Energia Especifica y Momenta ARTURO ROCHA

7/24/2019 Energia Especifica y Momenta ARTURO ROCHA

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323

Energía específica y momentaCapítulo VII

CAPITULO VII

ENERGIA ESPECIF ICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del

tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de

referencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía = z g

V y ++

2

2

α (7-1)

y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la

sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.

Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina

energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.

g

V y E

2

2

α += (7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está

referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.

Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.

Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un





325


( )Q E y ,φ = (7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de

cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.

Así, si aceptamos que el gasto es constante

( ) E y φ = (7-6)

Pero si la energía es constante,

( )Q y φ = (7-7)

7.2 Energía específica a gasto constante

Discusión de la curva y E −

La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el

eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,

tal como se ve en el Figura 7.2.

Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

2

2

2 gA

Q y E +=

que evidentemente son

0=− y E ; 0= y

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( y E = ) y por el eje de

abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse

que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al

fondo.

Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

0=dy

dE



326

Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales

Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva y E − )

Tirante

y

g 2

V 22

2 y R

I O

CRISIS

T ORRENT E

V cV < F <dE

dy0 < < 11

Q = CONSTANTEdE

= 0dy

2 g cV

2

yc

2 g

1V 2

y1

y2

E min

1V

g 2

2

y1= + = +

2 y2

2 g

V 2

E

TORRENTE RIO

y1

= + E y2 g

V 2

Energía Específica

F =V = cV 1 = 1 g

Q2 T

A3

F >V V > c

dE < 0

1 dy45º

E = y

= + E 2

V y g 2

y1

e son tirantes alternos

V

g 2

2

F > 1

y2

V 1

g 2

2

c

E E 1 2

( = )

> (flujo supercrítico) ( < ) y y1 c

y y( > )V V 1 c< (flujo subcrítico) F < 1

g 2 2 g

2

2 2

c

Si < no hay flujo posible del gasto E E Qmin

Q

g

T 2

< 13 A

A

2

g

Q> 13

T



327


y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dy

dA

gA

Q

dy

dE 3

2

1−= (7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la

figura

Para cada valor del tirante y , que es

variable, hay un valor del área A y un

valor del ancho superficial T . El área

es

( ) ( )∫ = y

dy yT y A

0

Al diferenciar esta expresión se llega a

TdydA =

Luego,

dy

dAT = (7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.

Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese

en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las

secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

3

2

1 gA

T Q

dy

dE

−= (7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir

un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas

013

2

=−= gA

T Q

dy

dE

y

dy

T

A



328


o bien,

T A

g Q

32

= ó 13

2

= gA

T Q (7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.

Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse

adimensional al dividir ambos miembros por 5 L .

5

3

5

2

TL

A

gL

Q = (7-11a)

siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos

asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.

La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

13

2

< gA

T Q

La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumple

que

13

2

> gA

T Q

El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

13

2

= gA

T Q

La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.

De esta última ecuación se obtiene

T A g AQ =



329


El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

T

Ad =

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

gd AQ =

o bien,

gd T A g V ==

que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina

velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).

cc gd T A g V == (7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en

las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , c A y en lugar de T , cT , etc. Por comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.

Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad

crítica sería

cc d g

V α

= (7-13)

De la ecuación 7-12, para 1=α , se obtiene que

22

2

cc d

g

V = (7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad

del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14

son absolutamente equivalentes.



330


Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la

mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.

El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidad

siempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos

corresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor

que la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico.

De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

g

V y E c

cmin2

2

+= (7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre

tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.

Los tirantes1 y e

2 y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude

Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.

El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las

fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

T A g

V

gd

V F == (7-16)

Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces

1==c

c

gd

gd F (7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es

igual a 1.



331


En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froude

es menor que 1.

Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1.

Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

3

2

1 gA

T Q

dy

dE −=

Al introducir AQV = se obtiene

T

A g

V

dy

dE 2

1−= (7-18)

Pero, (ec. 7-16)

T

A g

V F =

De donde,

21 F dy

dE −= (7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

0=dy

dE (7-20)

Condición que es precisamente de la energía mínima.

Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

10 <<dy

dE (7-21)



332


Propagación de una onda superficial

Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos

Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad

c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a

gyc = (7-22)

Siendo y la profundidad de la corriente.

Resulta evidente que la condición para

que un onda pueda remontar la corriente

es que su celeridad sea mayor que la

velocidad de la corriente.

En un torrente siempre se cumple que

la velocidad media de la corriente es

mayor que gy (sección rectangular).

De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la

corriente.

En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.

En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta

permanece estacionaria, ( V c = ).

Ríos y torrentes

Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).

En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):

la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.

La conclusión que obtenemos es que la relación E

g V 22

describe el régimen de la corriente.

La relación E

g V 22

es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.

En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta

el tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en la

Figura 7.2a.

yV

c - V c + V



333


En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.

Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondo

que implican un cambio en la energía específica.

Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)

Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, han

sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma

de resumen, sus principales características.

i) La curva y E − (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: unasuperior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.

ii) En un torrente,dy

dE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).

iii) La curva y E − tiene dos asíntotas que son y E = ; 0= y .

iv) La curva y E − tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,

0=dy

dE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.

El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan

críticos.

v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la

curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se

caracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.

vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.

vii) En la zona superior de la curva y E − la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo

subcrítico).

En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo

supercrítico).

viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis

es 1.

ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.



334


x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0>dy

dE .

En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica

0<dy

dE .

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la

forma siguiente

g

Q y x

32

2

32 =

Donde “ x” es la mitad del ancho superficial e “ y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de

energía.

Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,

2

T x =

g

V y

2

2

=

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11

T

A

g

Q32

=

y

E

R I O

T O R R E N T E

" y

" E

" E y"

En un río las variaciones de

E e y son del mismo signo y

del mismo orden de magnitud.

En un torrente las variaciones de

E e y son de diferente signo y

de diferente orden de magnitud.45º



335


Siendo en este caso,

xT 2= gyQ

V Q A

2==

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la

expresión propuesta.

Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3 Sección rectangular

Condiciones críticas

En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11

ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

T

A g V c =

expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial.

Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es

c A y T es cT .

En una sección rectangular la relación T A (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,

cc gyV = (7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato

22

2

cc y

g

V = (7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de

velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.



336


La energía que corresponde a las condiciones críticas es

g

V y E c

c2

2

+=

Este valor de la energía es el mínimo en la curva y E − , tal como se ve en la Figura 7.2.

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

E yc3

2= (7-25)

E g

V c3

1

2

2

= (7-26)

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un

canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de

presentar la ecuación 7-15.

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando

que

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

y E

c

c

31

E

3 E

2

2V

g 2



337


c

c

y

q

A

QV ==

cc gyV =

q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión

corresponde al sistema métrico.

En general la energía específica de un canal rectangular es

g

V y E

2

2

+=

Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a

gy

V

y

E

21

2

+=

Introduciendo el número de Froude gyV F = se obtiene

21

2 F

y

E += (7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

y

E

dy

dE 2

3−= (7-29)

Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1= F esto significa condiciones críticas, y se

obtiene c y E 2

3= , tal como se demostró anteriormente.

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

oo

o3

2

32

467,0 q g q yc == (7-27)



338


0=dy

dE , obteniéndose también c y E

2

3= .

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)

La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico

es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4

2

2

2 gy

q y E += (7-30)

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico c y se obtiene

ccc y gy

q

y

y

y

E 2

2

2+=

Pero, en una sección rectangular

3

2

g

q yc =

ó lo que es lo mismo,

32

c gyq = (7-31)

Reemplazando se obtiene

2

2

2 y

y

y

y

y

E c

cc

+= (7-32)

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente

2

2

3

1

3

2

y

y

y

y

E

E c

cmin

+= (7-32a)



339


Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

R I O

CRISIS

T ORRENT E

45º

E = yc y

y

E

c y

E

c y y

c

y

yc

y 2

22= +

yc E =

3

2

0 1 21,5 3

1

2

3



340


Variación del gasto con el tirante a energía específica constante

El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.

Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

( )Q y φ = , para energía constante

La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

2

2

2 gy

q y E +=

De acá podemos despejar el gasto específico q

( ) y y E g q −= 2 (7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un

valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto

máximo

0=dydq

( ) ( ) 02

12 2

1

2

1

=

−−−= −

y y E y E g dy

dq

De donde,

E y3

2=

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.

Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un

canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.

El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas

2

3

cccc by g gyby AV Q ===



341


Pero, en un canal rectangular E yc

3

2=

Luego,

b

Qq =

2

32

3

3

2 E g q

= (7-34)

En el sistema métrico

2

3

704,1 E q = (7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica

dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales

remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente con

una velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.

Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.

Entonces,

c - V = 2,2

c + V = 3

De donde,

c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s

A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que

g

c y

2

= = 0,69 m

El gasto es Q = AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s

Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1

y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse.

( F = 0,15).

Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la

onda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.



342


Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

R I O

CRISIS

T O R R E N T E

= 1 F

R < 1 F

F <

1 T

= 0dy

dq

q = 2 g ( E - y) y

3

q = 1,704 E 2

qmax

q2V

2 g R

V c

2 g

2

V T

2 g

2

2

3c y = y

(sección rectangular)

y R

E

q

max

maxq < q

q = 1,704 E 23

(sección rectangular)

y

q

= (1 + 1 + ) y

T

T y

4

F R

2

8

F R

2 y R

y

y= (1 + 1 + )

8

T 4 F

T

2

F R T

2

Los subíndices R y T se

refieren a río y torrente



343


Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m 3/s/m. Presentar una tabla que

muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en

función del tirante (1,50 > y > 0,10 m).

Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el

área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.

Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación

7-27

3

2

g

q y

c = = 0,4673 m (0,47 aprox.)

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6

y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23

cc gyV = = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de

1 m3/s/m en un canal rectangular.

( )7009,0

2

14,24673,0

2

=+ g

c y g V

c2

2 E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento

(ríos y torrentes).

Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).

Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimen

supercrítico).

Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.

Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos

a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que

la crítica el régimen es subcrítico).

El número de Froude es menor que 1 y los valores dedy

dE son positivos, pero menores que 1.



344


b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que

la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores

dedy

dE son negativos.

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son

tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.

En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.

En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.

Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.

En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a

1,05 m.

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

yc

1 m

Tirantes alternos

R I O

CRISIS

TORRENTE

45º

E = y

y

E

c y

0 1,00 2,001,50 2,50

1,00

2,00

(m)

0,50

1,50

0,50

(0,20)

(1,46)

0,7009

1,48

(m)

2 g cV

2

0,4673 0,2336

q = 1 m /s/m3

0,17 (Número de Froude)0,18

0,32

0,69

1,001,26

1,94

3,57



3 4 5

TABLA 7.1

EJEMPLO 7.3 (q = 1 m3/s/m)

y V g

V

2

2

E F dy

dE

1002

2

× E

g

V

c V c + V c − REGIM

1,50

1,46

1,00

0,60

0,67

0,68

1,00

1,67

0,023

0,024

0,051

0,142

1,523

1,484

1,051

0,742

0,17

0,18

0,32

0,69

0,971

0,968

0,898

0,524

1,5

1,6

4,9

19,1

3,83

3,78

3,13

2,42

4,50

4,46

4,13

4,09

3,16

3,10

2,13

0,75

RIO

Al disminuir el tirante

disminuye la energía

específica

10 <<dy

dE

REG

SUBC

V <

0,4673 2,14 0,2336 0,7009 1,00 0 33,3 2,14 4,28 0 CRISIS 0=dy

dE V =

0,40

0,30

0,20

0,10

2,50

3,33

5,00

10,00

0,319

0,567

1,276

5,102

0,719

0,867

1,476

5,202

1,26

1,94

3,57

10,10

-0,588

-2,764

-11,745

-101,01

44,4

65,4

86,4

98,1

1,98

1,71

1,40

0,99

4,48

5,04

6,40

10,99

-

-

-

-

TORRENTE

Al disminui r el tirante

aumenta la energía

específica

0<dy

dE

REG

SUPER

V >

y A = y

qV =

g

V y E

2

2

+= gy

V F =

y

E

dy

dE 23−= c

y

1 m



346


Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una

pequeña onda superficial.

En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de

otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.

Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y

2 y el

tirante crítico yc la siguiente relación

3

21

2

2

2

12

c y

y y

y y=

+

Solución. Por ser y1

e y2

tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica

g

V y

g

V y

22

2

2

2

2

1

1 +=+

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene

2

2

2

22

1

2

122 gy

q y

gy

q y +=+

Pero en un canal rectangular

3

2

g q y

c =

Luego,

2

2

3

22

1

3

122 y

y y

y

y y cc +=+

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a

3

21

2

2

2

12

c

y y y

y y

=+

En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía

específica). A modo de comprobación

( ) ( )1027,0

66,1

46,120,0222

=

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.



347


7.4 Sección parabólica

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o

la 7-12 que es su equivalente)

T

A g V c =

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del

área del rectángulo circunscrito

T y A c32=

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se

obtiene

cc gyV 3

2= (7-36)

o bien,

cc gyV 3

2=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

32

2

cc y

g

V = (7-37)

yc

T

A



348


Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la

definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

E yc4

3= (7-38)

E g

V c4

1

2

2

= (7-39)

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en

condiciones críticas.

El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las


Su expresión para un canal parabólico es

cc gyT yQ3

2

3

2=

A cV

2

3

2

12

3

3

2c yT g Q

= (7-40)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene

T

Qq =

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

2V

g 2

y E

c

c

41 E

4 E

3



349


2

3

2

12

3

3

2

c y g q

= (7-41)

De donde, en el sistema métrico

3

2

701,0 q yc = (7-42)

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones

críticas

2

3

4

37039,1

= E q

2

3

1067,1 E q = (7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es

4

1

2

1

4

1

4

1

1

64

27

g

Q

p y

c

= (7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es py x 22 =

Solución.

La expresión general para las condiciones

críticas viene dada por la ecuación 7-11

T

A

g

Q 32

=

Por ser una parábola el área es

T y Ac

3

2=

Por condición de parábola

( )

cc y

T

y

T

y

x p

82

2

2

222

===

c

2T

py= 2

c y( , )

y

T

x

2 x

y



350


De donde,

c pyT 8=

cc py y A 8

3

2=

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)

4

1

2

1

4

1

4

1

1

64

27

g

Q

p y

c

=

que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular .

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o

la 7-12 que es su equivalente).

T

A g V c =

En el triángulo el área es

T y A c2

1=

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se

obtiene

yc

T

A

1

z



351


cc

gyV 2

1= (7-45)

o bien,

cc gyV 2

1=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

42

2

cc y

g

V =

(7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.

Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas

se obtiene

E yc5

4= (7-47)

E g

V c51

2

2

= (7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en

condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

yc

2 g

V 2

c

54

E E

5

1 E



352


El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

cc gyT y AV Q21

21==

2

3

2

12

3

2

1c yT g Q

= (7-49)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial T Qq =

2

3

2

12

3

2

1c y g q

=

de donde, en el sistema métrico

2

3

7920,0 E q = (7-50)

o bien,

3

2

9346,0 q yc = (7-51)

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

4,02,0

2

=

z

Q

g yc (7-52)

siendo z el talud.

Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico

en el sistema métrico es

4,0

7277,0 Q yc =Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un

canal triangular.

La energía específica es

g

V y E

2

2

+=

De donde,



353


( ) y E g V −= 2

Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es

2 zy A =

Luego,

( ) y E g zy AV Q −== 22

Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

0=dy

dQ

De acá se obtiene inmediatamente

E yc5

4=

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las

condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para

energía constante.

Nota.

En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta

por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.

Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier

sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado

previamente el citado valor de la gravedad.

7.6 Sección trapecial

c

T

A1

z

b

y



354


En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

T

A g V c =

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

( ) y zyb A +=

zybT 2+=

que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

( )

c

ccc

zyb

y zyb g V

2++

= (7-53)

o bien,

c

c

cc gy

zyb

zybV

2++

=

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad

crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.

Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad

crítica en una sección rectangular.

Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

T

A

g

Q32

=

se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

( ) g

Q

zyb

y zyb

c

cc

233

2=

++

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe



355


recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponer

valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).

Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área

del trapecio de la siguiente manera

c yT b

A2

+=

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

cc yT

T b

g V 2

+= (7-55)

De donde,

E bT

T b

g

V c

++

=52

2

(7-56)

E bT

T yc +

=5

4(7-57)

Obsérvese que siempre se cumple

E E bT

T E

5

4

5

4

3

2 <+

<

c y : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en

condiciones críticas. (Se observa que es función del talud).

c y

E

E

g 2

2V c

b + T

4T

5T + b

5T + b E



356


Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida

a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.

La energía específica es

g

V y E

2

2

+=

La velocidad es

( ) y E g V −= 2

El gasto es

( ) ( ) y E g y zybQ −+= 2 (7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

0=dy

dQ

Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

( ) 02435

2

=−−+ bE y zE b zy cc(7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta

expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular.

Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

z

b zEb E z b zE yc

10

9161634 222 +++−= (7-60)

Abaco de Ven Te Chow

Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que

permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método

gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado

y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.

Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es



357


g

Q Z = (7-61)

Se entra al gráfico con el valor de5,2

b

Z y se obtiene el valor de

b

yc para cada valor del talud

z , (Figura 7.9).

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base

es de 0,50 m. El talud es 3.

Solución. Si partimos de la expresión general g

Q

T

A 23

= se tiene, luego de reemplazar el gasto, que

T A 2,103 =

Luego,

( ) ( )cccc

y y y zyb A 35,0 +=+=

c yT 65,0 +=

( ) ( )ccc

y y y 65,02,1035,032 +=+

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo

el valor del tirante crítico yc= 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y

análisis, otros valores

2,5b

Z

b

y

z

c y

b

c



3 5 8

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

0,0001 0,001 0,01 0,1 1432 5

100,001 0,01 0,1 1

2,5 D

Z

z =

z = z =

z =

z = 1,

0

z = 0, 5

z = 0

( r e c t a

n g u l a

r )

c i r c u

l a r

D y

y

b

1 z

(Secciones circulares)

(Secciones trapeciales)2,5b

Z

5 6 72 3 4 9 976432 5 976432 5 976432 5

z = 1, 5



359


A = 4,18 m2

V c

= 2,39 m/s

g

V y E c

c2

2

+= = 1,39 m

g

V c

2

2

= 0,29 m

Obsérvese que también se cumple quecc

gd V =

T

Ad

c = = 0,59 m 59,08,9 ×=

cV = 2,40 m/s

Se aprecia que E yc

79,0= valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a

este último, pues la figura es casi triangular.

También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.

Entonces,

19,3== g

Q Z 18

5,2 =

b

Z

De donde, (Figura 7.9),

2,2=b

yc y

c = 1,10 m

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,

7-48 y 7-60.

0,29 m

1,10 m

0,50 m

31

21 % E

79 % E

Línea de energía

E = 1,39 m



3 6 0 TABLA 7.2

SECCIONES CRITICAS (

g

V y E c

c

2

2

+= )

(Sistema métrico)

RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TR

E 3

2 E

4

3 E

5

4

T5

3

2

467,0 q 3

2

701,0 q 3

2

935,0 q 467,0TIRANTE CRITICO c y

2

14

1

1456,0 Q

p

5

2

728,0

z

Q

b zE 1634 +−

ENERGIA DE VELOCIDAD g

V c

2

2

E 3

1 E

4

1 E

5

1

T

T

5

VELOCIDAD CRITICA cV

c gy c gy816,0

c gy707,0 T

2

GASTO MAXIMO maxq 2

3

704,1 E 2

3

107,1 E 2

3

792,0 E 854,8

c y

= 2 x 2 py

T

1 z

T T

yc

yc

yc

q =Q

T



361


7.7 Sección circular y otras secciones

Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas por

la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la

primera de ellas

T

A

g

Q32

=

En una sección circular el área es (ec.

6-37)

( )θ θ sen2

2

−=r

A

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

( )

2sen

cos1

θ

θ −== r

dy

dAT (7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.

Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

( )( )

( )( ) 2

sencos1

sen

82sen

cos1

sen

8

35362 θ

θ

θ θ θ

θ

θ θ

−−=

−−= r

r

r

g

Q

Haciendo2

Dr =

( )

( )θ

θ θ θ

cos1

2sensen

2

3

8

52

−

−

= D

g

Q (7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a

Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

D

#

yc



362


2

sen2

2sen

cos1 θ

θ

θ =−

(7-64)

Luego,

( )2

5

2

1

2

3

4

2sen2

sen

2 D

g Q

−=

θ

θ θ (7-65)

En el sistema métrico

( ) 2

5

2

12

3

2sen

sen1383,0 DQ

−=

θ θ θ (7-66)

Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente

llena, la que hidráulicamente es un canal.

Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente

ángulo θ que da condiciones críticas.

El tirante crítico es

−=

2cos1

2

θ D yc (7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

( )θ φ =2

5

D

Q

(7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da

también las condiciones críticas para otros conductos abovedados.

El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.



3 6 3 Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas

D/2

D D/2

D

y y y

31 2 4

D D/2

y

0 1 2 3 4 5

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0

0,10

0,20

0,30

0,10 0,20

4

4

3

2

1

yc

D4 5

D



364


Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular

a) tirante crítico

b) velocidad crítica

c) energía mínima

d) ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10

22

5 =

D

Qo

oo y

c = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente

−=

2cos1

2

θ D y

c

2cos1

5,0

81,0 θ −= θ = 256º 38’

θ = 4,4791 rad

El área es

( ) ( )9729,04791,42

25,0

2

2

+=−= θ θ senr

A

A = 0,6815 m2

Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7

D

y = 0,81,

2 D

A = 0,6815 o

oo A = 0,6815 m2

La velocidad crítica es

6815,0

2==

A

QV

c = 2,93 m/s oo

o

g

V c

2

2

= 0,44 m

La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m

Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow

g

Q Z = = 0,64 ;

2

5

D

Z = 0,64 o

oo y

c = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es

aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista

gráficos especialmente preparados.



365


7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.

Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede

conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.

En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un

régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento

y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.

Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual

al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.

Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones

de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se

produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.

Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre

mayor.

Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una

condición de diseño sea

+≥

+c

cc

T

A y

g

V y

205,1

2

2

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

+≥

205,1 c

c

d y E (7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la

velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

T A g V c =

n

S RV

2

1

3

2

=

Igualando ambas expresiones se obtiene



366


T A g nS R c =

2

1

3

2

de donde,

3

4

2

R

n

T

A g S c = (7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.

Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería

T

P

C

g S c 2

= (7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al

ancho superficial, T P = .

entonces la ec. 7-72 queda reducida a

2C g S c =

pero,2

8

C

g f = , de donde,

f

g C

82 = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,

8

f S c = (7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3

/s. La rugosidad es de0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?

Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es

cc gyV = (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe

ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico

y sea normal.



367


c

gyn

S R

=

2

1

3

2

De donde,

El tirante crítico es según la ec. 7-27

3

2

g

q y

c = = 0,92 m

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene

( )( )3

4

2

3

4

2

46,0

018,092,08,9 ×== R

n gyS c

c = 0,0082

cS = 0,0082

Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.

Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,

cuyo tirante es igual al tirante crítico.

Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).

Ejemplo 7.9 En un canal de concreto

frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La

sección transversal es la mostrada en la

figura. Calcular: a) el tirante crítico y la

energía específica correspondiente, b) la

pendiente para que se establezca un flujo

crítico normal.

Solución.

a) La condición general de crisis es 5204,123

== g Q

T A

2

2

1

2

1cc

yT y A ==c

yT =

De donde,

88

563

c

c

c y

y

y

T

A==

c

T

A

45º

y



368


8

5

c y

= 1,5204 ooo y

c= 1,648 ≈ 1,65 m

358,1

86,3==

A

QV

c = 2,84 m/s

g

V

2

2

= 0,412 ≈ 0,41 m

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m

E 5

4

5

E (por ser sección triangular)

Podría emplearse la ecuación 7-52,

4,02,04,02,0

5,0

86,322

=

=

g z

Q

g y

c = 1,648 ≈ 1,65 m

siendo,

5,02

10

2

21 =+

=+

= z z

z

b) S es S c cuando la velocidad correspondiente es la crítica

n

S RV V c

c

2

1

3

2

==

2cc

y y P += = 3,9835 m

9835,3

3613,1==

P

A R = 0,3417 m

( )

015,0

3417,0

84,2

2

1

3

2

==c

c

S

V

Obteniéndose finalmente,

S c = 0,0076



369


7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica

correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,

una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).

Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés

práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico.

Examinemos en primer lugar un canal rectangular.

En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

3

4

2

R

n

T

A g S c =

Para un canal rectangular es

( )

3

1

3

4

3

4

2 2

c

cc

y

yb

b

gnS

+==

(7-74)

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de0=c

c

dy

dS

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene

c yb 6= (7-75)

de donde,

c y P 8= (7-76)

c yb

R

4

3

8

== (7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente

límite LS .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

3

1

2

3

8

b

gnS L = (7-78)



370


Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

234C g S L = (7-79)

si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),2

8

C

g f = se llega a

6

f S L = (7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es

2

5

6 c y g Q = (7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es

(ec. 7-71)

T A

P gnS c

3

1

3

4

2=

La pendiente límite se obtiene a partir de 0=c

c

dy

dS , teniendo en cuenta que

c y z b P 212 ++=

( ) cc y zyb A +=

c zybT 2+=

Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

dy

dT

dy

dP

P

T

T A

34

2

−= (7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en

esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 c y A = que es lo correcto para un canal

rectangular.



371


Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es

0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.

Solución. La pendiente límite S L, es decir la menor pendiente crítica posible es

(ec. 7-78)3

1

2

67,2

b

gnS

L = = 0,0038

Luego,

6

b y

c = = 0,40 m

g

q y

c

2

= oo

o 3

c

gyq

= = 0,792 m3/s/m

(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s

cc gyV = = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)

n

S RV

2

1

3

2

= = 1,98 m/s

n

RC

6

1

= = 58,4 m1/2/s

2

8

C

g f = = 0,0229

6

0229,0=

LS = 0,0038

7.10 Transiciones

Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la

superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio

puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo

ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del

canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el

estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es



372


despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos

secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

a g

V y

g

V y ++=+

22

2

2

2

2

1

1 (7-83)

siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminución

de la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse

la ecuación de continuidad.

Q AV AV == 2211

Si no existiera una grada de fondo, entonces 0=a . Si el ancho es constante y el cambio de

la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los

perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos.

La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica

significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por

el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y

una disminución en los torrentes.

El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)

Curva y E − para diferentes caudales

Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una

familia de curvas y E − . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la

recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada

vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).



373


Figura 7.11 Grada positiva en un río

Figura 7.12 Grada negativa en un río

1

2 g

V 2

1

yc

2V g 2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q E 1 y

1 y

2

E 2

E 1

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +11

V

g 2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E 2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un río una disminución de la

energía específica, a gasto constante,

implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 g

V 2

1

yc

2V

g 2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q E

1

y2

y1

E 1

E 2

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c


1V g 2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E 2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un río un aumento de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

E y +2 g 2 2

2V 2



374


Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

1

2 g

V 2

1

yc

2V

g 2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E 1

y1 y

2

E 2

E 1

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1V

g 2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E 2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un torrente una disminución de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

y

1

2 g

V 2

1

yc

2V

g 2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E 1

y1

y2

E 1

E 2

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1V

g 2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E 2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un torrente un aumento de la


implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y



375


Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

2 g

V 2

1

cV

g 2

2

yc

E min

a

Línea de energía

q

E

E min

E

a

y

Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max

sobre la grada debe ser mínima E = y +cV

g 2

2

El máximo valor de la grada, sin alterar

las condiciones aguas arriba, corresponde

a condiciones críticas (energía mínima).

45ºmax

V

2 g

22

1 y

y2

R I O

T O R R E N

T E

R I O

max

T ORRENT E

E

min c

y

45º

q < q < q E = y

V

2 g

2

E = y +

1q

min

q2

3q

1 2 3

pendiente = 2/3(canal rectangular)

E (1)

3

21

E (2)min

E (3)min



376


Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada

positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre

desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía

específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo

gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.

Solución.

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,

respectivamente

25,02

45,22

80,22

2

2

1 ++=+ g

V

g

V

Por continuidad,

2,11411

1

Q

y

Q

A

QV ===

35,732

2Q

yQV ==

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene

Q = 13,64 m3/s

Efectuando las operaciones indicadas se tiene que

1V = 1,22 m/s;

2V = 1,86 m/s;

g

V

2

2

1 = 0,08 m;

g

V

2

2

2 = 0,18 m

4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m1

3 q = 4,55 m /s/m2

3

Línea de energía0,08 m

0,10 m

y = 1,28 mc2

2,45 m

2,63 m

0,25 m

c y = 1,06 m

1

2,88 m 2,80 m3Q = 13,64 m /s

45º

2,80 m

2,88 m

1,06 m

1,59 m

1,06 m 0,53 m

E

y



377


De donde,

g

V y E

2

2

111 += = 2,88 m

g

V y E

2

2

2

22 += = 2,63 m

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos

1 F = 0,23 ;

2 F = 0,38 ;

1c y = 1,06 m ;

2c y = 1,28 m

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.

El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es

1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es c y

2

3, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía

es

maxmin1a E E +=

2,88 = 1,92 +max

a

maxa = 0,96 m

La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía

específica

Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un

cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,

y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.

En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la

caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a min E , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).

Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de

energía.

Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico

que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre

el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la

suposición de una distribución hidrostática de presiones.



378


Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces

el tirante sobre la grada.

El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de c y3 a c y4 ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

La segunda Ley del movimiento

de Newton dice que el cambio

de la cantidad de movimiento por

unidad de tiempo es igual a la

resultante de las fuerzas

exteriores.

Consideremos un canal con un

flujo permanente cualquiera y un

volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y

2, la superficie libre y el fondo

del canal, tal como se ve en la

Figura 7.18.

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)

entre las secciones 1 y 2 se obtiene

( ) f F Wsen P P V V Q −+−=− θ β β ρ

211122 (7-84)

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía

Específica

L

y1

y2

W sen#

P 1 P 2

Q

F f

1 2

Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación

de la Fuerza Específica.

y

E

yc

$ 3,5 yc

ENERGIAMINIMA

E min



379


expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V

velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; f

F fuerza debida a la fricción; θ ángulo

que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W senθ componente del peso en la

dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es

válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente

variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada

una de ellas sea aplicable la ley hidrostática.

Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.

En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.

Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el

volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 == β β . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

( ) 2112 P P V V Q −=−ρ (7-85)

La fuerza hidrostática P es A yγ , siendo y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos

reemplazos se llega a

22

2

2

11

1

2

A y gA

Q A y

gA

Q+=+ (7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

A y gA

Q+

2

= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.

Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente

una fuerza por unidad de peso de agua.



380


gA

Q2

es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y

por unidad de peso.

A y es la fuerza hidrostática por unidad de peso.

A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.)

El gráfico de la Fuerza Específica es

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles1 y e

2 y . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.

En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

( ) ( )0

..2

2

=+−=dy

A yd

dy

dA

gA

Q

dy

E F d

De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

Figura 7.19 Fuerza Específica

R I O

TORRENTE

y2

F. E.Fuerza específica

(Momenta)

yc

y1

M

yTirante F. E. mínima

ec. 7-87



381


22

2d

g

V =

que se puede comparar con la ecuación 7-14.

Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a


Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede

examinar un canal rectangular en el que

bqQ = ;11

by A = ;22

by A =

21

1

y y = ;

2

22

y y =

siendo b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas

simplificaciones a

( )2121

2

2

1 y y y y

g

q+= (7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

3

2

g

q yc =

valor que sustituido en 7-88 nos da

( )21213

21 y y y y yc += (7-89)

Siendo1 y e

2 y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).



382


7.13 Salto hidráulico

El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

f h E E +=21 ( ) ( )21 .... E F E F =

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1 y e 2 y

son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1 E a 2 E .

Salto hidráulico en un canal rectangular

Partimos de la ecuación 7-88

( )2121

2

2

1 y y y y

g

q +=

Se divide ambos miembros por 3

1 y , y luego de algunas sustituciones se llega a

+=

1

2

1

2

1

2

1 12

1

y

y

y

y

gy

V

De donde,

+=

1

2

1

22

1 12

1

y

y

y

y F

Figura 7.20 Salto hidráulico

2 g

2 E

2V 2

y2

f h = (" E )

1-2

RIO

TORRENTE

S A L T O

1 y

g 2

2V 1

E 1

Línea de energía



383


De acá se obtiene una ecuación en1

2

y

y

02 2

1

1

2

2

1

2 =−+

F

y

y

y

y

Resolviendo esta ecuación se obtiene

( )1812

1 2

1

1

2 −+= F y

y(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los

tirantes conjugados1

2

y

y es función exclusiva del número de Froude incidente,

( )1

1

2 F y

yϕ =

Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.

Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que

hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.

El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de

corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso

violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.

El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la

velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que

se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la

incorporación de aire a la masa líquida.

El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.

Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas

simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación

esquemática, del modo como ocurren los fenómenos.

Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos

de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio

temporal son en este caso de poca utilidad.



384


En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores

tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la

estructura.

Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,

Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la

atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las

solicitaciones variables” .

Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia

y amplitud.

Tipos de salto

En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los

siguientes tipos de salto

1= F Flujo crítico, no hay salto

7,11 << F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

5,27,1 << F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña

5,45,2 << F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales

95,4 << F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

9> F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto

La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

+−

+= g

V y

g

V yh

f 22

2

1

1

2

2

2 (7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas

transformaciones a

( )

21

3

1221

4 y y

y y E E h E f

−=−==∆ (7-92)



385


Eficiencia

Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después

del salto y la que hay antes de él.

( )( )2

1

2

1

2

12

32

1

1

2

28

1418

F F

F F

E

E

++−+

=

(7-93)

La pérdida de energía relativa es

11

21 E

E

E

E ∆=− (7-93a)

Altura del salto ( ih )

La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto

( 12 y yhi −= )

Se demuestra fácilmente que

2

3812

1

2

1

1 +−+

= F

F

E

hi(7-94)

Longitud del salto ( L )

La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,

etc.). Aproximadamente se tiene que

( )129,6 y y L −= (7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.

Oleaje

En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y

periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como S H a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

( )16

11

1

−= F y

H S (7-96)

Para 71 ≤ F



386


Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

g 2

V 12

y1

h = E - E f 1 2

g 2V

22

2 y

L

Canal

ColchónDispipador

Rápida

1 y 2

y

Vertedero Oleaje

yn

yn

yn

Línea de energía

y1a

y2

E

Compuerta

y1

yn y

S

Para vencer un desnivel se construye una

rápida. Al final de ella debe disiparse

la energía. El salto hidráulico actúa como

un disipador de energía

a)

b)

En un río se costruye una presa derivadora

(barraje) para elevar el nivel del agua

en época de estiaje. La energía se disipa

por medio de un salto hidráulico.

c)

Si en un canal se coloca una compuerta

que deja una abertura en la parte inferior

se produce aguas abajo un salto hidráulico.

En la figura se observa el llamado

salto hidráulico libre.

d)

Si el tirante normal aguas abajo es mayor

que y se produce el llamado salto

hidráulico ahogado.

2

( y es el tirante normal aguas abajo)n



387


7.14 Descarga por una compuerta de fondo

Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.

La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta

debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.

Sea a la abertura de la compuerta,c

c el coeficiente de contracción. Entonces ac yc

=2

. La

ecuación de la energía específica es

g

V y

g

V y

22

2

22

2

11 +=+

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

Q AV AV == 2211

Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.

Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

f h g

V y

g

V y ++=+

22

2

22

2

11

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.

La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Línea de energía

a y2

E

2

1

g 2

V V

2

g 22

y1



388


condiciones de aguas abajo. Ellas son

a) No se forma salto

b) Se forma un salto libre

c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el

análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en

un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

−+=

1

222

2

121 y y F

y y s

Siendo y s el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y

1 la abertura de la compuerta, y

2 el

tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F 2 el número de Froude aguas abajo del

salto. Despréciese la fricción en el canal.

Solución. Por continuidad,2211

yV yV = . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-

85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

( )1221 V V Q P P −=− ρ

Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene

( ) ( )1222

2

2

2

2

1V V yV

g y y

s −=−

γ γ

Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a

( )12

2

22

2

2

121 V V

yV

g y y s −=

− γ γ

−=−

2

12

22

2

2

121V

V F

y

y s

Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.



389


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Capítulo VII)

1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante

crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25

y 7-26.

2. Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debe

tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 %o ; n = 0,0125

Calcular

a) El tirante normal

b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme

c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b

Verificar que se cumple la ecuación 7-14.

4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes

valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para

q = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?

5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la

pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el

gasto sea de 6 m3/s?

Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él?

(¿río o torrente?) ¿Por qué?

6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedraen el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las

ondas superficiales producidas.

7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos1 y e

2 y la siguiente

relación

2

22

1

2

2

2

1

++=

F

F

y

y



390


8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es

24,694

3

1

2

f

y

n

c

= ( g = 9,8 m/s2)

9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema

métrico, las siguientes ecuaciones

a) 2

3

13,3 cmax yq =

b) 2

1

2

1

56,213,3 mincc E yV ==

c) 3 27,0 maxmin q E =

d) 3 2467,0 maxc q y =

e) 3 214,2 maxc qV =

10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es la

ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.

11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es y x 16

2

=, la energía

específica mínima es 0,3611 21Q

12. Hallar el tirante crítico para el canal

mostrado en la figura. El gasto es

de 8 m3/s. ¿Cuál es la energía que

corresponde a las condiciones

críticas?. Demostrar que se

cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56

y 7-57.

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s y

conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendiente

se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas

condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo se

establecerá?.

14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular la

pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la

energía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

yc

45º 60º

2,20 m



391


15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal

mostrado en la figura para que se

produzca un movimiento uniforme

con el mínimo contenido de energía

para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo

que la rugosidad del contorno

corresponde a G = 0,46 en la fórmula

de Bazin?.

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se

presentaría con la pendiente crítica calculada.

16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del

canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto

B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.

Calcular

a) el tirante normal

b) el tirante crítico

c) la pendiente crítica

d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).

17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto

( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima

eficiencia hidráulica, hallar

a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía

b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s

18. Un canal trapecial revestido en concreto (C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s

a) establecer si este flujo es un río o un torrente

b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?

(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)

19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.

20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s.

Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

c

45º

3,00 m

y



392


21. Calcular la altura de río y de torrente que

podrían producirse en el canal cuya sección

aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/

s y una energía específica de 3,14 m. Calcular

también para cada uno de los dos regímenes,

el número de Froude y el correspondiente

valor de dydE en la curva y E − . Dibujar

la curva y E − y verificar todos los valores

calculados, así como las condiciones críticas.

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30

m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?.

23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es

(ec. 7-52)

4,02,0

2

=

z

Q

g yc

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía

específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es

máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?.

25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

2,08883,1 QV c =

26. Para el canal mostrado

en la figura ¿Cuál es el

tirante crítico para un

gasto de 12 364 l/s?

¿Cuál debe ser el

coeficiente n de Kutter

pa ra que con una

pendiente de 0,0022 se

establezca un flujo

crítico normal?.

27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de

1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes,

el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.

Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con

el ábaco de la Figura 7.10.

c

1 : 2

1,50 m 1 : 1

1 : 1

90º

y

1

1,00 m

0,25



393


28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/s

con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el

tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?.

29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y

torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

++=

2

2 811

4 R

R

R

T

F

F

y

y

o bien,

gy

V F =

++=

2

2 811

4 T

T

T

R

F

F

y

y

R F yT F son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando

R F =T F =1?

30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por

medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración.

El gasto es de 2,1 m3

/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de

la superficie libre.

31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/

s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca un

régimen crítico.

32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima

sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas

arriba. El tirante normal es 2,50 m.

33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce

un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay

después del resalto, hallar

a) tirante crítico

b) tirante antes del resalto

c) tirante después del resalto

d) la fuerza específica (momenta)

e) la energía disipada en el resalto

f) la potencia del resalto en HP




34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación

de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante

después del salto y el gasto.

35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de

la energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.

36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se

produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son1 y e

2 y se cumple que

2

3812

1

2

1

1

12

+−+

=−

F

F

E

y y

siendo 1 E y 1 F la energía específica y el número de Froude antes del salto.

37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en

el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es

de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar

la fricción.

38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que

descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto.

Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular

a) el caudal b) la fuerza sobre la compuerta

c) la altura conjugada del resalto

d) la energía disipada

e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)

f) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción.

39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas

a) y E − para q = 5 m3/s/m

b) y E F −.. para q = 5 m3/s/m

c) yq − para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 ≤≤ y m

valores de y∆ = 0,50 m.

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Energia Especifica y Momenta ARTURO ROCHA