30
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Ö retim üyesi: Doç. Dr. S. Özo uz Tel: 285 36 19 e-posta: ozoguz@ itu.edu.tr Ders saati: Pazartesi, 10.00-13.00 / D-5107 çindekiler 1. Devre teorisi, toplu parametreli devreler, Kirchhoff’un gerilim ve akım yasaları 2. Graf teorisi; temel tanımlar, lineer ba ımsız denklem takımları 3. Bazı 2- ve 3- uçlu devre elemanlari, paralel-seri ba lantı 4. Genel direnç devreleri, Norton ve Thevenin e de er devreleri, lineer olmayan devreler 5. Dinamik devrelere giri ve durum denklemleri 6. RLC ve çok uçlulardan olu mu devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi 7. kinci mertebeden devreler Kaynaklar: 1- Linear and Nonlinear Circuits L.O.Chua, C.A.Desoer, E.S.Kuh 1987-Mc Graw Hill 2- Devre Analizi Dersleri Kisim I Prof. Dr. Yilmaz Tokat 1986-Çaglayan Kitapevi 3- Elektrik Devrelerinin Analizi Prof. Dr. Cevdet Acar 1995-I.T.U Elektrik-Elektronik Fak. 4- Electric Circuits J.W.Nilsson 1994-Adison-Wesley-literature 5- Analysis of Linear Circuits Clayton R.Poul- Mc Graw Hill 6- M. H. Rashid, ”SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice”, Prentice-Hall, 1995, New Jersey.

elektrik devre temelleri-s.özoğuz-itü-

Embed Size (px)

Citation preview

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ

Öğretim üyesi: Doç. Dr. S. Özoğuz

Tel: 285 36 19 e-posta: ozoguz@ itu.edu.tr

Ders saati: Pazartesi, 10.00-13.00 / D-5107

İçindekiler

1. Devre teorisi, toplu parametreli devreler, Kirchhoff’un gerilim ve akım yasaları

2. Graf teorisi; temel tanımlar, lineer bağımsız denklem takımları

3. Bazı 2- ve 3- uçlu devre elemanlari, paralel-seri bağlantı

4. Genel direnç devreleri, Norton ve Thevenin eşdeğer devreleri, lineer olmayan

devreler

5. Dinamik devrelere giriş ve durum denklemleri

6. RLC ve çok uçlulardan oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi

7. İkinci mertebeden devreler

Kaynaklar:

1- Linear and Nonlinear Circuits L.O.Chua, C.A.Desoer, E.S.Kuh 1987-Mc Graw

Hill

2- Devre Analizi Dersleri Kisim I Prof. Dr. Yilmaz Tokat 1986-Çaglayan Kitapevi

3- Elektrik Devrelerinin Analizi Prof. Dr. Cevdet Acar 1995-I.T.U Elektrik-Elektronik

Fak.

4- Electric Circuits J.W.Nilsson 1994-Adison-Wesley-literature

5- Analysis of Linear Circuits Clayton R.Poul- Mc Graw Hill

6- M. H. Rashid, ”SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice”, Prentice-Hall,

1995, New Jersey.

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını niceliksel ve niteliksel olarak öngörme akım [A], gerilim [V] Fiziksel devrede elemanların uçlarındaki akım ve gerilim, ölçme elemanlarının koordinatlarına bağlı değil ise devreye toplu parametreli devre denir. Aksi halde devre dağılmış parametreli devre olarak adlandırılır. Toplu parametreli devrede devrenin fiziksel uzunluğu d, işaretin dalga boyundan çok küçük olmalıdır.

d << c/f d=1mm⇒t=10-3/3.108=0,0033 ns Uygulama alanı: Gerilim µV (10-6) MV (106 V)

Akım fA (10-15) MA

Frekans 0 Hz 1GHz (109Hz)

Güç 10-14W 1GW

Tanımlanmamış büyüklükler: Akım i(t) [A] ve gerilim v(t) [V] devre teorisinin tanımlanmamış büyüklükleridir.

Fiziksel devre ve model İşaret üreteci, transformatör, pil, transiztör, direnç gibi elektrik devrelerini oluşturmakta kullanılan aletlerden oluşmuş fiziksel devreye karşı düşen, tanım bağıntıları ile tanımlı ideal devre elemanlarından oluşan model oluşturulur. Devrenin çalışma koşullarına (uygulanan kaynak büyüklükleri, incelemenin yapıldığı frekans aralığı gibi) bağlı olarak aynı fiziksel devreye birden fazla elektriksel model karşı düşebilir. Her model bir yaklaşıklıktır.

Fiziksel model ⇒ Fiziksel elemanlar

Devre modeli ⇒ Devre elemanları (eleman modeli)

Elemanların akım, gerilim yönleri

i1=2mA,

i2= -3mA, v1=3mV=vd1=vd2+3mV

2

1

A

V

+

Uyarma Devresi

v(t)

i(t)

Kirchhoff'un gerilim yasası

n düğümlü birleşik ve toplu parametreli bir devrede herhangi bir

düğümü şekildeki gibi referans seçerek, (n-1) düğüm gerilimi

tanımlayalım.

Kirchhoff'un gerilim yasası (KGY)

vk-j=ek-ej

Kapalı düğüm dizileri için KGY

Tüm kapalı düğüm dizileri için, düğümler arası geriimlerin toplamı

sıfırdır.

Örnek: 1 - 2 - 3 - 1

v12+v23+v31=0

KGY ⇔ kapalı düğüm dizileri için KGY

⇒ 1 - 2 - 3 - 1

v12+v23+v31=(e1-e2)+(e2-e3)+(e3-e1)=0

⇐ v12+v23+v31=0 olsun.

3 düğümü referans ise

v23=e2, v31=-e1, v12+e2-e1=0

v12=e1-e2

Örnek:

vA=v12=e1-e2, vC=v23=e2-e3

2 - 4 - 5 - 2 T:

v24+v45+v52=0 v25=e2-e5=e2, v45=e4

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 v42=e4-e2

Gauss-yüzeyi: Sadece devre elemanlarını birleştiren bağlantıları

kesecek şekilde çizilmiş çift yönlü kapalı yüzey

Kirchhoff'un akım yasası (KAY)

Toplu parametreli devrelerde, tüm Gauss yüzeyleri için, her t

anında, Gauss yüzeyini kesen akımların cebirsel toplamı sıfırdır.

Düğümler için KAY: Bir düğümden çıkan akımların toplamı

sıfırdır.

i1 + i2 - i3 = 0i1

i2 i3

Örnek:

S1: i1+i4+i5+i6=0

S4: -i4-i10-i7=0

S5: -i12-i3-i11-i8-i9=0

KAY ve KGY

- Toplu parametreli devrelerde

- Eleman özelliklerinden bağımsız

- Elde edilen denklemler katsayıları +1, -1 veya 0 olan lineer

denklemler

Graf teorisi

dal ve düğümlerden oluşan topolojik yapı

Uç graf

c

4

3 7 2

5

1 6

a b

d

düğüm sayısı=4 dal sayısı=7

1

2

1

2

+

– v

i

i uygun yön p=v.i

3-uçlu

� � i2 i1

v1 v2 +

– –

+ v2, i2 v1, i1

� �

n-uçlu elemana ilişkin uç grafı

2-kapılılar ve çok-kapılılar

i1 i2

v1 v2 + –

+ –

2

2'

1

1'

1

1'

2

2'

1 2

2-kapılıların uç grafları ayrık

Ancak her ayrık graf aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, birleşik bir

grafa dönüştürülebilir.

Aşağıdaki altdevre hem 2-kapılı, hem de 3-uçlu olarak düşünülebilinir.

i1

v1 + – i2

v2 + –

i3

v3 +

3-kapılı

1

1'

1 3

3'

3 2

2'

2

Verilen bir devrede, her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde

edilen topolojik yapıya devre grafı denir.

Analiz = matematiksel model(ne)+bağlantı denklemleri (ne)

Bağlantı denklemleri: Akım denklemleri+gerilim denklemleri

(Bağlantı denklemleri elemanın cinsine bağlı değil)

Devre grafı: Devre elemanlarının özelliklerine bakılmaksızın

düğümler arasındaki bağlantının mevcut olup olmadığını

belirleyen, yönlendirilmiş doğru parçalarından oluşmuş geometrik

yapı

Graf elemanı: İki düğüm arasındaki bağlantıyı gösteren

yönlendirilmiş doğru parçası

Düğüm: graf elemanının uçları. (küçük harfle gösterilir.)

İlmek: Tek düğümlü graf elemanı

Graf: Aralarında bazılarının ortak noktalarının olduğu sonlu

sayıda graf elemanının oluşturduğu yapı

Derece: bir düğüme bağlı graf elemanı sayısı

δ(di)=4

Ayrık düğüm: derecesi 0 olan düğüm

ne adet eleman ve n adet düğüm içeren bir grafta düğümlere ilişkin

derecelerin toplamı eleman sayısının iki katına eşittir.

di

Alt graf: Bir G grafının bazı elemanlarından oluşmuş yeni grafa

G'nin alt grafı denir.

Yol: G'nin, Gy alt grafı

a) Gy'nin n adet elemanı varsa, düğüm sayısı n+1 'dir

b) Gy'deki düğüm ve elemanlar d1, d2, .. ve e1,e2,.. olarak

numaralandırılırsa, herhangi bir ei elemanının ilişkin düğümler di

ve di+1 olur

c) birinci ve sonuncu düğümlerin dereceleri 1, diğerlerinin 2 dir.

Birleşik graf: Bir grafın herhangi iki düğümü arasında an az bir

yol varsa, bu grafa birleşik graf denir. Aksi halde, grafa ayrık graf

denir.

Parça: Ayrık bir G grafında aralarında en az bir yol bulunan

elemanlardan oluşmuş birleşik altgraflarının aralarında ortak ne bir

eleman, ne bir düğüm varsa, bu alt graflar G'nin parçalarıdır .

Çevre: Bir grafın tüm düğümlerinin derecesi 2 olan birleşik bir alt

grafına çevre denir.

Çevre yönü çizgisi: Çevrenin elemanlarını izleyecek biçimde

çevre içerisinde çizilmiş yönlü eğri.

Ağaç: Birleşik bir G grafının birleşik, G'nin tüm düğümlerini

içeren ve çevre içermeyen alt grafına ağaç denir.

Ağacın elemanlarına dal, ağaç dışı elemanlara da kiriş denir.

1. ne elemanlı ve nd düğümlü bir grafta dal elemanlarının sayısı

nd-1, kiriş elemanlarının sayısı ne-nd+1 dir.

2. Bir ağaç alt kümesinde düğümler arasında bir ve yalnız bir yol

vardır.

3. Seçilen bir ağaçtan sonra geriye kalan kiriş elemanlarının

oluşturduğu kümeye ağaç tümleyeni ya da kirişler kümesi denir.

Temel çevreler kümesi:

ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim.

GT grafının ne-nd+1 kirişinden her biri, sadece GT grafına ait olan

elemanlar (dallar) ile bir çevre oluşturur.

Bu şekilde elde edilen ne-nd+1 çevreye temel çevreler kümesi

denir.

1

12

11

10

5

8 7

2

4 6

9

③ ④ ⑤

⑦ 13

3

Temel çevreler kümesi: {8, 7} {9, 7, 6} {3, 12, 2} {13, 1, 2} {11,10, 12} toplam ne-nd+1=13-7+1=7

Kesitleme: G'nin içindeki bazı elemanlar aşağıdaki özellikleri

sağlıyorsa, bunlara kesitleme kümesi denir.

a) Bu elemanlar graftan çıkarılırsa, graf iki parçaya ayrılır,

b) Bu kümenin hiç bir alt kümesi a) yı sağlamaz.

Düğümlerin bir kısmına A,

diğerlerine B denilsin

(düğüm ayrımlaması).

İki ucu farklı harfli olan

elemanlar bir kesitleme

oluşturur.

Dikkat: Her düğüm ayrımlamasından bir kesitleme elde edilmez.

d3=A, d2=B

Temel Kesitlemeler Kümesi:

ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim.

GT grafının nd-1 dalından her biri, sadece GT' grafına ait olan

elemanlar (kirişler) ile bir kesitleme oluşturur.

Bu şekilde elde edilen nd-1 kesitlemeye temel kesitlemeler kümesi

denir.

2

7 1

6

4 5

8

d5

d4

d1

d2

d3

3

kesitleme yönü

kesitleme çizgisi A

A

B

B

B

Birleşik graf

ne=13 => dal nd-1=7-1=6

nd=7=> kiriş ne-nd+1=7

• Kirişler kümesi GK={3, 4, 5, 8, 9, 11, 13}

• Dallar kümesi GT={1, 2, 6, 7, 10, 12}

{5, 4, 10, 11} bir kesitlemedir

• Düğüm kesitlemesi GDK={1, 2, 3, 4 , 5}

1. numaralı düğüm ayrık parça

Bir G birleşik grafının G1 ve G2 altgrafları aşağıdaki koşulları

sağlıyor ise:

1. G1 ve G2 nin ortak elemanları yok

2. G1 içinde çevre yok (ağaç)

3. G2, G'in herhangi bir kesitlemesine sahip değil (kirişler),

G de bir GT ağacı seçilebilir.

③ ④ ⑤

⑦ 1 13

12 8 7

3

2

6

9 11

10

5

4

1

12

11

10

5

8 7

2

4 6

9

③ ④ ⑤

⑦ 13

3

Graf Matrisleri

1. Temel çevreler matrisi

G (birleşik) grafındaki temel çevreler kümesine ait Bt=[bij] matrisi

bij=0; (devrenin) j. elemanı i. temel çevrede bulunmuyorsa,

bij=1; j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın

yönü çevre yönü ile aynı ise,

bij=-1; j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın

yönü çevre yönüne ters ise,

alınırsa, Bt’ye temel çevreler matrisi denir. (çevre yönü=kiriş yönü)

Bt nin boyutu (ne-nd+1) x (ne)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(8) -1 0 -1 0 -1 1 0 1 0 0

Bt = (9) 0 0 0 -1 1 0 -1 0 1 0

(10) 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1

1444442444443 14243 dallar kirişler Bt = [ B1 M U ] ne-nd+1

123 123 nd-1 ne-nd+1

1

2

6

9

8

3 5 4

7 10

Bt = [ B1 M U ]

Rank {Bt} = ne-nd+1= kiriş sayısı = temel çevre sayısı

2. Temel kesitlemeler matrisi

G grafındaki temel kesitlemeler kümesine ait Qt=[qij] matrisi

qij=0; (devrenin) j. elemanı i. temel kesitlemede

bulunmuyorsa,

qij=1; j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu

elemanın yönü kesitleme yönü ile aynı ise,

qij=-1; j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu

elemanın yönü kesitleme yönüne ters ise,

alınırsa, Qt’ye temel kesitlemeler matrisi denir.

(kesitleme yönü = dal yönü)

7 6

4 5

8 9

3 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(7) 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 Bt = (8) 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 (9) 0 -1 -1 0 -1 0 0 0 1

144424443 14243 dallar kirişler

Qt = [ U M Q1 ] nd-1 123 123

nd-1 ne-nd+1

Q1= -B1T B1= -Q1

T

Özellik: QtBtT=0 ⇔ BtQt

T=0

QtBtT = [U Q1][B1 U]T=[ ]

U

BQU

T1

1

= B1T+Q1

= B1T+( -B1

T) = 0

4

3 7

2

5

1 6

1 2 3 4 5 6 7

(1) 1 0 0 -1 1 0 1 Qt = (2) 0 1 0 -1 1 -1 1 (3) 0 0 1 1 -1 1 0

14243 1442443 dallar kirişler

1 2 3 4 5 6 7

(4) 1 1 -1 1 0 0 0 Bt = (5) -1 -1 1 0 1 0 0 (6) 0 1 -1 0 0 1 0 (7) -1 -1 0 0 0 0 1

14243 142443 B1 U

3. Düğümler matrisi

G grafındaki parçalarından biri tek bir düğüm olan kesitlemeler

kümesi ele alınsın ve kesit yönü tek düğüm olan parçadan diğerine

doğru olsun. Bu kümeye ait A=[aij] matrisi

aij=0; (devrenin) j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde

bulunmuyorsa,

aij=1; j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden

uzaklaşan yönde ise,

aij=-1; j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden

yaklaşan yönde ise,

alınırsa, A’ya düğümler matrisi denir.

� A nın boyutu ( nd ) x ( ne )

c

4

3 7 2

5

1 6

a b

d

1 2 3 4 5 6 7

(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0 (d) 0 -1 -1 0 0 0 -1

4. İndirgenmiş düğümler matrisi, A

A matrisinden bir satır silinerek elde edilen matris

rank A = nd-1

* nd düğümlü birleşik bir grafına ilişkin indirgenmiş düğümler

matrisi, A’nın nd-1 satır ve nd-1 sütunlu altmatrislerinin tekil

olmamaları için gerek ve yeter koşul, bu altmatrislerin sütunlarına

ilişkin elemanların G’nin içindeki bir ağacın dalları olmalarıdır.

A’nın özellikleri:

� A = [ A1 M A2 ] nd-1 ⇒ A1

-1A=QT 123 123 dallar kirişler A1

-1A = [ U M A1-1A2 ] = QT = [ U M Q1 ]

⇒ Q1 = A1-1A2

1 2 3 4 5 6 7

(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0 (d) 0 -1 -1 0 0 0 -1

A = [ A1 M A2 ]

=

−=

01-00

011-1

1011-

A

011

100

001

21A

−−−

== −

0100011

0111100

1011001

010

101

001

AAQ 11t

1 2 3 4 5 6 7

(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0

14243 1442443 dallar (A1) kirişler (A2)

4

3 7

2

5

1 6

1 2 3 4 5 6 7

(1) 1 0 0 -1 1 0 1 Qt = (2) 0 1 0 -1 1 -1 1 (3) 0 0 1 1 -1 1 0

14243 1442443 dallar (U) kirişler (Q1)

Devreler Teorisinin 2. Postülası

G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel çevreler matrisi Bt

G nin elemanlarının gerilimlerinin oluşturduğu vektör, v(t)

Bt v(t) = 0

Bu bağıntıya temel çevre denklemleri adı verilir.

nd=5, ne=8

Bt v(t)=0

1 2 3 4 5 6 7 8

(5) -1 -1 0 0 1 0 0 0

(6) 0 1 0 -1 0 1 0 0

Bt = (7) -1 0 1 0 0 0 1 0

(8) 0 0 -1 -1 0 0 0 1

1442443 1442443 dallar (B1) kirişler (U)

temel çevre denklemleri

(5) -v1(t)- v2(t)+ v5(t) = 0

(6) v2(t)- v4(t)+ v6(t) = 0

(7) - v1(t)+ v3(t)+ v7(t) = 0

(8) - v3(t)- v4(t)+ v8(t) = 0

6

8

7

5

2

4 3

1

v1(t) v2(t) v3(t) v4(t) v(t) = v5(t) v6(t) v7(t) v8(t)

Devreler Teorisinin 3. Postülası

G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel kesitlemeler matrisi Qt

G nin elemanlarının akımlarının oluşturduğu vektör, i(t)

Qt i(t) = 0

Bu bağıntıya temel kesitleme denklemleri adı verilir.

nd=5, ne=8

Qt i(t)=0

1 2 3 4 5 6 7 8

(1) 1 0 0 0 1 0 1 0

(2) 0 1 0 0 1 -1 0 0

Qt = (3) 0 0 1 0 0 0 -1 1

(4) 0 0 0 1 0 1 0 1

1442443 1442443 dallar (U) kirişler (Q1)

temel kesitleme denklemleri

(1) i1(t)+ i5(t)+ i7(t) = 0

(2) i2(t)+ i5(t) - i6(t) = 0

(3) i3(t) - i7(t)+i8(t) = 0

(4) i4(t)+ i6(t)+ i8(t) = 0

i1(t) i2(t) i3(t) i4(t) i(t) = i5(t) i6(t) i7(t) i8(t)

6

8

7

5

2

4 3

1

a b

d c e

Qt=A1-1A olduğundan

Qt i(t) = 0 ⇔ A i(t) = 0

[ ] 0(t)i

(t)iAA

2

121 =

14243 14243 dallar kirişler

Her iki tarafı soldan A1-1 ile çarparsak

[ ] [ ] [ ] =

=

=

−−(t)i

(t)iQU

(t)i

(t)iAAU

(t)i

(t)iAAA

2

11

2

12

11

2

121

11

0==

i(t)Q

(t)i

(t)iQ t

2

1t

1 2 3 4 5 6 7 8

a 1 0 0 0 1 0 1 0 A = b 0 -1 0 0 -1 1 0 0 c 0 0 1 0 0 0 -1 1 d 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 e -1 1 -1 1 0 0 0 0

6

8

7

5

2

4 3

1

a b

d c e

İndirgenmiş düğümler matrisi, A

Düğüm denklemleri, A i(t) = 0

(a) i1(t)+ i5(t)+ i7(t) = 0

(b) - i2(t)- i5(t)+ i6(t) = 0

(c) i3(t)- i7(t)+ i8(t) = 0

(d) - i4(t)- i6(t)- i8(t) = 0

121

1 QAA =

−−

=

−−−

−=−

1010

1100

0011

0101

1010

1100

0011

0101

1000

0100

0010

0001

[ ] [ ] 0(t)iQ(t)i(t)i

(t)iAAU

(t)i

(t)iAAA 11

2

12

11

2

121

11 =+=

=

−−2

1 2 3 4 5 6 7 8

a 1 0 0 0 1 0 1 0 A = b 0 -1 0 0 -1 1 0 0 c 0 0 1 0 0 0 -1 1 d 0 0 0 -1 0 -1 0 -1

1442443 142443 A1 A2

i1(t) i2(t) i1(t) i3(t) i4(t) i(t) = = i5(t)

İ2(t) i6(t) i7(t) i8(t)

−=−

1000

0100

0010

0001

11A

Toplam ani güç özelliği ve Tellegen teoremi

İki farklı D ve D' devresi aynı G grafına sahip olsun.

D grafı D' grafı

Bt v(t) = 0 Bt v'(t) = 0

Qt i(t) = 0 Qt i'(t) = 0

(v(t), i(t) ile v'(t), i'(t) farklı)

Daha açık olarak

[ ] 0(t)v

(t)vUB

2

11 =

[ ] 0

(t)v'

(t)v'UB

2

11 =

[ ] 0(t)i

(t)iQU

2

11 =

[ ] 0

(t)i'

(t)i'QU

2

11 =

v2(t) + B1 v1(t) = 0 v'2(t) + B1 v'1(t) = 0

i1(t) + Q1 i2(t) = 0 i'1(t) + Q1 i'2(t) = 0

v2(t) = -B1 v1(t) v'2(t) = -B1 v'1(t)

i1(t) = -Q1 i2(t) i'1(t) = -Q1 i'2(t)

[ ] =+=

= (t)i(t)v(t)i(t)v(t)i

(t)i(t)v(t)v(t)i(t)v 2

T21

T1

2

1T2

T1

T

v1T(t) [ -Q1i2(t) ] + [ -v1

T(t)B1T ] i2

(t)=

v1T(t) B1

T i2(t) – v1T(t) B1

T i2T(t) = 0 ( Q1 = -B1

T )

yani vT(t)i(t) ≡ 0

Aynı şekilde Q1 ve B1 matrislerine sahip D' grafı için de

v'T(t) i'(t) ≡ 0

vT(t) i'(t) ≡ 0

v'T(t) i(t) ≡ 0

bağıntıları gösterilebilinir.

Buradan aşağıdaki teoremleri yazabiliriz.

Toplam ani güç özelliği

Bir devredeki toplam ani güç

∑=

≡==en

ktp

1)( 0(t)(t)ivi(t)v(t) kk

T

özdeş olarak sıfırdır. Yani üretilen enerji = tüketilen enerji

Telegen teoremi

Grafları aynı olan D ve D' graflarında çapraz ani güçlerin

toplamı özdeş olarak sıfırdır.

p1(t) = vT(t) i'(t) ≡ 0

p2(t) = v'T(t) i(t) ≡ 0

Devreler teorisindeki devrelerin özellikleri

1) Gerilim kaynaklları aralarında çevre oluşturmazlar

2) Akım kaynakları aralarında kesitleme oluşturmazlar.

Bu türden devrelere uygun devreler denir. Aksi halde, devre ancak

uygun kaynak fonksiyonları için kısmen çözülebilir.

Denklem kurma ağacı

Teorem: Uygun ve birleşik bir D devresinin grafı G ise, G'de öyle

bir ağaç seçilebilir ki, bu ağaç tüm gerilim kaynaklarına ilişkin graf

elemanlarını dal olarak içine alır ve tüm akım kaynaklarına ilişkin

graf elemanları bu ağacın dışında kalır.

Bu ağaca denklem kurma ağacı denir.

Denklem kurma ağacı seçilmiş grafa ilişkin denklemler

0

(t)v

(t)v

(t)v

(t)v

U0BB

0UBB

j

k

d

e

2221

1211 =

0

(t)i

(t)i

(t)i

(t)i

QQU0

QQ0U

j

k

d

e

2221

1211 =

şeklinde bölümlendirilebilir.

−=

−=

(t)i

(t)i

QQ

QQ

(t)i

(t)i;

(t)v

(t)v

BB

BB(t)v

(t)v

j

k

2221

1211

d

e

d

e

2221

1211

j

k

Tüm gerilimlere ilişkin v(t) vektörü

−−−−

=

=

=(t)v

(t)v

BB

BB

U0

0U

(t)v

(t)v

(t)v

(t)v

(t)v

(t)vv(t)

d

e

2221

1211

j

k

d

e

2

1

Ayrıca

B11 = -Q11T, B12 = -Q21

T, B21 = -Q12T, B22 = -Q22

T

yardımıyla

(t)vQ

U

(t)v

(t)v

QQ

QQ

U0

0U

v(t) 1T1d

e

T22

T12

T21

T11

=

=

olarak bulunur.

Benzer şekilde

[ ](t)iU

B(t)i

(t)i

U0

0U

QQ

QQ

(t)i

(t)i

(t)i

(t)i

(t)i

(t)ii(t) 2

T1

j

k2221

1211

j

k

d

e

2

1

=

−−−−

=

=

=

olmaktadır.