Digitalni udbenikM. Essert, J. GrilecELEKTRICITET i MAGNETIZAM- zikalne osnove -Katedra za strojarsku automatikuFakulteta strojarstva i brodogradnjeZagreb, 2009.PredgovorOvaj udbenik iz podru cja elektrotehnike, eli pomo ci studentima obnoviti sred-njokolsko znanje elektrotehnike, koja se u ci u zici, kako bi lake svladali pred-met ELEKTROTEHNIKAna studiju. Namijenjen je ponajprije studentima Fakultetastrojarstva i brodogradnje, ali moe korisno posluiti i drugima.Pojamelektrotehnika, uklju cuje usebi dva pojma. Prvi je upoznavanje osnovnihzikalnihzakona oelektricitetui magnetizmu, a drugi njihovuprimjenuutehni ckojpraksi. Upoznati zikalni zakon naj ce ce zna ci opisati posljedice njegova djelo-vanja, dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. Matemati cki aparat kojim se uteoriji sluimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naih prou ca-vanja. Gradivo izneseno u ovom udbeniku koristi matemati cki aparat primjerensrednjokolskoj matematici.Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena podru cja, cije se dis-cipline znatno ispreple cu,od mjeriteljstva do automatskog vo denja proizvodnihprocesa. Budu ci da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrote-hniku, ovaj udbenik moe posluiti i strojarskim stru cnjacima u njihovoj svakod-nevnoj praksi.Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhva caju osnovna elektrotehni ckapodru cja:1. elektrostatika2. istosmjerna struja3. magnetizam4. prijelazne pojave5. izmjeni cne strujeUdbenik koristi ve cinu gradiva obra denog u rasprodanom izdanju udbenikaM. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike", SNL Liber 1991. god., a prakti cnu or-jentaciju interaktivnimapplet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskomradu ValentineFrankovi c,prof. zike. Svako poglavlje uklju cuje i niz zadataka s rjeenjima,zaprovjeru nau cenog gradiva.Kvalitetan prijenos znanja trai danas i nove alate. Oni su prisutni ponajviezahvaljuju ci ra cunalima i razli citim edukacijskim programima. Temeljna zna cajkatakvih programa je interaktivnost i usmjerenost na zikalne modele. Ra cunala iiPREDGOVORprogrami omogu cuju da korisnik vie razmilja o tomu to i zato, nego o kako.Sam izra cun - dobivanje numeri ckog ili gra ckog rezultata, u takvim je metodama,programima, manje zna cajan. Java applet-i su popularni programi koji nude svenabrojeno i danas su zahvaljuju ci Internetu dostupni na mnogim sveu cilitima ikolama. Pisani su u besplatnomJava okruenju pa su ve c od samih po cetaka (oko1995.) postali osnovna nastavna pomagala.Iako postoje applet-i za mnoga podru cja zike (i ne samo nje),u ovom radupokualo se prikupiti najbolje uzorke za podru cje zikalnih osnova elektrotehnike.Potuju ci autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilago deni su naim prilikama(za slu caj da u nastavi nema mogu cnosti koritenja Interneta i/ili da korisnici neznaju engleski). Direktni linkovi na pojedina cne Java applete navedeni su u do-datku, a obra deni i prilago deni appleti za ovaj udbenik moguse dohvatiti na adresi:http://scriptrunner4.fsb.hr/EIM.Na istomstroju, podScriptrunner sustavomnalazi se i digitalni oblik ovog udbe-nika. Kakosesovimsustavomprovodicjelokupnanastavaiznekolikokolegijana naem Fakultetu (od predavanja i vjebi,modeliranja,rada na daljinu,inter-aktivnog citanja nastavnog sadraja, doma cih zada ca, preko kolokvija i ispita, dostudentskog kartona) zamiljeno je da ovo bude prvi od triju udbenika iz elek-trotehnike. Idu ca dva odnose se na gradivo iz kolegija "Elektrotehnika" - prvi zapredavanja, a drugi za auditorne vjebe.Prednost ovakve realizacije je mogu cnost dodavanja interaktivnog sadraja (ivi-PDF udbenici, zahvaljuju ci Scriptrunner-u), smanjeni trokovi objavljivanja, be-splatnodohva canje s web-a, ljepi viebojni izgledi na koncu, zatita okolia (manjepapira, vie uma). Nadamo se da ce studenti biti zadovoljni ovakvim pogledam ijo vie ga podupirati. To nampak, s druge strane, omogu cuje trajno poboljavanjeobjavljenog materijala, kakouispravljanjueventualnihpogreaka, takoi dodovanjunovog, kvalitetnijeg sadraja.Elektri cne sheme i slike izradio je student Matija Kova ci c i to u TikZ/PGFgra- ckom paketu koji je dio LATEXprogramskog alata s kojim je sloen ovaj udbenik.Njemu, atako derisvimkolegamasKatedrezastrojarskuautomatikuFakultetastrojarstva i brodogradnje Sveu cilita u Zagrebu, koji su pogledali i komentirali ru-kopis, najsrda cnije se zahvaljujemo.AutoriiiSadrajPredgovor iSadraj iiiPopis slika vii1 ELEKTROSTATIKA 11.1 Struktura materije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Elementarni naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Elektri cna svojstva tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Elektri cno polje naboja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Polarizacija i inuencija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Gusto ca elektri cnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Elektri cni potencijal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Elektri cni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1 Spojevi kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.3 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Elektri cno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.2 Test naboj u elektri cnom polju. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.3 Elektroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.4 Kapacitet plo castog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.5 Applet - prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 ISTOSMJERNA STRUJA 312.1 Elektri cni napon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Elektri cni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Elektri cna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Elektri cni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 Promjena otpora s temperaturom. . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Ohm-ov zakon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37iiiSADRAJ2.6 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Elektri cni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.1 Serijski spoj otpornika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.2 Paralelni spoj otpora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Elektri cna struja u ioniziranom plinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9 Elektrokemijske pojave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9.2 Primarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9.3 Sekundarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.10 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.11 Sloeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.12 Realni naponski izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.12.1 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . 572.12.2 Spojevi elektri cnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.13 Mjerenje struje, napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.13.1 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar . . . . 622.14 Rad i snaga istosmjerne struje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.15 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.15.1 Ohmov zakon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.15.2 Jednostavni strujni krug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.15.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu . . . . . . 692.15.4 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.15.5 Serijski spoj otpora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.15.6 Paralelni spoj otpora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.15.7 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.16 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 MAGNETIZAM 773.1 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Zakon protjecanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 Magnetsko polje ravnog vodi ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Magnetske veli cine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Djelovanje magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.1 Sila na gibljivi naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.2 Sila na vodi c kojim te ce struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6.3 Sila izme du dva vodi ca kojima teku struje . . . . . . . . . . . 943.7 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.7.1 Lenz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.7.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.8 Me duindukcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.9 Energija magnetskog polja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.9.1 Izmjeni cno magnetiziranje eljeza . . . . . . . . . . . . . . . 102iv3.9.2 Privla cna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.10 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.10.1 Naboj u magnetskom polju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.10.2 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.10.3 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.10.4 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094 PRIJELAZNE POJAVE 1114.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.1 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.2 Energija na otporu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1.4 Izbijanje (pranjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.1 Energija zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.2 Ukap canje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.3 Iskap canje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3 Elektromagnetski osciliraju ci krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5.3 Elektromagnetski osciliraju ci krug . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245 IZMJENICNE STRUJE 1255.1 Harmoni cki oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.1.1 Frekvencija i kruna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.1.2 Srednja i efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.1.3 Faza i razlika faza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2 Predo civanje izmjeni cnih veli cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.1 Prikazivanje rotiraju cim duinama i vektorima . . . . . . . . 1355.2.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu. . . . . . . . . . . . . . . 1385.3 Jednostavni krug izmjeni cne struje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.1 Otpor u krugu izmjeni cne struje. . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.2 Kapacitet u krugu izmjeni cne struje. . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3 Induktivitet u krugu izmjeni cne struje . . . . . . . . . . . . . 1425.4 Spojevi R, L i C u krugu izmjeni cne struje . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.4.1 Serijski RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.2 Serijski RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4.3 Serijski RLC -krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.4 Paralelni RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4.5 Paralelni RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.6 Paralelni RLC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152vSADRAJ5.6 Snaga i faktor snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.1 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7 Trofazni sustav. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.1 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.2 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.7.3 Snaga trofaznog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8.1 Elektri cni elementi u krugu izmjeni cne struje. . . . . . . . . 1595.8.2 Sloeni R, L i C strujni krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162A WEB-adrese applet-a 165Literatura 167Indeks 169viPopis slika1.1 Sastav atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron) . . . . . . 31.3 Ionizacija atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Elekti cna sila u okoliu nabijenog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Elektri cno polje jednog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Elektri cno polje dvaju naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Homogeno elektri cno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Polarizacija dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Elektri cna inuencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Sila na naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Ekvipotencijalne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12 Elektri cno polje i potencijal kondenzatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Simboli kondenzatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.14 Serijski spoj triju kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.15 Paralelni spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.16 Mjeoviti spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.17 Nabijanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.18 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.19 Applet - elektri cno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.20 Test naboj u elektri cnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.21 Elektroskop - oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.22 Model elektroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.23 Plo casti kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Istosmjerni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Ozna cavanje naponskih i strujnih veli cina. . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Simbol i oznaka elektri cnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Ovisnost otpora i temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 I=f(V) u metalnom vodi cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 I Kirchhoff-ov zakon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8 Paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9 (V,I) karakteristika elektri cne struje u zraku . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Proces elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46viiPOPIS SLIKA2.11 Leclanch-ov element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.12 Element baterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.13 Olovni akumulator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.14 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.15 Vanjska karakteristika realnog izvora napona . . . . . . . . . . . . . . . . 542.16 Realni jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.17 Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji elektri cne mree. . . 552.18 Sloeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.19 Realni naponski izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.20 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.21 Serijski spoj realnih elektri cnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.22 Paralelni spoj realnih naponskih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.23 Pojedina cno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu. . . . . . . . . . 612.24 Istodobno mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.25 Instrument s pomi cnim svitkom i permanentnim magnetom . . . . . . 632.26 Proirenje mjernog podru cja voltmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.27 Proirenje mjernog podru cja ampermetra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.28 Nadomjesna shema ommmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.29 Skala ommetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.30 Ommetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.31 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.32 Jednostavni strujni krug - arulja svijetli punim sjajem . . . . . . . . . . 692.33 Mjerenje napona, struje i snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.34 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.35 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.36 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.37 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1 Magnetsko polje oko vodi ca kojim te ce struja. . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Primjer uz zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Magnetsko polje ravnog vodi ca kroz koji te ce struja . . . . . . . . . . . . 803.4 Ovisnost H=f(r) ravnog vodi ca kroz koji te ce struja. . . . . . . . . . . . . 813.5 Magnetsko polje ravnog vodi ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Magnetsko polje zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7 Magnetiziranje eljeza s pomo cu indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.8 Magnetsko polje ravnog vodi ca, prstena i okvira . . . . . . . . . . . . . . 833.9 Magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10 Magnetska histereza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.11 Petlja histereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.12 Magnetski materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.13 Magnetski krug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.14 Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem. . 903.15 Magnetsko polje naboja u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.16 Gibanje nabijene cestice u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . 913.17 Sila na vodi c kojim te ce struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.18 Dijelovi galvanometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93viii3.19 Galvanometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.20 Sila izme du dva vodi ca protjecana strujom . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.21 Denicija jedinice amper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.22 Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije . . . . . . . . . . . . . . . 953.23 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.24 Gibanje vodi ca po metalnom okviru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.25 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.26 Me duinduktivna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.27 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.28 Izmjeni cno magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . 1033.29 Razmagnetiziranje jezgre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.30 Privla cna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.31 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.32 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.33 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.34 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.1 RC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2 v=f(t) u RC krugu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3 RL krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4 i=f(t) za uklju cenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 i=f(t) za isklju cenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.6 LC oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.8 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.9 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.10 Elektromagnetski osciliraju ci krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.1 Istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Izmjeni cna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Periodi cke struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4 Periodi cka struja sa Isr 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5 Harmoni cka struja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.6 Referentni smjer struje i pripadaju ci polaritet napona izvora. . . . . . . 1285.7 Shematizirani prikazi generatora izmjeni cne struje . . . . . . . . . . . . 1285.8 Srednje vrijednosti struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.9 Odre divanje efektivne vrijednosti struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.10 Izmjeni cna struja i njezina efektivna vrijednost. . . . . . . . . . . . . . . 1325.11 Fazni pomaci napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.12 Dobivanje sinusoide pomo cu rotiraju ce duine . . . . . . . . . . . . . . . 1355.13 Prikaz sinusoida rotiraju cim duinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.14 Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.15 Vektorski prikaz napona i struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.16 Zbroj dviju struja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.17 Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu. . . . . . . . . . . . . 1385.18 Radni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139ixPOPIS SLIKA5.19 Napon i struja kroz radni otpor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.20 Kapacitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.21 Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C. . . . . . . . . . . . . . . . 1425.22 Induktivitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.23 Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.24 Serijski RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.25 Vektorski dijagram serijskog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.26 Trokuti napona i otpora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.27 Serijski RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.28 Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.29 Serijski RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.30 Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.31 Trokut otpora serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.32 Paralelni RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.33 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.34 Paralelni RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.35 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.36 Paralelni RLC-krug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.37 Dijagrami paralelnog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.38 Trokuti otpora i snaga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.39 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.40 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz. . . . . . . . . . . . . . . 1575.41 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.42 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.43 Elektri cni elementi u krugu izmjeni cne struje. . . . . . . . . . . . . . . . 1605.44 Kombinacija R, L i C u krugu izmjeni cne struje . . . . . . . . . . . . . . . 161x1POGLAVLJEELEKTROSTATIKAElektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izu cavanjem i primjenomelektri cnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izu cavanjemodvo pripada prirod-nim znanostima i cini njezinu zikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom cininadgradnju i pripada tehni ckim znanostima.U tuma cenju elektri cnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja struk-ture materije i njezinih elektri cnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanjuelektri cnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Elektri cni naboji mogu se sma-trati svojevrsnim elementarnim cesticama, djeli cima materije i nosiocima njezinihelektri cnih svojstava. Spoznat ih se moe preko njihovih vanjskih manifestacija, ato su elektri cne i magnetske sile. Djelovanje elektri cnih naboja ovisi i o zna cajkamaprostora oko njih.Elektri cni naboji moguuprostorumirovati ili biti upokretu. Naboji umirovanjunazivaju se stati cki naboji. Naboji u gibanju mogu imati razli cite smjerove, a oni uusmjerenom gibanju cine elektri cnu struju.Elektrostatika opisuje i objanjava pojave koje nastaju u prostoru oko miruju cihelektri cnihnaboja. Djelovanjenabojauprostorutuma ciseelektri cnimpoljem,posebnim stanjem prostora, koje svaki naboj stvara u svom okoliu.Uprostoruokostati ckihnabojazbivajuseelektri cnepojave, pasetostanjeprostora naziva elektri cnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju seuz elektri cne i magnetske pojave. U njemu se pored elektri cnog javlja i magnetskopolje, a zajedni cki se naziva elektromagnetskim poljem.1.1 STRUKTURA MATERIJEPoznato je da se materija sastoji od tvari u cistom stanju i od onih u obliku sm-jesa.Ciste tvari mogu biti jednostavne i sloene. Jednostavne se nazivaju kemi-jskim elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razloiti na jed-nostavnije. Sloene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno novasvojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od razli citih elemenata i spo-jeva.11. ELEKTROSTATIKANajsitnije su cestice elementa koje jo predstavljaju element atomi. Danas jepoznato 105 elemenata, a time i 105 razli citih vrsta atoma. Najmanji me du njimaje atom vodika i moe ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 1010m, a najve ci jeatomcezija, promjera 5, 31010m. Veli cina svihostalihatoma kre ce se uspomenu-tim granicama.Svi atomi izgra deni su od elementarnih cestica, a njihovu gra du utvrdili su z-i cari E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omota ca (slika1.1). U sreditu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne cesticekoje cine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale cestice. Oko jezgre atomakre cu se velikim brzinama elektroni tako da cine omota c oko nje.Elektroni suelementarne cestice koje posjedujunegativni elektri cni naboj. Masaelektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase kojuima najmanji atom, atom vodika.Protoni su elementarne cestice koje posjeduju naboj jednak po veli cini nabojuelektrona, alisuprotnogpredznaka. Masaprotonapriblinojejednakajediniciatomske mase.atomomota c elektroni (+ naboj)jezgraprotoni (- naboj)neutroniostale cesticeSLIKA 1.1: Sastav atomaKoli cina naboja koju posjeduju elektron i proton naziva se elementarni naboj,jer ga u prirodi nema manjeg.Neutroni nemaju elektri cnog naboja, a masa im je priblino jednaka masi pro-tona,odnosno jedinici atomske mase. Ostale cestice u jezgri kao npr. pozitron,mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno i brzo se raspadaju. Priraspadanju pretvaraju se jedne u druge i bez zna cenja su za elektri cne pojave.U normalnim uvjetima broj elektrona u omota cu jednak je broju protona u jez-gri, to zna ci da svaki atom sadri jednaku koli cinu pozitivnog i negativnog nabojai promatrano izvana elektri cki je neutralan.Dimenzije elektrona i protona nije mogu ce pouzdano odrediti, jer te cestice ne-maju otre granice. Nije ih mogu ce ni vidjeti, ve c je mogu ce u odre denim uvjetimavidjeti i snimiti tragove koje ostavljaju pri prolazu kroz odre dena sredstva. Iz tihtragova mogu ce je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.Izme du protona, neutrona i ostalih cestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ihdre na okupu. To su nuklearne sile. Izme du protona i elektrona, me dutim, postojeelektri cne sile koje zajedno s nuklearnim dre atom jednom cjelinom.Gibanje elektrona u atomu ima sloenkarakter, jer oni pored gibanja u omota cuistovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin. Uz to2Struktura materijese mijenja i poloaj omota ca u odnosu na jezgru.Atomi razli citih elemenata me dusobno se razlikuju po broju protona u jezgri ibroju elektrona u omota cu. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan pro-ton u jezgri i jedan elektron u omota cu. Atom helija ima dva protona i dva elek-trona, litija tri protona i tri elektrona itd.Atomi istog elementa mogu se me dusobno razlikovati samo po broju neutrona.Pritomimaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masizbog razli citog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloeniji atomjeizotop urana U koji ima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neke jednostavnijeprimjere modela atoma prikazuje slika 1.2.Jedinojejezgraatomaobi cnogvodikabezneutrona, dokjezgresvihostalihatoma pored protona sadre i neutrone.Svi elektroni uomota cunemajujednakuenergiju. S obziromna sadraj energijepojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omota cu raspodjeliti u 7 ljusakaili ovojnica.pevodik11Hepnhelij HeenpKLlitij LiSLIKA 1.2: Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron)Te se ljuske prema svojem redoslijedu ozna cavaju slovima K, L,M,N, O, PiQ, pri cemu se ljuska najblia jezgri ozna cava s K, a najudaljenija s Q. Elektroni uljuskama bliim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanj-ska ljuska sadri najvie do 8 elektrona, a unutranje do 2 n2, gdje je n broj ljuskera cunaju ci od jezgre. Na slici 1.2 prva dva atoma imaju jednu, a tre ci dvije ljuske.1.1.1 ELEMENTARNI NABOJU prirodi,dakle,postoje dvije vrste elementarnih naboja,jednima je dogovornopridodannazivpozitivni(kodprotona), adrugimanegativni(kodelektrona).Iakoje masa protona ve ca odmase elektrona, njihov naboj je poapsolutnomiznosujednak i iznosi:Q0=1, 6 1019As31. ELEKTROSTATIKAVeli cinuelementarnognabojautvrdioje1917. god. zi carR.A.Millikan, aizraava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C].Proton je cvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama me dujezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do promjene sadrajajezgre, a traju vrlo kratko.Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacijeatomamoeosloboditivezesjezgrom. Njegovosudjelovanjeuelektri cnimpo-javama je stoga aktivnije.Elektroni u atomu mogu posjedovati samo odre denu kona cnu koli cinu energijei gibati se putanjama odre denimnjihovomenergijom. Oni nastoje zaposjesti putanjekoje odgovaraju najnioj energetskoj razini i popunjavaju ljuske blie atomskoj jez-gri. Takav se atom nalazi u normalnom stanju.Dovo denjem energije atomu u obliku npr. topline ili svjetlosti, postie se nje-govo uzbu deno stanje,pri cemu elektroni mogu primiti toliko energije da mogupromijeniti ljusku i prije ci u ljuske udaljenije od atomske jezgre.Mogu se cak i osloboditi veze s jezgrom i napustiti atom. Obratno,elektronimogu izvana biti uba ceni u putanje oko jezgre. Postupak koji vodi do promjenebroja elektrona naziva se ionizacijom.Ako elektron napusti atom, naruava se nabojska ravnotea atoma, jer ukupnipozitivninabojprotonapostaneve ciodukupnognegativnognabojapreostalihelektrona. Atom izvana vie nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih nabojapostaje pozitivni ion.Ako me dutim u atom u de jedan elektron i time ukupni neg-ativni naboj elektrona postane ve ci od ukupnog pozitivnog naboja protona, atompostaje negativni ion (slika 1.3).atom atom e epozitivni ion negativni ionSLIKA 1.3: Ionizacija atomaSvaka kemijska veza temelji se na razmjeni elektrona me du atomima. Uskupiniatoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima unjoj. Kako i skupina atoma moe biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se sma-traju elektri cki nabijeni atomi ili njihove skupine.Doknegativninabojunormalnimuvjetimamoebitiprisutanilikaonabojelektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao nabojpozitivnih iona.1.1.2 ELEKTRICNA SVOJSTVA TVARI4Elektri cno polje nabojaPokretljivost i gusto ca naboja nastalih ionizacijom, utje ce na osnovno elektri cnosvojstvo tvari - elektri cnu vodljivost.Tvari koje se odlikuju velikom elektri cnom vodljivo cu nazivaju se vodi cima. Unjih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom struk-turom, kojih se atomi me dusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanjujavljasevelikibrojslobodnihelektronakojiselakostavljajuugibanjeipritomnailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj reeci. To su kruti vodi ci.Vodi cima tako der pripadajuelektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti susoli odnosnokrute tvari kristalne strukture s ionskom vezom me du atomima, te kiseline i luineotopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se odre deni broj suprotno nabijenih iona.Sli cno se stanje javlja i kod nekih plinova.Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretlji-vost i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, cega pri gibanjuelektrona nema. Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodi cima.Uz vodi ce postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom elek-tri cnom vodljivo cu. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih seubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi me dusobno povezujukovalentnomvezom. Utoj vezielektronisu cvrstovezaniuzjezgreksiraneukristalnoj reeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubra-jaju i neke tvari nekristalne strukture kao npr.guma, papir, staklo, mineralna ulja, cista voda i nevodljivi plinovi, te vakuum.Me du tvarima s kristalnomstrukturomnalaze se i tvari u kojih veza me du atom-ima moe biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno man-jom vodljivo cu nego to je imaju vodi ci, ali ve com od one izolatora, pa se nazivajupoluvodi cima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim zi ckim i kemijskim utje-cajima. Tu se ubrajaju npr. olovni suld i neki spojevi silicija, germanija i selena.Slobodni elektroni u krutimvodi cima gibaju se u prostoru izme du atoma kaoti cno,bez rezultatntnog smjera, to podsje ca na gibanje molekula plina. Pritom je nji-hov statisti cki raspored takav da je vodi c, izvana promatrano, elektri cki neutralan.Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodi cu tek pod vanjskim utjeca-jem, kojim se elektronu dodaje usmjerena komponenta.Srednja brzina kaoti cnoggibanja elektrona u vodi cu reda je veli cine 106m/s, a brzina njihova usmjerenoggibanja 102m/s.Priprolazustrujekrozpojedinetvarimoguseostvarititoplinski, magnetski,kemijski, svjetlosni i zioloki u cinci. Oni se mogu vrlo uspjeno koristiti i njima sebavi tehni cki dio elektrotehnike. Toplinski u cinci koriste se u elektrotermiji, mag-netski kod elektri cnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a zioloki u djelovanju elek-tri cne struje na ive organizme.1.2 ELEKTRICNO POLJE NABOJAProu cavanje elektriciteta povijesnose bilozapo celoprou cavanjemsila koje se uo ca-vajuizme dunabijenih, elektriziranihtijela. Najpoznatiji na cinelektriziranja (odvo-51. ELEKTROSTATIKA denja ili dovo denja naboja nekomtijelu) bio je trenjem. Analiza uo cenih sila dovelaje do zaklju cka da u elektri cnim pojavama postoje dvije elektri cne veli cine: naboj ipolje. Elektri cni naboj javlja se kao svojstvo cestica, a elektri cno polje se zamje cujekao polje sila oko nabijenih cestica, oko naboja.A. Coulomb je jo 1785. godine uo cio i formulirao osnovni zakon o sili izme duelektri cki nabijenih tijela. Coulombova sila oblikom se izraza podudara s Newto-novomgravitacijskomsilom, samo to unjoj umjesto masa dolaze elektri cni naboji,a s obziromda mogubiti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana tijela mogui odbijati, a ne samo privla citi.Zakon se moe eksperimentalno potvrditi samo za silu izme du vrlo malih elek-tri cnih tijela, koja se mogu smatrati matemati ckim to ckama (tzv.to ckasti naboj ilitest-naboj;eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednos-tavne za prou cavanje i mjerenje kad se to ckasti naboj na de u okoliu velikog, naprimjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1.4). Neka se pretpostavi da su i tijelo ikuglica nabijeni pozitivnim elektri cnim nabojem. Pokusom se opaa da je sila nanabijenu kuglicu to ve ca to je ve ci iznos Q naboja kojimje nabijena i to u bilo kojojto cki prostora.+++++++++ +2P3P1PSLIKA 1.4: Elekti cna sila u okoliu nabijenog tijelaAko se pak, uz neizmjenjen naboj kuglice, mijenja njezin poloaj oko metalnogtijela (P1, P2, P3,. . . ) sila na kuglicu imat ce op cenito razli citu veli cinu i smjer.Sila ovisi dakle i o zikalnoj veli cini stvorenoj prisutno cu nabijenog tijela. Tase veli cina zove elektri cno polje nabijenog tijela i njen iznos ozna cuje se s E. Sila nato ckasti naboj moe se prema tome izraziti umnokom dviju nezavisnih veli cina:F =Q E [N] (1.1)gdje su:Q - naboj [As]E - jakost elektri cnog polja [V/m]Elektri cno polje zamje cuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih cestica. Kadseuokoliunekognabojanalaziviedrugihnaboja, tadaseukupnasilanataj6Elektri cno polje nabojanaboj moe dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okol-nihnaboja po smjerui po iznosu(vektorski zbroj). Elektri cno polje je rezultat djelo-vanja svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unoenjem dodatnog naboja utaj prostor mijenja se i polje).Jakost elektri cnog polja E, u nekoj to cki jednaka je omjeru sile Fna naboj (po-stavljen u tu to cku) i veli cine naboja Q, a smjer polja jednak je smjeru koji bi imalaelektri cna sila na pozitivni naboj postavljen u tu to cku. JJakost polja u odre denoj to cki prostora moe se odrediti, poznavaju ci silu Fnanaboj Q (doveden u tu to cku) s pomo cu jednadbeE =FQ[V /m]Jedinica za jakost elektri cnog polja je volt po metru (V /m).Silnice elektri cnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem elektri cnesile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i us-mjerene su prema negativnim nabojima u kojima zavravaju (poniru). Gusto ca sil-nica razmjerna je gusto ci elektri cnog polja.Obi cno se pod pojmom elektri cno polje misli na jakost elektri cnog polja, tj.na iznos vektora.Budu ci da se sila u svakoj to cki op cenito mijenja (po smjeru i/iliiznosu), zna ci da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj to cki prostora, moese izravno iz izraza (1.1) izra cunati sila na bilo koji elektri cni naboj koji se dovede ubilo koju to cku tog prostora. Odavde se razabire prakti cna korist elektri cnih polja,koja se zbog toga i gra cki predo cuju.Elektri cno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja pose-bno.Budu ci da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, moe se predo citi lin-ijama polja ili silnicama.Smjer elektri cnog polja jednak je smjeru djelovanja elek-tri cne sile na pozitivan naboj (slika 1.5), pa je u okoliu pozitivnog naboja suprotanod onog u okoliu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji jedoveden u njihov okoli.a) elektrino polje pozitivnog naboja b) elektrino polje negativnog nabojaSLIKA 1.5: Elektri cno polje jednog naboja71. ELEKTROSTATIKAElektri cno polje dvaju naboja prikazuje slika 1.6. Tu je polje u svakoj to cki vek-torski zbroj polja iz slike 1.5. Tangenta u svakoj to cki silnice pokazuje pravac djelo-vanja sile. I ovdje se ta sila zorno uo cava kao vektor sile test naboja.Dugo vremena su polja bila shva cana kao matemati cke konstrukcije kojima suse preglednomogle prikazati sile uokoliuelektri cnihnaboja. Realnimsusmatranesamo sile i naboji. Zahvaljuju ci Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju realna obil-jeja, nita manje stvarna nego su vidljivi mehani cki predmeti koji nas okruuju.Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su prou cavanjem elektromagnetskih va-lova.a) naboji suprotnog polaritetab) naboji istog polaritetaSLIKA 1.6: Elektri cno polje dvaju nabojaTu naboji nemaju vie svoja primarna zna cenja, ve c polje. Naboji postaju samomjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru elektri cne silnice. Za pozitivan nabojkae se da je izvor, a za negativan da je ponor elektri cnog polja (slika 1.6).Za elektri cno polje veli se da je homogeno ako u svakoj to cki ima jakost jednakoginteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Qu homogeno elektri cnopolje (slika 1.7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj Q suprotna je smjerupolja. Budu ci da i dovedeni elektri cni naboj stvara vlastito elektri cno polje, redovitose pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo.Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, po cinje na pozitivnimizavrava na negativnim nabojima smjetenim na povrini. Budu ci da se naboji ko-jim je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) me dusobno odbijaju, sav se nabojrasporedi po povrini, pa u unutranjosti elektrode nema elektri cnog polja. Svo-jstvo elektri cnih polja da zavravaju na povrinama vodi ca koristi se kod zatite ti-jela oddjelovanja elektri cnihpolja zastorima odmetalnihlimova ili metalnihmrea.To je na celo tzv. Faraday-evog kaveza.1.2.1 POLARIZACIJA I INFLUENCIJA8Elektri cno polje naboja++++++

E+F, +QF, QSLIKA 1.7: Homogeno elektri cno poljeKao neposredni rezultat djelovanja sile u elektri cnompolju uo cavaju se dvije vanepojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i inuencijski u cinci u vodljivim tije-lima.Stati cka elektri cna polja pri miruju cim nabojima mogu ca su samo u elektri ckinevodljivimsredstvima, tj. izolatorima. Izolatorisestoganazivajuidielektrici(gr cki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju elektri cne sile.U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se dielektrici unesu u elek-tri cno polje, u njima moe do ci samo do odre denog razmjetanja naboja u atom-ima i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni usuprotnom, stvaraju ci tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1.8).++++++

E++++...++++...++++.........SLIKA 1.8: Polarizacija dielektrikaS druge pak strane, djelovanje polja na vodi ce, koji imaju slobodne naboje, ma-nifestirat ce se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.Ta se pojava zove inuencija (slika 1.9). Koli cina inuenciranog naboja (razdvo-91. ELEKTROSTATIKAjenog) jednaka je koli cini naboja koje je inuenciju izazvalo (slu caj a).++++++

E+++++++++a) pod 90o++++++

E+++++++++b) pod 45oSLIKA 1.9: Elektri cna inuencijaMoe se pokazati da koli cina inuenciranog naboja ovisi i o povrini na kojuje polje djelovalo. Metalne plo cice postavljene u homogeno polje na slici 1.9 b)pod kutem od 450, zatim razdvojene u polju, pa izvu cene iz polja, primit ce svakaotprilike 71% naboja u odnosu na pokus a).1.2.2 GUSTOCA ELEKTRICNOG TOKASve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, cine u prostoru oko naboja elektri cni tok. Radi lakeg prou cavanja pojava u polju pri razli citimdielektricima uvodi se novavektorska veli cina D. Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak plonojgusto ci inuenciranog naboja koji bi se na vodi cu u toj to cki elektri cnog polja izd-vojio, inducirao. Naziv tog vektora je gusto ca elektri cnog toka, dielektri cni pomak,ili elektri cna indukcija.Gusto ca elektri cnog toka D u nekoj to cki prostora razmjerna je jakosti polja E:D = E (1.2)Faktor razmjernosti , naziva se dielektri cnost (ili dielektri cna konstanta) i zna- cajka je tvari u kojoj se elektri cno polje nalazi. Dielektri cnost vakuma je 0=8, 851012[As/V m].Dielektri cnost tvari iskazuje se pomo cudielektri cnosti vakuma i relativne dielek-tri cnosti r: =0 r10Elektri cno polje nabojaRelativna dielektri cnost rje zna cajka pojedine tvari koja pokazuje koliko putaje ve ca gusto ca elektri cnog toka u toj tvari, nego to bi, uz istu jakost polja, bila uvakumu. Relativna dielektri cnost rje bezdimenzijski broj i za ve cinu materijalamanji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2 4 za staklo), u nekim kerami ckimmasama do 100, a najve ce vijednosti idu cak i do 10000.Poznavanjemnaboja, geometrije tijela i materijala u prostoru elektri cno je poljeu svakoj to cki potpuno odre deno.Primjerice, uz naboj na jednoj plo ci Q i povrinu plo ce A, za gusto cu elektri cnogtoka D u homogenom polju, prema slici 1.7 vrijedi:D =QAU slu caju kugle polumjera R0 nabijene nabojem Qpovrinska gusto ca nabojaje iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj to cki povrine:D =Q4R02_Cm2_(1.3)1.2.3 COULOMBOV ZAKONSila Fkojom elektri cno polje jakosti Estvoreno od naboja Qdjeluje na to ckastinaboj Q

(u to cki A, slika 1.10 a) jednaka je:F =Q

E =Q

Q4r2 =k Q Q

r2[N] (1.4)gdje je k =14 0 rkonstanta.Izraz (1.4) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza (1.1),(1.2) i (1.3).

E,

FA+Qr+QA

E2

E1

E1,2

Erez

E3+Q2+Q1-Q3SLIKA 1.10: Sila na naboj111. ELEKTROSTATIKABudu cidajeunazivnikuizraza(1.4), o cevidnojedasesilaizme dudvajunaboja smanjuje, ako se izolator zamijeni s nekim ve ce dielektri cnosti. Ovisnostelektri cnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izola-tora na prilike u elektri cnom polju.Ako se u prostoru nalazi vie to ckastih naboja, kao na primjer +Q1, +Q2 i Q3na slici 1.10, jakost polja u nekoj to ckiA odre duje se vektorskom superpozicijomjakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj QAu to cki Aimala biiznos i smjer prema (1.4) jednak F =QA Erez.1.3 ELEKTRICNI POTENCIJALOdre divanje jakosti polja u nekoj to cki kao rezultat djelovanja vie polja pojedi-na cnih naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva dui ra cun zbog vek-torske prirode polja.O cevidna je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom ska-larnomveli cinom, koja bi ipak pruala bitne informacije o prilikama u elektri cnompolju. Tu potrebu,osobito u pogledu energetskih odnosa,zadovoljava elektri cnipotencijal.Kad se naboj na de u elektri cnom polju jakosti E, na njega djeluje sila Fprema(1.1). Ako se naboj giba po putanji s, sila ce na putu ds obavljati rad:dW =F ds cos() =Q E ds cos() (1.5)gdje je kut izme du putanje naboja i smjera polja (silnice) u promatranoj to cki.Ako se naboj giba po silnici, kut = 0. Naboj se giba dok na njega djeluje sila, tj.dok se nalazi pod djelovanjempolja. Sila i cezava i naboj se prestaje gibati tek u ,gdje i polje poprima iznos 0. Ukupni rad kojeg naboj obavi gibaju ci se iz neke to ckepolja A do iznosi:W =_0Q E ds cos()Rad koji naboj Qmoe obaviti kre cu ci se do o cevidno je vana zna cajka teto cke.Ako se taj rad podijeli s nabojemQ, dobiveni omjer ne ovisi o naboju, negopredstavlja energetski potencijal neke to cke polja i naziva se elektri cni potencijal.= WQ =_AE ds cos() =_AE ds cos() =_E ds cos() (1.6)Granice integracije isputaju se, jer A moe biti bilo koja to cka.Jedinica za potencijal je volt [V ], a vane zna cajke potencijala su: dvije su to cke na istom potencijalu ako izraz (1.5) daje za svaku isti iznos.Takve to cke zovu se ekvipotencijalne to cke. oblik putanje s od to cke polja A do ne utje ce na iznos (1.6) potencijala12Elektri cni potencijal ako putanja ima istu po cetnu i zavrnu to cku, onda je obavljeni rad jednaknuli, tj._E ds =0, rad potreban za gibanje naboja po to ckama istog potencijala jednak je nuli(=900) (slika 1.11), linije (plohe) koje cine to cke istog potencijala okomite su na silnice (smjerpolja), potencijalna energija koju ima naboj u nekoj to cki polja iz (1.6) iznosi jed-nostavnoW =Q =0 poznavaju cipotencijalebliskihto cakamogu cejeiz(1.6)izra cunatijakostpolja:E =dds cos() =ddlgdje je dl element silnica u smjeru polja polje je uvijek usmjereno od to cke vieg potencijala prema to cki nieg poten-cijala.Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jed-naka "potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile,na novoj razini pripisuje mu se energija nia za onoliko koliko se rada dobije kodtog sputanja. Pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne mijen-jaju razinu i ne daju rad.Sli cno se i naboju u elektri cnom polju, a i samim to ckama u kojima se nabojmoe na ci, mogu pripisati razli cite potencijalne energije, odnosno energetske razi-ne. Opravdano je po cetni nivo potencijalne energije uzeti ubeskona cnosti. Tamo jejakost elektri cnog polja E jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energijepri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Qdovede iz beskona cnosti u neku to ckuelektri cnog polja izvreni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u tojto cki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.Ako bi pak pozitivannaboj pod utjecajempolja bio odvedenu beskona cnost, natom putu bi se dobio (a ne utroio) rad. Omjer izme du rada potrebnog da se nabojQ iz bskona cnosti dovede u neku to cku polja i naboja Q na kome je rad izvren zovese elektri cni potencijal te to cke.= WQ =_AQ E cos() ds =Q_AE cos() dsQ=_E cos() ds (1.7)Potencijalna energija naboja Qu nekoj to cki elektri cnog polja lako se izraavapomo cu potencijala te to cke i iznosa naboja:W =Q [J]131. ELEKTROSTATIKAPrema tomu, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje to ckepotencijala do bilo koje to cke potencijala 1, potencijal promijeni za1=d=E dl (1.8)onda iz gornjih izraza (1.7) i (1.8) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izraen spomo cu potencijala:E =ddl(1.9)Razlika potencijala dviju to caka u elektri cnompolju zove se napon i ozna cuje ses V(ameri cka varijanta) ili s U(njema cka varijanta). Napon je jedan od najvanijihpojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri.Treba uo citi da bi rad izme du dviju to caka u elektri cnom polju E bio isti bezobzira na krivulju spo kojoj bi se naboj gibao. Drugim rije cima, to zna ci da radovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:_(s)Es ds =_(s1)Es ds =. . . =1=VU posebnom slu caju, kad su izvorina i odredina to cka iste, tj. kad je krivuljaputa zatvorena, krivuljni integral vektora Epo bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imat ce vrijednost nula:_Es ds =0 (1.10)Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika poten-cijala izme du dviju to caka jednaka nuli), ne troi se (niti dobiva) rad. Linije istogpotencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije,(slika 1.11).a) jedan naboj b) dva istovrsna naboja c) dva razliita nabojaSLIKA 1.11: Ekvipotencijalne linijeSobziromdajeurealnostiprostiranjeelektri cnogpoljatrodimenzionalano,govori se o ekvipotencijalnimplohama. Budu ci da za gibanje naboja po ekvipoten-14Elektri cni kapacitetcijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti elektri cnog polja (elektri cne silnice)okomiti su na ekvipotencijalne plohe.Ako primjerice u elektri cnom polju, zbog jednostavnosti homogenom, to cka Aima potencijal A, a to cka B potenijal Bi neka je A>B, polje E bit ce u smjeruA B. Razlika potencijala iznosiAB =_AE dl +_BE dl=_BE dl _ABE dl +_BE dl=_ABE dl=VAB[V ]Napon VABje potencijal to cke A u odnosu na referentnu to cku B, a VBA je po-tencijal to cke B u odnosu na referentnu to cku A. O cevidno vrijedi:VBA=VABPozitivni naboj Q koji prolazi razliku potencijala VABkre cu ci se od A prema Bobavlja radW =Q VAB(1.11)Ako se naboj kre ce od to cke BpremaA, giba se nasuprot polju i rad se trebauloiti.Napon se kao razlika potencijala dostupnih to caka mnogo koristi i lako se mjerivoltmetrima.1.4 ELEKTRICNI KAPACITETPriklju celiseplo casteelektrodenaelektri ckiizvor(npr. nabaterijuiliakumu-lator), na njima ce se pod utjecajem napona izvora Vrazdvojiti jednake koli cinenaboja suprotnog predznaka Q, koji ce u dielektriku me du plo cama stvoriti elek-tri cno polje stalne jakosti E (slika 1.12).Ako se za referentnu to cku izabere negativna elektroda s potencijalom 0, to ckaudaljena l od referentne imat ce potencijal=_E dl =_(E) dl =E l (1.12)dakle, potencijal linearnoraste. Za l =d razlika potencijala jednaka je priklju cenomnaponu =V , te slijediV =E d i l i E = Vd151. ELEKTROSTATIKAIzraz (1.12) je u suglasju s (1.9) i omogu cuje lako nalaenje iznosa polja E.U homogenom polju homogena je i elektri cna inuencija D = Es iznosomjednakim plonoj gusto ci naboja D =QA. Naboj Qkoji se izdvojio na elektrodamajednak jeQ = A D = A E = AVd =Ad V =C VFaktor Csadri zna cajke materijalaa i geometrije izme du plo ca i naziva se ka-pacitet. Kapacitet pokazuje sposobnost sustava elektroda da kodpriklju cenog nabojapohranjuje naboj. Ako se djelovanjem napona u nekom sustavu pohranjuje razm-jeran naboj, onda taj sustav posjeduje kapacitetC = QV(1.13)Oznaka za kapacitet je C, a jedinica farad (F).Vrijedi uo citi da se nabijene elektrode mogu i odvojiti od izvora, a da se nitane mijenja: ostaje naboj na elektrodama i napon me du njima, te elektri cno polje udielektriku.Ovdje se moe pokazati korist potencijala pri ra cunanju energije (rada). Akose (slika 1.12) pozitivni naboj Qpomi ce iz to cke M1 u to cku M2, utroit ce se radjednak razlici potencijalnih energijaW =Q 1Q 2=Q(12) =Q V12Kako je 1