Tab. 1wiedergegebene Arbeitsblatt in Excel entwickelt, wobei die zugrunde liegenden For-meln aus dem Anhang ersichtlich werden. Auf dieser Basis zeigt Tab. 1 zur Veran-schaulichung der nachfolgenden Ausführungen eine durch Plausibilitätsüberlegun-gen ermittelte, mögliche Ausgangsbelegung für die in den grau hinterlegten Zellenbefindlichen Variablen des Arbeitsblattes.

Die zeitliche Struktur des Arbeitsblattes sieht im (Rumpf-)Jahr 0 die Gründung derHighTech Revolution AG und den Erwerb der Patente vor. In den darauf folgendendrei Jahren erfolgt jeweils zu Jahresbeginn die Zeichnung von Kapitalerhöhungendurch die Pre-Investoren (KE 1) bzw. den Fonds (KE 2 und KE 3), woran sich jeweils

4Vgl. zur Berufsauffassung der Wirtschaftsprüfer bezüglich Grundsätzen der UnternehmensbewertungIDW (2008), zur Bewertung von Patenten und Technologien IDW (2010a) und IDW (2010b). Bewer-tungszweck ist vorliegend nicht die externe Rechnungslegung; Anlass für die Bewertung ist vielmehr eineunternehmerische Initiative, insbesondere die Zuführung von Eigenkapital (vgl. IDW 2008, S. 70). ImÜbrigen müssen und dürfen die bei den Patenten erzielten Wertsteigerungen aufgrund des Realisations-prinzips weder handels- noch steuerrechtlich aktiviert werden; sie sind insoweit bis zum erfolgreichenAbschluss der Vermarktungsaktivitäten im vorliegenden Fall auch nicht steuerrelevant. Da die Vermark-tung der Technologie nicht Gegenstand dieses Beitrags ist, wurden steuerliche Aspekte hier nicht in dieAnalyse einbezogen.

374 M. Gutiérrez

Tab. 1 Aufbau des Arbeitsblattes und Ausgangslösung

eine F&E-Phase (F&E-Phase 1 bis 3) bis zum Jahresende anschließt. Zu Beginn desabschließenden (Rumpf-)Jahres 4 erfolgt die Zeichnung der letzten Kapitalerhöhungdurch den Fonds (KE 4) und die Rückführung der durch die Pre-Investoren parallelzur Kapitalerhöhung im Jahr 1 gezeichneten Anleihe.

Das Arbeitsblatt weist im Bereich „Grundkapital“ die Nominalkapitalien bzw. je-weilige Aktienanzahl von Gründern, Pre-Investoren und Fonds aus. Das Nominalka-pital der Gründer ist mit EUR 500.000 eine feste Größe, während die übrigen No-minalkapitalien von den nominalen Grundkapitalzuwächsen abhängen, welche alsVariablen im Bereich „Kapitalerhöhung“ fungieren. In der ersten Kapitalerhöhungs-runde zeichnen zunächst nur die Pre-Investoren; die gesamte Kapitalerhöhung setztsich aus den beiden Variablen nominaler Grundkapitalzuwachs und gesamtes Agiozusammen.

In den Kapitalerhöhungsrunden 2, 3 und 4 ergibt sich die gesamte, annahmegemäßvom Fonds gezeichnete Kapitalerhöhung jeweils aus der Multiplikation der Anzahlneuer Aktien (= nominaler Grundkapitalzuwachs) mit dem Emissionspreis; dieserentspricht dem durch ein Gutachten fundierten Unternehmenswert je Aktie am Endeder vorausgegangenen F&E-Phase. Das gesamte Agio bestimmt sich folglich als re-sultierende Größe aus der Differenz von gesamter Kapitalerhöhung und nominalemGrundkapitalzuwachs, das Agio pro Aktie aus der Differenz von vorausgehendem


Unternehmenswert je Aktie und rechnerischem Anteil einer Aktie am Grundkapital(EUR 1,–). Dies gilt dagegen nicht für die erste Kapitalerhöhungsrunde, da das ge-samte Agio hier als Variable wie geschildert lediglich die impliziten Erwartungen derZeichner und das Verhandlungsergebnis der Parteien reflektiert.

Bei Kapitalerhöhungen einer Aktiengesellschaft ist gemäß § 186 Abs. 1 und 2 desAktiengesetzes (AktG) jedem Aktionär auf sein Verlangen ein seinem Anteil an dembisherigen Grundkapital entsprechender Teil der neuen Aktien – gegen Bezahlung –zuzuteilen (Bezugsrecht). Annahmegemäß verzichten die Gründer auf die Ausübungihrer Bezugsrechte. Hinsichtlich der Pre-Investoren kann keine Schätzung abgegebenwerden, ob und wenn ja in welchem Umfang sie die ihnen zustehenden Bezugsrechteausüben werden. Der Fonds wiederum übt nicht nur seine Bezugsrechte aus, sondernzeichnet darüber hinaus annahmegemäß im so genannten Überbezug5 auch die vonden Gründern und Pre-Investoren nicht bezogenen neuen Aktien. Die Ausübungsquo-te bei den Pre-Investoren beeinflusst jedoch ausschließlich die Verteilung der neuenAktien und der damit verbundenen Stimm- und Dividendenrechte zwischen ihnenund dem Fonds; da die Pre-Investoren in den Kapitalerhöhungsrunden 2, 3 und 4 imFalle der Bezugrechtsausübung zu den gleichen Konditionen neue Aktien zeichnenwie der Fonds, bleibt diese Verteilung aus Sicht der HighTech Revolution AG ohneAuswirkungen auf die monetäre Seite der Analyse. Die unbekannte Ausübungsquo-te der Pre-Investoren ist daher eine unkritische Größe. Für die Modellrechnungenwurden die Bezugsrechte der Pre-Investoren – wie diejenigen der Gründer – vollum-fänglich dem Fonds zugeschlagen.

Im Bereich „Anleihe“ stellt die Höhe der von den Pre-Investoren flankierend zurKapitalerhöhung zu Beginn des Jahres 1 gezeichneten Anleihe eine Variable dar. Dieder HighTech Revolution AG insgesamt zufließenden Mittel setzen sich hier folg-lich aus der gesamten Kapitalerhöhung zuzüglich des emittierten Anleihevolumenszusammen. Annahmegemäß wird die Anleihe am Ende des Betrachtungszeitraumsvollständig zu nominal zurückgeführt, während die Zinsen jeweils am Ende einesJahres fällig werden.6

Der Bereich „F&E“ bildet sämtliche mit den F&E-Aktivitäten verbundenen Zah-lungsvorgänge ab. Hier schlägt zunächst die Auszahlung für den Erwerb der Patentein Höhe von EUR 450.000 im Jahr 0 zu Buche. Anschließend fallen in den folgendendrei F&E-Phasen jeweils Auszahlungen für die Durchführung der F&E-Prozesse zumZwecke der Weiterentwicklung der Technologie an. Hierbei ist zu beachten, dass imRahmen eines öffentlichen Förderprogramms 30 % der F&E-Auszahlungen erstattetwerden; die gesamten F&E-Auszahlungen je Periode stellen Variablen dar, aus de-nen sich unter Abzug der genannten Förderung die für die HighTech Revolution AGeffektiven F&E-Auszahlungen ergeben.

Der Bereich „Cash Flow“ führt die Zahlungen der verschiedenen Bereiche zu-sammen, wobei separate Cash Flows für die Kapitalerhöhungs- und F&E-Phasenausgewiesen werden. In den Kapitalerhöhungsrunden 2 und 3 entspricht der CashFlow der gesamten Kapitalerhöhung, parallel zur Kapitalerhöhungsrunde 1 ist zu-sätzlich die Einzahlung aus der Emission der Anleihe und parallel zur Kapitalerhö-

5Auch als Mehrbezug bezeichnet.6In der (Rumpf-)Periode 4 werden keine Anleihezinsen mehr angesetzt.

376 M. Gutiérrez

hungsrunde 4 die Auszahlung für deren Rückführung zu berücksichtigen. Aus diesenCash Flows ergibt sich unter Hinzurechnung des Zahlungsmittelendbestands der Vor-periode jeweils der Zahlungsmittelbestand nach Kapitalbeschaffung. In den sich andie Kapitalbeschaffungen jeweils anschließenden, bis zum Jahresende erstreckendenF&E-Phasen setzen sich die Cash Flows jeweils aus der gesamten F&E-Auszahlung,der Förderung (d.h. saldiert der effektiven F&E-Auszahlung) und den am Jahresendefälligen Anleihezinsen zusammen. Werden diese Cash Flows jeweils vom Zahlungs-mittelbestand nach Kapitalbeschaffung abgesetzt, ergibt sich der jeweilige Zahlungs-mittelendbestand vor Habenzinsen. Unter Hinzurechnung von Habenzinsen7 auf dendurchschnittlichen Zahlungsmittelbestand der Periode gelangt man schließlich zumjeweiligen Zahlungsmittelendbestand.

Der Bereich „Patent-/Unternehmensbewertung“ beinhaltet als Variablen die fürdas Ende einer jeden F&E-Phase ausgewiesenen Aufwertungsbedarfe der Patente, dieim Falle der Realisierung jeweils in einen entsprechenden tatsächlichen Wertzuwachsmünden. Der Unternehmenswert der HighTech Revolution AG ergibt sich aus den biszum Bewertungszeitpunkt kumulierten Aufwertungen der Patente (einschließlich derAusgangsbewertung in Höhe der Anschaffungsauszahlung) zuzüglich Zahlungsmit-telendbestand und abzüglich emittiertem Anleihevolumen.8 Schließlich erhält manden Unternehmenswert pro Aktie jeweils aus der Division des Unternehmenswertesdurch die gesamte Aktienanzahl, welche dem Grundkapital entspricht; diese Bewer-tung ist jeweils Basis für die oben beschriebene Zeichnung von Kapitalerhöhungendurch den Fonds.

3.2 Handlungsspielräume und Restriktionen

Das im vorangegangenen Abschnitt entwickelte Excel-Arbeitsblatt diente dazu,durch Testen verschiedener Belegungen für die Variablen eine Reihe von Szenarienfür die finanzielle Entwicklung des Gesamtprojekts zu generieren und zu untersu-chen. Mit Blick auf die Variablen des Arbeitsblattes bestehen Handlungsspielräumebzw. Freiheitsgrade hinsichtlich

• der zeitlichen Verteilung und Höhe der Kapitalbeschaffungen: In welchen Periodensollen in welchem Umfang neue Aktien ausgegeben, wie hoch soll das Agio imRahmen der ersten Kapitalerhöhungsrunde angesetzt und in welchem Ausmaß solldiese durch Emission der Anleihe flankiert werden?

• der zeitlichen Verteilung und Höhe der Mittelverausgabung für F&E: In welchenPerioden soll die Entwicklung der erworbenen Patente in welchem Umfang voran-getrieben werden?

• der zeitlichen Verteilung und Höhe der Aufwertungsbedarfe der Patente: In wel-chen Perioden sollen in welchem Umfang Aufwertungen vorgenommen werden?

7In den (Rumpf-)Perioden 0 und 4 werden keine Habenzinsen angesetzt.8Soweit in den F&E-Phasen 1 bis 3 anlagenintensive F&E-Aktivitäten anfallen, werden diese von derHighTech Revolution AG überwiegend unter Nutzung externer (gemieteter) Ressourcen durchgeführt oderan Dienstleister (z. B. Auftragsforschungsinstitute) ausgelagert, so dass die wesentlichen Assets der Ge-sellschaft Patente und Zahlungsmittel umfassen.


Es ist unmittelbar einsichtig, dass diese Variablen voneinander abhängen (Interde-pendenz). So bilden die Kapitalbeschaffungen die Voraussetzung für die Finanzierungder F&E-Aktivitäten. Die dadurch ermöglichte Mittelverausgabung zum Zwecke derWeiterentwicklung der Technologie schafft die Grundlage für die Realisierung derfür die Patente ausgewiesenen Aufwertungsbedarfe. Der hieraus resultierende Un-ternehmenswert je Aktie bestimmt zusammen mit der Anzahl neuer Aktien (= no-minaler Grundkapitalzuwachs) die Höhe der der HighTech Revolution AG in derjeweiligen Kapitalerhöhungsrunde zufließenden Mittel, welche wiederum Vorausset-zung für weitere F&E-Aktivitäten und sich daran anschließende Aufwertungen sind.In diesem Zusammenspiel unterliegen die Variablen folgenden Restriktionen bzw.Nebenbedingungen:

• Die Gründer wollen im Rahmen der ersten Kapitalerhöhungsrunde auch bei Ver-zicht auf ihre Bezugsrechte nicht auf einen Grundkapitalanteil unter 75 % verwäs-sert werden, um in der weichenstellenden Frühphase des Gesamtprojekts bestim-menden Einfluss auf wichtige Entscheidungen der Hauptversammlung ausüben zukönnen (z. B. Satzungsänderungen gemäß § 179 Abs. 2 Satz 1 AktG). In den fol-genden Kapitalerhöhungsrunden soll ihr Anteil zumindest noch über 25 % betra-gen, um sich ein Vetorecht bei solchen Entscheidungen vorbehalten zu können (sogenannte Sperrminorität).

• Die Projektbeteiligten können noch nicht angeben, in welcher Höhe die Pre-Investoren im Rahmen der ersten Kapitalerhöhungsrunde zur Zahlung eines Agiosbereit sind; sie gehen von einem maximal erzielbaren Agio von EUR 7,– pro Aktieaus. Da hier jedoch noch kein zur Untermauerung eines Agios geeignetes Gutach-ten bezüglich des Unternehmenswertes vorliegt, leisten die Pre-Investoren einen„Vertrauensvorschuss“ und sollen gegenüber dem Fonds nicht benachteiligt wer-den. Das vom Fonds in der zweiten Kapitalerhöhungsrunde zu zahlende Agio proAktie soll daher mindestens 20 % höher sein als bei den Pre-Investoren in derersten Kapitalerhöhungsrunde. Zudem sollen auch nachfolgend durch Erzielungentsprechender Wertsteigerungen der Patente mindestens 20 %-ige Steigerungsra-ten der Agios realisiert werden, um eine attraktive und dem Risiko angemesseneWertentwicklung auf Fondsebene darstellen zu können.

• Das bei den Pre-Investoren maximal platzierbare Anleihevolumen wird auf EUR650.000 geschätzt.

• Der finanzielle Mindestbedarf für die Weiterentwicklung der Patente wird für dieF&E-Phasen 1 bis 3 auf insgesamt EUR 8 Mio. geschätzt und kann in gewissenGrenzen frei auf diese drei Phasen verteilt werden; vom gesamten Mindestbedarfentfallen aus technologischen Gründen auf die Phasen 2 und 3 jeweils mindestensEUR 1 Mio. und auf Phase 1 aufgrund des notwendigen „Anschubs“ mindestensEUR 1,8 Mio. an Auszahlungen.

• Der für jede F&E-Phase ausgewiesene Aufwertungsbedarf der Patente sollte um-setzbar sein und somit am Ende der jeweiligen Periode in eine tatsächliche Wert-steigerung bzw. Aufwertung münden. In diesem Zusammenhang kann die vor-zunehmende Aufwertung der Patente im Sinne des Outputs der F&E-Aktivitätennicht unabhängig vom finanziellen Mitteleinsatz als korrespondierendem Input ge-sehen werden. Vielmehr wird die F&E-Effizienz als Verhältnis von realisierbarem

378 M. Gutiérrez

Aufwertungsbedarf und gesamter F&E-Auszahlung gewissen Beschränkungen un-terliegen. Brockhoff ermittelt bei seinen empirischen Untersuchungen eines Indus-trieunternehmens auf Basis einer Produktionsfunktion für F&E Grenzproduktivi-täten9 des (monetär bewerteten) F&E-Inputs in Bezug auf den Umsatz als Output-maß in der Größenordnung von rund 2,70 bis 3,39 (vgl. Brockhoff 1999, S. 306ff., insb. S. 314; Brockhoff 1986, S. 526 ff., insb. S. 535). Hierbei wird eine Zeit-verzögerung (Lag-Struktur) zwischen Input und Output berücksichtigt. In eineranderen empirischen Studie zu deutschen Unternehmen der chemischen Industriebestimmt Brockhoff ohne Abbildung einer Lag-Struktur Grenzproduktivitäten derF&E-Kosten in Bezug auf den Output Umsatz von 3,77 bis zu 7,55 (vgl. Brockhoff1990, S. 325 f.); bei Berücksichtigung einer Lag-Struktur wären sogar noch höhe-re Werte zu erwarten (vgl. Brockhoff 1999, S. 316; 1990, S. 325 f.). Die im hiervorliegenden Kontext betrachtete Wertsteigerung der Patente hat den Charakter ei-ner Vorlaufgröße10 für die spätere – im Gegensatz zu empirischen Daten jedochunsichere – Umsatzerzielung beispielsweise in Form von Lizenzeinnahmen; dahererscheint zumindest eine grobe und „vorsichtige“ Orientierung an den Untersu-chungen von Brockhoff zur Vermeidung unplausibler Input-Output-Relationen imBereich der Weiterentwicklung der Technologie vertretbar. Für die konkrete Fest-legung einer Obergrenze für die F&E-Effizienz wurde zudem das umfangreicheErfahrungs- und Expertenwissen einiger Projektbeteiligter einbezogen. Im Rah-men einer pragmatischen Gesamtschau der geschilderten empirischen Befunde ei-nerseits und des Expertenwissens andererseits wurde die F&E-Effizienz schließ-lich auf den Wert 3,00 begrenzt. Allerdings gilt es darauf hinzuweisen, dass überdie drei F&E-Phasen hinweg betrachtet die insgesamt erzielbare Durchschnitts-produktivität möglicherweise einer engeren Beschränkung unterliegen kann als esdie vereinfacht auf identische Grenzproduktivitäten limitierten F&E-Effizienzeneinzelner Phasen zulassen würden. Dieser Umstand wird bei der Analyse der Sze-narien, insbesondere bei der Einschätzung der Realisierbarkeit der vorgesehenenGesamtaufwertung der Patente, im Auge zu behalten sein.

• Neben der Obergrenze wird auch eine untere Grenze für die F&E-Effizienz in Hö-he von 1,00 angenommen; dem liegt die plausible Forderung zugrunde, dass sichder Einsatz einer Geldeinheit für Forschung und Entwicklung in einer Wertstei-gerung der Technologie im mindestens gleichen Ausmaß niederschlagen sollte –andernfalls würden die F&E-Aktivitäten letztlich zu einer Senkung des Unterneh-menswertes führen.

• Am Ende einer jeden F&E-Phase soll als Sicherheitspuffer ein Zahlungsmittelend-bestand in Höhe von mindestens EUR 250.000 vorhanden sein. Nach Abschlussder letzten Kapitalerhöhungsrunde zu Beginn des Jahres 4 müssen finanzielle Mit-

9Vgl. zur Produktionstheorie allgemein z. B. Dyckhoff (2006), Dinkelbach und Rosenberg (2004), Küpperund Helber (2004, S. 64 ff.).10Die Betrachtung als Vorlaufgröße erscheint insbesondere deshalb gerechtfertigt, weil der Ermittlung derWerthaltigkeit von Patenten im Rahmen des Discounted Cash Flow-Verfahrens Prognosen u. a. bezüglichzukünftig erzielbarer Umsätze zugrunde liegen. Vgl. zu einer Darstellung finanzwirtschaftlicher Bewer-tungsverfahren im Zusammenhang mit der Bewertung immaterieller Vermögenswerte, im Besonderen vonPatenten und Technologien, IDW (2010a) i. V. m. IDW (2010b).


tel in Höhe von mindestens EUR 13 Mio. verfügbar sein, um den anschließendenBau der Pilotanlage finanzieren zu können.

Im Rahmen der Erarbeitung von Szenarien wurde die Einhaltung der beschriebe-nen Nebenbedingungen im Excel-Arbeitsblatt durch bedingte Formatierung der be-treffenden Zellen (z. B. rot, falls der Zellwert außerhalb des zulässigen Bereichesliegt) überwacht. Die in Tab. 1 gezeigte Lösung stellt ein in Bezug auf die geschil-derten Restriktionen zulässiges Szenario für die Finanzierung des Gesamtprojektsdar und diente in den Projektsitzungen als erste Grundlage für die im nachfolgendenAbschnitt skizzierte Diskussion.

3.3 Diskussion der Ausgangslösung und Optimierungsbedarf

Das in Tab. 1 wiedergegebene Szenario fordert eine Gesamtaufwertung der Paten-te in Höhe von rund EUR 20,3 Mio. (siehe schwarz hinterlegte Zelle I41); im Zugeder Diskussion dieser Ausgangslösung mit den Projektbeteiligten kristallisierte sichjedoch heraus, dass die Größenordnung dieses Aufwertungsbedarfes – die noch vorErstellung der Pilotanlage realisiert werden müsste – eine anspruchsvolle Heraus-forderung für das Gesamtprojekt darstellt, die zwar nicht grundsätzlich unerreichbarschien, sich aber je nach Verlauf der F&E-Aktivitäten möglicherweise als kritischeHürde erweisen könnte. Da aufgrund der mit F&E-Prozessen verbundenen Unsicher-heiten11 die tatsächlich realisierbaren Aufwertungsmöglichkeiten zum betreffendenZeitpunkt allerdings noch nicht exakt quantifiziert werden konnten, war zumindesteine Abschätzung für die untere Schranke für den gesamten Aufwertungsbedarf ge-sucht, bei der die gesetzten Restriktionen gerade noch eingehalten werden können.Die Frage lautete also: Welche minimale Gesamtaufwertung der Patente muss durchdie Weiterentwicklung der Technologie mindestens erreicht werden, so dass die Pro-jektanforderungen – insbesondere die Finanzierung der drei F&E-Phasen und desBaus der Pilotanlage – gerade noch erfüllt werden? Dieser gesuchte minimale Auf-wertungsbedarf und seine zeitliche Verteilung auf die drei F&E-Phasen waren an-schließend im weiteren Projektverlauf einer erneuten Einschätzung hinsichtlich ihrerRealisierbarkeit zu unterziehen.

Da in der in Tab. 1 gezeigten Ausgangslösung die finanziellen Mindesterforder-nisse des Gesamtprojekts – EUR 8 Mio. kumulierte F&E-Auszahlungen in den F&E-Phasen 1 bis 3 und EUR 13 Mio. Zahlungsmittelendbestand vor Baubeginn der Pi-lotanlage – lediglich eingehalten, aber um keinen Cent übererfüllt werden, scheintes sich bei ihr auf den ersten, oberflächlichen Blick um eine im Sinne der obigenFragestellung „durchaus gute“ Lösung zu handeln, bei der gar kein Spielraum mehrfür eine weitere Senkung des ausgewiesenen Gesamtaufwertungsbedarfes vorhan-den zu sein scheint. Vielmehr führt eine isolierte Senkung einzelner Aufwertungenzu einer Reduktion des Unternehmenswertes pro Aktie und folglich auch des vomFonds in der jeweils folgenden Kapitalerhöhungsrunde zu zahlenden Preises für diegezeichneten neuen Aktien, was eine Verringerung der der HighTech Revolution AG

11Vgl. zur Systematisierung und Analyse der Unsicherheit bei F&E-Projekten z. B. Brockhoff (1999,S. 169 ff., S. 238 und 459); Friedl (2003, S. 380 ff.).

380 M. Gutiérrez

zufließenden Mittel und damit die Verletzung der Finanzierungsrestriktionen – insbe-sondere für den Bau der Pilotanlage – nach sich zieht. Variiert man zur Kompensationweitere Variablenwerte, werden wiederum andere Restriktionen verletzt – man drehtsich letztlich im Kreis. Vor diesem Hintergrund bietet es sich an, die geschilderteProblemstellung als mathematisches Optimierungsmodell zu formulieren und in ei-ner geeigneten Software zu implementieren, welche sodann eine optimale Lösungunter simultaner Einhaltung aller Nebenbedingungen anstrebt.

4 Formulierung, Implementierung und Lösung des mathematischenOptimierungsmodells

4.1 Formulierung des mathematischen Optimierungsmodells

Das in den vorangegangenen Abschnitten verbal beschriebene Optimierungsmodellwird im Folgenden in allgemeiner mathematischer Notation aufgestellt. Die dabeieingeführten Hilfsvariablen repräsentieren von den Variablen abhängige Größen undgestatten eine übersichtliche Modellformulierung.

Index

t = 1, . . . , T Index der Perioden (Jahre)

Parameter

a Nominalkapital Gründer (= Aktienanzahl)bt , t = 1, . . . , T Mindestanteil Gründerc maximales Agio pro Aktie Pre-Investorend Mindeststeigerungsrate Agio pro Aktiee Obergrenze Anleihevolumenf Anleihezinssatzg Kaufpreis Patenteh Fördersatz für F&Ekt , t = 1, . . . , T − 1 F&E-Mindestauszahlung je Periode bzw. F&E-Phasel F&E-Mindestauszahlung über alle F&E-Phasen hinwegm Untergrenze F&E-Effizienznt , t = 1, . . . , T − 1 Obergrenze F&E-Effizienzp Habenzinssatzqt , t = 1, . . . , T Mindest-Zahlungsmittelendbestandμ0 Zahlungsmittelendbestand am Ende von (Rumpf-)Periode 0

(= a − g)

Hinweis: Die Effizienzobergrenzen nt besitzen zwar annahmegemäß zunächstidentische Werte und könnten daher vereinfacht auch als periodenunabhängiger Pa-rameter n eingeführt werden; mit Blick auf die spätere Durchführung von Parameter-variationen in t = 1 werden sie jedoch von vornherein als periodenbezogen definiert.


Variablen

vt , t = 1, . . . , T nominaler Grundkapitalzuwachs (= Anzahl neuer Aktien)w gesamtes Agio Pre-Investoren in KE 1x Höhe Anleihevolumen (Emission in t = 1, Rückführung in

t = T )

yt , t = 1, . . . , T − 1 gesamte F&E-Auszahlung je Periode bzw. F&E-Phasezt , t = 1, . . . , T − 1 Aufwertungsbedarf am Ende der jeweiligen Periode bzw. F&E-

Phase

Hilfsvariablen

λt , t = 2, . . . , T Agio pro Aktie Fondsμt , t = 1, . . . , T Zahlungsmittelendbestandπt , t = 1, . . . , T − 1 Unternehmenswert je Aktie

Zielfunktion

Minimierung des Gesamtaufwertungsbedarfes Z

MinZ =T −1∑

t=1

zt (1)

Nebenbedingungen

Mindestanteile Gründer

a

a + ∑tr=1 vr︸︷︷︸

(I)

≥ bt , t = 1, . . . , T (2)

Maximales Agio pro Aktie Pre-Investoren

w

v1≤ c (3)

Mindeststeigerungsraten Agio pro AktieFonds in t = 2 im Vergleich zu den Pre-Investoren in t = 1

λ2 ≥ (1 + d)w

v1(4)

Fonds im Vergleich zum Fonds in der jeweiligen Vorperiode

λt ≥ (1 + d)λt−1, t = T − 1, T (5)

Obergrenze Anleihevolumen

x ≤ e (6)

382 M. Gutiérrez

F&E-Mindestauszahlungenje Periode bzw. F&E-Phase

yt ≥ kt , t = 1, . . . , T − 1 (7)

insgesamt über alle F&E-Phasen hinweg

T −1∑

t=1

yt ≥ l (8)

F&E-Effizienzgrenzen

m ≤ zt

yt

≤ nt , t = 1, . . . , T − 1 (9)

Mindest-Zahlungsmittelendbestände

μt ≥ qt , t = 1, . . . , T (10)

Definitionsgleichungen der HilfsvariablenAgios pro Aktie Fonds

λt = πt−1 − 1, t = 2, . . . , T (11)

Zahlungsmittelendbestände

μ1 = μ0 +(II)︷︸︸︷

v1 + w +x︸︷︷︸(III)

− xf︸︷︷︸(IV)

−y1 (1 − h)︸︷︷︸(V)︸︷︷︸

(VI)

+[μ0 + v1 + w + x + μ0 + v1 + w + x − xf − y1 (1 − h)

2

]

︸︷︷︸(VII)

p

︸︷︷︸(VIII)

= (μ0 + v1 + w + x) (1 + p) − (xf + y1 (1 − h))(

1 + p

2

)(12)

μt = μt−1 +(II)︷︸︸︷

vtπt−1︸︷︷︸(III)

− xf︸︷︷︸(IV)

−yt (1 − h)︸︷︷︸(V)︸︷︷︸

(VI)

+[μt−1 + vtπt−1 + μt−1 + vtπt−1 − xf − yt (1 − h)

2

]

︸︷︷︸(VII)

p

︸︷︷︸(VIII)

, t = 2, T − 1


= (μt−1 + vtπt−1)(1 + p) − (xf + yt (1 − h))

(1 + p

2

)(13)

μT = μT −1 + vT πT −1︸︷︷︸(II)

−x (14)

Unternehmenswerte je Aktie

πt =

(IX)︷︸︸︷μt − x + g + ∑t

r=1 zr

a + ∑tr=1 vr︸︷︷︸

(I)

, t = 1, . . . , T − 1 (15)

Positivitäts- und Nichtnegativitätsbedingungen

v1 > 0

μt ≥ 0, t = 1, . . . , T

yt , zt , πt ≥ 0, t = 1, . . . , T − 1

vt , λt ≥ 0, t = 2, . . . , T

w,x ≥ 0

Hinweise:

– Die Operationalisierung der Positivitätsbedingung wird in Abschn. 4.2.2 (c) disku-tiert.

– Die Nichtnegativitätsbedingungen erweisen sich teilweise als redundant, wie bei-spielsweise für yt unmittelbar anhand von (7) ersichtlich ist.

Legende

(I) Nenner: Summe Grundkapital (= Aktienanzahl)(II) Summe Kapitalerhöhung

(III) Zahlungsmittelbestand nach Kapitalbeschaffung(IV) Anleihezinsen(V) F&E-Auszahlung effektiv

(VI) Zahlungsmittelendbestand vor Habenzinsen(VII) Durchschnittlicher Zahlungsmittelbestand

(VIII) Habenzinsen(IX) Zähler: Unternehmenswert

Ein zentrales Merkmal der Finanzierungskonzeption ist die Zeichnung von Kapital-erhöhungen der HighTech Revolution AG durch den Fonds auf Basis des Unterneh-menswertes pro Aktie am Ende der jeweils vorausgehenden F&E-Phase, d. h. erzeichnet zu Beginn von Periode t neue Aktien zu einem Preis in Höhe von πt−1.Wegen λt ≥ 0 für t = 2, . . . , T und Nebenbedingungen (11) gilt zwingend πt ≥ 1 fürt = 1, . . . , T − 1; somit ist ausgeschlossen, dass der Fonds zu einem Preis unterhalb

384 M. Gutiérrez

von EUR 1,– je Aktie zeichnet und folglich der Bestimmung in § 9 Abs. 1 i. V. m.§ 8 Abs. 3 Satz 3 AktG Rechnung getragen, gemäß welcher der Ausgabebetrag derAktien EUR 1,– nicht unterschreiten darf („geringster Ausgabebetrag“).

4.2 Problematik und Handhabung nichtlinearer Modellstrukturen

4.2.1 Problematik nichtlinearer Modelle

Im Zusammenhang mit der Struktur von Optimierungsmodellen ist grundsätzlichzwischen linearen und nichtlinearen Modellen zu unterscheiden. Beim hier betrach-teten Optimierungsproblem handelt es sich aufgrund einer Reihe von Multiplikatio-nen und Divisionen von Variablen bzw. Größen, die direkt oder indirekt von denVariablen abhängen (Hilfsvariablen), um ein nichtlineares Modell (siehe Nebenbe-dingungen (2), (3), (4), (9), (13), (14) und (15)). Während für lineare Modelle Lö-sungsverfahren (insbesondere der Simplex-Algorithmus) zur Verfügung stehen, diedas Auffinden einer (global) optimalen Lösung im Falle deren Existenz12 garantie-ren, sind bei nichtlinearen Modellen in Abhängigkeit von deren Struktur13 und denverwendeten Lösungsverfahren in der praktischen Anwendung insbesondere folgen-de beiden Probleme zu beachten:

• ausgehend von einer zulässigen Lösung identifizieren auf lokalen Suchstrategienberuhende Algorithmen – hierzu zählen insbesondere die in Softwaretools häufigzum Einsatz kommenden Gradientenverfahren14 – im Allgemeinen (vgl. Hillierund Lieberman 1997, S. 421) nur lokale Optima, die suboptimal im Vergleich zumglobalen Optimum sein können;15

• ausgehend von einer unzulässigen Lösung wird möglicherweise keine zulässigeLösung gefunden, auch wenn eine solche existiert (vgl. LINDO Systems Inc. 2010,S. 195, 197 und 408).

Vor dem Hintergrund dieser Probleme wurden vorliegend zum einen Maßnah-men auf Ebene der Modell- und Datenstruktur gemäß nachfolgendem Abschn. 4.2.2durchgeführt; zum anderen diskutiert Abschn. 4.3.2 (b) relevante Gesichtspunkte imZusammenhang mit der Lösung des Modells.

12Vgl. zu möglichen Sonderfällen der linearen Optimierung z. B. Domschke und Drexl (2007, S. 35 ff.).13Vgl. zur Struktur und Klassifikation nichtlinearer Optimierungsprobleme z. B. Hillier und Lieberman(1997, S. 415 ff., insb. S. 423 ff.), Domschke und Drexl (2007, S. 176 ff.), Ellinger et al. (2001, S. 185 ff.,insb. S. 194 ff.).14Vgl. zur Gruppe der Gradientenverfahren z. B. Ellinger et al. (2001, S. 224 ff.), Hillier und Lieberman(1997, S. 432 ff.), Domschke und Drexl (2007, S. 187 ff.).15Liegt dagegen speziell ein konvexes nichtlineares Optimierungsproblem vor, ist ein lokales Optimumzugleich ein globales Optimum; vgl. hierzu Ellinger et al. (2001, S. 211).


4.2.2 Ausgewählte Leitlinien für die nichtlineare Modellierung

(a) Umformung nichtlinearer in lineare AusdrückeNichtlineare Ausdrücke sollten soweit wie möglich in lineare Ausdrücke über-führt werden (vgl. LINDO Systems Inc. 2010, S. 198).16 Dementsprechend wur-den durch algebraische Umformungen die nichtlinearen Nebenbedingungen (2)durch die linearen Nebenbedingungen

a ≥ bt

(a +

t∑

r=1

vr

), t = 1, . . . , T , (2a)

die nichtlineare Nebenbedingung (3) durch die lineare Nebenbedingung

w ≤ cv1 (3a)

sowie die nichtlinearen Nebenbedingungen (9) durch die linearen Nebenbedin-gungen

myt ≤ zt ≤ ntyt , t = 1, . . . , T − 1 (9a)

ersetzt. Eine vollständige Elimination nichtlinearer Ausdrücke durch einfacheUmformungen dieser Art erwies sich für das betrachtete Modell jedoch als nichtpraktikabel.

(b) DatenskalierungWeichen die Größenordnungen der Variablen und/oder Parameter zu stark von-einander ab, können Rundungsfehler, Anstieg der Rechenzeit und Instabilitätenim Lösungsprozess die Folge sein (vgl. Bazaraa et al. 2006, S. 29 f.; Thanassou-lis 2001, S. 111). Zudem basieren die Terminierungskriterien vieler Lösungsalgo-rithmen auf vordefinierten Toleranzbereichen für die (akzeptierte) Verletzung vonNebenbedingungen und für Zielfunktionsverbesserungen, die über eine gegebeneAnzahl jüngst zurückliegender Iterationen erzielt werden. Voraussetzung für dieVerlässlichkeit derartiger Prüfkriterien ist folglich eine hinreichende Skalierungdes Problems (vgl. Bazaraa et al. 2006, S. 29). Obwohl die Datenskalierung da-her einen wichtigen Grundsatz „guter Modellierung“ darstellt und wesentlichenEinfluss auf die Stabilität des Lösungsprozesses sowie dessen Ergebnis habenkann, wird diese in der Praxis tatsächlich häufig vernachlässigt (vgl. Bazaraa etal. 2006, S. 29). Allerdings gilt es zu beachten, dass ein „hinreichend schlecht“skaliertes Problem zwar von der Datenskalierung profitieren wird, der Effekt beibesseren Ausgangssituationen jedoch gemischter Natur sein kann; daher weisenBazaraa et al. (2006, S. 29) auf den Forschungsbedarf hinsichtlich Mechanismenund Wirkungen der Datenskalierung bei nichtlinearen Problemen hin.

Im hier betrachteten Fall differieren einstellige Zinssätze auf der einen undzweistellige Millionenbeträge auf der anderen Seite um einen Faktor in der Grö-ßenordnung von bis zu 109; Faustregeln empfehlen dagegen Abweichungen von

16Ergänzend sei auf weiterführende Ansätze der Linearisierung mittels stückweiser Approximation nicht-linearer durch lineare Funktionen hingewiesen; vgl. hierzu Domschke und Drexl (2007, S. 208 ff.),Domschke und Klein (2000), Stolletz und Stolletz (2008).

386 M. Gutiérrez

maximal 104 (vgl. LINDO Systems Inc. 2010, S. 198) oder die Abwesenheitvon Koeffizienten mit einem absoluten Wert von größer als 100.000 und kleinerals 10−4 (vgl. LINDO Systems Inc. 2006, S. 32). Das vorliegende Ausgangs-problem ist insofern als „schlecht“ skaliert einzustufen. Werden vor diesem Hin-tergrund monetäre Ausdrücke in Mio. EUR ausgedrückt (also z. B. EUR 1 Mio.statt EUR 1.000.000), lässt sich die Abweichung auf eine akzeptable Größenord-nung von 103 reduzieren.

Als einfache – allerdings tendenziell vergröbernde – Alternative zur Datenska-lierung kann bei schlecht skalierten Modellen die Erhöhung der Toleranz für dieVerletzung von Restriktionen in den entsprechenden Einstellungen der Softwarein Betracht gezogen werden. Dieser pragmatische Behelf kann sich als durch-aus nützlich erweisen und die Lösbarkeit eines ursprünglich unlösbaren Modellsermöglichen; die bevorzugte Methode indes bleibt die Datenskalierung.17

(c) Vermeidung nicht definierter AusdrückeUndefinierte Ausdrücke aufgrund etwaiger Division durch Null sind zu vermei-den (vgl. LINDO Systems Inc. 2010, S. 197). Daher wurde mit Blick auf dieursprüngliche Nebenbedingung (3) sowie auf Nebenbedingung (4) für den nomi-nalen Grundkapitalzuwachs v1 in Periode t = 1 die Positivitätsbedingung v1 > 0gesetzt,18 die zum Zwecke der Implementierung des Modells in Form von v1 ≥ s

mit s > 0 operationalisiert werden kann.19 Um möglichst keinen verfälschendenEinfluss auf die optimale Lösung auszuüben (d. h. diese Restriktion sollte sich inder Optimallösung nicht als bindend herausstellen, sondern Schlupf aufweisen),wurde der Wert für s – unter Einhaltung der in Punkt (b) genannten Faustregelnfür die Datenskalierung – entsprechend niedrig angesetzt; mit dem pragmatischgewählten Wert 0,005 (entsprechend EUR 5.000 bzw. 5.000 Stückaktien) steigtdie maximale Abweichung zwischen den Modelldaten auf eine noch akzeptableGrößenordnung von 104.

Trotz Umformung von Nebenbedingung (3) in (3a) gemäß Punkt (a) bietetsich die vorstehend geschilderte Vorgehensweise an, soweit das in Nebenbedin-gung (4) noch enthaltene Agio pro Aktie w/v1 im Arbeitsblatt ohnehin explizitausgewiesen und weiterverarbeitet werden soll. Ist dies dagegen nicht der Fall,kann Nebenbedingung (4) alternativ mittels Umformung durch die – weiterhinnichtlineare – Nebenbedingung

λ2v1 ≥ (1 + d)w (4a)

und die Positivitätsbedingung v1 > 0 durch die Nichtnegativitätsbedingung v1 ≥0 ersetzt werden. Die Nebenbedingungen (3a) wie auch (4a) bilden nun zudemdie logische Relation zwischen (Nominal-)Kapitalerhöhung und Agio ab: Findet

17„The best solution would be to rescale the model, but setting the feasibility tolerance offers a simpleralternative.“ (LINDO Systems Inc. 2010, S. 48).18Für die gegebenen Parameterausprägungen wäre ein vollständiger Verzicht auf eine Kapitalerhöhung int = 1 (d. h. v1 = 0) zwar ohnehin nicht möglich, für andere Annahmen aber nicht grundsätzlich ausge-schlossen.19Beim Vergleich von linker und rechter Seite einer Nebenbedingung des Modells werden die (strikten)Vergleichsoperatoren < und > in der hier betrachteten Softwareimplementierung nicht direkt unterstützt.


in t = 1 keine Kapitalerhöhung statt (d. h. v1 = 0),20 so kann es faktisch auchkein Agio geben; (3a) ebenso wie (4a) stellen in diesem Fall jeweils sicher, dassdas Agio w zwingend auf den Wert Null gesetzt wird.21

4.3 Überblick über ausgewählte Optimierungstools sowie Implementierung undLösung des Modells

4.3.1 Überblick über ausgewählte Optimierungstools

Als Software für die Implementierung und Lösung eines Optimierungsmodells kön-nen insbesondere Modellierungssprachen sowie Add-Ins für Tabellenkalkulations-programme in Betracht gezogen werden:

• Modeling Languages (Modellierungssprachen) erlauben eine Implementierung desOptimierungsmodells korrespondierend zu dessen allgemeiner mathematischerNotation und werden mittels integrierter oder externer Algorithmen gelöst. Bei-spiele für Modellierungssprachen sind LINGO22, AMPL® 23 und GAMS.24

• Spreadsheet Solver ermöglichen als Add-Ins die Implementierung und Lösung vonOptimierungsmodellen im Rahmen von Tabellenkalkulationsprogrammen25 (z. B.Microsoft® Excel). Beispiele für Spreadsheet Solver sind der Excel-Solver26 undWhat’sBest!®.27

Modellierungssprachen zeichnen sich durch die Trennung der allgemeinen Mo-dellstruktur von den Daten, den damit verbundenen Vorteilen der effizienten Daten-speicherung und -pflege sowie Skalierbarkeit der Modelldimensionen aus und eignensich insbesondere auch bei Optimierungsmodellen mit komplexer mathematischerStruktur. Spreadsheet Solver erfordern dagegen nicht unbedingt den Rückgriff aufdie algebraische Notation eines Modells. Sie bieten vielmehr den Vorteil, dass in der„vertrauten“ Umgebung von Excel gearbeitet und – wie es in der Praxis häufig derFall sein wird – ggf. auf einer in einem Excel-Arbeitsblatt bereits erarbeiteten Grund-struktur des Problems aufgebaut werden kann; genau diese Situation traf im Rahmen

20Es sei auf die Anmerkung in Fußnote 18 hingewiesen.21Die Nebenbedingungen (3a) und (4a) tragen insofern Züge von „forcing constraints“; vgl. zu dieseminsbesondere im Zusammenhang mit Restriktionen für Binärvariablen bisweilen verwendeten Begriff z. B.Martin (1999, S. 16).22Vgl. zu weiterführenden Informationen www.lindo.com.23Vgl. zu weiterführenden Informationen www.ampl.com.24Vgl. zu weiterführenden Informationen www.gams.com.25Die Modellierung und Lösung von Optimierungsproblemen auf Basis von Tabellenkalkulationsprogram-men wird insbesondere in amerikanischen Lehrbüchern beschrieben (vgl. Domschke und Drexl 2007,S. 242); siehe im Einzelnen die Lehrbücher: Winston und Albright (2001), Savage (2003), Ragsdale(2007), Hillier und Hillier (2010).26Vgl. zu weiterführenden Informationen www.microsoft.com; vgl. zu einer Darstellung des Excel-Solvers z. B. Domschke und Drexl (2007, S. 242 ff.), Schäfer und Zweifel (1999), Günther (1999a, 1999b),Braun (1999).27Vgl. zu weiterführenden Informationen www.lindo.com; vgl. zu einer Darstellung von What’sBest!®

z. B. Ellinger et al. (2001, S. 66 ff.).

http://www.lindo.com

http://www.ampl.com

http://www.gams.com

http://www.microsoft.com


388 M. Gutiérrez

des vorliegenden Projekts zu, weshalb ein Spreadsheet Solver herangezogen wurde.Hierbei wurde zunächst auf die explizite Formulierung des in den Abschn. 4.1 und4.2.2 entwickelten formalen Modells verzichtet und eine unmittelbare Implementie-rung mittels What’sBest!® in Excel vorgenommen; erst im weiteren Verlauf wurdedas Modell zu Analyse- und Dokumentationszwecken auch in allgemeiner mathema-tischer Notation aufgestellt.

4.3.2 Implementierung und Lösung des Modells mittels What’sBest!®

(a) Implementierung des ModellsTabelle 2 zeigt die Implementierung des Modells28 mittels What’sBest!® in Ex-cel sowie die Ergebnisse der Optimierung; die zugrunde liegenden Formelbezügedes Arbeitblattes werden aus dem Anhang ersichtlich. Die Spezifikation der Va-riablen (grau hinterlegte Zellen), der Zielzelle (schwarz hinterlegte Zelle) undder Nebenbedingungen kann über entsprechende Dialogboxen oder eine beson-ders benutzerfreundliche Toolbar erfolgen. Die Visualisierung von Restriktionenim Arbeitsblatt über entsprechende Indikatoren ermöglicht einen raschen Über-blick über die Struktur des Optimierungsproblems hinsichtlich der vorhandenenNebenbedingungen und deren aktueller Auslastung bzw. Einhaltung: So zeigenim Fall von Ungleichungen die Indikatoren „<=“ bzw. „>=“ die Einhaltung mitSchlupf, die Indikatoren „=<=“ bzw. „=>=“ die vollständige Ausschöpfungund die Indikatoren „Not <=“ bzw. „Not >=“ die Verletzung der betreffen-den Restriktion an; im Fall von Gleichungen weist der Indikator „=“ auf derenEinhaltung, der Indikator „Not =“ auf deren Verletzung hin.29 Insbesondere zuden Zellbezügen der Restriktionen beachte man unterstützend den Anhang, dasich die Indikatoren aufgrund des Gesamtaufbaus des Arbeitsblattes nicht in al-len Fällen auf jeweils unmittelbar angrenzende Zellen beziehen.

(b) Lösung des ModellsBei nichtlinearen Problemen kann es sich vorteilhaft auf den Lösungsprozess aus-wirken, im Excel-Arbeitsblatt möglichst „gute“30 – zumindest aber zulässige –Ausgangswerte für die Variablen zu wählen (vgl. LINDO Systems Inc. 2010, S.197). Dieser Empfehlung konnte hier allerdings nicht immer gefolgt werden, weildas Modell während der Arbeitssitzungen der Projektbeteiligten für die Durch-führung einer Vielzahl, auch spontan angeregter Variantenrechnungen eingesetzt

28Hierbei wurden die Ausdrücke (1), (2a), (3a), (4)–(8), (9a), (10)–(14) und (15) sowie die Positivitäts-

bedingung für v1 implementiert. Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen sind unter What’sBest!®

standardmäßig voreingestellt. Für die Hilfsvariablen sind sie vorliegend wegen Redundanz zu anderenRestriktionen entbehrlich.29Neben diesem „Indicator Mode“ kann für die Visualisierung von Nebenbedingungen alternativ der„Slack Mode“ gewählt werden, bei dem die Höhe des Schlupfes ausgewiesen wird; vgl. LINDO SystemsInc. (2010, S. 28 und 48 f.).30Einschränkend gilt es jedoch zu beachten, dass durch die Einbeziehung von Vorwissen bzw. Plausibili-tätsüberlegungen hinsichtlich vermeintlich „gut“ erscheinender Ausgangslösungen insbesondere bei nicht-konvexen Problemen deutlich anders strukturierte, möglicherweise bessere Lösungen aus dem Blickfeldgeraten können.


Tab. 2 Implementierung des Modells und Ergebnisse der Optimierung

wurde und die Berücksichtigung veränderter Annahmen hinsichtlich der Bele-gung von Variablen und/oder Parametern häufig zur Unzulässigkeit der aktuellausgewiesenen Lösung führte. Da sich die manuelle, durchaus aufwendige Su-che nach zulässigen, geschweige denn „guten“ Lösungen aufgrund zeitlicher Re-striktionen jedoch als wenig praktikabel erwies, mussten die Optimierungsläu-fe teilweise auch von unzulässigen Lösungen ausgehend gestartet werden. Den-noch waren über die Gesamtheit aller Berechnungen hinweg betrachtet eine hoheStabilität und Verlässlichkeit der Lösungsprozeduren zu beobachten. Diese Ro-

390 M. Gutiérrez

bustheit ist nicht zuletzt auch auf die in Abschn. 4.2.2 beschrieben Maßnahmenzurückzuführen, wie der Vergleich mit Optimierungsläufen auf Basis eines Test-modells ohne diese Maßnahmen andeutet.

Weiterhin bietet es sich bei nichtlinearen Problemen an, den Lösungsvorgangausgehend von verschiedenen zulässigen Startpunkten zu wiederholen, um zu-mindest die innerhalb der Menge der ermittelten lokalen Optima beste Lösungzu erhalten. Diese heuristische Vorgehensweise kann ggf. von der Software auto-matisiert vorgenommen werden; ein Beispiel hierfür ist der „Multistart Solver“unter What’sBest!®, der im vorliegenden Fall bei allen Berechnungen zum Ein-satz kam. Darüber hinaus wurde in einigen Fällen die Optimierung auf Basis derzunächst erhaltenen Lösung erneut durchgeführt.

Es sei schließlich darauf hingewiesen, dass einige Softwarelösungen weiterge-hende Algorithmen zur Ermittlung globaler Optima bei nichtlinearen Problemenbereitstellen. Ein Beispiel hierfür ist der unter What’sBest!® optional verfügba-re „Global Solver“. Hinsichtlich der Nutzung solcher Algorithmen ist jedoch zubeachten, dass sie je nach Softwareversion gegebenenfalls nur eine reduzierteAnzahl nichtlinearer Variablen zulassen31 und unter Umständen zu einem erheb-lichen Anstieg der Rechenzeit führen (vgl. LINDO Systems Inc. 2006, S. 18;LINDO Systems Inc. 2010, S. 62). Aus erstgenanntem Grund konnte der „GlobalSolver“ in der hier herangezogenen Version für den betrachteten Anwendungsfallnicht eingesetzt werden.

5 Ableitung struktureller Erkenntnisse und Handlungsempfehlungenfür das vorliegende Gesamtprojekt

5.1 Analyse der Ergebnisse der Optimierung

5.1.1 Überblick über die Ergebnisse

Wie Tab. 2 zeigt, kann mittels der Optimierung gegenüber der Ausgangslösung inTab. 1 eine massive Verbesserung der Zielgröße erreicht werden: Wurde ursprünglichein Aufwertungsbedarf für die Patente in Höhe von insgesamt rund EUR 20,3 Mio.gefordert, so wird nun aufgezeigt, dass die Erfüllung aller Projektanforderungen (ins-besondere der Finanzierungserfordernisse) auch mit einer weitaus niedrigeren Ge-samtaufwertung in Höhe von rund EUR 13,6 Mio. möglich erscheint – ein angesichtsder Unsicherheit über die faktisch erzielbaren zukünftigen Aufwertungsmöglichkei-ten für die Beurteilung der Tragfähigkeit und Realisierbarkeit des gesamten Finan-zierungskonzepts aus Sicht der Projektbeteiligten wichtiges Ergebnis.

Mit dem erheblich niedrigeren Gesamtaufwertungsbedarf ist ferner eine deutlichandere Ausprägung der Variablen und der von ihnen abhängigen Größen insbeson-dere auch in zeitlicher Hinsicht verbunden. So werden in der Optimallösung in den

31Vgl. hierzu die Herstellerangaben zur jeweils maximal zulässigen Anzahl nichtlinearer Variablen bei

unterschiedlichen Versionen von What’sBest!® 10.0; in der „Extended Version“ von What’sBest!® ist dieAnzahl der Variablen – auch der nichtlinearen – dagegen nicht begrenzt (www.lindo.com; Aufrufdatum:14.02.2011).



Kapitalerhöhungsrunden 1 bis 3 im Vergleich zur Ausgangslösung wesentlich weni-ger, in der letzten Kapitalerhöhungsrunde (KE 4) dagegen entsprechend mehr neueAktien emittiert. Es ist einsichtig, dass – soweit die Finanzierungserfordernisse derF&E-Phasen es zulassen – in den frühen Kapitalerhöhungsrunden nicht zu viele Ak-tien zu der hier noch niedrigen Bewertung ausgegeben werden sollten, sondern erstspäter zu der aus Sicht der HighTech Revolution AG attraktiveren Bewertung.

Auch die Mittelverausgabung für die Weiterentwicklung der Technologie zeigtnun eine deutlich andere zeitliche Verteilung. Im Vergleich zur Ausgangslösung wer-den in der Optimallösung in F&E-Phase 2 wesentlich weniger, in der F&E-Phase 1und vor allem 3 dagegen entsprechend mehr Mittel eingesetzt. Zusammen mit einerveränderten Ausschöpfung der Restriktionsobergrenze für die Effizienz in den einzel-nen F&E-Phasen wird schließlich eine erheblich abweichende Struktur der Aufwer-tungsbedarfe ausgewiesen. Während die Ausgangslösung durchgehend zunehmendeAufwertungen zugrunde legt, verlangt die Optimallösung die höchste Aufwertungbereits am Ende der F&E-Phase 1, gefolgt von einer weitaus niedrigeren Aufwertungam Ende von Phase 2 und einer dann wieder ansteigenden, aber im Vergleich zurAusgangslösung immer noch erheblich niedrigeren Aufwertung am Ende von Pha-se 3. Daher wird der Anstieg des Agios pro Aktie gegenüber der Ausgangslösungin den Kapitalerhöhungsrunden 3 und 4 gedämpft – und zwar ausgehend von einemhöheren Ausgangsniveau, bei dem eine Platzierung der Kapitalerhöhung bei den Pre-Investoren an der oberen Preisgrenze unterstellt wird.

5.1.2 Kritische Bereiche der Optimallösung

Die Ausführungen des vorangegangenen Abschnitts deuten darauf hin, dass die Op-timallösung kritische Bereiche aufzuweisen scheint:

• Die geforderte Platzierung der Kapitalerhöhung bei den Pre-Investoren an der obe-ren Preisgrenze bei gleichzeitiger Unterstellung einer vollständigen Platzierung derAnleihe wirft die Frage auf, wie kritisch ein niedrigerer Emissionspreis bzw. eingeringeres Emissionsvolumen (Produkt aus Emissionspreis und Anzahl neuer Ak-tien) und/oder eine unvollständige Platzierung der Anleihe für die Finanzierbarkeitdes Gesamtprojekts im Sinne des Erreichens einer zulässigen Lösung und darüberhinausgehend für die Güte der Optimallösung sind.

• Die zeitliche Verteilung der Aufwertungsbedarfe in der Optimallösung könnte aufden ersten Blick als unplausibel erachtet werden, da man im Zuge fortschreitenderF&E-Aktivitäten eher steigende Aufwertungsmöglichkeiten erwarten mag. Demkann allerdings entgegengehalten werden, dass die Höhe der Aufwertungen imZusammenhang mit dem Umfang der jeweiligen Mittelverausgabung für F&E zusehen ist und die diesbezügliche F&E-Effizienz in keiner Phase die sich an em-pirischen Befunden und Expertenwissen orientierende Effizienzobergrenze über-schreitet. Gleichwohl wirft die in der Optimallösung geforderte hohe Aufwertungam Ende der F&E-Phase 1 bei vollständiger Ausnutzung der Effizienzobergrenze(siehe Indikator „=<=“ in Zelle E42 der Tab. 2) zumindest die Frage auf, wiekritisch sich eine niedrigere Aufwertung bzw. niedrigere F&E-Effizienz in Phase 1auf die Realisierbarkeit des Gesamtprojekts und darüber hinaus wiederum auf dieGüte der Optimallösung auswirken.

392 M. Gutiérrez

Die nähere Analyse dieser und weiterer Fragestellungen ist Gegenstand der nach-folgenden Postoptimalitätsanalysen.32

5.2 Bedeutung der Platzierung von Kapitalerhöhung und Anleihebei den Pre-Investoren

Die in Tab. 2 gezeigte Optimallösung geht hinsichtlich der durch die Pre-Investorengezeichneten Kapitalerhöhung von einem Emissionsvolumen (Summe Kapitalerhö-hung) in Höhe von EUR 986.817 aus. Das maximale Emissionsvolumen in Höhe vonEUR 1.333.328 ergibt sich aus der – angesichts der in dieser Kapitalerhöhungsrundegesetzten Verwässerungsgrenze der Gründer von 75 % – maximal möglichen Anzahlneuer Aktien in Höhe von 166.666 Stück multipliziert mit dem maximal möglichenEmissionspreis von EUR 8,– je Aktie (= maximales Agio je Aktie (EUR 7,–) plusrechnerischer Anteil einer Aktie am Grundkapital (EUR 1,–)). Das maximal mögli-che Emissionsvolumen wird somit zu 74 % ausgeschöpft. Gleichzeitig wird davonausgegangen, dass die Anleihe als flankierende Finanzierungsmaßnahme zu 100 %(EUR 650.000) bei den Pre-Investoren platziert werden kann. Vor diesem Hinter-grund stellt sich die Frage nach den kritischen Schwellenwerten für das Emissionsvo-lumen der Kapitalerhöhung und das Anleihevolumen. Tabelle 3 zeigt für ein jeweilsfestgelegtes, sukzessiv sinkendes Emissionsvolumen der Kapitalerhöhung (bei Zulas-sung modellendogen bestimmter Kombinationen von Anzahl neuer Aktien und Agio)das jeweils korrespondierende Mindestplatzierungsvolumen der emittierten Anleihe,bei welchem die Finanzierung des Gesamtprojekts gerade noch gewährleistet ist.

Tabelle 3 verdeutlicht, dass bei dem – wohl unrealistischen – maximalen Emis-sionsvolumen der Kapitalerhöhung von 100 % die Anleihe zwar nur zu 33 % plat-ziert werden muss; bei niedrigeren Emissionsvolumina steigt das erforderliche Min-destplatzierungsvolumen der Anleihe jedoch erwartungsgemäß an, bis sie bei einemEmissionsvolumen der Kapitalerhöhung von gut 63 % vollständig platziert werden

Tab. 3 Emissionsvolumen von Kapitalerhöhung und Anleihe (Pre-Investoren)

Emissionsvolumen Mindestplatzierungsvolumen Minimaler

Kapitalerhöhung Anleihe Gesamtaufwertungsbedarf

[EUR] Prozentual [EUR] Prozentual [EUR]

1.333.328 100 % 215.000 33 % 13.853.099

1.200.000 90 % 264.000 41 % 14.046.957

1.067.000 80 % 409.000 63 % 13.926.791

933.000 70 % 554.000 85 % 13.813.940

845.000 63,4 % 650.000 100 % 13.740.340

≤ 844.000 ≤ 63,3 % Keine zulässige Lösung

32Vgl. zu verschiedenen Verfahren der Postoptimalitätsanalyse Hillier und Lieberman (1997, S. 79 ff.),Mrzyk und Schultz (2000). Die in den folgenden Abschnitten durchgeführten Analysen sind unabhängigvoneinander zu sehen, d. h. sie bauen nicht aufeinander auf.


muss. Unterhalb eines Emissionsvolumens der Kapitalerhöhung von gut 63 % schei-tert die Finanzierung des Gesamtprojekts auch bei vollständiger Platzierung der An-leihe.

Das Zusammenspiel von Kapitalerhöhungs- und Anleihevolumen bei den Pre-Investoren in der ersten Finanzierungsrunde hat somit trotz seines vergleichsweisegeringen Anteils von nur rund 7,5 % an den im gesamten Planungszeitraum ein-zuwerbenden finanziellen Mitteln (einschließlich Fördermittel) eine Schlüsselbedeu-tung für die Realisierbarkeit des Gesamtprojekts. Wie ein Vergleich der notwen-digen Gesamtaufwertungen an den kritischen Finanzierungsgrenzen in Tab. 3 mitdem Aufwertungsbedarf der ursprünglichen Optimallösung in Tab. 2 zeigt, habenKapitalerhöhungs- und Anleihevolumen bei den Pre-Investoren über das Erreicheneiner zulässigen Lösung hinaus jedoch keinen wesentlichen Einfluss auf die Güte desOptimums. Diese weitgehende Stabilität des minimalen Aufwertungsbedarfes gilt al-lerdings nur, soweit ein Agio pro Aktie in der Größenordnung von EUR 6,– bis EUR7,– erzielt werden kann.

Der Umfang, in welchem Kapitalerhöhung und Anleihe bei den Pre-Investorenplatziert werden können, hängt von den Konditionen – Agio und Anleihezinssatz –ab, die ihnen von der HighTech Revolution AG angeboten werden. Die Pre-Investorenwerden im Rahmen ihrer persönlichen Finanzplanung möglicherweise ein Interes-se an einem möglichst niedrigen Agio und möglichst hohen Anleihezinssatz haben,während die HighTech Revolution AG grundsätzlich ein entgegengesetztes Interessehaben wird. Dieser potenzielle Interessenkonflikt sowie der Umstand, dass die Op-timallösung eine Platzierung der neuen Aktien zum maximalen Emissionspreis bzw.Agio pro Aktie fordert, werfen die Frage auf, wie sich diese beiden Größen auf denAufwertungsbedarf auswirken und welche Konsequenzen sich daraus für die Ver-handlungsführung mit den Pre-Investoren aus Sicht der HighTech Revolution AGergeben. Tabelle 4 verdeutlicht in der linken Hälfte, dass ein sukzessiv sinkendesAgio pro Aktie anfänglich zu keinem Wesentlichen, insbesondere unterhalb einerGrößenordnung von ca. EUR 5,– jedoch zu einem spürbaren Anstieg des Gesamt-aufwertungsbedarfes und schließlich zur Unlösbarkeit des Modells führt. Ursächlichhierfür ist u. a. der Umstand, dass bei einem deutlich niedrigeren Agio pro Aktie ei-

Tab. 4 Agio im Rahmen derKapitalerhöhung undAnleihezinssatz (Pre-Investoren)

Agio Minimaler Anleihezinssatz Minimaler

[EUR/Stück] Gesamtauf- Gesamtauf-

wertungsbedarf wertungsbedarf

[EUR] [EUR]

7,00 13.592.994 8 % 13.592.994

6,50 13.776.515 9 % 13.637.524

6,00 13.970.528 10 % 13.682.171

5,50 14.197.628 11 % 13.726.936

5,00 14.513.485 12 % 13.771.820

4,50 14.934.714 13 % 13.816.823

4,07 15.405.715 14 % 13.861.947

≤ 4,06 Keine zul. 15 % 13.907.193

Lösung 16 % 13.952.561

394 M. Gutiérrez

ne entsprechend höhere Aktienanzahl an die Pre-Investoren abgegeben werden muss,um den Finanzmittelbedarf der ersten F&E-Phase zu decken. Damit stehen aufgrundder Verwässerungsrestriktion der Gründer insbesondere in der vierten Kapitalerhö-hungsrunde entsprechend weniger neue Aktien zur Verfügung, die mit Blick auf denFinanzmittelbedarf der Pilotanlage dann zu einem entsprechend höheren Agio plat-ziert werden müssen, was wiederum einen höheren Aufwertungsbedarf zur Folge hat.

Andererseits gilt es im Auge zu behalten, dass eine Platzierung der Kapitalerhö-hung an der oberen Preisgrenze zwar den gesamten Aufwertungsbedarf über die dreiF&E-Phasen hinweg minimiert, jedoch – sofern die Restriktion für die Mindeststei-gerung des Agios von der ersten auf die zweite Kapitalerhöhungsrunde eingehaltenwerden soll – einen sehr hohen Aufwertungsbedarf am Ende der ersten F&E-Phasenach sich zieht. Wird tatsächlich das maximale Agio von EUR 7,– pro Aktie realisiert,so muss am Ende dieser Phase eine Aufwertung von mindestens rund EUR 5,8 Mio.vorgenommen werden können. Zwar sei erneut daran erinnert, dass sich die vom Mo-dell vorgesehenen Aufwertungen stets im Rahmen einer empirisch plausibilisiertenObergrenze für die F&E-Effizienz bewegen; der Spielraum für eine etwaige Nichter-reichung einer hohen Aufwertung am Ende der ersten F&E-Phase sinkt jedoch mitzunehmenden Agio pro Aktie.

Richtet man die Aufmerksamkeit nun auf den Anleihezinssatz, sollte sich bei des-sen Zunahme prinzipiell ein steigender Gesamtaufwertungsbedarf ergeben, da dieerhöhten Zinszahlungen durch höhere Mittelzuflüsse im Rahmen der Kapitalerhö-hungsrunden finanziert werden müssen, was wiederum höhere Aufwertungen vor-aussetzt; aufgrund des geringen Anteils der Anleihe am gesamten Finanzierungsvo-lumen ist dieser Effekt gemäß der rechten Hälfte von Tab. 4 jedoch von untergeord-neter Bedeutung: So steigt der minimale Aufwertungsbedarf bei einer Erhöhung desAnleihezinssatzes von 8 % auf 9 % kaum merklich um 0,31 % und selbst bei einerVerdopplung des Anleihezinssatzes von 8 % auf 16 % erhöht sich der Aufwertungs-bedarf um vergleichsweise moderate 2,6 %.

Die vorstehende Erörterung führt zusammengefasst auf die

Strukturelle Erkenntnis 1

Das bei den Pre-Investoren zu platzierende Emissionsvolumen der Kapitalerhöhungund der Anleihe hat zwar nur einen geringen Anteil an den über den gesamtenPlanungszeitraum hinweg insgesamt einzuwerbenden Mitteln, ist aber dennoch vonkritischer Bedeutung für die Tragfähigkeit des gesamten Finanzierungskonzeptes;werden im Zusammenspiel von Kapitalerhöhungs- und Anleihevolumen bestimmtekritische Schwellenwerte nicht erreicht, scheitert das Gesamtprojekt. Auf den mini-malen Gesamtaufwertungsbedarf hat der Umfang des Kapitalerhöhungs- und An-leihevolumens jedoch keinen gravierenden Einfluss. Ebenso wirken sich selbst star-ke Änderungen des Anleihezinssatzes vergleichsweise wenig auf die Güte der Opti-mallösung aus. Ein zu niedriger Emissionspreis für die durch die Pre-Investoren zuzeichnende Kapitalerhöhung führt allerdings zu einem spürbaren Anstieg des Auf-wertungsbedarfes und unterhalb einer kritischen Schwelle zum Scheitern der Fi-nanzierung; im oberen Bereich des Preisspektrums beeinflusst der Emissionspreisdie Güte der Optimallösung dagegen vergleichsweise weniger.


Aus Sicht der HighTech Revolution AG ergeben sich daraus folgende Konsequen-zen für die Verhandlungsführung mit den Pre-Investoren: Sollte sich eine Zahlungs-bereitschaft der Pre-Investoren lediglich im unteren Bereich des Preisspektrumsoder sogar unter der kritischen Schwelle abzeichnen, dann sollte auf die Erzie-lung eines höheren Emissionspreises hingewirkt und den Pre-Investoren als Anreizim Gegenzug ein höherer Anleihezinssatz angeboten werden. Durch diese Verhand-lungsstrategie kann die Finanzierung sichergestellt und der Gesamtaufwertungs-bedarf niedrig gehalten werden. Andererseits sollte eine Verhandlungsstrategie,die strikt auf einen maximalen Emissionspreis abstellt, unter Risikogesichtspunk-ten sorgfältig abgewogen werden; sie führt bei Annäherung an den oberen Randdes Preisspektrums nur noch zu geringen Senkungen des Gesamtaufwertungsbedar-fes und erfordert eine sehr hohe Aufwertung am Ende der ersten F&E-Phase. Dietatsächlichen Aufwertungsmöglichkeiten können zum Zeitpunkt der Verhandlungs-führung mit den Pre-Investoren aber noch nicht mit letzter Sicherheit angegebenwerden.

5.3 Bedeutung der Aufwertung und Effizienz in F&E-Phase 1

Die Optimallösung fordert gemäß Tab. 2 für die F&E-Phase 1 die höchste Aufwertungaller drei Phasen. Dies lässt vermuten, dass sich im Falle einer tatsächlich niedrigerenAufwertung am Ende dieser ersten Phase die Zielerreichung verschlechtert, mithin inden nachfolgenden Phasen überproportional höhere Aufwertungen zur Sicherstellungder Finanzierung des Projekts erreicht werden müssen. Der linke Bereich von Tab. 5zeigt, dass bei jeweils auf einen bestimmten Wert festgesetzten, sukzessiv sinkendenAufwertungen am Ende von F&E-Phase 1 der erforderliche Gesamtaufwertungsbe-darf anfänglich nicht gravierend, im weiteren Verlauf jedoch stark ansteigt. Sinkt dieAufwertung am Ende von Phase 1 von gut EUR 6 Mio. um gut EUR 2,1 Mio. aufrund EUR 3,9 Mio., so steigt der Gesamtaufwertungsbedarf von rund EUR 13,6 Mio.um rund EUR 5,9 Mio. auf rund EUR 19,5 Mio.; mit anderen Worten: Wird am Endevon F&E-Phase 1 im Vergleich zur Optimallösung tatsächlich eine um EUR 2,1 Mio.geringere Aufwertung erzielt, so muss diese Minderaufwertung in den nachfolgen-den F&E-Phasen nicht nur aufgeholt, sondern es müssen zusätzlich EUR 3,8 Mio. anAufwertung erzielt werden, um die Finanzierung des Gesamtprojekts sicherzustellen.Unterhalb einer Aufwertung von rund EUR 3,9 Mio. am Ende von F&E-Phase 1 kannkeine zulässige Lösung aufgezeigt werden.

Neben der absoluten Höhe der Aufwertung ist auch die relative Performance inForm der als Verhältnis von realisierbarem Aufwertungsbedarf und Auszahlung ge-bildeten F&E-Effizienz von Interesse; in diesem Zusammenhang fällt wie bereits er-wähnt auf, dass in der in Tab. 2 gezeigten Optimallösung die Restriktionsobergrenzefür die Effizienz in der F&E-Phase 1 vollständig ausgeschöpft ist. Dies lässt erwar-ten, dass sich im Falle einer tatsächlich niedrigeren F&E-Effizienz die Zielerreichungverschlechtert, mithin höhere Aufwertungen zur Sicherstellung der Finanzierung desProjekts erreicht werden müssen. Der rechte Bereich von Tab. 5 zeigt die Ergebnisseder Optimierung bei einer sukzessiven Absenkung der Restriktionsobergrenze für dieEffizienz in F&E-Phase 1 bei modellendogen bestimmten Aufwertungsbedarfen. Der

396 M. Gutiérrez

Tab. 5 Bedeutung der Aufwertung und Effizienz in F&E-Phase 1

Aufwertung Minimaler Effizienz Minimaler

Patente Gesamtauf- F&E-Phase 1 Gesamtauf-

F&E-Phase 1 wertungsbedarf wertungsbedarf

[EUR] [EUR] [EUR]

6.017.113 13.592.994 3,00 100 % 13.592.994

5.500.000 13.698.146 2,85 95 % 13.674.986

5.000.000 14.234.486 2,70 90 % 13.767.542

4.500.000 15.641.790 2,55 85 % 13.878.476

4.000.000 18.472.026 2,40 80 % 14.586.999

3.869.000 19.478.013 2,25 75 % 17.102.703

≤ 3.868.000 Keine zul. Lösung 2,15 71,7 % 19.463.479

≤ 2,14 ≤ 71,3 % Keine zul. Lösung

Ausgangswert der Restriktionsobergrenze in Höhe von 3,00 entspricht dabei einer Ef-fizienz von 100 %. Bei einem Absinken der jeweils vollständig ausgelasteten Restrik-tionsobergrenze bis auf einen Wert von 85 % steigt der gesamte Aufwertungsbedarfüber alle F&E-Phasen hinweg nicht gravierend. Bei einem weiteren Absinken derRestriktionsobergrenze steigt der minimale Gesamtaufwertungsbedarf jedoch massivan; wird in der F&E-Phase 1 eine Effizienz von nur rund 72 % erzielt, so erhöht sichder Gesamtaufwertungsbedarf von ursprünglich rund EUR 13,6 Mio. um rund EUR5,9 Mio. auf rund EUR 19,5 Mio. Unterhalb einer Effizienz von gut 71 % kann keinezulässige Lösung mehr gefunden werden.

In der Vergleichbarkeit der Auswirkungen einer in F&E-Phase 1 sinkenden abso-luten Aufwertung einerseits und sinkenden F&E-Effizienz andererseits auf den mini-malen Gesamtaufwertungsbedarf kommt zum Ausdruck, dass die absolute und rela-tive Performance nicht unabhängig voneinander zu sehen sind. Liegt einer niedrige-ren Aufwertung am Ende von F&E-Phase 1 eine entsprechend niedrigere Mittelver-ausgabung zugrunde, so kann das Effizienzniveau – bei nicht zu starkem Abfall derAufwertung – zwar zunächst aufrecht erhalten werden; wegen der notwendigen Min-destauszahlung in F&E-Phase 1 geht jedoch ein stärkeres Absinken der Aufwertungzwangsläufig auch mit einem Absinken der F&E-Effizienz einher.



Die in der ersten F&E-Phase erzielte Wertsteigerung und Effizienz sind von ent-scheidender Bedeutung sowohl für die Tragfähigkeit des gesamten Finanzierungs-konzeptes im Sinne des Erreichens einer zulässigen Lösung als auch darüber hi-nausgehend für die Güte der Optimallösung. Eine mangelhafte absolute bzw. relati-ve Performance in dieser Phase führt zu massiv ansteigenden Aufwertungsbedarfenin den Folgephasen, die möglicherweise nicht mehr erreicht werden können. Dahersollten die Prozesse in dieser frühen Schlüsselphase des Gesamtprojekts sorgfältiggeplant und überwacht werden.


5.4 Bedeutung der Verwässerungsgrenze der Gründer

Der Anteil der Gründer am Grundkapital der HighTech Revolution AG soll ab derzweiten Kapitalerhöhungsrunde (KE 2) zumindest noch über 25 % betragen, um einVetorecht bei wichtigen Entscheidungen ausüben zu können (so genannte Sperrmi-norität, vgl. Abs. 3.2). Bei Zulassung einer niedrigeren Verwässerungsgrenze könntejedoch eine höhere Zahl neuer Aktien an die Pre-Investoren und den Fonds ausgege-ben werden. Sofern diese auch tatsächlich platziert werden können, wäre das für dieFinanzierung des Gesamtprojekts nötige Emissionsvolumen aufgrund der erhöhtenAnzahl neuer Aktien nun zu geringeren Emissionspreisen und folglich niedrigerenAgios erreichbar, was wiederum eine Reduzierung des Aufwertungsbedarfes nachsich ziehen würde. Daher wurde unter folgenden Gesichtpunkten diskutiert, inwie-weit eine Lockerung der Verwässerungsgrenze aus Sicht der Gründer möglicherweisetolerabel erscheint:

• Wichtige Beschlüsse z. B. in Form von Satzungsänderungen bedürfen gemäß § 179Abs. 2 Satz 1 AktG einer Mehrheit in der Hauptversammlung, die mindestens dreiViertel des bei der Beschlussfassung vertretenen – also nicht notwendigerweisegesamten – Grundkapitals umfasst. Dementsprechend kann in Abhängigkeit vomtatsächlich vertretenen Grundkapital die gewünschte Sperrminorität auch mit einerauf das gesamte Grundkapital bezogenen Beteiligungsquote unterhalb von 25 %ausgeübt werden. Mit Blick auf die hohe Beteiligungsquote des seine Stimmrechteregelmäßig ausübenden Fonds wird unter diesem Aspekt allerdings nur sehr wenigSpielraum für eine Lockerung der Verwässerungsrestriktion bestehen; angesichtsim Übrigen verbleibender Unsicherheiten über die faktischen Stimmrechtsverhält-nisse wurde ihre Verletzung aus dieser Perspektive als nicht akzeptabel angesehen.

• Solange die Gründer noch mindestens 75 % des Grundkapitals halten, könnteim Wege der Satzungsänderung gemäß § 179 Abs. 2 Satz 2 AktG eine andere,insbesondere höhere Kapitalmehrheit für satzungsändernde Beschlüsse bestimmtwerden, wodurch sich umgekehrt die notwendige Beteiligungsquote zur Wahrneh-mung der Sperrminorität entsprechend reduzieren würde. Ferner könnten sich dieGründer gesellschaftsrechtliche Sonderrechte einräumen lassen. Einschränkendgilt es allerdings zu beachten, dass sich durch beides die Handlungsfähigkeit derHauptversammlung verschlechtern kann.

• Die Gründer könnten schließlich Stimmrechtsbindungsverträge mit den aus ihremNetzwerk stammenden Pre-Investoren abschließen, um so auch bei einer Beteili-gungsquote von unter 25 % zusammen mit diesen die gewünschte Sperrminoritätzu erreichen. Stimmrechtsbindungsverträge begründen allerdings nur schuldrecht-liche Ansprüche der Vertragsparteien untereinander und bieten keine Garantie fürdie Herbeiführung bzw. Verhinderung eines Hauptversammlungsbeschlusses. Soll-te ferner zu einem späteren Zeitpunkt eine Börsennotierung der HighTech Revo-lution AG im regulierten Markt angestrebt werden, könnte ein gemeinsam abge-stimmtes Vorgehen von Gründern und Pre-Investoren („Acting in Concert“) unterbestimmten weiteren Bedingungen für die Gründer die Verpflichtung zur Abga-be eines Übernahmeangebots nach dem Wertpapiererwerbs- und Übernahmege-setz (WpÜG) auslösen; sie müssten dann allen Aktionären den Erwerb ihrer Ak-tien zum durchschnittlichen Börsenkurs der letzten drei Monate anbieten, was die

398 M. Gutiérrez

Gründer in Abhängigkeit von der Annahmequote finanziell bei weitem überfordernwürde (siehe hierzu insbes. §§ 30 und 35 ff. WpÜG i.V.m § 3 WpÜGAngebV33

und § 9 WpHG34).

Vor dem Hintergrund der geschilderten Diskussion wurde eine „moderate“ Locke-rung der Verwässerungsgrenze für – bedingt – tolerabel empfunden, falls dies zumWohle des Gesamtprojekts geboten sein sollte. Tabelle 6 zeigt die entsprechendenAuswirkungen auf die optimale Lösung.

Tabelle 6 geht in der linken Hälfte zunächst von der Situation zu Beginn desPlanungszeitraumes aus. Bei einer Lockerung der Verwässerungsgrenze in KE 2bis KE 435 um lediglich einen Prozentpunkt kann der notwendige Aufwertungs-bedarf um gut EUR 0,5 Mio. gesenkt werden. Bei einer Lockerung um insge-samt fünf Prozentpunkte reduziert sich der Aufwertungsbedarf um insgesamt gutEUR 1,9 Mio.

Die rechte Hälfte der Tab. 6 zeigt die Situation zu Beginn des Jahres 2 un-ter der Annahme, dass am Ende der vorausgegangenen F&E-Phase des Jahres 1nicht der in der Optimallösung der Tab. 2 ausgewiesene (hohe) Aufwertungsbe-darf, sondern lediglich die niedrigere Aufwertung der Ausgangslösung aus Tab. 1realisiert werden konnte; ferner werden für das Jahr 1 auch die übrigen Varia-blenwerte der Ausganglösung als fixiert betrachtet. Der minimale Gesamtaufwer-tungsbedarf bei einer Verwässerungsgrenze von 25,1 % liegt aufgrund des Verfeh-lens der Optimallösung im Jahr 1 mit gut EUR 16 Mio. nunmehr deutlich hö-her; falls dies als kritische Hürde eingestuft werden sollte, kann der Aufwertungs-bedarf durch Senkung der Verwässerungsgrenze aber wesentlich reduziert wer-den: bei Lockerung der Verwässerungsgrenze um lediglich einen Prozentpunkt

Tab. 6 Lockerung der Verwässerungsrestriktion der Gründer

Situation zu Beginn von t = 0 Situation zu Beginn von t = 2

Verwässerungs- Minimaler Verwässerungs- Minimaler

grenze Gründer Gesamtauf- grenze Gründer Gesamtauf-

(in KE 2 bis KE 4) wertungsbedarf (in KE 2 bis KE 4) wertungsbedarf

[EUR] [EUR]

25,1 % 13.592.994 25,1 % 16.020.246

24,1 % 13.089.194 24,1 % 14.758.464

23,1 % 12.705.364 23,1 % 13.784.794

22,1 % 12.355.570 22,1 % 13.014.169

21,1 % 12.013.382 21,1 % 12.423.505

20,1 % 11.678.336 20,1 % 11.857.600

33Verordnung über den Inhalt der Angebotsunterlage, die Gegenleistung bei Übernahmeangeboten undPflichtangeboten und die Befreiung von der Verpflichtung zur Veröffentlichung und zur Abgabe einesAngebots.34Gesetz über den Wertpapierhandel.35Als tatsächlich bindend erweist sich in den nachfolgenden Berechnungen – wie bereits in der Optimal-lösung gemäß Tab. 2 – nur die Verwässerungsgrenze in KE 4.


um rund EUR 1,3 Mio., bei Lockerung um fünf Prozentpunkte sogar um rundEUR 4,2 Mio.



Sollte sich im Projektverlauf abzeichnen, dass der für die Finanzierung notwendi-ge Gesamtaufwertungsbedarf möglicherweise nicht erreicht werden kann und so-mit zum kritischen Faktor wird, steht mit der Lockerung der Verwässerungsgrenzeder Gründer eine effektive Maßnahme zur Senkung des Aufwertungsbedarfes zurVerfügung. Für diesen Fall können – allerdings mit gewissen Einschränkungen –Mechanismen zur Kompensation des Stimmrechtsverlusts der Gründer aufgezeigtwerden.

6 Fazit: Mathematische Optimierungsmodelle im Spannungsfeldvon unternehmerischem Erfahrungswissen und „formalenRechenwerken“

Die am Ende der F&E-Phasen aufgrund der erzielten Wertsteigerungen der Patentevorgenommenen Aufwertungen stellen die zentrale Grundlage für die Finanzierungdes Gesamtprojekts dar – sie bestimmen den Unternehmenswert, zu dem der Fonds inden sich jeweils anschließenden Kapitalerhöhungsrunden neue Aktien zeichnet undso die notwendigen finanziellen Mittel für die weiteren F&E-Aktivitäten und denBau der Pilotanlage bereitstellt. Die im Optimierungsmodell formulierte Zielfunkti-on – Minimierung des gesamten Aufwertungsbedarfes über die F&E-Phasen hinweg– darf insofern nicht missverstanden werden; sie stellt natürlich kein Plädoyer für dietatsächliche Erzielung möglichst niedriger Wertsteigerungen dar. Ausschlaggebendfür die Spezifikation dieser Zielfunktion war vielmehr eine Ausgangslösung, welcheeinen Aufwertungsbedarf in einer Größenordnung forderte, die zwar nicht grundsätz-lich unerreichbar schien, sich aber je nach Verlauf der F&E-Aktivitäten möglicher-weise als kritische Hürde erweisen könnte. Angesichts der mit F&E-Prozessen grund-sätzlich verbundenen Unsicherheit lautete die Frage daher: Kann die Finanzierungdes Gesamtprojekts auch dann ermöglicht werden, wenn eine geringere Aufwertungerzielt wird und wo liegt die kritische untere Schranke für die gesamte Aufwertung,die mindestens erreicht werden muss? Zudem konnten erst durch Formulierung dieserZielfunktion zentrale Wirkungsmechanismen in der gesamten Finanzierungskonzep-tion aufgedeckt und wichtige Aussagen zur Bedeutung der frühen Finanzierungs- undF&E-Phasen abgeleitet werden.

Hierbei lag die Zwecksetzung des entwickelten Optimierungsmodells weder indem Versuch einer „automatisierten 1:1-Umsetzung“ der daraus ermittelten De-tailzahlen noch in der Verdrängung unternehmerischer Erfahrung und Intuitiondurch ein „formales Rechenwerk“– zwei in der Praxis bisweilen anzutreffendeMissverständnisse, die nicht selten zu Vorbehalten gegenüber oder sogar Ableh-nung von formalen Methoden des Operations Research geführt haben. Zweck-

400 M. Gutiérrez

setzung des vorliegenden Optimierungsmodells war vielmehr die quantitativ fun-dierte Ermittlung struktureller Erkenntnisse, die als Basis für die Einleitung ro-buster nächster Schritte36 dienen sollten. Grundlage hierfür waren gleicherma-ßen praktikable wie auch effektive Vorgehensweisen, die angesichts des in der(Beratungs-)Praxis regelmäßig hohen Termindrucks mit vertretbarem Zeit- und Res-sourcenaufwand zu hinreichend guten Ergebnissen führten. Das über die Excel-Oberfläche verständlich visualisierte Optimierungsmodell wurde im Projektverlaufwährend der Arbeitssitzungen der Projektbeteiligten als „interaktives Tool“ einge-setzt, um die Modellannahmen sowie abgeleiteten Ergebnisse vor dem Hintergrunddes Erfahrungswissens des Managements zu spiegeln und die daraus entstehen-de Diskussion in die Variation der Modellparameter mit entsprechenden Varian-tenrechnungen einfließen zu lassen. Es diente somit als gemeinsame Kommunika-tionsgrundlage sowie als Katalysator für die Ideen- und Maßnahmenentwicklung.In diesem Sinne verstanden und eingesetzt, können mathematische Optimierungs-modelle und ihre Umsetzung in benutzerfreundlichen Softwaretools einen wert-vollen Beitrag zur Unterstützung unternehmerischer Entscheidungsprozesse leis-ten.

Danksagung Der Autor dankt den beiden anonymen Gutachtern für wertvolle Anregungen zur Verbes-serung dieses Beitrages. Herrn Prof. Dr. Gunther Friedl gilt mein Dank für das konstruktive Gespräch zueiner früheren Fassung des Manuskripts.

Dieser Beitrag entstand im Rahmen meiner Tätigkeit bei der GCI Management Consulting GmbH,München. Hier bin ich mit besonderem Dank Herrn Markus Wenner, LL.M., verbunden, der mir dieseVeröffentlichung ermöglicht hat.

Hinweis zur Verwendung von Warenbezeichnungen: Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsna-men, Warenbezeichnungen usw. in diesem Beitrag berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nichtzu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung alsfrei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Anhang

Hinweise:

• Das folgende Arbeitsblatt korrespondiert unmittelbar mit Tab. 2. Wird es un-terstützend zur Betrachtung von Tab. 1 herangezogen, so ist zu berücksich-tigen, dass sich zum Teil abweichende Zellbezüge aufgrund Einführung zu-sätzlicher Zeilen im Rahmen der Spezifikation der Nebenbedingungen erge-ben.

• Bezüglich des in Abschn. 4 entwickelten Modells wurden die Ausdrücke (1), (2a),(3a), (4)–(8), (9a), (10)–(14) und (15) sowie die Positivitätsbedingung für v1 im-plementiert.

• Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen sind unter What’sBest!® standard-mäßig voreingestellt. Für die Hilfsvariablen sind sie vorliegend wegen Redundanzzu anderen Restriktionen entbehrlich.

36Vgl. zum Begriff des „robusten ersten Schrittes“ Hanssmann (1993, S. 75).


Literatur

Albach, H. (1962). Investition und Liquidität. Die Planung des optimalen Investitionsbudgets. Wiesbaden:Gabler.

Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2006). Nonlinear Programming: Theory and Algorithms.3. Aufl. Hoboken: Wiley.

Blohm, H., Lüder, K., & Schaefer, C. (2006). Investition. Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichsund Investitionsrechnung. 9. Aufl. München: Vahlen.

Braun, B. (1999). Simultane Investitions- und Finanzplanung mit dem Excel-Solver. Das Wirtschaftsstu-dium (WISU), 28(1), 73–80.

Brockhoff, K. (1986). Die Produktivität der Forschung und Entwicklung eines Industrieunternehmens.Zeitschrift für Betriebswirtschaft (ZfB), 56(6), 525–537.

Brockhoff, K. (1990). R&D and marketing productivities from cross-sectional data: a study of Germanchemical corporations. R&D Management, 20(4), 323–327.

402 M. Gutiérrez

Brockhoff, K. (1999). Forschung und Entwicklung: Planung und Kontrolle. 5. Aufl. München: Olden-bourg.

Dinkelbach, W., & Rosenberg, O. (2004). Erfolgs- und umweltorientierte Produktionstheorie. 5. Aufl.Berlin: Springer.

Domschke, W., & Drexl, A. (2007). Einführung in Operations Research. 7. Aufl. Berlin: Springer.Domschke, W., & Klein, R. (2000). Produktionsprogrammplanung bei nichtlinearen Deckungsbeitrags-

funktionen. Das Wirtschaftsstudium (WISU), 29(12), 1649–1655.Dyckhoff, H. (2006). Produktionstheorie. Grundzüge industrieller Produktionswirtschaft. 5. Aufl. Berlin:

Springer.Ellinger, Th., Beuermann, G., & Leisten, R. (2001). Operations Research. Eine Einführung. 5. Aufl. Berlin:

Springer.Friedl, G. (2003). Bewertung von Investitionen in die Entwicklung neuer Produkte mit Hilfe des Real-

optionsansatzes. In U. Hommel et al. (Hrsg.), Reale Optionen. Konzepte, Praxis und Perspektivenstrategischer Unternehmensfinanzierung (S. 377–397). Berlin: Springer.

Gerpott, T. J. (2005). Strategisches Technologie- und Innovationsmanagement. 2. Aufl. Stuttgart: Schäffer-Poeschel.

Groß, W. (2009). Kapitalmarktrecht. Kommentar zum Börsengesetz, zur Börsenzulassungs-Verordnung,zum Wertpapierprospektgesetz und zum Verkaufsprospektgesetz. 4. Aufl. München: C.H. Beck.

Günther, H.-O. (1999a). Lösung linearer Optimierungsprogramme mit Hilfe von Tabellenkalkulationspro-grammen. Teil 1: Einführung und Aufgabenstellung. Wirtschaftswissenschaftliches Studium (WiSt),28(8), 443–448.

Günther, H.-O. (1999b). Lösung linearer Optimierungsprogramme mit Hilfe von Tabellenkalkulationspro-grammen. Teil 2: Lösung. Wirtschaftswissenschaftliches Studium (WiSt), 28(9), 506–508.

Hanssmann, F. (1993). Einführung in die Systemforschung. Methodik der modellgestützten Entscheidungs-vorbereitung. 4. Aufl. München: Oldenbourg.

Hanssmann, F. (1995). Quantitative Betriebswirtschaftslehre. Lehrbuch der modellgestützten Unterneh-mensplanung. 4. Aufl. München: Oldenbourg.

Hax, H. (1964). Investitions- und Finanzplanung mit Hilfe der linearen Programmierung. Zeitschrift fürbetriebswirtschaftliche Forschung (ZfbF), 16, 430–446.

Hillier, F. S., & Hillier, M. S. (2010). Introduction to management science—a modeling and case studiesapproach with spreadsheets. 4. Aufl. Dubuque: McGraw-Hill.

Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (1997). Operations research: Einführung. 5. Aufl. München: Olden-bourg.

Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland e.V. (IDW) (2008). IDW Standard: Grundsätze zur Durch-führung von Unternehmensbewertungen (IDW S 1 i.d.F. 2008) (Stand: 02.04.2008). Die Wirtschafts-prüfung, WPg Suppl., 3, 68–89.

Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland e.V. (IDW) (2010a). IDW Standard: Grundsätze zur Bewer-tung immaterieller Vermögenswerte (IDW S 5) (Stand: 25.05.2010). Die Wirtschaftsprüfung, WPgSuppl., 3, 109–123.

Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland e.V. (IDW) (2010b). Entwurf einer Fortsetzung von IDWS 5: Grundsätze zur Bewertung immaterieller Vermögenswerte (IDW S 5): Besonderheiten bei derBewertung von Technologien (Stand: 17.08.2010). Die Wirtschaftsprüfung, WPg Suppl., 4, 92–95.

Kruschwitz, L. (2009). Investitionsrechnung. 12. Aufl. München: Oldenbourg.Küpper, H.-U., & Helber, S. (2004). Ablauforganisation in Produktion und Logistik. 3. Aufl. Stuttgart:

Schäffer-Poeschel.LINDO Systems Inc. (2006). Optimization Modeling with LINGO (by Linus Schrage). 6. Aufl. Chicago:

LINDO Systems, Inc. Zum Aufrufdatum 14.02.2011 verfügbar unter www.lindo.com.LINDO Systems Inc. (2010). What’sBest!®Version 10.0 User’s Manual. Chicago: LINDO Systems, Inc.

Zum Aufrufdatum 14.02.2011 verfügbar unter www.lindo.com.Martin, R. K. (1999). Large scale linear and integer optimization: a unified approach. Norwell: Kluwer

Academic.Morris, J. R., & Daley, J. P. (2009). Introduction to financial models for management and planning. Boca

Raton: CRC Press.Mrzyk, A. P., & Schultz, M. B. (2000). Simulationsgestützte Postoptimalitätsanalyse. Integration der

Risiko-Chancen-Analyse in die lineare Programmierung. Wirtschaftswissenschaftliches Studium(WiSt), 29(9), 482–487.

Müller, C. (2003). Projektmanagement in FuE-Kooperationen – eine empirische Analyse in der Biotech-nologie. Norderstedt: Books on Demand.




Raasch, A.-C. (2006). Der Patentauslauf von Pharmazeutika als Herausforderung beim Management desProduktlebenszyklus. Wiesbaden: Deutscher Universitäts-Verlag.

Ragsdale, C. T. (2007). Spreadsheet modeling and decision analysis: a practical introduction to manage-ment science. 5. Aufl. Mason: South-Western College Pub.

Savage, S. L. (2003). Decision making with insight. Belmont: Brooks/Cole.Schäfer, Th., & Zweifel, G. (1999). Mathematik als Sachbearbeitungsinstrument. Mit dem Excel-Solver

zur (optimalen) Lösung. Fortis FH. Aarau: Sauerländer AG Verlage.Stolletz, R., & Stolletz, L. (2008). Linearisierungsverfahren für Standortplanungsprobleme mit nichtlinea-

ren Transportkosten. Zeitschrift für Planung und Unternehmenssteuerung, 19, 261–280.Tayur, S., Ganeshan, R., & Magazine, M. (Hrsg.) (1999). Quantitative models for supply chain manage-

ment. Boston: Kluwer Academic.Tempelmeier, H. (2006). Material-Logistik. Modelle und Algorithmen für die Produktionsplanung und

-steuerung in Advanced-Planning-Systemen. 6. Aufl. Berlin: Springer.Thanassoulis, E. (2001). Introduction to the theory and application of data envelopment analysis: a foun-

dation text with integrated software. Norwell: Kluwer Academic.Weingartner, H. M. (1963). Mathematical programming and the analysis of capital budgeting problems

(second printing 1964). Englewood Cliffs: Prentice-Hall.Winston, W. L., & Albright, S. C. (2001). Practical management science. 2. Aufl. Pacific Grove: Duxbury.

Documents

Entwicklung eines mathematischen Optimierungsmodells für ein junges Technologieunternehmen