Ferienkurs Elektrodynamik

ElektrostatikMichael Drews

15.03.10

Inhaltsverzeichnis

1 Vektoranalysis 21.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Integral uber ein Gradientenfeld . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Elektrostatik im Vakuum 42.1 Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Unsymmetrische Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Symmetrische Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Potential einer Punktladung und asymmetrische Ladungsvertei-

lungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Poisson-Gleichung und Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 82.7 Leiter und Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7.1 Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7.2 Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Eindeutigkeit der Losung der Laplace-Gleichung . . . . . . . . . 102.9 Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.10 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.10.1 Grundprinzip in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . 122.10.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.11 Die Energie einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Elektrische Felder im Medium 153.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Der Gauss’sche Satz im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Lineare Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Bedingungen am Rand des Dielektrikums . . . . . . . . . . . . . 173.5 Energie in dielektrischen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

1 Vektoranalysis

1.1 Grundbegriffe

Nur zur Wiederholung sollen hier kurz die wichtigsten Grundbegriffe der Vek-toranalysis aufgelistet sein.Vektoranalysis bedeutet in der Praxis, man hat entweder ein Skalarfeld f(~r)

oder ein Vektorfeld ~A(~r), mit denen man irgendwelche Operationen im definier-ten Raum (also dem <3) ausfuhrt.DER Operator dabei ist der Nabla-Operator ∇:

∇ =

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

Mithilfe von ∇ kann man alle Operationen darstellen, die man braucht.

Gradient ∇f(~r) = grad f(~r) =

∂f/∂x∂f/∂y∂f/∂z

)

Laplace ∇2f(~r) = ∆f(~r) = ∂2f/∂x2 + ∂2f/∂y2 + ∂2f/∂z2

Divergenz ∇ · ~A(~r) = div ~A(~r) = ∇ ·

ax(~r)ay(~r)az(~r)

= ∂Ax/∂x+ ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z

Rotation ∇× ~A(~r) = rot ~A(~r) =

∂yAz − ∂zAy∂xAz − ∂zAx∂xAy − ∂yAx

Da viele Probleme Zylinder- oder Kugelsymmetrie aufweisen, muss man die-se Operationen haufig in den Zylinder- oder Kugelkoordinaten ausdrucken. ImAnhang findet ihr die entsprechenden Ausdrucke.Anschaulich zeigt der Gradient in die Richtung des starksten Anstiegs von f(~r),

die Divergenz ist so viel wie die Quellendichte von ~A(~r) (d.h. die Antwort aufdie Frage

”Ist hier irgendwo ein Punkt, von dem aus mehr das Vektorfeld mehr

wegzeigt als hinzeigt, oder ist es genau ausgeglichen?“) und die Rotation dieWirbeldichte (d.h. die Antwort auf die Frage

”Dreht sich das Vektorfeld hier

um irgendeinen Punkt rechtsrum oder linksrum, oder gar nicht?“).

1.2 Integralsatze

Der bekannte Fundamentalsatz der Analysis besagt, dass∫ b

a

F (x) dx = f(b)− f(a)

2

wenn df/dx = F (x) gilt.Also ∫ b

a

df/dx dx = f(b)− f(a)

In anderen Worten: Das Integral uber die Ableitung einer Funktion, ist die Dif-ferenz der Funktionswerte an den Grenzen des Integrationsintervalls.Dies lasst sich - sehr vereinfacht gesehen - geometrisch auch auf hohere Dimen-sionen erweitern und ergibt dann nichts anderes als den Satz uber konservativeKraftfelder, den Satz von Gauß und den Satz von Stokes. Die Ableitung ist indem Fall dann eben der Gradient, die Divergenz oder die Rotation.

1.2.1 Integral uber ein Gradientenfeld

Nimmt man den Gradienten als Ableitungsoperation und einen eindimensiona-len Integrationspfad S, der beim Punkt ~a anfangt und beim Punkt ~b aufhortergibt sich∫

S

∇f(~r) d~s = f(~b)− f(~a)

weil die Grenzen des Pfads naturlich genau die beiden Endpunkte sind. Dar-aus ergibt sich naturlich gleich die Aussage, dass die Integration uber ein Gra-dientenfeld unabhangig vom Integrationspfad ist, und nur vom Anfangs- undEndpunkt abhangt, und dass jedes Kreisintegral uber ein Gradientenfeld dahergleich Null sein muss.

1.2.2 Satz von Gauß

Man nehme die Divergenz als Ableitungsoperation und integriere uber ein Vo-lumen V:∫

V

∇ · ~A(~r) dr3 =

∮∂V

~A(~r) d~a

Hier ist ∂V der Rand des Volumens (also eine Flache) und d~a = ~n · da dasorientierte infinitesimale Flachenelement auf ∂V .

1.2.3 Satz von Stokes

Man nehme die Rotation als Ableitungsoperation und integriere uber eine FlacheA: ∫

A

(∇× ~A(~r)) d~a =

∮∂A

~A(~r) d~s

Hier ist ∂A der Rand der Flache A (also eine geschlossene Kurve) und d~s dasinfinitesimale Wegelement entlang ∂A.

3

Aber aufgepasst: Das Prinzip bei einem Integral uber eine ableitungsahnlicheOperation die Ableitung wegzulassen und uber die Grenzen des vorherigen In-tegrationsbereiches zu integrieren, ist zwar grundsatzlich richtig, muss im Ein-zelnen aber genauer behandelt werden und ist daher nur als Eselsbrucke zuverstehen.

2 Elektrostatik im Vakuum

Normalerweise wird die Elektrostatik erst phanomenologisch uber das Coulomb-Gesetz et cetera entwickelt und dann irgendwann bei der Elektrodynamik wer-den die Maxwell-Gleichungen

”hergeleitet“.

Man kann es aber auch andersherum machen und sieht das Ganze dann viel-leicht von einer anderen Perspektive. Die Maxwellgleichungen kann man namlichdurchaus als Axiome ansehen, die ohne Beweis als wahr angenommen werden,deren Gultigkeit aber experimentell noch nie widerlegt wurde.In der Elektrostatik bleiben dann im Prinzip zwei Gleichungen, die alles er-klaren, denn erstens hangt nichts von der Zeit ab, zweitens interessieren uns dieFormeln, die etwas uber die B-Felder aussagen erstmal gar nicht. Also gilt (imVakuum):

∇ · ~E(~r) =ρ(~r)

ε0(1)

∇× ~E(~r) = 0 (2)

Das E-Feld ist ein Vektorfeld und beschreibt Starke und Richtung des elek-trischen Feldes an einem Ort ~r im Raum. Es ist so definiert, dass man durchMultiplikation mit einer Probeladung Q die elektrische Kraft, die auf diese La-dung wirkt, erhalt.

~F = Q · ~E

2.1 Coulomb-Gesetz

Das Coulomb-Gesetz sagt einem das ortsabhangige elektrische Feld einer Punkt-ladung. Also schaut man sich Gleichung (1) mit der Ladungverteilung ρ = q·δ(~r)an (die Ladung sei oBdA genau am Ursprung).Um eine Punktladung kann man sich herumdrehen wie man will, sie schaut im-mer gleich aus. Dies bedeutet, dass das Problem kugelsymmetrisch ist (d.h. wirgehen in Kugelkoordinaten) und dass das E-Feld vollkommen unabhangig vonden Winkeln φ und θ immer in radiale Richtung zeigen muss.Wenn man Gleichung (1) dann uber das Volumen einer Kugel K mit Radius aintegriert, ergibt sich.∫

K

∇ · ~Ed3r =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθsin(θ)

∫ a

0

drr2 · 1

r2∂(r2Er)

∂r

4

Er ist auf der Kugeloberflache ja konstant (wg. Rotationssymmetrie), also∫K

∇ · ~Ed3r = 4π

∫ a

0

2rErdr = 4πEra2

Auf der rechten Seite integriert man uber eine Delta-Funktion mit dem Vorfaktorq, also∫

K

ρ

ε0d3r =

q

ε0

Gleichsetzen und auflosen nach Er ergibt

Er =1

4πε0

q

a2

Der Radius a der Integrationskugel K ist vollkommen beliebig. Wir wissen also- um es jetzt noch in der bekannten Form zu schreiben -, dass das elektrischeFeld im Abstand r

~E(~r) =1

4πε0

q

r2· er

ist. Im ganz allgemeinen Fall muss man er durch den Einheitsrelativvektor~r−~r′‖~r−~r′‖

zwischen Ortsvariable ~r und Ortsvektor der Punktladung ~r′, und r durch

den entsprechenden Relativabstand ersetzen. Dies muss man nur im Hinterkopfbewahren.

2.2 Unsymmetrische Ladungsverteilungen

Angenommen, man hat eine Ladungsverteilung, die aus N Punktladungen qian den Orten ~ri besteht. Dann gilt das Superpositionsprinzip und man kanndas resultierende E-Feld einfach als Summe aus den einzelnen Coulumbfelderndarstellen.

~E(~r) =∑i

1

4πε0

qi‖~r − ~ri‖2

· ~r − ~ri‖~r − ~ri‖

Liegt eine kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(~r) vor, so geht die obige Summeeinfach in ein Integral uber.

~E(~r) =1

4πε0

∫<3

ρ(~r′)

‖~r − ~r′‖2· ~r − ~r′

‖~r − ~r′‖dr′

Dieses Integral wirklich zu losen kann im Einzelfall sehr hasslich werden. Es istaber quasi die Losung von Gleichung (1).

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2.3 Symmetrische Ladungsverteilungen

Im Normalfall (d.h. in den Spezialfallen, die in den Ubungsaufgaben behandeltwerden) hat man aber mehr oder weniger symmetrische oder einfache Ladungs-verteilungen. Dann kann man meistens den Trick anwenden eine sogenanntegauss’sche Oberflache, die zur Symmetrie passt, in die Anordnung zu legen undGleichung (1) uber deren Volumen zu integrieren. Durch Anwendungen vomGauss’schen Satz und Ausnutzung der Symmetrieargumente wird das Integraldann extrem vereinfacht. Dafur muss man das Ganze naturlich noch in den ent-sprechenden Koordinaten behandeln, die zur Symmetrie passen.Dabei handelt sich eigentlich immer um:

• Kugelsymmetrie

• Zylindersymmetrie (meistens unter der Annahme eines großen Zylinders,um Randeffekte zu vernachlassigen)

• Platten (auch unter der Annahme sie waren unendlich ausgedehnt, umRandeffekte zu vernachlassigen)

Beispiel: geladene PlatteDie Platte habe die Flachenladung σ und liege in der y-z-Ebene, sodass die x-Achse die Distanz zur Platte angibt. Dann integriert man Gleichung (1) ubereinen Quader Q, dessen Oberseite die Flache A hat und in dessen Mitte genaudie Platte liegt.∫

V

∇ · ~Ed3r =

∫V

ρ

ε0d3r∫

∂V

~E · ~da =σA

ε0

Auf der linken Seite wurde der Satz von Gauss angewendet, auf der rechteneinfach integriert. Jetzt ist bei dieser Anordnung ja zu erwarten, dass das E-Feld immer parallel zur x-Achse ist. Das heißt, dass ~E · ~da = E · da, weil es aufder linken Seite zwar in negative Richtung zeigt, der Flachennormalvektor ~daaber auch in negative Richtung zeigt, wahrend auf der rechten Seite beides inpositive Richtung zeigt. Ausserdem muss das Feld wegen Symmetrie auf beidenSeiten den gleichen Betrag haben und kann auch nicht von y oder z abhangen.Also:

E · 2A =σA

ε0

⇒ E =σ

2ε0oder ~E(~r) =

σ

2ε0· ~ex

Die Aussage ist: Der Flachennormalvektor zeigt immer nach oben von der Flacheweg. Oft (in Aufgaben dieser Art) zeigt der E-Vektor in die gleiche Richtung.

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2.4 Das elektrische Potential

Nun schauen wir, was Gleichung (2) uns eigentlich sagt:

∇× ~E(~r) = 0

In der klassichen Mechanik hat man schon gelernt, dass ein Gradientenfeld ro-tationsfrei ist, oder mathematisch ausgedruckt, dass

∇× (∇Φ) = 0

fur eine beliebige skalare Funktion Φ. Letztendlich ist der Umkehrschluss aucherlaubt: Weil man weiß, dass E rotationsfrei ist, weißman auch, dass es sich alsGradient ausdrucken lassen muss. Man definiert

~E = −∇Φ

und nennt Φ das elektrische Potential. Es hat die Einheit Volt.Integriert man ~E von einem Ort ~a zu einem Ort ~b entlang einem Pfad S ergibtsich also:∫

S

~E · ~ds =

∫S

−∇Φ · ~ds = −(Φ(b)− Φ(a)) =: −∆Φ

Wenn man sich daran erinnert, dass q · ~E ja die Kraft auf eine Ladung q war,dann muss also q · (−∆Φ) die Arbeit sein, die eine Ladung auf dem Weg Sverrichtet ( Kraft ·Weg = Arbeit ). Φ ist also mit der elektrischen potentiel-len Energie einer Ladung korreliert. Es ist jedoch ganz wichtig zu sagen, dassΦ nicht die potentielle Energie ist. Erstens stimmt naturlich die Einheit nicht.Zweitens ist eine Aussage uber das Potential an einem Punkt immer bezogenauf das Potential an einem Referenzpunkt.Ublicherweise legt man das Potential im Unendlichen auf 0. Das muss aber nichtso sein. Hat man ein System, bei dem zum Beispiel irgendein Leiter geerdet ist,so bedeutet dies, dass das Potential im und auf dem Leiter per Definition 0 seinsoll (das ist naturlich kein Widerspruch dazu, dass es im Unendlichen wieder 0werden kann, aber man muss eben aufpassen, was man tut). Auf die Ableitung~E = −∇Φ hat das aber naturlich keine Auswirkung, weil Konstanten bei derAbleitung ja verschwinden.Daher macht es eigentlich auch nur Sinn uber Potentialdifferenzen zu sprechen,d.h. eben uber das ∆Φ zwischen zwei Punkten. Je nachdem wohin man seinenEnergienullpunkt definiert, ist namlich der absolute Wert von Φ anders.

2.5 Potential einer Punktladung und asymmetrische La-dungsverteilungen

Wie sieht Φ fur eine Punktladung am Urpsrung des Koordinatensystems aus?Man weißschon, wie ~E in dem Fall aussieht. Weil ~E nur vom Radius abhangt

7

und in radiale Richtung zeigt, muss Φ also logischerweise auch nur vom Radiusabhangen. Wegen

∇f(r) =∂f

∂r· ~er

muss man nur den Betrag von ~E einmal uber r integrieren, um das Potential zuerhalten. Aber von wo nach wo? Das ist genau das Problem mit dem Referenz-punkt. Die untere Integralgrenze sagt einem, wo man Φ(r) = 0 erhalten wird.Das ist im Prinzip beliebig. Bei Punktladungen setzt man diesen Punkt ebenins Unendliche:

Φ(r) = −∫ r

∞

1

4πε0

q

r′2dr′ =

1

4πε0

[ qr′

]r∞

=1

4πε0

q

r

Zur Vorstellung: So wie Φ nun definiert ist, stellen also negative Ladungen”Sen-

ken“ und positive Ladungen”Hugel“ in der Potentiallandschaft dar. Wenn man

also eine Kugel durch diese Landschaft rollen lasst, erhalt man die Trajektorieeiner positiven Ladung in der enstprechenden Ladungsverteilung. Fur negativeLadungen muss man die Landschaft nochmal spiegeln.Analog zur Herleitung des E-Feldes fur kontinuierliche Ladungsverteilungenkann man hier auch sagen, dass

Φ(~r) =1

4πε0

∫ρ(~r′)

‖~r − ~r′‖d3r′

fur eine kontinuierliche, beliebige Ladungsverteilung ρ~r im Raum.

2.6 Poisson-Gleichung und Laplace-Gleichung

Setzt man nun ~E = −∇Φ wieder in Gleichung (1) ein, bekommt man

∇2Φ = − ρ

ε0(3)

Dies ist die Poisson-Gleichung. Sie ist so wichtig, weil es bei vielen Systemviel leichter ist, diese Gleichung zu losen und dann mit dem Gradienten dasE-Feld auszurechnen, als die pure Gleichung (1) zu losen. Schließlich hat manhier nur eine Funktion zu finden und nicht drei, wie beim E-Feld (x-, y-, undz-Komponente). Insbesondere in Regionen, wo keine Ladung ist (und meistensinteressiert einen das E-Feld genau da) wird sie zur Laplace-Gleichung

∇2Φ = 0

Wie genau die Laplace-Gleichung jetzt gelost wird, kommt spater im Skript. Esist jetzt erstmal nur wichtig sie gesehen zu haben.

2.7 Leiter und Kapazitaten

Die Eigenschaften von Leitern und Kapazitaten (oder Kondensatoren) in einemE-Feld werden im Prinzip uber ihre Eigenschaften im Bezug auf das elektrischePotential definiert.

8

2.7.1 Leiter

Dort wo ein Leiter ist, ist das elektrische Potential konstant. Anders ausgedrucktLeiter sind Raumregionen konstanten Potentials. Dies liegt daran das sich diefreien Ladungen in den Leitern so lange herumbewegen, bis keine Krafte mehran ihnen angreifen, bis also ~E = 0 ist. Wo ~E = 0 ist, muss naturlich Φ = const.sein. Dies hat ein paar Konsequenzen:

• ρ = 0 innerhalb des LeitersDies folgt ganz einfach aus ∇ · ~E = ρ

ε0.

• Die Ladung befindet sich auf der OberflacheSollte der Leiter geladen sein, befindet sich wegen ρ = 0 im Leiter, diegesamte Ladung auf der Oberflache.

• ~E ‖ ~da an der OberflacheDas E-Feld ganz kurz außerhalb des Leiters steht senkrecht auf seine Ober-flache ( ~da ist senkrecht zu Oberflache). Hatte es eine Tangentialkomponen-te, wurden die Ladungen auf der Oberflache beginnen zu fließen, solangebis sie durch ihre Verschiebung die Tangentialkomponente ausloschen.Die Normalkomponente dagegen konnen sie nicht ausloschen, weil sie janicht aus dem Leiter herausfließen konnen.

• Der Leiter hat eine Oberflachenladung σMan stelle sich eine ganz kleine Gauss’sche Box vor, die ein ganz kleinesOberflachenstuck des Leiters beinhaltet. Die Box ist so klein, dass σ ≈const. und ~E ≈ const. auf diesem Stuckchen. Die Oberseite der Box istparallel zur Oberflache also senkrecht zum E-Feld ausgerichtet.Daher ergibt Integration uber Gleichung (1):

σ = ( ~E · n)ε0 = −ε0∂V

∂nbzw. |σ| = Eε0

Dies nennt man induzierte Ladung. Die gesamte induzierte Ladung uberdie Oberflache integriert muss 0 oder die vorherige Ladung des Leitersergeben (es entsteht ja keine Ladung).

• Es wirkt eine Kraft auf den Leiter.Die Oberflachenladung wird letztendlich so induziert, dass der Leiter indas Feld hineingezogen wird: Eine außere negative Ladung erzeugt auf derzugewandten Seite des Leiters positive Ladungen und auf der abgewand-ten Seite negative. Deswegen wirkt eine Kraft auf den Leiter.Diese Kraft berechnet sich einfach aus dem Produkt der Oberflachenladungmit dem E-Feld an der Oberflache, von dem aber noch der Teil abgezo-gen werden muss, den die Oberflachenladung selbst erzeugt. GenauereBetrachtung (siehe Griffiths, S.102/103) ergibt die Kraft

~df =1

2ε0σ2n

9

auf das Oberflachenelement d~a, bzw. den Druck

dp =ε02E2

mit dem Betrag von E genau uber dem Oberflachenelement.

2.7.2 Kapazitaten

Ein Kondensator besteht eigentlich immer aus einer Anordnung von zwei Lei-tern, die genau gegengleich geladen sind. Zwischen den Leitern bildet sich dannirgendein Feld aus, d.h. wegen ~E = −∇Φ existiert irgendein Potentialgradientzwischen den Leitern. Weil Φ die Einheit Volt besitzt spricht man in dem Fallvon einem Spannungsgradient. D.h. Φ muss auf den beiden Leitern unterschied-liche Werte annehmen.Die Kapazitat ist nun einfach definiert als Verhaltnis zwischen Ladung undSpannungsdifferenz zwischen den Leitern.

C =Q

∆Φ

D.h. man braucht wieder Φ.

2.8 Eindeutigkeit der Losung der Laplace-Gleichung

Bevor man jetzt kompliziertere Probleme ausrechnet, sollte man noch wissen,dass es letztendlich bei allem, was nicht ganz einfach z.B. mit dem Satz vonGauss zu losen ist, darum geht, die Laplace-Gleichung zu losen, also

∇2Φ = 0

Zu dieser Laplace-Gleichung existiert namlich ein Theorem, das besagt, dassjede Losung, die diese Gleichung und die systemspezifischen Randbedingungenerfullt, die einzige und richtige Losung ist, die existiert. Das bedeutet, egal aufwelchem Weg man zu einer Losung gekommen ist, wenn es eine Losung ist, dannist es DIE Losung.

Beweis:Hier jetzt ein ganz kurzer und sinngemaßer Beweis des Theorems.Funktionen f , die die Gleichung ∇2f = 0 erfullen, werden harmonische Funk-tionen genannt. Eine wichtige Eigenschaft der harmonischen Funktionen ist dieMittelwerteigenschaft. Dies bedeutet, dass der Funktionswert an einem Ort ~rimmer gleich dem Mittelwert aller Funktionswerte auf einer Kugel neben diesemFunktionswert ist.Dies ist wiederum gleichbedeutend damit, dass eine harmonische Funktion nuran den Randern ihres Definitionsbereichs Maxima oder Minima annehmen kann.Die Annahme sei, Φ1 und Φ2 seien zwei verschiedene Losungen der Laplace-Gleichung fur dasselbe System. Damit ist auch

Φ3 = Φ1 − Φ2

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eine weitere Losung der Laplace-Gleichung, weil die Anwendung des Laplace-Operators auf Φ3 wieder 0 ergibt. Weil aber Φ1 und Φ2 beide die gleichenRandbedingungen erfullen, muss deren Differenz an den Randern gleich 0 sein.Es gilt also Φ3 = 0 an den Randern. Weil Φ3 aber eine harmonische Funktionist, die ihre Maxima und Minima nur am Rand annehmen kann, muss Φ3 = 0uberall gelten. Damit ist

Φ1 = Φ2

Es gibt also keine verschiedenen Losungen der Laplace-Gleichung fur dieselbeSituation.

Bei manchen Problemen ist es notig, die Laplace-Gleichung wirklich richtig zulosen. Mit dem Wissen um dieses Theorem, kann man allerdings auch ein paarTricks anwenden, z.B. die Methode der Spiegelladungen.

2.9 Spiegelladungen

Bei dieser Methode hat man immer eine Ladung und einen Leiter und es gehtdarum, das elektrische Feld im Raum bzw. die Oberflachenladung auf dem Lei-ter auszurechnen.In vielen Fallen ist der Leiter geerdet, d.h. Φ = 0 auf dem Leiter. Eine weitereRandbedingung ist, dass Φ→ 0 fur r →∞.Nun macht man sich die Eindeutigkeit der Losung zunutze und versucht in pas-sender (symmetrischer) Anordnung einfach imaginare Ladungen in den Leiter(oder in den Bereich, in dem einen die Losung nicht mehr interessiert) zu setzen,sodass aus der Uberlagerung der imaginaren E-Felder mit dem realen E-Feld,die geforderten Randbedingungen erfullt werden. Ist dies moglich, so MUSS daserhaltene Feld in dem Raumbereich den man anschaut, die richtige Losung derLaplace-Gleichung sein. Was in den anderen Bereichen passiert, ist eigentlichegal.Die physikalische Idee dahinter ist, dass die induzierten Oberflachenladungenauf dem Leiter sich so verteilen, dass sie die real vorhandene Ladung spiegelnund damit quasi das Bild einer imaginaren Ladung im oder hinter dem Leitererzeugen.

Beispiel: zwei rechtwinklige PlattenIn einer Ecke zwischen zwei geerdete, rechtwinkligen Platten sitzt eine Punkt-ladung q. Wie die Spiegelladungen verteilt werden mussen, um die Laplace-Gleichung zu losen, sieht man auf dem Bild.

11

Plausibel macht man sich das folgendermaßen:Hatte man nur eine Platte gegenuber einer Punktladung, so ware die enstpre-chende Spiegelladungen genau achsensymmetrisch gegenuber der Punktladungauf der anderen Seite der Platte mit entgegengesetzter Ladung. Die Summe derPotentiale der beiden Ladungen ist entlang der Platte dann namlich genau Null,weil jeder Punkt auf der Platte gleich weit von zwei entgegengesetzt gepoltenLadungen entfernt ist.Also ist es auf jeden Fall schonmal gut, die Ladung an jeder der beiden Plattenzu spiegeln. Dann hat man nur noch das Problem, dass sich zwar zwei Ladungenentlang einer Platte aufheben, die dritte Ladung aber dazwischenfunkt und dasPotential dort genau dem Potential der dritten Ladung entspricht. Also mussman die dritte Ladung auch noch an dieser Platte spiegeln, um das Potentialdort auf 0 zu setzen.Jetzt muss man noch uberprufen, ob das Potential auf der zweiten Platte da-durch auch immer noch 0 ist. In diesem Fall ist es so: Die vierte

”Ausgleichsla-

dung“ sitzt am gleichen Ort, egal von welcher Platte aus man diese Uberlegungstartet. Hatten die Platte einen Winkel ungleich 90o zueinander, geht das nicht:Bei einem spitzen Winkel erhalt man eine unendliche Reihe von Spiegelladungen,bei einem stumpfen Winkel ist die Laplace-Gleichung nicht mit der Methode derSpiegelladungen losbar.

2.10 Trennung der Variablen

2.10.1 Grundprinzip in kartesischen Koordinaten

Eine andere Methode, um die Laplace-Gleichung zu losen, ist die Trennung derVariablen. Kurz zusammengefasst:Man setzt an Φ(x, y, z = X(x) · Y (y) · Z(z). Also in der Laplace Gleichung:

Y Z · ∂2X

∂x2+XZ · ∂

2Y

∂y2+XY · ∂

2Z

∂z2= 0

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Teilen durch X · Y · Z liefert

1

X· ∂

2X

∂x2+

1

Y· ∂

2Y

∂y2+

1

Z· ∂

2Z

∂z2= 0

Nun hat man drei Summanden, die von unterschiedlichen Variablen abhangen.Man argumentiert nun, man kann ja jeden Summanden an beliebiger Stel-le auswerten, weil die beiden anderen Summanden ja von anderen Variablenabhangen. Wie soll dann aber die Summe 0 bleiben, wenn man zum Beispieldie Variable in einem Summanden beliebig andert, wahrend man die anderenbeiden festhalt. Die einzige Losung ist, dass jeder der Summanden fur sich eineKonstante ergeben muss, also

1

X· ∂

2X

∂x2= Cx

1

Y· ∂

2Y

∂y2= Cy

1

Z· ∂

2Z

∂z2= Cz

mit Cx + Cy + Cz = 0.Nun lost man jede der drei Gleichungen fur sich und vereinfacht (soweit es geht)durch Beachtung der systemspezifischen Randbedingungen.Dann bildet man das Produkt der Losungen fur, um Φ zu erhalten, und elimi-niert die ubrigen Integrationskonstanten mithilfe verbleibender Randbedingun-gen.

2.10.2 Kugelkoordinaten

Haufig hat man es eben mit Kugeln zu tun, in dem Fall ist es immer sinnvoll inKugelkoordinten uberzugehen. Die Laplace-Gleichung lautet dann:[

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2sinθ

∂

∂θ

(sinθ

∂

∂θ

)+

1

r2sinθ

∂2

∂φ2

]Φ(~r) = 0

Mit einem ahnlichen Ansatz, in diesem Fall Φ = R(r)Y (θ, φ), geht man wieder indie Gleichung, sodass man wieder zwei unabhangige DGLs bekommt, namlich:

∂

∂r

(r2∂R

∂r

)= Cr ·R[

1

sinθ

∂

∂θ

(sinθ

∂

∂θ

)+

1

sinθ

∂2

∂φ2

]Y = Cy · Y

Die Funktionen Y , die die zweite Gleichung losen, lernt man in der Vorlesungkennen. Dies sind genau die Kugelflachenfunktionen Y ml (θ, φ) und dann ist dieKonstante Cy = −l(l + 1). Dies ist einfach so zu akzeptieren - die Kugel-flachenfunktionen sind quasi genauso definiert, dass sie diese Gleichung losen.Sie sind damit die Eigenfunktionen des Winkelanteils der Laplace-Operatorsund −l(l + 1) ist der zugehorige Eigenwert. Ihre wichtigste Eigenschaft ist dieOrthonormalitatsrelation:∫

dΩ Y ml Y m′

l′ = δll′δmm′

13

Dies bedeutet, dass man ahnlich einer Fourierreihe, jede Winkelfunktion durcheine unendliche Reihe von Kugeflachenfunktionen darstellen kann (jede Win-kelfunktion, die den Winkelanteil der Laplace-Gleichung lost naturlich). In derPraxis weiss man oft, wie das Ergebnis aussehen soll und kann dementsprechend99,99% aller Kugelflachenfunktionen verwerfen.Der Radialanteil hat auch eine allgemeine Losung, auf die man vielleicht nichtdirekt kommt.

R(r) = Alrl +

Blrl+1

Im allgemeinen ist eine Losung dann eine Summe uber all l und m.

Φ(~r) =∞∑l=0

l∑m=−l

(Alr

l +Blrl+1

)Y ml

Diese muss dann an die jeweiligen Randbedingungen angepasst werden.

2.11 Die Energie einer Ladungsverteilung

Die Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung berechnet man mit

W =1

2

∫ρΦd3r

Oder mit Hilfe von Gleichung (1) und dem Gausschen Satz auch ausgedrucktals

W =ε02

∫E2d3r

Diese Energie steckt im Feld einer Ladungsverteilung, oder auch in der Ladungs-verteilung selbst, d.h. ist die Arbeit, die benotigt wird, um diese Ladungsver-teilung zu schaffen. Vorsicht bei Punktladungen: Wendet man diese Formelnauf eine diskrete Ladungsverteilungen aus Delta-Funktionen an, so erhalt manunendlich! Dies ist ein kleines philosophisches Problem, mehr dazu im Griffiths,S.91-96, unter anderem auch die genaue Herleitung dieser Formeln.

Die Energie in einem Kondensator kann man damit folgendermaßen berech-nen: Auf beiden Platten sitzt die Ladung Q = ∆Φ · C. Setzt man oBdA dasPotential auf der ersten Platte Φ1 = 0, so ist das Potential auf der zweitenPlatte genau ∆Φ. Nimmt man dann obige Gleichung uber die Energie in einemelektrischen Feld, erhalt man

W =1

2Q(∆Φ)2

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3 Elektrische Felder im Medium

Materie besteht aus Atomen oder Molekulen, die wiederum positive Ladungen(Protonen) und negative Ladungen (Elektronen) enthalten. Da diese Ladungennicht am gleichen Ort sitzen, besitzen Atome oder Molekule Dipolmomente. Ein

”Elementardipol“ besteht aus einer positiven Ladung q und einer negativen −q

mit dem Distanzvektor ~d zwischen den beiden Ladungen. Das Elementardipol-moment ist dann definiert als

~p = ~d · q

Atome sind normalerweise von außen gesehen neutral geladen. Legt man nunein außeres elektrisches Feld ~E an werden die Elektronen und Protonen aberentgegengesetzt auseinandergezogen: das Atom wird polarisiert, es bekommtein Dipolmoment. Ein Dipol erzeugt wiederum ein elektrisches Feld, das sich soausrichtet, dass es dem außeren Feld entgegenwirkt. Materie im elektrischen Feldverandert also das elektrische Feld, und man nennt diese Materie Dielektrikum.

3.1 Polarisation

Man definiert sich eine Große, die einem die makroskopischen Eigenschaften desMaterial im E-Feld wiedergibt. Die Polarisation ~P ist quasi die Dipoldichte proVolumen des Dielektrikums.Wenn ein Material polarisiert wird, wird letzlich eine Volumen- und eine Ober-flachenladung erzeugt. Klar wird das mit, wenn man sich eine Reihe von gleichausgerichteten Dipolen vorstellt: in der Mitte eliminieren sich die Ladungen qua-si gegenseitig, sodass nur die zwei Ladungen am Anfang und am Ende der Reihenetto ubrigblieben.

Das Bild veranschaulicht nur die Enstehung einer Oberflachenladung. In Wirk-lichkeit kann die Situation viel komplizierter sein und auch eine Volumenladungentstehen. Genaue Herleitung ergibt (siehe Griffiths, S.166-171), dass die

”ge-

bundene“ Ladung ρb, die durch Polarisierung entsteht durch die Divergenz derPolarisation gegeben ist:

−∇ · ~P = ρb

Die Oberflachenladung am Rand des Dielektrikums ergibt sich damit (infinite-simale Gauss’sche Box + Gauss’scher Satz) als

σb = ~P · n

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3.2 Der Gauss’sche Satz im Dielektrikum

Bei Prasenz von dielektrischem Material hat man also eine Insgesamtladung von

ρ = ρb + ρf

die sich aus gebundener Ladung ρb und freier (”normaler“) Ladung ρf zusam-

mensetzt. Also kann man Gleichung (1) umschreiben zu

ε0∇ · ~E = ρ = ρb + ρf = −∇ · ~P + ρf

⇒ ∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρf

Man definiert sich die elektrische Ladungsverschiebung ~D als

~D = ε0 ~E + ~P

Damit liest sich das Gaussche Gesetz (1) in bekannter Form als

∇ · ~D = ρf (4)

Anordnungen von Dielektrika, die eine gewisse Symmetrie besitzen, kann manmithilfe dieser Gleichung nun wieder auf bekanntem Wege uber den Gauss’schenSatz losen.Die Ahnlichkeit der Gleichung (4) mit Gleichung (1) verleitet einen dazu, leicht

zu denken ~E und ~D waren fast dasselbe. Rechnet man jedoch mal die Rotationvon ~D aus

∇× ~D = ε0(∇× ~E) + (∇× ~P ) = ∇× ~P

so sieht man, dass ~D nicht unbedingt rotationsfrei ist, da es erstmal keinenGrund gibt anzunehmen, ~P ware rotationsfrei. ~D muss als nicht unbedingt einerzeugendes Potential besitzen, was ein gravierender Unterschied zum E-Feldist.

3.3 Lineare Dielektrika

Den grundsatzlichen Unterschied zwischen ~E und ~D verstanden zu haben istwichtig, auch wenn es im praktischen Fall so aussieht, dass ~D eben doch rota-tionsfrei ist. Wir sprechen namlich eigentlich nur uber lineare Dielektrika, d.h.Dielektrika wo gilt

~P = ε0χe ~E

also die Polarisation proportional zum E-Feld ist. Im allgemeinen muss dies janicht so sein, im allgemeinen ist χe namlich ein Tensor, die Polarisastion alsorichtungsabhangig vom E-Feld. Im linearen Fall gilt jedoch also

~D = ε0 ~E + ~P = ε0 ~E + ε0χe ~E = ε0(1 + χe) ~E

= ε0εr ~E

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mit εr = 1 + χe als dielektrische Konstante des Materials.Wenn nun ~D proportional zu ~E ist bedeutet dies logischerweise, dass ~D auchrotationsfrei sein muss - ABER nur innerhalb des Dielektrikums. Am Rand giltdies nicht mehr, da hier ja auch die Proportionalitat zum E-Feld endet.

Fazit: Betrachtet man den Bereich innerhalb eines Dielektrikum, so hat man imPrinzip die gleiche Mathematik wie bei der Elektrostatik im Vakuum, mit demeinzigen Unterscheid, dass die Dielektrezitatskonstante zu ε0 → ε0εr ubergeht.Insbesondere, dass hier wieder die Laplace-Gleichung gilt.Befindet man sich am Rand des Dielektrikums, so mussen bestimmte Randbe-dingungen beachtet werden.

3.4 Bedingungen am Rand des Dielektrikums

Mit der gleichen Argumentation wie beim Leiter legt man eine infinitesimaleGauss’sche Box um den Rand des Dielektrikums und integriert uber Gleichung(4): ∫

V

∇ · ~D d3r =

∫∂V

~D · n da

⇒ D⊥oben −D⊥unten = σf

Die Differenz der senkrechten Komponenten der elektrischen Verschiebungsdich-te ist gleich der Oberflachenladung des Dielektrikums. Dies kann man auch aus-drucken als

ε0∂Φoben∂n

− ε0εr∂Φunten∂n

= σf

Falls das Dielektrikum nicht geladen ist, ist σf = 0, da es ja die Dichte der

”freien“ Ladungstrager ist. Diese Gleichung bedeutet aber nicht, dass ~D nur eine

senkrechte Komponente auf die Oberflache hat, es stellt lediglich eine Beziehungzwischen den Bereichen uber und unter der Grenzflache her.

3.5 Energie in dielektrischen Systemen

Betrachtet man einen Kondensator, der vollstandig mit Dielektrikum gefullt ist,so berechnet sich seine Kapazitat zu

C = εrCvac

also das εr-fache der Kapazitat im Vakuum. Die im Kondensator (oder im E-Feldim Kondensator) gespeicherte Energie erhoht sich daher um denselben Faktor.Daher ist es konsequent anzunehmen, dass sich auch die Energie des E-Feldesim Kondensator um den Faktor εr erhoht, wenn ein Dielektrikum im Spiel ist.

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Also frei nach der Formel fur die Energie des E-Feldes

W = εrε02

∫E2 d3r =

1

2

∫(ε0εr ~E) · ~E d3r

=1

2

∫~D · ~E d3r

Es stellt sich heraus, dass diese Formel sogar allgemein stimmt, wenn man eineformell richtige Herleitung macht (siehe Griffiths, S. 191-192).

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Seite 1Formelsammlung Nabla-Operator – Wikipedia

12.03.2010 19:45:08http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Nabla-Operator

Formelsammlung Nabla-Operatoraus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Dies ist eine Liste von einigen Formeln der Vektoranalysis im Zusammenhang mit gebräuchlichen Koordinatensystemen. Dabei bezeichnendie Einheitsvektoren in den jeweiligen Koordinatenrichtungen; atan2 ist der Arkustangens mit zwei Argumenten.

Tabelle mit Nabla-Operator in Zylinder und Kugelkoordinaten

Operation Kartesische Koordinaten(x,y,z) Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z) Kugelkoordinaten (r,θ,φ)

Definitionder

Koordinaten

infinitesimaleVerschiebung

infinitesimalesFlächenelemen

t

infinitesimalesVolumeneleme

ntNichttriviale Rechenregeln:

1. (Laplace-Operator)2.3.4.5.6.

woraus mit unmittelbar die für die Strömungslehre wichtige Weber-Transformation folgt:

7.8.

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Nabla-Operator. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel MathematischeSymbole erläutert werden.