Upload
teknik-hayat
View
10.499
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ
Öğretim üyesi: Doç. Dr. S. Özoğuz
Tel: 285 36 19 e-posta: ozoguz@ itu.edu.tr
Ders saati: Pazartesi, 10.00-13.00 / D-5107
İçindekiler
1. Devre teorisi, toplu parametreli devreler, Kirchhoff’un gerilim ve akım yasaları
2. Graf teorisi; temel tanımlar, lineer bağımsız denklem takımları
3. Bazı 2- ve 3- uçlu devre elemanlari, paralel-seri bağlantı
4. Genel direnç devreleri, Norton ve Thevenin eşdeğer devreleri, lineer olmayan
devreler
5. Dinamik devrelere giriş ve durum denklemleri
6. RLC ve çok uçlulardan oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi
7. İkinci mertebeden devreler
Kaynaklar:
1- Linear and Nonlinear Circuits L.O.Chua, C.A.Desoer, E.S.Kuh 1987-Mc Graw
Hill
2- Devre Analizi Dersleri Kisim I Prof. Dr. Yilmaz Tokat 1986-Çaglayan Kitapevi
3- Elektrik Devrelerinin Analizi Prof. Dr. Cevdet Acar 1995-I.T.U Elektrik-Elektronik
Fak.
4- Electric Circuits J.W.Nilsson 1994-Adison-Wesley-literature
5- Analysis of Linear Circuits Clayton R.Poul- Mc Graw Hill
6- M. H. Rashid, ”SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice”, Prentice-Hall,
1995, New Jersey.
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını niceliksel ve niteliksel olarak öngörme akım [A], gerilim [V] Fiziksel devrede elemanların uçlarındaki akım ve gerilim, ölçme elemanlarının koordinatlarına bağlı değil ise devreye toplu parametreli devre denir. Aksi halde devre dağılmış parametreli devre olarak adlandırılır. Toplu parametreli devrede devrenin fiziksel uzunluğu d, işaretin dalga boyundan çok küçük olmalıdır.
d << c/f d=1mm⇒t=10-3/3.108=0,0033 ns Uygulama alanı: Gerilim µV (10-6) MV (106 V)
Akım fA (10-15) MA
Frekans 0 Hz 1GHz (109Hz)
Güç 10-14W 1GW
Tanımlanmamış büyüklükler: Akım i(t) [A] ve gerilim v(t) [V] devre teorisinin tanımlanmamış büyüklükleridir.
Fiziksel devre ve model İşaret üreteci, transformatör, pil, transiztör, direnç gibi elektrik devrelerini oluşturmakta kullanılan aletlerden oluşmuş fiziksel devreye karşı düşen, tanım bağıntıları ile tanımlı ideal devre elemanlarından oluşan model oluşturulur. Devrenin çalışma koşullarına (uygulanan kaynak büyüklükleri, incelemenin yapıldığı frekans aralığı gibi) bağlı olarak aynı fiziksel devreye birden fazla elektriksel model karşı düşebilir. Her model bir yaklaşıklıktır.
Fiziksel model ⇒ Fiziksel elemanlar
Devre modeli ⇒ Devre elemanları (eleman modeli)
Elemanların akım, gerilim yönleri
i1=2mA,
i2= -3mA, v1=3mV=vd1=vd2+3mV
2
1
A
V
+
–
Uyarma Devresi
v(t)
i(t)
Kirchhoff'un gerilim yasası
n düğümlü birleşik ve toplu parametreli bir devrede herhangi bir
düğümü şekildeki gibi referans seçerek, (n-1) düğüm gerilimi
tanımlayalım.
Kirchhoff'un gerilim yasası (KGY)
vk-j=ek-ej
Kapalı düğüm dizileri için KGY
Tüm kapalı düğüm dizileri için, düğümler arası geriimlerin toplamı
sıfırdır.
Örnek: 1 - 2 - 3 - 1
v12+v23+v31=0
KGY ⇔ kapalı düğüm dizileri için KGY
⇒ 1 - 2 - 3 - 1
v12+v23+v31=(e1-e2)+(e2-e3)+(e3-e1)=0
⇐ v12+v23+v31=0 olsun.
3 düğümü referans ise
v23=e2, v31=-e1, v12+e2-e1=0
v12=e1-e2
Örnek:
vA=v12=e1-e2, vC=v23=e2-e3
2 - 4 - 5 - 2 T:
v24+v45+v52=0 v25=e2-e5=e2, v45=e4
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 v42=e4-e2
Gauss-yüzeyi: Sadece devre elemanlarını birleştiren bağlantıları
kesecek şekilde çizilmiş çift yönlü kapalı yüzey
Kirchhoff'un akım yasası (KAY)
Toplu parametreli devrelerde, tüm Gauss yüzeyleri için, her t
anında, Gauss yüzeyini kesen akımların cebirsel toplamı sıfırdır.
Düğümler için KAY: Bir düğümden çıkan akımların toplamı
sıfırdır.
i1 + i2 - i3 = 0i1
i2 i3
Örnek:
S1: i1+i4+i5+i6=0
S4: -i4-i10-i7=0
S5: -i12-i3-i11-i8-i9=0
KAY ve KGY
- Toplu parametreli devrelerde
- Eleman özelliklerinden bağımsız
- Elde edilen denklemler katsayıları +1, -1 veya 0 olan lineer
denklemler
Graf teorisi
dal ve düğümlerden oluşan topolojik yapı
Uç graf
c
4
3 7 2
5
1 6
a b
d
düğüm sayısı=4 dal sayısı=7
1
2
1
2
+
– v
i
i uygun yön p=v.i
�
3-uçlu
� � i2 i1
v1 v2 +
– –
+ v2, i2 v1, i1
�
� �
n-uçlu elemana ilişkin uç grafı
2-kapılılar ve çok-kapılılar
i1 i2
v1 v2 + –
+ –
2
2'
1
1'
1
1'
2
2'
1 2
2-kapılıların uç grafları ayrık
Ancak her ayrık graf aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, birleşik bir
grafa dönüştürülebilir.
Aşağıdaki altdevre hem 2-kapılı, hem de 3-uçlu olarak düşünülebilinir.
i1
v1 + – i2
v2 + –
i3
v3 +
–
3-kapılı
1
1'
1 3
3'
3 2
2'
2
Verilen bir devrede, her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde
edilen topolojik yapıya devre grafı denir.
Analiz = matematiksel model(ne)+bağlantı denklemleri (ne)
Bağlantı denklemleri: Akım denklemleri+gerilim denklemleri
(Bağlantı denklemleri elemanın cinsine bağlı değil)
Devre grafı: Devre elemanlarının özelliklerine bakılmaksızın
düğümler arasındaki bağlantının mevcut olup olmadığını
belirleyen, yönlendirilmiş doğru parçalarından oluşmuş geometrik
yapı
Graf elemanı: İki düğüm arasındaki bağlantıyı gösteren
yönlendirilmiş doğru parçası
Düğüm: graf elemanının uçları. (küçük harfle gösterilir.)
İlmek: Tek düğümlü graf elemanı
Graf: Aralarında bazılarının ortak noktalarının olduğu sonlu
sayıda graf elemanının oluşturduğu yapı
Derece: bir düğüme bağlı graf elemanı sayısı
δ(di)=4
Ayrık düğüm: derecesi 0 olan düğüm
ne adet eleman ve n adet düğüm içeren bir grafta düğümlere ilişkin
derecelerin toplamı eleman sayısının iki katına eşittir.
di
Alt graf: Bir G grafının bazı elemanlarından oluşmuş yeni grafa
G'nin alt grafı denir.
Yol: G'nin, Gy alt grafı
a) Gy'nin n adet elemanı varsa, düğüm sayısı n+1 'dir
b) Gy'deki düğüm ve elemanlar d1, d2, .. ve e1,e2,.. olarak
numaralandırılırsa, herhangi bir ei elemanının ilişkin düğümler di
ve di+1 olur
c) birinci ve sonuncu düğümlerin dereceleri 1, diğerlerinin 2 dir.
Birleşik graf: Bir grafın herhangi iki düğümü arasında an az bir
yol varsa, bu grafa birleşik graf denir. Aksi halde, grafa ayrık graf
denir.
Parça: Ayrık bir G grafında aralarında en az bir yol bulunan
elemanlardan oluşmuş birleşik altgraflarının aralarında ortak ne bir
eleman, ne bir düğüm varsa, bu alt graflar G'nin parçalarıdır .
Çevre: Bir grafın tüm düğümlerinin derecesi 2 olan birleşik bir alt
grafına çevre denir.
Çevre yönü çizgisi: Çevrenin elemanlarını izleyecek biçimde
çevre içerisinde çizilmiş yönlü eğri.
Ağaç: Birleşik bir G grafının birleşik, G'nin tüm düğümlerini
içeren ve çevre içermeyen alt grafına ağaç denir.
Ağacın elemanlarına dal, ağaç dışı elemanlara da kiriş denir.
1. ne elemanlı ve nd düğümlü bir grafta dal elemanlarının sayısı
nd-1, kiriş elemanlarının sayısı ne-nd+1 dir.
2. Bir ağaç alt kümesinde düğümler arasında bir ve yalnız bir yol
vardır.
3. Seçilen bir ağaçtan sonra geriye kalan kiriş elemanlarının
oluşturduğu kümeye ağaç tümleyeni ya da kirişler kümesi denir.
Temel çevreler kümesi:
ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim.
GT grafının ne-nd+1 kirişinden her biri, sadece GT grafına ait olan
elemanlar (dallar) ile bir çevre oluşturur.
Bu şekilde elde edilen ne-nd+1 çevreye temel çevreler kümesi
denir.
1
12
11
10
5
8 7
2
4 6
9
①
②
③ ④ ⑤
⑥
⑦ 13
3
Temel çevreler kümesi: {8, 7} {9, 7, 6} {3, 12, 2} {13, 1, 2} {11,10, 12} toplam ne-nd+1=13-7+1=7
Kesitleme: G'nin içindeki bazı elemanlar aşağıdaki özellikleri
sağlıyorsa, bunlara kesitleme kümesi denir.
a) Bu elemanlar graftan çıkarılırsa, graf iki parçaya ayrılır,
b) Bu kümenin hiç bir alt kümesi a) yı sağlamaz.
Düğümlerin bir kısmına A,
diğerlerine B denilsin
(düğüm ayrımlaması).
İki ucu farklı harfli olan
elemanlar bir kesitleme
oluşturur.
Dikkat: Her düğüm ayrımlamasından bir kesitleme elde edilmez.
d3=A, d2=B
Temel Kesitlemeler Kümesi:
ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim.
GT grafının nd-1 dalından her biri, sadece GT' grafına ait olan
elemanlar (kirişler) ile bir kesitleme oluşturur.
Bu şekilde elde edilen nd-1 kesitlemeye temel kesitlemeler kümesi
denir.
2
7 1
6
4 5
8
d5
d4
d1
d2
d3
3
kesitleme yönü
kesitleme çizgisi A
A
B
B
B
Birleşik graf
ne=13 => dal nd-1=7-1=6
nd=7=> kiriş ne-nd+1=7
• Kirişler kümesi GK={3, 4, 5, 8, 9, 11, 13}
• Dallar kümesi GT={1, 2, 6, 7, 10, 12}
{5, 4, 10, 11} bir kesitlemedir
• Düğüm kesitlemesi GDK={1, 2, 3, 4 , 5}
1. numaralı düğüm ayrık parça
Bir G birleşik grafının G1 ve G2 altgrafları aşağıdaki koşulları
sağlıyor ise:
1. G1 ve G2 nin ortak elemanları yok
2. G1 içinde çevre yok (ağaç)
3. G2, G'in herhangi bir kesitlemesine sahip değil (kirişler),
G de bir GT ağacı seçilebilir.
①
②
③ ④ ⑤
⑥
⑦ 1 13
12 8 7
3
2
6
9 11
10
5
4
1
12
11
10
5
8 7
2
4 6
9
①
②
③ ④ ⑤
⑥
⑦ 13
3
Graf Matrisleri
1. Temel çevreler matrisi
G (birleşik) grafındaki temel çevreler kümesine ait Bt=[bij] matrisi
bij=0; (devrenin) j. elemanı i. temel çevrede bulunmuyorsa,
bij=1; j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın
yönü çevre yönü ile aynı ise,
bij=-1; j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın
yönü çevre yönüne ters ise,
alınırsa, Bt’ye temel çevreler matrisi denir. (çevre yönü=kiriş yönü)
Bt nin boyutu (ne-nd+1) x (ne)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(8) -1 0 -1 0 -1 1 0 1 0 0
Bt = (9) 0 0 0 -1 1 0 -1 0 1 0
(10) 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1
1444442444443 14243 dallar kirişler Bt = [ B1 M U ] ne-nd+1
123 123 nd-1 ne-nd+1
1
2
6
9
8
3 5 4
7 10
Bt = [ B1 M U ]
Rank {Bt} = ne-nd+1= kiriş sayısı = temel çevre sayısı
2. Temel kesitlemeler matrisi
G grafındaki temel kesitlemeler kümesine ait Qt=[qij] matrisi
qij=0; (devrenin) j. elemanı i. temel kesitlemede
bulunmuyorsa,
qij=1; j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu
elemanın yönü kesitleme yönü ile aynı ise,
qij=-1; j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu
elemanın yönü kesitleme yönüne ters ise,
alınırsa, Qt’ye temel kesitlemeler matrisi denir.
(kesitleme yönü = dal yönü)
7 6
4 5
8 9
3 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(7) 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 Bt = (8) 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 (9) 0 -1 -1 0 -1 0 0 0 1
144424443 14243 dallar kirişler
Qt = [ U M Q1 ] nd-1 123 123
nd-1 ne-nd+1
Q1= -B1T B1= -Q1
T
Özellik: QtBtT=0 ⇔ BtQt
T=0
QtBtT = [U Q1][B1 U]T=[ ]
U
BQU
T1
1
= B1T+Q1
= B1T+( -B1
T) = 0
4
3 7
2
5
1 6
1 2 3 4 5 6 7
(1) 1 0 0 -1 1 0 1 Qt = (2) 0 1 0 -1 1 -1 1 (3) 0 0 1 1 -1 1 0
14243 1442443 dallar kirişler
1 2 3 4 5 6 7
(4) 1 1 -1 1 0 0 0 Bt = (5) -1 -1 1 0 1 0 0 (6) 0 1 -1 0 0 1 0 (7) -1 -1 0 0 0 0 1
14243 142443 B1 U
3. Düğümler matrisi
G grafındaki parçalarından biri tek bir düğüm olan kesitlemeler
kümesi ele alınsın ve kesit yönü tek düğüm olan parçadan diğerine
doğru olsun. Bu kümeye ait A=[aij] matrisi
aij=0; (devrenin) j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde
bulunmuyorsa,
aij=1; j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden
uzaklaşan yönde ise,
aij=-1; j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden
yaklaşan yönde ise,
alınırsa, A’ya düğümler matrisi denir.
� A nın boyutu ( nd ) x ( ne )
c
4
3 7 2
5
1 6
a b
d
1 2 3 4 5 6 7
(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0 (d) 0 -1 -1 0 0 0 -1
4. İndirgenmiş düğümler matrisi, A
A matrisinden bir satır silinerek elde edilen matris
rank A = nd-1
* nd düğümlü birleşik bir grafına ilişkin indirgenmiş düğümler
matrisi, A’nın nd-1 satır ve nd-1 sütunlu altmatrislerinin tekil
olmamaları için gerek ve yeter koşul, bu altmatrislerin sütunlarına
ilişkin elemanların G’nin içindeki bir ağacın dalları olmalarıdır.
A’nın özellikleri:
� A = [ A1 M A2 ] nd-1 ⇒ A1
-1A=QT 123 123 dallar kirişler A1
-1A = [ U M A1-1A2 ] = QT = [ U M Q1 ]
⇒ Q1 = A1-1A2
1 2 3 4 5 6 7
(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0 (d) 0 -1 -1 0 0 0 -1
A = [ A1 M A2 ]
=
−=
01-00
011-1
1011-
A
011
100
001
21A
−−−
−
== −
0100011
0111100
1011001
010
101
001
AAQ 11t
1 2 3 4 5 6 7
(a) 1 0 0 -1 1 0 1 A = (b) 0 0 1 1 -1 1 0 (c) -1 1 0 0 0 -1 0
14243 1442443 dallar (A1) kirişler (A2)
4
3 7
2
5
1 6
1 2 3 4 5 6 7
(1) 1 0 0 -1 1 0 1 Qt = (2) 0 1 0 -1 1 -1 1 (3) 0 0 1 1 -1 1 0
14243 1442443 dallar (U) kirişler (Q1)
Devreler Teorisinin 2. Postülası
G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel çevreler matrisi Bt
G nin elemanlarının gerilimlerinin oluşturduğu vektör, v(t)
Bt v(t) = 0
Bu bağıntıya temel çevre denklemleri adı verilir.
nd=5, ne=8
Bt v(t)=0
1 2 3 4 5 6 7 8
(5) -1 -1 0 0 1 0 0 0
(6) 0 1 0 -1 0 1 0 0
Bt = (7) -1 0 1 0 0 0 1 0
(8) 0 0 -1 -1 0 0 0 1
1442443 1442443 dallar (B1) kirişler (U)
temel çevre denklemleri
(5) -v1(t)- v2(t)+ v5(t) = 0
(6) v2(t)- v4(t)+ v6(t) = 0
(7) - v1(t)+ v3(t)+ v7(t) = 0
(8) - v3(t)- v4(t)+ v8(t) = 0
6
8
7
5
2
4 3
1
v1(t) v2(t) v3(t) v4(t) v(t) = v5(t) v6(t) v7(t) v8(t)
Devreler Teorisinin 3. Postülası
G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel kesitlemeler matrisi Qt
G nin elemanlarının akımlarının oluşturduğu vektör, i(t)
Qt i(t) = 0
Bu bağıntıya temel kesitleme denklemleri adı verilir.
nd=5, ne=8
Qt i(t)=0
1 2 3 4 5 6 7 8
(1) 1 0 0 0 1 0 1 0
(2) 0 1 0 0 1 -1 0 0
Qt = (3) 0 0 1 0 0 0 -1 1
(4) 0 0 0 1 0 1 0 1
1442443 1442443 dallar (U) kirişler (Q1)
temel kesitleme denklemleri
(1) i1(t)+ i5(t)+ i7(t) = 0
(2) i2(t)+ i5(t) - i6(t) = 0
(3) i3(t) - i7(t)+i8(t) = 0
(4) i4(t)+ i6(t)+ i8(t) = 0
i1(t) i2(t) i3(t) i4(t) i(t) = i5(t) i6(t) i7(t) i8(t)
6
8
7
5
2
4 3
1
a b
d c e
Qt=A1-1A olduğundan
Qt i(t) = 0 ⇔ A i(t) = 0
[ ] 0(t)i
(t)iAA
2
121 =
14243 14243 dallar kirişler
Her iki tarafı soldan A1-1 ile çarparsak
[ ] [ ] [ ] =
=
=
−−(t)i
(t)iQU
(t)i
(t)iAAU
(t)i
(t)iAAA
2
11
2
12
11
2
121
11
0==
i(t)Q
(t)i
(t)iQ t
2
1t
1 2 3 4 5 6 7 8
a 1 0 0 0 1 0 1 0 A = b 0 -1 0 0 -1 1 0 0 c 0 0 1 0 0 0 -1 1 d 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 e -1 1 -1 1 0 0 0 0
6
8
7
5
2
4 3
1
a b
d c e
İndirgenmiş düğümler matrisi, A
Düğüm denklemleri, A i(t) = 0
(a) i1(t)+ i5(t)+ i7(t) = 0
(b) - i2(t)- i5(t)+ i6(t) = 0
(c) i3(t)- i7(t)+ i8(t) = 0
(d) - i4(t)- i6(t)- i8(t) = 0
121
1 QAA =
−−
=
−−−
−
−
−=−
1010
1100
0011
0101
1010
1100
0011
0101
1000
0100
0010
0001
[ ] [ ] 0(t)iQ(t)i(t)i
(t)iAAU
(t)i
(t)iAAA 11
2
12
11
2
121
11 =+=
=
−−2
1 2 3 4 5 6 7 8
a 1 0 0 0 1 0 1 0 A = b 0 -1 0 0 -1 1 0 0 c 0 0 1 0 0 0 -1 1 d 0 0 0 -1 0 -1 0 -1
1442443 142443 A1 A2
i1(t) i2(t) i1(t) i3(t) i4(t) i(t) = = i5(t)
İ2(t) i6(t) i7(t) i8(t)
−
−=−
1000
0100
0010
0001
11A
Toplam ani güç özelliği ve Tellegen teoremi
İki farklı D ve D' devresi aynı G grafına sahip olsun.
D grafı D' grafı
Bt v(t) = 0 Bt v'(t) = 0
Qt i(t) = 0 Qt i'(t) = 0
(v(t), i(t) ile v'(t), i'(t) farklı)
Daha açık olarak
[ ] 0(t)v
(t)vUB
2
11 =
[ ] 0
(t)v'
(t)v'UB
2
11 =
[ ] 0(t)i
(t)iQU
2
11 =
[ ] 0
(t)i'
(t)i'QU
2
11 =
v2(t) + B1 v1(t) = 0 v'2(t) + B1 v'1(t) = 0
i1(t) + Q1 i2(t) = 0 i'1(t) + Q1 i'2(t) = 0
v2(t) = -B1 v1(t) v'2(t) = -B1 v'1(t)
i1(t) = -Q1 i2(t) i'1(t) = -Q1 i'2(t)
[ ] =+=
= (t)i(t)v(t)i(t)v(t)i
(t)i(t)v(t)v(t)i(t)v 2
T21
T1
2
1T2
T1
T
v1T(t) [ -Q1i2(t) ] + [ -v1
T(t)B1T ] i2
(t)=
v1T(t) B1
T i2(t) – v1T(t) B1
T i2T(t) = 0 ( Q1 = -B1
T )
yani vT(t)i(t) ≡ 0
Aynı şekilde Q1 ve B1 matrislerine sahip D' grafı için de
v'T(t) i'(t) ≡ 0
vT(t) i'(t) ≡ 0
v'T(t) i(t) ≡ 0
bağıntıları gösterilebilinir.
Buradan aşağıdaki teoremleri yazabiliriz.
Toplam ani güç özelliği
Bir devredeki toplam ani güç
∑=
≡==en
ktp
1)( 0(t)(t)ivi(t)v(t) kk
T
özdeş olarak sıfırdır. Yani üretilen enerji = tüketilen enerji
Telegen teoremi
Grafları aynı olan D ve D' graflarında çapraz ani güçlerin
toplamı özdeş olarak sıfırdır.
p1(t) = vT(t) i'(t) ≡ 0
p2(t) = v'T(t) i(t) ≡ 0
Devreler teorisindeki devrelerin özellikleri
1) Gerilim kaynaklları aralarında çevre oluşturmazlar
2) Akım kaynakları aralarında kesitleme oluşturmazlar.
Bu türden devrelere uygun devreler denir. Aksi halde, devre ancak
uygun kaynak fonksiyonları için kısmen çözülebilir.
Denklem kurma ağacı
Teorem: Uygun ve birleşik bir D devresinin grafı G ise, G'de öyle
bir ağaç seçilebilir ki, bu ağaç tüm gerilim kaynaklarına ilişkin graf
elemanlarını dal olarak içine alır ve tüm akım kaynaklarına ilişkin
graf elemanları bu ağacın dışında kalır.
Bu ağaca denklem kurma ağacı denir.
Denklem kurma ağacı seçilmiş grafa ilişkin denklemler
0
(t)v
(t)v
(t)v
(t)v
U0BB
0UBB
j
k
d
e
2221
1211 =
0
(t)i
(t)i
(t)i
(t)i
QQU0
QQ0U
j
k
d
e
2221
1211 =
şeklinde bölümlendirilebilir.
−=
−=
(t)i
(t)i
(t)i
(t)i;
(t)v
(t)v
BB
BB(t)v
(t)v
j
k
2221
1211
d
e
d
e
2221
1211
j
k
Tüm gerilimlere ilişkin v(t) vektörü
−−−−
=
=
=(t)v
(t)v
BB
BB
U0
0U
(t)v
(t)v
(t)v
(t)v
(t)v
(t)vv(t)
d
e
2221
1211
j
k
d
e
2
1
Ayrıca
B11 = -Q11T, B12 = -Q21
T, B21 = -Q12T, B22 = -Q22
T
yardımıyla
(t)vQ
U
(t)v
(t)v
U0
0U
v(t) 1T1d
e
T22
T12
T21
T11
=
=
olarak bulunur.
Benzer şekilde
[ ](t)iU
B(t)i
(t)i
U0
0U
(t)i
(t)i
(t)i
(t)i
(t)i
(t)ii(t) 2
T1
j
k2221
1211
j
k
d
e
2
1
=
−−−−
=
=
=
olmaktadır.