10.1 Elipsa

X Zadatak 9: Dva tjemena elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 i njezina dva zaristavrhovi su kvadrata povrsine 16. Kako glasi jednadzba elipse?

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Dakle jedino tocke T2 i T4 mogu sfokusima elipse ciniti kvadrat. Kako je povrsina kvadrata dana mozemo odreditivelicinu stranice tog kvadrata, odnosno duljine duzina

∣∣F1T2∣∣, ∣∣F1T4∣∣, ∣∣F2T1∣∣ i∣∣F2T3∣∣. Oznacimo duljinu stranice kvadrata s k, tada vrijedi:P = k2

16 = k2 /√

4 = kDakle duljina stranice kvadrata jednaka je 4. Nadalje prisjetimo se da za svakutocku T koja je nalazi na elipsi mora vrijediti∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2apri cemu je a velicina velike poluosi elipse. Iz skice mozemo zakljuciti da moravrijediti ∣∣F1T2∣∣+ ∣∣F2T2∣∣ = 2aNo kako su F1T2 i F2T2 duljine stranica kvadrata dalje slijedi:

4 + 4 = 2a

1

8 = 2a

Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:

8 = 2a / · 12

8 · 12 = 2a ·12

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:4�81 ·

1�21

=1�2a1 ·

1�21

41 =

a

14 = a

Dakle duljina velike poluosi iznosi 4. Nadalje promatrajuci sliku moramo za-kljuciti da je duljina dijagonale kvadrata zapravo jednaka dvostrukoj malo polu-osi, odnosno da vrijedi: ∣∣T2T4∣∣ = 2bPrisjetimo se da duljinu dijagonale d kvadrata cija je stranica jednaka k racu-namo prema izrazu d = k

√2. Dakle slijedi:

4√

2 = 2b

Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:

4√

2 = 2b / · 12

4√

2 · 12 = 2b ·12

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

2�4√

21 ·

1�21

=1�2b1 ·

1�21

2√

21 =

b

12√

2 = b

Dakle duljina male poluosi iznosi 2√

2. Preostaje jos samo odrediti jednadzbuelipse, slijedi:

b2x2 + a2y2 = a2b2(2√

2)2

x2 + 42y2 = 42 ·(

2√

2)2

2

22 ·(√

2)2

x2 + 16y2 = 16 · 22 ·(√

2)2

4 · 2 · x2 + 16y2 = 16 · 4 · 2

8x2 + 16y2 = 128

Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je jednadzbom:

E ... 8x2 + 16y2 = 128

Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 10: Zarista elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 i jedno njezino tjeme vrhovisu jednakostranicnog trokuta povrsine 9

√3. Odredi jednadzbu elipse.

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Dakle jedino tocke T2 i T4 mogus fokusima elipse ciniti trokut. Kako je povrsina jednakostranicnog trokutadana mozemo odrediti velicinu stranice tog trokuta, odnosno duljine duzina

3

∣∣F1T2∣∣, ∣∣F2T2∣∣ i ∣∣F1F2∣∣. Oznacimo duljinu stranice jednakostranicnog trokutas k. Prisjetimo se da izraz za povrsinu jednakostranicnog trokuta ima oblik

P4 =a2√

34 pri cemu je a duljina stranice jednakostanicnog trokuta. Dakle

vrijedi:

P4 =k2√

34

9√

3 = k2√34

Pomnozimo cijelu jednakost s 4√3, slijedi:

9√

3 = k2√34 / ·

4√3

9√

3 · 4√3

= k2√34 ·

4√3

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

91��√

31 ·

4��√

31= k

21��√

31�4

· �41

��√

31

9 · 41 =

k2

136 = k2 /√

6 = k

Dakle duljina stranice jednakostranicnog trokuta jednaka je 6. Nadalje prisje-timo se da za svaku tocku T koja je nalazi na elipsi mora vrijediti∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2apri cemu je a velicina velike poluosi elipse. Iz skice mozemo zakljuciti da moravrijediti ∣∣F1T2∣∣+ ∣∣F2T2∣∣ = 2aNo kako su F1T2 i F2T2 duljine stranica kvadrata dalje slijedi:

6 + 6 = 2a

12 = 2a

Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:

12 = 2a / · 12

4

12 · 12 = 2a ·12

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

6��121 ·

1�21

=1�2a1 ·

1�21

61 =

a

16 = a

Dakle duljina velike poluosi iznosi 6. Nadalje promatrajuci sliku moramo za-kljuciti da je duljina duzine F1F2 zapravo jednaka dvostrukom linearnom eks-centricitetu, odnosno da vrijedi: ∣∣F1F2∣∣ = 2eNaime prisjetimo se da su koordinate zarista elipe upravo jednaka F1 (−e, 0) iF2 (e, 0). Racunamo dalje:

6 = 2e

Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:

6 = 2e / · 12

6 · 12 = 2e ·12

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

3�61 ·

1�21

=1�2e1 ·

1�21

31 =

e

13 = e

Dakle linerani eksentricitet iznosi 3. Nadalje prisjetimo se da su mala poluos,velika poluos te linerani ekscentricitet elipse medjusobno povezani izrazoma2 − b2 = e2. Slijedi:

a︸︷︷︸6

2 − b2 = e︸︷︷︸3

2

62 − b2 = 32

36− b2 = 9

36− 9 = b2

27 = b2 /√

5

√27 = b

Djelomicno korijenujemo lijevu stranu jednakosti, slijedi:

3√

3 = b

Dakle duljina male poluosi iznosi 2√

2. Preostaje jos samo odrediti jednadzbuelipse, slijedi:

b2x2 + a2y2 = a2b2(3√

3)2

x2 + 62y2 = 62 ·(

3√

3)2

32 ·(√

3)2

x2 + 36y2 = 36 · 32 ·(√

3)2

9 · 3 · x2 + 36y2 = 36 · 9 · 3

27x2 + 36y2 = 972

Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je jednadzbom:

E ... 27x2 + 36y2 = 972

Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 11: Tjemena elipse su vrhovi romba cija je povrsina 30 kv, jed.Zbroj duljina dijagonala romba jednak je 16. Kako glasi jednadzba elipse?

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

6

Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Nadalje uocimo da su dijagonale rombana slici jednake dvostrukoj maloj odnosno velikoj poluosi. Dakle neka vrijedi:

e = 2a

f = 2bPrisjetimo se da su e i f standardne oznake za dijagonale kod cetverokuta.Nadalje prisjetim se da se povrsina romba kojem su poznate velicine dijago-nala racuna prema izrazu P = e · f2 . Prema podacima iz zadatka dolazimo dosljedeceg sustava jednadzbi: {

30 = e · f2e + f = 16

Imajuci na umu da vrijedi e = 2a i f = 2b slijedi:30 =

2a︷︸︸︷e ·

2b︷︸︸︷f

2e︸︷︷︸2a

+ f︸︷︷︸2b

= 16

{30 = 2a · 2b22a + 2b = 16

Izlucimo broj 2 na lijevoj strani druge jednadzbe, slijedi:{30 = 4a · b22 (a + b) = 16

Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, dok drugu pomnozimo s 12 ,slijedi:

30 =2�4a · b�21

2 (a + b) = 16 / · 12{30 = 2a · b2 (a + b) · 12 = 16 ·

12

Pomnozimo prvu jednadzbu s 12 , a u drugoj pokratimo sto se pokratiti dade,slijedi:

30 = 2a · b / · 121�2 (a + b)

1 ·1�21

=8��161 ·

1�21

7

30 · 12 = 2a · b ·

12

a + b1 =

81

Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, slijedi:15��30

1 ·1�21

=1�2a · b

1 ·1�21

a + b = 8{ 151 =

a · b1

a + b = 8{15 = a · ba + b = 8

Iz druge jednadzbe izrazimo a pomocu b, slijedi:{15 = a · ba + b = 8 ⇒ a = 8− b

Dobiveni izraz za a uvrstavamo u prvu jednadzbu, slijedi:

15 =8−b︷︸︸︷a ·b

15 = (8− b) · b

15 = 8b− b2

Sve clanove sume s desne strane jednakosti prebacimo na lijevu stranu, slijedi:

b2 − 8b + 15 = 0

Time smo dobili kvadratnu jednadzbu koju rjesavamu prema izrazu za rjesenjakvadratne jednadzbe:

p-osb1,p-os b2 =

−b±√

b2 − 4ac2a

Napomena: Ovdje smo pisali p-osb1 i p-osb2 kako bi naglasili da se govori onepoznanici iz kvadratne jednadzbe koja predstavlja velicinu male poluosielipse za razliku od b koji u izrazu za rjesenja kvadratne jednadzbe pred-stavlja linearni koeficijent. Kasnije kada nece moci doci do zabune opetcemo pisati samo b za oznaku male poluosi.

8

Ovdje je potrebno primjetiti razliku izmedju nepoznanice b u dobivenoj kvadrat-noj jednadzbi, te koeficijenta ispred linearnog clana kvadratne jednadzbe kojegstandardno oznacavamo isto s b. Dakle koeficijenti dobivene kvadratne jed-nadzbe su:

a = 1

b = −8

c = 15

Racunam:

p-osb1,p-os b2 =

− (−8)±√

(−8)2 − 4 · 1 · 152 · 1

p-osb1,p-os b2 =

8±√

64− 602

p-osb1,p-os b2 =

8±√

42

p-osb1,p-os b2 =

8± 22

Dakle jedno rjesenje jest dobivene kvadratne jednadzbe jest:

p-osb1 =8− 2

2

p-osb1 =62

Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:

p-osb1 =3�6�21

p-osb1 =31

p-osb1 = 3

To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:

a1 = 8−3︷︸︸︷b1

a1 = 8− 3

a1 = 5

Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje, slijedi:

b21x2 + a21y2 = a21b21

32x2 + 52y2 = 32 · 52

9

9x2 + 25y2 = 9 · 25

9x2 + 25y2 = 225

Pogledajmo sada i drugo rjesenje, slijedi:

p-osb2 =8 + 2

2

p-osb2 =102

Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:

p-osb2 =5��10�21

p-osb2 =51

p-osb2 = 5

To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:

a2 = 8−5︷︸︸︷b1

a2 = 8− 5

a2 = 3

Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje, slijedi:

b22x2 + a22y2 = a22b22

52x2 + 32y2 = 52 · 32

25x2 + 9y2 = 25 · 9

25x2 + 9y2 = 225

Dakle dvije elipse koje zadovoljavaju uvjete zadatka su dane jednadzbama:

E1 ... 9x2 + 25y2 = 225

E2 ... 25x2 + 9y2 = 225

Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 12: Tjemena elipse su vrhovi romba cija je povrsina 96 kv, jed.Razlika duljina dijagonala romba jednaka je 4. Kako glasi jednadzba elipse?

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

10

Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Nadalje uocimo da su dijagonale rombana slici jednake dvostrukoj maloj odnosno velikoj poluosi. Dakle neka vrijedi:

e = 2a

f = 2b

Prisjetimo se da su e i f standardne oznake za dijagonale kod cetverokuta.Nadalje prisjetim se da se povrsina romba kojem su poznate velicine dijago-nala racuna prema izrazu P = e · f2 . Prema podacima iz zadatka dolazimo dosljedeceg sustava jednadzbi: {

96 = e · f2e− f = 4

Imajuci na umu da vrijedi e = 2a i f = 2b slijedi:96 =

2a︷︸︸︷e ·

2b︷︸︸︷f

2e︸︷︷︸2a

− f︸︷︷︸2b

= 4

11

{96 = 2a · 2b22a− 2b = 4

Izlucimo broj 2 na lijevoj strani druge jednadzbe, slijedi:{96 = 4a · b22 (a− b) = 4

Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, dok drugu pomnozimo s 12 ,slijedi:

96 =2�4a · b�21

2 (a− b) = 4 / · 12{96 = 2a · b2 (a− b) · 12 = 4 ·

12

Pomnozimo prvu jednadzbu s 12 , a u drugoj pokratimo sto se pokratiti dade,slijedi:

96 = 2a · b / · 121�2 (a− b)

1 ·1�21

=2�41 ·

1�21

96 · 12 = 2a · b ·12

a− b1 =

21

Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, slijedi:48��96

1 ·1�21

=1�2a · b

1 ·1�21

a− b = 2{ 481 =

a · b1

a− b = 2{48 = a · ba− b = 2

Iz druge jednadzbe izrazimo a pomocu b, slijedi:{48 = a · ba− b = 2 ⇒ a = 2 + b

12

Dobiveni izraz za a uvrstavamo u prvu jednadzbu, slijedi:

48 =2+b︷︸︸︷a ·b

48 = (2 + b) · b

48 = 2b + b2

Sve clanove sume s lijeve strane jednakosti prebacimo na desnu stranu, slijedi:

b2 + 2b− 48 = 0

Time smo dobili kvadratnu jednadzbu koju rjesavamu prema izrazu za rjesenjakvadratne jednadzbe:

p-osb1,p-os b2 =

−b±√

b2 − 4ac2a

Napomena: Ovdje smo pisali p-osb1 i p-osb2 kako bi naglasili da se govori onepoznanici iz kvadratne jednadzbe koja predstavlja velicinu male poluosielipse za razliku od b koji u izrazu za rjesenja kvadratne jednadzbe pred-stavlja linearni koeficijent. Kasnije kada nece moci doci do zabune opetcemo pisati samo b za oznaku male poluosi.

Ovdje je potrebno primjetiti razliku izmedju nepoznanice b u dobivenoj kvadrat-noj jednadzbi, te koeficijenta ispred linearnog clana kvadratne jednadzbe kojegstandardno oznacavamo isto s b. Dakle koeficijenti dobivene kvadratne jed-nadzbe su:

a = 1

b = 2

c = −48

Racunam:p-osb1,

p-os b2 =−2±

√22 − 4 · 1 · (−48)

2 · 1

p-osb1,p-os b2 =

−2±√

4 + 1922

p-osb1,p-os b2 =

−2±√

1962

p-osb1,p-os b2 =

−2± 142

Dakle jedno rjesenje jest dobivene kvadratne jednadzbe jest:

p-osb1 =−2− 14

2

13

p-osb1 =−16

2Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:

p-osb1 =−8��−16�21

p-osb1 =−81

p-osb1 = −8

No to je nemoguce jer velicina male poluosi ne moze biti negativna. Pogledajmosada i drugo rjesenje, slijedi:

p-osb2 =−2 + 14

2

p-osb2 =122

Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:

p-osb2 =6��12�21

p-osb2 =61

p-osb2 = 6

To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:

a2 = 2 +6︷︸︸︷b2

a2 = 2 + 6

a2 = 8

Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje, slijedi:

b22x2 + a22y2 = a22b22

62x2 + 82y2 = 62 · 82

36x2 + 64y2 = 36 · 64

36x2 + 64y2 = 2304

Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je jednadzbom:

E ... 36x2 + 64y2 = 2304

Time je zadatak rijesen.

14

Y ] Z

X Zadatak 13: Napisi jednadzbu elipse opisane jednakostranicnom trokutu akosu dva vrha tog trokuta tocke A (−a, 0) i B (a, 0), koje su ujedno dva tjemenaelipse.

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

Primjetimo da bi elipsa zadovoljavala uvjete zadatka ona mora biti rodiranaza 90◦ oko ishodista, odnosno mala i velika poluos moraju zamijeniti uloge,odnosno mala poluos ce u ovom slucaju zapravo biti veca od velike poluosi.Nadalje sa slike mozemo uociti da je "velika poluos" zapravo jednaka upravo a,dok velicinu "male poluosi" b mozemo odrediti iz cinjenice da je ona zapravovisina jednakostranicnog trokuta kojem elipsu opisujemo. Nadalje uocimo da jeduljina stranice jednakostranicnog trokuta na slici zapravo jednaka 2a.Nadalje prisjetimo se da duljinu visine jednakostranicnog trokuta racunamo

prema izrazu v = a√

32 , pri cemu je a duljina stranice jednakostranicnog trokuta.

Dakle mora vrijediti:

b = 2a√

32

pri cemu je a velicina "velike poluosi". Sredimo dobiveni izraz tako da pokratimosto se pokratiti moze, slijedi:

b =1�2a√

3�21

b = a√

31

15

b = a√

3Dakle duljina "male poluosi" iznosi a

√3. Preostaje jos samo odrediti jednadzbu

elipse, slijedi:b2x2 + a2y2 = a2b2(

a√

3)2

x2 + a2y2 = a2 ·(

a√

3)2

a2 ·(√

3)2

x2 + a2y2 = a2 · a2 ·(√

3)2

3a2 · x2 + a2y2 = a2 · a2 · 3Pomnozimo potencije istih baza na desnoj strani jendakosti prema izrazu zamnozenje potencija istih baza, odnosno prema izrazu an · am = am+n, slijedi:

3a2x2 + a2y2 = 3a4

Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je jednadzbom:

E ... 3a2x2 + a2y2 = 3a4

Time je zadatak rijesen.

Napomena: Krajnju jednadzbu mozemo jos podijeliti s a2.

Y ] Z

X Zadatak 14: Koliki je numericki ekscentricitet elipse ako je linearni ekscen-tricitet aritmeticka sredina duljina velike i male poluosi?

Rjesenje: Dakle vrijedi:

e = a + b2Nas zadatak je odrediti numericki ekscentricitet ε kojega racunamo preko izraza

ε = ea

Prisjetimo se da za elipsu opcenito vrijedi izraz e2 = a2−b2 gdje su a i b velicinevelike i male poluosi. No to znaci da je dan sljedeci sustav jednadzbi: e =

a + b2

e2 = a2 − b2

Desnu stranu druge jednadzbe prepoznajem kao razliku kvadrata koju raspisu-jemo prema izrazu x2 − y2 = (x + y) (x− y), slijedi: e =

a + b2

e2 = (a + b) (a− b)

16

Nadalje u drugu jednazbu uvrstimo izraz za e koji je dan u prvoj jednadzbi,slijedi:

a+b2︷︸︸︷e 2 = (a + b) (a− b)(

a + b2

)2= (a + b) (a− b)

Lijevu stranu jednakosti raspisujemo prema izrazu za dijeljenje potencija istiheksponenata, odnosno prema izrazu a

n

bn=(a

b

)n, slijedi:

(a + b)2

22 = (a + b) (a− b)

(a + b)2

4 = (a + b) (a− b)

Pomnozimo cijelu jednakost s 1a + b , slijedi:

(a + b)2

4 = (a + b) (a− b) / ·1

a + b

(a + b)2

4 ·1

a + b = (a + b) (a− b) ·1

a + bPokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

a+b����(a + b)2

4 ·1

���a + b1=

1��

��(a + b) (a− b)1 ·

1���a + b1

a + b4 =

a− b1

a + b4 = a− b

Pomnozimo cijelu jednakost s 4, slijedi:

a + b4 = a− b / · 4

a + b4 · 4 = (a− b) · 4

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

a + b1�4· �4

1

1 = 4a− 4b

a + b1 = 4a− 4b

17

a + b = 4a− 4b

Prebacimo a s lijeve na desnu stranu jednakosti, a −4b s desne na lijevu stranujednakosti, slijedi:

b + 4b = 4a− a

5b = 3a

Pomnizimo cijelu jednakost s 15 , slijedi:

5b = 3a / · 15

5b · 15 = 3a ·15

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

1�5b1 ·

1�51

= 3a1 ·15

b

1 =3a5

b = 3a5Sada mozemo linearni ekscentricitet izraziti pomocu velike poluosi a, slijedi:

e = a +

3a5︷︸︸︷b

2

e =a + 3a5

2Svedemo razlomke u brojniku glavnog razlomka na zajednicki nazivnik 5, slijedi:

e =

5a + 3a52

e =

8a52

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

e =

4�8a5�211

18

e =

4a511

e = 4a5Preostaje jos samo odrediti numericki ekscentricitet, slijedi:

ε =

4a5︷︸︸︷e

a

ε =

4a5a

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

ε =

41�a5�a11

ε =

4511

ε = 45Dakle numericki ekscentricitet elipse koja zadovoljava uvjete zadatka iznosiε = 45 . Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 15: Napisi jednadzbu elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 ako je njezin num-ericki ekscentricitet ε = e

ajednak 12 , a elipsa prolazi tockom T (2, 3).

Rjesenje: Krenimo od cinjenice da vrijedi:

ε = 12ε = e

a

⇒ 12 = eaDobivenu jednakost pomnozimo s a, slijedi:

12 =

e

a/ · a

19

12 · a =

e

a· a

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

12 ·

a

1 =e

1�a· �a

1

1a

2 =e

1a

2 = e

Nadalje prisjetiom se da za elipsu vrijedi jednakost e2 = a2 − b2 pri cmu je avelika poluos, b mala poluos te e linearni ekscentricitet elipse. Imajuci na umuda vrijedi e = a2 , slijedi:

a2︷︸︸︷e 2 = a2 − b2(a2

)2= a2 − b2

Raspisemo lijevu stranu jednakosti prema izrazu za dijeljenje potencija istiheksponenata, odnosno prema a

n

bn=(a

b

)n, slijedi:

a2

4 = a2 − b2

Pomnozimo cijelu jednakost s 4, slijedi:

a2

4 = a2 − b2 / · 4

a2

4 · 4 = a2 · 4− b2 · 4

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

a2

1�4· �4

1

1 = 4a2 − 4b2

a2

1 = 4a2 − 4b2

a2 = 4a2 − 4b2

Prebacimo a2 s lijeve na desnu stranu jednakosti, a 4b2 s desne na lijevu stranujednakosti, slijedi:

4b2 = 4a2 − a2

4b2 = 3a2

20

Pomnozimo cijelu jednakost s 14 , slijedi:

4b2 = 3a2 / · 14

4b2 · 14 = 3a2 · 14

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:2�4b2

1 ·1�41

= 3a2

·14

b2

1 =3a2

4

b2 = 3a2

4Nadalje prisjetimo se da svaka tocka elipse mora zadovoljavati jednadzbu elipseb2x2 +a2y2 = a2b2. Kako je tocka T (2, 3) nalazi na elipsi ciju jednadzbu trazimmora vrijediti:

b22︷︸︸︷x 2 + a2

3︷︸︸︷y 2 = a2b2

b2 · 22 + a2 · 32 = a2b2

4b2 + 9a2 = a2b2

Nadalje primjenimo cinjenicu da vrijedi b2 = 3a2

4 , slijedi:

4

3a24︷︸︸︷b2 +9a2 = a2

3a24︷︸︸︷b2

4 · 3a2

4 + 9a2 = a2 · 3a

2

4

Pomnozimo cijelu jednakost s 43 , slijedi:

4 · 3a2

4 + 9a2 = a2 · 3a

2

4 / ·43

4 · 3a2

4 ·43 + 9a

2 · 43 = a2 · 3a

2

4 ·43

Pokratimo sto se pokatiti dade, slijedi:

4 ·1�3a2

1�4· �4

1

�31+

3�9a2

1 ·4�31

= a2 ·1�3a2

1�4· �4

1

�31

4 · a2

1 +12a2

1 = a2 · a

2

1

21

4a2 + 12a2 = a4

Pomnozimo potencije na desnoj strani jednakosti prema izrazu za mnozenjepotenicija istih baza odnosno prema an · am = am+n, slijedi:

16a2 = a4

Prebacimo 16a2 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:

0 = a4 − 16a2

Izlucimo a2 iz oba clana na desnoj strani jednakosti, slijedi:

0 = a2(a2 − 16

)Ako je umnozak dva broja jednak nuli tada jedan od tih brojeva mora biti jednaknuli, odnosno mora vrijediti:

a2 = 0 ili a2 − 16 = 0

Prebacimo 16 s lijeve na desnu stranu u drugoj jednadzbi, slijedi:

a2 = 0 ili a2 = 16

No a2 ne moze biti jednako 0 jer se u tom slucaju nebi radilo o elipsi, pa jesamim time a2 = 16 jedino moguce rjesenje. Odredimo koliko iznosi b2 iz izraza

b2 = 3a2

4 , slijedi:

b2 = 316︷︸︸︷a2

4

b2 = 3 · 164Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

b2 = 3 ·��164

1�4

b2 = 121b2 = 12

Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse, slijedi:

b2x2 + a2y2 = a2b2

12︷︸︸︷b2 x2 +

16︷︸︸︷a2 y2 =

16︷︸︸︷a2 ·

12︷︸︸︷b2

12x2 + 16y2 = 16 · 12

22

12x2 + 16y2 = 192Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je jednadzbom:

E ... 12x2 + 16y2 = 192

Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 16: Stranica kvadrata upisanog elipsi prolazi njezinim zaristem.Koliki je numericki ekscentricitet elipse?

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

Kako je numericki ekscentricitet elipse dan izrazom ε = ea, pri cemu je e linearni

ekscentricitet te a velicina velike poluosi, najbolje bi bilo pokusati izraziti apomocu e ili e pomocu a. Promatarjuci danu sliku mozemo doci do zakljuckada cemo vrlo vjerojatno lakse prikazati a pomocu e.Nadalje prisjetimo se da za svaku tocku T koja lezi na elipsi mora vrijediti:∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2aPromotrimo li sliku uvidjamo da vrijedi:∣∣F1T ∣∣ = d i ∣∣F2T ∣∣ = eDakle jednakost prelazi u oblik:

d︷ ︸︸ ︷∣∣F1T ∣∣+e︷ ︸︸ ︷∣∣F2T ∣∣ = 2a

23

d + e = 2a

No iz pravokutnog trokuta 4F1F2T zakljucujemo da preko Pitagorinog pouckamora vrijediti: ∣∣F1T ∣∣2 = ∣∣F1F2∣∣2 + ∣∣F2T ∣∣2

d︷ ︸︸ ︷∣∣F1T ∣∣ 2 =2e︷ ︸︸ ︷∣∣F1F2∣∣ 2 +

e︷ ︸︸ ︷∣∣F2T ∣∣ 2d2 = (2e)2 + e2

Raspisemo prvi clan sume na desnoj strani nejednakosti prema izrazu za mnozenjepotencija istih eksponenata ondnosno prema an · bn = (a · b)2, slijedi:

d2 = 22e2 + e2

d2 = 4e2 + e2

d2 = 5e2

Korijenujemo cijelu jednakost, slijedi:

d2 = 5e2 /√

d =√

5a2

Desnu stranu jednakosti raspisemo prema pravilu za mnozenje korijena istihstupnjeva, odnosno prema n

√a · n√

b = n√

a · b, slijedi:

d =√

5 ·√

a2

d =√

5e

Vratimo se na jednakost d + e = 2a, slijedi:√

5e︷︸︸︷d +e = 2a√

5e + e = 2a

Izlucimo e iz clanova sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

e(√

5 + 1)

= 2a

Pomnizimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:

e(√

5 + 1)

= 2a / · 12

e(√

5 + 1)· 12 = 2a · 12

24

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

e(√

5 + 1)

1 · 12 =1�2a1 ·

1�21

e(√

5 + 1)

2 =a

1e(√

5 + 1)

2 = a

Dakle vrijedi a =e(√

5 + 1)

2 . Preostaje jos samo odrediti numericki ekscen-tricitet, racunamo:

ε = ea︸︷︷︸

e(√5+1)2

ε = ee(√

5 + 1)

2Rijesimo se dvojnog razlomka prema pravilu vanjski s vanjskim, unutarnji sunutarnjim, slijedi:

ε =

e

1e(√

5 + 1)

2

)

ε = 2ee(√

5 + 1)

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

ε =1�2e

1�e(√

5 + 1)

ε = 2√5 + 1

Dakle numericki ekscentricitet elipse opisane u zadatku jest ε = 2√5 + 1

. Timeje zadatak rijesen.

Y ] Z

X Zadatak 17: Zarista elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su pravokutnogtrokuta kojem je povrsina jednaka 18. Odredi jednadzbu elipse.

Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:

25

26