- 1 Pojęcia Elementarne

5/7/2018 - 1 Pojęcia Elementarne - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/-1-pojecia-elementarne 1/24

- 3 -

1. Elementarne pojęcia teorii obwodów elektrycznych

1.1. Ładunek elektryczny, pole elektryczne

Pojęcie ładunku elektrycznego jest dla elektrotechniki tym czym pojęcie punktu dla

geometrii, a więc czymś najbardziej podstawowym, elementarnym, jednocześnie zaś trudnym dozdefiniowania. W tym znaczeniu ładunek elektryczny jest wielkością fizyczna opisują cą pewną właściwość czą steczek materialnych polegają cą na tym, że obdarzone nim obiekty nawzajem na siebie

oddziałują siłowo. Termin „ładunek elektryczny” stosowany jest również jako nazwa takiego obiektu

fizycznego, który obdarzony jest ładunkiem elektrycznym w znaczeniu pierwszym (a więc posiada

właściwości „elektryczne”).

Jako wielkość fizyczna ładunek elektryczny charakteryzowany jest liczbowo. Jednostk ą ładunku jest jeden kulomb: sA ⋅== 1C1]q[1 . Jeden kulomb jest to ładunek, jaki pr ą d o

niezmieniają cym się natężeniu jednego ampera przenosi w cią gu jednej sekundy (definicja ampera

zostanie podana później, gdy zostanie wprowadzone pojęcie pr ą du i natężenia pr ą du).

Istnieje najmniejszy ładunek elektryczny - ładunek jednego elektronu (jedynie kwarki mają ładunki o wartościach ułamkowych: jedna trzecia lub dwie trzecie tego ładunku, lecz wystę pują one

zawsze w stanach zwią zanych). Stą d wartości ładunku elektrycznego mogą się zmieniać jedynie w

sposób dyskretny (tj. skokowo): o jeden ładunek elementarny (ma on wartość: C10602,1q -19e ⋅= ).

Jednak w elektrotechnice uznaje się te skoki za na tyle małe, by można było przyjmować za dziedzinę

zmienności wartości ładunku cały („cią gły”) zbiór liczb rzeczywistych.

Ładunki elektryczne są dwojakiego rodzaju. Jeden rodzaj to ładunki jakimi obdarzone są elektrony, drugi rodzaj to ładunki elektryczne jakie posiadają protony. Ładunek elektronu umownie

określa się jako ujemny, ładunek protonu jako dodatni (źródłem tej umowy jest pierwotna

„jednofluidowa” koncepcja elektryczności, w której wystę powanie

hipotetycznego „fluidu elektrycznego” utożsamiane było z

elektrycznością dodatnią , zaś jego brak z elektrycznością ujemną ).Ładunki tego samego rodzaju nazywa się ładunkami jednakoimiennymi,

ładunki różnego rodzaju - ładunkami różnoimiennymi.

Wymienione tu czą steczki elementarne wchodzą w sk ład

budowy atomu. Stosuje się tu korpuskularny model atomu,

zaproponowany przez duńskiego fizyka Nielsa Bohra na począ tku XX

wieku. Model ten, wobec swojej obrazowości jest bardzo przydatny do

wyrabiania sobie intuicji zjawisk elektrycznych (falowy model atomu

Erwina Schrodingera mniej się do tego nadaje). Wystę puje w nim

naładowane dodatnio ją dro zbudowane z protonów i pozbawionych ładunku elektrycznego neutronów,

wokół którego po skwantowanych orbitach kr ążą ujemnie naładowane elektrony. Ładunek elektryczny

ją dra atomu jest taki sam (co do wartości) jak ładunek elektryczny elektronów stą d atom jest

elektrycznie obojętny. Jeżeli od atomu odłą czyć elektron lub kilka elektronów powstaną dwa obiekty

naładowane elektrycznie takimi samymi ładunkami lecz przeciwnego znaku: dodatni jon i ujemne,odłą czone elektrony. Obowią zuje tu zasada zachowania ładunku, zgodnie z któr ą w uk ładzie

odosobnionym ładunek jednego znaku powstaje tylko wtedy gdy jednocześnie powstaje taki sam

ładunek znaku przeciwnego.

Ładunki oddziałują na siebie siłowo, przy czym ładunki jednakoimienne odpychają się, a

ładunki różnoimienne przycią gają . Wielkość siły jaka tu wystę puje opisywana jest prawem

Coulomba (od nazwiska odkrywcy, Charlesa Coulomba - francuskiego fizyka z XVIII w.)

formułowanym nastę pują co:

r1F2

21

r 4

qq

⋅ε⋅π

⋅= (1.1)

gdzie: 1q , 2q - wartości oddziałują cych na siebie elektrycznych ładunków punktowych,

ε - przenikalność dielektryczna - parametr opisują cy właściwości elektryczne środowiska,r1 - wektor jednostkowy: leżą cy na prostej łą czą cej ładunki, skierowany na zewną trz gdy



- 4 -

ładunki są jednakoimienne, do wewną trz gdy są różnoimienne,

π4 - tzw. „współczynnik racjonalizują cy” (dzięki niemu wzory w uk ładzie SI mają prostszą postać - ma on zwią zek z wzorem na pole kuli).

Mieszkaniec Pomorza powinien wiedzieć, że na wiele lat przed Coulombem prawo Coulomba

odkrył gdańszczanin Daniel Gralath.

Fizycy (a za nimi elektrycy) zjawisko oddziaływania siłowego naładowanych elektrycznie

czą steczek (oddziaływania „na odległość”) opisują wprowadzają c pojęcie pola elektrycznego. Polem

tym jest przestrzeń fizyczna wokół ładunku, w której na inne ładunki działają siły kulombowskie.

Istnienie pola wykrywa się wprowadzają c do niego tzw. ładunek próbny. Ładunek próbny jest

otoczony własnym polem elektrycznym, skutkiem czego mamy do czynienia nie z polem, które ma

być zbadane (wykryte), lecz z polem, jakie powstaje w wyniku nak ładania się tych dwu pól. Aby ten,

zniekształcają cy pomiar wpływ był jak najmniejszy, ładunek próbny powinien być możliwie mały( 0q → ). Przyjmuje się umowę, że jest to ładunek dodatni.

Do opisu pola elektrycznego definiuje się wielkości charakteryzują ce różne jego cechy:

wektor natężenia pola elektrycznego, wektor indukcji elektrycznej, przenikalność dielektryczną ,tak że wektor polaryzacji. Pojęcia te powinny być znane studentom z kursu fizyki, będą jeszcze

szerzej omawiane w ramach teorii pola elektromagnetycznego na II roku studiów.

1.2. Potencjał elektryczny, napięcie elektryczne

Aby przesunąć ładunek w polu elektrycznym trzeba pokonać siły pola. Prowadzi to do

wykonania pracy. Jeżeli ładunek puścić swobodnie, siły pola spowodują jego przesunięcie: pole

wykona pracę na ładunku. Doprowadzenie ładunku do danego punktu pola (wbrew siłom pola) nadałomu energię, która teraz została uwolniona. Ten rodzaj energii nosi nazwę energii potencjalnej. Z

prawa Coulomba wynika, że siły jakimi trzeba było działać

na ładunek były wprost proporcjonalne do wielkości

ładunku. Stą d wykonana na nim praca, a więc i jego energia

potencjalna też są do wartości ładunku wprost

proporcjonalne. Jeżeli podzielić wartość tej pracy przez

wartość ładunku otrzyma się pewną wielkość

charakteryzują cą właściwości energetyczne pola

(niezależną od wielkości ładunku próbnego). Wielkość ta

nosi nazwę potencjału elektrycznego (danego punktu

pola).

Jej wzór definicyjny jest nastę pują cy:

q

WlimV

a,

0qa

∞

→= (1.2)

gdzie: a,W∞ - praca jak ą trzeba wykonać, by doprowadzić ładunek próbny ( 0q → ) z miejsca

leżą cego poza polem (dla odosobnionego ładunku punktowego z nieskończoności) do danego punktu

pola („a”).Potencjał elektryczny jest wielkością skalarną .

Jego jednostk ą jest jeden wolt:A1

W1

s A1

sW1

C1

J1

]q[1

]W[1V1]V[1 =

⋅

⋅==== .

Potencjał elektryczny danego punktu pola elektrycznego wynosi jeden wolt wtedy gdy

doprowadzenie ładunku o wartości jednego kulomba spoza pola do tego punktu pola wymaga

wykonania pracy o wartości jednego dżula.

Intuicja potencjału jako ilorazu pracy włożonej w doprowadzenie ładunku do danego punktu

pola i wartości tego ładunku jest oczywista. Jednak obliczenie tej pracy, choć by dla najprostszego pola

wytwarzanego przez ładunek punktowy wymaga znajomości rachunku całkowego, a w przypadku

ogólnym umiejętności obliczania tzw. całek liniowych.

Praca jak ą trzeba wykonać w polu elektrycznym, by doprowadzić ładunek próbny znieskończoności do danego punktu pola jest niezależna od drogi, wzdłuż której prowadzony jest

ładunek. Ta niezależność pracy od drogi jest cechą pola elektrycznego. Właśnie jej istnienie



- 5 -

powoduje, że w każdym punkcie tego pola można określić jego potencjał. Pola, dla których można to

zrobić nazywane są polami potencjalnymi. Doskonale wszystkim znanym polem potencjalnym jest

pole grawitacyjne. Wiele z jego właściwości są identyczne z właściwościami pola elektrycznego. Stą dmożna przenosić z niego na pole elektryczne powszechnie znane intuicje.

Iloraz pracy a, bW jak ą trzeba wykonać w polu elektrycznym by przemieścić ładunek próbny

z punktu „b” do punktu „a” przez wartość tego ładunku (q - zdążają cą do zera, by nie zniekształcać badanego pola, jak w definicji potencjału) definiuje kolejne elementarne pojęcie elektrotechniki

teoretycznej: napięcie elektryczne.

Jego wzór definicyjny jest nastę pują cy:

q

WlimU

a, b

0qab

→= (1.3)

Z niezależności pracy w polu elektrycznym od drogi wynika bezpośrednio to, że praca

potrzebna na przeprowadzenie ładunku próbnego z punktu „b” do punktu „a” jest równa różnicy prac

potrzebnych na doprowadzenie tego ładunku do każdego z tych punktów: b,a,a, b WWW ∞∞ −= .

Stą d zależność napięcia pomiędzy punktami pola elektrycznego od potencjałów tych punktów:

ba b,0q

a,0q

b,a,0q

a, b0q

ab VVq

Wlim

q

Wlim

q

WWlim

q

WlimU −=−=

−== ∞

→∞

→∞∞

→→(1.4)

Istnienie zależności 1.4. powoduje, że mówimy zamiennie: napięcie albo różnica

potencjałów. Gdy potencjał aV jest większy od potencjału bV napięcie ma wartość dodatnią . Gdyby

było ba VV < napięcie abU , wyliczone według wzoru 1.4. miałoby wartość ujemną . Na rysunkach

napięcie oznacza się przy pomocy strzałki (pierzastej), której grot skierowany jest w stronę wyższego

potencjału. Takie oznaczanie zwrotu nazywa się strzałkowaniem. Umowa o oznaczaniu wyższego

potencjału grotem strzałki została wprowadzona do elektrotechniki przez polskiego uczonego

Stanisława Fryze. Wyższy potencjał bywa oznaczony tak że symbolem „+” (niższy symbolem „-”).

Ujemna wartość napięcia oznacza, że grot strzałki (albo znak „+”) wskazuje potencjał niższy -

napięcie jest źle (odwrotnie) zastrzałkowane.

Napięcie elektryczne ma tak ą samą jednostk ę jak potencjał elektryczny. Jest nią jeden wolt:V1]U[1 = . Napięcie elektryczne pomiędzy danymi dwoma punktami pola elektrycznego wynosi

jeden wolt wtedy gdy przeniesienie ładunku o wartości jednego kulomba od jednego z tych punktów

do drugiego wymaga wykonania pracy jednego dżula.

Ładunek próbny wystę pują cy w definicji potencjału jest dodatni (tak ą przyjęto umowę - por.

pkt. 1.1.). Jest on zatem odpychany przez ładunki dodatnie, a przycią gany przez ładunki ujemne. Stą d praca a,W∞ potrzebna na doprowadzenie ładunku

próbnego do danego punktu pola jest albo dodatnia

(wykonana przeciw siłom pola przy doprowadzaniu

ładunku próbnego w pobliże ładunku dodatniego)

albo ujemna (wykonana przez siły pola przy

doprowadzaniu ładunku próbnego w pobliże ładunkuujemnego). Zatem potencjał może być albo dodatni

albo ujemny. Potencjał danego punktu pola jest tym

większy im punkt jest położony bliżej ładunku

dodatniego, tym mniejszy im punkt leży bliżej

ładunku ujemnego. Pomiędzy ładunkami dodatnim

( +Q ) i ujemnym ( −Q ) tworzą cymi dipol

elektryczny (rys. 1.3.) istnieje miejsce geometryczne

(powierzchnia), którego punkty mają potencjał zerowy (nie trzeba wykonać żadnej pracy by

doprowadzić do nich ładunek próbny spoza pola).



- 6 -

1.3. Prą d elektryczny

Siły pola elektrycznego działają c na ładunki elektryczne powodują ich przemieszczanie się.

Zjawisko to nosi nazwę prą du elektrycznego. Pr ą dem elektrycznym nazywamy uporzą dkowany ruch

ładunków elektrycznych (pod wpływem pola elektrycznego). O pr ą dzie elektrycznym mówimy, że

płynie - niezbyt ściśle, przecież przemieszczają się ładunki, nie pr ą d.

1.3.1. Prą d elektryczny jako zjawisko fizyczne

W zależności od tego w jakim środowisku wystę puje zjawisko pr ą du i jaki jest jego

mechanizm, w elektrotechnice tradycyjnie rozróżnia się trzy rodzaje pr ą dów: prą d przewodzenia,

prą d przesunięcia i prą d unoszenia.

Pr ą d przewodzenia wystę puje w materiałach przewodzą cych. Istnieją dwa rodzaje (dwie

kategorie) takich materiałów.

Do kategorii I należą metale i ich stopy, a

tak że węgiel. Charakteryzują się one tym, że ich

atomy tworzą struktury krystaliczne, w których

elektrony zewnętrznych powłok atomowych są słabozwią zane z konkretnymi atomami. Elektrony te

należą nie tyle do nich ile do struktury krystalicznej

jako całości. Mogą się one stosunkowo swobodnie

przemieszczać w obr ę bie kryształu (stą d nazwa:

elektrony swobodne). Tworzą tzw. gaz elektronowy

(Odkrył to niemiecki fizyk Paul Drude żyją cy na przełomie XIX i XX w.). Gdy przewodniki I rodzaju

poddać działaniu zewnętrznego pola elektrycznego elektrony te zostają wprawione w ruch (w

kierunku potencjału dodatniego). Jest to pr ą d przewodzenia I rodzaju. Jeżeli rozważany przewodnik

stanowi część obwodu zamkniętego pr ą d ten będzie płynął tak długo, jak długo istnieć będzie

zewnętrzne pole elektryczne, które go wymusza. Ten mechanizm przepływu pr ą du nazywa się

przewodnictwem elektronowym.

Z chwilą zamknięcia wyłą cznika pole elektryczne rozprzestrzenia się w przewodniku jako fala

elektromagnetyczna z pr ędkością zbliżoną do pr ędkości światła. Stą d wszystkie elektrony

wypełniają ce przewód zaczynają się poruszać nieomal jednocześnie. Pr ędkość ich ruchu jest niewielka

(rzędu ułamków milimetra na sekundę).

Przepływ pr ą du przewodzenia w przewodniku I rodzaju nie jest zwią zany z żadnymi

procesami chemicznymi. Wystę puje natomiast zjawisko fizyczne: nagrzewanie się przewodnika.

Materiały przewodzą ce II rodzaju (II kategorii) to

elektrolity. Są nimi wodne, zdysocjowane roztwory kwasów,

zasad i soli. Wystę pują w nich jony dodatnie i ujemne.

Poddane działaniu zewnętrznego pola elektrycznego

przemieszczają się odpowiednio w stronę potencjału

dodatniego (jony ujemne - aniony) i ujemnego (jony dodatnie -kationy). Skutkiem rozdziału jonów zachodzą reakcje

chemiczne (elektrochemiczne) w wyniku czego ilość jonów

maleje aż do wyczerpania i wtedy pr ą d przestaje płynąć.

Podobnie jak w przewodnikach I rodzaju i tu zachodzi

zjawisko nagrzewania się środowiska przewodzą cego.

Nośnikami ładunków w przewodnikach II rodzaju są jony, stą dten rodzaj przewodnictwa nosi nazwę przewodnictwa jonowego. Podobny (tj. jonowy) charakter ma

przewodnictwo pr ą du elektrycznego w (zjonizowanych) gazach.

Prą d przesunięcia wystę puje w tych materiałach, w których brak swobodnych nośników

ładunku. Takie materiały noszą nazwę dielektryków albo izolatorów. Przepływ pr ą du przesunięcia

odbywa się na poziomie „mikro” („subatomowym”) i na poziomie „makro” („atomowym”). Na

poziomie „mikro” polega na powstaniu, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego, niesymetriiw rozk ładzie elektronów otaczają cych ją dra atomów (por. rys. 1.6.a). Powstanie takiej niesymetrii



- 7 -

wymaga przesunięcia ładunków w chwili pojawienia

się pola, a takie przesunięcie ładunków to krótkotrwały pr ą d elektryczny.

Na poziomie „makro” przepływ pr ą du

przesunięcia polega na wymuszonym przez siłyzewnętrznego pola elektrycznego porzą dkowaniu

chaotycznie rozmieszczonych w dielektryku dipoli

elektrycznych (por. rys. 1.6.b). Dipolami tymi są czą steczki zwią zków chemicznych tworzą cych

dielektryk. Takie porzą dkowanie też polega na

przemieszczaniu się ładunków, a więc na przepływie

(krótkotrwałego) pr ą du.

Prą d unoszenia (zwany też pr ą dem konwekcyjnym) polega na przemieszczaniu się ładunków

elektrycznych przez środowisko izolacyjne (np. przez próżnię). Wystę puje np. w kineskopie (i innych

lampach elektronowych) jako wią zka elektronów wyrywanych z wyżarzanej katody przez napięcie

przyłożone pomiędzy nią a siatk ą . Pr ędkość nośników, zależna od napięcia, jest rzędu tysięcy

kilometrów na sekundę.

1.3.2. Wielkości fizyczne charakteryzują ce prą d elektryczny - natężenie, gęstość

Dla opisywania zjawiska pr ą du wprowadzono charakteryzują cą je pod względem ilościowym

wielkość fizyczną : natężenie prą du elektrycznego. Zamiast terminu: natężenie pr ą du elektrycznego

elektrycy potocznie stosują termin: prą d elektryczny (tak że w podr ęcznikach akademickich).

Natężenie pr ą du elektrycznego przepływają cego przez dany przekrój definiowane jest jako stosunek

wartości ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepłynął przez rozpatrywany przekrój, a więc jako

szybkość przepływu ładunków:

dt

dq

t

qlimi

0t

=∆∆

=

→∆

(1.5)

Jest to wartość natężenia pr ą du w danej chwili czasowej. Nosi ona nazwę wartości chwilowej natężenia pr ą du (wartości chwilowej pr ą du). Do oznaczania wartości chwilowych pr ą du stosuje się liter ę „i” lub - by zaakcentować, że ma to być wartość w konkretnej chwili „t” (lub uniknąć nieporozumień) - symbolem „i(t)”.

Wartość średnią pr ą du za czas t∆ oznacza się symbolem „I ” lub „ avI ” i wyznacza z

zależności:

t

qI

∆

∆= (1.5a)

Natężenie pr ą du elektrycznego jest wielkością skalarną . Ta wielkość

skalarna jest nieco nietypowa, jest bowiemobdarzona zwrotem (często nazywany jeston nieściśle kierunkiem). Abyscharakteryzować pr ą d trzeba podać jegonatężenie i zwrot z jakim przepływa przezdany przekrój. Przyjęto, że zwrot tendotyczy przemieszczania się ładunkówdodatnich (umowa pochodzi stą d, żewedług pierwotnej „jednofluidowej”koncepcji elektryczności znakiem „plus”oznaczano wystę powanie „fluidu elektrycznego”, znakiem „minus” jego brak, stą d pr ą d elektrycznymógł płynąć jedynie od „plusa” do „minusa” - por. pkt. 1.1.). Na rysunkach oznacza się go przy

pomocy pierzastej strzałki. Natężenie pr ą du może mieć wartość dodatnią lub ujemną . Wartość dodatnia oznacza, że pr ą d płynie zgodnie ze zwrotem strzałki, natężenie ma wartość ujemną wtedy



- 8 -

gdy pr ą d płynie w kierunku odwrotnym do wskazywanego przez strzałk ę. Począ tkują cym elektrykom pewien problem stwarza fakt, że w przewodnikach I rodzaju przepływ pr ą du polega na przepływieładunków ujemnych, więc zwrot pr ą du jest w nich przeciwny do zwrotu z jakim poruszają się elektrony, nośniki tego pr ą du.

Pr ą d, którego wartość i zwrot pozostają niezmienne w czasie nazywany jest pr ą dem stałym.Oznacza się go liter ą „I”.

Jednostk ą natężenia pr ą du elektrycznego jest jeden amper ( A1]i[1 = ).

Jest to jedna z jednostek podstawowych uk ładu SI. Definiowana jest na podstawieoddziaływania siłowego pola magnetycznego na przewodnik z pr ą dem (problematyka ta będzie bliżejomawiana w dalszym toku nauki, na wyk ładzie teorii pola magnetycznego). Natężenie pr ą du wynosi jeden amper jeżeli pr ą d ten płyną c w dwu oddalonych od siebie o jeden metr przewodnikach,nieskończenie długich, o przekrojach kołowych, nieskończenie małych, powoduje oddziaływanie

siłowe o wartości 7102 −⋅ niutona na metr długości przewodnika.

Aby umożliwić bardziej precyzyjne opisywanie zjawiska pr ą du elektrycznego wprowadzono pojęcie gęstości prą du. Jest to wielkość wektorowa. Moduł (długość) tego wektora jest definiowany jako iloraz natężenia pr ą du (I) przepływają cego przez dany przekrój przez powierzchnię tego przekroju (S), przy czym rozważany przekrój jest prostopadły do kierunku ruchu ładunków dodatnich.Zwrot wektora gęstości jest taki jak zwrot pr ą du:

IIS

IJ 11J ⋅=⋅= (1.6)

gdzie:

I1 , - wektor jednostkowy o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich.

Gęstość pr ą du wyrażona wzorem (1.6) jest to wartość średnia gęstości pr ą du płyną cego przez przekrój S.

Gęstość pr ą du w danym punkcie przestrzeni dana jest wzorem:

ii0S

idS

di

S

ilimJ 111J ⋅=⋅

∆=⋅=

→(1.6.a)

Zależność odwrotna (pr ą du od gęstości średniej) jest iloczynem skalarnym:),(cosSJI SJSJ ∠⋅⋅=⋅= (1.6.b)

gdzie:S - przekrój S jako wektor, moduł tego wektora jest równy powierzchni S, zwrot jest

prostopadły (normalny) do tej powierzchni,

),( SJ∠ - k ą t pomiędzy zwrotem wektora gęstości pr ą du (a więc zwrotem pr ą du) i wektorem

normalnym (prostopadłym) do przekroju S.Dla przypadku ogólnego zależność ta jest całk ą z iloczynu skalarnego wektorów „J” i „dS” po

powierzchni S: ∫ ⋅=S

di SJ (obliczanie takich całek jest przewidziane w kursie matematyki na dalszych

latach studiów).

Jednostk ą gęstości pr ą du jest:2m1

A1]S[1]i[1]J[1 == .

W praktyce gęstość pr ą du wykorzystuje się do wyznaczania przekrojów przewodówniezbędnych do tego, by mógł przez nie płynąć żą dany pr ą d. Nie są to duże przekroje i podawanie ich powierzchni w metrach kwadratowych byłoby niewygodne. Stą d praktyczną jednostk ą gęstości pr ą du

jest:2mm1

A1]J[1 = .

Dopuszczalna gęstość pr ą du dla danego przewodu zależy od materiału z jakiego jest onwykonany, od przekroju, od rodzaju izolacji, rodzaju budowy, czasu, przez który pr ą d o danymnatężeniu ma płynąć. Dla przewodów miedzianych stosowanych w instalacjach domowych

dopuszczalna gęstość pr ą du długotrwałego mieści się w granicach 2mm

A

159 ÷ .



- 9 -

1.4. Obwód zamknięty - źródło, odbiornik, praca prą du

Z naszych dotychczasowych rozważań dotyczą cych pr ą du jako zjawiska fizycznego wynika,że w sposób długotrwały może on wystę pować tylko jako pr ą d przewodzenia w przewodnikach Irodzaju.

Istnieją cy tu mechanizm przepływu ładunków wymaga, by ładunki przemieszczały się „wobiegu zamkniętym”. Inaczej po przemieszczeniu się ich wszystkich pr ą d ustanie. Uk ład przewodników, w którym możliwy jest taki cią gły przepływ pr ą du nosi nazwę obwodu zamkniętego.

W obwodzie elektrycznym zawsze daje się wyróżnić takie części, w których energia jest doobwodu dostarczana i takie, w których jest ona przekazywana na zewną trz. Pierwsze są źródłami

energii elektrycznej, drugie - odbiornikami energii elektrycznej.

W odbiorniku pr ą d płynie pod wpływem sił pola elektrycznego, a więc od wyższego potencjału do niższego. Ładunki wykonują wtedy pracę kosztem tego, że tracą energię. Energiaelektryczna zamienia się na energię nieelektryczną . Istnieje tu analogia z pracą wykonywaną w polugrawitacyjnym np. przez spadają cy młot kafara.

W źródle ruch ładunków jest wymuszony przez siły zewnętrzne pokonują ce siły polaelektrycznego: pr ą d płynie „pod gór ę”, od potencjału niższego do wyższego (ładunki zyskują energię).Praca wykonywana jest na ładunkach. Energia nieelektryczna (chemiczna, mechaniczna itd.) zamieniasię w energię elektryczną (energię potencjalną ładunków). Wystę puje tu analogia do podnoszeniamłota kafara (i nadawania mu energii potencjalnej).

Tym co przekazywane jest ze źródła do odbiornika jest pole elektryczne. Właśnie ono nadajeenergię już znajdują cym się tam ładunkom.

Zgodnie z omówioną już, powszechnie przyjętą umową (usankcjonowaną polsk ą normą ),strzałki na rysunkach obwodów elektrycznych (rys. 1.8. i rys. 1.9.) oznaczają :

- dla pr ą du: kierunek przepływu ładunków dodatnich;- dla napięć: wyższy potencjał.

Jeżeli strzałki na rysunku pokazują , że pr ą d płynie przez jakiś element obwodu od potencjału wyższego do potencjału niższegomówimy, że element ten jest zastrzałkowany

odbiornikowo. Gdy, odwrotnie, strzałka pr ą duoznaczają ca pr ą d płyną cy przez element

skierowana jest od potencjału niższego dowyższego mamy do czynienia ze strzałkowaniem

źródłowym. Element zastrzałkowany odbiornikowo jest odbiornikiem wtedy gdy strzałkowanieodpowiada rzeczywistości, a więc gdy strzałka napięcia rzeczywiście wskazuje wyższy potencjał, zaś pr ą d istotnie płynie w tę stronę, któr ą wskazuje strzałka pr ą du (albo jednocześnie obydwie informacjesą nieprawdziwe). Wtedy i natężenie pr ą du i napięcie mają wartości dodatnie (lub jednocześnieujemne). Podobnie element zastrzałkowany źródłowo jest wtedy źródłem gdy strzałkowanieodpowiada rzeczywistości, a więc gdy wartości pr ą du i napięcia są dodatnie (jest też źródłem gdy jedne i drugie są jednocześnie ujemne).

Natężenie pr ą du jest parametrem opisują cym ilościowo ładunki elektryczne w ruchu zaś potencjał elektryczny (napięcie elektryczne) charakteryzuje ich stany energetyczne. Te dwa(zaledwie!) parametry wystarczają do opisu zjawisk zachodzą cych w obwodach elektrycznych. Tak że

zachodzą ce w nich przemiany energetyczne.Ładunek próbny „q” przemieszczają c się przez odbiornik od jego zacisku A do zacisku B (rys.



- 10 -

1.8.) wykonuje pracę ( ABW ). Praca ta jest równa iloczynowi ładunku i napięcia ( UqWAB ⋅= ) -

wynika to z definiują cego napięcie elektryczne wzoru (1.3). Jest też: tIq ∆⋅= , co wynika z wzoru

(1.5). definiują cego natężenie pr ą du elektrycznego. Łą czą c te dwa wzory otrzymuje się wyrażenie na pracę wykonaną przez pr ą d I płyną cy w odbiorniku, na zaciskach którego wystę puje napięcie U:

tIU)t(WAB ∆⋅⋅=∆ (1.7)

Dzielą c obie strony tego równania przez t∆ otrzymujemy wyrażenie na moc z jak ą ta praca jest wykonywana, a więc wyrażenie na szybkość przetwarzania przez odbiornik energii elektrycznejna energię nieelektryczną :

IUt

)t(WP AB ⋅=

∆

∆= (1.8)

Wzór (1.8) opisuje wartość średnią mocy w czasie t∆ . Wartość chwilową mocy to wartość

wyznaczona dla 0t →∆ :

iudt

dt)t(i)t(u

t

tIUlim

t

)t(Wlim p

0t

AB

0t⋅=

⋅⋅=

∆∆⋅⋅

=∆

∆=

→∆→∆(1.8.a)

Zależność pozwalają ca obliczyć pracę za czas ]t,0[t =∆ w przypadku ogólnym ma postać

całki: ττ⋅τ= ∫ d)(i)(u)t,0(W t

0

AB .

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla źródła. W źródle energia nieelektryczna

zamieniana jest na energię elektryczną . Moc źródła wyliczona ze wzoru (1.8) lub (1.8.a) jest miar ą pr ędkości z jak ą zachodzi ten proces.

Jeżeli jakiś element obwodu zastrzałkowany jest odbiornikowo ale albo napięcie albo pr ą dmają dla niego wartość ujemną to ich iloczyn też daje wartość ujemną : ujemną moc. Należy to

interpretować tak, że energia w obwodzie płynie w kierunku odwrotnym niż to wynika ze

strzałkowania. Element nie jest odbiornikiem lecz źródłem (zastrzałkowanym odbiornikowo).

Podobnie może być z odbiornikiem zastrzałkowanym źródłowo. Jeżeli jednak i pr ą d i napięcie mają jednocześnie wartości ujemne - moc pozostaje dodatnia, a więc energia przepływa tak jak to wynika

ze strzałkowania: element zastrzałkowany źródłowo jest źródłem, zastrzałkowany odbiornikowo -odbiornikiem.

Zależność (1.8) prowadzi do nowej definicji wolta. Wynika z niej, że jeden wolt jest różnicą potencjałów elektrycznych pomiędzy dwoma punktami obwodu, w którym płynie pr ą d o natężeniu

jednego ampera, gdy moc pracy wykonywanej w tej części obwodu (szybkość przemiany energii)

wynosi jeden wat.

Bardzo rzadko pojedyncze źródło dostarcza energię do pojedynczego odbiornika. Na ogół zarówno źródła jak odbiorniki łą czone są w systemy. Najczęściej spotykanymi sposobami tego

łą czenia są : połą czenie szeregowe i połą czenie równoległe.

Przy połą czeniu szeregowym przez wszystkie tak połą czone odbiorniki płynie ten sam pr ą d, o

tym samym natężeniu I. Aby na poszczególnych odbiornikach były napięcia 1U i 2U napięcie źródła

musi wynosić 21 UUU += . To oczywiste - z definicji napięcia wiemy, że napięcie to iloraz pracy

wykonanej na ładunku do tego ładunku, a praca jaka jest wykonana na przepływają cych ładunkach wźródle musi być równa sumie pracy wykonanej przez ładunki w odbiornikach.



- 11 -

Przy połą czeniu równoległym do wszystkich odbiorników doprowadzone jest to samo

napięcie U. Ładunki tworzą ce pr ą d I rozpływają się tu na pr ą dy sk ładowe 1I i 2I stą d dla połą czenia

równoległego pr ą d całkowity jest ich sumą : 21 III +=

Powyższe zależności daje się uogólniać na „k” połą czonych szeregowo lub równolegle

odbiorników.

W elektrotechnice przemysłowej powszechnie stosowane są systemy z odbiornikami iźródłami połą czonymi równoległe. Tak odbiorniki jak i źródła energii elektrycznej budowane są na

określone napięcia (tzw. napięcia znamionowe - nU ), a właśnie uk ład równoległy zapewnia stałość

napięcia wszystkim elementom, niezależnie od ich liczby.

1.5. Najprostszy odbiornik - prawo Ohma, prawo Joule’a

Obecnie zajmiemy się poznawaniem pojęć i

metod stosowanych przez elektryków do

formalnego opisu źródeł i odbiorników energii

elektrycznej. Potrzebne nam będzie do tego

przeanalizowanie zwią zków pomiędzy pr ą dami inapięciami. Zacznijmy od najprostszego

odbiornika. Jest nim kawałek przewodnika (rys.

1.11.). Płynie w nim pr ą d przewodzenia. W

połowie XIX wieku niemiecki fizyk Georg Ohm

stwierdził doświadczalnie, że wartość natężenia

pr ą du jaki płynie przez dany przewodnik jest

wprost proporcjonalna do wartości napięcia pola elektrycznego wymuszają cego ten pr ą d.

Prawidłowość ta nosi nazwę prawa Ohma. Przedstawione wykreślnie wyniki badań przewodnika w

przybliżeniu uk ładają się w prostą o nachyleniu α . Funkcja analityczna opisują ca tę zależność ma

postać α⋅= tgIU . Jeżeli oznaczyć: R tg =α otrzymuje się wzór na prawo Ohma:

R IU ⋅= (1.9)

Prawo Ohma jest słuszne w każdej chwili czasowej, jest więc słuszne dla wartościchwilowych pr ą du i napięcia:

R iu ⋅= (1.9.a)

Współczynnikowi α= tgR nadaje się charakter wielkości fizycznej opisują cej własności

elektryczne danego, konkretnego przewodnika (o danych, konkretnych wymiarach, zbudowanego z

konkretnego materiału) oraz nazwę: rezystancja. Termin ten pochodzi od łacińskiego: resisto -

opieram się. Używanie dawniejszego określenia „oporność” uważane bywa za błą d terminologiczny.

Rezystancja definiowana jest wzorem (1.9) jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy pr ą dem i

wymuszają cym ten pr ą d napięciem. Wartość rezystancji jest zawsze dodatnia.

Jednostk ą rezystancji jest om: 1A1

V1]R [1 Ω== .

Rezystancja przewodnika ma wartość jednego oma ( Ω1 ) jeżeli przyłożenie do tego przewodnika pola elektrycznego o napięciu jednego wolta powoduje przepływ pr ą du o natężeniu

jednego ampera.

Wyrażenie (1.9) można zapisać jako:

GUI ⋅= (1.10)

gdzie: α== ctgR

1G .

Zależność 1.10. słuszna jest również dla wartości chwilowych pr ą du i napięcia:

GuR

ui ⋅== (1.10.a)

Współczynnikowi proporcjonalności G nadaje się charakter wielkości fizycznej i nazwę:

konduktancja (od łacińskiego conduco - łą cz ę). Dawna - obecnie na ogół uważana za niepoprawną -nazwa to „przewodność”.



- 12 -

Jednostk ą konduktancji jest simens: S1=1

1

V1

A1]G[1

Ω== .

Konduktancja przewodnika ma wartość jednego simensa (1 S) jeżeli przyłożenie do tego

przewodnika pola elektrycznego o napięciu jednego wolta powoduje przepływ pr ą du o natężeniu

jednego ampera.

Będą c odwrotnością rezystancji, konduktancja opisuje te same co tamta właściwościelektryczne danego, konkretnego przewodnika.

Wartość k ą ta α (z rys. 1.11.), a więc również wartość rezystancji (R) i konduktancji (G)

danego konkretnego przewodnika zależy od tego z jakiego materiału jest ten przewodnik zrobiony

oraz od tego jak ą ma długość i jaki przekrój (to właśnie odkrył Ohm):

S

lR ⋅ρ= (1.11)

l

S

l

S1

R

1G ⋅γ=⋅

ρ== (1.11.a)

gdzie: l - długość przewodnika,

S - powierzchnia przekroju przewodnika,

ρ (czyt.: ro), (gamma) ρ

=γ 1 - współczynniki zależne od materiału z jakiego

wykonany jest przewodnik,

Parametryl

SR ⋅=ρ i

S

lG

1⋅=

ρ=γ noszą nazwy: rezystywność (ρ ) i konduktywność ( γ ).

Mają one charakter wielkości fizycznych charakteryzują cych właściwości elektryczne materiałów.

Jako wielkości fizyczne mają swoje jednostki:

m1m

2m 1

]l[1

]S[1]R [1][1 Ω=⋅Ω=⋅=ρ

m

S 1

]S[1

]l[1]G[1][1 =⋅=γ

Ponieważ przekroje przewodów na ogół są niewielkie w porównaniu z ich długościami i

mierzy się je raczej w 2mm niż w 2m , więc w praktyce wygodniej jest stosować jednostki:

m

2mm 1][1 ⋅Ω=ρ

2mm

mS1][1 =γ

Materiałami o dużej konduktywności (a więc o małej rezystywności) są metale. Używane są one do produkcji przewodów i kabli.

Konduktywności niektórych materiałów przewodzą cych (por. Poradnik Inżyniera Elektryka.

WN-T, Warszawa 1974):

srebro: 2mm

m

S 1,86 ; miedź: 2mm

m

S 85 ;

złoto:2mm

mS 8,74 ; glin (aluminium):

2mm

mS 6,33

żelazo:2mm

mS 0,31 ; platyna:

2mm

mS 01

W odbiornikach energii elektrycznej zachodzi przemiana energii elektrycznej na energię

nieelektryczną (por. pkt. 1.4.). Energia nieelektryczna w jak ą przemienia się energia elektryczna

podczas przepływu pr ą du przez najprostszy odbiornik, a więc przez kawałek przewodnika jest energią cieplną . Pole elektryczne wprawiają c (w przewodnikach I rodzaju) elektrony w ruch nadaje im

energię. Skutkiem zderzania się z atomami siatki krystalicznej rozpędzone elektrony oddają im część tej energii wprawiają c siatk ę w drganie, co przejawia się jako wzrost temperatury. Podobne zjawisko



- 13 -

(ale dotyczą ce poruszają cych się jonów i elektrolitu) wystę puje w przewodnikach II rodzaju.

Moc (szybkość przemiany) wystę pują cej tu przemiany energii wynosi (dla pr ą du stałego - por.

wzór 1.8): IUP ⋅= .

Uwzględniają c prawo Ohma otrzymuje się zależność (a właściwie zależności):

G

I

R

UUGIR IUP

2222 ==⋅=⋅=⋅= (1.12)

Stwierdzenie, że cała energia elektryczna wydzielana w przewodniku zamienia się na energię

cieplną wraz ze wzorem (1.12) opisują cym tę przemianę ilościowo znane są w elektrotechnice jako

prawo Joule’a.

Prawo Joule’a jest słuszne w każdej chwili czasowej:

G

i

R

uGuRiui p

2222 ===== (1.12.a)

Energia jaka wydzieli się w czasie ]t,0[t =∆ wynosi (dla pr ą du stałego):

tRItUIW 2)t,0( ∆=∆= . Łatwo daje się wyprowadzać dalsze wersje tego wzoru wynikają ce z

zależności (1.12).

Dla ogólnego przypadku pr ą du o natężeniu zmieniają cym się w czasie jest:

∫ τ⋅= τ

t

0

2)()t,0( diR W )

1.6. Rezystor idealny

Rezystor idealny jest to taki przewodnik, w którym zachodzi wyłą cznie jedno zjawisko

energetyczne: zamiana energii elektrycznej na energię cieplną . Opisywane jest ono prawami Ohma i

Joule’a. Takich przewodników w rzeczywistości

nie ma. W rzeczywistych przewodnikach

zawsze wystę pują jeszcze i inne zjawiskafizyczne: powstawanie pola magnetycznego,

zwią zane z tym zjawisko samoindukcji,

indukowanie się napięć spowodowane

zmiennymi polami magnetycznymi,

gromadzenie ładunków elektrycznych itd., itp.

Jednak dla niektórych obiektów (żarówka,

grzejnik elektryczny, opornik

radioelektroniczny) powyższa idealizacja jest

wystarczają co dok ładnym uproszczeniem. Zamiana energii elektrycznej na energię cieplną jest w nich

zjawiskiem dominują cym, inne zjawiska można - w pierwszym przybliżeniu - pominąć.

Rezystor idealny może być też traktowany jako obiekt abstrakcyjny. Wtedy naprawdę jest

takim elementem, w którym nie zachodzą inne zjawiska poza przepływem pr ą du i zwią zaną z nimzamianą energii elektrycznej na energię cieplną . Jako taki jest tworem czysto teoretycznym, takim jak

np. geometryczna kula (rozumiana jako zbiór punktów, których odległość od określonego punktu jest

mniejsza lub równa „r”). Taki rezystor idealny tak się ma do rzeczywistych rezystorów jak

wspomniana kula geometryczna do spotykanych w przyrodzie obiektów kulistych - jest ich

matematyczną idealizacją .Metoda naukowa, która tu została zastosowana nazywana jest metodą idealizacyjną . Polega

ona na tym, że złożone obiekty i zjawiska przedstawia się przy pomocy ich idealnych modeli, takich

jak ciało sztywne, ładunek punktowy, równia bez tarcia, itd. itp. Dopiero gdy uproszczenie okazuje się

zbyt grube konstruuje się bardziej rozbudowany (cią gle jednak wyidealizowany) model (np. równia z

tarciem). Metoda ta świadomie stosowana jest w naukach przyrodniczych co najmniej od czasów

Galileusza i przyniosła im niebywałe sukcesy.

Rezystor rzeczywisty, fizyczny posiada swoje wymiary geometryczne: długość, przekrój.Rezystor idealny ich nie ma. Charakteryzuje go tylko jeden parametr: rezystancja. O takich



- 14 -

elementach mówi się, że ich parametry (zwane stałymi) są skupione. Obwody z takimi elementami

nazywane są obwodami o stałych skupionych. Złożone z elementów bezwymiarowych i one nie

mają wymiarów geometrycznych. Stą d w obwodach z takimi elementami wszystkie zjawiska

zachodzą jednocześnie.

Charakterystyka pr ą dowo-napięciowa rezystora dana jest (dla pr ą du stałego) wyrażeniem:

R IU ⋅= ( GUI ⋅= ). Wykres tej funkcji jest linią prostą . Stą d rezystor nazywany jest elementem

liniowym.

Ze względu na swój charakter rezystor jest nazywany elementem pasywnym, albo biernym.

Elementy pasywne są to takie elementy, które zawsze są odbiornikami energii elektrycznej, nie mogą być jej źródłami.

Wystę pują ca w rezystorze przemiana energii elektrycznej na energię cieplną przebiega zawsze

jednokierunkowo, jej efektem jest rozpraszanie energii. Stą d rezystor nazywany jest elementem

rozpraszają cym, albo dyssypatywnym.

Rezystor jest elementem dwuzaciskowym. Takie elementy noszą nazwę dwójników.

Pewne obiekty rzeczywiste (takie jak żarówka, piec elektryczny itp.) mają (w pierwszym

przybliżeniu) taki sam opis matematyczny jak rezystor idealny. Zatem rezystor idealny można

traktować jako ich (stosownie uproszczony) model. Do celów obliczeniowych można nim te obiektyzastą pić. Rysunek obwodu elektrycznego (takie rysunki nazywane są schematami), na którym zamiast

elementów rzeczywistych wystę pują elementy idealne o takim samym (z założoną dok ładnością )opisie matematycznym jest schematem zastępczym tego obwodu.

Rezystor idealny wystę puje na takich schematach „w zastę pstwie” rzeczywistej żarówki, rury

świetlówki, pieca elektrycznego, przyrzą du magnetoelektrycznego, opornika radioelektronicznego itp.

Schematy zastę pcze przydatne są do obliczeń parametrów elektrycznych obiektów lub ich części

funkcjonalnych, a tak że do analiz teoretycznych.

Koncepcja schematu zastę pczego jest jedną z najważniejszych koncepcji elektrotechniki

teoretycznej.

1.7. Zależność rezystancji od temperatury

Pod wpływem fizycznych czynników zewnętrznych, takich jak ciśnienie, wilgotność, pole

magnetyczne, pole elektryczne itd. itp. rezystywność materiału zmienia się (zmienia się tak że

oczywiście odwrotność rezystywności: konduktywność). Największe znaczenie praktyczne ma

zmienność rezystywności pod wpływem zmian temperatury.

Stwierdzono, że dla przewodników II

rodzaju (elektrolity) ze wzrostem temperatury

rezystywność maleje. Dla przewodników I rodzaju

(metale i ich stopy) jest odwrotnie: wraz ze

wzrostem temperatury rezystywność rośnie.

Intensywność tego zjawiska jest różna dla różnych

materiałów. Ogólnie rzecz bior ą c, rezystywność

stopów jest mniej zależna od temperatury niż

rezystywność czystych metali.

Zależność rezystywności od temperatury

jest nieliniowa. Dla metali i ich stopów w

temperaturach „umiarkowanych” ( C200C100 oo +÷− ) nieliniowość ta jest na tyle niewielka, że w

przybliżeniu można ją aproksymować linią prostą , co pokazano na rys. 1.13. Opisuje tę zależność wzór analityczny:

)(tg 0101 ϑ−ϑ⋅γ+ρ=ρ (1.13)

- gdzie γtg jest (stałym w całym rozpatrywanym przedziale zmienności temperatury)

współczynnikiem nachylenia prostej aproksymują cej zależność.

Ponieważ rezystancja danego przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego rezystywnościwięc zależność rezystancji od temperatury ma tak ą samą postać.

W elektrotechnice przyjęło się stosowanie - jako wielkości opisują cej zależność rezystywności



- 15 -

(rezystancji) od temperatury - tzw. współczynnika temperaturowego rezystancji:

ooo

1tg

ρ⋅

ϑ∆

ρ∆=

ρ

γ=α

Stą d wzór:

)](1[ 01o01 ϑ−ϑ⋅α+ρ=ρ (1.13a)

Słuszna jest też oczywiście zależność:)](1[R R 01o01 ϑ−ϑ⋅α+= (1.13b)

Przy wyznaczaniu oα współczynnik nachylenia γtg (stały w całym przedziale) jest dzielony

przez rezystywność oρ w temperaturze oϑ , więc wartość współczynnika oα zależy od tego jaka to

jest temperatura. W katalogach materiałów przewodzą cych jest on podawany dla temperatury C20o

.

Dla miedzi jest:K 10

104,0

K 1

1004,0

K 1

100393,0C20o =≈≅α

Zależność współczynnika temperaturowego rezystancji oα od temperatury oϑ , dla jakiej jest

wyznaczany jest nieco uciążliwa przy obliczeniach. Rozważmy, przyk ładowo, nastę pują cy przyk ład:

PRZYK ŁAD

W temperaturze Co

121 =ϑ rezystancja wykonanego z miedzi uzwojenia maszyny

elektrycznej ma wartość Ω= 512R . Należy wyznaczyć rezystancję uzwojenia w temperaturze

Co

452 =ϑ .

Nie można tu bezpośrednio korzystać z wzoru (1.13.) gdyż katalogowy współczynnik

temperaturowy rezystancji dla miedzi określony jest nie dla Co12 lecz dla Co20 . Musimy najpierw

wyliczyć rezystancję uzwojenia dla temperatury Co20 i dopiero potem dla temperatury Co45 :

[ ])2012(1R R 202012 −⋅α+= ⇒ Ω≈⋅−

=−⋅α+

= 16,5800393.01

5

2012(1

R R

20

1220

[ ] Ω≈⋅+⋅≈−⋅α+= 67,5)2500393,01(16,5)2045(1R R 202045

Przydatnym może być wzór umożliwiają cy przeliczanie współczynnika z „katalogowej”

temperatury C20o na dowolną temperatur ę ϑ .

Wyprowadza się go dzielą c przez siebie stronami dwie (oczywiste) zależności:

[ ])20(1R R 2020 −ϑ⋅α+=ϑ i [ ])20(1R R 20 ϑ−α+= ϑϑ

Po podzieleniu jest:

[ ][ ]20(1R

R

R

)20(1R

2020

20

−ϑα+=

ϑ−α+

ϑ

ϑϑ

stą d:

)20(201

1)20(1

−ϑα+=ϑ−ϑα+ ⇒

)20(201

)20(20

)20(201

)20(2011)20(

−ϑα+

ϑ−α=

−ϑα+

−ϑα−−=ϑ−ϑα

i ostatecznie:

)20(201

20

−ϑα+

α=ϑα

Korzystają c z wyznaczonego wzoru rezystancję z rozważanego przyk ładu można wyznaczyć

nastę pują co:

K 1

1 0041,0

800393,01

00393,0

)2012(1 20

2012 ≈

⋅−=

−α+

α=α

[ ] Ω≈⋅+⋅≈−⋅α+= 67,5)330041,01(5)1245(1R R 121245

Zależność rezystywności metali od temperatury wykorzystywana jest do pomiaru temperatury.



- 16 -

Jak już to powiedziano wyżej, zależność ta jest tylko w przybliżeniu liniowa. Stosunkowo małą nieliniowość wykazuje platyna, nieco większą nikiel i miedź. Stą d właśnie te materiały są stosowane

do produkcji tzw. termometrów metalowych. Przede wszystkim platyna (termometr Pt100). Jako metal

szlachetny nie ulega ona korozji i dzięki temu utrzymuje niezmienne właściwości.

Gdy trzeba uwzględnić nieliniowość zależności (szerszy zakres temperatur: np. rozżarzony

drucik wolframowy w żarówce albo wymóg większej dok ładności: np. termometr metalowy) stosuje

się wzór aproksymacyjny (szereg MacLaurina):

...])()()(1[R R 3oo

2ooooo +ϑ−ϑ⋅δ+ϑ−ϑ⋅β+ϑ−ϑ⋅α+=ϑ (1.13c)

Na ogół do zadawalają co dok ładnych obliczeń wystarcza uwzględnianie zaledwie trzech

pierwszych wyrazów tego szeregu.

Przyk ładowo, polskie normy podają dla wykonanego z platyny czujnika Pt100, dla przedziału

temperatur C850C0 oo − tylko współczynniki: 30 109083,3 −⋅=α i 7

0 10775,5 −⋅−=β . W

temperaturze C0o

czujnik platynowy Pt100 ma rezystancję Ω 100 zatem wzór na przebieg

zależności rezystancji od temperatury (dla przedziału temperatur C850C0 oo − ) ma postać:

273 10775,5109083,31100)(R ϑ⋅⋅−ϑ⋅⋅+⋅=ϑ −−

1.8. Źródła energii elektrycznej

1.8.1. Źródła idealne

Zjawiska elektryczne opisuje się w teorii obwodów za pomocą dwu wielkości: napięcia

elektrycznego (różnicy potencjałów) i natężenia pr ą du elektrycznego. Dany element jest

charakteryzowany specyficzną dla niego zależnością pomiędzy tymi wielkościami. Stosują c metodę

idealizacyjną , można zaproponować aż dwa wyidealizowane (tj. takie, których opis matematyczny jest

najprostszy możliwy) modele źródła:

- takie źródło które daje się opisać wyłą cznie przy pomocy napięcia: idealne źródło

napięciowe: siła elektromotoryczna (SEM), tożsama z różnicą potencjałów wymuszaną przez źródłona jego zaciskach, oznaczana liter ą „E” (albo „e”)

oraz

- takie źródło które daje się opisać wyłą cznie przy pomocy natężenia pr ą du: idealne źródłoprą dowe: siła prą domotoryczna, zwana też prą dem źródłowym (SPM), tożsama z natężeniem

pr ą du wymuszanym przez źródło. Idealne źródło pr ą dowe oznaczane jest liter ą „J” (albo „j”) tak jak

gęstość pr ą du (co może prowadzić do nieporozumień jeżeli właściwe znaczenie nie wynika jasno z

kontekstu).

Graficzne symbole SEM i SPM, zgodne z obowią zują cą polsk ą normą pokazano na rysunkach

1.14., 1.15 i 1.16.

Dla idealnego źródła napięciowego pr ą du stałego słuszna jest zależność:

constEU == (1.14) Napięcie na zaciskach źródła jest stałe (równe SEM), nie zależy od pobieranego ze źródła

pr ą du.

Idealnych źródeł napięciowych w

rzeczywistości nie ma, w pierwszym

przybliżeniu można jednak za takie

uważać wiele źródeł rzeczywistych.

Wszyscy znają to z potocznego

doświadczenia - kupiona w kiosku

bateryjka charakteryzowana jest przez

napięcie, które zachowuje (w

przybliżeniu) przez cały okres pracy (agdy przestaje zachowywać to ją wyrzucamy). Jeszcze lepszym modelem idealnego źródłanapięciowego jest laboratoryjny stabilizowany zasilacz napięciowy.



- 17 -

Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięciowego jest stałe, niezależne od natężenia

pobieranego z niego pr ą du. Może ono jednak zmieniać się w czasie (tak jest np. w pr ą dnicach pr ą du

sinusoidalnie zmiennego). W przypadku ogólnym słuszna jest więc zależność:

iconst)t(e)i,t(u == (1.14.a)

(napięcie jest niezależne od pr ą du, choć może zmieniać się w czasie)

Dla idealnego źródła prą dowego pr ą du stałego słuszna jest zależność:

constJI == (1.15)

Pr ą d wydawany przez źródło jest stały (równy SPM), nie zależy od napięcia jakie panuje na

zaciskach.

Idealnych źródeł pr ą dowych w

rzeczywistości nie ma. Trudno też znaleźć

znane z życia codziennego przyk łady

źródeł, które można by chociaż „w

pierwszym przybliżeniu” traktować jako

idealne źródła pr ą dowe (stą d elektrycy

unikają stosowania ich w analizach, są dla

nich „mało intuicyjne”). Najbardziej

znanymi modelami fizycznymi idealnego

źródła pr ą dowego pr ą du stałego są laboratoryjny stabilizowany zasilacz pr ą dowy i specjalny rodzaj

pr ą dnicy pr ą du stałego zwany metadyną .Termin „siła pr ą domotoryczna” (SPM) jest używany zamiennie z terminem „pr ą d źródłowy”.

Pr ą d wydawany przez idealne źródło pr ą dowe jest stały, niezależny od napięcia

wystę pują cego na źródle. Może on jednak zmieniać się w czasie (tak jest np. w pewnych pr ą dnicach

pr ą du sinusoidalnie zmiennego). W przypadku ogólnym słuszna jest więc zależność:

uconst)t( j)u,t(i == (1.15.a)

(wartość natężenia pr ą du jest niezależna od napięcia, choć może zmieniać się w czasie)

Charakterystyki pr ą dowo-napięciowe obydwu źródeł idealnych: napięciowego i pr ą dowego są liniami prostymi. Są to zatem elementy liniowe.

Ze względu na swój charakter: wprawianie w ruch ładunków elektrycznych, wymuszanie

przepływu energii, noszą one nazwę elementów aktywnych, albo czynnych.

Zarówno idealne źródło napięciowe jak i idealne źródło pr ą dowe są elementami

dwuzaciskowymi. Są więc dwójnikami.

Takie elementy mogą być albo źródłami albo odbiornikami. Źródłami są wtedy gdy

dostarczają energię elektryczną , co przejawia się tym, że przy strzałkowaniu źródłowym zarówno ich

pr ą d jak i napięcie przyjmują wartości dodatnie (albo jednocześnie ujemne). Gdy przy dodatniej

wartości napięcia natężenie pr ą du ma wartość ujemną (albo gdy jest odwrotnie: napięcie ujemne, pr ą ddodatni) element pobiera energię, jest zatem odbiornikiem, odbiornikiem aktywnym.

Obecnie (rok 2004) prawdopodobnie cią gle jeszcze nie ma podr ęczników, które stosowałyby

oznaczenia SEM i SPM z rys. 1.14. i 1.15., nakazane, jako obowią zują ce przez aktualne polskie

normy. Używane są oznaczenia tradycyjne pokazane na rys. 1.16. Elektryk powinien znać i jedne idrugie. Z wszystkimi będzie się w pracy zawodowej spotykał.



- 18 -

Teoria obwodów elektrycznych zajmuje się również takimi źródłami, których parametry są zależne od innych wielkości elektrycznych: pr ą dów płyną cych w obwodzie lub wystę pują cych w

obwodzie napięć. Noszą one nazwę idealnych źródeł sterowanych.

Rozróżnia się cztery rodzaje idealnych źródeł sterowanych:

- idealne źródła napięciowe sterowane pr ą dowo;

- idealne źródła napięciowe sterowane napięciowo;

- idealne źródła pr ą dowe sterowane pr ą dowo;

- idealne źródła pr ą dowe sterowane napięciowo;

Na rys. 1.17. pokazano oznaczenia źródeł sterowanych na schematach elektrycznych.

Koncepcję źródła sterowanego wykorzystuje się przede wszystkim w elektronice, do analizy

pracy tranzystorów i urzą dzeń pokrewnych (tu trzeba dodać, że elektronicy tradycyjnie stosują ,niezgodne z obowią zują cą normą , inne niż „silnopr ą dowcy” symbole graficzne źródeł idealnych).

Jako źródło sterowane można również traktować pr ą dnicę pr ą du stałego. Pr ą dem sterują cym sI jest tu

pr ą d magnesują cy.

Na ogół w rzeczywistych źródłach sterowanych zależność pomiędzy pr ą dem lub napięciem

sterują cymi a SEM lub SPM źródła jest - inaczej niż w idealnych źródłach sterowanych z rysunku -

nieliniowa, co jednak często się pomija.

1.8.2. Źródła rzeczywiste

Idealne źródło napięciowe i idealne źródło pr ą dowe są najprostszymi opisami (schematami

zastę pczymi) źródeł energii elektrycznej. Dla wielu zastosowań praktycznych przyjęcie niezmienności

napięcia źródła (dla źródeł napięciowych) lub jego pr ą du

(dla źródeł pr ą dowych) jest zbyt daleko idą cym

uproszczeniem. Potrzebny jest model bardziej zgodny z

wynikami uzyskanymi z badania rzeczywistych,

fizycznych źródeł energii.

Niech - przyk ładowo - takim źródłem będzie

tzw. „bateryjka płaska” (z rysunku 1.18.), a więc źródłozłożone z suchych ogniw galwanicznych. Zbadajmy

jego zachowanie przy obciążaniu rezystorem oR o

rezystancji zmieniają cej się od wartości ∞→oR

(przerwa) do wartości Ω= 0R o (zwarcie). Mierzmy

przy tym napięcie na zaciskach źródła i natężenie pr ą du

płyną cego w obwodzie.

Dla ∞→R (obwód rozwarty) pr ą d nie płynie ( A 0I = ). Jest to stan jałowy. Napięcie jest

największe: oU - napięcie jałowe. Dla Ω= 0R o (stan zwarcia) pr ą d jest największy możliwy: zI -

pr ą d zwarcia. Napięcie jest równe zeru ( V0R IU oz =⋅= ).

Dla wartości pośrednich wyniki uzyskane z eksperymentu, przedstawione wykreślnie,

uk ładają się w przybliżeniu w odcinek linii prostej (por. rys. 1.19.Równanie analityczne tej linii można wyznaczyć wykorzystują c proporcjonalność boków



- 19 -

trójk ą tów podobnych.

Jest:

UIIUIU II

0U

0I

0Uzozo

zz

o =−⇒−

−=

−

−(1.16)

Stą d poszukiwane równanie:

IIUUU

z

oo −= (1.16a)

Gdyby badane źródło było idealnym

źródłem napięciowym, równanie powyższe miałoby

postać: EU = , co oznaczałoby, że wartość napięcia

jest stała, niezależna od natężenia pr ą du pobieranego

ze źródła. Członem równania (1.16a) określają cym

zależność napięcia od pr ą du jestz

o

I

U. Gdy ten człon

odrzucić (upraszczają c opis źródła) otrzymuje się:

oUU = . Porównują c to wyrażenie z równaniem

źródła idealnego (1.15) otrzymany: EUo ≡ - siła

elektromotoryczna źródła jest tożsama z jego napięciem w stanie jałowym.

Wystę pują cy w równaniu (1.16a) ilorazz

o

I

Uma wymiar Ω=

A1

V1

1- taki jak rezystancja.

Sensownym jest nazwanie go rezystancją (chociaż nie mamy prawa twierdzić, że jest to jakaś rzeczywista rezystancja, przecież nie badaliśmy budowy źródła a jedynie zależność napięcia na jego

zaciskach od pobieranego pr ą du). Wielkości oU i zI dotyczą źródła, są jego parametrami

„wewnętrznymi” zatem jest to umyślona rezystancja wewnętrzna źródła. Oznacza się ją symbolem

wR .

Wzór (1.16) otrzymuje teraz postać:

IR EU w−= (1.17)

Rozważmy teraz obwód złożony z trzech

elementów idealnych E, wR i oR połą czonych

szeregowo jak to pokazuje rys. 1.20. Dla połą czenia

szeregowego jest: wUUE += . Dla rezystora wR

obowią zuje prawo Ohma, jest zatem: IR U ww = . Stą d:

IR UE w+= , co można przekształcić do postaci:

IR EU w−= .

Równanie to jest identyczne z wyprowadzonym z

danych eksperymentalnych równaniem (1.17) opisują cymźródło rzeczywiste. Zatem schemat z rysunku 1.20.

przedstawia schemat zastę pczy źródła rzeczywistego.

Wystę puje w nim źródło idealne napięciowe, stą d nazwa: schemat zastę pczy napięciowy (potocznie:

źródło rzeczywiste napięciowe).

Wzór (1.16) można też przekształcić tak, by wyrazić nie napięcie w funkcji pr ą du, jak we

wzorze (1.16a), lecz pr ą d w funkcji napięcia. Otrzymuje się wtedy wyrażenie:

UU

III

o

zz −= (1.16b)

Rozważania podobne do przeprowadzonych dla wyrażenia 1.16a. prowadzą do utożsamiania

pr ą du zwarcia zI z siłą pr ą domotoryczną J oraz do nadania (mają cemu wymiar konduktancji)



- 20 -

ilorazowio

z

U

Istatusu umyślonej konduktancji wewnętrznej źródła, oznaczanej symbolem wG .

W ten sposób otrzymuje się równanie:

UGI w−= J (1.18)

Jest ono jedynie inną formą równania (1.16). Pozwala jednak na wyprowadzanie jeszcze

jednego schematu zastę pczego źródła rzeczywistego.Rozważmy obwód złożony z trzech elementów

idealnych J, wG i oG połą czonych równolegle jak to

pokazuje rys. 1.21. Dla połą czenia równoległego jest:

wIJ += I . Dla rezystorów obowią zuje prawo Ohma jest

zatem: UGI ww = . Stą d: UGIJ w+= , co można

przekształcić do postaci: UGJI w−= .

Równanie to jest identyczne z wyprowadzonym z

danych eksperymentalnych równaniem (1.18) opisują cym

źródło rzeczywiste. Zatem rysunek 1.21. przedstawia schemat

zastę pczy źródła rzeczywistego. Wystę puje w nim źródłoidealne pr ą dowe, stą d nazwa: schemat pr ą dowy (albo: źródło rzeczywiste pr ą dowe).

Obydwa schematy zastę pcze źródła rzeczywistego: źródło rzeczywiste napięciowe i źródłorzeczywiste pr ą dowe oparte są o te same dane empiryczne, wynikają z takiego połą czenia

odpowiednio dobranych elementów idealnych, by ich opis matematyczny był tożsamy z różnymi

wersjami tego samego równania matematycznego (1.16). Stą d są sobie równoważne, pod warunkiem,

że wystę pują ce w nich parametry odpowiadają sobie nawzajem. Tymi parametrami są E i wR dla

źródła rzeczywistego napięciowego oraz J i wG dla źródła rzeczywistego pr ą dowego. Parametry te

pochodzą od wielkości oU i zI charakteryzują cych źródło rzeczywiste. Jest: oUE = i zIJ = , a

tak że:z

ow

I

UR = i

oU

zw

IG = . Jest zatem również:

J

ER w = i

E

JG w = .

Stą d wynikają warunki wzajemnej równoważności źródeł rzeczywistych.

Warunek równoważności źródła napięciowego o parametrach E i wR źródłowi pr ą dowemu o

parametrach J i wG :

wG

JE = i

ww

G

1R = (1.19a)

Warunek równoważności źródła pr ą dowego o parametrach J i wG źródłowi napięciowemu o

parametrach E i wR :

wR

EJ = i

ww

R

1G = (1.19b)

Źródła idealne są szczególnymi („osobliwymi”) przypadkami źródeł rzeczywistych. Dlaidealnego źródła napięciowego 0wR = , dla idealnego źródła pr ą dowego 0wG = . Z wzorów (1.19)

wynika jasno, że nie istnieje źródło pr ą dowe równoważne idealnemu źródłu napięciowemu, ani źródłonapięciowe równoważne idealnemu źródłu pr ą dowemu.

Schematy przedstawiają ce źródło rzeczywiste jako rzeczywiste źródło pr ą dowe lub

rzeczywiste źródło napięciowe wyprowadzono na podstawie charakterystyki pr ą dowo-napięciowej

źródła galwanicznego. Jednak każde źródło rzeczywiste (pr ą du stałego) ma (w uproszczeniu) tak ą samą charakterystyk ę. Zatem przedstawione wyżej schematy można stosować jako schematy

zastę pcze najróżniejszych źródeł: rzeczywistych: pr ą dnic maszynowych, ogniw galwanicznych, ogniw

paliwowych, fotoogniw itd. itp.

Schematy te powstały na podstawie zewnętrznego badania źródła rzeczywistego, zatem (w

sposób oczywisty) nie modelują one jego wewnętrznej struktury. Czasami jednak rzeczywistym

źródłom energii elektrycznej przypisuje się struktur ę zbliżoną do struktury rzeczywistego źródłanapięciowego. Wtedy parametry schematu zastę pczego tych źródeł można utożsamiać z parametrami



- 21 -

ich rzeczywistych elementów sk ładowych. Przyk ładowo dla pr ą dnicy rezystancja wewnętrzna bywa

utożsamiana z rezystancją przewodów miedzianych, z których jest wykonane uzwojenie jej twornika.

W źródłach energii elektrycznej nastę puje zamiana energii nieelektrycznej (chemicznej,

mechanicznej itp.) na energię elektryczną . Kierunek przemiany energetycznej może być jednak

odwrotny, np. ładowanie akumulatora lub praca silnikowa pr ą dnicy. Dzieje się tak wtedy gdy pr ą d w

źródle płynie od potencjału wyższego do niższego. Wymusza (wymuszają ) to źródło (źródła)

zewnętrzne.

1.9. Liniowość, superpozycja

Wszystkie poznane przez nas dotą d elementy obwodu elektrycznego są elementami liniowymi

- wykresy ich charakterystyk pr ą dowo-napięciowych są liniami prostymi. Obwody, w których

wystę pują wyłą cznie elementy liniowe nazywają się obwodami liniowymi. Jeżeli wykres

charakterystyki pr ą dowo-napięciowej elementu nie jest (przy założonym przybliżeniu) linią prostą jest

on elementem nieliniowym. Obwód elektryczny, w sk ład którego wchodzi chociaż jeden element

nieliniowy jest obwodem nieliniowym.

W obwodach liniowych można stosować superpozycję. Mówimy, że obowią zuje w nich

zasada superpozycji. Jeżeli w danym uk ładzie obowią zuje zasada superpozycji to w tym uk ładzieodpowiedź na kilka wymuszeń działają cych jednocześnie jest równa sumie odpowiedzi na każde z

tych wymuszeń działają cych oddzielnie. Wymuszeniem nazywamy tu wielkość fizyczną charakteryzują cą zewnętrzną przyczynę wystę powania jakiegoś zjawiska, a odpowiedzią wielkość

fizyczną charakteryzują cą samo to zjawisko. W obwodzie elektrycznym wymuszeniem może być siłaelektromotoryczna (lub siła pr ą domotoryczna) - odpowiedzią pr ą d (płyną cy w efekcie działania tego

wymuszenia).

Superpozycja polega na wyznaczaniu odpowiedzi na pojedyncze wymuszenia i nastę pnie

dodawaniu ich do siebie. Jeżeli w danym uk ładzie obowią zuje superpozycja to wtedy taka suma

odpowiedzi jest równa odpowiedzi na jednoczesne wystę powanie wszystkich uwzględnionych

pojedynczych wymuszeń.

Zastosujmy to do prostego, nierozgałęzionego liniowego obwodu elektrycznego.



- 22 -

W obwodzie z rys. 1.24. pr ą d I ma wartość:oR

2E1EI

+= . Gdy wymuszenia działają

pojedynczo, natężenia pr ą du wynoszą :oR

1E'I = i

oR

2E''I = . Stą d:

oR

2E1E

oR

2E

oR

1E''I'II

+=+=+= .

Zasada superpozycji jest spełniona.

Na rys. 1.25. pokazano graficzny sposób wyznaczania pr ą du w obwodzie nierozgałęzionym zdwoma siłami elektromotorycznymi (jest to obwód o schemacie z rys. 1.24.). Rysunek przedstawia

charakterystyk ę pr ą dowo-napięciową rezystora oR , na której można bezpośrednio odczytywać

natężenia pr ą dów przy różnych wymuszeniach ( 1E , 2E i 21 EE + ). Widać wyraźnie, że gdy rezystor

ma charakterystyk ę nieliniową zasada superpozycji nie jest spełniona.

Zasada superpozycji i liniowość są ze sobą ściśle zwią zane. Obwód liniowy bywa

definiowany jako taki obwód, w którym obowią zuje zasada superpozycji.

1.10. Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła

Zbadajmy jak zmieniają się parametry (napięcie, pr ą d, moc, sprawność) źródła rzeczywistego

w funkcji zmian rezystancji (konduktancji) obciążają cego je odbiornika rezystancyjnego.Rozważać będziemy rzeczywiste źródło napięciowe i równoważne mu rzeczywiste źródło



- 23 -

pr ą dowe przy zmieniają cej się wartości rezystancji (konduktancji) odbiornika rezystancyjnego.

Pr ą d źródła rzeczywistego napięciowego: Napięcie źródła rzeczywistego pr ą dowego:

owo

R R

E)R (I

+=

owo

GG

J)G(U

+=

Zależność wartości pr ą du źródła rzeczywistego napięciowego od rezystancji odbiornika mataki sam przebieg jak zależność wartości napięcia źródła rzeczywistego pr ą dowego od konduktancji

odbiornika. Podobnie jest z napięciem źródła napięciowego i pr ą dem źródła pr ą dowego:

ow

ooo

R R

R ER I)R (U

+⋅=⋅=

ow

ooo

GG

GJGU)G(I

+⋅=⋅=

Zależności (i odpowiadają ce im wykresy) dla źródła napięciowego podane są w funkcji

rezystancji odbiornika, a zależności (i wykresy) dla źródła pr ą dowego w funkcji konduktancji - jej

odwrotności. Właśnie wtedy przebieg pr ą du dla jednego modelu odpowiada przebiegowi napięcia w

modelu drugim. Odpowiednie wyrażenia można przekształcić tak, by tak że parametry źródła pr ą dowego były wyrażone w funkcji rezystancji. Wtedy wykresy zależności dla źródła pr ą dowego są

identyczne jak odpowiednie wykresy dla źródła napięciowego.Wyprowadźmy teraz wyrażenia na zależność mocy odbiornika od jego rezystancji

(konduktancji):

2ow

o2o

2oo

)R R (

R ER I)R (P

+⋅=⋅=

2ow

o2o

2oo

)GG(

GJGU)G(P

+⋅=⋅=

Przebiegi te mają maksima. Stan, w którym wystę pują te maksima, a więc w którym odbiornik

pobiera ze źródła energię z największą możliwą mocą nosi nazwę stanu dopasowania

energetycznego odbiornika do źródła. Wartość rezystancji (konduktancji) dopR ( dopG ), przy

której to zachodzi można obliczyć przyrównują c do zera pochodną wyrażenia na moc: 0dR

)R (dP

o

oo =



- 24 -

( 0dG

)G(dP

o

oo = ).

Dla źródła rzeczywistego napięciowego jest:

0

)R R (

R R E

)R R (

)R R (2R )R R (E

dR

)R (dP

4

ow

2w

2o2

4

ow

owo2

ow2

o

oo =

+

−⋅=

+

+⋅⋅−+⋅=

stą d:

0R R 2w

2o =−

dopwo R R R ==

Wyrażenie uzależniają ce moc odbiornika od jego konduktancji dla źródła rzeczywistego

pr ą dowego ma identyczną struktur ę jak wyrażenie, z którego wyprowadziliśmy tę zależność. Stą dkonduktancja przy której zachodzi dopasowanie energetyczne ma wartość:

wdop GG =

Odbiornik rezystancyjny pobiera z danego źródła energię z największą możliwą (dla tego

źródła) mocą gdy jego rezystancja (konduktancja) ma tak ą samą wartość jak rezystancja

(konduktancja) wewnętrzna źródła. Jest wtedy do tego źródła dopasowany energetycznie.W warunkach dopasowania energetycznego napięcie na odbiorniku (por. rysunki 1.28a i

1.27b) jest równe połowie SEM ( oUE = ) - największej wartości napięcia jak ą można z danego źródła

otrzymać. Na ogół odbiorniki do poprawnej pracy potrzebują konkretnej, stabilnej wartości napięcia.

Największe i mało zależne od obciążenia napięcie otrzymuje się przy względnie dużych rezystancjach

obciążenia. Stan taki nazywany bywa dopasowaniem napięciowym. Z rysunków 1.27a. i 1.28b.

widać, że również pr ą d odbiornika przy dopasowaniu energetycznym osią ga wartość równą połowie

SPM ( zIJ = ) - wartości największej możliwej. Największe i mało zależne od wartości rezystancji

obciążenia natężenia pr ą du otrzymuje się przy względnie małych rezystancjach obciążenia. Stan taki

nazywany bywa dopasowaniem prą dowym.

Zbadajmy teraz jeszcze jaka jest sprawność energetyczna rozważanego uk ładu.

Sprawność to stosunek mocy użyteczneju

P do mocy dostarczanejd

P (tak że wyrażany w

procentach). W naszym przypadku moc użyteczna to moc oP z jak ą pobiera energię odbiornik. Moc

dostarczana to moc przemiany energii nieelektrycznej na energię elektryczną dokonują ca się

odpowiednio w idealnym źródle napięciowym ( IEEP ⋅= ) lub w idealnym źródle pr ą dowym

( UJJP ⋅= ).

Obydwa, rozważane tu schematy zastę pcze rzeczywistego źródła energii elektrycznej oparte są o dane empiryczne uzyskane z badania zależności napięcia na zaciskach źródła od pr ą du pobieranego

ze źródła. Dane te dotyczą wyłą cznie cech zewnętrznych źródła - podczas ich pozyskiwania nie

badano jego wewnętrznej struktury. Teraz, przy wyznaczaniu sprawności musimy w tę struktur ę

wniknąć. W ten sposób jednak zak ładamy konkretne (odmienne) struktury wewnętrzne dla każdego z

dwu różnych schematów (dla poprzednich rozważań równoważnych sobie): szeregową , z idealną SEM

- dla źródła napięciowego lub równoległą , z idealną SPM - dla źródła pr ą dowego.



- 25 -

2ow

o2ou

)R R (

R EPP

+⋅==

2ow

o2ou

)GG(

GJPP

+⋅==

ow

2Ed

R R

1EIEPP

+⋅=⋅==

ow

2Jd

GG

1JUJPP

+⋅=⋅==

ow

o

ow

2

2ow

o2

E

o

R R

R

R R

1E

)R R (

R E

P

P

+=

+⋅

+⋅

==η oGwG

oG

oGwG

12J

2)oGwG(

oG2J

JP

oP

+=

+⋅

+⋅

==η

Wykresy sprawności z rys. 1.30a i 1.30b. tylko dlatego wyglą dają identycznie gdyż jeden

przedstawia wykres w funkcji rezystancji, a drugi w funkcji konduktancji odbiornika.

Jeżeli w zależności na sprawność dla rzeczywistego źródła pr ą dowego podstawić:

wR

1wG = i

oR

1oG =

otrzymamy:

wR oR

wR

oG

1

wG

1oR

1

oGwG

oG

+=

+=

+=η

i wykres z rys. 1.30c.

Z wykresu tego widać, że sprawność źródła o

rzeczywistej strukturze równoległej, z idealną SPM

jest duża przy małych (względnie) wartościach

rezystancji obciążenia, a więc przy dużych

(względnie) pr ą dach odbiornika. Dla źródła o

strukturze szeregowej z idealną SEM jest odwrotnie:

sprawność jest duża przy małych (względnie) pr ą dach obciążenia, a dużych (względnie)

wartościach rezystancji odbiornika.

Sprawność przy dopasowaniu energetycznym

dla obydwu modeli ma wartość 2

1=η .

Tylko ten ostatni wniosek z przedstawionych wyżej rozważań dotyczą cych sprawności jest

słuszny dla dowolnego źródła, o dowolnej wewnętrznej strukturze fizycznej. Pozostałe dotyczą źródeł o odpowiednich strukturach rzeczywistych.

1.11. Schematy zastępcze

Zadaniem elektrotechniki teoretycznej jest dostarczanie narzędzi do analizowania



- 26 -

rzeczywistych obiektów i obwodów elektrotechniki stosowanej. Narzędzia takie potrzebne są do

wyznaczania parametrów charakteryzują cych te obiekty i obwody, do dobierania tych parametrów

zależnie od potrzeb, do wyliczania zależności pomiędzy różnymi opisują cymi je wielkościami

fizycznymi. Pomocne są w tym schematy zastę pcze. Są one czymś w rodzaju „ideograficznego

zapisu” zależności matematycznych (mniej lub bardziej uproszczonych) opisują cych rzeczywiste

obiekty.

Wystę pują w nich elementy idealne: rezystory, siły elektromotoryczne i siły pr ą domotoryczne

(w dalszym toku kursu elektrotechniki teoretycznej poznamy jeszcze i inne). Są one czymś w rodzaju

klocków lego, z których można zestawiać uk łady odwzorowują ce dowolne, złożone obiekty i obwody

rzeczywiste. Rzecz w tym, by opis matematyczny takiego „zbudowanego z elementów idealnych”

obwodu był taki sam jak (stosownie uproszczony) opis obwodu (obiektu) rzeczywistego.

Różne obiekty mają takie same opisy matematyczne, stą d mają one takie same schematy

zastę pcze. Schemat zastę pczy tego samego obiektu może być inny gdy odpowiada on innemu opisowi

matematycznemu (mniej lub bardziej uproszczonemu). Pokazano to w tabeli 1.1.

Tabela nr 1.1.

obiekt rzeczywisty symbol na schematachelektrycznych

opis matematyczny schemat zastę pczy

żarówka

piec elektryczny

IR U ⋅=

( GUI ⋅= )

IUP ⋅=

ogniwo galwaniczne,akumulator

pr ą dnica pr ą du stałego

źródło idealnenapięciowe

constEU ==

ogniwo galwaniczne,

akumulator

pr ą dnica pr ą du stałego

źródło rzeczywiste:

napięciowe:

IR EU w−=

pr ą dowe:

UGJI w−=

Documents

- 1 Pojęcia Elementarne