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E N T R O P I E U N D D I S S O N A N Z
tim eisenhardt
Das Referat, das dieser Verschriftlichung vorangegangenist,
bestand zu einem wesentlichen Teil aus einer heuristi-schen
Annherung an den Begriff der Entropie, da dieserverstanden sein
musste, um die Ergebnisse von Hinrich-sen [4] zu interpretieren. Um
nun die Verbindung zurNeurowissenschaft noch strker
herauszustellen, ist dasThema der vorliegenden Arbeit stark
erweitert worden; eswurde klar, dass der Begriff der Dissonanz im
Zentrumeines groen Themenkomplexes steht, welcher Teile derPhysik
(insbesondere Psychoakustik), Informationstheo-rie und natrlich der
Neurowissenschaften berhrt. Aucheine Verknpfung zur Musik ist
inhrent stets gegeben hier muss aber die Grenze gezogen werden: Es
soll imFolgenden um einen vorbewussten, sensorischen Begriff
vonDissonanz gehen. ber die Konsequenzen fr die Entwick-lung neuer
Musiken und das Verstndnis des traditionellenwestlichen Tonsystems
hat William Sethares ein sehr in-teressantes Buch geschrieben.
[10]
Dieser (gemeinfreie) Text ist eine Verschriftlichung zu
einemReferat, das im Seminar Musik und Neurokognition bei FrauDr.
habil. Christiane Neuhaus (WS 2013) gehalten wurde.
[email protected]
Matrikel-Nr.: 6246867
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1 einleitung
Das menschliche Hirn weist eine herausragende Fhigkeit auf,
kom-plexe Klangeindrcke zu analysieren und einzelne Gerusche
zuisolieren. In der Tat scheint es die wichtigste Funktion des
Hrens zusein, Klangquellen zu identifizieren und zu lokalisieren
Sprache undMusik sind dagegen eher Randerscheinungen. [13]
Dem Hirn stehen fr diese Aufgabe im Wesentlichen zweierlei
Hin-weise zur Verfgung: Temporale und spektrale. Ein temporaler
Hinweiswre zum Beispiel, dass zwei Teilklnge genau zur selben Zeit
an-fangen und enden; dies fhrt zu dem Eindruck, es handle sich
umeine einzelne Klangquelle. Ebenso werden auf der spektralen
SeiteFrequenzen gruppiert (und als ein Klang wahrgenommen), die
etwaganzzahlige Vielfache voneinander sind. Viele Klnge, die fr
Men-schen und Tiere wichtig sind, haben nmlich solche
harmonischenoder quasi-harmonischen Obertne. Diese Klnge als
eigenstndigidentifizieren und die wichtige Information (Zeit und
geschtzter Ort)von der unwichtigen (klangliche Details, also
Timbre) trennen zu kn-nen, bedeutet einen erheblichen Vorteil im
alltglichen Kampf umsberleben. [6]
Es hat also einfache evolutionre Grnde, dass Menschen
harmoni-sche Klnge von anharmonischen unterscheiden knnen.
Konsonanzund Dissonanz sind in diesem Sinne Begriffe, die aus der
Notwen-digkeit erwachsen, komplexe Klangsituationen schnell
einzuordnen.Unklar bleibt, warum manche Klnge, die vom einfachen
harmoni-schen Fall besonders stark abweichen, von Menschen jedes
kulturellenHintergrundes bereinstimmend als besonders unangenehm
emp-funden werden. Um genauer zu verstehen, was Dissonanz ist,
wrees praktisch, ein einfaches Modell zu haben, mit dem
vorausgesagtwerden kann, wie dissonant ein Klang typischerweise auf
einen Men-schen wirken wird. Hier hat es in den letzten Jahren
einige interessanteEntwicklungen gegeben, die im Folgenden
vorgestellt werden sollen.
2 welche klnge sind dissonant, welche konsonant?
Ein weit verbreiteter Irrglaube ist seit Galilei, dass das Hirn
bestimmteKombinationen von Tnen bevorzugt und als konsonant
einstuft,deren Frequenzen in einem einfachen, ganzzahligen
Verhltnis zueinander stehen. Diese Kombinationen stellen die
wichtigsten musika-lischen Intervalle dar, auf welchen wiederum das
westliche Tonsystemmit seinen zwlf quidistanten Stufen basiert.
Nach dieser Denkweisewre das Frequenzverhltnis der reinen Quinte,
3:2, besonders ange-nehm, whrend allerdings das nur wenig
verstimmte Intervall 301:200eine mathematische Folter fr das Hirn
darstellen wrde.
Dass das nur die halbe Wahrheit ist, zeigt Abb. 1. Es wuren
jeweilszwei pure Sinustne verschiedener Frequenz kombiniert. Das
Ergebnisspiegelt in keinster Weise das wider, was man aus
musikalischer Sichterwarten wrde: Insgesamt ist die Kurve sehr
glatt, Spitzen bei denwichtigen musikalischen Intervallen fehlen.
Das Unisono wird alssehr konsonant empfunden, nur leicht
voneinander abweichende Tnesind am dissonantesten. Etwa ab der
kleinen Terz ist alles mehr oder
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Abbildung 1: Konsonanzempfinden bei Superposition reiner
Sinus-tne. Entnommen aus Roederer, nach Plomp & Levelt,1965
weniger konsonant; so wurde z.B. ein Tritonus in dieser
Konstellationkonsonanter empfunden als eine reine Quinte.
Diese Verteilung ist in der Praxis aber von eher geringer
Bedeu-tung, denn alle Klnge, die die Welt bereithlt, haben Obertne,
diein den meisten Fllen ungefhr ganzzahlige Vielfache einer
Grund-frequenz sind. Kombiniert man zwei solche komplexe Tne,
wobeidann alle Harmonischen miteinander interagieren, wie es in
Abb. 1dargestellt ist, erkennt man deutlich die prominente Rolle
der reinenmusikalischen Intervalle (siehe Abb. 2).
Der Fall, dass die Harmonischen genau ganzzahlige Vielfache
derGrundfrequenz sind, gilt nur fr perfekt lineare Oszillatoren,
also z.B.ideale Saiten oder ideale Luftsulen. Reale Saiten haben
einen gewis-sen Grad an Steifheit, sind also eigentlich Stbe; reale
Blasinstrumentehaben Austrittsffnungen, in denen der Druck abfllt.
Beides fhrt zuanharmonischen Effekten im Obertonspektrum, die
allerdings nichtunbedingt strend wirken. Ganz im Gegenteil: Ein
synthethischer Kla-vierton wurde von Testpersonen als natrlicher
und wrmer bewertet,wenn die Obertne leicht anharmonisch verstimmt
waren. [5]
Da der Grad der Dissonanz wesentlich von der Position und
Ampli-tude der Obertne abhngt (wie wir im Vergleich von Abb. 1 und
2sehen konnten), beeinflusst diese Anharmonizitt auch die Lage
derIntervalle grter Konsonanz. Darum mssen die Oktaven bei
einemKlavier gespreizt werden eine mathematisch reine
Frequenzverdopp-lung wrde unangenehm klingen, weil die (wegen der
Saitensteifheitetwas zu hohen) Obertne dicht nebeneinander lgen und
dadurchSchwebungen erzeugten. [4, 10, 9]
Viele Perkussionsinstrumente wie z.B. Glocken, Gongs,
Trommelfel-le, auch Klanghlzer oder -steine von Marimbas etc.,
haben ein vlliganders geartetes Obertonspektrum. Das hat
physikalische Grnde: DieSchwingungsmoden einer Metallplatte sind
nicht einfache Vielfachevoneinander, wie es bei einer Saite der
Fall ist. Diese Intrumente imnormalen diatonischen Tonsystem zu
verwenden, ist daher immer
3
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Abbildung 2: Berechnete Konsonanz fr zwei komplexe Tne (je
sechsHarmonische). Der untere Ton ist bei 250 Hz fixiert, derobere
variiert entsprechend der x-Skala. Nach Plomp &Levelt,
entnommen aus [10, S. 94].
mit gewissen Einschrnkungen verbunden. Ist die Ausklingzeit
kurzgenug, fllt der Defekt i.A. nicht weiter auf. Eine Marimba hat
Resona-toren, um die angenehmen Frequenzen hervorzuheben.
Glockenspieleklingen tatschlich einfach sehr matschig, obwohl
Glockengieersich grte Mhe geben, die unteren Moden an die
diatonische Skalaanzupassen. 1[10]
Eine Mglichkeit, konstruktiv mit den Eigenarten dieser
Klngeumzugehen, ist, die Skala entsprechend anzupassen, sodass die
promi-nenten konsonanten Intervalle dem Timbre der Instrumente
gerechtwerden. Bei einem temperierten Klavier wird mit der
Oktavspreizungim Prinzip genau das gemacht, allerdings sind die
Korrekturen sehrklein. Bemerkenswert ist in dieser Hinsicht die
sog. Gamelan-Musik,welche traditionell auf Java und Bali
praktiziert wird und Interval-le enthlt, die der abendlndischen
Musik gnzlich unbekannt sind.Mehr zu diesem Thema, insbesondere
auch aufschlussreiche Tonbei-spiele, bietet das Buch von Sethares
[10].
3 was passiert im hirn?
Die Vermessung des menschlichen Hrvermgens ist noch nicht
abge-schlossen. Insbesondere betrifft dies die Sortierung des
Spektrums inFrequenzen, die zum selben Klangerzeuger gehren
(spektrale Segre-gation), whrend die zeitliche Auflsung schnell
aufeinanderfolgenderReize vergleichsweise gut erforscht ist. [9] Im
Folgenden wird unsvor allem die spektrale Segregation
interessieren, denn dort liegt dieUrsache fr das Empfinden von
Konsonanz und Dissonanz.
1Bis vor kurzem hie das meistens: kleine Terz, Quinte, Oktave
usw., mittlerweilesind auch Durterzen mglich.
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Abbildung 3: Orte im Hirn, an denen Audiosignale verarbeitet
wer-den. From bottom to top: outer and middle ear, cochlea,
andauditory nerve (AN); cochlear nucleus (CN) and superiorolivary
complex (SOC) in the brainstem; inferior colliculus(IC) in the
midbrain; medial geniculate body in the thalamus;primary and
secondary auditory cortex (AC). Aus [11]
Das auditorische System von Sugetieren ist ein Hochhaus,
sieheAbb. 3. Es bleibt eine Herausforderung, zu erklren, inwiefern
dieZustnde an den verschiedenen Ebenen mit dem letztendlichen
H-reindruck zusammenhngen (oder nicht). Erschwerend kommt
hinzu,dass zwischen den Bereichen beidseitige Verbindungen
existieren, d.h.das Gehrte beeinflusst, worauf im Folgenden die
Aufmerksamkeitgelenkt wird. Auch Hirnareale auerhalb des
auditorischen Systemsknnten auf diese Weise eine Rolle spielen.
Ein insbesondere durch die Arbeiten von Zatorre et alii [17,
18,15, 16] sowie Sinex et alii [13, 14, 12] gesicherter Fakt ist,
dass imPrimren Auditorischen Cortex (AC) eine Arbeitsteilung
zwischenlinker und rechter Hirnhlfte stattfindet: Bei 97% aller
Menschen istder linke Primre AC auf eine hohe Zeitauflsung
spezialisiert unddamit essentiell fr das Sprachverstndnis; der
rechte Primre AC istdafr genauer im Erkennen kleiner
Frequenzunterschiede.
Unser Fokus liegt also auf dem rechten AC. Spektrale
Segregationund Identifizierung von Klangquellen geschieht
vorbewusst (obwohlauch abstraktere Hirnareale einen Einfluss auf
die Arbeitsweise desauditorischen Systems haben knnen, s.o.),
ebenso ist der erste Ein-druck von Konsonanz oder Dissonanz nicht
bewusst steuerbar. [3] Andieser Stelle mssen wir uns abgrenzen von
abstrakteren Konzeptenvon Dissonanz, z.B. von Melodien oder
Akkordfolgen, die schon eine
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auditorische Erinnerung voraussetzen.2 Es geht im Folgenden
stetsum unmittelbare, sensorische Dissonanz eines einzelnen Klangs
wieeine przise Definition dessen lauten knnte, ist eine der Fragen,
diesich dabei stellt.
4 kann man dissonanz messen?
4.1 Entropie in Physik und Informatik
Der Begriff der Entropie wurde ursprnglich im Rahmen der
Thermo-dynamik geprgt. Neue technische Errungenschaften, die
schlielichzur industriellen Revolution fhren sollten, erforderten
eine quantitati-ve Auseinandersetzung mit Prozessen, in denen
Energie umgewandeltwird. Entropie ist in diesem Kontext eines der
sog. thermodynamischenPotentiale mit der prominenten Eigenschaft,
stets grer zu werden(bei irreversiblen Prozessen) oder
gleichzubleiben (bei reversiblenProzessen).
Die Verbindung zur Informationstheorie wurde erst sehr viel
spterherausgestellt. Heute kennt man nicht nur das statistische
Fundamentder Thermodynamik, man wei auch, dass zum Schreiben einer
Infor-mation (z.B ein Bit in einem Computer) eine gewisse
Mindestenergienotwendig ist. Aufgrund dieses Zusammenhangs knnen
tatschlichdie aus der Informatik bekannten Bits in energetische
Einheiten umge-rechnet werden:
1Bit = (ln 2) kB
(kB = 1, 4 1023J/K ist die Boltzmann-Konstante.) Darauf
genauereinzugehen, wrden den Rahmen dieser Arbeit sprengen,
darumsei der Begriff an dieser Stelle nur heuristisch eingefhrt:
Entropieist ein Ma fr Unordnung, hohe Entropie heit viel
Information,geringe Bestimmtheit, und bedeutet in Verbindung mit
dem Begriffder Tonalitt (s.u.) einen komplexen, atonalen
Klangeindruck.
4.2 Harmonische Entropie
Das menschliche Ohr tendiert, wie schon erwhnt, dazu, die
gehrtenFrequenzen in eine harmonische Serie einzuordnen, auch wenn
dieFundamentale dieser Serie nicht vorhanden oder maskiert ist.
DieLeichtigkeit, mit der diese Einordnung geschehen kann, heit
Tonalitt,ihr Inverses ist nach Erlich die Harmonische Entropie.
[10, S. 90ff]
Die harmonische Entropie eines komplexen Klanges kann
paarweisefr je zwei harmonische Tne berechnet werden. Um zu
entscheiden,ob diese beiden Tne (quasi-)harmonisch zu einer
gemeinsamen Fun-damentalen gehren, kann man jedem Teilterm der
Farey-Reihe Fn,die alle Quotienten natrlicher Zahlen in immer
dichter werdender Rei-hung enthlt, eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung zugewiesen werden.Man hat also zu
einem gegebenen Intervall i eine Wahrscheinlichkeitpj(i), ob i als
j-tes Intervall der Fn interpretiert wird. Je nher dieseFrequenzen
beieinander liegen, desto hher ist diese Wahrscheinlich-
2Vgl. dazu die Arbeiten von Blood et alii [1]
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Abbildung 4: Harmonische Entropie fr Dreiklnge mit varia-blem
oberen (diagonal nach rechts aufgetragen) undunteren (vertikal
aufgetragen) Intervall im Bereichvon 2 bis 5 Halbtnen. Nach Paul
Erlich,
Quelle:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triadic_harmonic_entropy.png
keit. Die Harmonische Entropie des Intervalls i wird dann wie
folgtdefiniert:
HE(e) = jpj(i) log(pj(i))
Wenn i nahe an einem einfach Vielfachen der Reihe liegt, wird
dieSumme einen groen Term enthalten und viele verschwindend
kleine,die Harmonische Entropie wre in diesem Fall also
niedrig.
Die Strke dieses Konzepts demonstriert Abb. 4: Fr ein
gegebenesTimbre, in diesem Fall herkmmliche ganzzahlige Moden, kann
manzu jeder Dreierkombination solcher Tne die dazugehrige
Tonalittvorhersagen. Es ergeben sich klar erkennbare Peaks bei den
Kombina-tionen, die auch in der abendlndischen Musik eine Rolle
spielen, z.B.bei 4:5:6 (Dur-Dreiklang).
4.3 Entropie als Fehlerfunktion fr Klavierstimmungen
Klaviere werden in einem aufwendigen Prozess mit einer
wohltemperier-ten Stimmung versehen. Diese Stimmung stellt einen
Kompromiss dar,um einerseits alle Tne und Intervalle mglichst
gleich zu behandelnund andererseits die Unzulnglichkeiten des
Instruments der demTonsystem inhrente Fehler, das sog. Komma, und
die Inharmonizittder Saiten so gut es geht auszugleichen. Eine
wohltemperierte Stim-mung kann bislang nur von professionellen
Klavierstimmern erreichtwerden und weist dann eine
(reproduzierbare!) Unregelmigkeit auf,die sich von Instrument zu
Instrument leicht unterscheidet.
Einen vielversprechenden Ansatz, die Natur dieser Stimmung,
wel-che ja ein klanglich optimaler Kompromiss fr das menschliche
Hirnist, analytisch zu erklren, fand unlngst Haye Hinrichsen. [4]
Er
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Abbildung 5: Typisches Resultat des entropiebasierten
Stimmverfah-rens nach Hinrichsen (rote Kurve) im Vergleich zueiner
professionellen Stimmung nach Gehr (schwarzeKurve). Entnommen aus
[4]
benutzte Aufnahmen von allen Tnen eines (verstimmten)
Klaviersund implementierte einen Algorithmus, der die Tne virtuell
um-stimmte, bis die Shannon-Entropie des Obertonspektrums
minimalwar. Dieser Zustand minimaler Entropie war berraschend nah
ander temperierten Stimmung, die ein Klavierstimmer fr eben
diesesKlavier fand (siehe Abb. 5).
Die Shannon-Entropie eines Spektrums ist wie folgt
definiert:
H =
p( f ) ln p( f )d f
Dabei ist p der Schalldruck. Da die Berechnung mit
tatschlichenMesswerten auf einem Computer stattfand, wurde eine
diskretisierteForm verwendet, die damit eine beachtliche hnlichkeit
zu ErlichsHarmonischer Entropie aufweist.3 Die Prmisse, dass
ganzzahligeVielfache eine mit steigender Komlexitt abnehmende Rolle
spielensollen, die sich in der Summierung ber die Terme der
Farey-Reiheniedergeschlagen hatte, wird bei Hinrichsen durch die
natrlicher-weise abnehmenden Amplituden der Oberschwingungen einer
rea-len Klaviersaite ersetzt. Qualitativ werden beide
Herangehensweisensicherlich zu hnlichen Ergebnissen gelangen,
sodass es durchausinteressant zu wissen wre, ob man auch die
jeweils andere Formelfr die hier aufgefhrten Anwendungsbeispiele
verwenden knnte.
Der Erfolg dieser Methode, die ohne Bercksichtigung
psychoakus-tischer Besonderheiten nur die Shannon-Entropie als
Fehlerfunktionzur Beurteilung einer Klavierstimmung verwendet,
bietet interessantePerspektiven auf dem Weg zu einem tieferen
Verstndnis des mensch-lichen Hrens, speziell auch der Wahrnehmung
von Musik. Sollte das
3Es sei allerdings noch einmal darauf hingewiesen, dass der
Buchstabe p bei Erlichfr eine Wahrscheinlichkeit steht, bei
Hinrichsen jedoch fr den Schalldruck.
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Empfinden von Konsonanz und Dissonanz auf derart einfachen
Prinzi-pien fuen? Die Prominenz ganzzahliger Schwingungsverhltnisse
hatletztendlich rein physikalische Grnde, die, wie z.B. bei der
Gamelan-Musik, auch fehlen knnen. Wer der elegantesten Theorie den
Vorzuggewren will, sollte Hinrichsens Idee weiterverfolgen, denn
sie fhrtmit minimalen Annahmen (und bislang ohne psychoakustische
Kor-rekturen) zu beachtlichen Ergebnissen.
Davon abgesehen werden in der Folge vielleicht auch
Klavierstim-mer langfristig ihre Arbeitsweise verndern.
Professionelle Stimmge-rte knnen bislang nur die korrekte
Oktavspreizung berechnen, dieeigentliche Temperierung der
Mitteloktave erfolgt einfach quidistant.Die Ergebnisse der Methode
von Hinrichsen liegen nher an dem, wasauch ein Klavierstimmer als
optimal empfinden wrde.
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PETinvestigation of musical imagery and perception. In: Journal
ofCognitive Neuroscience 8 (1996), Nr. 1, S. 2946
erklrung
Hiermit erklre ich, dass ich die vorliegende Hausarbeit
selbstndigund nur unter Verwendung der angegebenen Quellen und
Hilfsmittelangefertigt habe.
Oldenburg, den 1.5.2014
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1 Einleitung2 Welche Klnge sind dissonant, welche konsonant?3
Was passiert im Hirn?4 Kann man Dissonanz messen?4.1 Entropie in
Physik und Informatik4.2 Harmonische Entropie4.3 Entropie als
Fehlerfunktion fr Klavierstimmungen
