ELEKTROTEHNIKA električna i magnetna polja · F . Univerzitet u Nišu . Fakultet zaštite na radu. Dejan M. Petković. ELEKTROTEHNIKA . električna i magnetna polja . Rešeni zadaci

F

Univerzitet u Nišu Fakultet zaštite na radu

Dejan M. Petković

ELEKTROTEHNIKA e lekt r ična i magnetna polja

Rešeni zadaci

sa ispita, kolokvijuma i testova

Niš, 2017

2(73) D. M. Petković, Elektrotehnika Ovoj tekst nastaje od rešenja zadataka koji su bili na ispitima, kolokvijumima ili testovima iz Elektrotehnike. Tekst stalno dopunjujem, međutim izbor zadatka je, ako se izuzme aktuelnost, bez posebnog pravila. Ukoliko smatrate da rešenje nekog zadatka treba što pre da se nađe u ovoj zbirci, molim Vas pošaljite postavku problema na mailto:[email protected], a ja ću se potruditi da u što kraćem roku uvrstim rešenje u integralni tekst. Ukoliko Vam neko od rešenja nije dovoljno jasno (možda sam negde pogrešio), potražite pojašnjenje na

ailto:[email protected] .

DMP Datum prvog objavljivanja: ponedeljak, 18. april 2016.

Datum poslednje dopune: subota, 21. april 2018

Označavanje zadataka:

AB.XX.YY.Z Broj roka u mesecu, odnosno broj kolokvijuma

Mesec Godina Oblast

ES Elektrostatika DC Jednosmerne struje EM Elektromagnetizam AC Naizmenične struje

Primer

ES.15.10.3 Elektrostatika, 2015, Oktobar 3.

Nemanja Bogdanović 11028 20.04.17. Uočene greške: 3. Ispravljeno. Stefan Kostadinović 13108 23.04.17. Uočene greške: 1. Ispravljeno. Milica Cvetković 13035 26.09.17. Uočene greške: 2. Ispravljeno. Đurić Stefan 16174 05.11.17. Uočene greške: 1. Ispravljeno. 12.12.17. Uočene greške: 1. Ispravljeno. Đorđević Jovana 16158 12.12.17. Uočene greške: 2. Ispravljeno.

Hvala, DMP.

mailto:[email protected]?subject=ET-Trazim%20resenje

mailto:[email protected]?subject=ET%20-%20Trazim%20objasnjenje

Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 3(73)

ES.16.10.1

Pokazati da električno polje u tačkama na osi električnog dipola, čiji je

moment dqp

, na velikim rastojanjima od dipola opada sa trećim stepenom rastojanja

dz z .

p

zE

d

qq

p

zE

d

qq

Rešenje

Potencijal – naelektrisanja

210

11

4 RR

q ili 21

12

04 RR

RRq

Za dRR 21, 2

21 rRR , cos12 dRR

20

cos

4 r

dq

1 zd

qq

1R

2R

r

r

zd qq

1R

2R

r

r

Potencijal – dipol

const dqp

prp

)(grad

3

02

0 4

1ˆ

4

1

r

rp

r

rp

2

d

1R

2R

2R 1R

d

1R

2R

2R 1R2R 1R

rdd ˆcos

Električno polje na osnovu 2

30

grad4

1grad

r

rpE

Opšti oblik

35333

)3(-)grad(

11)grad(grad

r

p

r

rrprp

rrrp

r

rp

rrr ˆ3grad 43

rr ˆgrad


350

)(3

4

1

r

p

r

rrpE

3 Opšti oblik

na osnovu 2


ˆ1ˆgrad

rr

rE

Sferne koordinate

32

cos2

cos

rrr

, 22

sincos

rr

ˆsinˆ

cos2

4 330 r

rr

pE

4 Opšti oblik na osnovu 1

Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa z osom je:

zzr ˆ

, zpp ˆ z

z

pE ˆ

1

4

23

0

Na osnovu 3

Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa osom je: z

zr ˆˆ , 0 z

z

pE ˆ

1

4

23

0

Na osnovu 4


zr , 0 2

0

1

4 z

p

5 Na osnovu 1


zz

E ˆ

z

z

pE ˆ

1

4

23

0

Na osnovu 5

Električno polje - dva raznoimena naelektrisanja z

RR

qE ˆ

11

4 22

210

6

Najjednostavniji od 4 data načina


221 2/dzR , 22

2 2/dzR

zdzdz

qE ˆ

2/

1

2/

1

4 220

Nakon izvršrnog oduzimanja u imeniocu se zanemaruje 2/d ,

22)2/( zdz

zdzdz

dzdzdzdzqE ˆ

2/2/

)2/()2/(

4 22

2222

0

Električno polje na osnovu 6 zz

pz

z

zdqE ˆ

2

4

1ˆ

2

4 30

40

qdp

4(73) D. M. Petković, Elektrotehnika

ES.15.10.3

Dve kuglice jednakih veličina i jednakih masa obešene su u vazduhu o niti jednakih dužina i zatim, dok su se dodirivale, naelektrisane su količinom nalektrisanja 2 q . Kuglice će se međusobno odbiti i niti će graditi ugao

mL

.

a) Odrediti količinu naelektrisanja na osnovu izmerenog ugla.

Skicirati grafik funkcije )(q

cF

cF

G

G

0

LL

qq cF

cF

G

G

0

LL

qq

Rešenje

Ravnotzeža sistema 0F

gc FF

Tangencijalna komponenta gravitacione sile )2/tan()2/tan( mgGFg

Elektrostatička sila 20

2 1

4 R

qFc

Rastojanje između naelektrisanja )2/sin(2 LR

gF

G

cF

2/

L

2/R

gF

G

cF

2/

L

2/R

gc FF )2/tan()]2/sin(2[

1

4 20

2

mgL

q GFg /)2/tan(

Količina naelektrisanja u funkciji izmerenog ugla )2/tan()2/sin(4 0 mgLq

L

R 2/)2/sin(

Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.

Prikazan je deo grafika funkcije za 0 .

2tan

2sin)(~)(

fq , jer je const.4 0 mgL

Inače, funkcija je periodična ali ostale periode nisu od interesa.

2/

)(f

2

2/

)(f

2

ES.17.12.1

Male vrednosti uglova )2/tan()2/sin(

Odnos uglova za dve količine naelektrisanja

2/3

2

1

2

1

)2/sin(

)2/sin(

q

q

3/2

2

1

2

1

)2/sin(

)2/sin(

q

q

Sasvim male vrednosti uglova 2/)2/tan()2/sin( 3/2

2

1

2

1

q

q

Ako je 2/12 qq 3

2

1 4

Ako je 12 2qq 32

1

4

1


ES.16.01.1

Dva jednaka tačkasta naelektrisanja, qqq 11 nalaže se na mađusobnom

rastojanju . Jačina električnog polja je jednaka nuli na sredini duži koja spaja naelektrisanja ( , ) i u beskonačnosti). Prema Rolleovoj teoremi između takve dve tačke neprekidna funkcija ima ekstremna vrednost. Odrediti položaj tačaka u kojoj električno polje ima ekstremnu vrednost.

a20r 0z

R

a

2E

1q 2q

a

E

1E

rz

R

a

2E

1q 2q

a

E

1E

rz

Rešenje

Električno polje tačkastog naelektrisanja- 2

0

1

4 R

qE

304

sinR

rq

R

rEEEr

Problem je rotaciono simetričan oko z ose. U polarnom koordinatnom sistemu vektor polja ima radijalnu

i aksijalnu komponentu . rE zE

3

04cos

R

aq

R

aEEEz

0zE U simetralnoj ravni aksijalne komponente se anuliraju. Radijalna komponenta ima dvostruku vrednost.

0z

2/322

0 )(2 ra

rqEr

z

Rrq a

rE

zE

E

z

Rrq a

rE

zE

E

22 raR

E

E

R

r rsin

E

E

R

a zcos

Jačina električnog polja zavisi samo od r koordinate. 0

)(d

d2/322

ra

r

r

U tački ekstremuma prvi izvod je nula.

0)(

2)(2

3)(

322

2/1222/322

ra

rrarra 02 22 ra

2

2ar

33

21

4

22

0max a

qEr

Elektrićno polje ima najveću vrednost u tačkama koje leže u simetralnoj ravni 0z i koje pripadaju kružnici

poluprečnika 2/2ar .


ES.16.10.1

Na osi obruča poluprečnika , koji je naelektrisan količinom naelektrisanja , nalazi se tačasto naelektrisanje .

aq q

a) Odrediti silu kojom obruč deluje na naelektrisanje. b)

Odrediti rastojanje tačkastog naelektrusanja od centra obruča na kome sila ima ekstremnu vrednost.

Skicirati grafik funkcije po kojoj se menja sila.

F

z

r

q

aq

F

z

r

q

aq

Rešenje

Električno polje elementarnog naelektrisanja 2

0

1

4

dd

R

qE

Količina naelektrisanja ddd aqlqq , )2/( aqq

Rz

a

E

d zE

d

rE

d

qd

r

Rz

a

E

d zE

d

rE

d

qd

r

3

04

ddd

R

zq

R

zEEz

U tačkama na osi polje ima samo z komponentu. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.

d

)(4d 2/322

0 za

zaqEz

22 zaR

R

z

E

Ez d

dsin

Ukupno električno polje koje potiče od celog obruča

2

02/322

0

d)(4 za

zaqEz 20

zza

zaqEz ˆ

)(2 2/3220

ili zza

za

a

qEz ˆ

)(4 2/322

2

20

Električno polje - kružni obruč

Sila između naelektrisanja i obruča srazmerna je jačini polja koje obruč

stvara zEqF zz ˆ

z

za

za

a

qFz ˆ

)(4 2/322

2

20

2

Coulombova sila - naelektrisanje - obruč

Izraz za silu može da se napiše u skraćebnom obliku. je fiktivna sila između dva tačkasta naelektrisanja na rastojanju koje je jednako poluprečniku obruča.

0F zzfFFz ˆ)(0

Električno polje i sila su jednaki nuli u centru obruča, 0z i u tačkama u beskonačnosti, z

0)0( f

0)(lim

zfz

Prema Rolleovoj teoremi između dve nule, neprekidna funkcija ima ekstremnu vrednost.

0)(d

d

d

)(d2/322

za

z

zz

zf U tački ekstremuma

prvi izvod je nula.

0)(

2)(2

3)(

322

2/1222/322

za

zzazza

02 22 za 2

2az

33

20max

FFz


Prikazan je deo grafik funkcije 2/322/322

2

])/(1[

/

)()(

az

az

za

zazf

Funkcija ne neparna. Znak funkcije pokazuje smer sile u odnosu na z osu., ali pri tome treba voditi računa da izraz za silu uključuje negativan znak. Sila je, međutim, uvek privlačna.

0F

0/ FFz

2/2 az /

33

2 0/ FFz

2/2 az /

33

2


ES.18.04.1

Elektrostatički sistem se sastoji od tačkastog naelektrisanja i iste količine i

znaka naelektrisanja koje je prvo raspoređeno na obruču poluprečnika , a zatim na kružnoj ploči istog poluprečnika. Tačkasto naelektrisanje je u oba slučaja na osi

q

a

z (obruča, tj. ploče). Odrediti

a) silu između obruča i tačkastog naelektrisanja, b) silu između kružne ploče i tačkastog naelektrisanja, c) razliku ovih sila u tački na udaljenosti az centra.

b)

a)

qR

qd a

obrFd

qdqploF

d

b)

a)

qR

qd a

obrFd

qR

qd a

obrFdobrFd obrFd

qdqploF

dqdq

ploF

dqdq

ploF

d ploF

d

Rešenje

Eleektrična (Coulombova) sila između elementarnog naelektrisanja i tačkastog naelektrisanja

RR

qqF ˆ1

4d

d2

0

Elementarna naelektrisanja su centralno simetrično raspoređena. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju

U tačkama na osi sila ima samo aksijalnu komponentu. 3

04d

ddRzq

RzFFz

Rz

r

F

d zF

d

rF

d

qd

r

Rz

r

F

d zF

d

rF

d

qd

r

R

z

E

Ez d

dsin

Ako su naelektrisanja ravnomerno rapoređena po obruču

aq

q2

lqq dd

d2

d aaq

q

Elementarna sila tačkasto naelektrisanje - obruč

d

)(24d

2/3220 za

zaaqq

Fz

Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – obruč

2

02/322

0

d)(24 za

zqqFz

Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – obruč 2/322

0

2

)(4 zazq

Fobr

Ako su naelektrisanja ravnomerno rapoređena po ploči 2a

q

Sq dd

ddd

2rr

a

qq

Elementarna sila tačkasto naelektrisanje - ploča

dd

)(4d

2/32220

rrzrz

a

qqFz

Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – ploča

a

zzr

rr

a

zqqF

02/322

2

02

0 )(

dd

4

Uvodi se oznaka

20

2

01

4 a

qF

Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – ploča

2220

2

112 za

za

qFplo

Ukupne sile - normalizovano tačkasto naelektrisanje – obruč tačkasto naelektrisanje – ploča

2/320])/(1[

/azazFFobr

i

2/120

])/(1[/1azazFFplo

Ukupne sile u tački az tačkasto naelektrisanje – obruč tačkasto naelektrisanje – ploča

22

10FFobr i

2110FFplo

Razlika sila u tački az ploobr FFF

1243 F

Ovaj deo zadatka (grafici) nije tražen na ispitu.

0/ FFobr

0/ FFplo

az /

1

0 1

0/ FFobr

0/ FFplo

az /

1

0 1


ES.15.10.3

Iznad dalekovoda montiran je uzemljeni provodnik (gromobransko uže). Provodnik poluprečnika se nalazi na visini od savršeno provodne zemlje. Pod dejstvom homogenog atmosferskog električnog polja u provodniku se indukuju naelektrisanja koja smanjuju primarno polje. Odrediti:

a ah 0E

a) podužnu gustinu indukovanih naelektrisanja, b) električno polje u tačkama na osi sistema, c)

slabljenje električnog polje u tački na osi sistema na polovini visine.

h0E

0

h0E

0

Rešenje

Potencijal električnog polja nastaje delovanjem primarnog polja i indukovanih naelektrisanja u užetu. Uricaj površine zemlje zameljuje se likom.

Jačina atmosferskog polja zEE ˆ00

Potencijal atmosferskog polja zE00 q

2R

1R

h

y

qz

-Original

-Lik

hz

q2R

1Rq

h

y

-Originalh

-Lik

221 )( hzyR Potencijal

sistema original-lik 1

2

00 ln

2 R

Rq

22

2 )( hzyR

Potencijal celog sistema 1 22

22

00 )(

)(ln

4 hzy

hzyqzE

0y

ahz

Tačka na površini provodnika

Provodnik je uzemljen, potencijal na površini je 0 0

2ln

2)(

00

a

ahqahE

ah ah 2

Realni odnosi

Iz uslova 0može da se odredi q )/2ln(

2 00 ah

qhE

uz gornje zanemarivanje

Indukovana naelektrisanja podužna gustina

)/2ln(2 0

0 ah

hEq zameniti u 1

Potencijal sa određenim - qkonačan izraz dobijen iz 1

22

220

0 )(

)(ln

)/2ln(2 hzy

hzy

ah

hEzE

Električno polje - vertikalna komponenta,

zz

Ez ˆ

z

hzyhzy

hzyh

ah

EEEz ˆ

])(][)([

)(2

)/2ln( 2222

22220

0

Električno polje – horizontalna komponenta,

yy

Ey ˆ

y

hzyhzy

hyz

ah

EEy ˆ

])(][)([

4

)/2ln( 22220

Električno polje - na osi sistema, 0y 0yE ,

20 )/(1

1

)/2ln(

21

hzahEEz

Električno polje - u tački , 0y 2/hz

)/2ln(3

81

0 ahE

Ez


ES.13.01.1

Mehur (od sapunice) poluprečnika i debljine zida a nalazi se na potencijalu . Odrediti potencijal na kome će se nalaziti kapljica koja se dobija kada se mehur rasprsne.

a b

Numerički podaci: , , V1a m01.0a μm3.3

a

aaq ,

bbbq ,

mehurkapljica

a

aaq ,

bbbq ,

mehurkapljica

Rešenje

Gaussov zakon – primenljen na sferu

0

d

q

SES

0

24

q

rE , ar qE

r

Gaussova površ

qE

r

Gaussova površ

Električo polje –

sferno naelektrisanje 20

ˆ

4 r

rqE

Potencijal - sferno naelektrisanje

r

rE

d r

q 1

4 0

Isto kao i za tačkasto naelektrisanje smešteno u centru sfere

Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.

Potencijal – mehur a

qaa

1

4 0 aqq , ar

Potencijal – kapljica b

qbb

1

4 0 bqq , br

Količina naelektrisanja – mehur aa aq 04

Količina naelektrisanja – kapljica ab aq 04 ab qq Količina naelektrisanja

se nije promenila

Potencijal – kapljica b

a

b

q abb

1

4

41

4 0

0

0

Potencijal – kapljica ab b

a 1

Zapremina – materijal mehura )33(

3

4

3

4)(

3

4 32233 aaaaVa

Zapremina – materijal mehur 24 aVa Zanemareno i kao

male veličine višeg reda

3 2

Zapremina – materijal kapljica 3

3

4bVb

Zapremine su iste ba VV 32

3

44 ba Količina materijala

se nije promenila Poluprečnik – kapljica 3 23 ab 2

Numerički primer mm10a

mm1b V1a V10b

pF11.0

pF11.1

b

a

C

C


ES.12.01.1

Svaka od kapljica (na primer, od žive) nalazi se na potencijalu N a .

Odrediti potencijal na kome će se nalaziti kapljica koja se dobija kada se sve kapljice sakupe u jednu. Pretpostaviti da su sve kapljice sfernog oblika.

b

Numerički podaci: , V1a 8000N

aaq , aaq ,bbq ,

b

bbq ,

b

Rešenje

Gaussov zakon – primenljen na sferu

0

d

q

SES

0

24

q

rE , r a q E

r

Gaussova površ

q E

r

Gaussova površ

Električo polje –

sferno naelektrisanje 20

ˆ

4 r

rqE

Potencijal - sferno naelektrisanje

r

rE

d r

q 1

4 0

Isto kao i za tačkasto naelektrisanje smešteno u centru sfere


Potencijal – svake od kaplica N a

qaa

1

4 0 Kolićina naelektrisanja

na svakoj od kapljica N aa aq 04

Kolićina naelektrisanja na svim kapljicama aa qNQ

Potencijal – novonastale kaplice b

qbb

1

4 0 Kolićina naelektrisanja

na novonastaloj kapljici bb bq 04

Ukupna količina naelektrisanja je ista ba qQ Odnos potencijala ab b

aN

Zapremina – svih kaplica N 3

3

4aNVa Poluprečnik

svake od kapljica N 33

41

VNa

Zapremina – novonastale kaplice 3

3

4bVb Poluprečnik

novonastale kaplice 33

4

Vb

Ukupna količina materijala je ista ba VV Odnos poluprećnika 3/1 N

b

a

Potencijal novonastale kaplice ab b

aN ab N 3/2

Numerički primer V400b


ES.15.10.2

U prostoru između elektroda koaksijalnog voda poluprečnika elektroda i respektivno, nalazi se tačkasto naelektrisanje q . Izračunati rastojanje

za koje je rad sila električnog polja od a do isti kao od c do b .

aab

c c

Isti problem rešiti u slučaju kocentričnih sfera.

c

a

b

q

E c

a

b

q

E

Rešenje

Gaussov zakon u integralnom obliku primeniti na koaksijalnu cilindričnu površinu

LS

lqq

SE d1

d00

Fluks vektora električnog polja postoji samo kroz omotač L

qLrE

0

2

, bra

S

Lq q

S

Lq q

U unutrašnjosti unutrašnjeg provodnika i van voda polje je jednako nuli.

rr

qE ˆ

1

2 0

, bra Električno polje u koaksijalnom vodu

Potencijal ne zavisi od puta integracije več samo od položaja tačke u polju i referentne tačke.

Pr

r

P

lr

rq

r

rqrE ln

2

d

2d

00

Pr je vektor položaja

referentne tačke.

Y

P

X

PXYXY r

r

r

rqU lnln

2 0

Razlika potencijala

X

YXY r

rqU ln

2 0

Ne zavisi od izbora referentne tačke.

Rad između dve tačke srazmeran je naponu između tih tačaka XY

Y

X

Y

X

XY qUrEqrFqA

dd

Napon (rad) od ar do cr a

cqUac ln

2 0

cbac UU Napon (rad) od cr do br c

bqUcb ln

2 0

Iz jednakosti napona (radova) sledi traženo rastojanje. bac


U unutrašnjosti unutrašnjeg provodnika i van voda polje je jednako nuli.

rr

qE ˆ

1

4 20

, bra

Napon (rad) od ar do cr

ca

qUac

11

4 0

cbac UU

Napon (rad) od cr do br

ac

qUac

11

4 0

Iz jednakosti napona (radova) sledi traženo rastojanje.

ab

bac

2


ES.13.10.1

Otvoren dvožični vod ima provodnike jednakih poluprečnika . Rastojanje između provodnika je . Vod je priključen na napon .

aad U

a) Odrediti podužnu kapacitivnost voda. b) Odrediti najveći napon na koji vod može da se priključi, a da ne dođe

do pojave tihog ili naglog pražnjenja.

q

d

a a

RR

q

P

A Bq

d

a a

RR

q

PP

AA BB

Rešenje

Gaussov zakon u integralnom obliku primeniti na koaksijalnu cilindričnu površinu

LS

lqq

SE d1

d00

Fluks vektora električnog polja postoji samo kroz omotač L

qLrE

0

2

Električno polje linijskog naeleltrisanja r

r

qE ˆ

1

2 0

1

q

L

r

Gaussova površ

q

L

r

Gaussova površ

Potencijal u tački P od pozitivnog naelektrisanja Referentna tačka 0R

0

dR

R

rE

R

Rq 0

0

ln2

Potencijal u tački P od negativnog naelektrisanja Referentna tačka 0R

0

dR

R

rE

R

Rq 0

0

ln2

Ukupni potencijal u tački P ne zavisi od izbora 0R

R

Rqln

2 0

Kada je tačka na površini pozitivnog provodnika a

dqA ln

2 0

aR dR

Kada je tačka na povtšini negativnog provodnika d

aqB ln

2 0

dR aR

Napon na dvožićnom vodu BAU a

dqU ln

0

2

Podužna kapacitivnost U

qC

)/ln(0

adC

Pošto je može da se smatra da je u neposrednoj blizini provodnika polje isto kao i da je usamljen. ad

Električno polje sledi iz 1 i 2 )/ln(2 adr

UE i krE

ada

UE

)/ln(2max

Najveća jačina polja je za ar i manja je od kritične jačine, pa se odatle dobija najveći dozvoljeni napon krEadaU )/ln(2max

Numerički primer: , , mm5.2a m1d kV/cm30krE , kV87.89max U .

Inverzni problem: Za zadat maksimalni napon treba odrediti poluprečnik voda.

U ovom slučaju treba rešiti transcedentnu jednačinu koja nema analitičko rešenje. krE

Uada

2)/ln( max

Može su primeniti bilo koji numerički metod, ali se do približnog rešenja jednostavno dolazi i grafički. Neka je

kV120max U , i kV/cm30krE cm100dtada se sa grafika očitava . mm6.3a ]cm[a2.0 3.01.0

1

2

]cm[2

max

krEU

aa 100ln

]cm[a2.0 3.01.0

1

2

]cm[2

max

krEU

]cm[a2.0 3.01.0

1

2

]cm[2

max

krEU

]cm[2

max

krEU

a100a ln a100a ln a100a ln


ES.16.10.2

Ravan kružni prsten poluprečnika i homogeno je naelektrisan površinskom gustinom naelektrisanja . Odrediti jačinu električnog polja u tačkama na osi prstena u sledećim slučajevima:

a

ab

a) 0a , , ab kružni prsten, b) 0a , , 0b kružna ploča, c) 0a , , b ravan sa kružnom rupom, d) 0a , , b neogranićena ravan, ab , , 0 zanemarljivno tanak kružni obruč.

z

b

zE

a

z

b

zE

a

Rešenje


0

1

4

dd

R

qE

Količina naelektrisanja dddd rrSq

Pre

sek

prst

ena

Rz

r

E

d

qd

zE

d

rE

d

qd

Rz

r

E

d

qd

zE

d

rE

d

qd 3

04

ddd

R

zq

R

zEEz

U tačkama na osi polje ima samo z komponentu. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.

2/3220 )(

dd

4d

zr

rrzEz

22 zrR

R

z

E

Ez d

dsin

Ukupno električno polje koje potiče od površine prstena

b

zzr

rrzE

a2/322

2

00 )(

dd

4

bra 20

Prvi integral je tablični i ima vrednost . Drugi integral se

rešava smenom

2222 zrt

2222

02 zb

z

za

zEz

Električno polje – kružni prsten opšti izraz

Kad je prvi sabirak u opštem izrazu je jednak jedinici.

0a

22

0

12 zb

zEz Električno polje –

kružna ploča

Kad drugi sabirak u opštem izrazu teži nuli.

b 2202 za

zEz

Električno polje – ravan sa rupom

Kad i prvi sabirak u opštem izrazu je jednak jedinici, a drugi sabirak teži nuli.

0a b

02

zE Električno polje – neograničena ravan


U opšti izraz treba zamenti . Svesti na zajednički

imenilac. ab

2222

2222

02222

0 )(

)(

2)(2 zaza

zazaz

za

z

za

zEz

2222

2222

2222

2222

0 )(

)(

)(

)(2 zaza

zaza

zaza

zazazEz

Racionalzacija brojioca

22222222

2

0 )(

1

)(

2

2 zazazaza

azEz

U brojiocu veličinu zanemariti, kao beskonačno malu veličinu drugog reda‚ i zameniti

2

q . U imeniocu zameniti . 0

2/3220 )(2 za

zaqEz

Električno polje –

kružni obruč


ES.14.03.2

Kružni koaksijalni obruči, različitih poluprečnika , naelektrisani su jednakim po količini i znaku naelektrisanjima q . Rastojanje koordinatnog

početka od prvog obruča je i jednako je rastojanjima između centara obruča. Ao su data tri obruča (slika) odrediti električni polje

ia

d

a) u tačkama na zajedničkoj osi obruča b) u koordinatnom početku, ako je , aa 1 aa 22 i aa 33

Uopštiti prethodni rezultat za beskonačan broj obruča

z

2a

3a

qq

q

1a

dd3 0d2z

2a

3a

qq

q

1a

dd3 0d2

Rešenje

Količina naelektrisanja ddd aqlqq , aqq 2

Polje elementarnog naelektrisanja R

R

qE ˆ1

4

dd

20

, 22 )( zzaR

U tačkama na osi polje ima samo aksijalnu komponentu. 3

04

ddsindd

R

zzq

R

zzEEEz

E

drE

d0 z

R

z

a

qd

zE

dz

E

drE

d0 z

R

z

a

qd

zE

dz

22 )( zzaR

U tačkama na osi obruča, radijalne komponente polja koje potiču od centralno simetričnih elementarnih naelektrisanja se anuliraju. 0rE

U tačkama na osi obruča aksijalna komponenta je

(U centru je zz 0zE )

304

dd

R

zzqEz

q

R

zzEz d

4

13

0

304 R

zzqEz

2/3220 ])([

)(

2 zza

zzaqEz

ili aqq 2

304

dd

R

zzaqEz

2

03

0

d4 R

zzaqEz 3

0

)(

2 R

zzaqEz

2/3220 ])([4 zza

zzqEz

U tačkama na osi obruča, polje je zbir polja pojedinih obruča

zEEEE zzz ˆ)( 321

2/32210

1])([4 dza

dzqE z

2/322

202

])2([

2

4 dza

dzqE z

2/322

303

])3([

3

4 dza

dzqE z


ES.16.06.1

Dva kružna koaksijalna obruča jednakih poluprečnika se nalaze na međusobnom rastojanju. d Obruči su naelektrisani jednakim količinama naelektrisanja koja su suprotna po znaku.

a

qa) Odrediti jačinu električnog polja u centru sistema O .

b) Odrediti jačinu električnog polja u centru sistem aako je. 6ad . Skicirati grafik funkcije po kojoj se menja električno polje.

z

aa

O

2/d 2/d

q q

z

aa

O

2/d 2/d

q q

Rešenje


0

1

4

dd

R

qE

Količina naelektrisanja ddd aqlqq , )2/( aqq

U tačkama na osi polje ima samo z komponentu.

Komponente polja u radijalnom pravcu se anuliraju.

30

2/

4

d2/dd

R

dzq

R

dzEEz

za

O

z

qd

2/d

R

E

drE

d

zE

d

za

O

z

qd

2/d

R

E

drE

d

zE

d

22 )2/( dzaR

Električno polje koje potiče od pozitivno naelektrisanog obruča 2/322

0 ])2/([

)2/(

2 dza

dzaqEz

Električno polje koje potiče od negativno naelektrisanog obruča 2/322

0 ])2/([

)2/(

2 dza

dzaqEz

z2/d2/d

zO

z2/d2/d

zO

z2/d2/d

zO

Ukupno električno polje koje stvara par obruča

2/3222/322

0 ])2/([

2/

])2/([

2/

2 dza

dz

dza

dzaqEz

U centru sistema, 0z )(2])2/([2])2/([2 0

2/322

2

02/322

0

dfa

q

da

da

a

q

da

daqEz

Za 6ad 53

34

53

34

2)6(

2 000

Ea

qaf

a

qEz


Jedino za rastojanje

6ad

električno polje između obruča je u najvećem delu homogeno. Znak funkcije pokazuje orijentaciji polja u odnosu na z osu. 6ad 6ad 6ad

z z z

0/ EEz 0/ EEz0/ EEz

6ad 6ad 6ad

z z z

0/ EEz 0/ EEz0/ EEz


ES.14.01.1

Nit dužine ravnomerno je naelektrisana količinom naelektrisanja . U tačkama na osi simetrije niti na rastojanju

L2 qr

a) odrediti električno polje, b) pokazati da se za rL isti rezultat dobija iz Gaussovog zakona, c) pokazati da se iz začaka Lr štap vidi kao tačkasto naelektrisanje.

0

rE

dE

d

zE

d

L

r

L

zq

qd0

rE

dE

d

zE

d

L

r

L

zq

qd

Rešenje


0

ˆ

4

dd

R

RzqE

20

cos

4

dd

R

zqEz

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

Komponenta električnog polja u aksijalnom pravcu

dcos1

4d

0 r

qEz

20

sin

4

dd

R

zqEr

Komponenta električnog polja u radijalnom pravcu

dsin1

4d

0 r

qEr

E

Ez

d

dcos ,

E

Er

d

dsin

R

rsin ,

z

R

z

s

d

d

d

dsin

Komponente električnog polja naelektrisane niti 12

0

sinsin1

4

r

qEz i 21

0

coscos1

4

r

qEr


221sinrL

r

R

r

12 sinsin 0zE

221cosrL

L

R

L

Kada je tačka polja na simetrali, tada je . 12

r

rE

1 1

LL

r

rE

1 1

LL

12 coscos 22

0

21

4 rL

L

r

qEr

Ako je rL

2)/(1

22222

LrrL

L r

qEr

1

2 0

Električno polje - rezultat primene Gaussovog zakona

Ako je Lr

r

L

rLr

L

rL

L 2

)/(1

22222

2

0

1

4

2

r

LqEr

Električno polje - tačkasto naelektrisanje,

Lqq 2


Ako je centralni ugao, tada je

2/)(1 i . 2/)(2

b je poluprečnik opisane kružnice.

2tan

1

2 0

b

qE

21

b

1bE

21

b

1bE


ES.13.03.2

Nit dužine ravnomerno je naelektrisana količinom naelektrisanja q . U tački na rastojanju

Lr od početka niti

a) odrediti električno polje, b) odrediti električno polje poluprave, L , c) pokazati da se iz tačaka Lr nit vidi kao tačkasto naelektrisanje.

0

E

d

r

zqd

L

R

q

r

0

E

d

r

zqd

LL

R

q

r

Rešenje

Električno polje elementarnog naelektrisanja

20

ˆ

4

dd

R

RzqE

20

cos

4

dd

R

zqEz

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

Komponenta polja u aksijalnom pravcu

dcos1

4d

0 r

qEz

20

sin

4

dd

R

zqEr

Komponenta polja u radijalnom pravcu

dsin1

4d

0 r

qEr

E

Ez

d

dcos ,

E

Er

d

dsin

R

rsin ,

z

R

z

s

d

d

d

dsin

Komponente polja naelektrisane niti 12

0

sinsin1

4

r

qEz i 21

0

coscos1

4

r

qEr


1sin 1 Tačka je na pravoj , 0z2/1

0

rE

E

zE

z

2

L

r 1

r

0

rE

E

zE

z

2

L

r 1

r

rrL

qEz

11

4 220

2222 sin)sin(

Lr

r

0cos 1

2222 cos)cos(

Lr

L 22

0

1

4 rL

L

r

qEr

rrrL

11122

r

qEz

1

4 0

Ako (poluprava) L

Radijalna komponeta polja poluprave duplo je manja nego za pravu.

1

222

L

L

rL

L r

qEr

1

4 0

01111

222

rrrrL 0zE Ako je Lr

Iz udaljenih tačaka duž se vidi kao tačkasto naelektrisanje.

2

0

1

4 r

LqEr

, Lqq

r

L

rL

L

22


ES.17.03.2

Polukružnica i dve poluprave koje je na krajevima tangiraju čine konturu koja je ravnomerno naelektrisana podužnom gustinom naelektrisanja q .

Odrediti električno polje u centru polukružnice O .

r

qO z

r

qO z

Rešenje

Električno polje elementarnog naelektrisanja

20

ˆ

4

dd

R

RzqE

20

cos

4

dd

R

zqEz

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

1 2

zd

R

zL0

qr

d

rE

d E

d

zE

d

sdr

Komponenta polja u aksijalnom pravcu

dcos1

4d

0 r

qEz

20

sin

4

dd

R

zqEr

Komponenta polja u radijalnom pravcu

dsin1

4d

0 r

qEr

z

z

E

E

d

dcos ,

z

r

E

E

d

dsin

R

rsin ,

z

R

z

s

d

d

d

dsin

210

coscos1

4

r

qEr 12

0

sinsin1

4

r

qEz

Komponente polja i naelektrisane niti


2/1 120

sinsin1

4

r

qEz r

qEz

1

4 0

rE

E

zE

z2

r1

rE

E

zE

z2

r1

Pol

upra

va

2 21

0

coscos1

4

r

qEr

r

qEr

1

4 0

sin1

4

dd 2

0 r

rqEy

dsin1

4 0 r

qEy 0yE

Kru

žni l

uk

r

E

d

q

zE

d

yE

d

qd

z

y

r

E

d

q

zE

d

yE

d

qd

z

y

dcos1

4 0 r

qEz

cos1

4

dd 2

0 r

rqEz

sin1

2 0 r

qEz

0ˆ1

42ˆ

2sin

1

2 00

zr

qz

r

qEz

Kon

tura

E

q

r

E

q

r q

q

r

rE

q

q

r

rE

pola kružnice

2 x poluprava


ES.15.09.1

Usamljena homogena zapremenska gustina naelektrisanja obuhvaćena je

sa dve ekscentrične sferne površine poluprečnika i , čiji se centri nalaze na ne međusobnom rastojanju d . Odrediti električno polje i to:

a ab

a) u unutrašnjosti manje sfere ako je , 0db) u unutrašnjosti manje sfere ako je 0d , c) u unutrašnjosti veće sfere ako je , 0dd) u tačkama van sfera.

a

d

ba

d

b

Rešenje

Pozitivno naelektrisana sfera sa ekscentričnom sfernom šupljinom (u kojoj nema naelektrisanja) može da se predstavi kao sfera puna sa pozitivnim naelektrisanjima u koju je utisnuta sfera koja sadrži negativna naelektrisanja. U šupljini je tada algebarski zbir svih naelektrisanja jednak nuli.

Gaussov zakon u integralnom obliku

VS

Vq

SE d1

d00

Količina naelektrisanja obuhvaćena zamišljenom sferom poluprečnika r je . Vq

crc

crrrE

,

,

3

44

3

3

0

2

Električno polje homogene zapreminske gustine naelektrisanja oblika sfere čiji je poluprečnik c .

crr

r

cE

crrrE

E

e

i

,ˆ3

,ˆ3

2

3

0

0

E

cr cr

cr E

cr cr

cr

U tački koja pripada šupljini električno polje se dobija kao vektroski zbir polja od svake sfere pojedinično, što je metod linearne superpozicije.

Unutrašnje električno polje pozitivno nealektrisane sfere bib rE

03

, brb

Unutrašnje električno polje nagativno nealektrisane sfere aia rE

03

, ara

Električno polje u šupljini

Ukupno: iaib EEE

drrE ab

00 3)(

3

br

ard

O

br

ard

O

U šupljini električno polje je homogeno i usmereno je u pravcu koji spaja centre sfera, drr ab

Ako je rastojanje centara jednako nuli, 0d , tj. ako su sfere koncentrične

za ar ibia EEE

0E

za bra ibea EEE

rr

arE ˆ

3 2

33

0

za br ebea EEE

rr

abE ˆ

3 2

33

0

U slučaju koncentričnih sfera do istih rezultata se dolazi i direktnom primenom Gaussovog zakona. Za tačke van sfera, , Gaussova površina obuhvata količinu naelektrisanja koja je srazmerna razlici zapremina sfera i nije od značaja da li je šupljina ekscentrična ili ne.

br


ES.17.12.1

Dve sfere jednakih poluprečnika naelektrisane su homogeno zapremenskim gustinama naelektrisanja i

a . Centri sfera se nalaze na

međusobnom rastojanju ad 2 , tako da se sfere delimično preklapaju. Odrediti električno polje

a) jedne sferne gustine naelektrisanja u tačkama van sfere, b) jedne sferne gustine naelektrisanja u tačkama unutar sfere, c)

u tačkama u oblasti preklapanja dve sfere.

d

d

Rešenje

Gaussov zakon integralni oblik

VS

Vq

SE d1

d00

VSE

0

1

Gaussova površina ar

3

0

2

3

44 rrE

rE03

E

ar ar

ar E

ar ar

ar

Gaussova

površina ar 3

0

2

3

44 arE

2

3

03 r

aE

3

3

4aq

Električno polje

arr

r

aE

arrrE

E

e

i

,ˆ3

,ˆ3

2

3

0

0

arr

r

qE

arra

rqE

E

e

i

,ˆ1

4

,ˆ4

20

30

iii EEE 21

12 rrd

110

220

ˆ3

ˆ3

rrrrEi

drr

12 d

1r

2r

d

1r

2r

Električno polje u oblasti peklapanja

)(3 12

0

rrEi

dEi

03

304 a

dqEi


Električno polje pomoću momenta dipola vektora polarizacije

PV

pd

V

qd

PEi

03

1

3

04

1

a

pEi


ES.12.06.1

Usamljena homogena zapremenska gustina naelektrisanja obuhvaćena je sfernom površinom

poluprečnika a .

Odrediti: a) električno polje u unutrašnjosti sfere, b) električno polje van sfere, c) energiju sadržanu u električnom polju.

a

E

a

E

Rešenje

Gaussov zakon integralni oblik

VS

Vq

SE d1

d00

VSE

0

1


3

0

2

3

44 rrE

rE03

E

ar ar

ar E

ar ar

ar


3

0

2

3

44 arE

2

3

03 r

aE

3

3

4aq

Električno polje

arr

r

aE

arrrE

E

e

i

,ˆ3

,ˆ3

2

3

0

0

arr

r

qE

arra

rqE

E

e

i

,ˆ1

4

,ˆ4

20

30

Energija V

VEW d2

1 20

ar

e

ar

i VEVEW d2

1d

2

1 20

20

Elementarna sferna zapremina

dddsind 2 rrV , 0 , 20

Električno polje zavisi samo od r

rrrrV d4ddsindd 22

00

2

a

e

a

i rrErrEW dd2

4 22

0

220

aa

qrr

rrr

a

rqW

a

a1

5

1

8d

1d

42

4

0

22

40

26

22

0

0

Energija a

qW

0

2

20

3


Šuplja sfera (sfena ljuska) naelektrisana je količiniom naelektrisanja . q

U unutrašnjosti sfere električno polje je jednaka nuli, 0E za ar . Van sfere električno polje je isto kao i polje tačkastog naelektrsanja u centru.

0E

a E

0E 0E

a E

Polje rr

qE ˆ

1

4 20

, ar ili rr

aE ˆ

2

2

0

, ar

rrV d4d 2

Energija

aVr

rqVEW 2

0

22

0d

8d

2

1

a

qW

0

2

8

1


ES.12.09.1

U centru lopte, poluprečnika , od linearnog i homogenog dielektrika, dielektrične konstante , nalazi se

tačkasto naelektrisanje . Okolni prostor je vazduh.

a 1q

Odrediti:

a) električno polje u dielektriku,

b) električno polje u vazduhu, c) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja,

zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja.

qa

10

qa

10

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon primenjen na sferu 0r qSD

S

d rr

qD ˆ

1

4 2

, r0

Električmo polje u dielektriku 11 / DE

r

r

qE ˆ

1

4 21

1

, ar 0

Električmo polje u vazduhu 00 / DE

r

r

qE ˆ

1

4 20

0

, r a

Vektor polarizacije 1010 )( EEDP

rr

qP ˆ

1

4 21

01

, ar 0

Površinska gustina vezanih naelektrisanja rPnPv ˆˆ

2

1

01 1

4 a

qv

, r a

Količina naelektrisanja na površini dielektrika. 24 aq vSv qqSv

1

01

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja Pv

div 32

divˆ

div~divr

r

r

rP


0ˆ3

div1

graddiv1

div4333

rr

rrr

rrrr

r

3div

model3D

r 0v , r0

Ukupna količina vezanih naelektrisanja je nula 0 VvSvv qqq qqq SvVv

1

01

Količina naelektrisanja u zapremini dielektrika

V

vv Vq d

Sledi, zapreminska gustina naelektrisanja je zgusnuta u centru sfere 0r

)(1

01 rqv

U stvari, za bilo koje r

0,4

0,0)(4

ˆdiv 2

r

rr

r

r

Diracova delta funkcija

0)( r za 0r

1d)( V

Vr

)(d)()( afVarrfV

)0(d)()( fVrrfV

1

01

1

012

1

01 )(ˆ1

div4

div rqrr

qPv

Ukupna količina naelektrisanja u centru sfere qqqqqq VvC

1

0

1

01

Uticaj dielektrika zameniti vezanim naelektrisanjima

Gaussov zakon primenjen na sferu ar 0

01 d

C

S

qSE

ar 0 rr

qE ˆ

1

4 21

1

,

Gaussov zakon u diferencijalnom obliku )(4

4

ˆdiv

4div

12

11 r

q

r

rqE

0,/

0,0div

1

1r

rE


ES.12.10.1

Metalna lopta, poluprečnika , naelektrisana je količinom naelektrisanja . Lopta je izolovana sferinim slojem linearnog i homogenog dielektrika, dielektrične konstante i poluprečnika b . Okolni prostor je vazduh.

a q

1

Odrediti:

a) električno polje u svim tačkama prostora,

b) površinsku i zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja, c)

potencijal u centru lopte.

qa

10

bq

a

10

b

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon primenjen na sferu 0r qSD

S

d rr

qD ˆ

1

4 2

, r0

Električno polje u metalnoj sferi 0q 0unutraE ar 0

Električmo polje u dielektriku 11 / DE

r

r

qE ˆ

1

4 21

1

, bra

Električmo polje u vazduhu 00 / DE

r

r

qE ˆ

1

4 20

0

, rb

Vektor polarizacije 1010 )( EEDP

rr

qP ˆ

1

4 21

01

, bra

Površinska gustina vezanih naelektrisanja na površini ar

21

01

4ˆ

a

qPnP

arva

Površinska gustina vezanih naelektrisanja na površini br

21

01

4ˆ

b

qPnP

brvb

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja 0

ˆdiv

4div

21

01

r

rqPv

++

+

+

+

n

vbva

s

n

v

+

1 0

++

+

+

+

n

vbva

ss

n

v

+

1 0

Potencijal u centru

bba

qrErErlE

b

b

a

a

01101

00

111

4ddd0d


ES.12.12.1

Tačkasto naelektrisanje nalazi se u vazduhu, na visini od ravni koja

ceo prostor deli na vazdušni deo , i dielektrični materijal

q h

0 0z 1 , 0z .

a) Odrediti površinsku gistinu vezanih naelektrisanja. b) Odrediti privlačnu silu između naelektrisanja i ravni.

c)

Proveriti rezultat zamenjujući dielektrik savršenim provodnikom.

10

q

z

vh

10

q

z

vh

Rešenje

Vektor polarizacije PED

0 EEDP

)( 010

Vezana naelektrisanja nPv ˆ

zv EnE )(ˆ)( 0101

Električno polje potiče od tačkastog naelektrisanja i vezanih naelektrisanja

Polje od tačkastog naelektrisanja R

R

qE ˆ1

4 29

0

z

hr

hqE z ˆ

)(4 2/3220

0

Polje od vezanih naelektrisanja SSE v

0

2 zE vz ˆ

2 01

Normalna komponenta polja u dielektriku zzz EEE 10

Povtšinska gustina vezanih naelektrisanja

0

2/3220

01 2)(4)( v

vhr

hq

Kada se gornja jednačina reši po v

2/32201

01

)(2 hr

hqv

max/

qz

R h

zE0

0E

nr

zE1

zzE1

n

v

max/ max/

qz

R h

zE0

0E

nr

qz

R h

zE0

0E

nr

zE1

zzE1

n

v

zE1

zzE1

n

v

S

vv Sq d qhr

rrhqqv

01

01

02/322

2

001

01

)(

dd

2

Ukupna količina vezanih naelektrisanja

beskonačna ravan r0 , 20 qqv

01

01

20

1

4

dd

R

qqF v

dd)(2

1

44d

322

2

01

01

0

2

30

rrhr

hqdS

R

hqF v

zElementarna Coulombova sila naelektrisanje - ravan

0

322

2

0

2

01

01

0

2

)(

dd

24d

hr

rrhqFz

Ukupna Coulombova sila naelektrisanje - ravan 2

01

01

0

2

4

1

4 h

qF

++

+---

++

+---

Zamenjen izraz za vq 20 )2(

1

4 h

qqF v

, qqv

01

01

Sila je privlačna

Uticaj dielektrika je moguće zameniti ekvivalentnim tačkastim naelektrisanjem koje je postavljeno simetrično u odnosu na ravan razdvajanja - kao kod teoreme lika u ravnom provodnom ogledalu. Ovde ogledalo nije savršeno. vq

z

h

h

q

vq

z

h

h

q

Savršeno ogledalo 1 qqqv

01

01

1

lim Provodnik je moguće tretirati kao granični slučaj linearnog dielektrika


ES.15.10.2

Usamljena provodna lopta poluprečnika naelektrisana je količinom naelektrisanja i nalazi se u homogenom, linearnom i izotropnom

dielektriku dielektrične konstante . Odrediti:

aq

a) zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja v , b) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja v , c) električno polje E

u svim tačkana prostora.

qvq

qvq

qvq

Rešenje

Maxwellov vektor električnog pomeraja PED

0

U linearnim dielektricima EP

Konstitutivna veza ED

EDP

0 Vektor polarizacije

EEEP

)( 00 1

Dobijanje konstitutivne veze

EE

EE

EEED

r

ee

0

000

00

)1()(

)(

Treća Maxwellova jednačina u integralnom obliku qSD

S

d

primenjena na sfernu površinu poluprečnika ar . 2

ˆ

4 r

rqD

, ar

Izvori vektora električnog pomeraja su samo slobodna naelektrisanja

Električno polje metalne lopte

DE

1

arr

rq

arE

,ˆ

4

,0

2

Na metalnoj lopti naelektrisanja su ravnomerno raspoređena po površini. U unutrašnjosti polje je jednako nuli.

Iz 1 se dobija vektor polarizacije dielektrika 20

ˆ

4)(

r

rqP

,

ar

Površinska gustina vezanih naelektrisanja, ar ,

nPv ˆ

Pv 20

1

4)(

a

qv

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja,

Pv

div

0v

Određivanje divergencije, 0r

033

ˆ33

graddiv1

divˆ

div

334

3

33

32

rrrrr

r

rrrr

r

r

r

r

Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu

Metalna lopta je ravnomerno naelektrisana po površini. U dielektriku se, uz površinu lopte, formira niz elementarnih dipola čije dejstvo je po zapremini dielektrika anulirano, i ostaje samo površinski sloj vezanih naelektrisanja.

Ukupna količina naelektrisanja . vtot qqq

024 qaqq vtot

Električno polje metalne lopte u vakuumu potiče od slobodnih naelektrisanja. 2

00

ˆ

4 r

rqE

, r a

Električno polje metalne lopte u dielektriku potiče od svih naelektrisanja, slobodnih i vezanih. 2

0

02

0

ˆ

4

1ˆ

4 r

rq

r

rqE tot

Isti rezultat je već dobijen primenom treće Maxwellove jednačine tj. generalisanog Gaussovog zakona. 02

1

4E

r

qE

Izvori vektora električnog pomeraja su samo slobodna naelektrisanja. 2

ˆ

4 r

rqD

, ar


ES.16.06.1

Tačkasto naelektrisanje leži na razdvojnoj površini dva linearna dielektrika. U svima tačkama okolnog prostora odrediti

q

a) vektor električnog pomeraja,

b) vektor električnog polja. c)

Proveriti tačnost rezultata na primeru homogene sredine, 021

E

E

2

1 EE

E

2

11

Rešenje

Konzervativni karakter elektrostatičkog polja 0d

C

lE

0h , 021 lElE

tt EE 21 1 tt DD 2112 3

Generalisani Gaussov zakon qSDS

d

0q, 0h

qSDSD

21

nn DD 21 2 nn EE 2211 4

l

h Cl

h C

hS

S

hS

S

Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih graničnih uslova.

Pošto je polje radijalno iz prvog graničnog uslova sledi 21 EE 1

1

22 DD


d qS

DS

D 22 21

S21

21S

S21S2121

21S

qrDD 221 2 2

1

21

21

r

qD

Vektor električnog pomeraja u sredini 1

rr

qD ˆ

)(2 221

11

Vektor električnog pomeraja u sredini 2

rr

qD ˆ

)(2 221

22

Vektor električnog polja u obe sredine je isti

2

2

1

1

DDE r

r

qE ˆ

)(2

12

21

Ako je sredina homogena

021 rr

qE ˆ

4

12

0

Rezultat koji se dobija i direktnom primenom Gaussovog zakona u vakuumu


ES.16.12.1

Usamljena provodna lopta poluprečnika naelektrisana je količinom naelektrisanja i uronjena je do

polovine u tečni, linearni i homogeni dielektrik, dielektrične konstante

a q

1 . Gas iznad površine razdvajanja je

takođe homogen i linearan i ima dielektričnu konstanru 2 . Odrediti:

a) električno polje E

u svim tačkana prostora, b) raspodelu slobodnih naelektrisanja, c) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja v , d) zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja v , e) površinsku vezanih gustinu naelektrisanja ako je 02 . f) Proveriti tačnost rezultata smatrajući da je 021 .

q12

q12

Rešenje


d qrEE 22211 2 1

Granični uslov na površini između dielektrika tt EE 21 Polje je radijalno, pa EEE 21 2 Granični uslov na površini provodnika /nE 3 U unutrašnjosti

provodnika polje je nula 0E 4


Iz 1 i 2 sledi: Vektor električnog polja u obe sredine je isti.

rr

qE ˆ

)(2

12

21

, r a

ED 11 ,

ED 22

Slobodna naelektrisanja na gornjoj polulopti (3) EE ns 2222 , ( ar ) 2

21

22 )(2 a

qs

Slobodna naelektrisanja na donjoj polulopti (3) EE ns 1111 , ( ar ) 2

21

11 )(2 a

qs

Vektor polarizacije dielektrika EDP

0 EEEP

)( 00

Jačina polarizacije na površini ar r

a

qP ˆ

)(2 221

0

Spoljašnja normala dielektrika uz površinu lopte usmerena je ka centru lopte

Vezana naelektrisanja uz gornju poluloptnu EPnv )(ˆ 022

2

21

202 )(2 a

qv

Vezana naelektrisanja uz donju poluloptnu EPnv )(ˆ 011

2

21

101 )(2 a

qv

Vezana naelektrisanja - zapreminska gusrtina 0

ˆdiv~-div

2v r

rP

Na ispitu se priznaje ranije izveden rezultat

210

02 )(2 a

qs

210

11 )(2 a

qs

0v , 02 v

02 Na razdvojnoj površini nema vezanih naelektrisanja. Vektori normale površine i polarizacije su pod pravim uglom. Naelektrisanja se vezuju uz površinu donje polulopte. Vektor normale je usmeren ka centru lopte.

210

101 )(2 a

qv

02

2s

1s1v

0E1

01 v

P

n

P

n

P

n

P

n

P

n

P

n

02

2s

1s1v

0E1

01 v

02

2s

1s1v

0E1

01 v

P

n

P

n

P

n

P

n

P

n

P

n

021 0P , 0v , 012 vv , 212

4 a

qsss , r

r

aE s ˆ

2

2

0

.


ES.17.10.1

Usamljena provodna lopta poluprečnika naelektrisana je količinom naelektrisanja . Centar lopte se nalazi na osi koja predstavlja tromeđu sredina. Sredine su homogeni i linearni dielektrici čije dielektrične konstante su , i . Odrediti:

a q

1 2 3

a) električno polje E

u svim tačkana prostora, b) raspodelu slobodnih naelektrisanja, c) raspodelu ukupnih naelektrisanja, d) potencijal na kome se lopta nalazi, e) kapacitivnost lopte. f) Proveriti tačnost rezultata, smatrajući da je 0321 .

2

q1

3

a

2

q1

3

a

Rešenje


d qrEEE 2332211 )2( 1

Granični uslov na površini između dielektrika tt EE 21 Polje je radijalno, pa je

321 EEE

E

2

Granični uslov na površini provodnika /nE 3 U unutrašnjosti

provodnika polje je nula 0E 4


Iz 1 i 2 sledi: Vektor električnog polja u svim sredinama je isti.

rr

qE ˆ

)2(

12

321

ar

ED 11

ED 22

ED 33

EDE ns 11111 , ar 2321

11 )2( a

qs

EDE ns 22222 , ar 2321

22 )2( a

qs

Raspodela slobodnih

naelektrisanja (3)

EDE ns 33333 , ar 2321

32 )2( a

qs

Raspodela ukupnog (totalnog) naelektrisanja je ravnomerna Evst 0 , ar 2

321

0

)2( a

qt

Potencijal u okolini lopte, ar Potencijal lopte, ar

Potencijal,

r

rE

d r

q

)2(

1

321 , a

qar )2(

1

321

Kapacitivnost lopte,

arqC

/ aC )2( 321

rr

qr

r

qE ˆ

4

1ˆ

)2(

12

02

321

, r a

a

qar

04

1

Provera rezultata

0321

aaC 0321 4)2(


ES.17.09.1

Elektrode ravanog kondenzatora se nalaze na međusobnom rastojanju i priključene su na napon U . Zatim se elektrode postave na puta veće rastojanje. Odrediti energiju kondenzatora pre i posle promene rastojanja između elektroda, i to ako je

d1x

a)

kondenzator stalno priključen na izvor napajanja U , b) kondenzator isključen sa izvora napajanja U pre razmicanja elektroda.

U U U U

Rešenje

Energija električnog polja u linearnim sredinama VDEW d

2

1d

VEW d

2

1d 2

Vd

UW d

2

1d

2

2

Sdd

UW 2

2

2

1

2

2

1U

d

SW Energija električnog polja

kondenzatora.

SdV , , . dUE / dSC /

2

2

1CUW

U

qC

C

qW

2

2

1

Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.

Kapacitivnost kondenzatora pre i posle promene geometrije

d

SC 1

xd

SC 2 12

1C

xC

Kondenzator priključen na izvor - napon je stalan. 2

11 2

1UCW 2

22 2

1UCW

212 2

1UC

xW

Energija kondenzatora se smanjuje x puta. 12

1W

xW Uloženi mehanički rad uvećava energiju

izvora napajanja.

Kondenzator isključen sa izvora - količina naelektrisanja je stalna.

1

2

1 2

1

C

qW

2

2

2 2

1

C

qW

1

2

2 2 C

qxW

Energija kondenzatora se povećava x puta. 12 xWW Uloženi mehanički rad uvećava energiju

polja u kondenzatoru.


ES.14.04.1

Elektrode ravanog kondenzatora površina nalaze se na međusobnom rasrojanju .d U elektrodni prostor se do polovine unese treća, neutralna, elektroda istih dimenzija i debljine

Sddn .

Dielektrik u kondenzatoru je vazduh. Odrediti energiju kondenzatora pre i posle unošenja treće elektrode, i to ako je

a) kondenzator stalno priključen na izvor napajanja U , b) kondenzator isključen sa izvora napajanja U pre unošenja elektrode, c) debljina neutralne elektrode zanemarljiva, tj. 0nd .

nd

d

nd

d

Rešenje

Kapacitivnost kondenzatora - pre unošenja neutralne elektrode

0

00 U

qC

d

SC 00

d

S

d

S

Energija u kondenzatoru - pre unošenja neutralne elektrode 2

000

20

000 2

1

2

1

2

1UC

C

qUqW

Kapacitivnost novonastalih kondenzatora posle unošenja neutralne elektrode

2d

1d2d

2/S 2/S

2d

1d2d

2/S 2/S

2/1 SS dd 1

d

SC

201 01 2

1CC

2/2 SS 2/)(2 nddd

ndd

SC

02

ndd

dCC

02

1C

2C

2C

1C

2C

2C

Ekvivalemtna kapacitivnost mešovite veze kondenzatora

22

221 CC

CCCCe

21 2

1CCCe )(2

20

n

ne dd

ddCC

U opštm slučaju 0nd 0CCe Ako je kondenzator stalno priključen na izvor napajanja naelektrisavanje neutralne elektrode izvršiće se na račun energije izvora. Napon ostaje iisti, a ukupna energija se povećava.

0202

1WUCW ee

Ako kondenzator nije priključen na izvor napajanja naelektrisavanje neutralne elektrode izvršiće se na račun energije u kondenzatoru. Količine naelektrisanja ostaju iste (preraspodeljene), a ukupna energija se smanjuje.

0

20

2

1W

C

qW

ee

U specijalnom slučaju 0nd 0CCe 0WWe


U opštem slučaju, predstavljanje kondenzatora pomoću mešovite veze nije moguće. To se pokazuje ispitivanjem graničnih uslova na svim razdvojnim površinama.

Granični uslovi

Razdvojna površina 10 | 10 EE

01

2

01

2

21 EE 1

≠ Razdvojnapovršina 20 | 20 EE ?

Razdvojna površina

2

1

2211 EE

2211 EE 2

0C2C

1C

0C2C

1C

Uslovi 1 i 2 su jednovremeno zadovoljeni samo ako je 21 , tj. ako je u tom delu dielektrik homogen.


ES.17.02.1

Sferni kondenzator, poluprečnika i , priključen je na jednosmerni napon . Dielektrik u kondenzatoru je dvoslojan sa poluprečnikom razdvojne površi i dielektričnim konstantama

a ac U

cba 1 i 2 . Odrediti:

a) električno polje u oba dielektrična sloja, b) kapacitivnost kondenzatora,

c

b

a12

U

c

b

aa12

U

c) poluprečnik razdvojne površine tako da maksimalna električna polja u oba sloja budu jednaka, d) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja na razdvojnoj površini dva dielektrika.

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon qSdDS

2

ˆ

4 r

rqD

za cra

Električno polje - u dielektrinom sloju 1

211

1

ˆ

4

1

r

rqDE

za bra

Električno polje - u dielektričnom sloju 2

222

2

ˆ

4

1

r

rqDE

za crb

Električno polje je jednako nuli za

ar 0 i cr .

c

a

rEU d

c

b

b

a

c

a

rErErEU

ddd 21 Napon između elektroda = zbir napona po slojevima

c

b

b

ar

rq

r

rqU 2

22

1

d

4

d

4 cb

bcq

ba

abqU

21 44

Kapacitivnost - recipročna vrednost q

U

C

1 cb

bc

ba

ab

C

21 4

1

4

11

Redna veza dva sferna kondenzatora

),,( 1 ba i ),,( 2 cb

21

111

CCC

2 1U

2 1U

Ako je dielektrik homogen 21

cb

bc

ba

ab

C 4

11

ac

caC

4

Najveće vrednosti električnog polja u slojevima 2

11

1

4max a

qE

i 2

22

1

4max b

qE

Poluprečnik razdvojne površine dielektrika maxmax 21 EE 21 / ab

Vektor polarizacije - u dielektrinom sloju 1

21

011011011101

ˆ

4)()(

r

rqEEEEDP

Vektor polarizacije - u dielektrinom sloju 2

22

022022022202

ˆ

4)()(

r

rqEEEEDP

Vezana naelektrisanja – površinska gustina na razdvojnoj površini, br

221

21021 4

)(ˆ)(

b

qnPP

brv


ES.17.04.1

Koaksijalni kondenzator poluprečnika i priključen je na stalni napon U . a ab

Dielektrična konstanta se menja po zakonu r

ar)( .

a) Pokazati da je u kondenzatoru električno polje konstantno. b) Odrediti podužnu kapacitivnost kondenzatora. c) Odrediti površinske gistine vezanih naelektrisanja. Odrediti zapreminsku gistinu vezanih naelektrisanja.

Pokazati da je ukupna količina vezanih naelektrisanja jednaka nuli.

r

b

a)(r

q

r

b

aa)(r

q

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon primenjen na cilindar qSdD

S

r

rq

r

r

L

qD

ˆ

2

ˆ

2

za bra

Električno polje Dr

E

)(

1

r

r

r

qE

ˆ

)(2

r

ar)(


Električno polje – kada se zameni )(r

a

rqE

ˆ

2

Napon b

a

rEU d

b

a

rra

qU dˆ

2

a

abqU

2

Gustina naelektrisanja ab

aUq

2

Podužna kapacitivnost U

qC

ab

aC

2

Električno polje – kada se zameni q r

ab

UE ˆ

const.E

Vektor polarizacije EDP

0 ErP

0)( Er

aP

0

Gustina vezanih naelektrisanja uz pozitivnu elektrodu )( arPva Eva )( 0

Gustina vezanih naelektrisanja uz negativnu elektrodu )( brPvb E

b

avb

0



div

r

r

raEv ˆdiv

ˆdiv 0

2div1ˆ

2div11

graddiv1

divˆ

div 232222 rrr

rrr

rrrr

rr

r

r

r

3div r

zzyyxxr ˆˆˆ

1div1ˆ

div11

graddiv1

divˆdiv 2 rrr

rrr

rrrr

rr

rr

2div r

yyxxr ˆˆ

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja

rEv

10 , 0r 2D cilindar

V

vbvbavav VSSq d , aLSa 2 , bLS 2 , rrLV d2d b


0d1

222)( 000

b

a

v rrr

LEbLEb

aaLEq


ES.17.04.1

Sferni kondenzator poluprečnika a i priključen je na stalni napon U . ab

Dielektrična konstanta se menja po zakonu 2

2

)(r

ar .

a) Pokazati da je u kondenzatoru električno polje konstantno. b) Odrediti kapacitivnost kondenzatora. c) Odrediti površinske gistine vezanih naelektrisanja. Odrediti zapreminsku gistinu vezanih naelektrisanja.

Pokazati da je ukupna količina vezanih naelektrisanja jednaka nuli.

r

b

a)(r

r

b

aa)(r

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon primenjen na sferu qSdD

S

2

ˆ

4 r

rqD

za bra

Električno polje Dr

E

)(

1

2

ˆ

)(4 r

r

r

qE

2

2

)(r

ar


Električno polje – kada se zameni )(r 2

ˆ

4 a

rqE

Napon b

a

rEU d

b

a

rra

qU dˆ

4 2 24 a

abqU

Količina naelektrisanja ab

aUq

2

4

Kapacitivnost U

qC

ab

aC

2

4

Električno polje – kada se zameni q r

ab

UE ˆ

const.E

Vektor polarizacije EDP

0 ErP

0)( Er

aP

02

2

Gustina vezanih naelektrisanja uz pozitivnu elektrodu )( arPva Eva )( 0

Gustina vezanih naelektrisanja uz negativnu elektrodu )( brPvb E

b

avb

02

2



div

r

r

raEv ˆdiv

ˆdiv 02

2

3div1ˆ

3div11

graddiv1

divˆ

div3433332

rrr

rrr

rrrr

rr

r

r

r

2div r

yyxxr ˆˆ

1div1ˆ

div11

graddiv1

divˆdiv 2 rrr

rrr

rrrr

rr

rr

3div r

zzyyxxr ˆˆˆ

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja

rEv

20 , 0r 3D sfera

V

vbvbavav VSSq d , , , 2 2 24 aSa 4 bSb rrV d4d


0d1

844)( 20

202

22

0

b

a

v rrr

EbEb

aaEq


ES.14.01.1

U koaksijalnom vodu, poluprečnika i , unutrašnji vod je pričvršćen za spoljašnji pomoću klinastog oslonca dielektrične konstante . Izvodnice klina grade ugao

a ab 1 . Ostatak prostora je vazduh.

Vod je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti:

a) električno polje u delu sa vazduhom i u delu sa dielektrikom, b) podužnu kapacitivnost voda. c) Proveriti ispravnost rezultata za slučajeve 0 i 2 . d) Kojom ekvivalentnom vezom se može predstviti kapacitivnost? Koliki najveći napon na koji vod može biti priključen?

b

0 1a

b

0 11aa

Rešenje


d qSDSD 1100

Granični uslov na površini između dielektrika Polje je radijalno, pa tt EE 21 EEE 21

Jačina električnog pomeraja i ED 00 ED 11

Iz Gaussovog zakona sledi

Gaussova površ

1100 SS

qE

qESES 1100

Deo površine zamišljenog cilindra, centralni ugao

Lr L

r

rLS 1

Deo površine zamišljenog cilindra, centralni ugao 2 rLS )2(0

r

rq

r

r

L

qE

ˆ

)2(

ˆ

)2( 0101

Električno polje –

isto u vazduhu i dielektriku

b

a

rEU

d a

bqU ln

)2(01

Napon

)/ln(

)2(01

abC

U

qC

Podužna kapacitivnost

Kapacitivnost - paralelna veza dva kondenzatora

)/ln(

)2(

)/ln(01

ababC

Specijalni slučaj, ,

U

0

1

U

0

11

)/ln(

2 0

abC

0 u vodu je samo vazduh.

Specijalni slučaj, , 2u vodu je samo dielektrik. )/ln(

2 1

abC


Pri kritičnoj jačini polja oko elektrode se formira jonizovani sloj i materija postaje provodna, pa naelektrisanja počinju da napuštaju elektrodu. Taj proces (korona) traje sve dok polje, zbog sve manje naelektrisanja, ne oslabi ispod kritične vrednosti. Za jačine polja veće od kritičnog dolazi do skoka varanice.

Najveća jačina polja je na unutrašnjoj elektrodi. a

qE

1

)2(01max

krEE max

Najveće podužno naelektrisanje. )2(01max aEq kr

Najveći dozvoljeni napon zavisi od odnosa ab / . a

baE

a

bqU kr lnln

)2(01

maxmax

Vazduh

kV/cm30krE

Za pravilno odabran odnos poluprečnika dobija se teorijski maksimum.

0lnd

d

a

ba

a e

a

b krE

e

bU

maxmax


ES.16.06.1

Za merenje visine tečnosti se koristi koaksijalni kondenzator koji je načinjen od koaksijalne cevčice visine H i unutrašnjeg i spoljašnjeg poluprečnika i

. Izračunati koliko se promeni kapacitivnost kada se kondenzator napuni do visine tečnošću dielektrične konstante

ab

h 1 .

0

1

Hh

0

1

Hh

Rešenje


d qSDSD 1100

Granični uslov na površini između dielektrika Polje je radijalno

tt EE 10 EEE 10

Jačina električnog pomeraja ED 00 i ED 11

Iz Gaussovog zakona sledi qESES 1100 1100 SS

qE

Deo površine zamišljenog cilindra u vazduhu 00 2 rLS

Deo površine zamišljenog cilindra u dielektriku 11 2 rLS

r

1

0 E

1L

0L

E

q

Gaussova površ

r

1

0 E

1L

0L

E

q

Gaussova površ

Električno polje – isto u vazduhu i dielektriku r

r

LL

qE

ˆ

2 1100

Napon b

a

rEU

d a

b

LL

qU ln

2 1100

Kapacitivnost U

qC

)/ln(

2 1100

ab

LLC

Kapacitivnost - paralelna veza dva kondenzatora

)/ln(

2

)/ln(

2 1100

ab

L

ab

LC

U

0

1

U

0

1

Radi usaglašavanja sa tekstom zadatka treba zameniti hHL 0 i hL 1

Kapacitivnost – kada nema tečnosti, 0h

)/ln(

2 00 ab

HC

Kapacitivnost – kada kada ima tečnosti, 0h

H

hCC r )1(10


Prilikom uranjanja u tečnost slobodna naelektrisanja se se prerasporede na sledeći način

0

00d

q

SES

rL

qE

1

2 00

00

1

11d

q

SES

rL

qE

1

2 11

11

10 EE

11

1

00

0

L

q

L

q

1100

000 LL

Lqq

Ukupna količina slobodnih naelektrisanja

qqq 10

1100

111 LL

Lqq


ES.16.10.2

Sferni kondenzator poluprečnika elektroda i do polovine je ispunjen dielektrikom dielektrične konstante . Ostatak zapremine je vazduh. Odrediti:

a ab 1

a) kapacitivnost kondenzatora, b) najveći napon na koji kondenzator može da se priključi, c) raspodelu slobodnih naelektrisanja.

ab

0

1a

ba

b0

1

Rešenje


d qSDSD 1100 bra

Granični uslov na površini između dielektrika Polje je radijalno

tt EE 10 EEE 10

Jačina električnog pomeraja ED 00 i ED 11

Iz Gaussovog zakona sledi qESES 1100 1100 SS

qE

Deo površine zamišljene sfere u vazduhu 20 22/ rSS

Deo površine zamišljene sfere u dielektriku 21 22/ rSS

Gaussova površ

1E0Er2/S

2/S

Gaussova površ

1E0Er2/S

2/S

Električno polje – isto u vazduhu i dielektriku 2

10

ˆ

)(2 r

rqE

, bra 1

Napon b

a

rEU

d

ba

qU

11

)(2 10

2

Kapacitivnost U

qC

ab

baC

)(2 10

Kapacitivnost - paralelna veza kondenzatora

110 22

ab

ba

ab

baC

3 U

0

1

U

0

1

Najjače električno polje sledi iz 1 je za ar krE

a

qE

210

max1

)(2

Proboj u vazduhu nastaje pri

V/m103 6krE

Količina naelektrisanja krEaq )(2 102

max

Najveći dozvoljeni napon sledi iz 2 )(max ab

b

aEU kr Zavisi od odnosa ba /

Teorijski najveća vrednost 0d

d max a

U ab 2

2maxmaxa

EU kr

Količina naelektrisanja u vazdušnom delu, iz 2 i 3 U

ab

baq

00 2

10

00

qq

Količina naelektrisanja u dielektričnom delu, iz 2 i 3 U

ab

baq

11 2

10

11

qq


0C je kapacitivnost kondenzatora kada je samo sa vazduhom, a

je kapacitivnost kada je ceo ispunjen dielektrikom 1C

01 r . Kapacitivnost do polovine napunjenog kondenzatora, iz 3

)1(2

1)(

2

1010 rd CCCC

Kondenzator do polovine napunjen tečnim dielektrikom priključen je na napon . Zatim se napon isključi,

a dielektrik ispusti. Premereni napon na kondenzatoru je sada . dU

0U

Dielektrična konstanta 000 qUCUCq ddd 1/2 0 dr UU


ES.12.01.1

Ravnan kondenzator, sa rastojanjem između elektroda , čije su površine , priključen je na jednosmerni napon U . Dielektrik u kondenzatoru poprečno je podeljen na dva jednaka bloka sa dielektričnim konstantama

d S

1 i 2 . Odrediti:

a) električno polje u oba dielektrika, b) raspodelu slobodnih naelektrisanja, c) raspodelu vezanih naelektrisanja, d)

kapacitivnost kondenzatora.

1

1

2

d

U1

1

2

d

U

Rešenje

Granični uslov 21 | tt EE 21

Električno polje je jednako u oba bloka

d

UEEE

21

Napon je isti bez obzira na put integracije EdlElEU

2

1

2

2

1

1 dd

tE2

tE1

U

d

1

2 tE2

tE1

U

d

1

2

Površinska gustina slobodnih naelektrisanja uz 1

d

UED 1111

Površinska gustina

slobodnih naelektrisanja uz 2

d

UED 2222

Površinska gustina vezanih naelektrisanja u 1

d

UEEEDPv )( 01010111

Površinska gustina vezanih naelektrisanja u 2

d

UEEEDPv )( 02020222

Površinska gustina slobodnih i vezanih naelektrisanja uz 1

d

U

d

U

d

Uv 001111 )(

Površinska gustina slobodnih i vezanih naelektrisanja uz 2

d

U

d

U

d

Uv 002222 )(

Kapacitivnost

22

1)(

12121

SS

Uqq

UU

qC

d

S

d

SS

d

US

d

U

UC 2121 2

1

2

1

22

1

Kapacitivnost

može da se predstavi kao paralelna veza dva kondenzatora 21 CCC

2

1

2

1


ES.14.03.1

Ravan kondenzator, priključen na stalni napon U , ispunjen je dielektrikom propustljivosti i debljine . Zbog nesavršenosti obrade elektroda između

elektroda i dielektrika pojavljuju se dva vazdušna procepa debljine . 1 1d

0d

a) Koliki je odnos jačina električnog polja u procepu i dielektriku?

b)

Odrediti kapacitivnost kondenzatora.

0

U

0

1d 0d

1

0d

0

U

0

1d 0d

1

0d

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon qSdD

S

qDS S

qD D

Električno polje – u vazdušnim procepima S

qDE

000

0

0

E 0

Električno polje – u dielektriku S

qDE

111

1

1

E 1

Napon 020 EdEEU

1

1

0

02

d

S

qd

S

qU

Površinska gustina naelektrisanja

1

1

0

12 ddU

0110

10

2

dd

U

Električno polje 0 i 1

0110

10 2

dd

UE i

0110

01 2

`

dd

UE 1

0

10 EE

11

002

1

d

S

d

S

U

q

C

Kapacitivnost – recipročna vrednost

010

1111

CCCC

010

U

010

U

Kapacitivnost = redna veza tri kondenzatota


Jačina polarizacije u dielektriku 10110 )( EEDP

1

01P

Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja 0div Pv

Polarizacija je homogena

(ne zavisi od koordinata)

Površinska gustina vezanih naelektrisanja

1

01Pv Sa znakom minus uz pozitivnu elektrodu i obrnuto

Ukupna količina vezanih naelektrisanja VSSq vvvv 0vq , što mora uvek da bude

Električno polje u dielektriku 1

11

E

1111

S

qDE 1

Električno polje u dielektriku

001

vukupnoE Dielektrik se zameni vakuumom, a uticaj dielektrika se zameni vezanim naelektrisanjima

Ukupna površinska gustina naelektrisanja uz pozitivnu elektrodu

1

0

1

01ukupno

Električno polje u dielektriku

110

0

01

ukupnoE

što je poznat rezultat 1


ES.16.12.1

U sfernom kondenzatoru, poluprečnika i , dielektrični sloj, dielektrične konstante , i poluprečnika i c , ne naleže uz elektrode tako da se pojavljuje nepoželjni vazdušni procep. Kondenzaator je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti

a ad b1 b

a) električno polje u delovima sa vazduhom i u delu sa dielektrikom, b) kapacitivnost kondenzatora. Skicirati grafik promene električnog polja.

0

01

abcd

0

010

010

01

abcd

Rešenje

Generalisani Gaussov zakon qSdDS

2

ˆ

4 r

rqD

za dra

Električno polje u vazduhu uz unutrašnju elektrodu 2

000

ˆ

4

1

r

rqDE

za bra

211

1

ˆ

4

1

r

rqDE

Električno polje u dielektriku za crb

Električno polje je jednako nuli za

ar 0 i . dr Električno polje u vazduhu uz spoljačnju elektrodu 2

000

ˆ

4

1

r

rqDE

za drc

Napon između elektroda d

a

rrE

d)( U

Napon između elektroda je zbir parcijalnih napona

d

c

c

b

b

ar

r

r

r

r

rqU 2

02

12

0

ˆ1ˆ1ˆ1

4

Reciproćna vrednost kapacitivnosti dc

cd

cb

bc

ba

ab

q

U

010 4

1

4

1

4

1

Kondenzator je serijska veza tri sferna kondenzatora 321

1111

CCCC

010

U

010

U

Ovaj deo zadatka nije tražen na itu isp

Ovde je radi jednostavnosti skiciran grafik Eq

04 , tako da je

20 14

rE

q za i bra drc

200 14

rE

q

za crb b c

r

a

E

d

2/ 0

b c

r

a

E

d

2/ 0


ferni kondenzator poluprečnika i ispunjen je linearnim,

DC.16.12.1 S a ab homogenim i nesavršenim dielektrikom čija je dielektrična konstanta , a provodnost . Kondenzator je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti

a) kapcitivnost kondenzatora, denzatora),

b) provodnost dielektrika (odvodnost kon c) odnos kapacitivnosti i provodnosti.

b a

U

b aa

U

Rešenje

Gaussov zakon

qSE

S

d 2

ˆ

4 r

rqE

, bra

qrE 24

Napon b

a

rEU

d ba

abqU

4

U

qC

ab

baC

4 Kapacitivnost

2

ˆ

4 r

rqJ

2

ˆ

4 r

rqJ

EJ

Ohmov zakon

S

SJI

d

qI 2

24

4 r

rqI

Jačina struje

U

IG

ab

baG

4 Provodnost

G

C Odnos GC /

I

q

I

U

U

q

G

C

Do istih odnosa dolazi se i na sledeći način:

U

qC

Kapacitivnost

U

IG

I

q

G

C

Provodnost

d

SC

Kapacitivnost

q

d

U q

S I

q

d

U q

S I

esavršen dielektrik=

Provodnost n=nesavršen provodnik

d

SG

G

C

I

q

G

C

Odnos / dimenziono predstavlja vreme ( tIq / ) i naziva e relaksacije. Od tog odnosa zavisi ojom n otiču u

se vrembrzina k aelektrisanja vezana uz elektrode obliku struje.


DC.13.04.1

Koaksijalni vod poluprečnika i ispunjen je linearnim, homogenim i nesavršenim dielektrikom čija je dielektrična konstanta

a ab , a provodnost .

Vod je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti

a) podužnu kapcitivnost voda, b) podužnu provodnost dielektrika, c) odnos podužne kapacitivnosti i provodnosti.

b2

a2

b2

a2

Rešenje

Gaussov zakon – primenjen na cilindar

q

SES

d

Lq

rLE 2

Električno polje r

rqE

ˆ

2

, bra

Napon b

a

rEU

d a

bqU ln

2

Podužna kapacitivnost

U

qC

)/ln(

2

abC

Gaussova površ

a

q r L

Gaussova površ

a

q r L

Ohmov zakon – gustina struje EJ

r

rqJ

ˆ

2

Jačina struje S

SJI

d r

rLqI

2

2

LqI

Provodnost U

IG )/ln(

2

ab

LG

Podužna provodnost L

GG )/ln(

2

abG

Odnos GC /

2

)/ln(

)/ln(

2 ab

abG

C

G

C


DC.15.10.2

Poluloptasta elektroda poluprečnika načinjena je od savršenog provodnika i ukopana je u električno homogenu zemlju specifične provodnost . U elektrodu utiče struja kvara

a

I .

a) Za datu dužinu koraka odrediti naveći napon koraka . kl kU

b)

Odrediti prelaznu otpornost između elektrode i okolne sredine. uzR

kU

J

a

I

kU

J

a

kU

JJJ

a

II

Rešenje

Gustina struje ISJS

d ISJ 2

1 2

ˆ

2 r

rIJ

Ohmov zakon EJ

2

ˆ

2 r

rIE

Napon između proizvoljnih tačaka

b

a

rEU

d

ba rr

IU

11

2 1

Potencijal elektrode ara br

a

Ia

1

2

r

J

S

d

S2

1

S2

1r

J

S

d

S2

1

S2

1

Otpornost I

R auz

a

Ruz

2

1

Napon koraka sledi iz 1

rra

kab lrr )(2 k

kk lrr

lIU

Najveći napon koraka ar )(2 k

kk laa

lIU

)( k

kuzk la

lIRU

Numerički primer: , , S/m01.0 m5.0a A100I , m8.0kl 32uzR , V1969kU


DC.14.10.3

Loptasta elektroda poluprečnika načinjena je od savršenog provodnika i ukopana je na dubinu u električno homogenu zemlju specifične provodnost . U elektrodu utiče struja kvara

ah

I .

a) Odrediti tačke na površini zemlje gde je električno polje najveće.

b)

Za datu dužinu koraka odrediti naveći napon koraka . kl kU

I

kU

J

h a

I

kU

JJJ

h a

Rešenje

Pošto je uzemljivač duboko ukopan u zemlju, gustina struje i električno polje mogu potražiti kao za usamljena sfernu elektroda u homogenoj provodnoj sredini.

Gustina struje ISJS

d IJS 2

ˆ

4 r

rIJ

Ohmov zakon EJ

2

ˆ

4 r

rIE

Uticaj površine zemlje zamenjuje se uticajem simetrično postavljenog lika, alise vazduh zamenjuje zemljom. Teorema lika u ravnom ogledalu.

Električno polje uzemljivača 2

1

11

ˆ

4 R

RIE

22

1 )( zhrR

Električno polje lika uzemljivača 2

2

22

ˆ

4 R

RIE

22

2 )( zhrR

h

h

2R

1R

E

2E

1E

Original

Lik

r

z

h

h

2R

1R

E

2E

1E

Original

Lik

z

r

Na površini zemlje

0z 2221 hrRR 2221

1

4 hr

IEE

Električno polje ima samo horizontalnu komponentu.

2/32211)(2

)ˆ,cos(2hr

rIrREE

Električno polje je jednako nuli za i 0r r . Prema Roleovoj teoremi između dve nule neprekidne funkcije postoji ekstremna (ovde je to maksimum) vrednost.

0d

d

r

E

2

hr 2max

33

1

h

IE

Polje je najveće u tačkama na kružnici datog poluprečnika.

Napon izmešu dve tačke na površini zemlje

22

222

1

2/322

11

2)(

d

2

2

1hrhr

I

hr

rrIU

r

r

Najveći napon koraka se dobija za:

21

hr i kl

hr

22

Približno najveći napon koraka je klEU maxmax

Numerički primer: , , S/m01.0 m A1005h I , m1kl 25VkU


EM.16.01.2

Kroz konturu oblika polukružnice poluprečnika protične stalna struja jačine

aI . Kontura se u celosti nalazi u poprečnom homogenom magnetnom

polju jačine B .

a) Odrediti ukupnu silu kojom polje deluje na konturu. b) Pokazati da dobijeni rezultat važi za bilo koji zatvorenu konturu

IB

z

yIB

z

y

Rešenje

Magnetna sila na strujni element BlIF

dd

Magnetna sila na strujnu nit BLIBlIFY

X

d X Y

L

LX Y

L

L

Magnetna sila na zatvornu konturu 0d

BlIF

C

Niz diferencijalnih dužina formira zatvoreni poligon vektora. 0d

C

l

0d l

, Obiml d

Pojašnjenja koja slede nisu tražena na ispitu.

U konkretnom slučaju xBB ˆ

Element dužine prečnika ydd yl

Element dužine luka ˆdˆdd all

Magnetna sila koja deluje na element prečnika poluktužnice zyIBxyIBBlIF ˆd)ˆy(ddd 1

Magnetna sila koja deluje na element luka poluktužnice )ˆˆ(ddd 2 xIBaBlIF

komponenta u pravcu y yaIBF y ˆcosdd 2

komponenta u z pravcu zaIBF z ˆsindd 2

I

B

1dF

zF2d

z

y

yF2d

2dF

I

B

1dF

zF2d

z

y

yF2d

2dF

Ukupna magnetna sila na prečnik zyIBF

a

ˆda

1

zIBaF ˆ21

Ukupna magnetna sila na na luk u pravcu y yIBaF y ˆdcos

0

2

02

yF

Ukupna magnetna sila na na luk u z pravcu zIBaF z ˆdsin

0

2

zIBaF z ˆ22

Ukupna magnetna sila na celu konturu zy FFFFFF 22121

0

F

Do istog rezultata dolazi se i na sledeči način:

xBB ˆ

zy ˆcosˆsinˆ

)ˆˆ(ddd 2 xIBaBlIF

zIBayIBazIBaF ˆ2ˆdcosˆdsin00

2

xzyx ˆ)ˆcosˆsin(ˆˆ

y

r

z

y

r

z

yzx ˆcosˆsinˆˆ 0ˆ2ˆ221

zIBazIBaFFF

0d)ˆcosˆsin(ˆd2

0

zyC

,

2dd2

0C


EM.17.09.1

Usamljena čestica poluprečnika i naektrisanja se kreće u vakuumu

stalnom brzinom . Odrediti

a q

v

a) jačinu magnetnog polja u okolini čestice,

b) energiju magnetnog polja,

v

r

B

q

v

r

B

q

c) ukupnu energiju utrošena za ubrzavanje čestice? Rešenje

Biot-Savartov zakon – polje strujnog elementa. 2

0 ˆd

4d

r

rlIB

Veza između jačine struje i brzine naosilaca naelektisanja. vql

t

qlI

dd

d

dd

Biot-Savartov zakon – polje elementarnog naelektrisanja. 2

0 ˆ

4

dd

r

rvqB

Magnetno polje – naelektrisana čestica u kretanju 2

0 sin

4 r

vqB

Energija magnetnog polja VHBWm d2

1d

VBWm d2

1d 2

0

Energija magnetnog polja – naelektrisana čestica u vakuumu

HB

0

Vr

vqWm d

sin

42

1d

2

20

0

Rešavanje integrala

I

cos

dcossindsin

d)cos1(sindsin

2

23

33

23

2

2

cos32cos

dcossin2cos

dsind,cos

omintegracij mparcijalno

dcossin

III

I

VU

I

3cos3

1I

33 cos3

1cosdsin

3

4dsin

0

3

Element sferne zaprimene dddsind 2 rrV

Energija magnetnog polja – u elementarnoj zapremini

dddsin

32d

2

322

20 r

rvqWm

2

00

32

222

0 ddsind

32a

mr

rvqW Energija magnetnog polja –

u celom prostoru oko čestice, ra 0 ,, 20 .

220

12vq

aWm

Ukupna energija – potrebna za ubrzavanje čestice 2202202

62

1

122

1vq

amvq

amvWW km

Ekvivalenta mehanička masa

Naelektrisanu česticu je teže pokrenuti i ubrzati nego česticu iste mase koja nije naelektrisana.

Po jednoj teoriji elektron ima samo masu koja je posledica njegovog naelektrisanja, a

me

6

e20

Naelektrisanje i masa elektrona su eksperimentalno utvrđeni, , a

za magnetnu permeabilnost je usvojeno , pa je moguće je odrediti poluprečnik 15 . Međutim, za klasični poluprečnik elektrona se uzima 3/2 puta veća vrednost, čime

se usaglašavaju numeričke konstante,

C106.1e 19 , kg101.9 31em

m/104 70

m108.1 am1081.2

4

e 152

0

em

a


EM.15.10.3

Dva istimena tačkasta naelektrisanja kreću se paralelno istim brzinama , međusobnom rastojanju

q vr . U tački gde je jedno od naelektrisanja naći:

a) odnos električnog i magnetnog polja,

b) razliku električne i magnetne sile. c) Kolika treba da je brzina da bi naelektrisanja zadržala svoje putanje?

eF

eF

mFv

v mF

r

q

qeF

eF

mFv

v mF

r

q

q

Rešenje

Biot-Savartov zakon – polje strujnog elementa. 2

0 ˆd

4d

r

rlIB

Veza između jačine struje i brzine naosilaca naelektisanja. vql

t

qlI

dd

d

dd

Biot-Savartov zakon – polje elementarnog naelektrisanja. 2

0 ˆ

4

dd

r

rvqB

Magnetno polje – maksimalna jačina. 2

0max 4 r

vqB

B

v

r

q

ME

S B

v

r

q

ME

S

Električno polje – maksimalna jačina. 2

0max 4 r

qE

Odnos maksimalnih jačina polja vE

B00

max

max 00

1

c

Brzina svetlosti u vakuumu

Odnos maksimalnih jačina polja pomoću brzine svetlosti u vakuumu. 2

max

max

c

v

E

B

Magnetna (Lorentzova) sila BvqFm

Coulombova (električna) sila EqFe Elektromagnetna sila

Odnos maksimalnih sila max

max

Eq

Bqv

F

F

e

m 2

2

c

v

F

F

e

m

Rezultantna sila – razlika sila

e

meme F

FFFFF 1

Čestice će nastaviti pravolinijsko kretanje ako se kreću brzinom svetlosti. U suprotnom će se razići.

2

2

1c

vFF e eFF , em FF


Neka se nosioci naelektrisanja kreću kroz dva paralelna, neograničeno duga provodnika, tada sledi

Električno polje - podužnog naelektrisanja r

qE

1

2 0

Električna sila na drugi provodnik po jedinici dužine

r

qEqFe

1

2 0

2

v

v

q q

v

v

q q

Magnetno polje - podužnog naelektrisanja

r

qv

r

IB

1

2

1

200

vqI

Magnetna sila na drugi provodnik po jedinici dužine

r

vqBIFm

1

2

220

vqI

Jačina struje

Jednakost sila - čestice se kreću brzinom svetlosti

r

q

r

vq 1

2

1

2 0

2220

cv

00

1


EM.18.04.1

Obruč poluprečnika , naelektrisan količinom naelektrisanja , rotira oko

svog centra stalnom ugaonom brzinom . Za tačke na osi obruča odrediti

a q

a) jačinu električnog polja, b) jačinu magnetnog polja, c) odnos aksijalnih komponenti polja u tački az .

qd

B

d

a

R

E

d

z

z

qd

B

d

a

R

E

d

z

qd

B

d

a

R

E

d

z

z

Rešenje

Tok naelektrisanja je stacionaran i stvaraju električno polje kao da su statička.

Iz Coulombovog zakona električno polje 2

02

0

ˆd4

ˆ

4d

dR

Rlq

RRq

E

Obrtni naelektrisani obruč stvara magnetno polje je predstavlja stalnu struju.

Iz Biot-Svartovog zakona magnetno polje 2

0ˆd

4d

RRlI

B

Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.Ostaju samo aksijalne komponente polja.

Aksijalna komponenta električnog polja sindd EEz 3

0

d4

dR

lzqEz

Aksijalna komponenta magnetnog polja cosdd BBz 3

0 da4

dR

lIBz

a

E

d zE

d

rE

d

qdr

Rz

a

E

d zE

d

rE

d

qdr

Rz

Rz

EEz

dd

sin

zB

dB

d

a

rB

d

lIdr

R

zzB

dB

d

a

rB

d

lIdr

R

z

Ra

BBz

dd

cos Električno polje celog obruča

C

z lRzq

E d4 3

0

302 R

azqEz

Magnetno polje celog obruča

C3

0 da4

lR

IBz 3

20

2 RaI

Bz

2

0C

2add al

Jačina struje preko ugaone i linijske brzine

2q

Tq

I vqaqI

Magnetno polje u tački az

az

zR

avqB

3

20

2 2/3223 )( zaR

Električno polje u tački az

az

zR

aqE

3

2

021

Odnos jačina polja u tački az 200

cvv

EB

azz

z

gde je 00

1

c


EM.13.09.1

Kroz pravolinijski neferomagnetni linearni provodnik, poluprečnika i magnetne permeabilnosti , protiče stalna struja

a 1I . Odrediti:

a) magnetno polje u svim tačkama prostora, b)

gustine vezanih struja.

Rešenje

Generalisani Ampèreov zakon

S

dd SJlHC

Magnetitaciono polje u provodniku

2

22 r

a

IrH

ˆ

2 21a

rIH

, r a

Magnetitaciono polje u vazduhu

2

22 a

a

IrH

ˆ1

20 r

IH

, ar

Ampèreove konture

ar ar

a1 0

Ampèreove konture

ar ar

a1 0

Magnetno polje u provodniku 111 HB

ˆ2 2

11

a

rIB

, r a

Magnetno polje u vazduhu 000 HB

ˆ1

20

0 r

IB

, ar

Linearni materijali

Magnetizacija MHB

0

1 HBM

0

1

Magnetizacija u provodniku 11

01

1HBM

ˆ2

12

0

11

a

rIM

, r a

Magnetizacija u vazduhu 00

00

1HBM

00 M , ar

Kod većine provodnika (osim feromagnetika) je , pa je vrlo 0približno:

20

1 2 a

rIB

, 01 M

Do istog rezultata se dolazi i na sledeći način

HHHHHB rmm

000 )1()(

0m , za materijale Linearni materijali Magnetna susceptibilnost

HM m

110

1

rm 0m , za vakuum

Magnetizacija 11 HM m

00 0 HM

ˆ2

ˆ2

122

0

11

a

rI

a

rIM m

ar,

Površinska gustina vezanih struja

arSa nMJ

ˆ1

z

a

Iz

a

IJ m

Sa ˆ2

ˆ2

10

1

Zapreminska gustina vezanih struja

1rot MJ a

z

a

Iz

a

IJ m

a ˆˆ122

0

1

Ukupna jačina vezanih struja 022 aJaJI Saaa (što mora da bude)

zr MrMMzr

zrr

rM

ˆˆˆ

1rot

z

rzr

zrr

rM ˆ2

00

ˆˆˆ

1rot

2

1

zn ˆˆˆ nz

n

nz

n n

Paramagneti materijali (na primer, Al, 1.000022 ) imaju pozitivnu suceptibilnost, dok diamagnetni

materijali (na primer, Cu, r

0.999994r ) imaju negativnu suceptibilnost, pa su gustine vezanih struja suprotnih smerova.

.


EM.12.06.1

Kružna kontura poluprečnika , naelektrisana količinom naelektrisanja , rotira oko ose stalnom ugaonom

brzinom stvarajući stalnu struju jačine

a q

I . Odrediti magnetno polje u tačkama na osi konture:

a) koristeći Biot-Savartov zakon, b) koristeći dipolnu aproksimaciju. c) Pokazati da se za veoma udaljene tačke na oba načina dobija isti rezultat. d) Rezultate prikazati pomoću jačine struje i pomoću ugaone brzine.

Odrediti žiromagnetni odnos konture.

Rešenje

Biot-Savartov zakon – magnetno polje strujnog elementa. 2

0ˆd

4d

R

RlIB

lRl d|ˆd|

20 d

4d

R

lIB

lI

d

rBd

Bd

aR

zBd

lI

d

rBd

Bd

aR

zBd

Komponente polja u radijalnom pravcu od dijametralno suprotnih elemenata se anuliraju.

R

a

R

lIBB z 2

0 d

4dd

22 zaR

Ostaje samo komponenta polja u aksijalnom pravcu zl

za

aIB ˆd

)(4d

2/3220

Magnetno polje kružne konture

aalL

2dd2

0

L

lza

aIB d

)(4 2/3220 z

za

aIB ˆ

)(2 2/322

20

az 222 zza z

z

aIB ˆ

2 3

20

Magnetni moment kružne konture zmzIaSIm ˆˆ2

Magnetno polje u dalekoj zoni- dipolna aproksimacija ]ˆ)ˆ(3[

4 30 mrrmr

B

ˆsinˆcosˆ rz ]ˆˆcos3[4 3

0 zrr

mB

z

r

m

r

z

z

r

m

r

z


dipolna aproksimacija 2Iam ]ˆsinˆcos2[

4 30

rr

mB

Polje u dalekoj zoni

U tačkama na osi: zr , zr ˆˆ , 0 z

z

aIB ˆ

2 3

20

3

0

2 z

mB

Jačina struje koju stvara rotirajuća kružna kontura

aqqq

T

qI

2/2

Magnetni momment rotirajuće kružne konture

232

2ˆ a

qaqzIam

tm

m

L

q

B

tm

m

L

qtm

m

L

q

B

Magnetno polje rotirajuće kružne konture

2/322

30

)(2 za

aqB

Magnetno polje rotirajuće kružne konture u dalekoj zoni

az m

zz

aqB

3

03

30 1

22

tm - masa tela

Moment impulsa

2amL t

Žiromagnetni odnos. Ne zavisi od i . Isti je za sva tela. a

tm

q

L

m

2

2/32230 )/(/ zaaBB Tačno

Polje u centru konture 2

00

qB

330 // zaBB Približno

00/ BB

az /

1tačno

dipolnaaproksimacija

daleka zona4

00/ BB

az /

1tačno


daleka zona4


EM.17.10.1

Kružna ploča, poluprečnika , ravnomerno naelektrisana količinom naelektrisanja , rotira oko ose stalnom

ugaonom brzinom .

a q

a) Odrediti magnetno polje u tačkama na osi elementarne kružne strujne konture, smatrajući da je opticana strujom Id .

b) Jačinu struje izraziti pomoću površinske gustine rotirajućih naelektrisanja.

c) Odrediti magnetno polje u tačkama na osi rotirajuće kružne ploče. d) Rezultat prikazati pomoću jačine polja u centru ploče. e) Odrediti magnetni moment kružne ploče.

f) Odrediti magnetno polje kružne ploče u dalekoj zoni.

R

B

d

Id

z

r

R

B

d

Id

z

r

Rešenje


0ˆd

4d

R

RlIB

lRl d|ˆd|

20 d

4d

R

lIB

lI

d

rBd

Bd

rR

zBd

lI

d

rBd

Bd

rR

zBd

Komponente polja u radijalnom pravcu od dijametralno suprotnih elemenata se anuliraju.

R

r

R

lIBB z 2

0 d

4dd

22 zrR

Postoji samo komponenta polja u aksijalnom pravcu. zl

zr

rIB ˆd

)(4d

2/3220


rlL

2d

L

lzr

rIB d

)(4 2/3220 z

zr

rIB ˆ

)(2 2/322

20

Ploča je mnoštvo strujnih kontura polprečnika r sa strujama )(d rI rr

rr

T

qI d

)/2(

d2dd

Magnetno polje elementarne strujne konture 2/322

30

)(

d

2d

zr

rrB

Magnetno polje zbir polja svih strujnih kontura.

a

zr

rrB

02/322

30

)(

d

2

Magnetno polje rotirajuće kružne ploče zz

za

zaB ˆ2

2

2 22

220

Rešavanje integrala

2/322

3

)(

d

zr

rrI

22 rzt , rrt d2d

2/3

2

2/3

d

2

d

2

1

t

tz

t

ttI

Czr

zrI

22

22 2

zza

zaI

a2

222

22

0

Magnetno polje u centru rotirajuće kružne ploče z

aB ˆ

20

0

Magnetno polje u tačkama na osi rotirajuće kružne ploče

az

az

azBB /2

)/(1

)/(212

2

0

Magnetni moment elementarne kružne konture

zrISIm ˆddd 2

, rrI dd

Magnetni moment kružne ploče

4d

4

0

3 arrm

a

00/ BB

az /

1tačno


daleka zona4

00/ BB

az /

1tačno


daleka zona4

Magnetno polje u dalekoj zoni- dipolna aproksimacija ]ˆ)ˆ(3[

4 30 mrrmr

B

zmm ˆ

, zr , zr ˆˆ

Magnetno polje u dalekoj zoni u tačkama na osi ploče z

z

az

z

mB ˆ

8ˆ

2 3

40

30

3

04

1

z

aBB


EM.16.01.1

Kroz konturu oblika pravilnog tougla protiče stalna struja . Oko

mnogougane kotutre opisana je kružna kontura sa jačinom struje .

Poluprečnik opisane kružne konture je . Jačina magnetnog polja

n nI

cIa B u

zajedničkom centru je jednaka nuli.

a) Odrediti vezu između jačina struja u konturama.

Retultat proveriti za granični slučaj n .

cI

a

mI

O

cI

a

mI

O

Rešenje


0ˆd

4d

R

RlIB

Pomoću trigonometrijskih veza sledi

lR

dsin

d

, rR

sin1

dsin4

d 0

r

IB

Magnetno polje strujne duži. 21

0 coscos4

r

IB 1

Za tačke na osi simetrije je i 12 )2/cos( br , pa sledi

Magnetno polje na osi simetrije strujne duži.

2tan

20

b

IB 2

B

Ir

B

Ir

r

lI

d

21 R r

lI

d

21 R

21

b

1b 21

b

1b

d4

d2

0 aa

IB

ˆdd al

d|ˆd| arl

Biot-Savartov zakon – magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla . a

a

I

a

IB

4d

40

0

0 lI

3 d

ad

lI

dd

a


Magnetno polje u centru kružne konture

a

IB c

c 20

Magnetno polje (u centru kružnice) jedne stranice pravilnog n tougla

na

I

na

IB nn

n

tan22

2tan

200

1

Magnetno polje (u centru kružnice) nm stranica pravilnog tougla n

na

ImB n

mn 2

2tan

20

Magnetno polje (u centru kružnice) svih stranica tougla nm n

n

n

a

I

na

InB nn

n

tan

22

2tan

200

Struje u kružnici i touglu su suprotnih smerova. Jačine polja treba da budu jednake.

n nc BB

n

nII nc

tan

Za tougao postaje kružnica n n nnn

nn

nc In

n

nI

n

nII

)/(

)/sin(lim

)/cos(

1limtanlim

Na ispitima u različitim rokovima su razmatrani i neki specijalni slučajevi

6n 6m

6tan

6

nc II

4n 2m

4tan

2

nc II

3n 2m

3tan

2

nc II


I

Ob

a

I

Ob

I

Ob

a

I

Ob

b

I

Ob

I

Ob

b

EM.17.09.1

Žičana kontura oblika trougla napaja se u jednom temenu stalnom strujom jaćine I . Smatrati da je kontura pravilan jednakostranični trougao sa poluprećnikom opisane kružnice b , i da su provodnici za napajanje poluprave, Povezivanje napojnih provodnika na konturu može da se izvrši na četiri načina. U centru zamišljene kružnice, u tački , odreiti jačinu magnetnog polja koje potiće od

O

a) poluprave, b) jednakostraničnog trogla. c) celog sistema

I

Ob

d

I

Ob

I

Ob

d

I

O

cb

I

Ob

I

O

cb

Rešenje

Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2

0ˆd

4d

R

RlIB


lR

dsin

d

, rR

sin1

dsin4

d 0

r

IB


Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21

0 coscos4

r

IB

Za tačke na osi simetrije je 12 i )2/cos( br , pa sledi

Magnetno polje u tačkama na osi strujne duži.

2tan

20

b

IB

B

Ir

B

Ir

r

lI

d

21 R r

lI

d

21 R

21

b

1b 21

b

1b

Magnetno polje (u centru kružnice) jedne stranice pravilnog tougla n

nb

IB n

tan

20

1

Magnetno polje (u centru kružnice) celog pravilnog tougla n

nb

InBn

tan

20

Magnetno polje u centru jednakostraničnog trougla

3tan

2

3 0

b

IBT 3n

Magnetno polje na rastojanju b od početka poluprave.

b

IBP

40 2/1 , 2

slučaj poluprava – trougao – poluprava

smerovi polja rezultantno polje konačan izraz

a PTP BBBB 1332

0

b

IB

b PTP BBBB 332

0

b

IB

c PTP BBBB 1332

0

b

IB

d PTP BBBB 332

0

b

IB


EM.16.09.1

Kontura oblika zupčanika sa zubaca opticana je stalnom strujom n I . Počeci zubaca leže na kružnici poluprečnika , a njihovi krajevi na kružnici poluprečnika . Na slici je prikazana kontura za

aab 4n .

a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . O b) Koliko je polje u tački O ako je . ba c) Koliko je polje u tački O ako n .

n/I O a

b

n/I O a

b

Rešenje


0 ˆd

4d

r

rlIB

a

r

d

lI

da

r

d

lI

d

Magnetno polje na osi strujnog elementa 0B

rl

dd

0|ˆd| rl

Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla .

a

a

I

a

aIB

4d

40

02

0

ˆdd al

d|ˆd| arl


Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo kružni lukovi.

Bez obzira na broj zubaca ukupna dužina luka svih zubaca je uvek ista. Ukupni centralni ugao je uvek isti.

Rezultat ne zavisi od . n

Što je isto kao da je

1n ,

a

b

IB

a

b

IB

Magnetno polje kružnog luka poluprečnik a , centralni ugao

a

IBa

40

Magnetno polje kružnog luka poluprečnik b , centralni ugao

b

IBb

40

ba BBB

Magnetno polje kružnog luka poluprečnik a , centralni ugao n/

na

IBa

40

ba

IB

11

40

Magnetno polje kružnog luka poluprečnik b , centralni ugao n/

nb

IBb

40

ba nBnBB

ba

Dakle, problem je rešen na dva načina.

U slučaju jednakih poluprečnika, , dobija se poznat razultat za magnetno polje u centru kružne strujne konture.

ba

a

IB

20

Do istog rezultata se dolazi i direktnom primenom Biot-Savartov zakona.

a

I

a

IB

2d

40

2

0

0


EM.16.10.1

Kontura oblika zupčanika sa zubaca opticana je stalnom strujom n I . Počeci zubaca leže na kružnici poluprečnika , a njihovi krajevi na kružnici poluprečnika . Na slici je prikazana kontura za

aab 4n .

a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . O b) Koliko je polje u tački O ako je . ba c) Koliko je polje u tački O ako je i ba n .

b

aOI

n/

b

aOI

n/

Rešenje


0ˆd

4d

R

RlIB


lR

dsin

d

, rR

sin1

dsin4

d 0

r

IB



0 coscos4

r

IB


Magnetno polje u tačkama na osi strujne duži.

2tan

20

b

IB

B

Ir

B

Ir

r

lI

d

21 R r

lI

d

21 R

21

b

1b 21

b

1b


Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo tetive unutrašnje i spoljašnje kružnice.

Magnetno polje koje potiče od tetiva kružnice poluprečnika . a

na

InBa 2

tan2

0

Magnetno polje koje potiče od tetiva kružnice poluprečnika . b

nb

InBa 2

tan2

0

Magnetno polje u centru date konture. n

In

baB

2tan

2

11 0

Ako je dobija se pravilan poligon

ba

Magnetno polje u centru pravilnog poligona sa stranica. n2

na

InB

2tan0

kad poligon degeneriše u kružnicu.

n

Magnetno polje u centru kružnice. a

IB

20 1

2tan

2lim

n

nn

1

/

/tanlim

tanlim

cos

sinlim

sinlim1

000

nx

nx

x

x

xx

x

x

xnxxx


EM.13.06.1

Kroz pravougaonu konturu, stranica i , protiče stalna struja a2 b2 I . Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture i to:

a) u opštem slučaju, b) ako je , tj kada pravougaonik degeneriše u kvadrat, ba c)

ako je , tj kada pravougaonik degeneriše u dvožični vod. ba

b2I

O

a2

b2I

O

a2

Rešenje

Biot-Savartov zakon - magnetno polje trujnog elementa.

20

ˆd

4d

R

RlIB


lR

dsin

d

, rR

sin1

dsin4

d 0

r

IB



0 coscos4

r

IB 1

Za tačke na osi simetrije je i 12 )2/cos( br , pa sledi


2

tan2

0

b

IB 2

B

Ir

B

Ir

r

lI

d

21 R r

lI

d

21 R

21

b

1b 21

b

1b


Manetno polje – stranica pravougaonika a2 pomoću 1 ili 2

22

0

2 bab

aIBa

ba /)2/(tan

da /cos 1

12 coscos b

a

d1 2

ab

a

d1 2

a

Manetno polje - stranica pravougaonika b2pomoću 1 ili 2

22

0

2 baa

bIBb

22 bad

Za stranicu b2 oznake i b asamo zamene mesta

Magnetno polje – centar pravougaonika ba BBB 22 22

0 11

ba

IB

Magnetno polje – centar kvadrata ba , ba BB

a

IB

20

, stranica kvadrata je a2

Magnetno polje – na sredini dvožičnog voda

ba , tj. a 0bB

b

IB

1

20

, rastojanje provodnika dvožičnog voda je b2


EM.14.04.1

Date su žičane konture oblika kvadrata, kroz koje u istom smeru protiču stalne struje jačina I . Kvadrati su postavljeni tako da temena manjeg kvadrata leže na sredinama stranica većeg kvadrata. Najmanji kvadrat ima

stranicu dužine , tj. poluprečnik opisane kružnice a 2/ab .

a) Odrediti jačinu magnetnog polja B u tački centra simetrije.

Uopštiti rezultat za proizvoljan broj n i n kvadrata.

1

2

0I

a1

2

0I

a

Rešenje


0ˆd

4d

R

RlIB


lR

dsin

d

, rR

sin1

dsin4

d 0

r

IB



0 coscos4

r

IB 1



2tan

20

b

IB 2

B

Ir

B

Ir

r

lI

d

21 R r

lI

d

21 R

21

b

1b 21

b

1b


Magnetno polje stranice kvadrata pomoću (1) a je stranica

2/ar , 4/1 , 4/31

a

IB

0

2

2

Magnetno polje stranice kvadrata pomoću (2) b je pp opisane kružnice

2/ ,

( 2/ab )

b

IB

2

0

Magnetno polje u centru kvadrata pomoću (1)

a

IB

00 22

Magnetno polje u centru kvadrata pomoću (2)

b

IB

00 2

2/

4/4/

ba

b2/

4/4/

ba

b

Za magnetno polje u zajedničkom centru više kvadrata upotrebimo, na primer, drugi oblik:

Za svaki sledeći kvadrat menja se samo pp opisane kružnice 0

)1(

2

1BB , 0

)1()2(

2

1

2

1BBB , 0

)2()3(

22

1

2

1BBB

Ukupno magnetno polje ne zavisi od međusobnih položaja kvadrata

...

4

1

22

1

2

1

2

110BB

Magnetno polje - prva tri kvadrata

b

IBB

003 )23(

2

23


Očigledno da pp opisanih kružnica formiraju geometrisku progresiju 1

2

1r količnik dva

susedna člana

Geometrijska progresija

1...1 nn rrS

Zbir geometrijske progresije 222/11

1

2

1

0

k

k

r

rS

n

n

1

1

Magnetno polje - beskonačno mnogo kvadrata

b

IB

0)22( r

SS nn

1

1lim , 1|| r


EM.16.12.1

Kroz konturu oblika testere sa zubaca protiče stalna struja n I . Gornja ivica zubaca poklapa se sa pravom koja sa osom testere gradi ugao . Na slici je prikazan oblik sa po po dva zupca levo i desno od centra konture . O

a) Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture.

Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture ako n .

a4

a2 a3

I

O a a4

a2 a3

I

O a

Rešenje


0 ˆd

4d

r

rlIB

O

lI

dr

O

lI

dr


rl

dd

0|ˆd| rl


0 coscos4

r

IB

2/1

2/2


Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo vertikalni elementi.

Magnetno polje jedne vertikalne ivice date konture.

sin4

0

x

IB

Magnetno polje para simetričnih vertikalnih ivica.

sin2

0

x

IB

Magnetno polje svih vertikalnih ivica, ...,3,2, aaax

...3

1

2

11sin

20

a

IB

O

lI

d

1

2

xO

lI

d

1

2

x


Taylorov red

1

1

!

)()()(

n

nn

n

axafxf

Taylorov red u okolini 0a

1

1

!

)0()(

n

nn

n

xfxf

Taylorov red funkcije )1ln()( xxf

1

1)1()1ln(

n

nn

n

xx . 1|| x , 1x

Za 1x ...3

1

2

11

)1(2ln

1

1

n

n

n

Magnetno polje svih vertikalnih ivica, ...,3,2, aaax 2lnsin

20

a

IB


EM.15.09.1

Strujna kontura se satoji od kružnog luka, poluprečnika r i centralnog ugla , i dve poluprave koje tangiraju kružni luk na njegovim krajevima. Kroz

konturu protiče stalna struja 2

I .

a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . Ob)

Objasniti rezultate za 0 , i 2/ .

r

2

Ir

2

I

Rešenje


0 ˆd

4d

r

rlIB

B

Ir

B

Ir

Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika r .

r

IB

40 r

Ir I


0 coscos4

r

IB

Ir1 2

Ir1 2


Magnetno polje na rastojanju r od početka poluprave.

r

IB

4

0 2/1 , 2

Magnetno polje dve polovine luka i dve poluprave. )1(

242

42 000

r

I

r

I

r

IB Magnetno polje

date konture.

Strujna kontura se sastoji od dve poluprave, koje u magnetnom smislu čine jednu pravu, i dela kružnice. Magneto polje je uvek usmereno u ravan crteža.

I

0

r

I

0

r

I

r2/

I

r2/

r

Ir

I

Poluprava + Poluprava = Prva

Poluprava + polukružnica + poluprava

Poluprava + kružnica + poluprava

r

IB

2

0 r

I

r

IB

4200

r

I

r

IB

2200

Dve poluprave se u geometrijskom i magnetnom smislu spajaju u jednu pravu.

Dve poluprave na suprotim stranama sa suprotnim smerovima struja daju polje kao i jedna prava.

Kroz dve poluprave struja je suprotnog smera, ali je i tačka sa druge strane. Smer polja se ne menja.


EM.16.03.2

Strujna kontura se satoji od kružnog luka, poluprečnika r i centralnog ugla , i dve poluprave od kojih jedna tangira kružni luk na njegovom početku, a

druga na njegovom kraju je u radijačnom pravcu. Kroz konturu protiče stalna struja

I .

a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački , rj. centru kružnog luka. Ob)

Objasniti rezultate za , 0 2 i 2 .

I

r

O

I

r

O

3

1

2

I

r

O

I

r

O

3

1

2

Rešenje

Magnetno polje – Biot-Savartov zakon 2

0 ˆd

4d

r

rlIB

B

Ir

B

Ir


Magnetno polje - kružnog luka, 2.

r

IB

40 r

Ir I

Magnetno polje - na rastojanju od ose strujne duži.. a 21

0 coscos4

r

IB

Ir1 2

Ir1 2

Magnetno polje - poluprave u pravcu tangente, 1.

r

IB

4

0 2/1 , 2

Magnetno polje - poluprave radijalnom pravcu, 3. 0B 1 , 2

Magnetno polje - celog sistema. )1(

1

44

1

4000

r

I

r

I

r

IB

Zavisnost jačine magnetnog polja od vrednosti centralnog ugla kružmog luka

0

I

I0

I

0 0

I

I

2

I

I

2I

I

4

I

I 4

I

I

6

I

I 6

I

I

r

I

r

IB

0

2

1

400

r

I

r

IB

1

2

1

400

r

I

r

IB

2

2

1

400

r

I

r

IB

3

2

1

400


EM.16.12.1

Beskonačno dug provodnik, kroz koji protiče stalna struja I , savijen je (kao na slici) tako da kraci grade ugao . Tačke A i B nalaze se na simetrali ugla i na rastojanju od temena.

2a

a) Odrediti magetno polje u tački A. b) Odrediti magetno polje u tački B. c) Koji rezultat se dobija za . 2/

Skicirati funkciju po kojoj se polje menja u zavisnosti od ugla .

I

2aA B

I

2aA B

Rešenje


0 ˆd

4d

r

rlIB

B

Ir

B

Ir



0 coscos4

r

IB

Ir1 2

Ir1 2

Magnetno polje u tačka A od jednog (gornjeg) kraka.

sin

cos1

40

a

IB

1

2 sinar

2

r

1

a

A

2

r

1

a

AA

Magnetntno polje u tačka A od oba kraka.

2tan

20

a

IBA

Magnetno polje u tački B od jednog (gornjeg) kraka.

sin

1cos

40

a

IB

1

2 sinar

2r1

a B

2r1

a BB

Magnetntno polje u tački B od oba kraka.

2cot

20

a

IBB

Za kraci su kolinearni i dobija se magnetno polje strujne niti.

2/ a

IBBB BA

20

0 Biot-Savartov zakon


Magnetno polje

u tački A

Prikazani su grafici promene magnetnog polja u tačkama A i B u funkciji ugla koji zaklapaju poluprave opticane stalnom strujom.

Magnetno polje u tački B

0/ BB

2/

0/ BB

2/


EM.15.10.2

Kontura opticana stalnom strujom I se sastoji od koncentričnih kružnih lukova i radijalnih segmenata koji spajaju kraj jednog luka sa početkom sledećeg. Centralni ugao lukava je , a poluprečnici su , , ..., . ia 2a na

U centru sistema odrediti Oa) jačinu magnetnog polja,

b) jačinu magnetnog polja ako je ,aiai ni ,1 c) smer magnetnog polja,

jačinu magnetnog polja ako je ,iaai ni ,1 i n .

I

2a 5aO 1a

I

2a 5aO 1a 2a 5aO 1a Rešenje


0 ˆd

4d

r

rlIB

a

O

d

lI

d

a

O

d

lI

d


rl

dd

0|ˆd| rl

Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla .

a

a

I

a

aIB

4d

40

02

0

ˆdd al

d|ˆd| arl


Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo kružni lukovi.

Magnetno polje i -tog kružnog luka.

ii a

IB

40

Taylorov red

1

1

!

)0()(

n

nn

n

xfxf

Magnetno polje svih lukova.

...111

4 321

0

1 aaa

IBB

n

ii

Magnetno polje svih kružnih lukova ako je aiai

na

IB

1...

3

1

2

11

40

1

1)1()1ln(

n

nn

n

xx

11 x Magnetno polje je usmereno od ravni slike i određeno je smerom struje u prvom kružnom luku. Doprinos sledećeg luka je manji, i tako dalje.

1x


Magnetno polje svih kružnih lukova ako n 2ln

40

a

IB

1

1)1(2ln

n

n

n


EM.15.09.1

Dva kružna koaksijalna obruča jednakih poluprečnika se nalaze na međusobnom rastojanju . Kroz obruče teku stalne struje istog smera i iste jačine

ad

I . Odrediti jačinu magnetnog polja

a) u centru sistema , Ob) u centru sistema , ako je . O ad Skicirati grafik promene magnetnog polja u aksijalnom pravcu.

z

O

d

II

a

z

O

d

II

a

Rešenje


0ˆd

4d

R

RlIB

U tačkama na osi polje ima samo z komponentu.

Komponente polja u radijalnom pravcu se anuliraju.

),cos(d

dRa

R

a

B

Bz

ˆdd al

d|ˆd| aRl

R

a

R

aIBz 2

0 d

4d

I

a

rB

d

zB

d

B

dR

O

z2/d

l

d

d

zI

a

rB

d

zB

d

B

dR

O

z2/d

l

d

d

z

Magnetna polja svakog od obruča posebmo. Centri obruča su pomereni u odnosu na koordinatni početak.

2/322

30

])2/([2 dza

a

a

IBz

22 )2/( dzaR

2

03

20 d

4 R

aIBz

2/322

30

])2/([2 dza

a

a

IBz

22 )2/( dzaR

Magnetna polja u centru svakog od obruča

a

IB

20

0

2/dz

Magnetna polja oba obruča se sabiraju jer su snerovi struja isti.

z2/d2/d

zO

R Ra

z2/d2/d

zO

R Ra

2/322

3

2/322

3

0)])2/([)])2/([

)(dza

a

dza

aBzBz

0z 2/322

3

0 )])2/([

2)(

da

aBzBz

Magnetno polje u centru sistema

0z , ad 55

160BBz

Magnetno polje u centru sistema, ad .


Jedino za rastojanje

ad

magnetno polje između obruča je u najvećem delu homogeno. Za to rastojanje obruči čine Helmholtzov par.

0/ BBz 0/ BBz0/ BBz

ad ad ad

0/ BBz 0/ BBz0/ BBz

ad ad ad


EM.13.01.1

Gusto motani solenoiod sa vazdušnim jezgrom, površine poprečnog preseka i dužine S Sl , ima namotaja (beskonačni solenoid). Kroz solenoid protiče stalna struja jačine

NI . Odrediti

a) jačinu magnetnog polja u solenoidu,

b) induktivnost solenoida, c) energiju magnetnog polja pomoću jačine polja, d)

energiju magnetnog polja. pomoću induktivnosti solenoida.

I

S

l

I

S

l

Rešenje

Ampèreov zakon IlBC

0d

NIBklBhBl 02

.cos)cos(0

2

.cos)0cos(

Magnetno polje beskonačni solenoid NIlB 0

l

NIB 0

Energija VHBWm

2

1 VBWm

2

02

1

l

B

C

I

h

Ampèreova kontural

lC

B

I

h

C

B

I

h

Ampèreova kontura

Sl

l

NIWm

2

002

1

S

l

INWm

22

02

1

Fluks kroz jedan namotaj SB

S

l

NI0

Induktivnost solenoida I

NL

l

SNL

2

0

Energija 2

2

1LIWm 2

2

02

1I

l

SNWm


Kod kratkih solenoida magnetno polje van solenoida nije nula! Magnetno polje elementarne kružne strujne konture

2/322

20

))((

d

2d

zza

za

L

NIBz

Magnetno polje na osi kratkog solenoida

L

L

zzza

z

L

NIaB

2/322

20

))((

d

2 I

z

21

zdz

a

Iz

21

zdz

a

210 coscos2

L

NIBz

Integral se rešava smenom

cotazz , 2sin/d/d az

L

NI

20

L

NI0

z

L

NI

20

L

NI0

z

2222

0

)2/(

2/

)2/(

2/

2

1

Lza

Lz

Lza

Lz

L

NIBz

Magnetno polje na osi beskonačnog solenoida je isto duž cele ose!

L

NI

Lza

Lz

Lza

Lz

L

NIB

Lz

0

2222

0

)2/(

2/

)2/(

2/

2

1lim


EM.13.10.2

Prenosna linija sastoji se od dva veoma duga paralelna trakasta provodnika jednakih širina , koja se nalaze na međusobnom rastojanju

hhd . Linija je priključena na jednosmerni napon.

Naelektrisanja su po površinama traka ravnomerno raspoređena i kreću se stalnim brzinama u suprotnim smerovima formirajući tako dva strujna plašta.Odrediti: a) podužnu induktivnost L ,

b) podužnu kapacitivnost C . c) Pokazati da je proizvod konstantan. CL

d

h

l

I I

d

h

l

I I

Rešenje

Ampèreov zakon S

0

C

dd SJlB

Magnetno polje strujne ravni (plašt) hJBh S02 SJB 02

1

Magnetno polje između dve ravni SJB 0

Površinska gustina struje

h

IJS

h

IB 0

B

B

SJ

C

S

Am

père

ova

kont

ura

B

B

SJSJ

C

S

Am

père

ova

kont

ura

Energija magnetnog polja 1

V

m VBW d2

1 2

0

h

ldIhld

h

IWm

202

0

0 22

1

Energija (induktora) magnetnog polja 2 2

2

1LIWm

h

ldILI 202

22

1

Mag

netn

o po

lje

Podužna induktivnost h

d

l

LL 0

Gaussov zakon SSESS

d1

d0

Električno polje naelektrisane ravni

0

2

S

ES 02

E

Električno polje između dve ravni

0

E

Površinska gustina naelektrisanja

hl

q hl

qE

0

E

E

Gaussova površina

l

E

E

Gaussova površina

l

Energija električnog polja 1

V

e VEW d2

20 lh

dqWe

2

02

1

Energija (kondenzatora) električnog polja 2

C

qWe

2

2

1

C

q

lh

dq

22

0 2

1

2

1

Ele

ktričn

o po

lje

Podužna kapacitivnost d

h

l

CC 0

Proizvod podužnih karakterustika 200

1

cCL

00

1

c , brzina svestlosti u vakuumu.


EM.17.02.1

Kroz dva pravolinijska provodnika, ukrštena pod pravim uglom, protiču stalne struje I . Žičana kontura oblika pravouglog jednakokrakog trougla katete postavljena je tako da pravac hipotenuze zaklapa uglove od a 4/ sa oba provodnika. Teme konture koje je najbliže mestu ukrštanja provodnika nalazi se na rastojanju od oba provodnika (kao na slici). Kontura se od početnog položaja udaljava brzinom u pravcu koji ima hipotenuza. Odrediti indukovanu elektromotornu silu u konturi.

v

v

I

I

aa

v

I

I

aa

Rešenje

Elektromotorna sila – Faradayev zakon

yx vvttttt

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d-

d

d

d

d 212121

Udeo vertikalnog provodnika

a

xSxB )(d)(1

Magnetno polje – Biot – Savartov zakon

x

IxB

1

2)( 0

Površina konture xxh )( , xxxS d)()(d

Fluks

aa

Iln

20

1

Izvod fluksa po pomeraju

a

a

aIln

2d

d 01

a

xvI

xa

Sd

B

a

xvI

xa

Sd

B

B

2/2vvx

Udeo horizontalnog provodnika

a

ySyB )(d)(2


y

IyB

1

2)( 0

Površina konture yayh )( , yyayS d)()(d

Fluks

aa

aa

Ilnln

20

2

Izvod fluksa po pomeraju

)(ln

2d

d 202

a

aa

a

aI

yv

a

I

a

y

Sd

B

yv

a

I

a

y

Sd

B

B

2/2vvy

Komponente brzina su jednake

2

2

d

d

d

d 21 v

2

2vvv yx

Indukovana elektromotorna sila

2

2

)(2

20 v

a

aI

Smer indukovane struje za date smerove struja u provodnicima

Udaljavanjem od provodnika magnetno polje slabi. Indukovana ems ima takav smer da se protivi promeni. Indukovana struja u konturi ima smer koji pojačava polje, tj. sner kazaljki na satu.


EM.16.06.1

Kvadratna kontura stranice se nalazi između dva neograničeno duga prava provodnika koji su na međusobnom rastojanju . Struja u provodnicima, koji su ustvari deo konture koja se u beskonačnosti zatvara, se menja po zakonu .

aati )(

b 2tIm sin

Odrediti indukivanu elektromotornu silu u kvadratnoj konturi. i to: a) tačno, uzimajući u obzir da polje opada sa rastojanjem od provodnika, približno, smatrajući da je polje u okviru konture konstantno. Proceniti grešku između tačne i približne vrednosti za ab 10 .

~

b

b

a

)(ti

V ~

b

b

a

)(ti

VV

Rešenje

Udeo oba provodnika je isti

ab

B dS2

Površina konture ah , yayS d)(d

Tačan proračun )(yBB


y

iyB

1

2)( 0

Sd

)(ti

Bb

b

a

)(ti

y

Sd

)(ti

B

Bb

b

a

)(ti

y

Fluks – tačan izraz b

aba

i

y

ya

iab

b

lnd 00

tfa

i

b

aa

i

00 1ln

b

aft 1ln

Približan proračun const.)( yBB


b

iyB

1

2)( 0

Fluks – približan izraz

b

aiy

b

aiab

b

200 d

BS2

pfa

i

b

aa

i

00

b

af p

Indukovana elektromotorna sila

t

ifa

t d

d

d

d 0

tff ili pff

Za tIti m sin)( tb

aa

Im

cos1ln0 tff


Taylorov red

1

1

!

)0()(

n

nn

n

xfxf

)1ln()( xxf

1

1)1()1ln(

n

nn

n

xx , 11 x

1b

ax ...

3

1

2

11ln

32

b

a

b

a

b

a

b

a

3.0

a5

1.0

a10 b

2.0

)/1ln( baba /

3.0

2.0ba /ba /

a5

1.0)/1ln( ba )/1ln( ba

a10 b

Za 1/ ba ostatak reda može da se zanemari.

Za ab 10 ...100004

1

10003

1

1002

1

10

1

10

11ln

Pro

cena

gre

ške

koja

se či

ni k

ada

se

tačn

a fu

nkci

ja z

amen

i pri

bliž

nom

Za ab 10 1.0pf , 095.01.1ln tf %5100

t

pt

f

ff


EM.16.01.1

Kroz prav neograničeno dug provodnik protiče promenljiva struja ,

učestanosti i amplitude , čiji je talasni oblik dat na slici. Žičana

kontura povtšine nalazi se na rastojanju

)(ti

f mI

S Sr od provodnika tako da se može smatrati da je jačina magnetnog polja u okolini konture stalna. Odrediti inukovanu elektromotornu silu u konturi.

Numerički podaci: , A10mI m1r , , 2m01.0S Hz50f

)(timI

0 tTTk

)(timI

0 tTTk

10 k

Rešenje

Fluks BSSBS

d


r

iB

1

20

Indukovana ems – Faradayev zakon

t

i

r

S

t d

d

2d

d 0

B

)(ti

r

SB

)(ti

r

S

Jednačina talasnog oblika prava kroz dve tačke )( 1

12

121 tt

tt

iiii

Nastajanje struje )0,0(A , ),( mIkTB T

tI

ki m

1 kTt 0

Nestajanje struje ),( mIkTB , )0,(TC

T

tI

ki m 1

1

1 TtkT

Indukovana ems

TtkTk

kTtk

T

I

r

S m

,1

1

0,1

20

Numerički primer mV12

0

T

I

r

S m

)(t

)(ti

)(t

)(ti


EM.16.10.2

Kroz neograničeno dug i prav provodnik u trenutku 0t struja poćinje da

nestaje po zakonu . Pored provodnika se nalazi nepomična žičana kontura oblika, dimenzija i položaja kao na slici. Otpornosti konture je

kteIti 0)( , 1const.k

R . Odrediti:

a) zakon promene indukovane struje u konturi,

b)

smer (u smeru kazaljki na satu ili suprtno) indukovane struje.

a

a

a

a

i

B

a

a

a

a

i

B

Rešenje

x

iB

1

20

SBd

kteIti 0)( kiekIt

i kt 0d

d

R

k

tRiin d

d1

Sd

x

0x0x a

bSd

x

0x0x a 0x0x a0x a

b

xbS dd 0

001 ln

2 x

axb

i

1

abx 0 xaS dd 2ln2

01 a

i

Sd

x

0x0x a

bSd

x

0x0x a 0x0x a0x a

b

xxxa

bS d)(d 0

0

0002 ln1

2 x

ax

a

xb

i

2

abx 0 xaxS d)(d )2ln1(2

02

ai

Sd

x

0x0x a

bSd

x

0x0x a 0x0x a0x a

b

xxxa

bbS d)(d 0

0

0003 ln11

2 x

ax

a

xb

i

3

abx 0 xxaS d)2(d )2ln21(2

03

ai

4

321 2ln2

01 a

i

5

215 ai

2

05 5

R

kiin

6

316 )2ln31(2

06

ai

6R

kiin

Smer indukovane struje ima smer kazaljki na satu.


U slučaju naglog nestanka struje u provodniku ( ) indukovana elemtromotorna sila (struja) može da ima veoma velike vrednosti i to je glani uzrok skoka varnice prilikom isključivanja uređaja.

1k

t0

kiiin ~

kteIi 0

0kI

0I t0

kiiin ~

kteIi 0

kiiin ~

kteIi 0

0kI

0I


EM.17.04.1

Kroz pravolinijski provodnik protiče promenljiva struja , . Paralelno sa provodnikom, na

rastojanju

ktmeIti )( 1k

x , nalazi se žičana kontura oblika kvadrata, stranice . aKontura se stalnom brzinom udaljava od početnog položaja po pravcu koji je normalan na provodnik. Odrediti elektromotornu silu u konturi

v

a) indukovanu usled promene polja,

b) indukovanu usled kretanja konture.

c) Odrediti odnos indukovanih komponenti.

d)

Numerički podaci: , , A1mI H1k z m1 ax , m/s1v .

v

x xa

B

)(ti

a

x

v

x xaxa

B

)(ti

a

x

Rešenje

vxtt

x

xtt

d

d

d

d


Statička indukcija Dinamička indukcija


x

titxB

1

2

)(),( 0

Fluks S

SB

d xaS dd

Fluks

ax

xx

xa

titx

d

2

)(),( 0

x

axa

titx

ln

2

)(),( 0

Statička indukcija ktms eIk

x

axa

t

i

x

axa

t

ln2d

dln

200

Dinamička indukcija ktmd eIv

axx

aiv

axx

av

x

)(2)(2

20

20

Ukupna indukovana elektromotorna sila

)(ln

2

)()(

20

axx

av

x

axak

tit

Odnos indukovanih komponenti

x

ax

a

axx

v

k

d

s

ln)(

Numerički primer 2ln2

d

s


EM.16.03.1

Dve paralelne provodne šine, zanemarljive otpornosti i međusobnog rastojanja nalaze se poprečnom homogenom magnetnom polju jačine a B . Provodnik koji kratkospaja šine ima otpornosr R i pod dejstvom vučne sile klizi bez trenja stalnom brzinom . Odrediti v

a) indukovanu elektromotornu silu, b) vučnu silu koja je potrebna za kretanje provodnika, c) bilans snaga. d)

Numerički podaci: , , mT1B 1R m/s1v , m1.0h

vv

Rešenje


td

d hBv

t

xhBhx

tBBS

t

d

d)(

d

d)(

d

d

Jačina struje – Ohmov зakon

RI

R

hBvI

Smer struje – Lenzov zakon Smer kazaljki na satu. Magnetna sila

je u ravnoteži sa vučnom silom.

Magnetna sila – Lorentzov zakon BhIFm

R

vhBIhBFm

2)( 1

Električna snaga – Jouleov zakon IPJ

R

hBvPJ

2)(

v

I

mF

0F

0x

A

RB

h

v

I

mF

0F

0x

A

RB

h

Mehanička snaga – rad u jedinici vremena )(

d

dxF

tP mM

R

hBvvFP mM

2)(

Numerički primer mV1.0 , W10 JM PP


U jednom trenutku ( ) vučna sila prestane da deluje, 0t 00 F . Klizač nastavlja kretanje po inerciji sve dok

ga magnetna sila ne zaustavi. Neka je masa klizača . m

Ravnoteža sila 0maFm R

tvhBFm

)()( 2

1

Jednačina kretanja 0d

)(d)(

)( 2

t

tvmtv

R

hB 0)(

)(

d

)(d 2

tvmR

hB

t

tv 0

d

dCv

t

v

tCtv

tvd

)(

)(d 1)(ln CCttv

za 0tje vtv )(

Rešavanje diferncijalne jednačine

mR

hBC

2)(

vCttv ln)(ln Ct

v

tv

)(ln Ctvetv )(

Konačno rešenje tmR

hB

evtv

2)(

)(

)()( thBvt )()( tvR

hBtI

Električna energija 2

0

)(2

22

0

2

2

1d

)(d(t)

2

mvtevR

hBtIRW

tmR

hB

Kinetička energija


EM.15.09.1

Pravougaona kontura, dimenzija i mase , kroz koju protiče struja stalne jačine

Lh mI slobodno visi tako da se delimično nalazi u poprečnom

homogenom magnetnom polju jačine B . Odrediti

a) jačinu struje tako da kontura lebdi,

brzinu pada konture kada se struja prekine (otpornost konture je R ).

I

B

G

h

L

I

B

G

h

L

Rešenje

Sila težine Newtonov zakon gmG

zgg ˆ

Magnetna sila Loretzov zakon BlIF

dd xBB ˆ

x

z

yx

z

y G

B

G

G

B

Magnetna sila leva ivica yIhBF ˆ

yxz ˆ)ˆ(ˆ

Magnetna sila desna ivica yIhBF ˆ

yxz ˆ)ˆ(ˆ F

dlI

d

B

F

d

lI

d B

F

dlI

d

B

F

dlI

d

B

F

d

lI

d B

F

d

lI

d B

Magnetna sila gornja ivica zILBF ˆ

zxy ˆ)ˆ(ˆ

Magnetna sila donja ivica, 0B 0ˆ

zILBF zxy ˆ)ˆ(ˆ

0B

lI

d F

d

F

d

lI

d

B

0B

lI

d F

d

0B

lI

d F

d

F

d

lI

d

B

F

d

lI

d

B

Ravnoteža sila 0F

0ˆ)( zmgILBF

LBmgI /


Kretanjem konture na dole indukuje se struja takvog smera da magnetna sila podiže konturu. Priraštaj fluksa je negativan i indukkovana ems se protivi toj promeni.

Ravnoteža sila 0F

gmamF

////

F

G

I

B

////

F

G

I

B

Indukovana struja i elektromotorna sila

td

d )(

d

dhL

tB LBv ,

R

LBvI

Magnetna sila ILBF R

vLBF

2)(

Jednačina kretanja (ODJ prvog reda) mg

t

vmv

R

LB

d

d)( 2

gt

v

mR

LBv

d

d)( 2

mR

LBC

2)(

Homogeni deo 0d

dCv

t

v 1lnln CCtv CteCv 1

Varijacija konstante )(11 tCC CtCt CeCet

C

t

v 11

d

d

d

d

Nehomogeni deo (konstanta ) 1C gCeCCeCe

t

C CtCtCt 11

1

d

d 21 Ce

C

gC Ct

Opšte rešenje (konstanta ) 2C CtCtCtCt eC

C

geCe

C

geCv

221

za 0tje 0v

Konačno rešenje

C

gC 2 Cte

C

gv 1

mR

LBC

2)(


ES.16.10.1 Električno polje dipola opada sa trećim stepenom – Polje električnog dipola ES.15.10.3 Elektroskop – Elektrostatička sila ES.17.12.1 Elektroskop - odnos naelektrisanja i odnos uglova ES.16.01.1 Najmanje električno polje između dva istoimena tačkasta naelektrisanja – Elektrostatička ravnoteža ES.16.10.1 Takasto naelektrisanje na osi naelektrisanog kružnog obruča – Elektrostatička ravnoteža ES.15.10.3 Gromobransko uže – Teorema lika u ravnom ogledalu ES.13.01.1 Rasprskavanje naelektrisanog mehura – Održanje količine naelektrisanja ES.12.01.1 Sjedinjavanje naelektrisanih kapljica – Održanje količine naelektrisanja ES.15.10.2 Rad elektrostatičkih sila u koaksijalnom vodu – Nezavisnost potencijala od puta integracije ES.13.10.1 Podužna kapacitivnost dvožičnog voda i napon proboja – Kapcitivnost ES.16.10.2 Električno polje kružnog prstena (ploča, ravan i obruč) – Električno polje ES.14.03.2 Koaksijalni kružni obruči - Električno polje ES.16.06.1 Koaksijalni kružni obruči – Homogeno električno polje ES.14.01.1 Naelektrisana nit konačne dužine – Električno polje ES.13.03.2 Naelektrisana poluprava – Električno polje ES.17.03.2 Naelektrisana nit oblika ukosnice – Električno polje ES.15.09.1 Električno polje u ekscentričnoj šupljini – Homogeno električno polje ES.17.12.1 Električno polje u oblasti preklapanja naelektrisanja - električni dipol ES.12.06.1 Zapreminski (površinski) homogeno naelektrisana sfera – Energija električnog polja ES.12.09.1 Tačkasto naelektrisanje u dielektričnoj lopti – Vezana naelektrisanja ES.12.10.1 Naelektrisana lopta sa dielektričnim omotačem – Vezana naelektrisanja ES.12.12.1 Tačkasto naelektrisanje iznad dielektričnog poluprostora – Generalisana teorema lika ES.15.10.2 Naelektrisana lopta u homogenom dielektriku – Vezana naelektrisanja ES.16.06.1 Tačkasto naelektrisanje na granici dva dielektrika – Granični uslovi ES.16.12.1 Nelektrisana lopta u dvoslojnom dielektriku – Vezana naelektrisanja ES.17.10.1 Naelektrisana provodna lopta u trodelnom dielektriku – Raspodela naelektrisanja ES.17.09.1 Promena geometrije ravnog kondenzatora – Energija električnog polja ES.14.04.1 Unošenje neutralne elektrode u ravan kondenzator – Energija električnog polja ES.17.02.1 Sferni kondenzator sa koncentričnim dvoslojnim dielektrikom – Kapacitivnost ES.17.04.1 Koaksijalni kondenzator sa radijalno nehomogenim dielektrikom – Kapacitivnost, ES.17.04.1 Sferni kondenzator sa radijalno nehomogenim dielektrikom – Kapacitivnost, vezana naelektrisanja ES.14.01.1 Koaksijalni vod sa klinastim osloncem – Kapacitivnost, napon proboja ES.16.06.1 Merenje visine tečnosti koaksijalnim kondenzatorom – Kapacitivnost ES.16.10.2 Sferni kondenzator do polovine ispunjen dielektrikom – Kapacitivnost, napon proboja ES.12.01.1 Ravan kondenzator sa poprečno dvoslojnim dielektrikom– Kapacitivnost, vezana naelektrisanja ES.14.03.1 Ravan kondenzator sa uzdužno troslojnim dielektrikom– Kapacitivnost ES.16.12.1 Sferni kondenzator sa radijalno troslojnim dielektrikom – Kapacitivnost DC.16.12.1 Sferni kondenzator sa nesavršenim dielektrikom – Kapacitivnost i provodnost DC.13.04.1 Koaksijalni kondenzator sa nesavršenim dielektrikom – Kapacitivnost i provodnost DC.15.10.2 Poluloptasti uzemljivač – Otpornost i napon koraka DC.14.10.3 Loptasti uzemljivač – Otpornost i napon koraka EM.16.01.2 Polukružna kontura u homogenom magnetnom polju – Elektromagnetna sila EM.17.09.1 Naelektrisana čestica (elektron) – Magnetno polje EM.15.10.3 Dva tačkasta naelektrisanja u paralelnom kretanju – Elektromagnetna sila EM.13.09.1 Pravoliniski provodnik – Magnetno polje, vezane struje EM.12.06.1 Kružna kontura - Magnetno polje EM.17.10.1 Kružni disk - Magnetni moment i magnetno polje EM.16.01.1 Strujne konture oblika pravilnog mnogougla – Magnetno polje EM.17.09.1 Trougaone konturre napajane polupravama – Magnetno polje EM.16.09.1 Kontura oblika kružne testere sa kružnim zupcima – Magnetno polje EM.16.10.1 Kontura oblika kružne testere sa ravnim zupcima – Magnetno polje EM.13.06.1 Pravougaona kontura – Magnetno polje EM.14.04.1 Koncentrične kvadratne konture – Magnetno polje EM.16.12.1 Kontura oblika ravne testere – Magnetno polje EM.15.09.1 Kontura oblika ukosnice 1 – Magnetno polje EM.16.03.2 Kontura oblika ukosnice 2 – Magnetno polje EM.16.12.1 Ugaona kontura – Magnetno polje EM.15.10.2 Spiralna kontura – Magnetno polje EM.15.09.1 Koaksijalne kružne konture – Homogeno magnetno polje EM.13.01.1 Solenoid - Magnetno polje, induktivnost, energija EM.13.10.2 Trakasta prenosna linija – Kapacitivnost i induktivnost EM.17.02.1 Trougaona kontura u polju ukrštenih provodnika – Indukovana elektromotorna sila EM.16.06.1 Kvadratna kontura između provodnika dvožičnog voda – Indukovana elektromotorna sila EM.16.01.1 Testerast talasni oblik pobudnog polja – Indukovana elektromotorna sila EM.16.10.2 Romboidna kontura u polju pravog provodnika – Indukovana elektromotorna sila EM.17.04.1 Kvadratna kontura u promenljivom polju pravog provodnika – Indukovana elektromotorna sila EM.16.03.1 linearni generator jednosmernog napona – Indukovana elektromotorna sila EM.15.09.1 Levitacija – Indukovana elektromotorna sila


Documents

ELEKTROTEHNIKA električna i magnetna polja · F . Univerzitet u Nišu . Fakultet zaštite na radu. Dejan M. Petković. ELEKTROTEHNIKA . električna i magnetna polja . Rešeni zadaci