CAMPOS Y ONDAS

Energía del CampoMagnético

cuasiestacionario

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Energía Magnética

212

Uc J

La Energía de campo magnético en función de H y B

Al producirse el flujo de corriente eléctrica en un determinado circuito se ha consumido energía, parte de ella podrá recuperarse y por lo tanto podemos pensar que estaba almacenada en el Campo Magnético asociado a la corriente

La energía magnética es energía cinética

En mecánica expresamos :

En el lenguaje de circuitos en vez velocidad será corriente y en vez de inercia o masa será la “ Inducción” o Inductancia asociada a la energía cinéticas de las cargas móviles.

212

Uc mv

212

Uc LI

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Energía Magnética

• La energía magnética está afectada por los materiales magnéticos, que funcionan como cargas adicionales móviles

• Se puede considerar la energía que se consume en agrupar Imanes o bien espiras con corrientes , como trabajo de “Agrupamiento” contra las fuerzas de interacción entre corrientes y/o cargas magnéticas de imanes.

• En electrostática encontramos a partir del trabajo de agrupamiento la expresión de la energía en función de la carga y el potencial, y luego la expresión de la energía en función del campo

212

Uc CV

•Ahora aceptamos que la energía puede concebirse como acumulada en el campo

1/ .2

Ue vol D E

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Energía Magnética

• Definimos Tubo de flujo:– Contiene una cantidad constante de flujo de sección recta

variable, la magnitud de la densidad de flujo B es inversamente proporcional a la sección

–Cada tubo de flujo se sustituye por un cierto número de pequeños solenoides colocados uno al lado del otro–Dentro de cada solenoide el campo es aproximadamente constante–Estos solenoidse producirán el campo dentro del tubo –Cada solenoide con Jl=A/m –Esto da el valor de H=Jl

B, Hconstante

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Energía Magnética

2 1cos( ) cos( )2NIHL

Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si el punto P está situado en el centro, tendremos que los ángulos son cero y el campo H vale entonces

[ / ]lNIH J A mL

2 2 2 2

/ 2 / 2( )2 ( / 2 ) ( / 2 )NI L x L xHL L x a L x a

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Energía Magnética

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l distancia

H

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

l distancia

H

H variable

a=L/20N.I/L=1=Jl

2 2 2 2

/ 2 / 2( )2 ( / 2 ) ( / 2 )NI L x L xHL L x a L x a

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Energía Magnética

H.dl . lCi

Hi l J l l

iH iC

l

Si lH J

• Si el solenoide tiene una sección recta y longitud

• La Energía por unidad de volumen en el volumen del pequeño solenoide es

* . .U I V dt

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère

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Energía Magnética

* . .U I V dt .lI J l

l

S

d BV Sdt t

* . .lBU J l S dtt

0 0

* . H. B.

Bfinal Bfinal

lU J dB dl S

Energía por unidad de volumen

0

* H. BBfinal

U d dv

Energía del Campo

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Energía Magnética

• Si B es proporcional a H, como sucede en los medios líneales

1* H.B.2

U dv • En esta ecuación H y B son los valores finales alcanzados en

un punto

0

H. BBf

dSi B no es proporcional a H pero la función es unívoca laintegral da una solución única

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Energía Magnética

• Si hay histérisis el valor de la integral depende del estado previo• La pérdida por histéresis es un proceso cíclico viene dada por:

* H. BU d dv

H. B 0Bf

Bi

d

H. B 0Bf

Bi

d

La cual es igual al área de la curva de histéresis con la integral extendida a todo el volumen

H. B 0Bf

Bi

d

H. B 0Bf

Bi

d

H. Bd

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Energía Magnética

Energía de campo Magnético en función de la corriente y el flujo, en sistemas lineales.

• Cuando tratamos con circuitos eléctricos es conveniente conocer la energía en función de la corriente.

• Suponemos que estos circuitos se ubican en una región del espacio sin llegar al infinito

• Partimos

1* H.B.2

U dv B A

1* ( A).H.2 v

U dv (AxH) = H. xA-A. xHdiv

1 1 1H. xA. A. xH. (AxH).2 2 2v v v

dv dv div dv

,

1 1* A.J. AxH.2 2v s r

U dv ds

1/r.1/r2=1/r3

r2

0

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Energía Magnética

1* A.J.2 v

U dv

1* .2

U I

1* A.J. . A.2 2v

IU ds dl dl

• En esta ecuación la energía del campo se describe en función de las fuentes de corriente del campo en vez del campo mismo.

• En Un CIRCUITO….

A. A.ds B.dss s

dl

I

A

A1I1 1

AkIk k

A2I2 2

0

1* .2

nk kU I

• Ak vector potencial magnético producido por todas las corrientes en el circuito K k: es el flujo magnético que abraza a la espira K producido por todas las corrientes no solo por la Ik

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Ejemplo de Energía almacenada en un Inductor

• La bobina tiene N vueltas y el flujo total que concatena todas las bobinas es

Este flujo es generado por la corriente I

Por lo tanto se suele llamar flujo concatenado a

L es la constante de proporcionalidad llamada inductancia del Circuito,

EL CIRCUITO o parte de este que tenga inductancia se llama INDUCTOR

La Inductancia propia o autoinductancia :

Ante un cambio en la corriente en bornes del Inductor aparece una tensión proporcional a L y a la derivada de

la corriente

21 1 1* .2 2 2

U Wm I N I LI Energía almacenada en el Inductor

En medios lineales

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Energía, Acoplamiento mutuo

ii

iiii

i

LI

ijLij Lji Mij MjiIj

Habiamos definido la Inductancias propias y mutuas, cuando hay más de un circuito

ij

22

12

11

I2

I1

22

Flujo del circuito i producido por su propia corriente

Flujo del circuito i producido por la corriente del circuito j

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Energía, Acoplamiento mutuo

22

12

11

I2

I1

22

12

11I2

I1

22

12 0L 12 0L 11

22

00

LL

El signo de las Inductancias propias SIEMPRE es positivo

El signo de las Inductancias mutuas depende de la ubicación relativa de los circuitos o espiras que se acoplan magnéticamente

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Sistema lineal de relación entre flujos de circuitos y corrientes

2 21 1 22 2 2 2. ... . .. .i i n nL I L I L I L I

1 1 2 2. ... . .. .i i i ii i in nL I L I L I L I

1 1 2 2. ... . .. .n n n ni i nn nL I L I L I L I

1 11 1 12 2 1 1. ... . .. .i i n nL I L I L I L I

.L I

dedt

d Ie L

dt

Sistema lineal de relación entre corrientes de malla y tensiones (fem) aplicadas. Si despreciamos las resistencia de los circuitos podemos escribir

I1 I2

I3 I4e

e

e

e+

+

+

+

En forma MATRICIAL

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Energía Magnética

2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 ( . ... . .. . )2 2 i i n nI I L I L I L I L I

1 1 2 21 1 ( . ... . .. . )2 2i i i i i ii i in n

iI I L I L I L I L I

1 1 2 21 1 ( . ... . .. . )2 2n n n n n ni i nn nI I L I L I L I L I

1 1 1 11 1 12 2 1 11 1 ( . ... . .. . )2 2 i i n nI I L I L I L I L I

1 11

1 1. .2 2

nn n

i i i j iji jI I I L

La energía para circuitos lineales y rígidos se puede expresar

+

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Agrupamiento de circuitos con corrientes

• Cuando los circuitos con corrientes se mueven o las corrientes cambian de valor se inducen ”FEM”

• En este proceso se puede suministrar energía al sistema o tomarla de él• Estos son los procesos que impulsan las máquinas eléctricas

– Consideremos 2 bobinas (circuitos) recorridas por corrientes I1 e I2,.

– Cada bobina se provee de una FEM e1 y e2– Estas Fuentes e1 y e2 entregan o absorben ENERGÍA de modo de

mantener las corrientes I1 e I2 constantes.1 y 2 son los flujos totales abarcados por cada bobina

– R1 y R2 las resistencias de cada bobina

2

I2

e2

R21

I1

e1

R1

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Agrupamiento de circuitos con corrientes

1. Las dos bobinas están muy alejadas, no hay acoplamiento de flujo entre si.

2. Se aproximan

3. Las fuentes deben entregar energía para que las corrientes permanezcan constantes

2

I2

e2

R21

I1

e1

R1

11 1 1

22 2 2

.

.

de I Rdtde I Rdt

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Agrupamiento de circuitos con corrientes

• La energía que suministra las Fuentes para mantener I1 e I2 constante es:

1 1 2 2 1 1 2 20 0

. . . .t t t

o

e I dt e I dt I e dt I e dt 2 2 1 2

1 1 2 2 1 20 0

. . . .t t t

o

d dR I dt R I dt I dt I dtdt dt

2 2

1 1 2 2 1 1 10 2 2 2. . . .( ) .( )oR I t R I t I I

10 11

1 11 12

20 22

2 22 21

FLUJO PROPIO DE LA BOBINA 1

FLUJO PROPIO DE LA BOBINA 2

FLUJO PROPIO + MUTUO DE LA BOBINA 1

FLUJO PROPIO + MUTUO DE LA BOBINA 1

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Agrupamiento de circuitos con corrientes

1 1 2 21 1* . .2 2

U Wcampo I I

Energía de campo + mecánica (Fcampo)Pérdidas Ohmicas

2 21 1 2 2 1 1 10 2 2 2. . . .( ) .( )oWfuente R I t R I t I I

0 1 10 2 201 1* . .2 2

U I I

Energía de Campo en estado final

Energía de Campo en estado Inicial

02 * 2 *U U

1 1 10 2 2 2 0.( ) .( ) 2 * 2 *oI I U U Despreciando las pérdidas

CAMPOS Y ONDAS

Agrupamiento de circuitos con corrientes

11 1 12 2L I L I

22 2L I

10 11

1 11 12

20 22

2 22 21

11 1L I

22 2 21 1L I L I

0 02 * 2 * ( * *) mecanicoU U U U W

0* * mecanicoU U W

• La energía que suministra las Fuentes se transforma en mitad para incrementar el campo y mitad en trabajo mecánico.

2 2 2 20 11 1 12 2 1 22 2 21 1 2 11 1 22 2 12 2 1

1 1 1 1 1 1* * ( ) ( )2 2 2 2 2 2

U U L I L I I L I L I I L I L I L I I

• El cambio en la energía del campo expresado en función de las corrientes e inductancias resulta:

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• La Fuerza o momento de rotación sobre circuitos rígidos puede calcularse a partir de la energía magnética

• Supongamos que permitimos que una parte del sistema efectúe un desplazamiento dr, bajo la influencia de las fuerzas magnéticas que actúan sobre él, permaneciendo constantes todas las corrientes.

• El trabajo mecánico efectuado por la fuerza F que actúa sobre sistema

Principio de los trabajos Virtuales

f c mecdW dW dW .mecdW cF dr

mec f cdW dW dW

• dWc es el cambio de energía de camapo magnético del sistema y dWfes el trabajo efectuado por las fuentes de energía externas contra la feminducida para mantener la corriente constante

1 .2 i i

i

dWc I d .f i ii

dW I d

1 .2 i i

idWmec I d F.dr

mecdW dWc

. . . c c cx y z

W W WdWc F dx F dy F dz dx dy dzx y z

cW F

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Principio de los trabajos Virtuales

• En algún caso se puede mantener constante el flujo en vez de la corriente, con lo cual el sistema puede ser considerado aislado, sin conexión a una fuente

. 0f i ii

dW I d

• Este caso es ideal, donde no se necesita una fuente para mantener la disipación de potencia (I2.R), es como si el alambre fuera superconductor R=0

f c mecdW dW dW 0 c mecdW dW

mec cdW dW . . . c c cx y z

W W WF dx F dy F dz dx dy dzx y z

cW F

1

I1

2

I2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

( . ) ( )0

( ) ( )0

d d L I d L Idt dt dtd d L I d L Idt dt dt

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

. 1. 2

L I L I KL I L I K

• Igual que en el caso electrostático, es necesario expresar en forma analítica la energía del CAMPO, dependiendo de las coordenadas espaciales Wc(x, y, z) o en función de Wc (1,2,3), para obtener la Fuerza o Momento

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Principio de los trabajos Virtuales

fuente campo mecánicadW dW dW

. campoF dl dW

cWFxx

cWFy

y

cWFzz

A corriente constante

2 211 1 12 2 1 22 2 21 1 2

1 1 1 12 2 2 2cW L I L I I L I L I I

11

cW

2

2

cW

Fuerza

33

cW

Cupla

2 211 12 22 211 2 1 2 1 2

1 1 1 12 2 2 2

dL dL dL dLdWc I I I I I Id d d d d

Energía del Campo

Derivada corriente constante

>0 entrega >0 aumenta >0 F campo trabajo +

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Principio de los trabajos Virtuales

• La expresión puede usarse aún en el caso de sistemas NO LINEALES (que contienen núcleos ferromagnéticos), suponiendo que en presencia de las corrientes consideradas , los valores dL/dx, o dL11/d dL12/d puedan ser determinadas por las pendientes de las curvas de variación de flujo y de sus concatenamientos correspondientes (incrementales)

• Las fuerzas mecánicas del campo ( a corriente constante) siempre actúan de tal modo que tienden a aumentar los concatenamientos de flujos y por lo tanto la energía magnética.

• Las Fuerzas a corriente constante es equivalente al caso de Tensión constante en campos electrostáticos.

• Las Fuerzas a Flujo constante es equivalente al caso de Carga constante en campos electrostáticos.

2 211 22 211 2 1 2

1 12 2

cdW dL dL dLI I I Id d d d

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Fuerza sobre una barra de hierro en un solenoide

• Un solenoide largo de N vueltas y longitud l, por el que circula una I constante.

• Una barra de permeabilidad y área A se introduce a lo largo del eje del solenoide.

• Si la barra se saca hasta la mitad de su longitud• Calcule la fuerza que tiende a hacerla volver a su

posición.• En la posición inicial y final el efecto de borde es el

mismo• Una parte incremental que estaba ocupada por aire

con campo uniforme pasa a estar ocupada por material magnético en campo uniforme

l

x

A

dx

Fx .

H

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Fuerza sobre una barra de hierro en un solenoide

•La estructura del campo es relativamente uniforme lejos del extremo de la barra y del solenoide• Una longitud x, del extremo derecho de la barra, fuera de la región del campo, se trasladaefectivamente a la región de campo uniforme dentro del solenoide, en un lugar sin la influencia desmagnetizante del polo magnético de la barra

•H aprox. longitudinal en la región x, constante, fuera y dentro de la barra puesto que I es constante

H xNIl