ELIPSA I NJENE KONSTRUKCIJEMaturski rad iz Matematike

Uenik:

Mentor:

Sarajevo,januar 2010/2011.godina

Elipsa i njene konstrukcijeSADRAJ:Uvod...................................................................................................................................................................................... 3 1.Historijski pregled............................................................................................................................................................... 4 Antika Grka.......................................................................................................................................................... Srednji vijek............................................................................................................................................................. 5 Ponovno buenje.................................................................................................................................................... 5 2.Definicija............................................................................................................................................................................. 6 2.1.Kanonski(segmentni) oblik jednaine................................................................................................................ 6 3.Take elipse....................................................................................................................................................................... 7 4.Jednaina elipse................................................................................................................................................................ 8 5.Porijeklo imena...................................................................................................................................................................13 5.1.Tjemena jednaina...........................................................................................................................................13 6.Papo-Bokieva definicija elipse........................................................................................................................................14 6.1.Numeriki ekscentricitet....................................................................................................................................14 6.2.Odreuje li svaka jednaina oblika elipsu?...............................................................................15 4

6.3.Pol,polara,direktrisa..........................................................................................................................................16 6.4.IZVOENJE (Papo-Bokieva definicija).........................................................................................................17 7.Analitika geometrija u ravni(osvrt na vektore,udaljenost meu njima).............................................................................19 7.1.Udaljenost.........................................................................................................................................................19 7.2.Jednaina prave...............................................................................................................................................20 7.3.IZVOENJE(jednaina prave)..........................................................................................................................20 7.4.Primjena jednaine na elipsu............................................................................................................................21 8.PRAVA I ELIPSA...................................................................................................................................................................21 8.1.Uvjet dodira prave i elipse......................................................................................................................................21 9.JEDNAINA TANGENTE..................................................................................................................................................24 9.1.Tangenta elipse sa sreditem u S(p, q)............................................................................................................24 9.2.Tangenta elipse sa sreditem u S(0, 0)............................................................................................................25 10. Ugao presjeka.................................................................................................................................................................26 10.1. Izmeu dvije krive drugog reda......................................................................................................................26 10.2. Izmeu krive drugog reda i prave..................................................................................................................27 11.VRSTE ELIPSE .................................................................................................................................................................29 12. Translatirana elipsa.........................................................................................................................................................30 12.1.Horizontalno....................................................................................................................................................31 12.2.Vertikalno........................................................................................................................................................31 12.3.Mjeovito.........................................................................................................................................................32 13. Simetrija elipse................................................................................................................................................................32 14.KONSTRUKCIJE..............................................................................................................................................................33 14.1.Konstrukcija male ose elipse..........................................................................................................................33 14.2.Konstrukcija elipse pomou konjugiranih prenika.........................................................................................33 14.3. Konstrukcija elipse pomou lukova zakrivljenosti..........................................................................................34 14.4. Konstrukcija elipse pomou arita...............................................................................................................35 14.5. Konstrukcija elipse pomou koncentrinih krunica......................................................................................36 14.6. Rytzova konstrukcija......................................................................................................................................37 Formule za zadatke...............................................................................................................................................................38 Zakljuak...............................................................................................................................................................................39 Literatura...............................................................................................................................................................................40

2

Elipsa i njene konstrukcije

3

Elipsa i njene konstrukcije1.H I S T O R I J S K I1.1.Antika GrkaDa je sve krenulo od Grka i argument tome da je antika Grka bila poprite ,centar velikih dogaaja,filozofa,matematiara.itd govori njihov doprinos u oblasti konika.Tanije Grci su prvi i definirali pojam konika1,krivih.Krunicu,elipsu,parabolu i hiperbolu nazivaju konikama.Stari Grci su krive drugog reda shvaali kao jednu cjelinu. Do otkria konika,krivih dolo je 380. 320. god. prije Krista zahvaljujui

P R E G L E D

Menehmuu,rjeavanjem problema udvostruenja kocke.U okviru otkria Menehmu spoznaje da presjekom uspravnog konusa i ravni koja je okomita na izvodnicu konusa dobiju se krive.Oblik ,vrsta krivih se mijenjala promjenom oblika konusa(slika 1.). Elipsu,koja je i centar naeg interesovanja, Menehmu je dobio presjekom konusa koji ima iljasti ugao pri vrhu osnog presjeka.Konike ,krive su bile centar interesovanja i Arhimeda ija djela svjedoe o do tada velikom napretku u ovoj oblasti(svojstva krivih),Euklida iji spisi o krivima nedugo zatim bivaju izgubljeni. Meutim, najvei doprinos razvoju krivih daje antiki pisac Apolonije iz Perge (262. - 190. god. prije Krista).Njegov rad sastoji se od osam tomova. Apolonije kao Menehmu uvia da se na jednom te istom konusu mogu kao presjek konusa i ravni dobiti sve tri krive. Elipsa je kriva koja se dobije presjekom konusa ravni koja nije paralelna osnovici ali presjeca sve izvodnice konusa. On takoer uvodi nazive za elipsu, hiperbolu i parabolu o emu e neto kasnije biti govora.(Porijeklo imena).Konikama,krivima se bavi jedan od posljednjih velikana antike matematike,Papo prijeklom iz Aleksandrije. Njegovo glavno djelo 2 je vano izmeu ostalog jer sadri navode i komentare rezultata svojih prethodnika. Papo je uveo pojmove fokusa i direktisa hiperbole. Papova dostignua kasnije koristi Ruer Bokovi3. Slika 1.

1 2

UNJOSJENICA ,naziv dolazi od grkog pridjeva , od "unj Colection 3 Zagovornik neeuklidske geometrije, geometrije s tri i vie prostornih i jednom vremenskom veliinom

4

Elipsa i njene konstrukcije1.2.Srednji vijekDa je za vrijeme srednjeg vijeka sve stagniralo te da je glavni ovjek , crkva sve drala pod svojim okriljem svjedoe brojne discipline,koje u srednjem vijeku blago reeno zamiru.Takav je sluaj openito gledano i sa matematikom.Do ponovnog buenja dolazi krajem 14.-og stoljea,zahvaljujui brojnim misliocima, matematiarima..itd, od kojih neki zavravaju tragino(spaljivanje na lomai).

1.3.Ponovno buenje(15.st.)Da je renesansa preporod u punom smislu te rijei,teSlika 2.

da u centar svog interesovanja stavlja antike postulate svjedoi 15. st.Petnaestim stoljeem aktuelizira se ve ranije zapoeta pria o konikama,krivim. Autor prvog originalnog djela4 o konikama je Johannes Werner.Djelo se bavi problemima ve obraivanim od strane grkih pisaca. U ii Wernerovog interesovanja nala se samo parabola i hiperbola. Razlog tome je njegovo zanimanje za udvostruavanje kocke,

Slika 2.

pri emu elipsa nije imala znaaja. Da je oblast konika znaajna , primjenjivana i u drugim oblastima,naposlijetku i u svakodnevnom ivotu govore brojna dostignua do kojih e doi neto kasnije(npr. u astronomiji, fizici,umjetnosti). Razvojem astronomije konike dobivaju na vanosti.Kepler prvi dolazi do spoznaje da se nebeska tijela kreu oko sunca po eliptinim putanjama,ali Nicholas Copernicus ostaje pri uvjerenju da je krunica glavna kada se govori o kretanju nebeskih tijela.Meutim, danas je ope prihvaena injenica da se planete oko sunca kreu po elipsama,o emu govori i prvi Keplerov zakon 5 . On u okviru svoje knjige 6 ,konikama posveuje jedno poglavlje (peto). Kepler razlikuje pet vrsta konika: krunicu, elipsu,parabolu, hiperbolu i pravu. Tvrdi da se jedna kriva moe dobiti iz druge neprekidnim mjenjanjem. Prava i parabola su dva ekstremna oblika hiperbole, a parabola i krug su dva ekstremna oblika krunice(slika 2.). Kepler je prvi uveo naziv fokus za znaajne take na osi konike. U umjetnosti prouavanjem raznih optikih problema su konike dobile jo vie na vanosti.Zaetnikom modernog tumaenja krivih smatra se Rene Decartes.Rene u svom djelu7,objavljenom 1637 godine ,dolazi do zakljuka da su krive geometrijsko mjesto taaka kojima koordinate zadovoljavaju odreenu jednainu.Sa Reneom se ne slae Dubrovanin Ruer Bokovi .Bokovi svoje tumaenje krivih iznosi u djelu Sectionum conicarum elementa izdatom 1754 godine u Rimu.4 5

Libellus super viginti duobus elementis conicis Planete se oko Sunca kreu po eliptinim putanjama; u zajednikom aritu tih elipsa nalazi se sunce. 6 Astronomiae pars Optica 7 La Gomtrie

5

Elipsa i njene konstrukcijeDanas,u matematici, elipsa,parabola,hiperbola,krunica nazivaju se krivim drugog reda , jer su u koordinatnoj ravni zadane jednainama drugog stepena. Ax2 +By2 + C xy + Dx + Ey +F =0 ( za A2 + B 2 +C 2 0 )

2.Definicija elipse Elipsa je kriva koju moemo shvatiti kao odreeno poopenje krunice,tj. kao krivu koja nastaje odreenom deformacijom krunice u smislu da se sredite kruniceraspolovi na dvije razliite take i uzrokuje preoblikovanje krunice u novu zatvorenu krivu.

Elipsa je skup svih taaka T ravni M za koje vrijedi da je apsolutna vrijednost zbira udaljenosti od taaka F1 i F2 stalna i iznosi 2a(a-velika poluosa), odnosno .

2.1.Kanonski(segmentni) oblik jednaineDa bi se odredila jednaina elipse treba vrijediti da ona zadovoljava sve take koje se nalaze na njoj, a to zavisi od poloaja elipse u koordinatnom sistemu. Najjednostavnija je jednaina elipse sa sreditem u ishoditu koordinatnog sistema i osama koje pripadaju koordinatnim osama. Tjemena te elipse nalaze se u takama A(-a,0), B(a,0), C(0,-b)i D(0,b), a arita(fokusi) su u takama Navedena jednaina ima oblik: , i naziva se osna jednaina elipse. .

Podijelimo li lijevu i desnu stranu osne jednaine s oblik jednaine elipse: 6

dobivamo kanonski(segmentni)

Elipsa i njene konstrukcije.

3.BITNE TAKE ELIPSE(slika 3.)

Slika 3.

Take F1 i F2 su fokusi (ie) elipse. Udaljenost take T do taaka F1 i F2 oznaava se s r1 i r2 : r1= |F1T| i r2 =|F2 T| . Prava koja prolazi takama F1 i F2 i sijee elipsu u takama A i B je glavna osa elipse zovemo velike poluose elipse. je velika osa elipse i njena duina iznosi .

Polovite O duine F1F2 je sredite (centar) elipse. Prava koja prolazi sreditem O elipse i okomita je na glavnu osu zove se sporedna osa elipse. su male poluose. je mala osa elipse ija duina je .

Broj e je linearni ekscentricitet, oznaava polovicu udaljenosti izmeu

fokusa 2e=| F1F2| .

i iznosi

, udaljenost izmeu arita jednaka je:

Take A, B, C i D u kojima glavna i sporedna osa sijeku elipsu su vrhovi ili tjemena elipse.

4.JEDNAINA ELIPSE7

Elipsa i njene konstrukcijeJednainu elipse moemo dokazati na vie naina ,u naem sluaju zadovoljit emo se sa dva. Tvrdnja 1: Ako su zadane dvije razliite take F1 i F2 realan broj a jednainu: . Tvrdnja 2: Prema definiciji elipse (Elipsa je skup svih taaka T ravni za koje vrijedi r1+ r2=2a),tako da zadovoljavaju jednainu navedenu u tvrdnji 1. 4.1.Dokaimo prvu tvrdnju Ako su,dakle,zadane dvije razliite take F1 i F2 i realan broj a,takav da je Slika 4a. tada one zadovoljavaju iN

(1)Onda se take T date ravni,za koje vrijedi da je zbir udaljenosti take T od zadanih taaka F1 i F2 jednaka broju 2a,tj. za koje vrijedi jednaina:

(2)ine krivu koja se zove elipsa.Take F1 i F2 zovu se arita (fokusi) elipse,broj e linearni eksentricitet elipse,broj a velika velika poluosa elipse,a polovite O duine F1F2 zove se sredite(centar) elipse. Ako je F1= F2 =O onda je | F1T | = | TF2 |=|TO|=a i rije je ,naravno,o krunici sa sreditem u taki O i prenikom a. Da bi smo izveli jednaninu elipse,postavit emo pravougli koordinatni sistem tako da mu ishodite bude u centru O elipse i da apcisina osa bude prava F1F2.Ovaj uvjet izraavamo analitikim putem (2),uzimajui u obzir da su fokusi zadani njihovim koordinatama F1 (0,-e) i F2(0,e),te da je T(x,y) varijabla taaka na elipsi. Koristei se poznatom formulom za udaljenost dviju taaka zadanih njihovim koordinatama u pravouglom koordinatnom sistemu,jednaina (2) zapisuje se u obliku: 8

(3)

Elipsa i njene konstrukcijeodnosno u oblik:

(4)Kvadriranjem jednaine(4) dobije se:

(5)

Odnosno nakon sreivanja:

(6)Jednainu (6) emo takoer kvadrirati,pa izraziti:

Odnosno,nakon sreivanja:

(7)

Budui da je a>e,to je

, pa uvodimo oznaku

.Iz slike 4a. vidimo

veliinu b(0