Campo magnético solenoide

Medición del campo magnético producido por

un solenoide

Equipo No. 2

Rodolfo Avendaño Aguirre

Julio César Verdugo Espinosa

Universidad Autónoma Metropolitana IztapalapaDivisión de Ciencias Básicas e IngenieríaMétodo Experimental II 21000309 P

Profesoras:Hilda Noemí Núñez YépezDora Patricia Nava Gómez

Julio 28. 2009

2

Objetivos 1) Caracterizar la magnitud del campo magnético producido

por un solenoide en términos de la corriente eléctrica que circula por él.

2) Determinar la magnitud del campo magnético en puntos fuera del solenoide y alineados con el eje del mismo.

Figura 1: Campo magnético en un solenoide

3

Introducción Describimos al espacio alrededor de un imán

permanente o de un conductor por el cual circula corriente como el lugar ocupado por un campo magnético B.

Existe una estrecha relación entre magnetismo y electricidad descubierta por Hans Christian Oersted.

Figura 2: Campo magnético generado por un imán

4

Introducción Se utilizará la definición del campo magnético

relacionada con el número de líneas de flujo que pasan a través de una unidad de área perpendicular en una región dada del campo, esto es:

Donde:

: flujo magnético en weber (wb): área perpendicular respecto a las líneas de flujo

magnético en m2

: magnitud del campo magnético en wb/m2 = 1 tesla (T)

BAf

^=

fA^B

(1)

5

Introducción: continuaciónUn solenoide consiste en un

alambre devanado en una hélice fuertemente apretada y conductor de una corriente i.

En un solenoide ideal, la hélice es larga en comparación con su diámetro. La regla de la mano derecha nos permite determinar la dirección del campo magnético

Figura 3: Solenoide de laboratorio

Figura 4: Campo magnético en un solenoide

6

Introducción: Campo magnético en un solenoide

Aplicando la Ley de Biot Savart, puede calcularse la magnitud del campo magnético de un solenoide como:

Donde:

B: magnitud del campo magnético en el punto P respecto al solenoide (teslas)N: número de espirasL: longitud del solenoide (metros)i: corriente (amperes)μo: permeabilidad del vacío (4πx10-7 Tm/A)

2 1(cos cos )2oNiBL

mq q= -

Figura 5: Esquema para calcular B

(2)

7

Introducción: Campo magnético en un solenoide

Para el caso particular donde el el solenoide es muy largo comparado con su radio a (L>>a) y si el punto P está situado en el centro del solenoide, tendremos que θ1→π y θ2→0, la magnitud del campo B es entonces:

oNiBL

m=

Figura 6: Campo dentro del solenoide

(3)

8

Introducción: Sensor de campo magnético, Efecto HallConsiste en la aparición de un campo eléctrico en un conductor

con corriente cuando es atravesado por un campo magnético. Los electrones se desvían en el sentido perpendicular a la dirección del vector densidad de corriente y del campo magnético, esto produce un voltaje (tensión de Hall) que varía linealmente con el campo magnético y se aprovecha para la medición de la magnitud de dicho campo.

Figura 7: Esquema Efecto Hall

En la figura:

B: campo magnético

IH: Corriente Hall

IV: Corriente de alimentación

VH: Voltaje o tensión de Hall

d: Espesor del medio

9

Hipótesis

Con base en la teoría presentada podemos suponer que:

1. La relación funcional que se tiene entre la magnitud del campo magnético de un solenoide y la corriente eléctrica que lo produce es lineal, esto es, del tipo

B = k i, con k constante.2. La magnitud del campo magnético de un solenoide en

puntos colocados a una distancia r alineados con el eje del solenoide es potencial, es decir, del tipo

B = k (1/r) con k constante.

10

Diseño ExperimentalSe emplearon dos bobinas, una con núcleo de aire y otra

con núcleo de hierro. Cada una de ellas se conecta a la fuente de poder, y en posición paralela al eje de la bobina se coloca un sensor de campo magnético.

Figura 8: Foto del equipo utilizado

11

Desarrollo Las primeras dos pruebas consistieron en conectar una de

las bobinas a una fuente de poder, tomando dos multímetros y usándolos como amperímetro y voltímetro respectivamente.

El sensor se colocaba a una distancia de 3.00 ± 0.05cm y alineado al eje longitudinal de la bobina, se comenzaron a tomar datos empezando con una intensidad de 0.20±0.01A


12

Desarrollo Usando el software logger pro se tomaban 60 datos por

minuto, cada minuto se aumentaba la intensidad de la corriente en aproximadamente 0.20 A. Esto se hizo durante 25 minutos y alcanzando una intensidad cercana a los 5.00 A.

Este mismo proceso se repitió, pero usando una bobina con diferente núcleo.

Figura 10: Interfaz utilizada con el sensor de campo magnético

13

Desarrollo La tercer prueba consistió en mantener la intensidad

constante a 4.49 ± 0.01 A y variar la distancia a la que se encontraba el sensor de la bobina con núcleo de hierro, esto se hizo durante 20 minutos, variando la distancia 1.00 ± 0.05 cm, llegando a los 20.00 ± 0.05 cm.

Se utilizo el mismo esquema de captura de datos


14

Datos Obtenidos

En las mediciones realizadas en los incisos (a) y (b) se obtuvieron 1500 lecturas en tanto que en el inciso (c) se registraron 1200 lecturas. Con la finalidad de facilitar la representación de esta cantidad de datos, se presentan gráficamente en las gráficas 1, 2 y 3, en las tablas 1, 3 y 4 se presentan los datos que empleamos para caracterizar las relaciones funcionales que se están buscando.

15

Datos Obtenidos: Campo magnético en función de corriente eléctrica, núcleo de aire.

Gráfica 1: Datos originales de campo magnético en relación con el tiempo para núcleo de aire. Gráfica generada con Logger Pro

16

Datos Obtenidos: Campo magnético en función de corriente eléctrica, núcleo de hierro.

Gráfica 2: Datos originales de campo magnético en relación con el tiempo para núcleo de hierro. Gráfica generada con Logger Pro

17

Datos Obtenidos: Campo magnético en función de la posición del sensor.

Gráfica 3: Datos originales de campo magnético en relación con el tiempo para diversas distancias del sensor al solenoide. Gráfica generada con Logger Pro

18

Resultados

Gráfica 4: Ampliación del intervalo de 0 a 10 minutos de la gráfica 1. Nótese la mayor variación en los extremos de cada minuto debido a lecturas transitorias.

19

Resultados: a) Campo magnético en función de corriente eléctrica, núcleo de aire

Corriente eléctrica±0.01 A

Campo magnético Desviación absoluta

máxima

mT

de campo magnético (δyi),

mT

0.21 2.19E-03 2.11E-03

0.39 4.51E-03 2.32E-03

0.62 7.16E-03 3.20E-03

0.82 1.03E-02 2.51E-03

1.05 1.30E-02 2.97E-03

1.22 1.50E-02 3.69E-03

1.39 1.79E-02 1.99E-03

1.63 2.02E-02 4.45E-03

1.79 2.33E-02 3.90E-03

2.01 2.57E-02 3.62E-03Tabla 1: Lecturas de corriente eléctrica, campo magnético y desviación para cada lectura de campo magnético, primeros 10 datos

20



Campo magnético Desviación absoluta máxima

mT de campo magnético (δyi), mT

2.19 2.78E-02 4.82E-03

2.39 3.05E-02 5.07E-03

2.59 3.32E-02 4.86E-03

2.81 3.60E-02 5.78E-03

3.03 3.88E-02 4.98E-03

3.19 4.10E-02 5.11E-03

3.40 4.31E-02 6.36E-03

3.58 4.57E-02 5.87E-03

3.82 4.87E-02 6.83E-03

4.00 5.20E-02 5.87E-03

4.22 5.45E-02 7.65E-03

4.43 5.80E-02 6.68E-03

4.63 5.98E-02 6.99E-03

4.79 6.18E-02 6.79E-03

5.03 6.45E-02 8.02E-03Tabla 1, segunda parte: Lecturas de corriente eléctrica, campo magnético y desviación para cada lectura de campo magnético, 15 datos restantes.

21


Campo magnético en función de corriente, núcleo aire

0.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-026.00E-027.00E-028.00E-02

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Corriente eléctrica, A

Cam

po m

agné

tico,

mT

Gráfica 5: Se presentan puntos de forma (i, B) para núcleo de aire

22

Resultados: a) Campo magnético en función de corriente eléctrica, núcleo de aireComo puede observarse en la gráfica 5, la tendencia del

comportamiento de los puntos se aproxima a una línea recta.

( )

( )220.013

i i i i

i i

N xy x y mTm

AN x x

-= =

-

å å åå å

( )

( )

2

220.0006

i i i i i

i i

x y x xyb mT

N x x

-= = -

-

å å å åå å

( )4

228* 10m y

i i

N mTS S

AN x x-= =

-å å

( )

23

222* 10

ib y

i i

xS S mT

N x x-= =

-

åå å

4 3(130 8) * 10 (0.6 2) * 10mT

B i mTA

- -= ± - ±

(4)

(6)

(5)

(7)

(8)

23


¿Cómo podemos valorar qué tan bien refleja la expresión obtenida (expresión 8) el comportamiento real del campo medido?

Una alternativa puede ser empleando el coeficiente de correlación, r

Otra forma que puede ser más práctica es calculando el error porcentual de las magnitudes del campo magnético calculado con relación a las magnitudes medidas.

* 100m c

m

V Verror

V-

= (9)

24



Campo magnético medido

Campo magnético calculado

Error porcentualdel calculo de campomT mT

0.21 2.19E-03 2.13E-03 2.9

0.39 4.51E-03 4.47E-03 0.9

0.62 7.16E-03 7.46E-03 4.2

0.82 1.03E-02 1.01E-02 2.6

1.05 1.30E-02 1.31E-02 0.4

1.22 1.50E-02 1.53E-02 2.0

1.39 1.79E-02 1.75E-02 2.5

1.63 2.02E-02 2.06E-02 2.1

1.79 2.33E-02 2.27E-02 2.5

2.01 2.57E-02 2.55E-02 0.6

2.19 2.78E-02 2.79E-02 0.2

2.39 3.05E-02 3.05E-02 0.1

2.59 3.32E-02 3.31E-02 0.5

2.81 3.60E-02 3.59E-02 0.3

3.03 3.88E-02 3.88E-02 0.0

3.19 4.10E-02 4.09E-02 0.3

3.40 4.31E-02 4.36E-02 1.2

Tabla 2

25


Tabla 2:Continuación


Campo magnético medidomT

Campo magnético calculado

mT

Error porcentualdel calculo de

campo

3.58 4.57E-02 4.59E-02 0.5

3.82 4.87E-02 4.91E-02 0.8

4.00 5.20E-02 5.14E-02 1.1

4.22 5.45E-02 5.43E-02 0.4

4.43 5.80E-02 5.70E-02 1.7

4.63 5.98E-02 5.96E-02 0.4

4.79 6.18E-02 6.17E-02 0.2

5.03 6.45E-02 6.48E-02 0.5

Error % promedio 1.2

Tabla 2: Cálculo del error porcentual del campo calculado con la expresión (9). Se omite en la tabla la incertidumbre del dato calculado para centrarnos en el error porcentual promedio

26

Bobina con núcleo de hierro El análisis fue muy similar al anterior.

Tomando los siguientes datos:

Corriente eléctrica

Campo magnético

Campo magnetico

±0.01 A mT calculado, mT

0.20 0.19 0.21

0.36 0.33 0.35

0.56 0.52 0.53

0.75 0.69 0.70

0.98 0.90 0.91

1.21 1.11 1.12

1.42 1.32 1.31

1.62 1.49 1.49

1.83 1.66 1.68

2.00 1.84 1.83

2.19 2.01 2.00

2.43 2.23 2.22

2.61 2.39 2.38

2.80 2.56 2.55

2.99 2.74 2.72

3.23 2.95 2.94

3.38 3.10 3.07

3.58 3.28 3.26

3.82 3.47 3.47

4.05 3.71 3.68

4.23 3.98 3.84

4.41 3.91 4.00

4.61 4.15 4.18

4.79 4.29 4.35

5.00 4.51 4.54

Corriente eléctricaCampo

magnético Campo

magnetico

±0.01 A mT calculado, mT

Tabla 3:Colección de datos, núcleo de hierro

27

Bobina con núcleo de hierro

Gráfica 6 se presenta el resultado de graficar puntos de la forma (i,B).

Campo magnético en función de corriente eléctrica, núcleo de hierro

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Corriente eléctrica, A

Cam

po

mag

nét

ico

, mT

28

Bobina núcleo de hierro La gráfica tiene una

tendencia lineal , por lo que se hizo un análisis como el aplicado a la bobina con núcleo de aire.

Entonces se obtiene lo siguiente:

0.90mT

mA

=

0.03b mT=

0.02mmT

SA

=

0.07bS mT=

(0.90 0.02) (0.03 0.07)mT

B i mTA

= ± + ± (14)

(13)

(12)

(11)

(10)

29

Campo magnético en función la posición del sensor

A continuación se muestran la tabla de las lecturas obtenidas al medir campo magnético en función de la distancia del sensor a la bobina.

Punto

Distancia (r), cm

Campo magnético medido

Desviación absoluta máxima

±0.05cm mTde campo magnético,

mT

1 0.00 5.33 3.97E-03

2 1.00 5.35 3.28E-03

3 2.00 5.29 2.02E-02

4 3.00 3.23 1.19E-02

5 4.00 2.18 1.19E-02

6 5.00 1.47 1.86E-01

7 6.00 0.99 1.22E-01

8 7.00 0.70 9.63E-02

9 8.00 0.50 8.40E-02

10 9.00 0.35 9.20E-02

Tabla 4

30

Campo magnético en función la posición del sensor

PuntoDistancia (r), cm

±0.05cm

Campo magnético medidomT

Desviación absoluta máxima

de campo magnético, mT

11 10.00 0.25 7.27E-02

12 11.00 0.16 3.22E-02

13 12.00 0.11 6.22E-02

14 13.00 0.06 6.55E-02

15 14.00 0.03 6.59E-02

16 15.00 0.00 4.87E-02

17 16.00 -0.01 6.00E-02

18 17.00 -0.03 5.04E-02

19 18.00 -0.04 4.08E-02

20 19.00 -0.04 3.91E-02

21 20.00 -0.05 3.77E-02

Tabla 4: Continuación

Tabla 4: Lecturas de distancia, campo magnético y desviación para cada lectura de campo magnético, núcleo de hierro

31

Campo magnético en función de la posición del sensor

Campo magnético en función de la posición

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Distancia, cm

Ca

mp

o m

ag

né

tic

o, m

T

Gráfica 7 se presenta el resultado de graficar puntos de la forma (r,B).

32

Campo magnético en función de la posición del sensorSe puede ver que la gráfica obtenida sugiere dos

cosas: 1. Redefinir el intervalo de validez de la función:

parece conveniente tomar los puntos 3 al 15 como los representativos del fenómeno.

2. Realizar un cambio de variable en el eje

horizontal: la forma de la curva sugiere el cambio Ř = r-1 con la finalidad de linealizar la función.

33


Haciendo el cambio de variable respectivo se obtiene la siguiente tabla y gráfica con la que se podrá utilizar el método de mínimos cuadrados para el análisis.

Distancia,cm

±0.05cm

Ř=r-1

Campo magnético

medido δŘ

Desviación absoluta maxima

cm-1 mT cm-1

de campo magnético, mT

2.00 0.50 5.29 1.25E-02 2.02E-02

3.00 0.33 3.23 5.56E-03 1.19E-02

4.00 0.25 2.18 3.13E-03 1.19E-02

5.00 0.20 1.47 2.00E-03 1.86E-01

6.00 0.17 0.99 1.39E-03 1.22E-01

7.00 0.14 0.70 1.02E-03 9.63E-02

8.00 0.13 0.50 7.81E-04 8.40E-02

9.00 0.11 0.35 6.17E-04 9.20E-02

10.00 0.10 0.25 5.00E-04 7.27E-02

11.00 0.09 0.16 4.13E-04 3.22E-02

12.00 0.08 0.11 3.47E-04 6.22E-02

13.00 0.08 0.06 2.96E-04 6.55E-02

14.00 0.07 0.03 2.55E-04 6.59E-02

Tabla 5 Colección de datos

dado el cambio de variable

Ř = r-1

34


Campo magnético en función de inverso de r

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Inverso de la distancia, cm^-1

Cam

po m

agné

tcio

, mT

Gráfica 8: Campo magnético en función del inverso de la distancia

35


12.5 *m mT cm=

0.99b mT= -

0.2 *mS mT cm=

0.05bS mT=

1(12.5 0.2) * (0.99 0.05)B mT cm mT

r= ± - ±

La gráfica tiene una tendencia lineal , por lo que se hizo un análisis como el aplicado a las pruebas de campo magnético en función de la intensidad de la corriente.

Entonces se obtiene lo siguiente:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

36

ConclusionesEl campo magnético B depende linealmente de la intensidad de corriente eléctrica que circula por él. Dicho campo se intensifica en presencia de un núcleo de hierro comparado con el presentado con núcleo de aire. Para las condiciones del laboratorio las relaciones encontradas fueron:

4 3(130 8) * 10 (0.6 2) * 10mT

B i mTA

- -= ± - ±

(0.90 0.02) (0.03 0.07)mT

B i mTA

= ± + ±

Núcleo de aire:

Núcleo de hierro:

(8)

(14)

37

Conclusiones

Las relaciones funcionales obtenidas permiten calcular el valor del campo en términos de la corriente o de la distancia con un error porcentual que va desde 1.2% hasta el 21% dependiendo del caso y del intervalo de cálculo para la variable independiente.

En relación con la distancia a la cual se mide el campo magnético, éste experimenta una dependencia de tipo potencial dada por:

1(12.5 0.2) * (0.99 0.05)B mT cm mT

r= ± - ± (19)

38

Bibliografía

Halliday, David; Resnik, Robert; Krane, Kenneth. Física, volumen 2.CECSA, 4a edición, pags. 159-200, México, 1996

Serway, Raymond A. Física, tomo II. Mc Graw Hill,4a edición, pags. 831-854, México, 1998

Tippens, Paul E. Física. Conceptos y aplicaciones. Mc Graw Hill, 5ª edición, pags. 746-778, México, 1996

http://www2.vernier.com/booklets/mg-bta.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Hall

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