Elektromágneses terek (VIHVMA08) jegyzet

az Elektromágneses inverz és optimalizálási feladatok anyagrészhez

Bilicz Sándor

2019.

Tartalomjegyzék

1. Inverz feladatok 11.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Gyengén meghatározott inverz feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Regularizálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Dimenziókontroll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Additív büntetofüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Illusztratív példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Optimalizálási feladatok 112.1. Klasszikus optimalizálási algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Modern optimalizálási algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Példák valóságos optimalizálási és inverz feladatokra 173.1. Mikrohullámú eszköz optimalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Örvényáramú roncsolásmentes anyagvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Inverz feladatok

Az eddig tárgyalt elektromágneses feladatok közös vonása, hogy ismert forráseloszlás(töltés- és áramsuruség) és adott konfiguráció (geometria, anyagparaméterek) mellettkellett meghatározni a kialakuló elektromágneses mezot. Az ilyen típusú feladatokatnevezhetjük az elektromágnesesség direkt problémájának.

A gyakorlatban azonban számos esetben a feladatkituzés fordított: ismert (pl. meg-mért) elektromágneses mezo mellett kérdés az a forráseloszlás és/vagy konfiguráció,amely az adott mezot hozza létre. Az ilyen kituzésu – a természetes ok-okozati viszonytvisszafejteni kívánó – feladatokat az elektromágnesesség inverz problémáinak nevez-zük.

Tipikus, inverz feladatra vezeto alkalmazások pl. a tomográfiás vizsgálat (az éloszervezet különbözo elektromágneses tulajdonságú szöveteirol való képalkotás, egykülso forrás által keltett hullám transzmissziójának alapján) vagy a roncsolásmentes

1

anyagvizsgálat (pl. örvényáramok keltésével a vizsgált vezetoképes mintában). Más tu-dományterületeken is számos inverz feladat merül fel, pl. a geofizikában a föld ásványkincs-eloszlásának rekonstrukciója akusztikus mérések alapján.

Amint azt látni fogjuk, az inverz feladatok megoldása általában – bizonyos értelem-ben – sokkal „nehezebb”, mint a direkt feladatoké. Ennek precíz megfogalmazására sorkerül az 1.2. részben.

Az inverz feladatoknak az itt bemutatottnál természetesen sokkal mélyebb elméleteés tárgyalása is létezik. Az érdeklodo Olvasó számára kiindulási pontként ajánlhatókpl. a [1] és a [2] könyvek.

1.1. Alapfogalmak

A direkt és az inverz feladatok formális megfogalmazásához tekintsünk eloször egy ob-jektumot (egy fizikai rendszert), amely a vizsgálatunk tárgya. Például legyen ez egysztatikus (idoben állandó), térbeli töltéseloszlás egy homogén, ismert permittivitású,végtelen térben.

Modell, modelltér. Az objektum egyértelmu leírását adja egy modell, amelyet x jelöl atovábbiakban. A modell lehet egy függvény, egy vektor vagy egy skalár. A töltéseloszlástegy skalár-vektor függvény, a térfogati töltéssuruség írja le. A szóba jöheto modellekösszessége az X modelltér, amely egy absztrakt tér:

x ∈X .

Ugyanazon objektumnak több, ekvivalens leírása is lehetséges. Ha bármely x ∈X mo-dellhez kölcsönösen egyértelmuen hozzárendelheto egy x ′ ∈ X ′ modell, akkor az X

és X ′ modellterek ekvivalensek. Például bizonyos feltételek mellett a helyfüggo térfo-gati töltéssuruségnek képezheto a térbeli (háromdimenziós) Fourier-transzformáltja,amely a töltéssuruségnek az eredetivel ekvivalens leírását adja.

Adat, adattér. Az objektumot leíró fizikai törvények minden x ∈X modellhez egyet-len, ún. adatot rendelnek, amely megfigyelheto, méréssel hozzáférheto. Az adatot yjelöli, amely lehet függvény, vektor vagy skalár. Egy adott objektum esetén többnyiretöbbféle választás is lehetséges arra nézve, hogy mit tekintünk adatnak. A töltéselosz-lás esetén adat lehet pl. a térerosség vektora vagy csak a nagysága a hely függvényében,vagy akár a skalárpotenciál. Az Y adattér szintén absztrakt tér, és az összes szóba jö-heto x ∈X modellhez tartozó y adatokat tartalmazza:

y ∈Y .

Direkt feladat. A modell és az adat közötti kapcsolatot formálisan a direkt operátorrallehet leírni:

y =Dx, x ∈X .

A D operátor jelenthet egy egyszeru függvénykapcsolatot, de akár egy bonyolult diffe-renciálegyenlet-rendszert (Maxwell-egyenletek) is. A direkt operátor kiértékelése egykonkrét x esetén a direkt feladat. Ez az elektromágnesességben mindig egyértelmuen

2

megteheto, elvi akadályok nélkül elvégezheto feladat. Nagyon gyakran valamilyen nu-merikus szimulációt (pl. végeselem-módszer) tekintjük a direkt feladat megoldásának;szokás azt mondani, hogy a direkt operátort a szimuláció realizálja.

Inverz feladat. Az inverz feladat a D operáció „megfordítását” jelenti: az adattér va-lamely adott y eleméhez kell megtalálnunk a modelltér x elemét:

x : x ∈X , y =Dx (1)

azaz a keresett x modell éppen az adott y-t eredményezi a direkt operátoron keresztül.Az ilyen kituzésu feladat gyökeresen különbözik a direkt feladattól, elofordulhat, hogyegyáltalán nincs is megoldása, vagy éppen több egyenértéku megoldása van.

Azonban az inverz feladat megoldásának e definíciójával szemben komoly aggály,hogy a megfigyelt adat elkerülhetetlenül zajjal terhelt. Legyen y = y +ν a zajjal terheltadat, ahol ν a véletlen zaj egy realizációja. Ebben az esetben az inverz feladat megol-dását az (1) egyenletnél enyhébb alakban definiáljuk:

x = argminx∈X

‖y −Dx‖ (2)

azaz x a modelltér azon eleme, amely a megfigyelt y adathoz „legközelebbi” adatoteredményezi a direkt operátoron keresztül. A továbbiakban a mérési zaj jellemzésévelvagy kezelésével nem foglalkozunk, és az egyszeruség kedvéért nem fogjuk haszni a yjelölést, ugyanakkor feltételezzük (ha csak nem hangsúlyozzuk az ellenkezojét), hogyaz adat zajjal terhelt.

Példa Tekintsünk egy gömbszimmetrikus térfogati töltéseloszlást: ρ = ρ(r ), ahol ra centrumtól való távolság (a gömbi koordináta-rendszer radiális koordinátája). Az εpermittivitás az egész térben konstans, továbbá tudjuk, hogy a 0 ≤ r ≤ R intervallumonkívül a töltéssuruség zérus (1. ábra). Ideális, zajmentes mérés segítségével rendelkezé-sünkre áll a villamos térerosség E(r ) nagysága az a ≤ r ≤ b intervallumon (R < a).

a bR

ρ

0

rE(r)

1. ábra. Elektrosztatikai példa: gömbszimmetrikus töltéseloszlás keltette elektromostérerosség.

Ebben a feladatban az X modelltér lehet pl. a [0,R] intervallumon korlátos függvé-nyek halmaza (de ennél szigorúbb feltételt is szabhatunk), azaz X egy függvénytér. Azadattér szintén egy függvénytér. (Az elektrosztatikai ismereteink alapján szabhatnánkfeltételeket E(r )-re is, de itt ez nem lényeges.) A direkt feladat egyszeruen megoldha-tó az elektrosztatika Gauss-tétele alapján. Mivel a villamos térerosség vektorának csakradiális komponense lesz, amely csak r -tol függ, ezért erre felírhatjuk, hogy

4r 2πE(r ) = Q

ε,

3

ahol a Q össztöltés:

Q =R∫

0

ρ(z)4z2πdz.

Átrendezés után a direkt operátor:

E(r ) =Dρ(z) ≡R∫

0

z2

εr 2ρ(z)dz. (3)

Ez a formula valóban egyértelmuen kiértékelheto bármely korlátos és integrálható ρ(z)függvény mellett. Azonban ha a kapcsolódó inverz feladatot tekintjük (azaz ρ(z) meg-határozását E(r ) ismeretében), akkor rögtön látszik, hogy a feladat megoldása nemegyértelmu: végtelen sok ρ(z) töltéssuruség-függvény létezik, amelyek azonos Q össz-töltést adnak és így azonos térerosséget hoznak létre. Ha ρ(z)-t tekintjük ismeretlen-nek, akkor a (3) formula egy elsofajú Fredholm-integrálegyenlet. A következo szakasz-ban bemutatjuk, hogy az ilyen típusú egyenletekkel megfogalmazott feladatok továbbiproblémákat is felvetnek.

1.2. Gyengén meghatározott inverz feladat

Az inverz feladatok egyértelmu megoldása gyakran elvi akadályokba ütközik, amint aztaz elobbi példában is láttuk. Matematikai szakkifejezéssel gyengén meghatározott (ill-posed) feladatoknak nevezzük azokat a feladatokat, amelyek a következo feltételek leg-alább egyikét nem teljesítik:

1. a megoldás létezik (egzisztencia):

∃x ∈X : y =Dx, ∀y ∈Y ; (4)

2. a megoldás egyértelmu (unicitás)

y =Dx1 =Dx2 ⇒ x1 = x2, ∀y ∈Y ; (5)

3. az x megoldás folytonosan függ y-tól:

‖y − y ′‖→ 0 ⇒ ‖x(y)− x(y ′)‖→ 0. (6)

Azokat a feladatokat, amelyek mindhárom feltételt kielégítik, jól meghatározott (well-posed) feladatoknak nevezzük. A fenti definíciót Hadamard fogalmazta meg, ezért szo-kás a (4)-(6) feltételeket a jól meghatározottság Hadamard-féle feltételeinek is nevezni.

A fizikában eloforduló direkt feladatok jól meghatározottak, azonban az inverz fel-adatok szinte mindig gyengén meghatározottak.

Megjegyezzük, hogy ha D egy lineáris operátor (azaz Dc1x1 + c2xx = c1Dx1 +c2Dx2, ∀x1, x2 ∈X , és ∀c1,c2 ∈R), akkor

• az elso feltétel (4) ekvivalens azzal, hogy y eleme az operátor képterének: y ∈ImD;

• a második feltétel (5) ekvivalens azzal, hogy az operátor magterében csak a mo-delltér nulleleme szerepel: KerD = 0.

4

Példa Vizsgáljuk meg az elobbi elektrosztatikai inverz feladatot Hadamard feltételeialapján. Az elso feltétel teljesül, hiszen minden, az adattérben szereplo E(r ) térerosség-függvényhez található egy megoldás a következo módon:

ρ(r ) = ρ0 = 3εE(r )r 2

R3,

azaz az R sugarú gömbön belül konstans töltéssuruséget tételezünk fel.A megoldás egyértelmusége már nem teljesül, hiszen létezik olyan nemzérus töl-

téssuruség függvény, amelyhez zérus térerosség tartozik (ti. ha a Q össztöltés zérus:

0 =R∫0ρ(r )4r 2πdr = 0). Ezt hozzáadva egy valamilyen módon megtalált megoldáshoz,

egy újabb, az eredetivel ekvivalens megoldáshoz jutunk, tehát a megoldás nem egyér-telmu.

Valamivel körülményesebb belátni, hogy a megoldás nem is folytonos. Legyen ρ(r )egy talált megoldás és legyen ρ′(z) = ρ(r )+C sin(pr ), ahol C és p valós paraméterek.Tartozzék tehát E(r ) a ρ(r ) függvényhez, azaz

E(r ) =R∫

0

z2

εr 2ρ(z)dz,

és legyen E ′(r ) a ρ′(r ) modellhez tartozó adat:

E ′(r ) =R∫

0

z2

εr 2ρ′(z)dz = E(r )+

R∫0

z2

εr 2C sin(pz)dz.

Képezzük E ′(r ) és E(r ) különbségének valamilyen (pl. Euklideszi) normáját:

‖E ′(r )−E(r )‖ =∥∥∥∥∥∥

R∫0

z2

εr 2C sin(pz)dz

∥∥∥∥∥∥ . (7)

Ez a kifejezés zérushoz tart, ha p →∞ (ez belátható az ún. Riemann-Lebesgue lemmaalapján, de a Parseval-tétel segítségével is). Ugyanakkor nem tart zérushoz a ‖ρ′(r )−ρ(r )‖ =C‖sin(pr )‖ kifejezés, tehát a folytonosság (6) szerinti feltétele sérül. Ez a meg-állapítás igaz minden olyan inverz feladatra, amely elsofajú Fredholm-integrálegyenletkéntfogalmazható meg. #

1.3. Regularizálás

Az inverz feladatok megoldásához meg kell küzdeni a többnyire jelen lévo gyengénmeghatározottsággal. Az ezt célzó eljárásokat – amelyek igen sokfélék – közösen azinverz feladat regularizálásának nevezzük. A regularizáció során mindig valamilyen,a keresett megoldással kapcsolatos elozetes ismeret vagy feltételezés, ún. a priori in-formáció figyelembe vétele történik. A következokben a regularizációs módszerek kétlegfontosabb és legszerteágazóbb családját tekintjük át.

5

1.3.1. Dimenziókontroll

Az inverz feladat megoldását gyakran jelentosen egyszerusíti (még ha a gyengén meg-határozottságot meg nem is szünteti), ha a megoldást nem egy végtelen dimenziós X

függvénytérben, hanem egy véges dimenziós X térben keressük. A keresési tartományilyen leszukítését dimenziókontrollnak nevezzük. A leggyakrabban a következo eljárá-sok használatosak.

1. Az x(r ) megoldás véges bázisban való keresése:

x(r ) =N∑

i=1xi bi (r ),

ahol az N darab bi (r ) bázisfüggvény rögzítése után az N elemu [x1, x2, . . . , xN ]együttható-vektor meghatározása a feladat.

2. Az x(r ) megoldás paraméterezése, azaz valamilyen véges számú paraméterrelrendelkezo függvényosztály kiválasztása után ezen paraméterek megtalálása afeladat. Ilyen függvényosztály lehet pl. az x(r ) = A exp(αr ) függvények (az A és αvalós paraméterekkel) vagy az x(r ) = A[ε(r −B)−ε(r −C )] típusú, háromparamé-teres (ε az egységugrás-függvény) függvények osztálya.

3. Dimenziókontrollnak nevezik azt a módszert is, amikor az inverz feladat meg-oldását a (2) optimalizálási feladat definiálja, azonban az optimalizálást elorerögzített, véges számú lépés után be kell fejezni. A keresés tehát itt az eredeti,végtelen dimenziós X függvénytérben történik, de véges sok lépésben.

1.3.2. Additív büntetofüggvény

A regularizálás másik, igen elterjed módszere a fentebb megfogalmazott (2) optimali-zálási feladat módosításán alapszik. Az x megoldás (2) szerinti definíciója helyett le-gyen a regularizált inverz feladat megoldása a következo:

x? = argminx∈X

(‖y −Dx‖+αF x)

, (8)

ahol 0 < α < ∞ valós, az ún. regularizációs paraméter, F pedig egy funkcionál (azazfüggvényekhez skalár értéket hozzárendelo leképezés), amely a megoldással kapcsola-tos eloismereteinket vagy elvárásainkat testesíti meg. Az αF x tagot együttesen addi-tív büntetofüggvénynek nevezzük, mert az F funkcionál a legkisebb értéket a számunk-ra leginkább kívánatos vagy legindokoltabban feltételezheto megoldáshoz rendeli, azettol való eltérést „bünteti”. Például ha fizikai megfontolások alapján tudjuk, hogy azx? megoldás az r változó „sima” függvénye, akkor az F funkcionálra egy lehetséges

választás: F x =∥∥∥∥dx

dr

∥∥∥∥.

Az α paraméter választásánál kompromisszumot kell kötnünk:

• nagy értéku α nagy hangsúlyt ad az a priori információnak, így esetleg a tényle-gesen rendelkezésre álló y adathoz való huséget csökkenti;

• kis értéku α esetén viszont a regularizálás nem hatékony.

Az additív büntetofüggvénnyel történo regularizálás alapgondolatát Tikhonov fo-galmazta meg, ezért szokás ezt a módszert Tikhonov-regularizációnak is nevezni [3].

6

1.3.3. Illusztratív példa

A dimenziókontrollt és az additív büntetofüggvényt együttesen is alkalmazhatjuk in-verz feladatok regularizálására. Tekintsünk egy véges hosszúságú, q(x) vonalmenti töl-téseloszlást a 0 ≤ x ≤ l tartományon, amelynek ϕ(x) potenciálterét az a ≤ x ≤ b tarto-mányon mérjük, a 2. ábrán láthatóan. A közeg levego. A megoldandó inverz feladat amért potenciálfüggvény alapján a töltéssuruség-függvény meghatározása.

x

ϕ(x)q(x)

0 l a b

2. ábra. Véges hosszú vonaltöltés és az általa keltett potenciál mérésének helye.

A direkt feladat megoldása formulával megadható, azaz a töltéssuruségbol (modell)a potenciál (adat) kifejezheto. A vonaltöltést ponttöltések sokaságára bontva és ezekhatását szuperponálva adódik, hogy

ϕ(x) = k

l∫0

1

x −x ′ q(x ′)dx ′ (a ≤ x ≤ b), (9)

ahol k = 1/(4πε0) konstans. Vegyük észre, hogy ez a kifejezés a (3) egyenlethez hason-lóan egy elsofajú Fredholm-integrálegyenlet, mivel a q(x) függvény az ismeretlen,ϕ(x)pedig adott.

Elso lépésben regularizáljuk az inverz feladatot dimenziókontroll alkalmazásával.

a) Osszuk fel a vonaltöltést gondolatban N egyforma szakaszra, és közelítsük a kere-sett töltéssuruséget szakaszonként konstans értékkel. Bevezetve N számú vi (x)bázisfüggvényt (i = 1,2, . . . , N ) úgy, hogy

vi (x) =

1 x ∈ [i -dik szakasz];0 egyébként,

(10)

a töltéssuruség közelítése

q(x) ≈N∑

i=1ci vi (x), (11)

amelyben keresendok a bázisfüggvények ci együtthatói. Ezzel visszavezettük aq(x) függvényre értelmezett (végtelen dimenziós) inverz feladatot a [c1,c2, . . . ,cN ]együtthatók meghatározásának N -dimenziós inverz feladatára. A keresett függ-vény szakaszonként folytonos közelítését a 3. ábra illusztrálja.

b) A dimenziókontroll további lehetoségei kínálkoznak a (11) közelítésbol kiindul-va: a bázisfüggvényeket nemcsak szakaszonként konstans értékunek, hanem pl. ateljes tartományon értelmezett harmonikus függvényeknek is választhatjuk. A (11)kifejezés célszeru átírásával ez a

q(x) ≈ c0 +N∑

i=1

[c A

i cos(2πi x/l )+ cBi sin(2πi x/l )

](12)

alakú Fourier-polinomként írható, amelyben 2N+1 meghatározandó együtthatószerepel.

7

1. 2. 3. i. N.

∆x

q(x)

x

0 l

3. ábra. Vonalmenti töltéssuruség szakaszonként konstans közelítése.

Bármelyiket is választjuk a dimenziókontroll fenti lehetoségei közül, a feladat végesszámú együttható kiszámítása. Ehhez a potenciálfüggvényt a megadott intervallum-ban megmérjük, de ezt a mérést természetesen csak véges M számú pontban tudjukvégrehajtani. A potenciál x j ( j = 1,2, . . . , M) pontokban mért értékeit a (9) egyenletjobb oldalával egyenlové téve, illetve a töltéssuruség (11) szerinti kifejezését az integ-randusba írva és felhasználva az integrálás tagonkénti elvégezhetoségét, a következolineáris egyenletrendszerhez jutunk:

ϕ(x1)ϕ(x2)

...ϕ(xM )

︸ ︷︷ ︸

ϕ

=

= k

∫ l

0

1

x1 −x ′ v1(x ′)dx ′∫ l

0

1

x1 −x ′ v2(x ′)dx ′ · · ·∫ l

0

1

x1 −x ′ vN (x ′)dx ′∫ l

0

1

x2 −x ′ v1(x ′)dx ′∫ l

0

1

x2 −x ′ v2(x ′)dx ′ · · ·∫ l

0

1

x2 −x ′ vN (x ′)dx ′

.... . .

...∫ l

0

1

xM −x ′ v1(x ′)dx ′∫ l

0

1

xM −x ′ v2(x ′)dx ′ · · ·∫ l

0

1

xM −x ′ vN (x ′)dx ′

︸ ︷︷ ︸

D

c1

c2...

cN

︸ ︷︷ ︸

c

.

(13)

Abban az esetben, ha N < M , az egyenletrendszer túlhatározott; a minimális négyzetesközéphibát adó megoldása a

c = argminc

∣∣ϕ−Dc∣∣2 (14)

alakban írható, és zárt alakban ki is fejezheto a Gauss normálegyenlettel:

c = (DTD)−1DTϕ. (15)

Azonban az invertálandó DTD mátrix jellemzoen rosszul kondicionált, ami azzal jár,hogy az inverzében igen nagy mátrixelemek is elofordulhatnak. Következésképpen amért ϕ potenciálvektor kis megváltozása is a rekonstruált töltéssuruség jelentos vál-tozását okozhatja. Ez egy gyakorlati következménye annak a ténynek, hogy az inverzfeladat megoldása nem stabilis Hadamard feltételei szerint.

8

Most alkalmazzuk az additív büntetofüggvény módszert is, arra az esetre, amikor afenti a) pont szerint szakaszonként konstans függvényekkel közelítjük a keresett töltés-suruséget. Követlejük meg a keresett függvény „simaságát” abban az értelemben, hogyaz

r q =l∫

0

(dq

dx

)2

dx (16)

funkcionál értéke kicsi legyen. Mivel a q(x) függvényt szakaszonként konstans függ-vénnyel közelítjük, ezért a fenti funkcionál a (11) közelíto összegre nem értelmezett,ezért a funkcionál alábbi intuitív közelítésével élünk:

r ' rN =N−1∑i=1

(ci+1 − ci

∆x

)2∆x. (17)

Ez mátrix alakban a következoképpen írható:

rN = |Rc|2 , (18)

ahol

R = 1p∆x

−1 1 0 0 · · · 0

0 −1 1 0 · · · 0...

. . . . . ....

0 0 · · · −1 1 00 0 0 · · · −1 1

(19)

Az additív büntetofüggvény módszer e mátrix alakú megfogalmazásban azt jelenti, hogya (15) egyenletben szereplo kifejezést a (18) kifejezéssel egyidejuleg minimalizáljuk, az-az a (15) probléma helyett a

c∗ = argminc

(∣∣ϕ−Dc∣∣2 +α |Rc|2

)(20)

minimalizálást végezzük el. Ennek szintén létezik zárt alakú megoldása:

c∗ = (DTD +αRTR)−1DTϕ. (21)

Ebben az invertálandó DTD +αRTR mátrix a pozitív α paraméter megfeleloen nagyértékure választásával jól kondicionálttá teheto, egyszersmind a töltéssuruségre kapottközelítés (a (11) egyenlet a c∗ együtthatókkal) „simává” válik. Azonban α növelése azadathuséget rontja.

A következokben az α paraméter hatását illusztráljuk úgy, hogy a mért ϕ potenci-álvektort egy adott töltéssuruséghez tartozó pontosϕ potenciálvektor és az azt terheloadditív ν zajvektor összegének tekintjük:

ϕ=ϕ+ν. (22)

A zajvektor egy zérus középértéku, σ szórású, normális eloszlású, a különbözo mérésipontokban egymástól független véletlen zajnak egy realizációja. A 4. ábrán a töltés-suruség-rekonstrukció eredménye látható α különbözo értékei mellett, ha a zaj szórásmindig σ= 10−2.

9

0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Toltessuruseg (α=0.001)

x

q(x

)

valodi

rekonstrualt

1.5 2 2.5 3−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

Potencial

x

φ(x

)

(a)

0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Toltessuruseg (α=5e−07)

x

q(x

)

valodi

rekonstrualt

1.5 2 2.5 3−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

Potencial

x

φ(x

)

(b)

0 0.5 1−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Toltessuruseg (α=1e−09)

x

q(x

)

valodi

rekonstrualt

1.5 2 2.5 3−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

Potencial

x

φ(x

)

(c)

4. ábra. Vonalmenti töltéssuruség rekonstrukciója az α regularizációs paraméter kü-lönbözo értékei mellett. Ugyanazon zajjal terhelt potenciálvektorból kiindulva igenkülönbözo eredmények születnek. Az (a) esetben α túl nagy, ezért a megoldás inkább„sima”, semmint hu a mért adathoz. A (c) esetben α túl kicsi, így az additív bünteto-függvény módszer nem regularizál hatásosan. A (b) esetben α megfelelonek látszik.

10

2. Optimalizálási feladatok

Ahogyan azt láttuk, a regularizált inverz feladat gyakran optimalizálási (minimumkere-sési) feladatként fogalmazható meg: a mért adat és a direkt operátor kimenete közöttikülönbséget kell minimalizálni a direkt operátor bemenetének (a modellnek) a legjobbmegválasztásával. Az inverz feladatok mellett az optimalizálás számos más területenis fontos szerepet játszik a villamosmérnöki gyakorlatban (pl. valamilyen elektromág-neses elven muködo eszköz bizonyos szempontból legjobb kialakítása, megtervezése).Ebben a fejezetben ennek az igen szerteágazó tudományterületnek egy nagyon váz-latos áttekintését szeretnénk adni, egy lehetséges szempontrendszer szerint. Az átte-kintés messze nem teljes és általános, a fo cél csak az alapfogalmak és a legfontosabbmódszerek alapötleteinek az ismertetése. Az érdeklodo Olvasónak ajánljuk pl. a [4] iro-dalmat.

Formálisan az optimalizálási feladatot a következoképpen fogalmazhatjuk meg:

x = argminx∈X

f (x),

úgy, hogy g j (x) ≤ 0 ( j = 1,2, . . . ,m)

és lk (x) = 0 (k = 1,2, . . . , p).

(23)

Az f egy skalár értéku, ún. célfüggvény, x egy N elemu vektor (modellvektor) amely azN -dimenziós X modelltér eleme, x pedig az optimális modellvektor. A fenti optima-lizálási probléma ún. feltételes (constrained) optimalizálási feladat, amely m számúegyenlotlenség-feltétellel és p számú egyenloség-feltétellel rendelkezik. Az f , g j és lk

függvények bármelyike lehet lineáris vagy nemlineáris. Nem minden optimalizálásifeladathoz szabnak meg feltételeket, ekkor feltétel nélküli (unconstrained) feladatrólbeszélünk. Ebben a rövid áttekintésben nem foglalkozunk azzal, hogy a különbözo op-timalizálási módszerekben hogyan célszeru a megszabott feltételek érvényesítése.

Számos esetben több célt kell egyidejuleg szem elott tartani, azaz több célfüggvénytkell egyszerre minimalizálni. A legegyszerubb megközelítésben képezhetjük az egyescélfüggvények súlyozott összegét, és az így alkotott célfüggvényt kell minimalizálnunk.Ugyanakkor léteznek olyan optimalizálási módszerek, amelyek egyidejuleg több cél-függvényt is kezelni tudnak (multiobjective optimisation). Azonban ilyen módszerek-kel itt nem foglalkozunk.

Az optimalizálási módszerek tára mára már igen boséges. Egy lehetséges szempontaz eszközök megkülönböztetése a „klasszikus” és a „modern” módszerek közé való be-sorolás. Itt klasszikusnak tekintjük azokat a módszereket, amelyek valamilyen végesszámú lépésben befejezheto algoritmus vagy egy konvergens iteráció alapján muköd-nek. Ezeket a módszereket évtizedek óta használják. Sok klasszikus eljárás esetén szük-séges a célfüggvény parciális deriváltjait is ismerni. A modern módszerek közé soroljukazokat az eljárásokat, amelyek valamilyen heurisztikát alkalmaznak egy – többnyire kö-zelíto – optimum megtalálására. Ezek a heurisztikák igen változatosak lehetnek, aho-gyan azt látni fogjuk. A modern optimalizálási algoritmusok dönto többsége az 1990-esévek után született – amikor a számítástechnika fejlodése rohamossá vált –, és az ilyenmódszerek elmélete még ma is élo, intenzíven kutatott tudományterület.

11

2.1. Klasszikus optimalizálási algoritmusok

A klasszikus módszereken belül szokás megkülönböztetni a pusztán csak a célfüggvényegyes pontokban felvett helyettesítési értékét felhasználó (ún. direkt) és a parciális de-riváltak értékére is támaszkodó (ún. indirekt) algoritmusokat. Mindkét típus közös vo-nása, hogy szinte kizárólag egy lokális minimum meghatározására alkalmasak, teháttöbb lokális minimum esetén elofordulhat, hogy nem a globális (azaz a ténylegesenkívánt) minimumot találják meg.

Direkt (gradienst nem igénylo, vagy nulladrendu) módszerek A legegyszerubb ilyeneljárás a naiv keresés (exhaustive search, kimeríto keresés), amikor az Xmodelltérbenvalamilyen módon kelloen sok pontot jelölünk ki, pl. egy szabályos rács rácspontjaitvagy egyenletes eloszlással választott véletlen elhelyezkedéssel, és ezen pontok mind-egyikében kiértékeljük a célfüggvényt. Az optimalizálási feladat megoldása az az x mo-dell, amelyhez a legkisebb függvényérték tartozik. Ez a naiv megközelítés természete-sen nagyon kevéssé hatékony, ha a célfüggvény kiértékelése nagy számításigényu vagya modelltér dimenziója (N ) magas.

Közismert direkt módszerek az ún. mintakereso (pattern search) algoritmusok. Ezek-nek az iteratív eljárásoknak a lényege, hogy egy megadott kezdopontból indulva, en-nek bizonyos értelemben vett „szomszédait” vizsgálják meg (ahol a szomszédságot egyminta definiálja), és vagy továbbléptetik a mintát ezen szomszédok valamelyikére, vagypedig finomítják azt (az 5. ábra).

Indirekt (gradiens alapú) módszerek Ha könnyen kiszámítható (analitikusan) a cél-függvény gradiense (azaz az egyes változók szerinti parciális deriváltjai), akkor gyakrancélszeru ezeket felhasználni az optimalizálás során. A legegyszerubb gradiens alapúeljárás a Cauchy-módszer (steepest descent, maximális meredekség módszer). Egyadott x1 ∈ X kezdopontból indulva a maximálisan meredek csökkenés irányába (azaz−grad f (x) irányába) lépünk tovább a következo pontba. A megtett lépés hosszát egycélszeruen megválasztott λ1 paraméter határozza meg. Az i -dik lépésben az (i +1)-dikmodellvektor kifejezése:

xi+1 = xi −λi grad f (x)∣∣∣

xi. (24)

A λi paraméter lépésrol lépésre változhat, esetleg egy lépésen belül is kipróbálhatótöbb érték – erre számos stratégia létezik, ezekkel azonban itt nem foglalkozunk. Haa célfüggvény kelloen sima, akkor a módszer konvergál egy lokális minimumhoz vagyegy stacionárius ponthoz. A Cauchy-módszer egy elsorendu algoritmus, mert csak azelso parciális deriváltak ismeretét igényli. Ezzel szemben a Newton-módszer másod-rendu: a célfüggvény H Hesse-mátrixa alapján számítjuk ki a következo kiértékelési

12

pontot az iteráció során. A második deriváltakat tartalmazó Hesse-mátrix értelmezése:

H =

∂2 f

∂x21

∂2 f

∂x1∂x2. . .

∂2 f

∂x1∂xN

∂2 f

∂x2∂x1

∂2 f

∂x22

. . .∂2 f

∂x2∂xN...

. . ....

∂2 f

∂xN∂x1

∂2 f

∂xN∂x2. . .

∂2 f

∂x2N

.

Ezzel az iterációs szabály a következo:

xi+1 = xi −λi

(H

∣∣∣xi

)−1

grad f (x)∣∣∣

xi. (25)

A módszer lényege, hogy a célfüggvényt másodfokú felülettel közelítjük az aktuális ki-értékelési pont közelében és ennek a másodfokú felületnek a minimumhelye felé lé-pünk tovább (λi = 1 esetén éppen ebbe a pontba lépnénk, azonban a konvergenciagyorsítása érdekében valamilyen más, 0 <λi < 1 választással élünk).

A Cauchy és a Newton-módszerek egyaránt lokális optimalizálási algoritmusok, az-az a célfüggvény globális minimumának megtalálására nem feltétlenül alkalmasak. Egyadott optimalizálási feladat megoldására gyakran több eljárás kombinációját használ-ják: például naiv kereséssel közelítoleg többnyire meghatározható a modelltérnek az atartománya, ahol a globális minimum várható, ezek után egy lokális kereso algoritmustcélszeru indítani ennek a tartománynak egy vagy több pontjából.

13

5. ábra. Mintakeresés minimalizálás (pattern search) egymás utáni lépései kétváltozósesetben. A célfüggvényt a szintvonalaival ábrázoltuk. Ha a kereszt négy végpontjánakvalamelyikében kisebb függvényértéket kap az algoritmus, mint a kereszt középpontjá-ban, úgy ebbe a „kedvezobb” pontba mozgatja a keresztet. Ellenkezo esetben a keresztméretét csökkenti. (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Direct_search_BROYDEN.gif)

14

2.2. Modern optimalizálási algoritmusok

Az itt modernnek nevezett algoritmusok többségében közös, hogy a természeti világjelenségeit utánozni próbáló heurisztikákon alapszanak. Csak a legelterjedtebb mód-szerek igen vázlatos – gondolatébreszto – ismertetésére szorítkozunk, az érdeklodo Ol-vasónak pl. a [4] muvet ajánljuk.

Genetikus algoritmusok (GA) A biológiai egyedek evolúciós fejlodésének mechaniz-musát másolják a genetikus algoritmusok, amelyeket ezért szokás evolúciós algoritmu-soknak is nevezni. A modelltér valamely elemét, az x modellvektort egyednek nevez-zük. Az egyedek egy adott számú halmaza a populáció. Az iteratív optimalizálás so-rán újabb és újabb generációkat hoznak létre: egy egyedbol mutációval vagy két egyedkeresztezésével. A kiválasztás (szelekció) során csak azokat az egyedeket tartják mega populációban, amelyekhez tartozó célfüggvény (amit itt szokás fitnesz-függvénynekis nevezni) érték kielégít valamilyen feltételt (pl. kisebb, mint egy eloírt érték); a többiegyedet megsemmisítik. Az egyedeket létrehozó muveleteket sztochasztikus szabályokszerint alkalmazzák, és gyakran a szelekció során is sztochasztikus feltételt érvényesí-tenek. A generációk egymás utáni létrehozása addig tart, amíg egy bizonyos leállásifeltétel (pl. több generáción át csak igen kis változás az aktuálisan legkisebb függvény-értékben) nem teljesül. A genetikus algoritmusok globális optimalizációra alkalmasak,azaz gyakorlatilag a globális minimumhoz konvergálnak. Elvileg természetesen sem-milyen algoritmusról nem jelentheto ki, hogy tetszoleges célfüggvény esetén alkalmasannak globális minimumának megtalálására véges sok lépésben. A genetikus algorit-musok hátránya, hogy igen sokszor kell a célfüggvényt kiértékelni, ami esetenként el-fogadhatatlanul idoigényessé teszi az optimalizálást.

Simulated Annealing (SA, szimulált lágyítás) A fémek atomjai olvadt állapotban sza-badon mozoghatnak, a homérséklet csökkenésével pedig mozgásuk egyre helyhez kö-töttebbé válik, megindul a kristályrácsba rendezodés. A lehulés sebességétol függoenaz elrendezodés lehet jó közelítéssel szabályos (lassú huléskor), vagy kristályhibákkalsurun terhelt, szabálytalan is (gyors huléskor). Az utóbbi esetben a végállapothoz na-gyobb belso energia tartozik, mint a szabályos kristályrács esetén, azonos homérsékle-ten. Az energiaminimumra törekvés elve alapján a fém az alacsonyabb belso energiájúállapot elérésére törekszik; ennek az elvnek a másolásával lehetséges az optimalizálásifeladatokat a lehulési folyamat szimulációja segítségével megoldani. A modelltér egyeselemeit (a modellvektorokat) azonosíthatjuk a fématomok egy konkrét elrendezodésé-vel (állapotával), a hozzájuk tartozó célfüggvény értékeket pedig megfeleltethetjük azadott atomelrendezodéshez tartozó belso energiával. Egy véletlenszeruen választottkezdeti állapotból indulva a további állapotok – modellvektorok – sztochasztikus sza-bály alapján követik egymást a szimuláció során. Ennek a sztochasztikus szabálynaka kulcsa a Boltzmann-eloszlás, amely kapcsolatot teremt egy rendszer homérsékleteill. egy adott belso energiájú állapot elérésének valószínusége között.

A szimulált hutést elsosorban akkor alkalmazzák, ha eloírt idon belül vagy eloírtszámú célfüggvény-kiértékelés mellett kell egy közelíto optimumot találni. Elvileg azalgoritmus végtelen lépésszámig történo futtatásával – bizonyos feltételek mellett – aziteráció a globális minimumhoz tart.

15

Particle Swarm Optimisation (PSO) Erre az algoritmusra nincs még magyar elne-vezés, az angol név fordítása: részecskesokaság-optimalizálás. A módszer másolniigyekszik a rajban vagy bolyban élo élolények (rovarok, bizonyos madarak) ún. raj-intelligenciáját. Durván megfogalmazva: a raj egyedei a saját intelligenciájuk melletttámaszkodnak a társaik által megosztott információra is, ill. ok maguk is megosztjákérzékeléseik, információjuk bizonyos részét a közösséggel. Az egyedek viselkedését(pl. mozgásuk sebességét és irányát) tehát befolyásolja a teljes közösség tudása. A PSOmódszer egy ún. viselkedésalapú optimalizálási módszer, szemben az evolúciós algo-ritmusokkal (pl. GA): az egyedek nem önmagukban kívánják elérni a „leheto legjobb”tulajdonságokat, hanem céljuk a raj egészének bizonyos értelemben optimális muköd-tetése. Egy optimalizálási feladat megoldásakor a modelltér elemei (a modellvektorok)azonosíthatóak egy raj egyedeivel. A raj minden egyedéhez hozzárendelheto egy po-zíció és egy fiktív sebesség. Ha a raj összes egyedére kiértékeljük a minimalizálandócélfüggvényt, akkor alkotható olyan szabály, amely az egyes egyedek pozícióját és fik-tív sebességét úgy változtatja, hogy a raj egésze a célfüggvény globális minimuma felémozduljon.

Helyettesíto modellek A fent tárgyalt modern optimalizálási eljárások közös hátul-ütoje, hogy a célfüggvényt sokszor kell kiértékelni (a modelltér dimenziójától függoensok ezer, tízezer kiértékelés is szükséges lehet, pl. egy genetikus algoritmus esetén).Elképzelhetoek azonban olyan célfüggvények, amelyek kiértékeléséhez egy bonyolultelektromágneses szimulációt kell végrehajtani, amely perceket, órákat vesz igénybe.Ekkor nyilvánvalóan csak nagyságrendileg kevesebb célfüggvény-hívás engedheto megaz optimalizálás során. Az ilyen esetekben célravezeto lehet az eredeti f (x) célfügg-vény helyett annak valamilyen f (x) helyettesíto modelljével dolgozni, amely viselke-dése jól közelíti az eredeti függvényét, de kiértékelése sokkal kevésbé számításigényes.Ilyen helyettesíto modelleket igen sokféleképpen elo lehet állítani, pl. n számú f (xi )(i = 1,2, . . . ,n) kiértékelésre támaszkodva egy polinomiális közelítést vagy egy nem pa-raméteres interpolációt alkalmazva. Utóbbira egyszeru példa a radiális bázisfüggvé-nyek alkalmazása:

f (x) ' f (x) =n∑

i=1λi b(|x−xi |), (26)

ahol b(h) egy elore megválasztott bázisfüggvény (pl. b(h) = exp[−(h/η)2] az η paramé-terrel), az n számú λi együttható pedig abból a feltételbol határozható meg, hogy f (x)interpolátor legyen, azaz f (xi ) = f (xi ) teljesüljön minden i = 1,2, . . . ,n mellett.

Az egyszeruen kiértékelheto f függvényen olyan optimalizálási eljárás is futtatható,amely sok függvénykiértékelést igényel. Léteznek olyan módszerek, amelyek a minta-vételi pontok n számát adaptívan növelik annak érdekében, hogy f minél jobban meg-közelítse f -et. A helyettesíto modellekkel történo optimalizáció kutatása is igen gyor-san fejlodo tudományterület; mi itt ennek további lehetoségeivel nem foglalkozunk.

16

3. Példák valóságos optimalizálási és inverz feladatokra

3.1. Mikrohullámú eszköz optimalizálása

Tekintsük a 6. ábrán látható mikrohullámú polarizációforgatót. Két egyforma, koaxi-ális, de a hossztengely körül egymáshoz képest 90 -kal elforgatott, téglalap kereszt-metszetu csotápvonalat (WG1 és WG2) köt össze az l hosszúságú polarizációforgató.A mikrohullámú technikában ezt az eszközt gyakran alkalmazzák pl. akkor, ha egy an-tennát különbözo tápvonalakon érkezo jelekkel kell egyszerre táplálni. A tervezési fel-adat a következo: az l , r , h és d geometriai paramétereket válasszuk meg úgy, hogy az1. csotápvonalban érkezo, T E10 módusú hullám a ν= (21. . .24)GHz frekvenciasávban−35 dB-nél kisebb reflexiót szenvedjen a polarizációforgatónál, azaz a R(ν) < −35dBteljesüljön a frekvenciasáv egészén.

Egy lehetséges tervezési heurisztika az, hogy a frekvenciasávot egyenletesen fel-osztjuk k számú frekvenciaponttal, és az itt értelmezett reflexiók átlagát igyekszünkminimalizálni, azaz a célfüggvényünk:

f (l ,r,h,d) = 1

k

k∑i=1

R(νk )[dB ]. (27)

Az Xmodelltartomány 4 dimenziós; az egyes geometriai paraméterekre nyilvánvalóankorlátokat kell megszabnunk (amelyek esetleg függhetnek a többi paraméter értéké-tol), azaz egy feltételes optimalizálási feladattal állunk szemben. Célunk tehát a fentdefiniált f függvény minimalizálása, azonban leállási feltételként azt célszeru meg-szabnunk, hogy

R(νi ) <−35dB (28)

teljesüljön minden i = 1,2, . . . ,k-ra. Ha találunk egy olyan [l ,r,h,d ] modellvektort,amelyre ez igaz, úgy a feladatot megoldottuk.

6. ábra. Polarizációforgató perspektivikus és metszeti rajza a geometriai paraméterek-kel.

Az optimalizálás nehézségét most leginkább az adja, hogy az f célfüggvény egyet-len kiértékeléséhez k számú numerikus térszámítási feladatot kell megoldanunk, hi-szen a bonyolult geometria nem teszi lehetové a reflexiós tényezo analitikus kiszámí-tását. Erre a célra alkalmazható pl. a végeselem módszer. A célfüggvény kiértékelése

17

azonban k értékétol függoen akár néhányszor tíz perc is lehet egy átlagos számítógé-pen.

További gond, hogy a célfüggvény gradiense nem számítható analitikusan, így agradiens alapú módszereket vagy el kell vetnünk, vagy pedig numerikusan (differencia-hányados segítségével) kell a gradienst közelíteni, ami további számításigényt támaszt.

Célszerunek látszik pl. az f függvény valamilyen helyettesíto modelljének megal-kotása és használata az optimalizálás során.

3.2. Örvényáramú roncsolásmentes anyagvizsgálat

Roncsolásmentes anyagvizsgálati módszer minden olyan eljárás, amellyel célunk va-lamely anyag tulajdonságainak vizsgálata – bármilyen visszafordíthatatlan elváltozásokozása nélkül. Mivel ez a gyakorlatban szélesköruen felmerülo igény, ezért ma márszámos roncsolásmentes anyagvizsgálati technika létezik. Nagy csoportot alkotnak azelektromágneses elvu módszerek, ezen belül pedig igen jelentosek az örvényáramo-kat felhasználó eljárások. Az örvényáramú anyagvizsgálati módszert használják többekközött atomreaktorok hocseréloinek ellenorzésére valamint repülogépek külso borítá-sának és a turbinák egyes részeinek vizsgálatára.

A következokben tömören bemutatjuk az örvényáramú anyagvizsgálat alapelvét,különös tekintettel a felmerülo inverz feladatra. A vizsgálat során egy váltakozó áram-mal táplált tekercset mozgatnak a vizsgált vezetoképes mintadarab felszíne felett (7. áb-ra). A tekercs által létrehozott idoben változó mágneses mezo a mintadarabban ör-vényáramokat kelt – ezek mágneses tere is befolyásolja a tekercsben kialakuló eredomágneses teret. Ha a mintadarabban anyaghiba van jelen, akkor az örvényáramok el-oszlása megváltozik a hibamentes esethez képest, így a vizsgáló tekercs impedanciája– amelyet a vizsgálat során mérnek – is változik, ez a hibadetektálás elve.

Tekercs

Mintadarab

Anyaghiba

Mágneses mezo

Örvényáram-pályák

7. ábra. Az örvényáramú anyagvizsgálat alapelve.

A kapcsolódó inverz feladat legáltalánosabban úgy tuzheto ki, hogy a hibamentesesetben homogén, σ0 vezetoképességu mintadarabban az anyaghiba jelenlétében ki-alakuló σ(r) vezetoképesség-helyfüggvényt keressük. Ehhez ismert a mintadarab ill. agerjeszto tekercs geometriája és a tekercs impedanciaváltozása (a hibamentes esethezképest) M számú, ismert tekercspozícióban. A modelltér tehát egy végtelen dimenziósfüggvénytér, az adattér pedig egy véges dimenziós vektortér lenne. Nem foglalkozunkannak vizsgálatával, hogy az ilyen kituzésu feladat gyengén meghatározott-e. A gya-korlatban az ilyen feladatok megoldása többnyire azért igen nehéz, mert az impedan-ciaváltozás nem pontosan ismert, hanem zajjal terhelt. Bizonyos anyaghibákhoz pedignagyon kis impedanciaváltozás tartozik (tehát kicsi a jel-zaj viszony), így a legnagyobb

18

kihívás a zajos adatból történo anyaghiba-rekonstrukció. Ennek részleteivel azonbanitt nem foglalkozunk.

Az inverz feladat „könnyebben megoldhatóvá” válik az adatot terhelo zaj mellettis, ha regularizáljuk azt. Mi most a dimenziókontroll módszerét alkalmazzuk, azonbelül is a keresett vezetoképesség-helyfüggvény paraméterezésével élünk. Az anyaghi-bát nagyon vékony, zérus vezetoképességu, egymással párhuzamos, sík felületu kép-zodményeknek tételezzük fel (ez bizonyos anyagtudományi megfontolások szerint isindokolt). Jelen esetben két téglalap alakú vékony repedéssel dolgozunk, amelyeketösszesen 8 geometriai paraméter ír le; a mintadarab pedig egy véges vastagságú, nagykiterjedésu fémlemez (8. ábra). A repedések vastagságát zérusnak tekintjük, azonbana térszámítási modellben azt írjuk elo, hogy az áramsuruség normális komponense arepedések felszínén zérus.

r1

r2

b

a

x

yy

zA

d

L1L1

D1

h

B1

L2L2

D2

B2

tekercstekercs

repedés

pásztázott felszín

8. ábra. Az inverz feladat regularizálásához egy 8 paraméteres repedésmodellt defi-niálunk. A tekercsimpedancia-változást egy ekvidisztáns rács M számú rácsponjábanválasztott tekercspozíciókban mérjük.

A regularizálással tehát egy 8 dimenziós vektortér lett a modelltér, a 8. ábra jelölé-seivel:

x = [A,h,B1,B2,L1,L2,D1,D2], x ∈X.

Természetesen minden paraméterre meg kell szabni alsó és felso korlátokat, amelyeket

19

az anyagvizsgálat célja és a mérési elrendezéstol elvárható pontosság alapján válasz-tunk meg.

Az adattér az M számú ∆Z tekercsimpedancia-változásból álló vektorok tere:

y = [∆Z1,∆Z2, . . . ,∆ZM ].

Illusztrációként megrajzoltuk a∆Z tekercsimpedancia-változást a tekercspozíció függ-vényében egy adott anyaghiba esetén a 9. ábrán.

−2−1

01

2

−10

0

100

10

20

30

x (mm)

y (mm)

|∆Z

| (m

Ω)

ad)

(a)

−2−1

01

2

−10

0

10−1

0

1

2

x (mm)

y (mm)

arg∆

Z(r

ad)

(b)

9. ábra. A komplex tekercsimpedancia-változás a tekercspozíció függvényében egyadott anyaghiba esetén.

A regularizált inverz probléma optimalizálási feladatként fogalmazható meg:

x = argminx∈X

|y−Dx|, xi ,mi n ≤ xi ≤ xi ,max , i = 1,2, . . . ,8, (29)

ahol y egy konkrét mérésbol származó impedanciaváltozás-vektor, a D operátor pedigazt a numerikus szimulációt reprezentálja, amely az x modellvektorral leírt anyaghiba-konfigurációhoz megadja az okozott tekercsimpedanica-változást. Ez a numerikus szi-muláció többnyire igen számításigényes. Elterjedten alkalmazzák az integrálegyenle-tek módszerét, a végeselem módszert ill. esetleg ezek kombinációját. A (29) optima-lizálási feladat megoldása során figyelemmel kell lenni tehát arra, hogy a D operátorkiértékeléseinek száma ne legyen túl magas. Gyakran célszeru a célfüggvényt (vagyakár közvetlenül D-t) helyettesíto modellekkel kiváltani az optimalizálás gyorsítása ér-dekében. Az érdeklodo Olvasónak ajánlható pl. a [5] cikk, amely egy hasonló inverzfeladat megoldására mutat be egy helyettesíto modell alapú optimalizálási eljárást.

Irodalomjegyzék

[1] Albert Tarantola. Inverse problem theory and methods for model parameter est-imation. SIAM, 2005.

[2] Jérôme Idier, ed. Bayesian approach to inverse problems. Wiley, 2008.

[3] Andrey Tikhonov. “Regularization of incorrectly posed problems”. In: Soviet. Ma-th. Dokl. 4 (1963), pp. 1624–1627.

[4] Singiresu S. Rao. Engineering optimization: theory and practice. Wiley, 2009.

20

[5] Sándor Bilicz et al. “Characterization of a 3D defect using the Expected Impro-vement algorithm”. In: COMPEL: The International Journal for Computation andMathematics in Electrical and Electronic Engineering 28.4 (2009), pp. 851–864.

21