ElementarneElementarne funkcijefunkcije

Ponovimo:Ponovimo:• Svaka strogo monotona funkcija

je injekcija.

• Za svaku funkciju f : A , suženje f : A f(A) je surjekcija.

• Ako je f : A strogo monotona na nekom intervalu I A, onda je suženje f : I f(I) bijekcija.

Ako je f : A B bijekcija onda vrijedi:

• Postoji funkcija g : B A tako da vrijedi g f = iA i f g = iB .

Funkcija g : B A je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f.

• Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

Osnovne elementarne Osnovne elementarne funkcije:funkcije:

i) Konstantna funkcijaii) Opća potencijaiii) Eksponencijalna funkcijaiv) Logaritamska funkcijav) Trigonometrijske funkcijevi) Ciklometrijske funkcije

Konstantna funkcijaKonstantna funkcija

f: f() = {c}

c

x

y

f(x) = c, c

y = c

Opća potencijaOpća potencijaf(x) = xr, r \ {0}

Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x 0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.

Razlikujemo slučajeve:1. r = n 2. r = -n \ 3. r = m/n \ 4. r \

Potencije s prirodnim eksponentom

x

yy = x

y = x2

y = x3

f : , f() = za n neparan, f() = [0, ) za n paran

f(x) = xn, n

Potencije s cijelobrojnim eksponentomoblika f(x) = x-n, n

x

y

y= 1/xy= 1/x2

y= 1/x3

Budući je x-n = , onda je f: \ {0} i vrijedi: f( \ {0}) = \ {0}, za n neparan,

f( \ {0}) = (0,), za n paran.

nx1

Potencije s racionalnim eksponentomoblika f(x) = x1/n, n \

{1}.

Budući je x1/n = onda je: f : i f() = za n neparan, f: [0, ) i f([0, )) = [0, ) za n paran.

n x

Nadalje, vrijedi:za svaki x D(f) je (x 1/n )n = ( )n = x, te za svaki y f(D(f) ) je (yn )1/n = = y.

n xn ny

Primjeri:1. n = 2

f(x) = x1/2

f: [0, )

f( [0, ) ) = [0, )

Neka je funkcija g1 : [0, ) [0, ) suženjefunkcije g(x) = x2.

Funkcja g1 je bijekcija.Definirajmo funkciju f1: [0, ) [0, ) tako da je f1(x) = x1/2.

Za svaki x [0, ) vrijedif1(g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x,

te za svaki y [0, ) vrijedi g1(f1 (y)) = (y1/2)2 = y.

x

yy=x

y=x1/2

y=x2

Dakle, f1 = g1-1

Uočimo:Suženje g2 : (-,0] [0, )

funkcije g(x) = x2 je bijekcija.Definirajmo funkciju f2: [0, ) (-,0] tako da je f2(x) =-x1/2

.

Za svaki x (-,0] vrijedif2 (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x, te za svaki y [0, ) vrijedi g2(f2 (y)) = (-y1/2)2 = y.

f(x) = -x1/2

f: [0, ) f( [0, ) ) = (-,0]

x

y y=x

y=-x1/2

y=x2

Dakle, f2 = g2-1

2. n=3

Ako je f: tako da je f(x) = x1/3 onda za svaki x vrijedi f (g(x)) = (x3 )1/3 = x, te za svaki y vrijedi g(f (y)) = (y1/3)3 = y.

f(x) = x1/3

f: f() =

y=x1/3

y=x3

y=x

x

y

Promatrajmo funkciju

g(x) = x3 .

Funkcija g: je bijekcija.

Dakle, f = g-1

Potencije s racionalnim eksponentom

• n neparan i m > 0, onda je D(f) = ,• n neparan i m < 0, onda je D(f) = \ {0}, • n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ),• n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).

oblika f(x) = xm/n, m/n \ .

Uz pretpostavku m , n , te M(m,n) = 1 razlikujemo slučajeve:

Napomena: xm/n := n mx

Primjeri:

f1(x) = x2/3, D(f1) = ,

f1() = [0,). f2(x) = x-2/3, D(f2) = \ {0},

f2( \ {0} ) = (0,).

f3(x) = x3/2, D(f3) = [0,),

f3([0,)) = [0,). f4(x) = x-3/2, D(f4)= (0,),

f4((0,)) = (0,).

y = x 2/3

y = x-2/3

x

y

x

y

y= x-3/2 y = x3/2

Graf od f1(x) = x2/3 se naziva “galeb”.

• za r > 0 je D(f) = [0,),• za r < 0 je D(f) = (0,).

Potencije s realnim eksponentomoblika f(x) = xr, r \ .

Vrijedi:

x

y

r = 3

r = 2r = - 2

Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet

opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f–1 (y) = y1/r , “kad god ti izrazi imaju smisla”.

x

yy = x

y = xr

y = x1/r

Eksponencijalna funkcija

f(x) = ax, a > 0 i a 1,f: ,

f() = (0, ).

1 < a 0 < a < 1

x

y

x

y

y = ax

y = ax

Funkcija f(x) = ax , f: je strogo monotona i f() = (0, ). Dakle, suženje f1 : (0, ) je bijekcija.

Definirajmo funkciju: g loga : (0, ) , tako da vrijedi:

g(f1(x)) = loga (ax) = x, za svaki x ,f1(g(y)) = a log

a (y) = y, za svaki y (0, ).

a > 1 0 < a < 1

x

yy = ax

y = logax

y = x y = x

y = logax

y = ax

x

y

Dakle, f1-1 = g.

Logaritamska funkcija

f(x) = logax, a > 0 i a 1,f: (0, ) .

f ((0, )) = .

1 < a 0 < a < 1

x

y

x

y

y = logax

y = logax

U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadskadekadska i s bazom e – prirodnaprirodna, gdje je e 2.71828... transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ilidekadski ili BriggsovBriggsov logaritamlogaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritamprirodni logaritam. Definiramo:

log10x := log x i logex := ln x .

Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)

Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije

• sinus• kosinus • tangens• kotangens

Trigonometrijske funkcije su:

Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu

0

x

O O’T T’

T

T’

O’ x1

1

Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu

0 T S

T’ = S’

x x+2π

1

1

O’

O O’T T’S S’

Uočimo: sve točke oblika x+2k , k , se namatanjem preslikaju u istu točku.

Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica

x

cosx

sinx (cosx,sinx)

1

1

pT

T

Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije

f(x) = sinx,

f: f() = [-1,1]

f(x) = cosx,

f: f() = [-1,1]

sinus kosinus

-1

1

2-

1

-1

/22

-/2x

y

x

y

tangenstangens

- /2

2-/2 x

y

3π/2-3π/2

y = tgx

Definiramo:

tg x := xcosxsin

f(x) = tg x, f: A , f(A) = , gdje je A = D(f) = \ { x | cos (x) = 0},

tj. A = \ { x | x = + kπ, k }.2π

f(x) = ctg x, f: A , f(A) = , gdje je A = D(f) = \ { x | sin (x) = 0},

tj. A = \ { x | x = kπ, k }.

kotangekotangensns

- /2

2-/2 x

y

3π/2-3π/2

y = ctgx

Definiramo:

ctg x := xsinxcos

Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica

Os kotangensa

Os tangensa

ctgx

tgx

x

1

1

Uočimo: Za x = /2 os tangensa i pravac pT nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran!Slično za kotanges u x = 0.

pT

Svojstva trigonometrijskih funkcijaSvojstva trigonometrijskih funkcija

sinsin coscos tgtg ctgctgPodručjedefinicije Df

\ {π /2 + kπ, k } \ { kπ, k }

Slika f(Df) [-1,1] [-1,1]

Nul-točke x = kπ, k

x = π /2 + kπ,

k

x = kπ, k

x = π /2 + kπ,

k Parnost neparna parna neparna neparnaOsnovni period 2π 2π π π

Predznak po

kvadrantima I, II, III, IV

+,+,-,- +,-,-,+ +,-,+,- +,-,+,-

Neke važnije veze između Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcijatrigonometrijskih funkcija

sin2x + cos2 x = 1, sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin2x - cos2 x ,

sin2x = 1/2·(1 - cos2x), cos2x = 1/2·(1 + cos2x),

ctgx = 1/tgxtg2x = 2tgx/(1-tg2x), ctg2x = (ctg2x-1)/2ctgx

sin2x = tg2x/(tg2x+1), cos2x = ctg2x/(ctg2x+1).

Ciklometrijske ili arkus funkcijeCiklometrijske ili arkus funkcije

Ciklometrijske funkcije su :Ciklometrijske funkcije su :• arkus-sinus• arkus-kosinus• arkus-tangens• arkus-kotangens

Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.

Definirajmo: Arcsin: [-1,1] [- π /2, π /2] , tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x)

= x, y є [-1,1], Sin(Arcsin y) = y.

x

y

Neka je Sin: [-π/2, π /2] [-1,1] suženje funkcije sin. Dakle, za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x = Sin x. Funkcija Sin je bijekcija.

-/2 /2

y = x

Dakle, Sin-1 = Arcsin.

y = sinx

Neka je Cos: [0, π ] [-1,1] suženje funkcije cos. Dakle, za svaki x є [0, π], vrijedi cos x = Cos x. Funkcija Cos je bijekcija.

Definirajmo: Arccos: [-1,1] [0, π] ,tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) =

x, y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y. Dakle, Cos-1 = Arccos.

x

y

y = x

y = cosx

arcsin: [-1,1] ,arcsin x = Arcsin x,

arcsin([-1,1]) = [-π /2, π /2].

arcsinarcsin arccoarccoss

arccos: [-1,1] ,arccos x = Arccos x,arcos([-1,1]) = [0, π].

x

yπ /2

-π /2x

yπ

π /2

Vrijedi:

f1(x) = sin(arcsin x),f1:[-1,1] ,f1([-1,1]) = [-1,1],sin(arcsin x) = x.

f2(x) = arcsin(sin x),f2: ,

f2() = [-π /2, π /2].

Za x є [-π /2, π /2] jearcsin(sin x) = x.

y = sin(arcsin x)

y = arcsin(sin x)

x

y

π /2-π /2

-π /2

π /2x

y

Vrijedi:

f1(x) = cos(arccos x),f1:[-1,1] ,f1([-1,1]) = [-1,1],cos(arccos x) = x.f2(x) = arccos(cos x),f2: ,

f2() = [0, π].

Za x є [0, π] jearccos(cos x) = x.

y = cos(arccos x)

y = arccos(cos x)

x

y

π

π

x

y

Neka je Tg : (-π/2, π /2) suženje funkcije tg. Dakle, za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x = Tg x. Funkcija Tg je bijekcija.

Definirajmo: Arctg: (-π/2, π /2) ,tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) =

x, y є , Tg(Arctg y) = yDakle, Tg-1 = Arctg.

x

y

π /2-π /2

y = xπ /2

-π /2

y = tg x

Neka je Ctg : (0, π) suženje funkcije ctg. Dakle, za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x = Ctg x. Funkcija Ctg je bijekcija.

Definirajmo: Arcctg: (0, π) ,tako da vrijedi: x є (0, π ), Arcctg(Ctg x)

= x, y є , Ctg(Arcctg y) = y.Dakle, Ctg-1 = Arcctg.

x

y

π

π y = x

y = ctg x

arctg: , arctg x = Arctg x,

arctg () = (-π /2, π /2).

arctgarctg arcctarcctgg

arcctg: ,arcctg x = Arcctg x,arcctg () = (0, π).

x

yπ /2

-π /2x

yπ

Uočimo: Svako suženjeSink: [-/2 + k, /2 + k] [-1,1] , k є , funkcije sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju.

y = x

y = sinx

x

y

1

-1

-1 1

Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!

Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja.Primjer:

y = ctgx

x

yy = x

DefinicijaDefinicija::

Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

Osnovna podjela Osnovna podjela elementarnih funkcija:elementarnih funkcija:

1.1. PolinomiPolinomi2.2. Racionalne funkcijeRacionalne funkcije3.3. Algebarske funkcijeAlgebarske funkcije4.4. Transcendentne funkcijeTranscendentne funkcije

1. Polinomi1. Polinomi

Polinom n-tog stupnja, n {0}, je funkcija Pn : , Pn (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x +

a0, pri čemu su an, an-1, . . . , a1, a0 i an 0 za n .

Napomena: Ako je n = 0, onda je P0 (x) = a0 konstantna funkcija.

2. Racionalne funkcije2. Racionalne funkcije

Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.

Racionalna funkcija je funkcija oblika R(x) =gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom.

( )( )xQxP

mn

Dakle, R : X , gdje je

X = D(R) = \ { x | Qm(x) = 0}.

• Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojeva onda kažemo da je R = Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima.

• Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = Pn/Qm prava racionalna funkcijaprava racionalna funkcija, a ako je

m n onda kažemo da je neprava racionalna neprava racionalna funkcijafunkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao

R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x), gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog

stupnja, redom, tako da je k < m.

Primjeri:Primjeri:

je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija

f(x) = 475

x2x41x3x2

πx1x3x2

423

g(x) = to nije.

1.1.

2.2. f1(x) = xx41x3x2

43

je prava racionalna

funkcija.f2(x) = 2x

1xx22

24

je neprava racionalna

funkcija.Dijeljenjem dobivamo:

f2(x) = 22x532x2

3. Algebarske funkcije3. Algebarske funkcije

Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima.Primjeri:

f(x) = je algebarska funkcija.g(x) = nije algebarska funkcija.

5 37x2xx )( 2

35 )1x2x(

4. Transcendentne funkcije4. Transcendentne funkcije

Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne.

Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan).Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.

Hiperbolne funkcijeHiperbolne funkcije

f(x) = sh x,

f: , f() = .

f(x) = ch x,f: , f() = [1,].

sinus hiperbolni

kosinus hiperbolni

x

y

y = shx

x

y

y = chx

Definiramo: sh x := 2ee xx Definiramo: ch x := 2

ee xx

Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”.

f(x) = th x,f: , f() = (-1,1).

f(x) = cth x,

f: \ {0} , f() = (-,-1) (1,).

tangens hiperbolni

kotangens hiperbolni

x

y

y = thx

x

y

y = cthx

Definiramo: th x :=chxshx Definiramo: cth x :=shx

chx

th x = 1e1e

x2x2

cth x = 1e

1ex2x2

Neke važnije veze između hiperbolnih Neke važnije veze između hiperbolnih funkcijafunkcija

ch2 x - sh2x = 1, sh2x = 2 shx chx, ch2x = sh2x + ch2 x ,

sh2x =1/2·(ch2x-1), ch2x =1/2·(1 + ch2x), cthx =1/thx

th2x = 2thx/(1+th2x), ch2x =(cth2x+1)/2cthxsh2x = th2x/(1-th2x), ch2x = cth2x/(cth2x-1),

Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!

Area-funkcijeArea-funkcije

f(x) = arsh x,

f: , f() =

area-sinus hiperbolniFunkcija sh: je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije sh nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh.

y = arshx

x

y

y = shx

y = x

Može se pokazati da vrijedi arsh x = 1xxln 2

arch: [1,) , arch x = Arch x,

arch ([1,)) = [0,).

area-kosinus hiperbolni

Neka je Ch: [0,)[1,) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Ch označimo s Arch.Dakle, Arch : [1,) [0,).

y = archx

x

y

y = chx

y = x

Može se pokazati da je arch x = 1xxln 2

f(x) = arth x,

f: (-1,1) , f ((-1,1)) = .

area-tangens hiperbolni

Neka je Th: (-1,1) suženje funkcije th. Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i označavamo arth.

y = arthx

x

y

y = thx

y = x

Može se pokazati da vrijedi arth x = x1

1xln21

arcth: (-,-1) (1,) , arcth x = Arcth x,

arcth ( (-,-1) (1,) ) = \ {0}.

area-kotangens hiperbolni

Neka je Cth: \ {0} (-,-1) (1,), suženje funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Cth označimo s Arcth. Dakle, Arcth: (-,-1) (1,) \ {0}.

y = arcthxx

y

y = cthx

y = x

Može se pokazati da vrijedi arcth x = 1x

1xln21

Još neke važnije elementarne Još neke važnije elementarne funkcijefunkcije

Apsolutna vrijednostApsolutna vrijednost

f(x) = |x|,f : , f() = [0,).

PredznakPredznak

|x| =

.0X,X,0X,X

.0X,1,0X,1sgn(x)

=

y = |x|

y = sgn(x) x

y

x

y

f(x) = sgn(x),f : \ {0} , f() = {1,-1}.

Vrijedi: sgn(x) =xx

Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla.