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ELT502 – Eletrônica Digital IGraduação em Engenharia Eletrônica
Universidade Federal de Itajubá IESTI
Prof. Rodrigo de Paula Rodrigues
Simplificação de circuitos combinacionais
Aula 06
Simplificação de circuitos | Contexto
Circuitos combinacionais
F = f(A,B,C,D...)
F = f(A,B,C,...)
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
F = f(A,B,C,...)
F = f(A,B,...)
F = f(A,B,...)
F = f(A,B,...)
Simplificação de circuitos | Técnicas
Simplificação de circuitos combinacionaiscombinacionais
f(A, B, C, D…) Teoremas booleanos
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
f(A, B,…) Mapas de Karnaugh
Teoremas booleanos
Simplificação de circuitos | Teoremas
00)1( =ox
xxx =o)3(
0)4( =xxo
xx =1)2( o
xx =+0)5(
xyyx +=+)9(
xyyx oo =)10(xyxx =+ o)17(
zxyxzyx ooo +=+ )()13(
yxyxx +=+ o)11(
yxyxx +=+ o)12(
yxyx o=+)19(
yxyx +=o)18(
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
xxx =+)7(
1)8( =+ xx
11)6( =+x
zyxzyxzyx oooooo == )()()16(
zxxyzyzxxy +=++)14(yzxzyxzyx ++=++=++ )()()15(
Simplificação de circuitos | Teoremas
Exemplo
Obtenha uma representação mínima para a função combinacional seguinte.
CACBABCF ++=
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
CACBABCF ++=
Exemplo (cont.)
Simplificação de circuitos | Teoremas
Sugestão de caminho: B em evidência
CACACBF
CACBABCF
++=++=
)(13
11
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
CACBABF
CACABF
++=++= )(
11
13
Exemplo (cont.)
Simplificação de circuitos | Teoremas
Sugestão de caminho: C em evidência
ABACCBF
CACBABCF
++=++=
)(13
11ACBF
ACCCBF
+=++=
1
)(
o
8
2
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
CBACCBF
BACCBF
++=++= )(
11
13ACBF +=
2
Exemplo (cont.)
Simplificação de circuitos | Teoremas
A
000
B
001
F
011
C
010
CBCAAB ++A
000
B
001
F
011
C
010
BCA +
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
001111
110011
110011
010101
001111
110011
110011
010101
Aplicação de teoremas
Simplificação de circuitos | Teoremas
Passos indefinidos
Métrica de parada?
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
Mapas de Karnaugh
Simplificação de circuitos | Karnaugh
Conjunto de passos
Garante uma representaçãomínima
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
Mapas de Karnaugh
Simplificação de circuitos | Karnaugh
yxyxy =+ oo
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A
00
B
01
F
f(0,0)f(0,1)
),( BAfF =A
B 0 1
0 f(0,0) f(1,0)
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
011
101
f(0,1)f(1,0)f(1,1)
0 f(0,0) f(1,0)
1 f(0,1) f(1,1)
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 0
1 0 0
A
0011
B
0101
F
1000
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
1 0 01 1 0
BAF =
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 0 0
1 1 0
A B 0 1
0 0 1
1 0 0
A B 0 1
0 0 0
1 0 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
1 1 0
BAF =
1 0 0
BAF =
1 0 1
ABF =
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 0
1 1 0
A
0011
B
0101
F
1100
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
1 1 01 1 0
AABBABABAF ==+=+= 1)( o
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 1
1 0 0
A B 0 1
0 0 1
1 0 1
A B 0 1
0 0 0
1 1 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
1 0 0
BF =
1 0 1
AF =
1 1 1
BF =
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 1
1 0 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
BAABBABBABAF +=+=++=
Para duas variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 1
1 1 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
1)()( =+++=+++= BBABBAABBABABAF
Para três variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
),,( CBAfF =A
BC 0 1
00 f(0,0,0) f(1,0,0)
01 f(0,0,1) f(1,0,1)
A
0000
B
0011
F
f(0,0,0)f(0,0,1)f(0,1,0)f(0,1,1)
C
0101
códi
go g
ray
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 f(0,1,1) f(1,1,1)
10 f(0,1,0) f(1,1,0)
01111
10011
f(0,1,1)f(1,0,0)f(1,0,1)f(1,1,0)f(1,1,1)
10101
códi
go
Para três variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 0
01 1 0
11 1 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 1 0
10 1 0
ACBABCACBACBAF =+++=
Para três variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 0
01 0 0
11 0 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 0
10 1 0
CACBACBAF =+=
Para três variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 0
10 1 1
CCABCBACBACBAF =+++=
Para três variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 1 1
10 1 1
CBABCACBACBAF +++=1=++++ CABABCCBACBA
Ler o seguinte mapa de Karnaugh
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 0
01 0 1
11 0 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 1
10 1 1
Para quatro variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
),,,( DCBAfF =
AB CD 00 01 11 10
00 f(0,0,0,0) f(0,1,0,0) f(1,1,0,0) f(1,0,0,0)
código gray
gray
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01 f(0,0,0,1) f(0,1,0,1) f(1,1,0,1) f(1,0,0,1)
11 f(0,0,1,1) f(0,1,1,1) f(1,1,1,1) f(1,0,1,1)
10 f(0,0,1,0) f(0,1,1,0) f(1,1,1,0) f(1,0,1,0)
códi
go g
ray
Para quatro variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 0 0 0
10 0 0 0 0
DCDCBADBCADCBADCBAF =+++=
Para quatro variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
BF =
Para quatro variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 0 0 0
10 1 0 0 1
DBDCBADCBADCBADCBAF =+++=
Para quatro variáveis
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
1=F
Aplicação
Simplificação de circuitos | Karnaugh
1 – Agrupar os mintermos em grupos de 2N elementos;
2 – Ao gerar os grupos, garantir que a cada duas posições contíguas exista apenas a variação de 1 bit;
3 – Ao gerar um grupo, garantir que pelo menos um termo não pertença aos demais grupos;
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termo não pertença aos demais grupos;
4 – Realizar a leitura dos grupos gerados;
5 – Realizar o menor número possível de leituras.
Exemplo
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A B 0 1
0 1 0
1 1 1
A B 0 1
0 1 0
1 0 1
A B 0 1
0 0 1
1 1 0
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
BA +
1 0 1
ABBA +
1 1 0
BABA +
Exemplo
Simplificação de circuitos | Karnaugh
A BC 0 1
00 1 0
01 0 1
11 0 1
A BC 0 1
00 1 0
01 0 1
11 0 111 0 1
10 1 1
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CAABAC ++
11 0 1
10 1 1
CACBAC ++
Exemplo
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 1 1 0
11
DBADCBDCABD +++
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11 0 1 1 0
10 1 0 0 0
Exemplo: termos não importa
Simplificação de circuitos | Karnaugh
Desenvolva um circuito capaz de identificar quando um valor binário emnotação BCD8421 representa as quantidades 1, 5, 7 ou 9. Esse circuito deverápossuir uma saída T que assumirá nível lógico alto sempre que o valor deentrada for um valor BCD que represente as quantidades citadas. Assuma queas entradas recebam apenas representações BCD8421 válidas e que o valor sejarepresentado pelos dígitos ABCD.
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ABCD
TCircuito
Exemplo: termos não importa
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 0 0 X 0
01 1 1 X 1
11 DCBBDA +
Todos os termos X como 0:
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11 0 1 X X
10 0 0 X X
DCBBDA +
Exemplo: termos não importa
Simplificação de circuitos | Karnaugh
AB CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 BDDC +
Utilizando os termos:
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
BDDC +
Exemplo
Simplificação de circuitos | Karnaugh
Um sistema de irrigação de jardins de uma certa empresa deverá operar se:
- For inverno e a umidade do solo estiver baixa ; ou
- A temperatura estiver elevada , for verão e houver baixa umidade do solo; ou
- For verão , houver alta temperatura e a umidade do solo estiver alta ; ou
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
- For verão , houver alta temperatura e a umidade do solo estiver alta ; ou
- A temperatura e a umidade do solo estiverem baixas e for verão ; ou, ainda, se
- A temperatura estiver alta e a umidade do solo , baixa .
Exemplo (cont.)
Simplificação de circuitos | Karnaugh
Estados:1 – Verão;2 – Inverno;3 – Temperatura alta;4 – Temperatura baixa;
Variáveis booleanas:
E: Estação: 0, Inverno; 1, Verão.
T: Temperatura: 0, baixa; 1, alta.
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4 – Temperatura baixa;5 – Umidade do solo alta;6 – Umidade do solo baixa. U: Umidade: 0, baixa; 1, alta.
Exemplo (cont.)
Simplificação de circuitos | Karnaugh
E TU 0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 1
UTUTEETUUETUEI ++++=
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
11 0 1
10 1 1
ETU +
UETI +=
Simplificação de circuitos | Fim
Conferir a presença …
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo
Simplificação de circuitos | Fim
Obrigado
ELT502 – Eletrônica Digital I Prof. Rodrigo