I

i Elektrisk felt og feltlinierHvis en genstand med elektrisk ladning befinder sig i nrheden af en anden elektrisk ladning, vil den blive pvirket af en kraft. Man siger, at der i omrdet omkring en elektrisk ladning er et elektrisk felt. Det elektriske felt har en srlig simpel form i nrheden af en ladning, der sidder p en genstand med meget lille udstrkning. Sdan en ladning kalder man sommetider for en punktladning, idet man s forestiller sig, at ladningen praktisk taget ingen rumlig udstrkning har. Vi ser nu p det elektriske felt fra en punktiadning Q. En anden punktiadning q vil i dette felt blive pvirket af en elektrisk kraft. Denne kraft kaldes coulombkraften F. Hvis afstanden fra q til Q er lig med r, vil strrelsen af F vre givet ved4

11

k IlC IQ~qI 2

r

4~i~e~

i

IQ~qI 2r=

hvor k~

=

8,99~ iO~ N~m2

Nm2

er coulombkonstanten, og hvor e~

8,85~ 1012

er vacuumpermittiviteten. Hvis

Q

og q har

samme fortegn, er kraften F p q rettet bort fra Q. Med enhedsvek toren.4

rettet fra F

Q

mod q, kan vi skrive F p formen

12

Q~qr r2 r

1 Q~qr 4ire~ r 2 r

.1,

Figur 1.1 illustrerer, hvordan F pvirker q. P figuren sidder ladningerne p genstande med en vis rumlig udstrkning. Det viser sig, at formel 1.2 glder med god tilnrmelse, bare ladnin gerne sidder p genstande, der er sm i forhold til afstanden r mellem dem.F~-

Figurl.1 Kraften Fp ladningen q i det elektri ske felt fra Q. P tegnin gen har Qog qsamme fortegn.Elektrisk felt og feitlinier

Q

i 29

Til at beskrive det elektriske felt fra ladningen den elektriske feltstyrke E ved ligningen 1.3 E~=~ q

Q,

indfrer man

4

Forestiller vi os, at vi er i et punkt i det elektriske felt, hvor feltstyrken er E, vil kraften F p en ladning i dette punkt vre givet ved 1.4 F=qE

Sammenligner vi 1.2 med 1.4, ser vi, at den elektriske feltstyrke E fra en ladning Q i punktet P p figur 1.1 kan skrives 15 Ek~2~f

1

Qr

hvor r er vektoren fra ladningen Q til punktet P. Feltstyrken E er rettet bort fra Q, hvis Q er positiv og ind mod Q, hvis Q er negativ. Et elektrisk felt kan frembringes af andre og mere indviklede fordelinger end en enkelt punktiadning Q. Men uanset hvordan det elektriske felt er frembragt, definerer man den elektriske feltstyrke E ved ligningen 1.3. En ladning q i et punkt med den elektriske feltstyrke E, er derfor pvirket af en kraft F = q E.

1.6

Elektrisk feitstyrke Hvis den elektriske ladning q i et punkt er pvirket af den elektriske kraft F, defineres den elektriske feltstyrke Ej dette punkt ved ligningen E= F q N C

P figur 1.3 ender p neg ethvert punk feitlinierne an en lille elektr qogsvre~ F=q~E.Hvi q er negativ, Felterne p fi er feltlinierne affeitstyrken i rer, at det elel af modsatte og uden for homogent.

Sl-enheden for elektrisk feitstyrke er iflge 1.6 givet ved 1.7 [Ej=

Af formel 1.5 fremgr det, at feltstyrken E fra en punktiadning Q ikke afhnger af ladningen q. Feitstyrken E i et punkt P afhnger kun af ladningen Q og af afstanden fra P til Q. Uanset hvordan et elektrisk felt er frembragt, afhnger den elektriske feitstyrke E i et punkt P udelukkende af de ladninger, der frembringer feltet og af Ps position i forhold til disse ladninger. Vi kan f et overblik over et elektrisk felt ved at tegne feitlinier. P figur 1.2 har vi tegnet feitlinier fra n punktladning. Hvis vi ser p to punktladninger, der er lige store og med modsatte fortegn, kan man tegne feitlinier som p figur 1.3.

i 30

Elektriske felter

a

b

Rgur 1.2 Feltlinier fra en punktiadning. a: Nr Q er positiv, er E rettet bort fra Q. b: Nr Q er negativ, er E rettet ind mod Q.

Figur 1.3 Det elektriske felt fra to lige store lad ninger med modsatte for tegn.

P figur 1.3 ser vi, at feitlinier begynder p positive ladninger og ender p negative ladninger. Feitlinierne er tegnet, s tangenten i ethvert punkt er parallel med det elektriske felt E, og pilene p feitlinierne angiver retningen af E. Det betyder, at hvis vi anbringer en lille elektrisk ladning q i det elektriske felt, s vil kraften F p q ogs vre parallel med tangenten til feitlinien. Det flger af, at F = q E. Hvis q er positiv, peger kraften i pilens retning, og hvis q er negativ, er kraften modsat rettet pilen. Felterne p figur 1.2 og 1.3 er strkest nr ved ladningerne. Her er feitlinierne tegnet tttest. Et felt, hvor strrelsen og retningen affeitstyrken er konstant, kaldes et homogentfelt. Figur 1.4 illustre rer, at det elektriske felt mellem to parallelle plader med ladninger af modsatte fortegn er nsten homogent. Ved pladernes kanter og uden for pladerne bliver feltet svagere, og det er her ikke homogent.

Figur 1.4 Det (nsten) homogene elektriske felt mellem to parallelle og modsat ladede plader.Elektrisk felt og feitlinier

i 31

Den elektriske kraft F p en ladning q er nsten konstant og har samme retning, uanset hvor imellem pladerne q befinder sig. Kraften er rettet mod den negative plade, hvis q er positiv, og mod den positive plade, hvis q er negativ. Bde i de eksempler, vi har set p i dette afsnit, og i alle andre tilflde glder det, at de elektriske feltlinier altid begynder p positive elektriske ladninger og ender p negative elektriske lad ninger. 1.8 Elektriske feitlinier Elektriske feitlinier begynder altid p positive elektriske ladninger og ender altid p negative elektriske ladninger.

Frst b 12 cm).

E1

=

Feltstyr

E2

Det skal understreges, at elektriske feltlinier er et hjlpemiddel til at f et overblik over det elektriske felt E, specielt i et omrde, hvor E varierer. P figurerne i dette afsnit kunne vii hvert tilflde have tegnet frre eller flere feltlinier, eller eventuelt andre feltlinier. Blot skulle feltlinierne tegnes, s tangenten overalt har samme retning som den elektriske feltstyrke og s feltliniernes tthed er strst, hvor feltstyrken er strst.1.9 Eksempel: Det elektriske felt fra en punktladning Vi ser p situationen p figur 1.1. Antag, at ladningen Q har strrelsen Q = 1,0 nC, og at P ligger i afstanden r = 10 cm fra Q. Iflge formel 1.5 har feltstyrken E i P strrelsen2 10 C 9,O.1O2~ C2 (10 cm)2 Vi har her benyttet, at = Feltstyrken E har retning bort fra Q. Hvis vi anbringer en ladning med strrelsen q = 0,2 nC i bliver kraften F p q af strrelsen

Den sai E= Anbrin den v F=

IEI

=

8,gg.1o9~L.

N

2 ElektrisliEn elektrisk bde en kine Genstanden~ 2.1Eeie~

~.

IFl

=

q~iEi

=

0,2nC9,0102~= 1,8~107N

Kraften p q har retning bort fra Q. 1.10 Eksempel: Det elektriske felt fra to punktladninger De to ladninger er p henholdsvis Q1 = 10 nC og Q2 = 10 nC, og de er anbragt 25 cm fra hinanden. Vi indlgger et koordinatsystem som vist p figur 1.5.

P figur 2.1 i et elektrisl~ energi i puni

Y

(9 cm, 12 cm)

q

.

3 nC

(25 cm, 0) lOnG lOnC

x

Figur 1.5

i 32

Elektriske felter

Frst beregner vi den elektriske feltstyrke i punktet P 12 cm). Feltstyrken fra ladningen Q1 er:

=

(9

cm,

(

9\

lOnC ~12)(2,4~ kc225cm2 15

k\3,2~

Feitstyrken fra Q2 er: (i 6N lOnC ~ 12) /1,8~ E2=k 400cm2 20 =1\. 1,3~ Den samlede feltstyrke fra Q1 og Q2 bliverE= E1+E2=

~1,9~)=

f4,2~

Anbringer vi nu en elektrisk ladning q den vre: F= q.~=(1~310N \~5,7 106N

3 nC i P, vil kraften p

2 Elektrisk potentiel energi og elektrisk potentialEn elektrisk ladet genstand, der befinder sig i et elektrisk felt, har bde en kinetisk energi Ekifl og en elektrisk potentiel energi ~ Genstandens samlede elektriske energi Eelek er: 2.1Eelek

Ek~fl + E~01

P figur 2.1 ser vi p en genstand med ladning q, der befinder sig i et elektrisk felt. Vi betegner genstandens elektrisk potentielle energi i punkterne A og B med E~0~ (A) og E~0~ (B).

Elektrisk felt

Figur 2.1 Den elektri ske ladning q befinder sig i et elektrisk felt.

Elektrisk potentiel energi og elektrisk potential

i 33

Vi forestiller os nu, at ladningen q bliver flyttet fra A til B. Tabet i elektrisk potentiel energi under flytningen bliver: 2.2 tab i elektrisk potentiel energi=

2.8

Eksemi

E~0~ (A)

E~0~ (B)

Figur 2 Symbol elektris

Tabet i elektrisk potentiel energi pr. ladning kaldes det elektriske spndingsfald (eller potentialfald) UAB fra A til B*. 2.3 Elektrisk spndingsfald Det elektriske spndingsfald fra A til B er givet ved UAB

E~0~ (A) q

E~0~ (B)

P samme mde som man i Jordens tyngdefelt m vlge et nulpunkt for en genstands potentielle energi i tyngdefeltet, m man vlge et nulpunkt for en elektrisk ladnings potentielle energi i et elektrisk felt. Vi betegner nulpunktet for den elektrisk potentielle energi med 0. Idet vi holder nulpunktet 0 fast, defineres den elektriske spnding (ogs kaldt det elektriske potential) VA i et punkt A som spndingsfaldet fra A til 0: 2.4 VA=

Forbinc med p1 V, dvs.AO

Forbin viser d U0~Vi

UAO

Da 0 er nulpunkt for den elektrisk potentielle energi, glder E~0~(O) 0, og vi fr ved brug af 2.3, at den elektriske spnding i A er givet ved 2.5 VA=

har Ser vir hvor e energi E~0~ E~0~

E~0~ (A) q

Det giver flgende sammenhng mellem potentiel energi og poten tial (eller spnding): 2.6 Elektrisk potentiel energi og potential Den elektrisk potentielle energi E~0~ (A) af en genstand med ladningen q, der befinder sig i punktet A, er E~01 (A)=

3 HOfllOg~Fi ur 3 i illi ladede pladl

q~ VA

Det fremgr af 2.6, at nulpunktet 0 for den potentielle energi ogs er nulpunkt for potentialet, idet ~ = 0. Sammenholder vi 2.4 med 2.3, kan vi udtrykke spndingsfaldet UAB ved spndingerne VA og VB p flgende mde: 2.7 UABVAVB

Det elektriske spndingsfald omtales ogs i Fysikkens Verden 1, kap. 7.

I det homo,

i 34

Elektriske felter

2.8

Eksempel: Potential og potentiel energi i et kredslb Figur 2.2 viser diagrammet over et elektrisk kredslb. Symbolet ved 0 angiver, at vi har valgt 0 som nulpunkt for den elektrisk potentielle energi.

Figur 2.2 I dette simple kredslb har vi valgt 0 som nulpunkt for den po tentielle energi.

Forbinder vi punkterne A og 0 til et voltmeter, s A er forbundet med pluspolen og 0 med minuspolen, vil voltmetret vise 0,45 V, dvs. UAO=O,45V eller VA=O,45V

Forbindes voltmetrets pluspol med 0 og minuspolen med B, viser det 4,55 V, hvilket vil sige U05=

4,55V

eller

V~

=

4,55V

Vi har her brugt, at (i05 = U50. Det flger umiddelbart at 2.3. Ser vi p en elektron i kredslbet, har denne ladningen q = e, hvor e er elementarladningen. Elektronens elektrisk potentielle energi i punkterne A og B fr vi vha. 2.6 til:

EPOt(A) E~0~(B)

= =

e~VA

= =

e~V5

1,6021019C~0,45V = 7,21020J 1,60210 19C~4,55V = 7,3~1019J

3 Homogent elektrisk teltFigur 3.1 illustrerer et homogent elektrisk felt mellem to elektrisk ladede plader.Figur 3.1 Homogent elektrisk felt mellem to ladede plader. Ude til hjre er der indtegnet en x-akse. Det kan vre praktisk at bruge denne akse, nr man foretager beregninger i det homo gene felt.

I det homogene felt er der overalt samme elektriske feltstyrke E.Homogent elektrisk felt

i 35

En genstand med ladningen q i det homogene felt er pvirket af den konstante kraft 3.1 FqE

Den potenti er iflge 2.6 3.8 3.9 E~01Eksem

Flytter vi genstanden fra punktet A til punktet B, skal vi udfre arbejde Aydre p genstanden (ydre hentyder til, at vi forestiller os, at kraften, der flytter genstanden, har sin oprindelse uden for det elektriske felt). For at flytte genstanden skal vi pvirke den med en kraft F. Vi fr derfor, at

Mellen elektrit E er eminus, Som vi energi

3.2

Aydre

=

FAB

=

qE~AB

Vi flytter genstanden langsomt, s farten er 0 bde i A og i B. S sker der ingen ndring med den kinetiske energi. Det ydre arbejde gr til at ge genstandens elektrisk potentielle energi (sammenlign med situationen, hvor en ydre kraft flytter en genstand i tyngdefel tet). Der glder derfor, at 3.3 Ep0~ (B) E~0~ (A)Aydre

punkt

Det fl

Vi kan nu specielt forestille os, at vi har valgt B til at vre nulpunkt for den potentielle energi, dvs. B = 0. S er Aydre = E~0~ (A), og vi fr vha, formel 3.2, at 3.4 E~(A)=

qEAO

Sammenholder vi dette med 2.3 og 2.6, fr vi flgende resultat. 3.5 Potential og spndingsfald i homogent felt Det elektriske potential VA i punktet A i et homogent elektrisk felt med feltstyrken E er givet ved VA=EAO hvor 0 er nulpunktet for potentialet. Spndingsfaldet UAB fra A til B er givet ved UAB=

Spnd punkt I=

Potenti VA

EAB

For at fa nogle udtryk, det er let at regne med, benytter vi x-aksen p figur 3.1. Vi vlger nu nulpunktet 0 for potentialet p den negative plade. Af 3.5 fr vi s flgende udtryk for potentialet i punktet A: 3.6 VA=

4 Feltet trVi ser p det der sidder elektriske fe Nulpunktet det uendelig punkt P s k punktet P si en genstand Psafstandl eventuelt ek udtryk.

E

hvor x er afstanden fra den negative plade til A, og E er strrelsen af E. Heraf flger, at spndingsforskellen U mellem pladerne er givet ved 37 UE~d

hvor d er afstanden mellem pladerne,

i 36

Elektriske felter

Den potentielle energi af en genstand med ladning q i punktet A er iflge 2.6 og 3.6 3.83.9

E~0~(A)

=

qEx

Eksempel: Beregning af spndingsfald og potential Mellem de to metalpiader p figur 3.2 er der et homogent elektrisk felt med feitstyrke E, hvis strrelse er E = 1,0. i0~ E er ensrettet med pilene, dvs, den har retning fra plus mod minus, vinkelret p pladerne.~.

Som vist p figur 3.2 vlger vi nulpunkt 0 for den potentielle energi p den negative plade. Det elektriske potential VB i et punkt B p den negative plade har iflge 3.5 vrdienV8=

E BO

=

0

Det flger af, at E er vinkelret p BO.

~

_____

____

-

10cm0 ~:~:. ~

Figur 3.2

Spndingsfaldet U fra et punkt A p den positive plade til et punkt B p den negative plade bliver iflge 3.7 E.d= 1,0 10~ O,lOm= 10. 10~ V Potentialet p den positive plade er lig med U:VA=U=

1,O104v

4 Feltet fra en punktladningVi ser p det elektriske felt fra en punktiadning Q. Dvs, en ladning, der sidder p en genstand med lille rumlig udstrkning. Det elektriske felt er illustreret p figur 4.1. Nulpunktet for potentialet for en punktladning vlges normalt i det uendeligt fjerne. P grund af feltets symmetri vil potentialet i et punkt P s kun affinge afPs afstand r fra ladningen. Potentialet i punktet P skrives derfor p formen V(r). Den potentielle energi af en genstand med ladningen q i punktet P afhnger ogs kun af Ps afstand fra Q, og den betegnes med E~0~ (r). Man kan vise (se eventuelt eksempel 4.2), at V(r) og E~0~ (r) er givet ved flgende udtryk.

Feltet fra en punktladn ing

i 37

eller, E~0~ Vi ber 4.2, s~ givet pvirk med a AYd Figur 4.1 Det elektriske felt fra en punktladning. Med uAYd

P

4.1

Potential og potentiel energi i feltet fra en punktiadning Potentialet i det elektriske felt fra en punktladning Q i afstanden r fra punktiadningen er

Dette AYd Ved ir

V(r) k~ 4n~0 Q C r ~ r

Den potentielle energi af en genstand med ladningen q, der befinder sig i afstanden r fra punktiadningen Q, erE~0~(r)=

r Vedb 2.5 fr E~0 Erstat

k~~r

qQ

=

______ ..--

i qQ 4~i~~ r

Nulpunktet for potentialet og den potentielle energi er i det uendeligt fjerne.

4.2

Eksempel: Beregning af potential og potentiel energi for en punktiadning Vi ser p figur 4.2 p punktladningen Q. I punktet P anbringer vi en genstand med ladning q, og vi vil beregne den elektrisk potentielle energi af q i punktet P. Figur 4.2 Vi forestiller os, at ladningen q fres fra P og til det uendeligt fjerne. P figuren flyttes q det lille stykke dri af standen rfra 0.

4.3

I

P-.-

q dr-~-

__~.

ladning Q

-~

Vi forestiller os nu, at vi med en ydre kraft flytter q fra P til det uendeligt fjerne. Det arbejde Aydre, der herved udfres p q bliver til en tilvkst af qs elektrisk potentielle energi. Hvis E~01 (cc) betegner qs potentielle energi i det uendeligt fjerne, glder alts: E~01(oc)

E~01(r0)

Aydre

Eksen Vi vil i tom. I regne og 4). sig til vil he statioi vi bru elektr foreta han u ved, ~ vil vi, troner fr, ei bestei melle vores

i 38

Elektriske felter

eller, da vi har valgt E~0~ (oa) E~0~(r0)=

=

0:

Aydre

Vi beregner nu Aydre: For at flytte q det lille stykke dr p figur 4.2, skal vi udfre arbejdet Fdr, hvor F er coulombkraften givet i formel 1.2. Vi fr dette udtryk for arbejdet, da vi skal pvirke q med kraften Ffor at flytte den. Det samlede arbejde med at flytte q fra P til oa bliver00

Aydre=f

Fdr

Figur 4.1 Det elektriske felt fra en punktladning.

Med udtrykket 1.2 for F fr vi 00 qQ Aydre = k~,

.)ro

Dette integreres tilq.Q]00

k0~---9 r0

Aydre

=

+ [ko.

r

r0

Ved indsttelsen af integralets grnser har vi benyttet, at r *0 for r*ooAydre

Ved benyttelsen af dette udtryk for 2.5 fr vi flgende resultater: E~0~(r0)=

og ved benyttelse af

k0~2, r0

V(r0)

=

k0-9 r0

Erstatter vi her r0 med r, fr vi resultaterne i 4.1.

4.3

gur 4.2 Vi forestiller at ladningen q fres iP og til det uendeligt rne. P figuren flyttes q lille stykke dr i af tnden rfra Q.

Eksempel: De stationre tilstande i brintatomet Vi vil i dette eksempel se p de stationre tilstande i et brinta tom, I virkeligheden skal man regne kvantemekanisk, nr man regner p forholdene i et atom (se Fysikkens Verden 2, kap. 3 og 4). Det viser sig, at man alligevel i visse tilflde kan regne sig til korrekte resultater med den klassiske fysiks formler. Vi vil her tage udgangspunkt i udtrykket for energierne af de stationre tilstande i brintatomet. Med dem som grundlag vil vi bruge den klassiske fysiks formler til at beregne radierne i elektronens baner i de stationre tilstande. De beregninger, vi foretager i dette eksempel, blev frst udfrt af Niels Bohr, da han udarbejdede sin atommodel omkring 1913. Selv om vi nu ved, at man strengt taget ikke kan tale om en elektrons bane, vil vi, ligesom Niels Bohr dengang gjorde, regne som om elek tronen bevger sig i cirkler omkring protonen. Resultatet, vi fr, er korrekt i flgende forstand: Ser vi p et brintatom i en bestemt stationr tilstand, vil den mest sandsynlige afstand mellem elektronen og protonen vre givet ved den radius, vores beregning giver.

Feltet fra en punktiadning

i 39

Til er stte elektron Figur 4.3 En elektron med farten v i cirkelbe vgelse omkring en proton. Protonen har ladnin gen +e, og elektronen har ladningen e.

Heraf r

Elektronen er pvirket at coulombkraften F, der er rettet ind mod protonen. Strrelsen af F er

IFl

=

k~

hvor r er cirkelbevgelsens radius. Da elektronen udfrer en cirkelbevgelse med F som centripetalkraft, glder (se kap. 3, afsnit 2)

IFI=m~r hvor me er elektronens masse, og v er farten i cirkelbevgelsen. Stter vi de to udtryk for IFl lig med hinanden, fr vi2 2

Viser ppri atomE vrdi cirkel bev mers

kc~~-=me~_

r2

r

Heraf ser vi, at elektronens kinetiske energi erEk~fl=

~mev2

=

Iflge 4.1 er elektronens potentielle energi lig med E~0~

5 kvipoPa figur 5. der er ensrc langs den i5.1 zi(

e2 k~ r

Elektronens totale energi er derforEmok=

Ekfl+EPOI

=

~k~~- k0~r r

og da E er

dingsfaidet

Emek

Vi ser heraf, at energien er bestemt alene af banens radius. Fra Fysikkens Verden 2, kap. 3 ved vi, at energien kun kan antage ganske bestemte vrdier E~, der er givet ved

hcR n2

n=1,2,3,...0

hvor h er Plancks konstant, Rydbergs konstant.

er lysets hastighed og R er

i 40

Elektriske felter

Til energien E~ svarer en radius r~. Vi kan beregne r~ ved at stte E~ lig med E: En elektron vi cirkelbe mkring en pro nen har lacinin ig elektronen gen e.

hcR n2

=

~k~ r~

Heraf flger, at r~= k~-e2 2hcR2

)n =2

=

4

Figur 4.4 Elektronba ner i brintatomet. Vi ser, at r~ er proportional med n2. Elektronen er derfor tttest p protonen, nr atomet er i grundtilstanden, hvor n = 1. Hvis atomet ansls (exciteres) ges energien, og n antager n af vrdierne n = 2,3,4,... Svarende hertil bevger elektronen sig i cirkelbaner med strre afstande fra protonen. For store vrdier bevger elektronen sig langt vk fra protonen. Energien nr mer sig nul, hvis n vokser mod uendelig.

5 kvipotentialfiaderP figur 5.1 ser vi p spndingsfaldet AU langs den lille vej Ar, der er ensrettet med en feltlinie. Da E kan betragtes som konstant langs den lille vej Ar, fr vi vha. 3.5, at 5.1 AU=E~Ar og da E er ensrettet med Ar, glder, at E Ar = 1E1 IAn. Spn dingsfaldet langs en feitlinie i feitliniens retning er alts positivt.

Figur 5.1 Feltstyrken E er ensrettet med det lille stykke Ar p en feltlinie.kvipotentialflader

141