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  • Entwicklung der Vorstellungen vonGrundschlerinnen und Grundschlern zu Risiko

    und Entscheidungen unter Unsicherheit

    Dissertationzur Erlangung des Grades eines Doktors

    der Philosophie (Dr. phil.)

    der Pdagogischen Hochschule Ludwigsburg

    vorgelegt von Christoph Till aus Illertissen

    Ludwigsburg2015

  • Erstgutachterin: Prof. Dr. Laura MartignonZweitgutachter: Prof. Dr. Wolfgang Gaissmaier

    Datum des Abschlusses der mndlichen Prfung: 13. Juli 2015

  • Inhaltsverzeichnis

    Abbildungsverzeichnis v

    Tabellenverzeichnis vii

    1 Danksagung 1

    2 Zusammenfassung 3

    3 Theoretischer Hintergrund 73.1 Psychologische Risikoforschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3.1.1 Wahrscheinlichkeiten und Risiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Frderung von Kompetenzen im Umgang mit Risiken Risk Literacy 14

    3.2 Stochastik in der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.1 Stochastisches Denken Intuitionen und Fehlkonzepte . . . . . . 163.2.2 Die Stochastik in den Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3 Risiko als Inhaltsbereich in der Grundschulstochastik . . . . . . . 22

    4 Studie zu Frdermglichkeiten von Risk Literacy in der Grundschule 294.1 Forschungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Intervention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5 Artikel 375.1 Artikel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Artikel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 Artikel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6 Diskussion und Fazit 107

    7 Anhang 1157.1 Darlegung des eigenen Anteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    iii

  • Inhaltsverzeichnis

    7.2 berblick ber Artikel und Konferenzbeitrge . . . . . . . . . . . . . . . 116

    Literaturverzeichnis 117

    iv

  • Abbildungsverzeichnis

    2.1 Relative Risiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.1 Relativer Vergleich verschiedener Risiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Nutzen und Risiken der Prostatakrebs-Frherkennung . . . . . . . . . . . 103.3 Erwartungswert einer reellen diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . 243.4 Risiko auf Basis der Errechnung eines Erwartungswerts . . . . . . . . . . 243.5 Studienresultate in Form relativer Risiken . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Populationsdiagramm zur Darstellung falsch-positiver und falsch-negativer

    Testresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    5.1 Icon array: a representation format which is easy to grasp . . . . . . . . 425.2 Representation of 62%: with tinker-cubes . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Informal comparison of proportions: 2 out of 3 > 2 out of 4 . . . . . . . 475.4 Trade-off situation: certain low win or uncertain high win? . . . . . . . . 485.5 Risk reduction from 4 out of 10 to 2 out of 10 . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Bayesian reasoning: encoding of features via tinker-cubes . . . . . . . . . 505.7 Simple comparisons of proportions: drawing black balls from an urn . . . 525.8 More difficult comparisons of proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.9 Pretest, posttest and follow-up test results . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.10 Unterschiedliche Reprsentationsformate fr relative Anteile . . . . . . . 645.11 Ausblenden von Gren beim Verhltnisvergleich . . . . . . . . . . . . . 665.12 Design der Interventionsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.13 Beispielitem: Urnenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.14 Beispielitem: Erweitern eines Verhltnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.15 Beispielitem: Vergleich relativer Hufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 715.16 Informeller Vergleich von Verhltnissen mithilfe von Steckwrfeln . . . . 735.17 Lsungsraten des Urnenvergleichs zu drei Testzeitpunkten . . . . . . . . 755.18 Lsungsraten zu drei Zeitpunkten: Erweitern eines Verhltnisses . . . . . 765.19 Strategien beim Vergleich relativer Hufigkeiten: Vortest . . . . . . . . . 775.20 Strategien beim Vergleich relativer Hufigkeiten: Nachtest . . . . . . . . 775.21 Strategien beim Vergleich relativer Hufigkeiten: Follow-up Test . . . . . 785.22 Strategien beim Vergleich relativer Hufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 825.23 Natural sampling: cover image of a German schoolbook for upper secondary

    level mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.24 Bayes formula with conditional probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . 885.25 Bayes formula with natural frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.26 Iconic representation of a typical Bayesian task: icon array . . . . . . . . 91

    v

  • Abbildungsverzeichnis

    5.27 Enactive representation of a typical Bayesian task: tinker-cubes . . . . . 925.28 Future teachers arguments against a hypothetical statement . . . . . . . 995.29 Future teachers statements on teaching stochastics in primary school . . 99

    vi

  • Tabellenverzeichnis

    5.1 Prediction of the posttest results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Prediction of the follow-up test results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Vorhersage der Testleistung zum Proportionsbegriff: Nachtest . . . . . . 745.4 Vorhersage der Testleistung zum Proportionsbegriff: Follow-up Test . . . 745.5 Average test scores from treatment and control group . . . . . . . . . . . 965.6 Prediction of the posttest results of the Bayesian tasks . . . . . . . . . . 965.7 Prediction of the follow-up test results of the Bayesian tasks . . . . . . . 103

    6.1 bersicht zu den Inhalten und Ergebnissen der Artikel . . . . . . . . . . 110

    vii

  • 1 Danksagung

    Ich bedanke mich beim Land Baden-Wrttemberg und insbesondere beim Ministeriumfr Wissenschaft, Forschung und Kunst durch eine zweifache Untersttzung. Zum einenprofitierte ich von einem Stipendium, zum anderen war ich Teil des vom Land finanzier-ten Promotionskollegs, mit dem Namen Effektive Lehr-Lernarrangements: EmpirischeEvaluation und Intervention in der pdagogischen Praxis. Kooperatives Promotionskollegzwischen der Universitt Tbingen und der Pdagogischen Hochschule Ludwigsburg.Dies sorgte durchwegs fr eine gute methodische Infrastruktur in Form von Workshops,regelmigen Treffen mit anderen Doktoranden, Tagungsbesuchen sowie ausfhrlichenBeratungsgesprchen mit Betreuern und Experten aus eigenen und benachbarten For-schungsdisziplinen. Hinzu kamen etliche Abendessen, Spaziergnge, Stammtische undKneipenabende, die meine Zeit als Doktorand auflockerten. Durch die gute finanzielleUntersttzung von Seiten des Kollegs hatte ich auch die Mglichkeit, die im Rahmenmeiner Arbeit entstandenen Ideen und Ergebnisse in Weingarten, Mnster, Koblenz,Frankfurt, Kiel, Berlin und nicht zuletzt auch Flagstaff (USA) zu prsentieren.Ich bedanke mich bei den Organisatoren der International Conference on Teaching

    Statistics 9 (ICOTS9) im Juli 2014 fr eine sehr spannende, internationale Tagung undfr die Wrdigung meiner Arbeit in Form eines Nachwuchspreises.Ein groer Dank geht an meine Erstbetreuerin Prof. Dr. Laura Martignon, die mich

    jederzeit in meinen Ideen untersttzte und mir zugleich aber auch Spielraum lie, dieeigenen Gedanken zu spinnen. Durch sie machte ich Bekanntschaften mit Kognitionspsy-chologen am Harding-Zentrum fr Risikokompetenz am MPI fr Bildungsforschung inBerlin, die mich in meiner Arbeit inspirierten. Die gemeinsame Arbeit war durch einensehr freundschaftlichen und humorvollen Umgang charakterisiert, was manch stressigeArbeitsphase auflockerte. Ob es nun um den verloren gegangenen Ehering eines verzweifel-ten Ehemanns oder die emotionalen Irrwege einer Bridget Jones ging wir hatten nebender Arbeit auch Zeit zu lachen. Ein groes Dankeschn geht auch an meine Betreuer Prof.Dr. Hans-Christoph Nrk und Prof. Dr. Wolfgang Gaissmaier. Durch die Gesprche mitihnen wurden meine mathematikdidaktischen Anstze durch kognitionspsychologischePerspektiven ergnzt. Bei Barbara Flunger bedanke ich mich fr ihre Untersttzung beistatistischen Fragen. Ich mchte Prof. Dr. Joachim Engel dafr danken, dass er stets einoffenes Ohr fr meine wissenschaftlichen Belange hatte. Auch Andreas Fest zeigte sich beiauftretenden Formatierungsschwierigkeiten bei der Arbeit mit LATEX immer hilfsbereitund offen. Die schne Zeit am IMI habe ich auch Marita Friesen, Ute Sproesser undAnika Dreher zu verdanken, die mich in meinem wissenschaftlichen Alltag begleiteten.Zuletzt geht ein groer Dank an meinen Vater fr das Korrekturlesen meiner Arbeit.

    1

  • 2 Zusammenfassung

    Sollte ich mich impfen lassen?, Wie sollte ich mein Geld anlegen?, Wie wichtig sindVorsorgeuntersuchungen?

    Kompetenzen, Risiken einzuschtzen und auf Basis von Daten Entscheidungen unterUnsicherheit zu treffen, spielen heutzutage eine bedeutende Rolle. Befunde aus der kogniti-onspsychologischen Forschung belegen, dass statistische Informationen ber Chancen undRisiken in der Medizin, der Umwelt oder Finanzwelt meistens nicht richtig interpretiertwerden (Gigerenzer, 2013; Spiegelhalter, Pearson & Short, 2011). Dies liegt oft am Dar-stellungsformat dieser Informationen: Bei der Kommunikation von Risiken sollten stattWahrscheinlichkeiten oder Prozentstzen vermehrt intuitiv greifbare Hufigkeitsformate(natrliche Hufigkeiten) und ikonische Darstellungen (in Form von Piktogrammen) einge-setzt werden (Brase, 2008; Gigerenzer & Hoffrage, 1995; Schapira, Nattinger & McHorney,2001). In der vorliegenden Arbeit zeige ich auf, wie sich diese Darstellungsformate auch frdie Grundschulstochastik eignen, um mit Kindern Risiko und Entscheidungen unter Un-sicherheit zu modellieren. Durch den zustzlichen Einsatz enaktiver Informationsformatein Form bunter Steckwrfel ist es fr sie ohne den Bruchzahl- und Prozentbegriff mglich,elementare, qualitative und quantitative Wahrscheinlichkeitsaussagen in risikobehaftetenSituationen zu treffen. In einer Interventionsstudie wurden Belege dafr gefunden, dasssich diese ersten elementaren Kompetenzen zu Risiko nachhaltig frdern lassen. ZurIntervention in Form einer vierstndigen Unterrichtseinheit gehrten: Vergleichen vonVerhltnissen und elementaren Wahrscheinlichkeiten, Abwgen von Handlungsoptionenanhand von Zufallsexperimenten und die Auseinandersetzung mit sich vernderndenWahrscheinlichkeiten durch neue Information sowie die Auseinandersetzung mit Risi-koreduktionen. Verglichen wurden die Testleistungen der Schlerinnen und Schler ausden Treatmentklassen mit den Testleistungen der Schlerinnen und Schler aus Kon-trollklassen. Es zeigte sich Vorwissen bezglich der gefrderten Inhalte in Form vonmathematischen Intuitionen (Fischbein, Pampu & Minzat, 1970a) und ein signifikanter,nachhaltiger Lernzuwachs durch die Intervention. Die Frderung verschiedener elementa-rer Kompetenzen und Konzepte zum Themenbereich Risiko und Entscheidungen unterUnsicherheit anhand geeigneter Reprsentationen kann daher als erfolgreich bezeichnetwerden.

    3

  • 2 Zusammenfassung

    Abstract

    Should I get vaccinated?, How should I invest my money?, How important aremedical checkups?

    Nowadays being able to assess risks and to make data-based decisions under uncertaintyare essential for everyday life. Evidence from cognitive psychological research shows thatstatistical information about risks is often not understood or misinterpreted. This concernsabove all medical, environmental or financial domains (Gigerenzer, 2013; Spiegelhalter etal., 2011). This is often due to the representation format of the information: probabilitiesin terms of percentages are often hard to grasp; information is much better processed if theinformation is communicated by means of frequency formats such as natural frequenciesand iconic representations such as icon arrays (Brase, 2008; Gigerenzer & Hoffrage, 1995;Schapira et al., 2001). In the present work I will show that these representation formatsare well-suited for primary school stochastics for modeling risk and decisions underuncertainty. By using hands-on materials in form of colored tinker cubes, children dofirst qualitative and quantitative risk-related judgments without even knowing aboutpercentages or fractions. I did an intervention study in order to gather empirical evidencefor the usefulness of this learning approach. The intervention happened in form of afour-hour unit and included the following aspects: comparing ratios and probabilities,weighing of options based on random experiments, conditional proportions and Bayesianreasoning as well as dealing with risks reduction. Test performances of treatment andcontrol groups were compared before, directly after and three month after the intervention.It turned out that children had prior knowledge of the funded content even before theintervention in the form of mathematical intuitions (Fischbein et al., 1970a). Studentssuccessfully built on these intuitions through the intervention, as was clear from theirtest performances which increased significantly.

    4

  • Figure 2.1: Relative Risiken

    5

  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Tag fr Tag setzen wir uns bewusst oder unbewusst Risiken aus und mssen dabeiEntscheidungen treffen, die unser Leben und das unserer Mitmenschen verndern knnten.Dabei werden wir von einer immer greren Flut an Daten in Form von Zahlen undStatistiken berhuft. Wir hren von 10-Jahres-berlebensraten, von gefhrlichenNebenwirkungen bei bewhrten Impfungen, von verminderten Risiken bei Einnahme vonNahrungsergnzungsmitteln und von falsch-positiven Testresultaten in der medizinischenDiagnostik. Diesbezgliche Risiken mssen eingeordnet, verstanden und vor allem richtiginterpretiert werden: Vermeintliche hohe Risiken erweisen sich beim genaueren Hinschauenoftmals als vernachlssigbar, whrend Risiken, ber die kaum gesprochen wird, jhrlichviele Todesopfer fordern. So macht uns der Transatlantikflug groe Angst, obwohl wir dengefhrlichsten Teil unserer Reise beim Ankommen am Flughafen mit dem Auto bereitsberstanden haben (Gigerenzer, 2013). BSE, Schweine- und Vogelgrippe lsen Panikenaus, whrend die saisonale Grippe jedes Jahr weitaus mehr Opfer fordert. GenmodifizierteNahrungsmittel beunruhigen viele Brgerinnen und Brger; die Tatsache einer nichtunwesentlichen radioaktiven Strahlungsdosis bei medizinischen Vorsorgeuntersuchungenist dagegen unbekannt oder wird ignoriert. Das jngste Beispiel fr eine Angst, die dertatschlichen Gefahr nicht gerecht wird, ist die der Ebolakrise geschuldeten Panikmachevieler US-Brger. In der Tat ist die Ebola-Krise in Westafrika die schlimmste Seuchenkrisein der jngsten Zeit. Sie hat in den betroffenen Gebieten etwa 3400 Opfer gefordert (StandNovember 2014) (Dehmer & Mllhoff, 2014). Die Ansteckungsgefahr im Krisengebiet istenorm hoch. Das Risiko jedoch, sich in den Vereinigten Staaten mit dem tdlichen Virusanzustecken, ist minimal (Wagner, 2014). Die tatschliche Gefahr, die vom Ebolavirusausgeht, ist in Graphik 3.1 dargestellt (Doucleff, 2014).Die Schwierigkeit, Risiken adquat einzuschtzen, beruht unter anderem auf der

    Tatsache, dass Menschen auf Gefahren oft emotional reagieren und sich schwer tun,Fakten in Form von Zahlen heranzuziehen, um das tatschliche Ausma eines Risikosoder einer Gefahr abzuschtzen. Darber hinaus werden in den Medien Risiken oftmalsauf eine Art und Weise dargestellt, die es kaum erlaubt, sich eine fundierte und objektiveMeinung zu bilden (Spiegelhalter u. a., 2011). Unverstndliche Graphiken, Prozentzahlenund eine Beschreibung von Risiken, die einen weiten Interpretationsspielraum lassen,sollen dann helfen, die richtigen Schlsse in Entscheidungen unter Unsicherheit zutreffen. Es gibt jedoch auch viele gute Beispiele, wie Risiken in einer transparentenForm kommuniziert werden knnen. Abbildung 3.1 erlaubt durch den relativen Vergleichverschiedener Risiken ein objektives Bild der Situation. Im folgenden Kapitel werdenUrsachen fr die verzerrte Risikowahrnehmung nher betrachtet und geklrt, wie Risikenauf eine verstndliche Art und Weise kommuniziert werden knnen.

    7

  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Abbildung 3.1: Relativer Vergleich verschiedener Risiken

    3.1 Psychologische RisikoforschungAm Berliner Max-Planck-Institut fr Bildungsforschung hat sich eine Gruppe von Ko-gnitionspsychologen darauf spezialisiert, das menschliche Entscheidungsverhalten unterUnsicherheit zu erforschen. Schwerpunkte der Forschungsarbeiten am Harding-Zentrumfr Risikokompetenz sind Risikowahrnehmung und Risikokommunikation. Befunde zeigendeutlich, dass die Risikowahrnehmung und die damit verbundene Einschtzung vonRisiko vieler Menschen nicht auf einer objektiven Beurteilung des tatschlichen Risikosberuht. Vielmehr neigen Menschen dazu, subjektive Kriterien fr ihr Entscheidungsver-halten heranzuziehen. Demnach beeinflussen in vielen Fllen mit dem vorliegenden Risikoassoziierte Emotionen und Einzelschicksale vertrauter Personen, wie sich Menschen in Ri-sikosituationen verhalten. Anstatt sich auf statistische Information zu berufen und Datenals Entscheidungsgrundlage heranzuziehen, bestimmen oftmals Schlagzeilen, persnlicheErfahrungen oder Gewohnheiten was getan wird.Desweiteren knnen Defizite im Umgang mit Zahlen dazu fhren, dass nicht immer

    die richtigen Schlussfolgerungen gezogen werden. In einer Studie von Galesic und Garcia-Retamero (2010) lsten nur etwa 75% der deutschen Probanden (USA: 72%) die ersteund nur 55% (USA: 57%) die zweite Aufgabe zum Vergleich von Risiken:

    Which of the following numbers represents the biggest risk of getting a disease?1 in 100, 1 in 1000, or 1 in 10 ?

    If person As chance of getting a disease is 1 in 100 in 10 years and person Bsrisk is double that of A, what is Bs risk?

    8

  • 3.1 Psychologische Risikoforschung

    Wenn man bedenkt, dass man bei diesen Aufgaben durch alleiniges Raten eine L-sungsrate von etwa 30% erwarten wrde, sind diese Ergebnisse beunruhigend. Vermutlichwrden die Lsungsraten noch einmal geringer ausfallen, wrde man die Zahlen in denAufgaben in Form von Prozenten darstellen. Dies soll aber keineswegs Anlass sein, sichbei der Kommunikation von Risiken keine Gedanken mehr ber das Darstellungsformatder Information zu machen. So liegt eine Vielzahl an Befunden vor, die zeigen, dasssich bestimmte Darstellungen besser dafr eignen, statistische Information zu kommu-nizieren (Gigerenzer & Hoffrage, 1995; Spiegelhalter u. a., 2011; Brase, 2008; Corter &Zahner, 2007; Gaissmaier u. a., 2012; Hoffrage, Gigerenzer, Krauss & Martignon, 2002).Demnach erweisen sich Hufigkeitsformate als besonders intuitiv greifbar. Als Grundkann hierfr kann die besondere Passung der Darstellungsformate auf die menschlicheInformationsverarbeitung genannt werden (Gigerenzer & Hoffrage, 1995).Risiken werden in Form von Wahrscheinlichkeiten meist reprsentiert in Form von

    Prozentstzen kommuniziert. Die Normierung auf 100 (Bsp.: 21 von 70 30%)geht einher mit einer hheren Auslastung des Arbeitsgedchtnisses (Sedlmeier, 2001).Dieser zustzliche bersetzungsprozess bei der Verarbeitung numerischer Informationwird als Ursache dafr angesehen, warum Menschen oftmals Schwierigkeiten haben,Angaben in Prozent richtig zu interpretieren. Hingegen werden Hufigkeitsformate wieetwa natrliche Hufigkeiten leichter verarbeitet. Wird beispielsweise berichtet, dass sichbei einem bestimmten Ereignis 21 von insgesamt 70 Menschen verletzt haben, ist diesklar verstndlich. Die gleiche Information in Form von 30% ist fr viele Menschen nichtnur schwieriger zu deuten; Informationen ber die tatschliche Anzahl der Verletzten undder Gesamtzahl aller Personen sind nicht mehr vorhanden, was jedoch aus statistischerSicht bedeutsam sein kann (Stichwort: Variabilitt in kleinen Stichproben, siehe Kapitel3.2.3).

    Durch die Darstellung natrlicher Hufigkeiten in Form ikonischer Darstellungen kanndie Transparenz numerischer Information erhht werden (Brase, 2008; Gigerenzer, 2013;Garcia-Retamero, Galesic & Gigerenzer, 2010). Hufigkeiten und Verhltnisse knnendabei in analoger Form in einem sogenannten Piktogramm abgebildet werden. JedesIndividuum wird dabei in Form eines Symbols oder Zeichens reprsentiert, was dieZuordnung einer Person zu einer bestimmten Personengruppe erleichtert (Kurz-Milcke,Gigerenzer & Martignon, 2008, 2011). Dabei werden Hufigkeiten im Sinne eines besserenVerstndnisses auf hypothetische Populationen normiert (X von 10 / 100 / 1000 weisen einbestimmtes Merkmal auf ...). In Abbildung 3.2 wird auf verstndliche Weise ber Nutzenund Risiken der Prostatakrebsvorsorge berichtet (Harding Center for Risk Literacy, 2014).

    Diese natrliche, analoge Reprsentation von Hufigkeiten, Verhltnissen oder Wahr-scheinlichkeiten hat sich als besonders geeignet herausgestellt, um ber Risiken aufzukl-ren (Gaissmaier u. a., 2012; Gigerenzer, 2013; Garcia-Retamero u. a., 2010; Kurz-Milckeu. a., 2008; Spiegelhalter u. a., 2011). Dabei profitieren nicht nur Menschen mit Defizitenim Umgang mit Zahlen; es konnte in einigen Studien gezeigt werden, dass auch rzteund Juristen von diesen Darstellungen profitieren, wenn es etwa um die Einschtzung derZuverlssigkeit medizinischer Tests oder DNA-Analysen geht (Krauss & Hertwig, 2000).Dies hat damit zu tun, dass die dafr bentigten bedingten Wahrscheinlichkeiten unddamit zusammenhngende bayesianische Schlussfolgerungen schwierig zu interpretieren

    9

  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Prostatakrebs*Frherkennung11durch&PSA*Test&und&Tastuntersuchung&der&Prostata&&Zahlen&fr&Mnner&ab&50&Jahre,&Vergleich&NichAeilnahme&mit&11*jhriger&Teilnahme&10001Mnner1ohne1Frherkennung:11 10001Mnner1mit1Frherkennung:11

    P1

    11

    Mnner,&die&an&Prostatakrebs&starben:&&

    Mnner,&die&insgesamt&starben:&&

    Mnner,&die&nach&einer&Biopsie&erfuhren,&dass&ihr&Testergebnis&falsch&posiIv&war:&&

    Mnner,&die&unnIg&mit&Prostatakrebs&diagnosIziert&und&behandelt&wurden:&&

    brige&Mnner:&&&

    7&&

    210&&

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    783&

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    603&

    Quelle:11Ilic&et&al.&(2013)&Cochrane)Database)of)Systema2c)Reviews,&Art.&No.:CD004720.&

    1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 11 1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 1P1 11

    11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

    Abbildung 3.2: Nutzen und Risiken der Prostatakrebs-Frherkennung

    sind, solange sie nur formal beschrieben werden (Brase, 2008). In ganz speziellen Pikto-grammen den Populationsdiagrammen lsst sich beispielsweise die Verteilung vonMerkmalstrgern und Merkmalen bersichtlich darstellen. Informationen ber Prvalenz,Sensitivitt und Spezifitt bei Krankheitsdiagnostiken lassen sich aus dem Diagrammablesen und auch Problematiken falsch-positiver Testresultate gehen aus solchen Dar-stellungen hervor. Dafr muss lediglich die Zahl der kranken Personen mit positivemTestergebnis ins Verhltnis zu allen Personen mit positiven Testergebnis gesetzt werden.

    Derartige Darstellungen erleichtern den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten und eignensich daher fr einen frhen Einsatz beim Erlernen elementarer stochastischer Konzepte.Wie die Forschung zeigt, gibt es im Zusammenhang mit dem Verstehen wahrscheinlich-keitstheoretischer Phnomene viele Fehlvorstellungen bei Erwachsenen, Jugendlichen undKindern (Batanero, Godino, Vallecillos, Green & Holmes, 1994; Ben-Zvi & Garfield, 2008;Garfield & Ahlgren, 1988; Kapadia, 2009; Kahneman, 2011). Leitend fr die vorliegendenArbeit ist die Tatsache, dass viele dieser Fehlvorstellungen auf ungeeignete numerischeFormate zurckzufhren sind. Natrliche Formate wie etwa die natrlichen Hufigkei-ten werden hingegen intuitiv wahrgenommen und sind daher verstndnisfrdernd. Imnchsten Kapitel werden die angedeuteten Schwierigkeiten thematisiert, die sich beimUmgang mit Wahrscheinlichkeiten und Urteilen unter Unsicherheit beobachten lassen.

    10

  • 3.1 Psychologische Risikoforschung

    3.1.1 Wahrscheinlichkeiten und Risiken

    Man spricht von einem Risiko, wenn in einer Situation der Unsicherheit mindestensein Ereignis mit einem Verlust an Ressourcen (Geld, Zeit, Gesundheit) verbunden ist(Latten, Martignon, Monti & Multmeier, 2011). Berechnet wird ein Risiko, indem manEintrittswahrscheinlichkeit und Schadensausma miteinander multipliziert (Campbell,2005). Beide Dimensionen Wahrscheinlichkeit und Schaden bestimmen demnach dieHhe eines Risikos und mssen in schwierigen Entscheidungen unter Unsicherheit abge-wogen werden. In den meisten Situationen stehen uns mehrere Handlungsoptionen offen;jede Option beinhaltet jeweils einen Schaden und die dazugehrige Wahrscheinlichkeitund es gilt die Option zu whlen, die sich fr die eigene Zielsetzung am gnstigsten er-weist. Dieser sogenannte trade-off erfordert nicht nur die Abschtzung von Konsequenzenverschiedener Handlungen, sondern auch die Kompetenz eines sachgerechten Umgangsmit Wahrscheinlichkeiten. Kapadia (2009) fasst mit Wahrscheinlichkeiten verbundeneFehlvorstellungen in einer Liste zusammen. Einige dieser Aussagen (1, 2, 3 und 8) werdenanschlieend herausgegriffen und erlutert, da sie insbesondere fr Risiko relevant sind.

    1. People use personal experience in assessing chance in a rather haphazard manner2. People process information in a rather incomplete way3. People find it hard to assess probabilities which are very low or very high4. People do not assign values of 0 for impossibility and 1 for certainty5. People equate certainty and impossibility with physical rather than logical events6. People equate 50-50 chance with coin tossing7. People assign equal likelihood in unknown situations8. People are incoherent in assigning and in processing probabilities9. People are supra-additive

    (1) Persnliche Erfahrung bei der Einschtzung von WahrscheinlichkeitenWie im vorherigen Kapitel bereits aufgezeigt, bestimmen persnliche Erfahrungen dieEinschtzung von Wahrscheinlichkeiten und somit Urteile unter Unsicherheit (Kahneman,2011). So wird etwa die Wahrscheinlichkeit, Opfer einer Gewalttat zu sein, als sehr hocheingeschtzt, wenn man krzlich einen Bericht ber einen Mord gelesen hat. Derartigekognitive Verzerrungen sind starke Abweichungen von objektiven Wahrscheinlichkeiten(Kahneman, 2011). Dieser sogenannte Verfgbarkeitsfehler erklrt auch die in der Einlei-tung dargestellten unbegrndete Paniken und ngste vieler Menschen. Das menschlicheVerhalten deswegen als irrational zu bezeichnen, wird der Komplexitt der Umwelt undden kognitiven Mechanismen jedoch nicht gerecht. Ein Theoriekonzept, welches sich mitderartigen Fragen auseinandersetzt, ist das der begrenzten Rationalitt (Gigerenzer &Gaissmaier, 2011; Gigerenzer & Selten, 2001).Dass Wahrscheinlichkeiten stark von persnlichen Erfahrungen abhngen, zeigt sich

    auch bei Zufallsexperimenten. Fr den Ausgang eines Zufallsexperiments sind dannoft die eigene Gedankenkraft, hhere Mchte oder etwa das persnliche Unvermgen

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    verantwortlich (Bchter, Humann, Leuders & Prediger, 2005; Wollring, 1995). Ebensobeeinflusst die unmittelbar vor einem Experiment gemachte Erfahrung das Urteil: Wirftein Kind eine Mnze und die Mnze zeigt fnf mal hintereinander Kopf, so wird dasKind die Wahrscheinlichkeit fr Zahl fr den sechsten Wurf als sehr hoch einschtzen(Stichwort: Gamblers Fallacy).

    (2) Unvollstndige Verarbeitung von InformationInformationen knnen vom Menschen aufgrund ihrer Komplexitt nie vollstndig auf-genommen und verarbeitet werden. Im Forschungsgebiet der kologischen Rationalittbeschftigt man sich mit Kognitiven Heuristiken, die helfen knnen, schnelle, sparsame,transparente und robuste Entscheidungen unter Unsicherheit zu treffen (Gigerenzer &Gaissmaier, 2011). Man nimmt an, dass sich der Mensch in vielen Problemsituationennicht analytisch verhlt und daher auch nicht Wahrscheinlichkeiten berechnet und daherauch keinen sogenannten erwarteten Nutzen maximiert. Vielmehr greifen wir oft aufHeuristiken zurck, die uns in Situationen des begrenzten Wissens zu guten Lsungenverhelfen. Dies ist mglich, da diese Heuristiken auf evolvierte und erlernte Fhigkeitenzurckgreifen knnen (Gigerenzer & Gaissmaier, 2011).

    Was heit dies in Bezug zum Umgang mit Wahrscheinlichkeiten? Daraus sollte keines-wegs abgeleitet werden, dass wir uns nicht mehr mit Wahrscheinlichkeiten beschftigensollten. Wenn Zeit und Wissen begrenzt sind, knnen einfache Faustregeln durchaus zuguten Entscheidungen und Ergebnissen fhren (Gigerenzer & Gaissmaier, 2011). Es gibtjedoch durchaus Situationen, in denen es ratsam ist, Kosten und Nutzen aufgrund vonDaten abzuwgen und Wahrscheinlichkeiten bei der Entscheidungsfindung heranzuziehen.Etwa bei Fragen der Ntzlichkeit von Vorsorgeuntersuchungen, bei welchen Evidenzenfr Chancen und Risiken in Form von Studien vorliegen.Darber liegt die Vermutung nahe, dass sich ein geschultes Gespr fr zufllige

    Prozesse und angesprochene Heuristiken ergnzen knnten. Desweiteren werden durchdie frhe, natrliche Begegnung mit statistischen und probabilistischen Konzepten nichtnur stochastische Grundbegriffe, sondern auch Kompetenzen wie kritisches Denkengefestigt (Aizikovitsh-Udi & Kuntze, 2014).

    (3) Schwierigkeiten mit kleinen und groen WahrscheinlichkeitenDie Beurteilung von Risiken und Wahrscheinlichkeiten wird noch schwieriger, wennbesonders groe und besonders kleine Wahrscheinlichkeiten eingeschtzt werden mssen.Sehr kleine Wahrscheinlichkeiten deuten auf sehr seltene Ereignisse hin und werdensehr schnell mit unmglichen Ereignissen gleichgesetzt. Sehr groe Wahrscheinlichkeitenassoziiert man wiederum mit Sicherheit. Dies erschwert die Einschtzung von zuflligenEreignissen. Werden diese Wahrscheinlichkeiten in Form von Prozenten ausgedrckt, sokann es schnell passieren, dass Wahrscheinlichkeiten von 0.01% und 0.1% als hnlichwahrscheinlich eingeschtzt werden. Beispiele fr die praktische Relevanz dieser Tatsachebeschreibt Nassim Taleb in seinem Buch Der schwarze Schwan. Die Macht hchstunwahrscheinlicher Ereignisse (Taleb, 2010).

    (8) Probleme beim Verarbeiten von WahrscheinlichkeitsformatenEs wurde bereits angedeutet, dass sich bestimmte Reprsentationen numerischer Infor-

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  • 3.1 Psychologische Risikoforschung

    mation besser verarbeiten lassen als andere (Gigerenzer & Hoffrage, 1995). Wahrschein-lichkeiten in Form von Prozenten, Bruch- oder Dezimalzahlen bereiten dem MenschenSchwierigkeiten, da unser Denkapparat auf diese Formate (noch) nicht adaptiert ist(Sedlmeier, 2001). Diese Tatsache ist nicht unerheblich fr die Schwierigkeiten fr denUmgang mit Risiken im Alltag. Selbst wenn sich Menschen den kognitiven Verzerrungenbewusst sind, zuverlssige Quellen auffinden und in diesen relevante Information fr daseigene Entscheidungsproblem zu finden, so ist noch nicht gewhrleistet, dass die Informa-tion auch adquat verstanden und interpretiert wird. Die psychologische Forschung hatdazu beigetragen, dass in vielen Bereichen der Risikokommunikation Hufigkeitsformateeingesetzt werden.Im schulischen Unterricht hat sich der Einsatz von Hufigkeitsformaten leider noch

    nicht in der Weise behaupten knnen, wie von vielen Psychologen erhofft. Vor allem imGrundschulbereich kann der Einsatz intuitiver Darstellungsformate den Stochastikun-terricht bereichern (Martignon & Kurz-Milcke, 2006a). Doch auch in der Sekundarstufeknnen Schlerinnen und Schler mithilfe von Hufigkeitsformaten viele stochastischePhnomene leichter durchdringen (Sedlmeier, 2001; Wassner, 2004).

    Die Kerngedanken des bisherigen Abschnitts werden in Form zweier Aussagen zusam-mengefasst. Die beiden Aussagen sind leitend fr die vorliegende Dissertationsschrift.

    Die Risikowahrnehmung in der allgemeinen ffentlichkeit ist oftmals verzerrt.Risiken sollten auf eine verstndliche Art und Weise in Form von Hufigkeitsfor-maten dargestellt werden, da diese unseren kognitiven Verarbeitungsmechanismennachempfunden sind.

    Neben dieser transparenten Kommunikation von Risiko kommt einer frhen Frde-rung von Risikokompetenz eine enorme Bedeutung zu. Dies nicht zuletzt aufgrundeiner Welt, in der Daten und der kompetente Umgang mit diesen eine immer grereRolle spielen.

    Im folgenden Abschnitt wird das Konstrukt der Risk Literacy mit seinen unterschiedli-chen Dimensionen nher betrachtet. Es soll daraus hervorgehen, dass Risk Literacy einKompetenzkonstrukt darstellt, das nicht nur mathematische oder stochastische Fertig-keiten, sondern darber hinaus emotionale und affektive Komponenten wie psychischeDispositionen beinhaltet. Zudem werden exemplarisch Bereiche genannt, in welchenRisikokompetenz zum Tragen kommt.

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    3.1.2 Frderung von Kompetenzen im Umgang mit Risiken Risk Literacy

    Fhigkeiten und Fertigkeiten, Risiken einzuschtzen, zu beschreiben und auf Grundlagevon Daten mit diesen argumentativ umgehen zu knnen, sind Kernelemente von RiskLiteracy (Schiller & Kuntze, 2012). Risikokompetenz bedeutet demnach, in Situationenunter Unsicherheit bewusste und nachhaltige Entscheidungen treffen zu knnen. Dabeisollten Daten als Entscheidungsgrundlage dienen (Engel, 2007). Gal (2012) definiertProbability Literacy als ability to access, use, interpret, and communicate probability-related information and ideas, in order to engage and effectively manage the demands ofreal-world roles and tasks involving uncertainty and risk (p. 4). Es geht vorwiegend umden richtigen und kompetenten Gebrauch und Umgang mit statistischen Daten, um sichin einer Welt voller Unsicherheiten und Risiko zurechtzufinden. Risk Literacy umfasstdaher Kompetenzen, die weit ber mathematische Fertigkeiten wie das Berechnen vonWahrscheinlichkeiten hinausgehen. Zu einem kompetenten Umgang mit Risiko gehrenauch (mit Verzicht auf Vollstndigkeit) Bereiche wie:

    Faktenwissen: Was ist wirklich gefhrlich/schdlich? Wie kann ich mich davorschtzen? Begriffswissen: absolutes und relatives Risiko, Unsicherheit/Ungewissheit Psychische Disposition: Akzeptanz von Unsicherheit und Ungewissheit Mathematische Fertigkeiten: Umgang und Verarbeitung von Zahlen Stochastische Fertigkeiten und stochastisches Denken

    Somit ist Risk Literacy ein Konstrukt, welches Kompetenzen aus sehr unterschiedlichenDomnen beinhaltet. Ein adquater Umgang mit Risiko setzt Faktenwissen voraus. In wel-chen Situationen sind wir welchen Risiken ausgesetzt? Welche Verhaltensweisen bedingenein hohes Risiko? Ist es beispielsweise gefhrlich, neben einem Telefonmasten zu wohnen?Faktenwissen zu Risiko findet man in vielen Bereichen des Lebens. Gal (2005) nennt(Auswahl): Natur (Wetter, Evolution), Technologie (Qualittsmanagement, Produktion),menschliches Verhalten (Sport, Transport), Medizin (genetische Krankheiten, Krebsrisi-ken), Rechtsmedizin (Wahrscheinlichkeiten bei DNA-Analysen), Wirtschaft (Investments,Versicherungen), Gesundheit (Schutzimpfungen) oder Glcksspiele (Lotterie).

    Darber hinaus spielt Begriffswissen eine Rolle. Was ist etwa der Unterschied zwischeneinem relativen und einem absoluten Risiko? Die korrekte Einordnung von Begrifflichkeitenist mageblich fr die korrekte Interpretation von Risiken, die in den Medien prsentiertwerden. Warnen Experten vor einem Medikament, indem sie sich auf eine relativeRisikoerhhung fr Nebenwirkungen um 80% berufen, sollte jede Patientin und jederPatient dies verstehen.Risikokompetent zu sein, bedeutet auch, sich der Illusion der Gewissheit bewusst

    zu werden. In jeglichen Situationen des alltglichen Lebens sind wir Risiken ausgesetzt,die wir zwar durch bestimmte Verhaltensweisen reduzieren knnen; wir knnen siejedoch niemals eliminieren. Dies zu akzeptieren, stellt fr viele Menschen eine groe

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  • 3.1 Psychologische Risikoforschung

    Herausforderung dar, da bestimmte deterministische berzeugungen bezglich Ursache-Wirkungs-Zusammenhngen abgelegt werden mssen. Zu psychischen Dispositionensollen an dieser Stelle auch Wertvorstellungen und Einstellungen gezhlt werden. ImKontext von Risiko kommt der mndigen, freien Entscheidung, was von einem Menschenwann getan werden soll, eine groe Bedeutung zu. Diese Erziehung zur mndigenEntscheidungsfindung richtet sich gegen den Paternalismus, mit dem das Ziel verbundensein kann, die Menschen auf subtile Art und Weise zu einem bestimmten Verhalten zubringen (Gigerenzer, 2013).

    Mathematische Fertigkeiten werden bentigt, wenn numerische Information verarbeitetwerden muss. Im angloamerikanischen Sprachraum wird dafr oft der Begriff Numeracyverwendet (Cokely, Galesic, Schulz, Ghazal & Garcia-Retamero, 2012). Wird Risiko Amit 1 kranke Person von insgesamt 10 Personen dem Risiko B 1 kranke Person voninsgesamt 100 Personen gegenbergestellt, muss klar sein, dass die grere Zahl (100 )nicht mit dem greren Risiko einhergeht.

    Eng verwandt und daher nicht scharf von den mathematischen Fertigkeiten zu trennen,sind stochastische Fertigkeiten und das stochastische Denken. Dazu gehren jeglicheinhaltliche und prozessorientierte Kompetenzen, die einen selbstbewussten und eigen-stndigen Umgang mit Wahrscheinlichkeiten und Daten erlauben. Das wohl bekanntesteKonstrukt fr ein Bndel an Kompetenzen, welches insbesondere auf das Lesen, Dar-stellen und Interpretieren von Daten gerichtet ist, ist die Statistical Literacy (Wallman,1993). Kernelement von Statistical Literacy ist die Fhigkeit, statistische Informationkritisch zu evaluieren und zugleich anzuerkennen, welchen Beitrag Statistik im Leben derMenschen leistet (Watson & Callingham, 2003). Ein berblick dazu, in welche Bereichestatistisches Denken eingeteilt werden kann, gibt delMas (delMas, 2002).

    Im folgenden Kapitel wird der Beitrag vorgestellt, den der Mathematikunterricht derGrundschule fr eine frhe Frderung von Risk Literacy leisten kann. Es wird aufgezeigt,mit welchen Werkzeugen elementare Kompetenzen zu Risiko und Entscheidungen unterUnsicherheit angebahnt werden knnen. Eines dieser Werkzeuge sind die bereits angespro-chenen natrlichen Hufigkeitsformate, die es Schlerinnen und Schlern auf intuitiveArt und Weise erlauben, erste Quantifizierungen von Risiko vorzunehmen. Um besser zuverstehen, wie eine Unterrichtseinheit zum Thema Risiko im Mathematikunterricht der4. Jahrgangsstufe aussehen sollte, wird im nchsten Kapitel das stochastische Denkenvon Kindern beleuchtet. Daraus wird hervorgehen, dass Kinder im Grundschulalterbereits gute Intuitionen zu diversen stochastischen Konzepten mit in den Unterrichtbringen; diese zielfhrenden Heuristiken knnen beim stochastischen Problemlsen auchvon Fehlvorstellungen und Fehlkonzepten gestrt werden.

    Zustzlich wird argumentiert, warum sich das Thema Risiko und Entscheidungenunter Unsicherheit optimal in den Bildungsstandards der Primarstufe verorten lsst.Die konkreten Inhaltsbereiche der Unterrichtseinheit werden vorgestellt und begrndet,warum sie einerseits wichtig fr die mathematische Modellierung von Risiko wichtig sind,andererseits wird begrndet, warum und wie sich diese Bereiche bereits in der viertenGrundschulklasse thematisieren lassen.

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    3.2 Stochastik in der Grundschule

    Die enorme Bedeutung einer stochastischen Grundbildung kann nicht von der Handgewiesen werden. Aus diesem Grund wurde der Bereich Daten und Zufall sowohl in denBildungsstandards der Kultusministerkonferenz von 2004 (KMK, 2004) als auch in denBildungsplnen der Bundeslnder verankert und wurde somit verbindliches Bildungsziel.Die beschreibende Statistik hat inzwischen Einzug in viele deutsche Klassenzimmergehalten. Konzepte der Wahrscheinlichkeit werden hingegen oft als weniger relevanteingeschtzt (Borovcnik & Kapadia, 2009). Darber hinaus sind sich viele Lehrkrfteunsicher, was das Unterrichten von elementaren Wahrscheinlichkeitskonzepten angeht(Martignon & Wassner, 2005; Neubert, 2012).

    Ziel ist der Aufbau eines tragfhigen Grundverstndnisses zu wichtigen Konzeptenaus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Anders als wie lange Zeit angenommen,kann ein elementarer Zugang zu wichtigen stochastischen Konzepten jedoch bereits inder Grundschule erfolgen. Zwar ist man hier noch weit weg vom kalklhaften formalenBerechnen statistischer Kennwerte, da einige Werkzeuge wie Prozente und Brche nochnicht zur Verfgung stehen. Anhand geeigneter Darstellungsformate wie den natrlichenHufigkeiten und ikonischen Darstellungen lassen sich jedoch spielerisch viele Phnomenezum Zufall entdecken. In den folgenden Abschnitten werden die bereits erwhnten stochas-tischen Primrintuitionen noch einmal nher betrachtet. Dazu werden einige Ergebnissewichtiger mathematikdidaktischer und psychologischer Studien zum probabilistischenVerstndnis von Kindern vorgestellt. Darber hinaus werden die Bildungsstandards nherbetrachtet und eine mgliche Vernetzung dieser zum Thema Risiko hergestellt. DasKapitel schliet mit Vorbehalten gegenber der Grundschulstochastik ab. Dies geschiehtin Form von provokativen Thesen, die widerlegt werden. Die Argumentation gegen dieseThesen ist zugleich Motivation der durchgefhrten Studie.

    3.2.1 Stochastisches Denken Intuitionen und Fehlkonzepte

    Supporting students development of coherent probabilistic reasoning entailsconceiving of probability as ways of thinking, instead of as a set of disconnectedconcepts and skills. (p. 393) (Saldanha & Liu, 2014)

    Stochastisches Denken ist weitaus mehr als das Verinnerlichen von speziellen Fertig-keiten und Konzepten in der Stochastik. Stochastisches Denken ist im weitesten Sinneein Zugang zu den Phnomenen des Lebens, der die Unvorhersehbarkeit vieler um unsherum ablaufender Prozesse bercksichtigt. Diese Zuflligkeit vieler Ereignisse im Lebendes Menschen muss nicht nur erkannt, sondern ebenso auch akzeptiert werden. Wirddiese erkannt und akzeptiert, muss sie auch verstanden werden. Wesentlich dafr istdie Einsicht, dass der Ausgang eines einzelnen zuflligen Vorgangs nicht vorhergesagtwerden kann; wird derselbe Vorgang jedoch beliebig oft wiederholt, so knnen guteAbschtzungen fr die Ausgnge des Vorgangs gettigt werden. Die Struktur des Zufallswird also erst durch die Hintereinanderausfhrung des Zufallsvorgangs ersichtlich.

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  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    Bereits Kinder im Alter von vier Jahren zeigen Anstze zum Erfassen von Wahr-scheinlichkeit (Yost, Siegal & Andrews, 1962). Stochastisches Denken kann daher schonsehr frh im Kindergarten oder in der Grundschule angebahnt werden. In sehr vielenSpielsituationen werden Kinder mit Zufallsprozessen konfrontiert (Bchter u. a., 2005).Beim Karten- oder Wrfelspiel zeigen sich dann oftmals typische Fehlvorstellungen,wenn etwa der Augenzahl 6 geringere Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden als denjeweiligen anderen Augenzahlen. Bryant und Nunes (2012) nennen vier Felder kognitiverAnforderungen, welchen bei der frhen Begegnung mit der Stochastik gemeistert werdenmssen:

    Verstehen von Zuflligkeit Alle mglichen Ergebnisse bei Zufallsprozessen herausarbeiten Wahrscheinlichkeiten quantifizieren und vergleichen Beziehungen und Korrelation zwischen Ereignissen verstehen

    Um elementare Kompetenzen in diesen vier Feldern zu erwerben, mssen drei wichtigeSchritte gegangen werden (Bryant & Nunes, 2012). Im ersten Schritt muss die Einsichterfolgen, dass es sich beim vorliegenden Problem um etwas handelt, bei dem die Ereignisseim Vorfeld nicht vorhergesagt werden knnen. Im zweiten Schritt mssen alle mglichenErgebnisse herausgearbeitet werden. Dabei gilt zu beachten, dass es sich nicht immer umErgebnisse (Elementarereignisse) handelt, die mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintre-ten. Der dritte Schritt besteht aus der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Der vierteSchritt ist nicht immer notwendig. Hier geht es um Beziehungen zwischen Ereignissen.Die groe Frage lautet, ob sich Ereignisse gegenseitig beeinflussen oder ob dies mit demZufall erklrt werden kann.Elementare Kompetenzen zu diesen Bereichen knnen frh erworben werden; schon

    Babys im Alter von einem Jahr zeigen erste Anzeichen probabilistischen Denkens (Denison& Xu, 2013). Eine Reihe weiterer entwicklungspsychologischer Studien aus der 2. Hlftedes 20. Jahrhunderts belegt, dass Kinder - wenn ihnen die Spielsituation vertraut ist - ersteFormen stochastischen Denkens zeigen (Piaget & Inhelder, 1975; Yost u. a., 1962; Falk,Yudilevich-Assouline & Elstein, 2012; Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein u. a., 1970a,1970b). Dieses intuitive Wissen tritt in der Gestalt von Heuristiken oder stochastischenIntuitionen zutage (Fischbein u. a., 1970a). Einige Autoren unterscheiden zwischenprimren und sekundren Intuitionen (Fischbein u. a., 1970a; Tietze, Klika & Wolpers,2002). Zu den primren Intuitionen gehren Vorstellungen, die sich aus individuellenVorerfahrungen speisen, sich jedoch ohne vorangegangener Auseinandersetzung mit einemThema entwickeln (Tietze u. a., 2002). Sekundre Intuitionen sind das Resultat einersystematischen Auseinandersetzung mit einem Sachverhalt. Bei der Herausbildung dieserVorstellungen werden primre Intuition und formale Konzepte in Verbindung gebracht(Tietze u. a., 2002).

    Zu den bekanntesten Vertretern der psychologischen Forschung zum stochastischenDenken im Kindesalter gehrt der Entwicklungspsychologe Jean Piaget. Zusammen mitseiner Kollegin Brbel Inhelder entwickelte er eine Theorie ber die Vorstellungen von Kin-dern zum Konzept des Zufalls. Nach ihrer Auffassung entwickeln Kinder probabilistische

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Konzepte in drei aufeinanderfolgenden Stufen. Diese strenge hierarchische Stufenfolgewurde von vielen Psychologen jedoch scharf kritisiert. Die Aussagen der Studien vonPiaget sind aufgrund methodischer Schwchen seiner Studien angreifbar. Nichtsdestotrotzhat Piaget die Erforschung der kognitiven Prozesse bei Kindern in Zusammenhang mitZufall geprgt.

    Da Wahrscheinlichkeiten in Form von Verhltnissen beschrieben werden, mssen Kinderbeim Wahrscheinlichkeitsvergleich diese multiplikativen Prinzipien bercksichtigen. Dasheit, sie mssen lernen, proportional zu denken. Dies ist eine groe Herausforderung,da das Denken in Verhltnissen mit einigen Fehlkonzepten verknpft ist, die sich auchnoch bei Erwachsenen zeigen (Bryant & Nunes, 2012). Zu den Fehlkonzepten gehrtbeispielsweise das Ausblenden wichtiger Gren im Verhltnis, wenn Wahrscheinlichkeitenverglichen werden. Doch auch wenn die Notwendigkeit erkannt wird, alle Gren in einemVerhltnis zu betrachten, so werden diese mitunter flschlicherweise nach additiven stattnach multiplikativen Regeln miteinander verrechnet (Falk u. a., 2012; Fischbein & Gazit,1984; Fischbein u. a., 1970a).

    Den probabilistischen Intuitionen stehen aber auch Fehlvorstellungen gegenber. Wh-rend einige mit wachsendem Alter des Kindes verschwinden, so gibt es auch robusteFehlvorstellungen zur Zuflligkeit von Ereignissen (Kahneman, 2011). Eine sehr weitverbreitete Fehlvorstellung hat mit der Unabhngigkeit aufeinanderfolgender Ereignissezu tun. Sowohl Kinder als auch Erwachsene neigen dazu, Zufallsgeneratoren eine ArtGedchtnis zuzuschreiben. Die Ausgnge der vorherigen Zufallsexperimente beeinflussenjedoch keineswegs den Ausgang des aktuellen Experiments. Dies macht die Stochastikgerade so interessant, da normative Ergebnisse und Gefhl oftmals voneinander abwei-chen. Springt die Kugel im Rouletterad im Kasino fnf Mal in Folge auf ein rotes Feld,so wird sie beim 6. nicht eher auf ein schwarzes springen. Ein Groteil der Fehlvor-stellungen ist mit Kontrollillussionen verbunden, die besagen, stochastische Ergebnisseseien durch Fertigkeiten beeinflussbar. Dabei ist das Ziel die Maximierung der eigenenErfolgswahrscheinlichkeit (Lorenz, 2014).

    Wollring (1995) beschreibt eine Reihe verschiedener Verstndnisvarianten zum Wahr-scheinlichkeitsbegriff. Dazu gehrt die animistische Wahrscheinlichkeitsvorstellung, diebesagt, dass das Ergebnis von Zufallsexperimenten durch ein Wesen mit personalenEigenschaften bestimmt wird. Daneben nennt Wollring das a priori-Verstndnis, welchesdie Auffassung zu Beginn einer Spielhandlung beschreibt. Befinden sich in einer Urnebeispielsweise fnf rote und ein blauer Wrfel, werden den Ereignissen Wrfel ist rotund Wrfel ist blau die gleichen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wird das Zufallsexpe-riment nun wiederholt und es wird hufiger ein roter Wrfel gezogen, so kann die falscheAnnahme einer Gleichverteilung revidiert werden. Als dritte Verstndnisvariante nenntWollring die frequentistische Wahrscheinlichkeit, bei der versucht wird, aufgrund derbisherigen Versuche Wahrscheinlichkeiten abzuschtzen. Dies passiert durch die Betrach-tung der relativen Hufigkeiten. Im Beispiel wird dem Ereignis Wrfel ist blau nacheinigen Spielhandlungen etwa die Wahrscheinlichkeit von 2 von 10 zugeordnet. Als viertenund fnften Punkt nennt Wollring die subjektiven und intuitiven Wahrscheinlichkeitenals Ausdruck persnlicher berzeugungen und die formale Wahrscheinlichkeit, die ausmathematischen Gesetzen abgeleitet wird. Mit Ausnahme der formalen Wahrscheinlich-

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  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    keit sind alle Wahrscheinlichkeitszugnge bei Kindern im Grundschulalter erkennbar(Lorenz, 2014). Es existiert dabei weder eine Stufenfolge, noch lassen sich die benanntenKomponenten scharf voneinander trennen. Welche Sicht vom Kind auf die stochasti-sche Situationen eingenommen wird, richtet sich meistens nach der Art der Spiel- oderHandlungssituation. Die verschiedenen Varianten des Wahrscheinlichkeitsverstndnissesknnen durchaus auch vermischt und parallel auftreten (Lorenz, 2014).

    3.2.2 Die Stochastik in den Bildungsstandards

    Die Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Primarbereich (KMK, 2004) fhrenverschiedene inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen auf, die Schlerinnen undSchler am Ende ihrer Grundschule erworben haben sollen. Diese gliedern sich in fnfzentrale Leitideen:

    Zahlen und Operationen Raum und Form Muster und Strukturen Gren und Messen Daten, Hufigkeit und Wahrscheinlichkeit

    Der Stochastikunterricht der Grundschule ist somit in die Bereiche Daten, Hufigkeitund Wahrscheinlichkeit gegliedert (KMK, 2004). Diese Bereiche sind eng miteinanderverzahnt und sollten, nach den Bestimmungen der neuen Bildungslehrplne, daher nichtunabhngig voneinander unterrichtet werden: Wahrscheinlichkeiten helfen, Ergebnissevon Zufallsvorgngen vorherzusagen. Beim Wiederholen desselben Zufallsexperimentsknnen dann die gewonnenen Daten in Form von absoluten oder relativen Hufigkeitenkommuniziert werden. Schlerinnen und Schler sollten im Laufe ihrer Grundschulzeitlernen, Hufigkeitstabellen und Diagramme zu erstellen, lesen und interpretieren und Ge-winnchancen bei verschiedenen Zufallsvorgngen einschtzen (KMK, 2004). Die LeitideeDaten, Hufigkeit und Wahrscheinlichkeit ist aufgeteilt in die Bereiche Daten erfassenund darstellen und Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Diese Aufteilung ist der De-finition der Stochastik nachempfunden, die sich ebenso in die Beschreibende Statistikund die Wahrscheinlichkeit aufgliedern lsst (Wikipedia-Autoren, 2014c). Schlerinnenund Schler sollen (...) in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen ExperimentenDaten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstel-len (...) und aus diesen wiederum (...) Informationen entnehmen. Fr den BereichWahrscheinlichkeit ist in den Bildungsstandards zu lesen, dass Schlerinnen und SchlerGrundbegriffe kennen [z. B. sicher, unmglich, wahrscheinlich] [und] (...) Gewinnchancenbei einfachen Zufallsexperimenten [z. B. Wrfelspielen] einschtzen. (KMK, 2004).Die Bundeslnder haben sich im Jahre 2004 dazu verpflichtet, die von der stndigen

    Konferenz der Kultusminister der Lnder in der Bundesrepublik Deutschland (KMK)vorgeschlagenen Bildungsstandards zu implementieren und anzuwenden (KMK, 2004).Mit Blick auf die Bildungsplne der einzelnen Bundeslnder ergibt sich folgendes Bild:

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Das Teilgebiet der Statistik ist in allen Bildungsplnen enthalten. Die Wahrscheinlich-keitsrechnung taucht entweder gar nicht auf oder sollte ab Klasse 3 oder 4 unterrichtetwerden (Kurtzmann & Sill, 2012). In welchem Mae sich Lehrkrfte an diese eigentlichverbindlichen Vorgaben der Bildungsplne halten, kann nur schwer berprft werden.

    Der Stellenwert der Stochastik bei Mathematiklehrkrften ist trotz alledem hoch. Diesgeht aus der Studie von Martignon und Wassner (2005) hervor, in welcher der Groteilder befragten Gymnasiallehrkrfte die lebensweltliche Bedeutung der Stochastik sieht.ber die Hlfte der Teilnehmer spricht sich darber hinaus fr einen Stochastikunterrichtin der Unterstufe aus (vor der 8. Klasse) und etwa ein Fnftel schlgt die 4./5. Klasse alsgeeignet vor. Eine auch fr die vorliegende Arbeit wichtige Erkenntnis aus der Studie istdie Tatsache, dass die Lehrkrfte ihre Schlerinnen und Schler im Stochastikunterrichtaufmerksamer, interessierter und auch motivierter einschtzen als im sonstigen Mathe-matikunterricht (Martignon & Wassner, 2005). Gleichzeitig sind sie der Auffassung, dassstochastische Themen von den Kindern nicht so leicht durchdrungen werden wie sonstigemathematische Probleme. Die Autoren der Studie vermuten, dass die Schwierigkeiten derSchlerinnen und Schler beim stochastischen Problemlsen auf die fehlende natrlicheund spielerische Auseinandersetzung im Kindesalter zurckgefhrt werden knnte. Inder Sekundarstufe werden Schlerinnen und Schler oftmals mit formalen Konzeptenkonfrontiert, ohne dass sich zuvor kontinuierlich gereifte Heuristiken ausbilden konnten(Martignon & Wassner, 2005).

    An dieser Stelle sollen hufig genannte Vorbehalte zum Lehren und Lernen stochasti-scher Inhalte in Thesen gefasst und anschlieend diskutiert werden.

    Wahrscheinlichkeiten werden in Form von Prozenten oder Brchen ausge-drckt, die blicherweise erst in der Sekundarstufe eingefhrt werden. Dahermuss man sich im Unterricht der Grundschule auf rudimentre qualitativeBeschreibungen von Wahrscheinlichkeiten beschrnken.

    In der Tat sollten in einem altersadquaten Stochastikunterricht in der Grundschuleelementare wahrscheinlichkeitstheoretische Konzepte spielerisch entwickelt werden. Stattformalem Kalkl geht es dabei um eine handlungsorientierte heuristischen Begegnungmit Zufallsphnomenen; Heuristiken nicht im Sine von Faustregeln sondern als intuitivezielfhrende Strategien beim Problemlsen (Polya, 1957). Kinder bringen meist eigeneVorstellungen von Zufall mit in den Unterricht. Diese Alltagsvorstellungen zum Zufallsollten dabei ernst genommen werden und zum Ausgangspunkt des Lernens gemachtwerden (Bchter u. a., 2005).

    Der Stochastikunterricht in der Grundschule muss sich jedoch nicht auf die in derThese erwhnten rudimentren qualitativen Beschreibungen von Wahrscheinlichkeitenbeschrnken. Die Tatsache, dass Schlerinnen und Schler noch nicht ber Prozent- oderBruchzahlbegriff verfgen (Ausnahme Stammbrche), stellt dabei kein Hindernis dar.Quantitative Beschreibungen von Wahrscheinlichkeiten knnen vorgenommen werden,indem man auf natrliche Hufigkeiten zurckgreift. Befinden sich beispielsweise ineiner Urne 2 rote und 8 blaue Wrfel, erkennen Kinder nicht nur recht schnell, dass dieWahrscheinlichkeit fr blau grer ist. Sie verstehen ebenso, wenn die Wahrscheinlichkeit

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  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    fr blau als 8 von 10 ausdrckt wird. Darber hinaus knnen Kinder viele weitere wichtigeKompetenzen erwerben, wie etwa die stochastische Unabhngigkeit, Variabilitt oderMerkmalsverteilungen. Lindmeier und Reiss (2014) zeigen Befunde, die auf grundlegendeFhigkeiten des inferenzstatistischen Schlieens von Grundschlerinnen und Grundschleram Ende der 4. Jahrgangsstufe hindeuten.

    Viele Schlerinnen und Schler haben Defizite im Bereich Zahldarstellungenund Rechenoperationen. Erst wenn diese Kompetenzen gefestigt sind, kannman darber nachdenken, stochastische Themen im Unterricht zu behandeln.

    Kompetenzen im Bereich Zahldarstellungen, Zahlbeziehungen und Rechenoperationenspielen in der Grundschule eine groe Rolle. Die Frderung elementarer mathematischerFertigkeiten wie das Wissen um den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems, den vierGrundrechenarten, Kopfrechenstrategien und mndlichen und halbschriftliche Rechen-strategien kommt eine groe Bedeutung zu. Diese Kompetenzen sind der Leitidee Zahlen& Operationen zugeordnet (KMK, 2004). Es steht auer Frage, dass die Kompetenzendieser Leitidee fr den Aufbau eines tragfhigen Zahlbegriffs gerade im Grundschulbe-reich erworben werden mssen. Neben der Leitidee Zahlen & Operationen stehen jedochvier weitere Leitideen, die Kompetenzen beinhalten, die nicht weniger wichtig sind. DieLeitidee Daten, Hufigkeit und Wahrscheinlichkeit enthlt grundlegende Kompetenzen,die elementar fr den Aufbau und die Entwicklung stochastischen Denkens sind.

    Glcksspiele eignen sich fr den Unterricht, da Kinder diesbezglich Vorer-fahrungen in auerschulischen Kontexten machen. Das Glcksspiel ist zwarein motivierender Kontext, im Sinne eines realittsnahen und anwendungsbe-zogenen Mathematikunterrichts eignet sich dieser aber nur bedingt.

    Glcksspiele eignen sich hervorragend, um mit Kindern ber stochastische Problem-stellungen zu thematisieren. Kinder stellen Vermutungen ber mgliche Ausgnge vonZufallsexperimenten auf und fhren im Anschluss daran Experimente zur berprfungdieser selbststndig durch. Aufgrund der aufgetretenen Ergebnisse knnen dann dieeigenen Vorstellungen von Zufall an die vorliegende Situation angepasst werden. Dieshilft, dass Fehlvorstellungen bezglich zuflliger Ereignisse abgebaut werden (Lorenz,2014). Anstatt das Glcksspiel als motivierenden Anlass zu sehen, um mit Kindern berZufallsprozesse zu sprechen, wird die Stochastik hin und wieder mit dem Glcksspielgleichgesetzt. Diese Reduzierung wird dem hohen Anwendungsbezug der Stochastiknicht gerecht. Ein Zugang zur Stochastik ber Zufallsexperimente mit Mnzen, Wrfeln,Spielkarten und Glcksrdern bietet sich in der Grundschule an, da Kinder oftmals Vor-erfahrungen mitbringen, die sie in ihrer Freizeit gesammelt haben (Bchter u. a., 2005).Dieser elementare Zugang zur Wahrscheinlichkeit kann und sollte nach einer gewissenZeit durch die Ausweitung auf stochastische Phnomene ausgeweitet werden, bei welchender Realittsbezug sichtbar wird. Die anhand von Glcksspielen in der Grundschulediskutierten Phnomene werden dann im Sinne des Spiralcurriculums wieder aufgegriffenund formalisiert. Im Stochastikunterricht der Sekundarstufe bietet es sich dann an, mit

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    realistischen Daten und Fakten zu arbeiten und wichtige Begrifflichkeiten zu klren.Es knnen eigene Erhebungen durchgefhrt oder auf vorhandene groe Datenbankenzurckgegriffen werden, um relevante Probleme etwa aus den Bereichen Umwelt, Politik,Sport oder Wirtschaft mithilfe statistischer Methoden zu klren.

    3.2.3 Risiko als Inhaltsbereich in der Grundschulstochastik

    Die Verankerung stochastischer Inhaltsbereiche in den Bildungsplnen der Primarstufewar ein groer Schritt. Dennoch haben Statistik und Wahrscheinlichkeit noch nicht denStellenwert erreicht, der ihnen zusteht. Zum Teil drfte dies auf die noch recht jungeGeschichte der Schulstochastik als Teilgebiet der Mathematik zurckzufhren sein. Einweiterer Grund mgen die beschriebenen Vorurteile und Vorbehalte vieler Lehrkrftegegenber diesem Inhaltsbereich sein. Wer selbst erst in der Oberstufe mit schwierigenformalen Konzepten der Wahrscheinlichkeitstheorie konfrontiert wurde, erkennt nichtsofort, warum und vor allem wie diese Inhalte auf spielerische Art in der Grundschulethematisiert werden knnen.

    Wozu muss ich Wahrscheinlichkeiten berechnen knnen. Ich gehe sowieso nie ins Kasi-no. Ressentiments vor allem gegenber der Wahrscheinlichkeitstheorie lassen erkennen,dass der hohe Anwendungs- und Realittsbezug von Wahrscheinlichkeiten sehr oft nichterkannt wird. Im Stochastikunterricht ber die mathematische Modellierung von Risikozu sprechen, knnte ein Weg sein, die Relevanz der Stochastik zu betonen. Glcksspieleund einfache deskriptive Statistiken haben nach wie vor ihre Berechtigung in der Grund-schulstochastik. An dieser Stelle bietet es sich an, diese Inhalte zu erweitern, indem derZufallsbegriff im Unterricht strker aus Sicht von Risikosituationen und Entscheidungs-problemen betrachtet wird. Der persnliche Bezug eines jeden Kindes zum Risikobegriffbietet neben der inhaltlichen Auseinandersetzung mit den zugrundeliegenden mathema-tischen und stochastischen Konzepten Raum fr spannende Diskussionen. PersnlichePrferenzen und mathematische Begrndungen mssen in den Entscheidungsprozessintegriert werden. Risikoaversionen oder Risikoaffinitt bieten viel Diskussionsspielraumund die Tatsache, dass es bei Entscheidungsproblemen nicht immer die richtige Lsunggibt, zeigt den Schlerinnen und Schlern indirekt wie realittsnah die Stochastik ist. Imechten Leben gibt es meistens verschiedene Wege, die zum Ziel fhren; jeder dieser Wegeist an Risiken und Chancen gekoppelt.

    Im Mathematikunterricht wird Schlerinnen und Schlern oftmals suggeriert, die Ma-thematik lasse nur einen Lsungsweg zu, der zum einzigen richtigen Ergebnis fhrt. In derStochastik ist es durchaus mglich, dass sich voneinander abweichende Vorgehensweisenbeim Problemlsen als legitim herausstellen. Dies trifft insbesondere auf Entscheidungs-probleme zu, in welchen verschiedene Optionen unterschiedliche Konsequenzen beinhalten.Werden beispielsweise beim stochastischen Problemlsen Situationen modelliert, in wel-chen es um einen mglichen Ressourcenverlust (Geld, Zeit, Gesundheit) geht, so mussimmer auch die Ausgangssituation betrachtet werden (Wie viel Geld/Zeit habe ich zurVerfgung?).

    Welche konkreten mathematischen Inhalte spielen nun fr die Modellierung von Ri-siko eine Rolle? Aufgrund bisheriger Arbeiten zum Thema haben sich vier Bereiche

    22

  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    herauskristallisiert, die sich fr die schulische Auseinandersetzung mit Risikosituationenals besonders relevant gezeigt haben (Latten u. a., 2011). Zu diesen gehren folgendeBereiche.

    Proportionen: Quantitative Beschreibung von einfachen Wahrscheinlichkeiten durchVerhltnisse Erwartungswert: Abwgen verschiedener Handlungsoptionen bei Entscheidungspro-

    blemen Risikoerhhung und Risikoreduktion: Risiken verndern sich durch neue Bedingun-

    gen Bedingte Proportionen/Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten verndern sich

    durch neue Information

    Proportionen

    Risiken werden in Form von Wahrscheinlichkeiten ausgedrckt. Wahrscheinlichkeitenwiederum werden als Verhltnis zwischen den gnstigen und den mglichen Ereignisseneines zuflligen Vorgangs ausgedrckt (Barzel & Kleine, 2013). Aus diesem Grundist das Denken in Verhltnissen oder das proportionale Denken Kernkompetenz freinen adquaten Umgang mit Wahrscheinlichkeiten und somit auch fr Risiken. DieSchwierigkeit beim Umgang mit Verhltnissen liegt in der erforderlichen simultanenBetrachtung zweier Gren oder Entitten (Koerber, 2003). Man stelle sich nun vor, aufStrecke A passieren an 10 von 20 Tagen Unflle und auf Strecke B an 11 von 40 Tagen.Wenn man sich nun die Frage stellt, auf welcher Strecke das Risiko fr einen Unfallhher sei, so reicht es nicht aus, sich nur auf jeweils eine Gre der beiden Verhltnissezu sttzen. In diesem Fall wre Strecke B gefhrlicher, da sich dort ein Unfall mehrereignet hat.

    Doch diese Argumentation anhand der Betrachtung der absoluten Hufigkeit an Unfl-len auf den beiden Strecken ist angreifbar. Es macht mehr Sinn, einen relativen Vergleichmittels der relativen Hufigkeit anzustellen. Die Tatsache, dass bei der Einschtzungder Gefahrenlage alle Gren (Unfalltage, Gesamtheit der Tage) bercksichtigt werdenmssen, scheint nachvollziehbar. Es gibt jedoch zahlreiche Befunde aus der kognitions-psychologischen Forschung, die zeigen, dass diese simultane Betrachtung beider Greneines Verhltnisses oft misslingt oder gar vernachlssigt wird (Denes-Raj & Epstein, 1994;Garcia-Retamero u. a., 2010; Koerber, 2003; Reyna & Brainerd, 2008; Spiegelhalter u. a.,2011). Nicht nur Schlerinnen und Schler, sondern auch Erwachsene haben demnach oft-mals Probleme, Risiken richtig zu interpretieren, die in Form von Brchen und Prozentenkommuniziert werden.Der Frderung von Kompetenzen im Umgang mit Verhltnissen wird daher in der

    Unterrichtseinheit zu Risiko und Entscheidungen unter Unsicherheit besondere Bedeutungbeigemessen. Der Ansatz, elementare Kompetenzen zum Proportionsbegriff bereits in derGrundschule anhand von enaktiven Materialien zu frdern, ist erfolgsversprechend (Arti-kel 2). Schlerinnen und Schlern wird durch natrliche Darstellungen die Mglichkeitgegeben, ohne Brche und Prozente die Verhltnisse intuitiv zu erfassen. Der Ansatz

    23

  • 3 Theoretischer Hintergrund

    basiert auf der visuellen Wahrnehmung von Verhltnissen mithilfe von Steckwrfeln undPiktogrammen (Boyer, Levine & Huttenlocher, 2008; Scholz & Waschescio, 1986). Einer-seits verfgen Kinder bereits ab einem Alter von einem Jahr ber intuitive Strategien undHeuristiken, die erste Anzeichen von proportionalem Denken vermuten lassen (Denison& Xu, 2013), andererseits hat sich der Zugang zu Verhltnissen ber Hufigkeitsformateund der ikonischen Darstellung dieser in einigen psychologischen Studien als besondersgeeignet erwiesen (Garcia-Retamero u. a., 2010; Martignon & Wassner, 2005; Wassner,2004; Zhu & Gigerenzer, 2006).

    Erwartungswert

    Was hat der mathematische Erwartungswert mit Risiko zu tun? Der Erwartungswerteiner reellen diskreten Zufallsvariablen errechnet sich aus der Summe der Produkteaus den Wahrscheinlichkeiten jedes mglichen Ergebnisses des Experiments und denWerten dieser Ergebnisse (Wikipedia-Autoren, 2014a). Das Risiko ist ein speziellerErwartungswert, welcher sich aus dem Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit einesunerwnschten Ereignisses und Schadensschwere als Konsequenz aus dem Ereignis ergibt(Wikipedia-Autoren, 2014b). Risiko ist somit ein auf den Ressourcenverlust bezogenerErwartungswert (Schiller & Kuntze, 2012).Eine vereinfachte mathematische Schreibweise:

    E(X) =

    n1

    xi pi = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + ...+ xn pn (3.1)

    Abbildung 3.3: Erwartungswert einer reellen diskreten Zufallsvariablen

    Entsprechend wrde man das Gesamtrisiko wie folgt errechnen:

    Risiko =

    n1

    Schaden/Nutzeni Eintrittswahrscheinlichkeiti (3.2)

    Abbildung 3.4: Risiko auf Basis der Errechnung eines Erwartungswerts

    Das Gesamtrisiko ergibt sich somit durch die Aufsummierung von n Produkten. Injedem dieser n Produkte wird ein mglicher Schaden oder Gewinn mit der dazugehrigenEintrittswahrscheinlichkeit multipliziert. Je nachdem welche Definition fr Risiko betrach-tet wird, knnen auch hier Gewinne eintreten. In diesem Fall beinhaltet Risiko auchdie Mglichkeit positiver Auswirkungen, manchmal auch als Chance bezeichnet (Gige-renzer, 2013). In vielen schwierigen Entscheidungssituationen geht es darum, aus vielenverschiedenen Handlungsoptionen diejenige zu whlen, die fr unsere Ziele und Absichtendie gnstigste ist. Jede dieser Optionen beinhaltet gewisse Chancen und Risiken, diewiederum unterschiedliche Konsequenzen haben. Es kommt zum sogenannten trade-off,in dem Kosten und Nutzen abgewogen werden mssen. Greifen wir das Eingangsbeispieldes Ebolarisikos auf. Muss beispielsweise ein Arzt entscheiden, ob er Freiwilligenhilfe in

    24

  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    den betroffenen Krisengebieten leistet, wird der Arzt damit verbundene Chancen undRisiken abwgen. Positive Auswirkungen seines Tuns (anderen Menschen helfen) stehenmglichen Risiken (eigene Ansteckungsgefahr) und Bedenken (Sorgen der Angehrigen)gegenber.In der Unterrichtseinheit zu Risiko und Entscheidungen unter Unsicherheit sollen

    Grundschlerinnen und Grundschler erste Kompetenzen im Umgang mit diesen trade-offs (manchmal auch risk-benefit-trade-off) erwerben. Dabei geht es um die Diskussion vonFragen wie: Welche Optionen gibt es? Wie sehen die mglichen Gewinne und Verlusteaus? Gibt es die beste Option?. Die Schlerinnen und Schler sollen lernen, dass vieleEreignisse im Leben nicht vorhersehbar sind und die Welt nicht nach deterministischenPrinzipien aufgebaut ist. Gleichzeitig sollen sie erkennen, dass sich einige Situationenmithilfe mathematischer Werkzeuge modellieren lassen. In der Unterrichtseinheit wurdenzwei mgliche Optionen gegenbergestellt, deren Sinnhaftigkeit die Schlerinnen undSchler dann mithilfe eines Zufallsexperiments ergrnden sollten. Eine Option war miteinem sicheren niedrigen Gewinn und die andere mit einem unsicheren aber hohen Gewinnverbunden (siehe Artikel 1). Dies bietet auch Anlass mit Kindern ber Risikobereitschaftund Risikoscheue zu sprechen.

    Risikoerhhung und Risikoreduktion

    Sowohl die Eintrittswahrscheinlichkeit eines unerwnschten Ereignisses als auch dieSchadensschwere werden durch eine Vielzahl an Faktoren beeinflusst. Das Tragen einesSicherheitsgurtes im Auto verringert die Schadensschwere bei einem Unfall, die Wahr-scheinlichkeit fr einen Unfall wird jedoch nicht verndert. Die Wahrscheinlichkeit, sichmit einem bestimmten Virus anzustecken, wird dagegen durch bestimmte Verhaltenswei-sen erhht oder verringert. Verminderungen und Erhhungen von Risiken werden oft inForm relativer Risiken beschrieben. So wird z. B. fr ein Medikament durch die Angabeeines 20% geringeren Risikos an XYZ zu erkranken geworben oder niedrige Vitamin-DBlutwerte erhhen das Prostatakrebsrisiko um das Doppelte (Abbildung 3.5).Man unterscheidet zwischen einer relativen und einer absoluten Risikoreduktion (Ri-

    sikoerhhung). Beides sind Mazahlen, um die Strke des Effektes von Interventionenzu quantifizieren. Das folgende anschauliche Beispiel von Gigerenzer und Krmer (2014)soll den Unterschied zwischen absoluter und relativer Risikoerhhung verdeutlichen. DasBeispiel dient eigentlich der Veranschaulichung des Problems der hohen Variabilitt inkleinen Stichproben und den damit verbundenen problematischen Schlussfolgerungen. Eszeigt aber auch, wie unspektakulre Studienresultate durch eine geschickte Darstellungvon Information zu spektakulren Schlagzeilen verndert werden knnen.

    Drei von zehn Bundesbrgern sterben derzeit an Krebs. Greift man beliebigzehn Bundesbrger heraus, sterben aber nur selten genau drei davon an Krebs.Die tatschliche Zahl der Krebsflle schwankt dabei zwischen null und zehn.Wenn man wissen mchte, ob das Essen von Bonbons die Krebssterblichkeiterhht, aber nur zehn Brger untersucht, die keine Bonbons essen, dann kannes leicht sein, dass von diesen zehn nur zwei an Krebs sterben. Daraus kann

    25

  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Abbildung 3.5: Studienresultate in Form relativer Risiken

    man aber nicht schlieen, dass Bonbons die Sterblichkeit um 50 Prozent (vonzwei auf drei) erhhen. (Gigerenzer & Krmer, 2014)

    Die Erhhung um 50 Prozent entspricht der relativen Risikoerhhung. Sie errechnetsich aus dem Verhltnis der Risiken in beiden Gruppen. 3 erkrankte Personen in derGruppe der Bonbonesser sind 50 Prozent mehr als 2 erkrankte Personen in der Gruppeder Nichtbonbonesser. Relative Risiken eignen sich nicht um Schaden und Nutzen ver-schiedener medizinischer Interventionen darzustellen, da Information ber Basisratennicht mitgeliefert werden, die fr das Verstehen der Information von hchster Relevanzsind. Die Basisrate verrt etwas ber die Hufigkeit des Vorkommens eines Merkmals inder Grundgesamtheit. Wird dies verschwiegen, so kann beispielsweise der Nutzen von Arz-neimitteln leicht berschtzt werden (Koch, 2005). Die Erhhung um 10 Prozentpunkteim obigen Beispiel (20 Prozent 30 Prozent) entspricht der absoluten Risikoerhhung.Diese Art der Risikokommunikation ist transparenter, leichter zu interpretieren und solltedaher Angaben in Form relativer Risiken ersetzen (Gaissmaier & Gigerenzer, 2008).In der Unterrichtseinheit zu Risiko und Entscheidungen unter Unsicherheit spielen

    die Begrifflichkeiten des absoluten und relativen Risikos indirekt eine Rolle. Kinderam Ende ihrer Grundschulzeit verfgen weder ber das Begriffswissen zu Prozenten,noch sollte der Fokus auf der Klrung von Begriffen liegen. Es geht vielmehr um dieEinsicht, dass bestimmte Situationen mithilfe von Verhltnissen beschrieben werden

    26

  • 3.2 Stochastik in der Grundschule

    knnen und dass sich diese Verhltnisse durch neue Rahmenbedingungen verndernknnen: 4 von 20 Kinder aus Klasse 4 c haben sich beim Sporttag verletzt. Frden nchsten Sporttag sollen die Kinder Verhaltensregeln erarbeiten, damit sich dieVerletzungsgefahr verringert. Die Lehrkraft geht davon aus, dass sich die Gefahr durchdie neuen Umgangsregeln halbieren lsst. Haben Kinder die Problemsituation verstanden,so kommen sie schnell darauf, dass sich beim nchsten Sporttag eventuell tatschlichnur noch 2 von 20 Kinder verletzen. Zwei Punkte helfen den Kindern dabei auf dieLsung zu kommen. Einerseits verringert sich die Gefahr; es sollten sich daher wenigerKinder verletzten. Andererseits wird von einer Halbierung gesprochen. Durch dieDiskussion derartiger Problemsituationen und die Darstellung der Verhltnisse mithilfebunter Steckwrfel werden die Schlerinnen und Schler fr Risikoerhhungen undRisikoverminderungen sensibilisiert. Im Stochastikunterricht der Sekundarstufe knnenabsolute und relative Risiken dann berechnet und die Ntzlichkeit dieser Mae diskutiertwerden (Abbildung 3.5 in Strunz (2012)).

    Bedingte Proportionen/Wahrscheinlichkeiten

    Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden in Deutschland typischerweise erst im Stochastik-unterricht der Sekundarstufe ab Klasse 9 oder 10 oder sogar spter behandelt. In denBildungsstandards fr den mittleren Bildungsabschluss werden bedingte Wahrschein-lichkeiten nicht explizit aufgefhrt (KMK, 2003). Lediglich in den Bildungsstandardsfr die allgemeine Hochschulreife werden diese explizit erwhnt (KMK, 2012). Anhandbedingter Wahrscheinlichkeiten (BW) knnen viele anwendungsorientierte Beispiele erar-beitet werden wie etwa die Einschtzung der Zuverlssigkeit medizinischer Tests oderDNA-Analysen (Krauss & Hertwig, 2000; Hauer-Typpelt, 2007). Risiken falsch-positiverTestresultate in der medizinischen Diagnostik oder der Ermittlung in Mordprozessenknnen mithilfe bayesianischem Schlussfolgern oder Schlieen (BS) beschrieben werden(Gigerenzer, 2013). Diese Themen sind nicht nur spannend und inhaltlich von hchsterRelevanz, sie sorgen auch fr viel Diskussionsstoff, wenn sie im Unterricht besprochenwerden (Wassner, 2004). Gerade im Bereich der Zuverlssigkeit medizinischer Testsdriften intuitive Einschtzung der Sachsituation und formal berechnete Lsung weitauseinander (Hauer-Typpelt, 2007). So knnen auch viele rzte nicht nachvollziehen,warum die Wahrscheinlichkeit, dass eine Krankheit bei positivem Test wirklich vorliegt,teilweise nur bei 10% liegt, whrend die Wahrscheinlichkeit fr einen positiven Test beivorliegender Krankheit 90% ist (Gigerenzer & Gray, 2011).

    Das zu stark auf Formalismen und Regeln gerichtete Unterrichten bedingter Wahr-scheinlichkeiten und des Satzes von Bayes geht mit einigen Problemen vieler Schlerinnenund Schlern einher (Diaz & Fuente, 2007). Geeignete Reprsentationen in Form na-trlicher Hufigkeiten und ikonischer Darstellungen (Abbildung 3.6) knnen helfen, einGrundverstndnis fr bedingte Wahrscheinlichkeiten aufzubauen, um so die Struktur desProblems zu erfassen (Gigerenzer & Hoffrage, 1995; Micallef, Dragicevic & Fekete, 2012).Von diesen natrlichen Darstellungsformaten konnten nicht nur rzte (Gigerenzer &Gray, 2011; Gigerenzer, Gaissmaier, Kurz-Milcke, Schwartz & Woloshin, 2008), sondernebenso Sekundar- (Wassner, 2004; Sedlmeier & Gigerenzer, 2001) und Primarstufensch-

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  • 3 Theoretischer Hintergrund

    Abbildung 3.6: Populationsdiagramm zur Darstellung falsch-positiver und falsch-negativer Testresul-tate

    lerinnen und -schler profitieren (Zhu & Gigerenzer, 2006). Martignon und Kurz-Milcke(2006b) konnten zeigen, dass natrliche Darstellungsformate in Kombination mit bun-ten Steckwrfeln in der Grundschule zur Frderung erster Kompetenzen zu bedingtenWahrscheinlichkeiten eingesetzt werden knnen.

    28

  • 4 Studie zu Frdermglichkeiten vonRisk Literacy in der Grundschule

    In der Zeit zwischen Dezember 2012 und Juli 2013 wurde eine Studie zur Frderungelementarer mathematischer und stochastischer Konzepte zu Risiko und Entscheidungenunter Unsicherheit durchgefhrt. Die durchgefhrte Lerneinheit basiert auf der mathe-matischen Modellierung von Entscheidungssituationen durch enaktive Materialien undbildlichen Darstellungen von Verhltnissen in Form von Piktogrammen. Die Idee derStudie war es, vorhandene Primrintuitionen zu Risiko durch eine geeignete Lernumge-bung gezielt zu frdern und den Wissenszuwachs empirisch zu evaluieren. Im Sinne desSpiralcurriculums (Bruner, 1970) sollen die durch eine Intervention gestrkten heuristi-schen Modelle dann in der Sekundarstufe durch systematische Lehr- und Lernprozessezu sogenannten sekundren Intuitionen und schlielich zu ausgereiftem Begriffswissenausgebaut werden. Die frhzeitige spielerische Durchdringung stochastischer Konzepteknnte dazu fhren, dass die gleichen formalen Inhalte in der Sekundarstufe nicht mehrals abstrakt erlebt werden.

    Der Groteil bisherige Studien zur Entwicklung stochastischen Denkens bei Kindern imAllgemeinen sowie Arbeiten zum Thema Risk Literacy in der Grundschule im Speziellenwurden in Form von explorativen Unterrichtsexperimenten oder querschnittlichen Designsdurchgefhrt (Bryant & Nunes, 2012). Die Ergebnisse dieser Studien sind erfreulich, da ge-zeigt werden konnte, dass Kinder intuitives Wissen in Form von zielfhrenden Heuristikenin Situationen unter Unsicherheit besitzen (Kurz-Milcke & Martignon, 2007; Martignon &Kurz-Milcke, 2006b; Martignon & Krauss, 2009; Kuntze, Gundlach, Engel & Martignon,2010). Die vorliegende Arbeit soll mit einem lngsschnittlichen Deisgn zum einen weitereEvidenzen zum Vorhandensein dieser Intuitionen sammeln, zum anderen sollen durch denVergleich von Experimental- und Kontrollklassen Antworten auf die Frage gefunden wer-den, ob sich elementare Kompetenzen zu Risiko bereits in der Grundschule erfolgreich undnachhaltig frdern lassen. Darber hinaus soll die Studie ermglichen, Aussagen ber dieEntwicklung von Begriffswissen (Proportionen, Erwartungswert, bedingte Wahrscheinlich-keit) durch bestimmte Manahmen und damit verbundenen konzeptuellen Vernderungentreffen zu knnen. Durch die zustzliche Erhebung verschiedener Kovariaten knnenEinflussfaktoren auf die Kompetenzentwicklungen herausgearbeitet werden. Ergnzendzur Interventionsstudie wurde eine Befragung von zuknftigen Grundschullehrkrftendurchgefhrt. Ziel war es, von den positiven Resultaten der Studie zu berichten unddadurch zuknftige Lehrkrfte zu motivieren, die vorgestellten Unterrichtsideen in dieeigene Unterrichtspraxis zu implementieren. Gleichzeit sollten Vorurteile und Vorbehaltegegenber dem Lehren und Lernen von Stochastik in der Grundschule abgebaut werden.

    29

  • 4 Studie zu Frdermglichkeiten von Risk Literacy in der Grundschule

    4.1 ForschungsfragenFr die vorliegende Arbeit waren folgende Fragen leitend:

    Sind bei Schlerinnen und Schlern in Klasse 4 Primrintuitionen zu verschiedenenstochastischen und mathematischen Konzepten vorhanden, mit denen Risiko undEntscheidungen unter Unsicherheit modelliert werden knnen? (1. Artikel)

    Lassen sich diese Konzepte bereits durch eine kurze Intervention anhand geeigneterDarstellungsformate in der Primarstufe frdern? (1. Artikel)

    Neben diesen zentralen Leitfragen sollten durch die Studie Antworten auf folgendeFragen gefunden werden:

    Welchen Einfluss hat das Vorwissen (Primrintuitionen) auf die erzielte Leistungder Schlerinnen und Schler im Nachtest? (1. Artikel) Welchen Einfluss hat das Vorwissen (Primrintuitionen) auf die erzielte Leistung

    der Schlerinnen und Schler im Follow-up Test? (1. Artikel) Welchen Effekt hat die Intervention auf das proportionale Denken? (2. Artikel) Welche typischen Fehlvorstellungen besitzen Kinder bezglich des Proportionsbe-

    griffs? (2. Artikel) Bewirkt eine kurze Intervention einen Konzeptwechsel beim Umgang mit Propor-

    tionen? (2. Artikel) Sind die eingesetzten Darstellungsformate fr die Grundschulstochastik geeignet?(3. Artikel) Welchen Effekt hat die Intervention auf das konzeptuelle Verstndnis fr bedingteWahrscheinlichkeiten (BW) und bayesianischem Schlieen (BS)? (3. Artikel) Wie stehen zuknftige Mathematiklehrkrfte dem vorgeschlagenen Ansatz gegen-

    ber? (3. Artikel)

    Die Antworten auf diese Forschungsfragen gehen aus den Ergebnissen der drei Artikelhervor. Sie werden in Kapitel 6 Diskussion und Fazit noch einmal herausgegriffen unddiskutiert.

    4.2 DesignAn der Studie nahmen insgesamt 244 Schlerinnen und Schler im Alter zwischen 8 und12 Jahren aus sechs Grundschulen im Umkreis von Ludwigsburg teil. Die 12 Grundschul-klassen wurden in Versuchs- und Kontrollklassen aufgeteilt; 8 Klassen waren Teil derInterventionsgruppe, 4 Klassen dienten als Kontrollklassen. Vor der Intervention wurdedas Vorwissen der Schlerinnen und Schler durch einen 30-mintigen Test abgefragt.Nach der Unterrichtseinheit schloss ein Nachtest an, in welchem die gelernten Konzepteabgefragt wurden. Der Vergleich von Vor- und Nachtestergebnissen soll letztendlich Aus-sagen ber den Wissenszuwachs ermglichen. Mgliche Langzeiteffekte der Interventionwurden anhand eines Follow-up Tests nach drei Monaten festgestellt.

    30

  • 4.3 Instrumente

    4.3 Instrumente

    Als Testinstrument wurde ein Wissenstest mit geschlossenen und offenen Aufgabenfor-maten zu folgenden Themengebieten eingesetzt: Proportions- und Wahrscheinlichkeits-vergleiche, bedingte Proportionen/Wahrscheinlichkeit, Risikoreduktion und schwierigeEntscheidungen als Vorstufe zum mathematischen Erwartungswert. Der Test enthltItems und Ideen aus dem Testinstrument, welches fr das Projekt RIKO-STAT eingesetztwurde (Kuntze u. a., 2010; Latten u. a., 2011). Diese wurden leicht verndert und durchweitere Aufgaben ergnzt. Die Inhalte und Aufgabenformate von Nachtest und Follow-upTest sind denen des Vortests nachempfunden. Die Items unterscheiden sich lediglich durchdie Zahlen und Aufgabengeschichten. Dadurch wurde einerseits ein Lerneffekt verhindert,der sich allein aufgrund der Bearbeitung eines Tests ergibt, andererseits wurde durch dieStrukturgleichheit der Tests eine Vergleichbarkeit gewhrleistet. Die Punkteverteilungdes Tests leitet sich aus der Schwerpunktsetzung der gefrderten Bereiche innerhalb derUnterrichtseinheit ab. Der Proportionsbegriff als Fundament fr Wahrscheinlichkeitennahm der grten Raum ein, danach absteigend die bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwar-tungswert und schlielich die Risikoreduktion. Diese Bereiche lassen sich jedoch nichtscharf voneinander trennen. In jedem Bereich sind Elemente der anderen enthalten. Diesgilt vor allem fr den Proportionsbegriff: Proportionales Denken ist eine Kernkompetenz,die in allen Aufgaben des Tests eine Rolle spielt.

    Proportionen

    Erweitern eines vorgegebenen Verhltnisses

    Vergleich einfacher Verhltnisse

    Vergleich zweier relativer Hufigkeiten

    Bedingte Wahrscheinlichkeit (BW) und bayesianisches Schlieen (BS)

    Lckentext BW und BS

    Offene Aufgabe BS

    Erwartungswert

    Offene Aufgabe Entscheidungsproblem

    Lckentext Entscheidungsproblem

    Risikoreduktion

    Vermindern eines Verhltnisses

    Sonstige

    Prognosen bei einfachen Zufallsexperimenten

    Prognosen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

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  • 4 Studie zu Frdermglichkeiten von Risk Literacy in der Grundschule

    4.4 InterventionZiel der Lerneinheit war die Vermittlung elementarer Kompetenzen und Konzepte zurmathematischen Modellierung von Risikosituationen. Im folgenden Abschnitt wird aufge-zeigt, auf welche Art und Weise diese Inhaltsbereiche mit den Schlerinnen und Schlernerarbeitet wurden.

    Anhand von einfachen und mehrstufigen Zufallsexperimenten sollten die Schlerinnenund Schler zunchst lernen, Wahrscheinlichkeiten einzuschtzen und zu vergleichen unddabei die eigenen aufgestellten Vermutungen ber die Ausgnge der Experimente zureflektieren. Die Zufallsexperimente wurden anfangs im Klassenverband besprochen unddurchgefhrt. Eine undurchsichtige Urne diente als Zufallsgenerator. In diese wurdenSteckwrfel gelegt und nach Schtteln der Urne blind gezogen. Die Ergebnisse diesermehrmaligen Ziehung mit Zurcklegen wurden dann an der Tafel festgehalten. Eswurden fast ausschlielich 10-stufige Zufallsexperimente durchgefhrt, der Urneninhaltwurde variiert. Die Festlegung auf 10-stufige Zufallsexperimente hatte den Hintergrund,dass Relationen zwischen Urneninhalt und Ergebnissen nach 10-maligem Ziehen fr dieSchlerinnen und Schler ersichtlich wurden. Unwahrscheinliche Ereignisse berraschtendie Kinder, doch der Zufall war fr die Kinder auf lngere Sicht dann doch berechenbar.Um dies mit den Schlerinnen und Schlern zu thematisieren, wurde ein Steckwrfel-trmchen, bestehend aus 2 gelben und 8 roten Wrfeln, in seine Bestandteile zerlegtund in die Urne gelegt. Intuitiv sagten die Kinder das wahrscheinlichste Ergebnis nachzehn Ziehungen voraus: die Ziehung zweier gelber und acht roter Wrfel. Die mehrmaligeDurchfhrung dieses Experiments fhrte zur Einsicht, dass auch hnliche Ergebnisse mithnlicher Wahrscheinlichkeit auftreten knnen (3 gelbe und 7 rote); bestimmte Ergebnisse(8 gelbe und 2 rote) waren fr die Kinder zwar mglich, aber unwahrscheinlich. Alsnchstes wurden jeweils einfache Verhltnisse zweier Steckwrfeltrmchen miteinanderverglichen (2 gelb - 5 rot mit 2 gelb - 8 rot). Anschlieend wurde anhand des Zufallsexperi-ments empirisch berprft, ob kleinere/grere Verhltnisse auch mit kleineren/grerenWahrscheinlichkeiten verbunden sind. Als letztes wurde aus einer Urne mit unbekanntemInhalt gezogen und die Klasse musste sich nach 10-maligem Ziehen fr einen mglichenUrneninhalt entscheiden.In der zweiten Unterrichtsstunde wurden die Schlerinnen mit einer schwierigen

    Entscheidung konfrontiert. Es ging um das Abwgen zweier Handlungsoptionen. Dieriskante Option war gekoppelt an einen unsicheren, dafr hohen Gewinn in Formvon vier Schokoladenriegeln. Die sichere Option war gekoppelt an einen sicheren aberniedrigen Gewinn in Form von einem Schokoladenriegel. Den hohen Gewinn wrde mandurch die Ziehung eines gelben Steckwrfels aus einer Urne erzielen. Bei der Ziehungeines roten Wrfels wrde man hingegen nichts gewinnen. Im Klassenverband wurdendie Vor- und Nachteile der beiden Optionen diskutiert. Dabei kamen auch persnlicheEinstellungen zu Risiko zur Sprache. Bevor die Entscheidungssituation simuliert wurde,uerten die Schlerinnen und Schler Gedanken, die auf eine groe Risikoscheue odereinem Sicherheitsbedrfnis schlieen lieen. Die Mehrheit der Klasse wrde sich demnachfr die sichere Option entscheiden. Lieber einen Riegel sicher als am Ende mit leerenHnden da zu stehen. Ich habe meistens sowieso kein Glck, deswegen wrde ich mich

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  • 4.4 Intervention

    fr die sichere Variante entscheiden. hnlich wie zu Beginn der Schulstunde solltendie Schlerinnen und Schler nun die Vor- und Nachteile der beiden neuen Optionen10 Schokoriegel sicher und 10 x das Experiment durchfhren diskutieren. Die Prferenzlag auch hier auf der sicheren Option. Die Schlerinnen und Schler simulierten dieEntscheidungssituation, indem sie das Ergebnis der sicheren Option mit dem Ergebnisaus der 10-maligen Durchfhrung des Experiments verglichen. Dafr protokollierten dieKinder ihre Ziehungen anhand einer Strichliste und erkannten, dass die riskante Optionmit einer hhere Ausbeute an Schokoladenriegeln verknpft ist. Durch die Ziehungdreier oder mehrerer gelber Steckwrfel wre die riskante Option der sicheren Optionberlegen. Lediglich bei einer (recht unwahrscheinlichen) Ziehung von zwei oder wenigergelben Steckwrfel wre die sichere Opt