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EL “HOMBRE DE VITRUVIO” DE LEONARDO DA VINCI:

UN TRAZADO BASADO EN LAS PROPORCIONES DEL FOLIO NUEVAS APORTACIONES A LOS ESTUDIOS GEOMÉTRICOS DEL “HOMBRE DE VITRUVIO” DE LEONARDO DA VINCI

(TEXTO REVISADO)

© RAFAEL FUSTER RUIZ Y JORDI AGUADÉ TORRELL

El “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci: un trazado basado en las proporciones del folio

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Índice

1. Un trazado basado en las proporciones del folio. ............................................... 3

2. Análisis de las dimensiones y el formato del folio. ............................................ 9

3. El área teórica de trazado en base al rectángulo raíz cuadrada de 2. ................ 16

4. Construcción del cuadrado en función del “marco rector”. .............................. 20

5. Construcción del círculo a partir del cuadrado y el “marco rector”. ................ 27

6. Construcción del círculo mediante la inversión del “marco rector”. ................ 37

7. Determinación de la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado. ............ 45

8. Conclusiones del análisis geométrico de la ilustración. ................................... 50

Anexo I. Cálculo del radio del círculo a partir del cuadrado. .................................. 55

Anexo II. La ilustración del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea. .............. 56

Bibliografía .............................................................................................................. 58

Tabla de ilustraciones .............................................................................................. 59


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1. Un trazado basado en las proporciones del folio.

El cuerpo humano ha sido tomado como modelo y expresión de la naturaleza desde

que Protágoras afirmara aquello de que «el hombre es la medida de todas las cosas, de las

que son mientras son y de las que no son mientras no son». Así lo entendió también Vi-

truvio quien, en su tratado de arquitectura escrito a principios del siglo I, recoge la teoría

y la práctica de la arquitectura en la antigüedad, una recopilación de reglas sobre los con-

ceptos de simetría, proporción y otras que versan sobre las proporciones que debe guardar

toda construcción. El ingeniero romano describe un canon antropométrico que, con el

tiempo, instauraría la teoría del Homo ad Quadratum según la cual la figura del cuerpo,

con los brazos extendidos en cruz, puede inscribirse dentro de un cuadrado que es igual a

su altura; y la teoría del Homo ad Circulum, que sitúa al hombre en posición decúbito

supino con los brazos y las piernas extendidos dentro de un círculo cuyo centro se sitúa

en el ombligo. Se trata, por tanto, de la aplicación de un sistema fraccionario, similar a

los empleados en arquitectura, para establecer las proporciones del cuerpo humano, ya

que al igual que un templo, es una construcción divina1. Básicamente, es un modelo que

combina las figuras del círculo y el cuadrado y establece una relación entre ellas en base

a la posición del ombligo. Un sistema métrico de particiones en base duodecimal en fun-

ción de la altura del hombre del canon, que toma como patrón las medidas de las diferen-

tes partes del cuerpo y las pone en relación con fracciones de números enteros. Como

escribe Vitruvio (sf):

El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca

un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del

compás en su ombligo y trazando una circunferencia, ésta tocaría la punta de am-

bas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo hu-

mano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de

los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que la que se da

entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura

mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra

(Lib. III, cap. I, pp. 82-83)2.

1 Vitruvio Polión, Marco, “El origen de las medidas del Templo”, Capítulo I del Libro Tercero.

2 Vitruvio Polión, Marco, “Los diez libros de arquitectura”, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN:

84-206-7133-9, pp. 82-83.


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El tratado del ingeniero romano fue recuperado del olvido a principios del siglo xv,

cuando la corriente de pensamiento humanista se volcó en el estudio de los textos de la

antigüedad clásica. Uno de sus mayores exponentes fue Petrarca (1303-1374), quien,

como escribe Ricardo Losardo (2015), se encargó de recuperar la obra del ingeniero ro-

mano:

Sin embargo, la tarea de Petrarca no fue fácil. El texto no sólo había sido escrito

hacía más de diez siglos en un latín impenetrable, sino que utilizaba un lenguaje

demasiado técnico. Como si esto fuera poco, no había ninguna ilustración que lo

respaldara. En consecuencia, con el tiempo surgieron diferentes traducciones e

interpretaciones hechas por intelectuales, y así aparecieron diferentes ilustraciones

de las proporciones planteadas por Vitruvio, entre ellas las de las siguientes per-

sonalidades3.

En efecto, el texto que nos ha llegado no contiene ninguna ilustración de los princi-

pios del canon descritos en el tratado, por lo que han sido numerosas y variadas las repre-

sentaciones que han intentado expresarlos gráficamente. Las más antiguas, de época me-

dieval, no son más que vagas expresiones de una propuesta de un texto que ya de por sí

se presta a la confusión4. No fue hasta el Renacimiento que nadie se había preocupado de

averiguar cómo inscribir la figura de un hombre siguiendo al pie de la letra las indicacio-

nes que aparecen en el capítulo I del Libro III5.

3 Jorge Losardo, Ricardo; Margarita Murcia, Diana; Lacera Tamaris, Vivian y Hurtado de Mendoza, Walter,

“Canon de las proporciones humanas y el Hombre de Vitruvio”. Revista de la Asociación Médica Argen-

tina, Vol. 128, Número 1, 2015.

4 La primera edición impresa del tratado de Vitruvio de 1488 ya no contenía ninguna ilustración, así que

todas las referencias ilustradas posteriores han sido realizadas a partir de la lectura de los textos del inge-

niero romano. «El tratado de Vitruvio llega a los renacentistas sin ilustraciones originales. El dibujo de

Leonardo es la genial interpretación de un texto confuso. Su simple comparación con los dibujos de otros

ilustradores del romano, justifica el elogio de Vasari: [...] distante del resto de los hombres, sus cualidades

aparecen como otorgadas por Dios y no adquiridas por industria humana.» Ernesto Fernández, “Platón,

Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (Reflexiones sobre los Principios de la Medida)”.

5 «La importancia que adquirió el texto vitruviano en el Renacimiento viene refrendada por la primera y

extensa edición de Vitruvio por Fray Giacondo, Venecia (1511), quien al comienzo del tercer libro intro-

duce dos grabados para ilustrar el tema que tratamos. Por su parte, Cesarino, en el Vitruvio de cómo (1521),

muestra dos completas ilustraciones a las que titula Humani corporis mensura et ab eo omnes symmetrias

eurythmiatas et proportionatas geometrico schemate invenire ut adest figura. En una de ellas vemos una

figura con cabeza demasiado pequeña y las piernas y los pies demasiado grandes». González Román, Her-

nández, “Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y ad qua-

dratum”. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0,

Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p. 8.


5

Uno de los primeros en abordar el

problema fue el arquitecto Francesco di

Giorgio Martini, quien realizó un boceto

en 1470, aunque como se puede ver en la

imagen no se corresponde en lo funda-

mental con lo descrito por Vitruvio, sobre

todo en cuanto a que el centro del círculo

deber situarse en el ombligo para la posi-

ción del hombre con los brazos y las pier-

nas extendidos formando una cruz. En la

ilustración de Giorgio, los centros del

círculo y el cuadrado se sitúan ambos en

el sacro (Figura 1).

Figura 1. El “Hombre de Vitruvio” según Fran-

cesco di Giorgio (“Trattato di architettura civile e

militare”, Turín, Biblioteca Reale, códice Saluz-

ziano 148, f. 6v).

Muchas fueron las propuestas, aunque ninguna parecía haber solucionado el pro-

blema que plantea la representación del canon antropométrico de Vitruvio hasta que, en

1490, Leonardo se sumó a la lista de artistas que quisieron plasmarlo y dibujó, a tinta y

lápiz sobre una cuartilla de papel, la figura de un hombre desnudo en dos posiciones. En

busca de la mejor solución decidió mantener el esquema del hombre inscrito en un círculo

cuyo centro es el ombligo, pero colocándolo de pie con los brazos y las piernas extendidos

adoptando la forma de una “X”6, para luego añadir el cuerpo en reposo dentro de un cua-

drado con centro en el sacro, con los brazos en cruz y las piernas juntas formando una

“T”, como había hecho Giorgio 7. De este modo, el hombre del canon queda inscrito den-

tro de un cuadrado y un círculo cuyos centros son el sacro y el ombligo respectivamente.

6 Las expresiones “Hombre en T”, “Hombre en X”, “Hombre en I” y Hombre en Y” son términos empleados

por Luis Castaño en sus investigaciones sobre la representación del “Hombre de Vitruvio” de Leonardo

para describir las posturas de los diferentes modelos antropométricos. Para más información consultar sus

artículos: “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”; “La cuestión del centro de la

figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio” y “Metrología Histórica: Una nueva pro-

puesta”, pp.5-14 (Figuras 5-16 y Figura 21).

7 «Los comentaristas y los ilustradores de Vitruvio a lo largo de la historia han propuesto soluciones muy

diferentes en cuanto a la posición de las piernas y los brazos para inscribir la figura del hombre del canon

en un círculo. Ghiberti y C. Martínez con los brazos extendidos en cruz; Leonardo, Durero y Juan de Arfe

levantados a la altura de la cabeza; Cesariano los dibujó con un ángulo de 45 grados y Cornelius Agrippa

los dispuso verticalmente.» Román Hernández, González, “El legado de Vitruvio III. 1: La primera apor-

tación numérica al canon de proporción”. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Mate-

máticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, septiembre, Barcelona, 2005, p.5.


6

Esta forma de separar los centros de las dos figuras es original, aunque sabemos por

las investigaciones de Claudio Sgarbi que es probable que Leonardo se hubiese inspirado

en una representación anterior del canon vitruviano de un amigo suyo, el arquitecto Gia-

como Andrea (ver Anexo III)8. El hecho de que sean dos los centros de gravedad del

cuerpo humano en sus estados de reposo y movimiento es lo que convierte su propuesta

en la más interesante. A pesar de que no se encuentran en la misma posición, o precisa-

mente por eso, al contemplar la ilustración se percibe una sensación de equilibrio que no

se ve alterada por dicha asimetría, sino más bien al contrario, pues le confiere un particular

dinamismo. Es natural que la ilustración haya sido objeto de innumerables estudios cen-

trados en los aspectos geométricos y matemáticos que se infieren de la relación entre el

círculo y el cuadrado. Ya han pasado más de cinco siglos, pero sigue despertando el inte-

rés, invitando a profundizar en la naturaleza de las claves de un trazado que, como vere-

mos, oculta tanto o más de lo que muestra. Aunque podría parecer que el propósito de las

anotaciones en el folio sea ilustrar las razones del sistema de proporciones del canon des-

crito por Vitruvio, también se refieren, indirectamente, a la razón entre las figuras del

círculo y el cuadrado que, como indica Pedro Tomás Vela, responde a un orden oculto:

Las figuras aparentan haber sido trazadas con el único propósito de enmarcar la

figura del hombre y se representan dibujadas con unas medidas adecuadas para

dicha finalidad, sin que se presuma la existencia de cualquier otra relación apa-

rentemente distinta entre ellas. Sin embargo, esa relación existe y como se verá,

está perfectamente definida, aunque muy bien disimulada9.

En este trabajo vamos a centrarnos en la forma de trazarlas con el menor número de

movimientos que sea posible en busca de la razón que Leonardo estableció entre ellas.

Sabiendo lo exigente que era, es lógico pensar que no comenzara su representación del

“Hombre de Vitruvio” sin antes haber analizado aquello que se disponía a dibujar, y que

hubiese buscado la mejor estrategia para establecer las líneas rectoras del tazado y para

ello se hubiese apoyado en el formato de la cuartilla que escogió; como comenzaba a ser

preceptivo en pintura durante el Renacimiento, cuando el lienzo adquiere un protago-

nismo que antes no había tenido, convirtiéndose en el marco a partir del cual se debía

estructurar toda composición que se preciara según las reglas de la perspectiva.

8 En la representación del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea la disposición de las figuras del

cuadrado y el círculo en las que se inscribe el hombre del canon es la misma que la que desarrolla Leonardo.

Claudio Sgarbi asumió inicialmente que el dibujo hallado en la biblioteca Ferrara tenía que ser una copia

del que hizo Leonardo, puesto que las correspondencias entre las dos ilustraciones son demasiado evidentes

para considerar que se deben a una coincidencia. Pero cuando estudió la ilustración con detalle pudo obser-

var muchas correcciones innecesarias si el ilustrador hubiese partido previamente de la ilustración de artista

italiano, lo que le llevó a concluir que la solución de colocar los centros del cuadrado y el círculo en el

ombligo y el sacro, quizás fuese anterior. Posteriormente, descubrió que la ilustración había sido realizada

por el arquitecto Giacomo Andrea de Ferrara, que fue amigo de Leonardo como sabemos por sus notas, y

que era, además, un gran conocedor del tratado de arquitectura de Vitruvio (ver Anexo II). Sgarbi, Claudio,

“Giovanni Giocondo umanista, architetto e antiquari”, Centro Intenazionalle dei Studi di architettura An-

drea Palladio, Marsilio Editori, Venecia, 2014. Pp. 121-138.

9 Pedro Tomás Vela, El “Hombre de Vitruvio”, https://www.bubok.es/libros/206690/EL-HOMBRE-DE-

VITRUVIO.

Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

7

Aunque en las notas que escribió Leonardo en el folio no aparece indicado explícita-

mente que exista un orden basado en las proporciones de la cuartilla, lo sugiere con otras

palabras y escribe, parafraseando a Vitruvio, lo siguiente:

Por tanto, si la naturaleza ha formado el cuerpo humano de modo que sus miem-

bros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron

también esta relación en la realización completa de sus obras, donde cada una de

sus partes guarda una exacta y puntual proporción respecto a la forma total de su

obra (Lib. III, cap. I, pp. 82-83)10.

Las obras de arte se rigen por un orden que no es reconocible a primera vista, aunque

sí sea percibido de forma sutil, ni tampoco es algo que quede recogido en los escritos; es

ámbito exclusivo del creador, forma parte del secreto que nosotros, como espectadores,

estamos invitados a desentrañar para dar con los mensajes que nos transmiten de forma

velada. En este caso, el problema geométrico que plantea Leonardo con su ilustración del

canon podría expresarse como sigue:

Escoger una cuartilla de modo que se puedan trazar, como yo he

hecho, las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el

hombre del canon con el menor número de pasos que sea posible.

Muchas han sido las propuestas para la construcción de las dos figuras, sin embargo,

y con contadas excepciones, en algunos casos son extremadamente complejas y requieren

para su desarrollo operaciones que, en ocasiones, son más propias de la geometría analí-

tica que de la geometría clásica de regla y compás. El papel lo admite todo, y en matemá-

ticas siempre hay una forma de llegar del punto A al punto B; aunque nosotros somos

más partidarios del principio de la navaja de Ockham según el cual la solución más sen-

cilla es la más probable. Introducir en la ecuación la variable del marco no añade com-

plejidad al modelo, sino que lo simplifica al poder dibujarlas y ubicarlas en su correcta

posición con tres operaciones y apenas diez movimientos de regla y compás, un aspecto

que ha sido pasado por alto en los estudios que se han realizado, y abre nuevas vías para

la interpretación de la composición, poniendo de manifiesto el talento del genio italiano

a la hora de abordar la representación del canon de Vitruvio y su destreza para sintetizar

sobre el papel, regla y compás en mano, los últimos 2.500 años de historia de la geometría.

10 Vitruvio Polión, Marco, “Los diez libros de arquitectura”, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN:

84-206-7133-9, pp. 82-83.


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No nos imaginamos a Leonardo, sabiendo lo perfeccionista que era, comenzando el

trazado al albur, sin referencia alguna, colocando la punta del compás en cualquier punto

del folio sin antes haber estudiado la mejor forma de hacerlo. Lo más lógico es que para

establecer las líneas maestras tomase como referencia una serie de puntos predetermina-

dos sobre los que apoyarse. No se explica de otro modo la enorme precisión del dibujo.

Es muy probable que antes de realizar el trazado definitivo, y para asegurarse de no co-

meter ningún error, hubiese ensayado repetidas veces su estrategia para dibujar las figuras

del círculo y el cuadrado con la mayor exactitud. Cuesta creer que un rompecabezas así

sea debido al azar. Los resultados del análisis ponen de manifiesto que el artista italiano

quiso ir más allá de la estricta cuestión antropométrica, dejando constancia con su ilus-

tración que las proporciones del hombre del canon forman parte de un conjunto de rela-

ciones mucho más extenso que, en este caso, viene determinado por las proporciones de

la cuartilla que escogió. Como él mismo escribió, «la simplicidad es la sofisticación de-

finitiva», y su representación del “Hombre de Vitruvio” es una buena prueba de este prin-

cipio, pues tras la aparente sencillez del trazado se ocultan algunas de las claves de una

tradición según la cual todo en la naturaleza puede ser expresado mediante el lenguaje de

las matemáticas.


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2. Análisis de las dimensiones y el formato del folio.

Antes de abordar el análisis geométrico de la representación del “Hombre de Vitru-

vio” es necesario subrayar la importancia de conocer las dimensiones exactas del folio y

la longitud de los lados del cuadrado, de la cual se infiere la medida del radio del círculo.

Para el estudio de su relación con el formato de la cuartilla hemos tenido que comprobar

que la imagen digital empleada se ajusta a la realidad del folio original, ya que un error

en la determinación de sus dimensiones podría alterar significativamente los resultados.

Según Frank Zöllner, el folio mide 344,00 x 244,00 mm, aunque este dato no es del todo

correcto11.

Valeria Poletto, directora del Gabinetto di disegni e stampe de la Galleria de l’Aca-

demia de Venecia, nos ha confirmado que sus dimensiones son 345,00 x 246,00 mm, y

éstas son las que hemos considerado para realizar el escalado digital de la imagen. Pero,

como hemos dicho, con esto no es suficiente, también necesitamos conocer, con la mayor

exactitud, la longitud de la regla que dibujó Leonardo bajo el cuadrado es la misma que

la de sus lados; la base del patrón antropométrico que se rige por la altura del hombre del

canon. La extrapolación de esta medida a partir de las dimensiones del folio no es sencilla,

el más pequeño error en el escalado de la imagen puede producir desviaciones de hasta 2

mm.

Por las investigaciones de Claudio Sgarbi sobre la ilustración del “Hombre de Vitru-

vio” de Giacomo Andrea sabemos que, además de la enorme similitud en la disposición

de las figuras en las que se inscribe el hombre del canon, la longitud de los lados del

cuadrado es la misma en los dos casos: 180,00 mm. Con este dato, realizamos un primer

escalado de la imagen digital considerando que las dimensiones máximas del folio son

345,00 x 246,00 mm. Para corroborar este dato hemos contado con la ayuda de Luis Cas-

taño, quien afirma haber podido medir la regla y que su longitud es, en efecto, de 180,00

mm12. Esta debería ser, por tanto, también la medida de los lados del cuadrado, sin em-

bargo, la lectura no es tan fácil ya que sus longitudes oscilan entre los 179,60 mm y los

180,00 mm13.

Finalmente, la confirmación de estas medidas ha sido posible gracias a la colabora-

ción de Martin J. Kemp, quien se prestó a corroborarlas sobre un facsímil que se guarda

11 Zöllner, Frank, “L’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, Rudolf Wittkower e l’angelus novus di Walter

Benjamin”, extracto de Raccolta Vinciana, Fascículo XXVI, Milán.

12 Según Luis Castaño, la medida de la regla es un dato que tendría una gran importancia para los estudios

de metrología de los sistemas de medidas del mundo antiguo y su presunta relación con la representación

de Leonardo. En relación a esta unidad métrica desarrolla sus investigaciones sobre los sistemas de medidas

antiguos, el sistema métrico decimal y su relación con un supuesto canon basado en un hombre cuya altura

es 1,80 m.

13 Como apunta Luis Castaño, la longitud del lado izquierdo del cuadrado es algo menor que la del resto de

lados (179,00 mm). La figura no es perfecta, como sucede con la del círculo. Ambas presentan ligeras

irregularidades, tanto en la perpendicularidad como en las longitudes de los lados del cuadrado y el perí-

metro del círculo. Es normal tratándose de un trazado con regla y compás sobre el papel. A pesar de ello,

la precisión que logró Leonardo es asombrosa. Debió practicar mucho antes de realizar el boceto definitivo.


10

en el Departamento de Historia de la universidad de Oxford14. Como ha podido confirmar,

la regla mide 180,00 mm. También ha podido comprobar que los lados del cuadrado pre-

sentan ligeras desviaciones, aunque en ningún caso sus medidas son inferiores a 179,00

mm ni superiores a 180,00 mm. La media ponderada de las longitudes de los lados según

el escalado de la imagen digital y las mediciones de Luis Castaño y Martin Kemp es, por

tanto, de 179,74 mm (Tabla I).

TABLA I. MEDIDAS DEL CUADRADO EN EL QUE SE INSCRIBE EL “HOMBRE DE VITRUVIO”.

Segmento Valor 1 Valor 2 Valor 3 Media

Lado superior 180,00 mm 179,00 mm 180,00 mm 179,67 mm

Lado inferior 180,00 mm 180,00 mm 180,05 mm 180,02 mm

Lado derecho 180,00 mm 179,00 mm 179,98 mm 179,66 mm

Lado izquierdo 179,00 mm 180,00 mm 179,80 mm 179,60 mm

Media 179,75 mm 179,50 mm 179,97 mm 179,74 mm

Tabla I. Medidas del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon según Luis Castaño (valor 1),

según Martin J. Kemp (valor 2) y según la imagen digital empleada en este trabajo (valor 3), una vez esca-

lada para unas dimensiones de la cuartilla de 345,00 x 246,00 mm y de 180,00 mm para la regla dibujada

por Leonardo.

En las notas del folio Leonardo se refiere a un cuadrado perfecto, por lo que podemos

considerar que, teniendo en cuenta las desviaciones propias de un dibujo sobre el papel,

la medida de los lados del cuadrado, cuya media es 179,74 mm, es la longitud indicada

por la regla, es decir, 180,00 mm (± 0,26 mm). Es complicado en un dibujo a tinta y lápiz

obtener una precisión inferior a la de una milésima por metro. Si trazamos un cuadrado

de 10 cm con una pluma cuya punta tenga el grosor de 1 mm tendremos un margen de

error que será, como mínimo, del mismo orden de magnitud. A pesar de ello, el trazado

de Leonardo es extremadamente riguroso si consideramos los posibles fallos debidos al

manejo de la regla y el compás, que se acumulan tras cada uno de los movimientos. Ac-

tualmente, los ordenadores nos ofrecen una precisión que hubiese dejado estupefacto al

artista italiano.

14 da Vinci, Leonardo, “Le proporzione del corpo umano secondo Vitruvio, Litografia del disegno di Leo-

nardo”. Electa, Soprintendenza per i Beni Artistici e Storici di Venezia, Milán, 1999, edition of 1,000.


11

Ahora tenemos reglas divididas en milímetros; pero la suya no era ni muchos menos

tan exacta. Como escribió en las anotaciones del folio respecto a las unidades del canon

antropométrico:

Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dis-

pone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: una palma es la an-

chura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la

anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son

cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas

que usaba en sus edificios.

La altura del hombre del canon es, por tanto, de 24 palmas y cada palma se divide en

4 dedos, la unidad métrica del sistema como está indicado en la regla (Figura 2).

Figura 2. Las divisiones de la regla indican que la altura del hombre del canon es de 24 palmas, tal y como

está descrito en el tratado de Vitruvio y recoge Leonardo en las notas que aparece debajo de la misma15.

Si la longitud de la regla es 180,00 mm (± 0,26 mm), entonces la unidad mide 1,875

mm (180,00 mm entre 96 dedos), lo que significa que Leonardo trabajaba con la mitad de

la precisión que nos ofrece el sistema métrico decimal. El hecho que esta medida se co-

rresponda con el valor de una palma, unidad cuyos orígenes se remontarían al sistema

métrico griego del que habría partido Vitruvio para su descripción del canon, refuerza el

dato de que es un valor correcto. Las divisiones en los extremos de la regla son claras en

este sentido. Si tiene una longitud de 180,00 mm, cada una de las 24 partes mide 7,5 mm,

es decir, el valor teórico de 1/10 de palma16.

15 La cuadrícula de 24 palmas, que utilizamos en algunas de las imágenes de este artículo para ilustrar las

razones geométricas de la relación del cuadrado y el círculo y sus correspondencias con las proporciones

del folio, también ha sido estudiada por Luis Castaño, quien desarrolla sus investigaciones metrológicas en

relación al “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci y a un supuesto canon basado en un hombre de

1,80 m. Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta” (p. 36 Figura 10, p.

12, Figura 12), op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de

Vitruvio” y op. cit., “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”, http://independent.aca-

demia.edu/LuisCastaño. Por otro lado, y respecto a dicha cuadrícula, Manuel Franco Taboada también se

ha ocupado del estudio de la cuadrícula de 24 palmas en relación al sistema de medidas de origen griego

descrito en el tratado del arquitecto romano. Franco Taboada, Manuel, “La cuestión del centro de la figura

humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”, http://www.arqweb.com/vitrum/La cuestión del

centro de la figura humana, a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.

16 El redescubrimiento de Platón, propiciado por la reedición del tratado de Vitruvio que fue difundido por

Petrarca, inspira las teorías métricas durante el Renacimiento. Según algunos investigadores, el origen de

este modelo antropométrico se remontaría al sistema metrológico griego y éste, a su vez, al antiguo sistema


12

Con estos datos hemos establecido la escala de la imagen digital del folio en 100

píxeles por milímetro, por lo que la regla mide 1800 píxeles o 180,00 mm (± 0,26 mm).

La imagen tiene unas dimensiones de 2584 x 3569 píxeles, una resolución de 300 pp y

una profundidad de 24 bits (Figura 3).

Figura 3. El “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci. Dibujo a tinta y lápiz sobre papel (carta bianca

de 345,00 x 246,00 mm) y escala digital de 10 píxeles por milímetro considerando que la regla tiene una

longitud de 180,00 mm (± 0,26 mm).

de medidas egipcio. Como indica Luis Castaño, el llamado “Patrón de Maya”, un listón de madera del siglo

XIV a.C., mide 525 mm y está dividido en 7 palmas, por lo que cada palma mide 75,00 mm, un patrón que,

por otro lado, como él mismo advierte, se remontaría al modelo de medidas sumerio, op. cit., “Metrología

Histórica: Una nueva propuesta” (pp. 14-16, pp. 18-19) y op. cit. “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio”

de Leonardo da Vinci” (p. 6). Según Frank Zöllner, los orígenes del sistema métrico y, por lo tanto, de las

razones de la cuadrícula de 24 palmas en la que se basó Leonardo para dibujar el “Hombre de Vitruvio” se

encuentran en la antigua Grecia. Como él mismo escribe: «el sistema metrológico de origen griego es un

modelo antropométrico basado en un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) en función

de la altura del hombre según patrones de antiguos cálculos fraccionarios, cuyo uso puede remitirnos a la

práctica de la arquitectura». Frank Zöllner, “L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower

e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da Raccolta Vinciana”, Fascículo XXVI, p. 335. Para

Stephen Skinner los orígenes del sistema de medidas antropométrico vitruviano en base duodecimal reco-

gido por Leonardo se remontarían al antiguo Egipto: «el Hombre de Vitruvio, obra de Leonardo, cuyo

propósito original era mostrar cómo la medida del codo de los antiguos egipcios podía aplicarse a las di-

mensiones del hombre.» Skinner, Stephen, “Geometría Sagrada”, Ediciones Gaia, 2007, Madrid, ISBN

978-84-8445-201-0, p. 129.


13

Una vez establecidas las dimensiones máximas del folio y las medidas de la regla y

los lados del cuadrado, veamos qué podemos decir sobre el formato de la cuartilla que

empleó Leonardo. Resulta extraño que nadie haya reparado en las proporciones del marco

que escogió para su representación. Se trata de un rectángulo que se construye llevando

la diagonal de un cuadrado sobre la prolongación de su base, por lo que los lados guardan

una proporción que es igual a la raíz cuadrada de 2 (Figura 4).

Figura 4. Las proporciones del folio que empleó Leonardo para la representación del “Hombre de Vitruvio”

son las de un rectángulo raíz cuadrada de 2. Considerando sus dimensiones los lados guardan una propor-

ción de 246,00/345,00 mm = 1,4; una aproximación del 99,17%, equivalente a una razón de 7/5.

Es un marco que parte del cuadrado para la definición de la longitud del rectángulo.

Sus raíces se encuentran en el sistema de proporciones más empleado por los ingenieros

y constructores romanos por su capacidad para realizar todo tipo de trazados, y es por ello

que es considerado uno de los doce ortoedros más apreciados en la tradición de la arqui-

tectura17. Era un formato conocido durante el Renacimiento, precisamente, por la influen-

cia del tratado de arquitectura de Vitruvio. Muchos de los manuscritos de Leonardo que

se conservan guardan una relación entre sus lados de 7/5 = 1,4. Al parecer era uno de los

sus formatos preferidos, lo que es lógico sabiendo las interesantes propiedades geométri-

cas de este tipo de rectángulos.

17 Los agrimensores y constructores romanos, como recoge Vitruvio en su tratado, conocían bien la forma

de trabajar con este tipo rectángulos, y los empleaban tanto para realizar las proyecciones topográficas y

establecer las lindes de las parcelas agrícolas como en los trazados de las ciudades, los campamentos e

incluso los edificios mediante el uso de cuerdas, estacas y otros instrumentos de medición.


14

No es una casualidad que sea el mismo formato en el que se basa la actual industria

papelera para establecer el estándar DIN18. La idea subyacente del modelo es una cuestión

meramente práctica, pero ilustra la versatilidad de un sistema de proporciones en función

de la raíz cuadrada de 2. Consiste en buscar la mejor manera de aprovechar el papel de

forma que al recortarlo disminuyan los costes de producción. En la denominada serie A,

la plantilla base es una resma de papel, denominada A0, que tiene una superficie de un

metro cuadrado. En un pliego de papel que tenga este formato, sus lados siempre guardan

una proporción tal que, dividiéndolo por la mitad de su longitud; cada una de las mitades

sigue guardando la misma proporción que la del pliego inicial. Para que se cumpla esta

propiedad, los lados del rectángulo deben guardar la siguiente relación, siendo x e y los

lados mayor y menor:

Las dimensiones del folio empleado

por Leonardo son ligeramente superiores

a las del formato de un DIN-A4 (345,00 x

246,00 mm frente a 297,00 x 210,00 mm

respectivamente); pero las proporciones

son las mismas y están determinadas en la

raíz cuadrada de 2. En la siguiente imagen

hemos superpuesto la representación del

“Hombre de Vitruvio” sobre la plantilla

del conjunto de estándares ISO 216 del

sistema métrico decimal. No es extraño

que escogiese para muchas de sus ilustra-

ciones el mismo formato que cinco siglos

después sería el estándar de los tamaños

normalizados para la fabricación de papel

en el mundo (Figura 5).

18 Formatos que se encuentran recogidos en las normas ISO 216 e ISO 416. Los tamaños de papel norma-

lizados ISO son los establecidos por las normas DIN alemanas en 1922, que fueron sucesivamente acepta-

dos por otros países europeos. Las normas DIN, en lo referente a tamaños de papel, determina un formato

básico basado en un rectángulo de 1 m2 de superficie cuyos lados mayor y menor guardan una relación

igual a raíz cuadrada de 2. De estas dos condiciones se obtiene un rectángulo cuyos los lados miden 1189

x 841 mm, las medidas del formato básico de la llamada serie A0, el resto se determinan en base a esta

razón.

Figura 5. Formato de papel ISO 216. El folio em-

pleado por Leonardo vendría a ser un DIN A4.


15

El hecho que las proporciones del folio sean las de un rectángulo igual a la raíz cua-

drada de 2 refuerza la hipótesis sobre la importancia del marco en la composición. Leo-

nardo habría sido muy cuidadoso a la hora de elegir el formato, y explicaría que se de-

cantara por una figura que, además de recoger lo mejor de la tradición vitruviana, le ofre-

cía un marco flexible, con unas propiedades geométricas aplicables mediante la regla y el

compás, lo suficientemente versátil para vertebrar su representación del “Hombre de Vi-

truvio” según las reglas de proporcionalidad y semejanza aplicables a este tipo de rectán-

gulos (Figura 6).

Figura 6. Reglas de división de un rectángulo según criterios de proporcionalidad y semejanza.

Como veremos, el análisis geométrico indica que Leonardo habría empleado la regla

de referencia propia de este tipo de rectángulos para establecer las líneas vertebradoras

del trazado y garantizar de este modo el vínculo entre las partes, las figuras del círculo y

el cuadrado, y el conjunto, es decir, el marco de la composición en base a dichas propor-

ciones.


16

3. El área teórica de trazado en base al rectángulo raíz cuadrada de 2.

Antes de abordar la construcción de las figuras en función de las proporciones del

folio es necesario aclarar que para que el trazado sea exacto hay que restar unos márgenes

a sus dimensiones máximas, aunque sin alterar sus proporciones de 7/5 ≈ √2. Con esta

corrección se sitúan en su correcta posición respecto a los márgenes verticales. Las di-

mensiones del folio no se corresponden con las de un rectángulo perfecto por la falta de

perpendicularidad. Si como creemos, Leonardo tuvo que apoyarse en las referencias in-

dicadas por este marco, no hubiera podido hacerlo desde los bordes mismos de la cuartilla,

ya que es prácticamente imposible disponer de un punto a partir del cual asegurar el trazo

al no haber espacio para colocar la punta del compás. Por otro lado, sin un área comple-

tamente regular que sirva para acotar el área del dibujo las figuras no quedarán centradas

respecto a los márgenes, como de hecho se observa. El eje vertical sobre el que se sitúan

los centros del círculo y el cuadrado, en el ombligo y el sacro, no se encuentran a la misma

distancia de los márgenes a derecha e izquierda; para que éstos queden centrados tenemos

que restar 2 mm al lado derecho.

Lo más lógico es que hubiese contemplando un marco para desarrollar su estrategia

geométrica, que habría aprovechado para fijar la cuartilla, centrar la composición y ga-

rantizar, mediante una serie de referencias, la rigurosidad del trazado. Si consideramos

las dimensiones máximas del folio (345 x 246 mm), tenemos que los lados del rectángulo

guardan una proporción de 1,4. Si aplicamos el método que vamos a desarrollar en base

a esta razón, el resultado no es el esperado, aunque tiene su explicación. La longitud de

la regla a la que llegamos es un segmento de 184,5 mm; una desviación considerable que

se hace más evidente aún en el diámetro del círculo derivado.

Sin embargo, esto no significa que el trazado propuesto sea incorrecto, únicamente

que hay que establecer unos márgenes, sin alterar sus proporciones, para que sea del todo

exacto. Una corrección pasa por restar 2,79 mm a los márgenes superior e inferior y 3,00

mm al derecho y al izquierdo. De esta forma queda definido un rectángulo cuyos lados

guardan una proporción igual a la raíz cuadrada de 2 = 1,41; frente a una proporción de

7/5 = 1,4; que es la que se desprende de las dimensiones máximas del folio.


17

Una vez aplicada la corrección, la base del rectángulo mide 240,00 mm y su longitud

es, por tanto, de 240 mm x √2 = 339,41 mm. En la Tabla II se puede ver que a partir de

la base y una razón de 3/4 = 0,75; cuya función inversa es 4/3 = 1,333, podemos obtener

un segmento que mide 180,00 mm.

TABLA II. GRADO DE PRECISIÓN DE LA RELACIÓN ENTRE LAS DIMENSIONES MÁXIMAS DEL FOLIO Y EL

ÁREA DE TEÓRICA DE TRAZADO CON LA LONGITUD DE LA REGLA.

Rectángulo Ancho (a) Largo (b) Razón (a/b)

Aprox. √2 Regla (c) Razón Aprox. (a/c)

Folio 246,00 mm 345,00 mm 1,402 99,17%

180,00 mm

1,367 97,56%

Marco 240,00 mm 339,41 mm 1,414 100,00% 1,333 100,00%

Tabla II. Para una proporción de 4/3 la relación entre el rectángulo raíz cuadrada de 2 y la longitud de la

regla dibujada por Leonardo en el folio es exacta si aplicamos unos pequeños márgenes, que en ningún caso

alteran sus proporciones, para garantizar el centrado y la perpendicularidad del marco de partida del trazado.

De ahora en adelante nos referiremos a este rectángulo de 339,41 x 240 mm indistin-

tamente con los nombres de “área teórica de trazado” o “marco principal”. En la siguiente

imagen se puede apreciar que la diferencia entre las dimensiones máximas del folio y las

del “marco principal”, una vez establecidos los márgenes, es muy pequeña, aunque como

hemos dicho, es esencial para dibujar el círculo y el cuadrado en función de las propor-

ciones del folio (Figura 7).

Figura 7. En amarillo el rectángulo correspondiente a las dimensiones máximas del folio (345,00 x 246,00

mm) y de color rojo el correspondiente al área teórica de trazado una vez establecidos los márgenes que

ayudan a centrar horizontalmente la composición (339,41 x 240,00 mm).


18

En la siguiente imagen se puede apreciar el grado de error del trazado que vamos a

desarrollar en función de las proporciones del folio si partimos de sus dimensiones máxi-

mas. La aproximación es de un 97,56% (Figura 8).

Figura 8. De color amarillo el cuadrado de 184,50 mm y la circunferencia resultantes de aplicar el trazado

partiendo de las dimensiones máximas del folio (345,00 x 246,00 mm). El resultado es una aproximación

de un 97,56%.

De entrada, no deja de ser un resultado interesante. El círculo y el cuadrado aparecen

prácticamente ubicados en su posición respecto a al margen superior e inferior, solo 2

mm por encima de lo que se observa en la imagen digital, y sus dimensiones son bastante

aproximadas. Contemplando la imagen se hace evidente que guardan una proporcionali-

dad con el formato de la cuartilla y que solo es cuestión de aplicar una corrección para

conseguir que encajen en su lugar y tengan las dimensiones correctas.


19

Si la aplicamos y centramos horizontalmente las figuras dentro del nuevo rectángulo

de 339,41 x 240,00 mm19 tendremos como resultado que son calcadas a las dibujadas por

Leonardo (Figura 9).

Figura 9. De color rojo el “área teórica de trazado” o “marco principal”, un rectángulo igual a la raíz cua-

drada de 2 que mide 339,41 x 240,00 mm, una vez aplicada la corrección de los márgenes, y las figuras del

círculo y el cuadrado obtenidas con el modelo en función de las proporciones del folio.

Las discrepancias de la aplicación del trazado a partir de las dimensiones máximas

del folio o del “marco principal” ponen en evidencia una precisión equivalente a una ra-

zón de 7/5 (1,4) frente a otra más precisa que es igual a la raíz cuadrada de 2 (1,412). De

todos modos, son diferencias que no afectan a la razón entre las figuras del cuadrado y el

círculo y de éstas con el formato de la cuartilla, ya que se trata de un cálculo proporcional.

La reducción de un rectángulo de 345,00 x 246,00 mm a otro de 339,41 x 240,00 mm no

altera sus proporciones. Esto refuerza nuestra hipótesis, ya que se cumpliría la regla de

referencia que habría utilizado Leonardo para garantizar, con independencia de las medi-

das del folio, que la razón entre ellas y su relación con el formato de la cuartilla fuesen

las mismas para todas las escalas.

19 El trazado en función de las proporciones del folio es muy sensible a la propagación de errores. Si parti-

mos de un marco de 339,41 x 240,00 mm, un error de tan solo 1 mm en la determinación del centro del

círculo dará como resultado un radio 1 mm más pequeño o más grande, que al multiplicarlo por 2 y por el

número π para obtener el perímetro de la circunferencia, a pesar de ser porcentualmente el mismo grado de

error, hará que éste aumente hasta los 6,20 mm.


20

4. Construcción del cuadrado en función del “marco rector”.

Según Frank Zöllner, el canon antropométrico de Vitruvio tiene sus orígenes en la

práctica de la arquitectura en la antigua Grecia, un sistema métrico cuya serie fraccionaria

es 3, 4, 6, 12, 24, 48, 96. Lo más destacado de este modelo de particiones es la definición

de las proporciones de las partes del cuerpo humano como fracciones de la altura total del

hombre, como ha sido preceptivo desde los orígenes de la arquitectura y la escultura, y

en donde las dimensiones se definen como las partes de una magnitud previamente esta-

blecida20.

Hay un análisis realizado por Ernesto

Fernández que reproducimos por su capa-

cidad para expresar gráficamente el con-

junto de relaciones que se desprenden de

la división del cuadrado en cuatro par-

tes21. Leonardo, siguiendo las indicacio-

nes del canon de Vitruvio, indicó con va-

rios segmentos sobre la figura del cuerpo

humano. Las divisiones realizadas a la al-

tura del pecho, el sacro y las rodillas no

tienen nada de aleatorio, son las indicadas

por las intersecciones de las diagonales

que unen los puntos medios de los lados

del cuadrado y forman un polígono de

ocho lados conocido como Estrella de

Brunés22 (Figura 10).

Figura 10. Divisiones sobre el cuerpo del hombre

del canon (de color amarillo) y correspondencias

con las intersecciones de las diagonales de los

puntos medios de los lados del cuadrado.

20 «La disposición de los templos depende de la simetría, cuyas normas deben observar escrupulosamente

los arquitectos. La simetría tiene su origen en la proporción, que en griego se denomina analogía. La pro-

porción se define como la conveniencia de medidas a partir de un módulo constante y calculado y la co-

rrespondencia de los miembros o partes de una obra y de toda la obra en su conjunto. Es imposible que un

templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros

o partes del cuerpo de un hombre bien formado.» Vitruvio Polión, Marco, “Los diez libros de arquitectura”,

Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp. 82.

21 Fernández, Ernesto, “Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (reflexiones sobre los principios

de la medida”.

22 La Estrella de Brunés se construye con las diagonales que unen los puntos medios de los lados de un

cuadrado con sus vértices. Se llama así por Tons Brunés, arquitecto danés del siglo xx que la empleó para

analizar las proporciones de edificios, monumentos y otras obras de arte de la antigüedad.


21

Las correspondencias con las intersecciones de los lados de la Estrella de Brunés son

consecuencia del sistema de particiones descrito por Vitruvio. El análisis de Ernesto Fer-

nández es sumamente interesante porque es una forma de ver el orden geométrico subya-

cente que no solo es aplicable a las dimensiones del cuadrado, sino también al marco

global del folio. La altura del hombre del canon es de 24 palmas, como escribió Leonardo

en la nota bajo la regla, o de 4 codos de 6 palmas cada uno, tal y como indican las divi-

siones de los extremos de la misma (Figura 11).

Figura 11. Cuadrícula de 4x4 codos y divisiones sobre la figura del cuerpo humano (de color amarillo).

Obsérvense las divisiones en los extremos de la regla correspondientes a las 6 palmas que hacen 1 codo23.

Para la construcción del cuadrado a partir de las proporciones del folio vamos a seguir

un “orden modular” similar indicado por el canon. Partiendo del área teórica de trazado,

vamos a aprovechar las propiedades del rectángulo raíz cuadrada de 2 para establecer las

líneas que servirán de referencia para los movimientos de regla y compás necesarios. La

magnitud previamente establecida será la base del folio, unidad respecto a la que el resto

estarán vinculadas por una serie de razones geométricas.

23 Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta” y op. cit. “Estudio sobre el

“Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”; Franco Taboada, Manuel, op. cit. “La cuestión del centro de

la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”.


22

Una vez aplicada la corrección de los márgenes, procedemos a establecer el cuadrado

base del que se obtiene la longitud del rectángulo raíz cuadrada de 2 a partir de un marco

de 339,41 x 240,00 mm. A continuación, con las diagonales (EFCD) determinamos el

centro. Este cuadrado, al que nos referiremos como “marco rector” para diferenciarlo del

dibujado, es el eje vertebrador de la composición (Figura 12). Al hacer este marcaje, lo

primero que advertimos es que el lado superior del “marco rector” coincide con la posi-

ción de los brazos en cruz, en el punto donde los dedos tocan el cuadrado (Figura 13).

Figura 12. Área de trazado y “marco rector”

(CC’DD’) formado por el abatimiento de la hipo-

tenusa (DC’) sobre la base del cuadrado (CD), de

donde se obtiene un rectángulo igual a la raíz cua-

drada de 2 (ABCD).

Figura 13. El punto donde los dedos medios del hom-

bre del canon tocan el cuadrado que es igual a su al-

tura coincide con el lado superior del “marco rector”

(C’D’).

El lado superior del “marco rector” coincide también con un segmento que Leonardo

trazó entre los hombros, bajo las clavículas, la línea guía que necesitaba para comenzar

el trazado en función del rectángulo raíz cuadrada de 2 (Figura 14).

Figura 14 - Detalle del segmento dibujado entre los hombros, a la altura de los brazos extendidos en cruz,

en el punto donde los dedos del hombre del canon tocan los lados del cuadrado coincide con el lado superior

del “marco rector” (C’D’).


23

Al igual que la altura del hombre del canon es de 4 codos, vamos a dividir el “marco

rector” (ABCD) en 4 partes para hallar el centro. Para ello nos serviremos de las diago-

nales del rectángulo que se forma en la mitad superior del cuadrado del “marco rector”

(ABEF). El punto de intersección de éstas con el eje vertical de la cuartilla es el centro

buscado, el punto donde ubicar el sacro. Leonardo aplica el orden modular del canon de

forma que la ubicación del centro del cuadrado en el que se debe inscribir el hombre del

canon sea coherente con la longitud del folio (Figura 15).

Figura 15. Determinación del centro del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon (o) mediante

la división del “marco rector” (CC’DD4) en 4 partes iguales (D1, D2, D3 y D4).


24

Obsérvese el grado de precisión alcanzado en la determinación de la posición en el

folio del centro del cuadrado, a 3/4 partes de la longitud del “marco rector”, donde se

sitúa el sacro/coxis del hombre del canon (Figura 16).

Figura 16. Detalle del trazado basado en la división en 4 partes iguales del “marco rector” para hallar el

centro del cuadrado correspondiente a la ubicación del sacro/coxis del hombre del canon (o). Como se

puede comprobar el punto D3, en las 3/4 partes del “marco rector”, acota perfectamente la posición del

centro de la figura del cuadrado.


25

Una vez hallado el punto donde se ubica el centro de la figura del cuadrado, ahora es

momento de determinar la longitud de sus lados que, como sabemos, tiene que ser de

180,00 mm.

Producto de la planificación geomé-

trica, la medida buscada está implícita en

el movimiento anterior. El punto donde se

ubica el sacro queda situado a 180,00 mm

del borde inferior del área teórica de tra-

zado, que es la longitud que ha de tener el

lado del cuadrado, por lo que solo tene-

mos que indicar las diagonales del rectán-

gulo que se forma desde el punto hallado

hasta el borde inferior del “marco rector”

(CD3) y en su intersección con el eje ver-

tical (x) colocar el centro del compás. A

continuación, y con una abertura también

hasta el borde inferior trazamos un círculo

(xo’). Su diámetro es el lado inferior del

cuadrado en el que se inscribe el hombre

del canon (z1z2), donde se sitúa el sacro.

De una forma sencilla, hemos hallado la

longitud del lado del cuadrado y su posi-

ción en la cuartilla (Figura 17).

Figura 17. Trazado del lado inferior del cuadrado

en base al “marco rector” cuya longitud es 180,00

mm (2oa).

Solo ha sido necesario dividir el “marco rector” en 4 partes para hallar la longitud de

los lados del cuadrado. Tenemos, por lo tanto, que la razón que vincula el cuadrado con

la base del rectángulo raíz cuadrada de 2 es una proporción de ¾:

240,00 mm x (3

4) = 180,00 mm

Es un resultado exacto en función de una fracción de números enteros. El cuadrado

en el que se inscribe el hombre del canon está implícito en el diseño de la composición

desde el mismo momento en que establecemos el “marco principal” de 339,41 x 240,00

mm y el “marco rector” de 240,00 x 240,00 mm. Es un método extremadamente adecuado

dado el sistema de particiones del canon descrito por Vitruvio, pues al basarse en el 4 y

el 6 y, ampliado a sus factores primos, también en el 2 y el 3, es una razón que aparece

de forma natural.


26

Solo queda trazar el cuadrado a partir de este segmento. Así tenemos que, tanto la ubica-

ción del centro de la figura respecto a las proporciones del folio como sus dimensiones se

resuelven con solo un movimiento de compás si consideramos los puntos de referencia

indicados por el “marco rector”. El resultado, como se puede ver en las siguientes imáge-

nes, es el de un cuadrado idéntico al dibujado por Leonardo (Figuras 18 y 19).

Figura 18. Trazado del cuadrado a partir del lado

inferior (z1z2), segmento obtenido en el paso ante-

rior indicado por la división en 4 partes iguales del

“marco rector”.

Figura 19. Aproximación del trazado a partir de un

área teórica de 339,41 x 240,00 mm al cuadrado

cuyos lados miden 180,00 mm. El resultado es un

cuadrado idéntico al dibujado por Leonardo.


27

5. Construcción del círculo a partir del cuadrado y el “marco rector”.

Veamos a continuación cómo hallar el círculo en el que se inscribe el hombre del

canon. Con esta operación obtendremos la razón de su relación con la figura del cuadrado,

un aspecto esencial para profundizar en la dimensión geométrica de la ilustración. Según

la teoría más difundida, Leonardo halló el punto donde situar el ombligo (c) a partir de la

sección áurea de su altura (ab) o, lo que es lo mismo, de la longitud del lado del cuadrado

(Figura 20).

Figura 20. Posición del ombligo del hombre del canon en función de la sección áurea del lado del cuadrado

que es igual a su altura (ab/bc = bc/ca = 1,618).

Quienes no creen que utilizara el Número de Oro argumentan que el resultado de

aplicar la sección áurea no es del todo exacto y que no hay ninguna mención al respecto

en las anotaciones del folio24.

24 No somos los primeros en advertir que el ombligo no divide exactamente la altura del “Hombre de Vi-

truvio” en función de la sección áurea, sino que se trata de una razón que, aunque muy próxima, no es

exactamente la correspondiente al famoso Número de Oro, es decir, 1,618. Para Stephen Skinner se trata

de una razón de 1,656. Skinner, Stephen, op. cit. “Geometría Sagrada”. Luis Castaño también ha estudiado

este aspecto y tampoco cree que se trate del Número de Oro, sino más bien una consecuencia de la aplica-

ción de una cuadrícula de 24 palmas. En sus investigaciones los resultados que obtiene en relación a la

razón entre la altura del hombre del canon y la posición del ombligo son de 180/110 = 1,63; 180/112,5 =

1,6 y 180/109,8 = 1,639; esta última relacionada con una unidad de 61 dedos. Castaño Sánchez, Luis, op.

cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta”, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12),

op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”, pp. 7-

9, y op. cit., “Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci”, p. 9. (Figuras 16 y 17). Carlos


28

Si buscamos el punto que debería corresponderse con el ombligo vemos que se sitúa

a 180,00 mm x 1,618 = 111,25 mm de la base del cuadrado, es decir, más de 2,00 mm por

encima de lo que se observa en la imagen (Figura 21).

Figura 21. Detalle del punto señalado por la sección áurea del lado del cuadrado. Como se puede ver queda

bastante por encima de la posición de la posición del ombligo.

Podría parecer una diferencia despre-

ciable, pero no lo es. Si en lugar de consi-

derar solo el radio nos fijamos en el diá-

metro del círculo tenemos que debería

medir 111,25 mm x 2 = 222,50 mm; mien-

tras que según la imagen digital su longi-

tud es de 218,36 mm (± 0,56 mm). La des-

viación se multiplica por 2, llegando a al-

canzar 4,14 mm, demasiado considerable

para atribuirla a un fallo de Leonardo; y

es que los vértices superiores del cua-

drado casi quedan inscritos en el círculo.

Ante la evidencia de la imagen anterior,

estamos convencidos de que no obtuvo el

radio del círculo en el que se inscribe el

hombre del canon con la sección áurea,

por lo que el cociente de su relación con

la longitud de los lados del cuadrado no es

el Número de Oro (Figura 22).

Figura 22. Círculo obtenido con la sección áurea a

partir de la altura del hombre del canon. Su diáme-

tro mide 111,25 mm, un valor muy por encima de la

medida ponderada que se desprende de la imagen

digital del folio. Como se puede ver, la desviación

es tan considerable que el cuadrado casi queda ins-

crito en el círculo.

M. Piera también se ocupa de esta cuestión y desarrolla un método con el que llega a una razón de 1,642.

M. Piera, Carlos, “Leonardo da Vinci y la cuadratura humana”, Recopilación para la “Fundación Albert

Einstein” de la república argentina, Madrid, 2002, http://www.fundacioneinstein.org/contenido/documen-

tos/34.pdf

http://www.fundacioneinstein.org/contenido/documentos/34.pdf

http://www.fundacioneinstein.org/contenido/documentos/34.pdf


29

Pero entonces, ¿cuál es la razón que establece entre las dos figuras? Entre las posibles

soluciones hay una que ha pasado incomprensiblemente desapercibida, que destaca por

su sencillez y grado de exactitud, que es mucho mayor que el que nos proporciona el

método basado en la aplicación de la sección áurea. El diámetro del círculo está determi-

nado por una simple rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del

canon. La longitud del radio del círculo (2oa) es la distancia que hay desde la base hasta

el vértice superior del nuevo cuadrado (Figura 23).

Figura 23. Determinación del círculo (de color amarillo) con la rotación 45º del cuadrado (z5z6z7z8) que es

igual a la altura del hombre del canon. Una forma sencilla y mucho más precisa de hallar la longitud del

radio (oa y ob) que el basado en la aplicación de la sección áurea. De color blanco, las figuras del círculo

y el cuadrado (z1z2z3z4) dibujadas por Leonardo.

La razón entre las longitudes de los lados del cuadrado y el radio del círculo que

arroja este método es mucho más próxima a una proporción de 5/3 = 1,667 que al valor

del Número de Oro, correspondiente a la solución de la ecuación de segundo grado (1+√5)

/ 2 = 1,618:

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜= 1,656 ≈

48

29


30

De este modo es posible trazar un círculo que es casi el dibujado por Leonardo. Par-

tiendo del cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm, el diámetro del círculo obtenido es

de 180,00/1,656 = 108,64 mm; frente a los 109,28 mm indicados por la medida ponderada

que hemos obtenido con la imagen digital del folio. Una diferencia de tan solo 0,48 mm;

lo que supone una magnífica aproximación, con la ventaja de ser una solución simple que

facilita su construcción (Figura 24).

Figura 24. Detalle de la determinación del círculo a partir de la rotación de 45º del cuadrado en el que se

inscribe el hombre del canon. Aunque es un método muy preciso, el círculo final, como se puede apreciar,

es algo más pequeño que el dibujado por Leonardo y mide 108,64 mm, frente a los 109,28 mm de la media

ponderada según se observa en la imagen digital (una aproximación del 99,42%).

No nos detendremos con más ejemplos de propuestas para hallar la figura del círculo

porque ésta es la más precisa y sencilla. Lo importante es corroborar que la relación entre

el círculo y el cuadrado no es el Número de Oro, es decir, la solución positiva de la ecua-

ción (1+√5) / 2 = 1,618; sino otro cociente mucho más próximo al conocido como Número

de Dios y correspondiente a una proporción de 3/5 = 0,6; cuya función inversa es 5/3 =

1,667. Es fácil confundir una razón con otra, depende del grado de precisión aplicado o

que pueda ser alcanzado, de si trabajamos con centímetros o milímetros. La diferencia

entre las dos razones, del orden de un 3%, es prácticamente despreciable en la mayoría

de los casos, como al tener que medir la altura de una persona o determinar las dimensio-

nes de una catedral; pero no en el caso de una cuartilla de papel con unas medidas esta-

blecidas milimétricamente. Esta precisión nos puede ayudar a distinguir si se trata de una

u otra razón, pues se corresponden con modelos geométricos completamente distintos.


31

Veamos el grado de aproximación al círculo al que llegamos con el modelo basado

en las proporciones de un rectángulo la raíz cuadrada de 2. Se consigue con un sencillo

movimiento de compás. Los puntos de referencia están implícitos en el marcaje realizado

en el paso anterior para hallar el cuadrado. Basta con situar el centro del compás en el

punto donde el lado de éste corta la línea que divide el “marco rector” por la mitad (D2)

y, con una abertura del compás hasta su lado superior (D4), trazamos un arco. Repetimos

la operación con el lado opuesto. La intersección de estos arcos es el centro del círculo

donde se ha de situar el ombligo (y). La medida del radio también nos la proporciona el

“marco rector”, es la distancia al lado inferior del cuadrado (z1z2z3z4), que sabemos ha de

ser tangente a la circunferencia que dibujemos (yz) (Figuras 25 y 26).

Figura 25. Posición del centro del círculo (y) a par-

tir del “marco rector” y el cuadrado hallados en el

paso anterior (puntos y1 y y2).

Figura 26. Determinación del círculo a partir del

radio que queda indicado por la distancia entre el

punto hallado en el paso anterior y la base del cua-

drado (yz).


32

Como sucede con el cuadrado, la figura del círculo no es del todo perfecta. Leonardo

necesitó al menos dos movimientos de compás. Es por esta razón que hemos optado por

considerar un valor ponderado para el diámetro, obtenido a partir de la medición de las

longitudes de los ejes de las abscisas y las ordenadas y de otro par de ejes escogidos

aleatoriamente (Tabla III).

TABLA III. MEDIDAS PONDERADAS DEL RADIO DEL CÍRCULO SEGÚN SE OBSERVA EN LA IMAGEN DIGI-

TAL.

Eje Valor 1 Eje Valor 2 (aleatorio) Eje Valor 3 (aleatorio) Media

X 109,44 mm X1 109,31 mm X2 109,00 mm 109,25 mm

Y 109,17 mm Y1 109,26 mm Y2 108,90 mm 109,11 mm

Media 109,31 mm 109,29 mm 108,95 mm 109,18 mm

Tabla III. Longitudes de los radios en la imagen digital del folio para los ejes de las abscisas y coordenadas

y otros dos elegidos aleatoriamente.

Así tenemos que la longitud del radio oscila entre los 108,95 mm y los 109,44 mm;

una diferencia en torno al medio milímetro (0,49 mm). La medida ponderada es 109,18

mm (± 0,25 mm). Con el trazado basado en las proporciones de un rectángulo raíz cua-

drada de 2 obtenemos un radio que mide 109,37 mm. La desviación es de apenas 2 déci-

mas de milímetro (0,19 mm), casi del mismo orden de magnitud que el grosor de la pluma

empleada.


33

Partiendo del cuadrado y los puntos indicados por la intersección con el “marco rec-

tor” llegamos a un círculo idéntico al dibujado por Leonardo. El resultado se puede ver

en la siguiente imagen. Hemos destacado en color rojo el área del “marco principal”

(339,41 x 240,00 mm) y del “marco rector” formado por la base de la cuartilla. La apro-

ximación a las medidas que se observan en la imagen digital del folio es del 99,83%, lo

que se traduce sobre el papel en una desviación inferior a 2 décimas de milímetro (0,19

mm). En la imagen no hemos destacado las figuras del círculo y el cuadrado, ya que las

son exactas a las dibujadas por Leonardo, tan solo hemos indicado los puntos de referen-

cia necesarios para los movimientos necesarios en base al “marco rector” del rectángulo

igual a la raíz cuadrada de 2 (Figura 27).

Figura 27. De color rojo las líneas de apoyo del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el

“marco rector” formado por la base del folio, que es la del rectángulo raíz cuadrad de 2, y en blanco los

puntos que permiten trazar los arcos de cuya intersección se ubica el centro del círculo en el ombligo del

hombre del canon.


34

La diferencia entre este modelo y el método basado en la sección áurea es que para

hallar el centro del círculo partimos de la longitud de los lados del cuadrado y de los

puntos indicados por las proporciones del “marco principal”, por lo que su posición en el

folio y la medida de su radio se encuentran en función de dos factores en lugar de uno, lo

que aumente la precisión del trazado (Figura 28).

Figura 28. Detalle de la aproximación a los centros de las figuras del cuadrado y el círculo del trazado

basado en las proporciones del folio según el marcaje en función del “marco rector”.

De esta forma, la posición del ombligo queda milimétricamente establecida y el diá-

metro del círculo, a diferencia del obtenido con la sección áurea, se corresponde con las

medidas que se desprenden del escalado digital de la imagen del folio en un 99,82%.

TABLA IV. APROXIMACIÓN DEL TRAZADO PROPUESTO A LA MEDIDA PONDERADA DEL RADIO DEL

CÍRCULO.

Marco Rector Cuadrado

Razón

Círculo

Ponderada Diferencia Aproximación

x c = 3/4x Radio

240,00 mm 180,00 mm 1,646 109,37 mm 109,28 mm 0,09 mm 99,92%

Tabla IV. Aproximaciones a la medida del radio del círculo según el trazado propuesto a la medida ponde-

rada del radio del círculo según se observa en la imagen digital escalada.

Es muy improbable que, de no cumplirse la hipótesis del marco, hubiésemos logrado

llegar al mismo resultado que Leonardo con una desviación de tan solo el 0,18% para la

longitud del radio del círculo, y exacta para las dimensiones del cuadrado, lo que se tra-

duce sobre el papel en un error inferior a un milímetro por cada cien; una diferencia que

apenas es perceptible a simple vista. El método basado en las proporciones de un rectán-

gulo igual a la raíz cuadrada de 2 es el más preciso, no solo en cuanto a la determinación

de las dimensiones del círculo y el cuadrado, sino también respecto a la posición que

ocupan en el folio.


35

Es una disposición estudiada, que revela una estrategia resuelta con gran sentido práctico,

de modo que se cumpliese la premisa, tan apreciada por el artista italiano, de que la sim-

plicidad es la sofisticación definitiva. De un modelo en apariencia sencillo se infiere un

conjunto de relaciones entre las partes y el conjunto que constituye una auténtica teoría

de las proporciones y una clase magistral de geometría clásica. En la siguiente imagen se

puede apreciar la sencillez del trazado si partimos de las referencias que nos ofrece el

“marco rector” (Figura 29 y 30).

Figura 29. Trazado del “Hombre de Vitruvio” a

partir de las referencias indicadas por el formato

del folio basado en un rectángulo igual a la raíz

cuadrada de 2, el mismo que empleamos en la ac-

tualidad como estándar de las cuartillas DIN-A4.

Figura 30. A partir de las referencias indicadas por el

formato del folio basado en un rectángulo igual a la

raíz cuadrada de 2, el mismo que empleamos en la

actualidad como estándar de las cuartillas DIN-A4

(nomenclatura puntos de referencia).

Así tenemos que la razón que guardan las figuras del círculo y el cuadrado según el

trazado propuesto es:


𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜=

180,00 𝑚𝑚

109,37 𝑚𝑚= 1,646 ≈

28

17


36

Más adelante nos ocuparemos de esta fracción. De momento, indicar que como era

de esperar el resultado del análisis permite descartar que la razón de la posición del om-

bligo del hombre del canon respecto a su altura no es la sección áurea como es aceptado

comúnmente, sino una fracción de 28/17 = 1,646 mucha más próxima a una proporción

de 5/3 = 1,667. Cuidado porque esto es importante, ya que dar por hecho este supuesto

impide prestar atención a la composición en su conjunto, lo que, como hemos podido

comprobar, desatiende la relación de las figuras del círculo y el cuadrado con el formato

del folio, un aspecto esencial para la comprensión del orden interno y, por tanto, de la

naturaleza de dicha vinculación.


37

6. Construcción del círculo mediante la inversión del “marco rector”.

Como hemos visto, basta una divi-

sión del “marco rector” en 4 partes para

hallar la posición del centro del cuadrado

respecto a los márgenes horizontales y,

con el mismo movimiento, hallar sus di-

mensiones para, a continuación, con un

par de movimientos de compás trazar el

círculo. De este modo, las líneas guía que-

dan establecidas por el cuadrado formado

por la longitud de la base del rectángulo,

el “marco rector” (CC’DD’). Lo que no

advertimos es que, si lo invertimos, con

dos “marcos rectores” es posible determi-

nar la posición en el folio del centro del

círculo. Los dos marcos de referencia se-

rán, por un lado, el que llamaremos

“marco rector inferior” (CC’DD’), que es

el utilizado en el trazado anterior y, por

otro, el “marco rector superior” (AA’BB’),

que es el mismo marco, pero invertido

(Figuras 31 y 32).

Las longitudes de estos dos cuadra-

dos y los puntos señalados por sus diago-

nales van a ser los ejes vertebradores de la

composición. La posición de los centros

de las dos figuras respecto a los márgenes

horizontales, así como sus dimensiones en

función de los márgenes verticales, están

implícitas en la combinación de estos dos

marcos. Leonardo fue muy hábil conju-

gando continente y contenido empleando

una serie de referencias en base al rectán-

gulo raíz cuadrada de 2 para una construc-

ción especular que mediante la cual trazar

con la máxima precisión y de la forma

más sencilla que fuese posible el círculo y

el cuadrado en los que inscribir el hombre

del canon en sus posiciones en reposo y

movimiento.

Figura 31. “Marco rector” (CC’DD’) formado por

la base inferior del cuadrado a partir del cual se

obtiene la longitud del “marco principal”, es decir,

el rectángulo raíz cuadrada de 2 (ABCD) para un

área de trazado de 339,41 mm x 240,00 mm.

Figura 32. “Marco rector” (AA’BB’) formado por

la base superior del rectángulo raíz cuadrada de 2

(ABCD) para un área de trazado de 339,41 mm x

240,00 mm.


38

Contemplar la ilustración del “Hombre de Vitruvio” desde la perspectiva que nos

proporciona el marco basado en un rectángulo raíz cuadrada de 2 nos descubre el “orden

modular” que gobierna la composición. La belleza del método radica en su simplicidad.

En las siguientes imágenes se puede apreciar la escrupulosa planificación previa al tra-

zado de las figuras del círculo y el cuadrado. Por un lado, el tablero formado por los

cuadrados correspondientes a los dos “marcos rectores” (AA’BB’ y CC’DD’) y, por otro,

la relación de sus diagonales (AD, CD’ y A’B) con los puntos indicados por la diagonal

del rectángulo correspondiente al “marco principal” (AD) (Figuras 33 y 34).

Figura 33. Tablero de trazado formado por los dos

“marcos rectores” formados por la base del rectán-

gulo raíz cuadrada de 2: el inferior (CC’DD’) y el

superior (AA’BB’). Con esta sencilla configura-

ción se establecen las líneas guías de la composi-

ción.

Figura 34. Relación del tablero con los ejes verte-

bradores de la composición, la diagonal de la lon-

gitud del rectángulo raíz cuadrada de 2 y las dia-

gonales correspondientes a los cuadrados de los

dos “marcos rectores” (AA’BB’ y CC’DD’).


39

En el trazado anterior partíamos de la

base del rectángulo del “marco principal”

para hallar el lado inferior del cuadrado en

el que se inscribe el hombre del canon y, a

continuación, a partir de éste el centro del

círculo y la longitud del radio. Con esta

nueva propuesta la manera de obtener el

cuadrado es la misma, solo varía la forma

de hallar el centro del círculo y el orden en

el que dibujamos las figuras, ya que no im-

porta por cuál comencemos.

En efecto, es posible determinar la po-

sición del centro del círculo dándole la

vuelta al “marco rector” que hemos em-

pleado en la propuesta anterior (AA’BB’).

Una vez girado, si trazamos un círculo con

el centro del compás en la intersección de

la vertical del folio (o) con el lado inferior

del “marco rector” invertido (A’B’), su

diámetro indica la posición del centro del

círculo (x’) (Figura 35).

El ombligo (x) queda situado respecto

a la longitud del “marco principal” en base

a una razón que es igual a la raíz cuadrada

de 2 (ED/EB), es decir, la misma propor-

ción que guardan los lados del rectángulo

(Figura 36). Leonardo se asegura de esta

manera que la posición del hombre del ca-

non en el folio sea coherente con dichas

proporciones, de forma que el orden mo-

dular se refleje en la disposición de las fi-

guras del círculo y el cuadrado (x). No

cabe una disposición más congruente entre

las partes y el conjunto, es decir, entre el

círculo y el cuadrado y el rectángulo raíz

cuadrada de 2 del “marco principal”, el

verdadero eje vertebrador del orden in-

terno de la composición.

Figura 35. Determinación del centro del círculo en

función de la longitud del “marco principal” (AC)

en la intersección (o) con el “marco rector supe-

rior” (A’B’). La diferencia al margen inferior del

rectángulo es el radio (ox) del círculo que ubica la

posición del ombligo (x’).

Figura 36. La razón de la posición del ombligo res-

pecto a la longitud del “marco principal” (x) es la

raíz cuadrada de 2, la misma que guardan los lados

del rectángulo (AC/AB).


40

Una vez ubicado el centro del círculo,

para hallar el centro del cuadrado, donde

se ha de situar el sacro del hombre del ca-

non, vamos a proceder de forma similar,

pero empleado el “marco rector inferior”

(CC’DD’), tal y como hacíamos en la pro-

puesta de trazado anterior. Lo dividimos

en 4 partes (D, D1, D2, D3 y D4) y a conti-

nuación hallamos el punto buscado (y) en

la intersección de las diagonales que indi-

can las 3/4 partes del “marco rector”. Es

una sencilla operación que ubica el centro

del cuadrado y, a la vez, establece la lon-

gitud de sus lados, que es igual a la distan-

cia al borde inferior del “marco rector”

(CD) (Figura 37).

Una vez que hemos determinado la

posición en el folio de los centros de las

figuras, sus dimensiones ya están determi-

nadas en este mismo movimiento, y esto es

así porque el círculo, tal y como lo dispuso

Leonardo, es tangente al lado inferior del

cuadrado. Solo hay que tirar la diagonal de

la esquina inferior del “marco principal” a

las 3/4 partes del “marco rector inferior”

(CD3). La intersección con el eje vertical

(z) es el punto que determina las longitu-

des del radio del círculo (xz) y de los lados

del cuadrado (yz) (Figura 38).

La planificación no puede ser más

sencilla, aunque tras esta aparente simpli-

cidad nos encontremos ante la exposición

de un teorema sobre la teoría de las pro-

porciones y las propiedades del rectángulo

la raíz cuadrada de 2. Sorprende que esta

disposición haya pasado desapercibida en

todos los estudios que se han realizado,

centrados únicamente en la razón de la re-

lación entre las dos figuras sin tener en

cuenta el marco de la composición, es de-

cir, la obra en su conjunto.

Figura 37. Determinación del centro del cuadrado

(y) a partir de la división en 4 partes iguales

(D1D2D3D4) del “marco rector” (CC’DD’).

Figura 38. Determinación de las longitudes de los

lados del cuadrado (xz) y el radio del círculo (yz) a

partir de la intersección de la diagonal a las 3/4 par-

tes del “marco rector” con el eje vertical del “marco

principal” (z).


41

Con estas dos operaciones ya tenemos ubicados los centros de las figuras en el folio

y determinadas sus dimensiones a partir de los puntos de referencia indicados por los dos

“marcos rectores” de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. Solo queda trazarlas, sin

importar por cuál de ellas comencemos (Figuras 39 y 40).

Figura 39. Trazado del círculo en función de

los dos “marcos rectores” (ABA’B’ y CDD4C’).

Figura 40. Trazado del cuadrado en función del

“marco rector inferior” (CDD4C’).

Leonardo, a la hora de establecer los ejes rectores de la ilustración de esta forma,

buscaba con toda probabilidad la máxima precisión en el trazado. Como hemos indicado,

la inmensa mayoría de los estudios se han ocupado de la relación que estableció entre las

figuras del círculo y el cuadrado. Esto ha provocado que no se prestara la debida atención

a la representación en su conjunto, olvidando que para el artista italiano los “pequeños

detalles” eran los más importantes. El dar por hecho, por ejemplo, que la solución a dicha

relación es la sección áurea ha desviado el foco de la cuestión que, como hemos podido

comprobar, no solo se encuentra en la relación entre ellas, sino también en su vinculación

con el marco formado por un rectángulo raíz cuadrada de 2, la clave para comprender la

forma en que conjugó continente y contenido.


42

En las siguientes imágenes se pueden ver los resultados de los dos trazados, a los que

denominaremos “trazado A” y “trazado B” respectivamente, desarrollados en este trabajo

sobre la imagen digital escalada del folio. El círculo de color amarillo es el que se obtiene

con el “trazado A”, que se sirve del “marco rector inferior”, idéntico al dibujado por Leo-

nardo. El círculo de color rojo es el correspondiente al “trazado B” empleando el “marco

rector superior” (Figuras 41 y 42).

Figura 41. Trazado del círculo en función de los

dos “marcos rectores” sobre la imagen de la ilus-

tración del “Hombre de Vitruvio”.

Figura 42. Trazado del cuadrado en función del

“marco rector inferior” sobre la imagen de la ilus-

tración del “Hombre de Vitruvio”.


43

Con el “trazado B” no obtenemos la misma precisión que con la propuesta anterior.

La diferencia con la medida ponderada del radio del círculo es de 0,46 mm, que repartidos

a izquierda y derecha de la figura se traduce en una desviación de 0,23 mm, despreciable

si tenemos en cuenta el margen de error esperado. El cuadrado no presenta ningún pro-

blema, se dibuja de la misma forma a partir de la base del “marco rector”. Sus lados miden

180,00 mm, la medida de referencia del escalado de la imagen digital junto a las dimen-

siones máximas del folio. La única diferencia entre los dos métodos es en cuanto a la

determinación del centro del círculo. Con el “trazado A” se obtiene a partir de la longitud

del “marco rector” y el cuadrado dibujado previamente, mientras que con el “trazado B”

y la inversión del “marco rector” podemos hacerlo en función de las proporciones del

“marco principal”, situando el ombligo respecto a los márgenes horizontales de manera

que la razón fuese la misma que la del contenedor, es decir, la raíz cuadrada de 2 (Figuras

43 y 44).

Figura 43. “Trazado A” en función del “marco rec-

tor inferior” (CC’DD4). En primer lugar, se ob-

tiene la figura del cuadrado y a partir de ésta la del

círculo. La aproximación a lo dibujado por Leo-

nardo a las medidas ponderadas según se observa

en la imagen digital es de un 100,08%.

Figura 44. “Trazado B” en función de dos “marcos

rectores” (CC’DD4 y AA’BB’). El cuadrado se di-

buja de la misma forma, mientras que el círculo se

obtiene con la inversión del “marco rector”. De co-

lor amarillo el círculo del primer trazado y de color

rojo el del segundo.


44

La relación entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y las proporciones

del folio convierte la ilustración de Leonardo en un teorema geométrico sobre las propie-

dades que se infieren de dicha vinculación. Los resultados del análisis dejan poco lugar a

dudas sobre el hecho de que no es posible desligarlas de la geometría de un rectángulo

raíz cuadrada de 2. No estábamos equivocados, pero nos faltaban más elementos de juicio.

Solo había que darle una vuelta más al problema y prestar más atención al orden en el que

desarrollar el trazado, porque esto es precisamente lo que hizo o cuando ideó la forma de

dibujarlas a partir de dichas proporciones.

Sabemos que a Leonardo le gustaba contemplar todo siempre desde una perspectiva

diferente. Como sucede en muchas de sus obras, oculta tanto o más de lo que muestra. En

su representación del “Hombre de Vitruvio” tras cada movimiento de regla y compás se

adivina la presencia del maestro velando por la correcta disposición de todos los elemen-

tos, lo que se traduce sobre el papel en un teorema que abruma por su profunda simplici-

dad desde el momento en que establece las líneas de referencia de la composición. Su

construcción en base a las referencias del “marco rector” y su inverso es ingeniosa y sigue

la misma pauta de la forma en que escribía Leonardo, del revés, es decir, dándole la vuelta

para conseguir ejes de simetría especulares.


45

7. Determinación de la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado.

Uno de los objetivos de este trabajo, que era hallar la forma más eficaz de dibujar las

figuras del círculo y el cuadrado, nos conduce ahora a la parte más importante, determinar

la razón que Leonardo establece entre ellas que, como hemos visto, tiene que ver con el

orden modular basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. El trazado que hemos

desarrollado, en sus dos variantes y con independencia de las dimensiones del folio, arroja

el mismo resultado para todas las escalas, ya que se trata de un cálculo proporcional,

idóneo para tratar de resolver el problema. Las razones son las soluciones correspondien-

tes a las fracciones 28/17 = 1,647 para el “trazado A” y entre 43/26 = 1,654 y 48/29 =

1,655; valores todos ellos mucho más próximos a una proporción de 5/3 = 1,667 que a la

razón de la sección áurea (Ver Anexo I).

TABLA V. APROXIMACIONES A LA MEDIDA PONDERADA DEL RADIO DEL CÍRCULO SEGÚN EL TRAZADO

BASADO EN LAS PROPORCIONES DE UN RECTÁNGULO RAÍZ CUADRADA DE 2.

Razón Valor Cuadrado Círculo Ponderada* Desviación * Aproximación *

A Sección áurea 1,618

180,00 mm

111,25 mm

109,28 mm

1,97 mm 98,23%

Imagen 1,647 109,28 mm 0,00 mm 100,00%

B 5/3 1,667 108,00 mm -1,28 mm 101,19%

Tabla V. Aproximaciones a la medida del radio del círculo en función de las dos soluciones en función de

un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. * Diferencias respecto a la medida ponderada del radio del

círculo según se observa en la imagen digital escalada.

Las soluciones A y B, razones de la sección áurea y proporción de 5/3, son los um-

brales de la serie, aunque las desviaciones en la medida del radio del círculo que se obtiene

para estos valores a partir de un cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm son demasiado

considerables, siendo apreciables claramente la diferencias respecto al dibujado por Leo-

nardo (Figura 45).

Figura 45. Detalle de la aproximación a la medida ponderada del radio del círculo a partir de una fracción

de 5/3 = 1,667, un círculo con un radio de 108,00 mm (de color amarillo), y de la sección áurea, con la que

se obtiene un radio de 111,25 mm (de color rojo).


46

Si descartamos los valores de la sección áurea y la proporción de 5/3, son tres las

posibles soluciones a la razón entre las dos figuras según el trazado basado en las propor-

ciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2 (Tabla VI).

TABLA VI. APROXIMACIONES A LA MEDIDA PONDERADA DEL RADIO DEL CÍRCULO SEGÚN LAS DOS VA-

RIANTES DEL TRAZADO EN FUNCIÓN DE LAS PROPORCIONES DE UN RECTÁNGULO RAÍZ CUADRADA DE 2.

Razón Valor Cuadrado Círculo Ponderada* Desviación * Aproximación *

Trazado A 1,646

180,00 mm

109,37 mm

109,28 mm

0,09 mm 100,08%

28/17 1,647 109,29 mm 0,01 mm 100,01%

Imagen 1,647 109,28 mm 0,00 mm 100,00%

43/26 1,654 108,84 mm -0,44 mm 99,59%

Trazado B 1,654 108,82 mm -0,46 mm 100,42%

48/29 1,655 108,75 mm -0,53 mm 99,52%

Tabla VI. Aproximaciones a la medida del radio del círculo en función de las dos soluciones de trazado en

función de un rectángulo raíz cuadrada de 2. * Diferencias respecto a la medida ponderada del radio del

círculo según se observa en la imagen digital escalada (109,28 mm).


47

Sobre la imagen digital, el círculo correspondiente a la solución del “trazado A” es

idéntico al dibujado por Leonardo (de color amarillo), y tiene un radio cuya longitud es

109,37 mm; mientras que el que se desprende del “trazado B” (de color rojo), es algo más

pequeño, su radio mide 108,82 mm (Figura 46).

Figura 46. Diferencia entre los círculos correspondientes a los trazados propuestos en función de un rec-

tángulo raíz cuadrada de 2. De color amarillo el que se obtiene con el “trazado A” y mide 109,37 mm,

idéntico al dibujado por Leonardo, y de color rojo el círculo correspondiente al “trazado B” cuyo radio

mide 108,82 mm.

Como se puede apreciar, la diferencia entre los radios de los círculos de las dos so-

luciones es muy pequeña (0,55 mm), sobre el papel casi del mismo orden que el grosor

de una pluma, sin olvidar que, regla y compás en mano, ir más allá de un milímetro por

metro es algo complicado, ni que decir si son décimas de milímetro. Recordemos que la

discrepancia solo es en cuanto al radio del círculo, pues el cuadrado se dibuja de la misma

forma. Las figuras del “trazado A” son exactas respecto a lo que se observa en la imagen

digital, la longitud del radio es la que más se acerca a la medida ponderada, ya que, y

como hemos indicado, la figura del círculo no es del todo perfecta, Leonardo necesitó al

menos un par de movimientos de compás para completarla.

La forma de dibujar el círculo con el “trazado B” no es tan precisa, todo y que no

deja de ser una aproximación magnífica, superior incluso a la solución basada en la rota-

ción 45º del cuadrado. La fracción 48/29 = 1,655 es interesante. No somos los primeros

que hemos llegado a este valor. Stephen Skinner escribe que «el círculo de Leonardo se

ha trazado tomando como centro el ombligo, de acuerdo con la suposición de que este

punto divide la altura de un hombre según la razón de la sección áurea. Leonardo era un

maravilloso observador y dibujó su Hombre de Vitruvio tomando modelos reales, pero el

resultado fue una razón de 1,656»25.

25 Skinner, Stephen, op. cit. “Geometría Sagrada”.


48

En efecto, la fracción de 48/29 tiene

relación con la altura del hombre del ca-

non como consecuencia de que Leonardo

empleara el sistema fraccionario vitru-

viano no solo para la representación del

canon de la figura humana, sino también

para la ordenación modular de la compo-

sición en base al formato del folio. Según

el canon la altura del hombre es de 24 pal-

mas, o también 4 codos de 6 palmas cada

uno; tal y como escribió en la nota bajo la

regla y se cuidó de indicar con unos seg-

mentos trazados a la altura de las rodillas,

del sacro y del pecho (Figura 47).

Figura 47. División del cuadrado que es igual a la

altura del hombre en 24 palmas, o 4 codos de 6 pal-

mas cada uno indicados por las divisiones del canon

descrito por Vitruvio en su tratado de arquitectura

(de color amarillo).

Las divisiones en los extremos de la regla son la base del sistema fraccionario antro-

pométrico del canon descrito por el ingeniero romano. Carlos M. Piera y Luis Castaño

también han estudiado esta cuadrícula en relación con la posición del ombligo, aunque

con otros resultados26. Si consideramos una cuadrícula de 24 x 2 = 48 medias palmas (7,5

mm/2 = 3,75 mm), el centro del cuadrado queda situado a 24 de estas unidades (24 x 3,75

mm = 90,00 mm) y el del círculo a 29 (29 x 3,75 mm = 108,75 mm). Así tenemos la

fracción 24/29 = 0,828; que multiplicada por 2 es 48/29 = 1,655 (Figura 48).

Figura 48. Posiciones del sacro y el ombligo correspondientes a los centros del cuadrado (24 unidades) y

el círculo (29 unidades) en base a una cuadrícula de 48x48 unidades de 3,75 mm (1/10 de media palma) 27.

26 Castaño Sánchez, Luis, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta; op. cit., La cuestión del

centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio; op. cit., Estudio sobre el “Hombre

de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”; M. Piera, Carlos, op.cit. “Leonardo da Vinci y la cuadratura humana”.

27 Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta”, p. 36 Figura 10, p. 12,

Figura 12; op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitru-

vio” y op. cit., “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”. Franco Taboada, Manuel,

op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”.


49

La distancia entre la posición del ombligo y la del sacro es de 5 medias palmas o, lo

que es lo mismo, 10 veces la unidad mínima del sistema, es decir, 10 dedos (10 x 1,875

mm = 18,75 mm). La estrategia geométrica que habría seguido Leonardo inspirándose en

el sistema fraccionario del canon y en función de un rectángulo raíz cuadrada de 2 expli-

caría que los centros de las figuras en base a una cuadrícula de 48 medias palmas estuvie-

sen en consonancia con los puntos indicados por los “marcos rectores”. De todos modos,

no deja de ser una solución más bien teórica al problema de cómo se trazan las figuras,

requiere haber dibujado antes el cuadrado, por lo que no explica su posición en el folio.

Por otro lado, hay que indicar al menos 24 divisiones sobre los lados del cuadrado, lo que

aumenta de forma considerable la posibilidad de cometer errores, siendo mucho más sen-

cillo el trazado propuesto.

A la espera de nuevos estudios que puedan confirmar estos resultados, podemos con-

cluir que la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado según se desprende del trazado

basado en las proporciones del rectángulo raíz cuadrada de 2, considerando que la medida

de los lados del cuadrado es 180,00 mm, es según la solución más precisa (“trazado A”):



180,00 𝑚𝑚

109,37 𝑚𝑚= 1,646 ≈

28

17

A esta fracción le sigue, como valor más cercano a la medida ponderada del radio del

círculo y umbral del modelo de trazado, la que se desprende de la inversión del “marco

rector” para determinar el centro de la figura (“trazado B”):



180,00 𝑚𝑚

108,82 𝑚𝑚= 1,655 ≈

48

29

Por encima y debajo de estos valores, si nos atenemos a lo que se observa en la ima-

gen digital, cualquier otra solución ya presenta desviaciones demasiado considerables

para que sean debidas a un fallo de Leonardo o, por parte nuestra, en el escalado de la

imagen digital, aunque es improbable puesto que las medidas que hemos empleado están

cotejadas y, por otra parte, se corresponden con lo que indican los cálculos de las opera-

ciones realizadas con la regla y el compás.


50

8. Conclusiones del análisis geométrico de la ilustración.

Los problemas derivados de la práctica de los oficios constituyeron hace miles de

años el punto de partida de las técnicas basadas en el rigor de la geometría. Los agrimen-

sores del antiguo Egipto descubrieron que un ángulo recto puede obtenerse con los valo-

res 3, 4 y 5 tomados como los lados de un triángulo rectángulo, una fórmula que Pitágoras

convirtió en el teorema por excelencia, convirtiendo la observación empírica en reflexión

científica28. Sobre el año 320 a.C., estos conocimientos fueron sistematizados por Eucli-

des, momento en el que se establecieron las bases de la geometría básica del plano, tam-

bién conocida como de regla y compás, pues solo son necesarios estos instrumentos para

su desarrollo29. El pensamiento de Platón también influyó de forma notable en la defini-

ción del concepto de geometría al plantear en el Timeo un mito cosmogónico de raíz

pitagórica según el cual ciertas relaciones numéricas reflejan la estructura armónica del

cosmos y, como consecuencia, la ciencia y el arte debían regirse por dichas razones.

Leonardo, buen conocedor Euclides y el filósofo de Atenas, escribió que «no existe

ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas», y recurrió a

modelos geométricos para la descripción de observaciones físicas, mecánicas, aerostáti-

cas, astronómicas y arquitectónicas. Así, por ejemplo, para estudiar los fenómenos ópti-

cos se sirvió de los cuerpos piramidales y las reglas de la perspectiva; y para describir los

movimientos de las fuerzas musculares empleó el análisis de las superficies curvas. Su

representación del “Hombre de Vitruvio” es la obra de un consumado anatomista que

estaba acostumbrado a emplear la geometría como herramienta para describir aquello que

observaba. Es una de sus ilustraciones más célebres, que ha pasado a la historia como

símbolo de las principales ideas del pensamiento renacentista, entre ellas la del hombre

como centro del cosmos y medida de todas las cosas; y como ejemplo de una perfecta

combinación entre arte y ciencia.

28 Durante la Edad Media, los conocimientos de geometría no se tomaban como valores en sí mismos, sino

como una herramienta de control formal. Así, por ejemplo, la incorporación de números enteros a la geo-

metría de ciertos polígonos permitió trabajar gráfica y métricamente dando entrada a cálculos proporciona-

les que salvaron el escollo de tener que manejar los números irracionales implícitos en dichas geometrías.

Es posible trazar un triángulo equilátero sin utilizar el compás mediante una regla y una relación de 7

unidades de lado por 6 unidades de altura; lo que implica una aproximación a la raíz cuadrada de tres que

tiene un error de tan solo 18 milésimas; o mediante la relación 8/7, que es la misma aproximación, pero por

exceso. Lo mismo ocurre con las razones 7/5 y 10/7, que son las aproximaciones, por defecto y exceso, a

la raíz cuadrada de 2, y cuyo error es inferior a una centésima.

29 Se trata de una geometría compuesta por rectas, curvas, ángulos, polígonos y círculos; vertebrada por

criterios de semejanza y axiomas que sirven para resolver problemas relacionados con la medición de las

extensiones y las superficies. Euclides es considerado el padre de la geometría. Su tratado Los Elementos

ha sido la obra más consultada en la historia después de los textos sagrados de la Biblia y el Corán. Abelardo

de Bath hizo una primera traducción del árabe al latín en torno al año 1070. Los teoremas geométricos de

Euclides se mantuvieron casi sin variaciones hasta bien entrado el siglo XVIII.


51

Cuando el artista italiano se planteó la forma de dibujar un hombre con las propor-

ciones indicadas por el canon, de forma que quedase inscrito en un cuadrado y un círculo,

dos figuras que desde la antigüedad han sido expresión de la coordinación entre el micro

y el macrocosmos, quiso ir más allá de la cuestión antropométrica, dejando constancia de

que las proporciones de la figura humana forman parte de un conjunto de relaciones mu-

cho más extenso, tratando de expresar la idea de que el ser humano y el universo son

aspectos de una misma y poliédrica realidad, dos dimensiones interrelacionadas de forma

que las leyes que establecen las proporciones de las diferentes partes del cuerpo humano

son las mismas que se dan en la naturaleza.

Para ello empleó la herramienta que mejor conocía y, partiendo de la tradición de la

geométrica clásica, llegó a una solución original. Su ilustración es la más sugestiva de

cuantas representaciones de canon se conocen, y no solo desde un punto de vista exclusi-

vamente antropométrico, sino desde una perspectiva que engloba desde la escultura a la

arquitectura, pasando por la pintura y la música; pues en todas estas disciplinas el orden

viene dado por estructuras geométricas y matemáticas subyacentes. Para Reudenbach, no

cabe duda de que el interés que despierta se debe a que el significado de las figuras del

círculo y el cuadrado hay que buscarlo en un plano estrictamente matemático y geomé-

trico30. Respecto a esta relación entre arte y ciencia mediante la unión de las dos figuras

en la ilustración de Leonardo, Román Hernández (2002) escribe:

El concepto de hombre microcosmos proporciona a los teóricos del Renacimiento

la legitimación para un canon de belleza derivado como sabemos de la figura hu-

mana. La representación del hombre dentro del círculo y del cuadrado es, ya no

sólo el diagrama de una coordinación elemental del hombre y del cosmos o la

verdad de una historia sagrada como en el medievo, sino en primer lugar el sím-

bolo de un canon de belleza resultante de la armonía del mundo. La imagen del

homo ad quadratum y ad circulum es, en cierto modo, la encarnación de un arte

unido a las matemáticas y a la geometría, expresión de la base racional de la be-

lleza y por tanto ciencias fundamentales para la imitatio naturae31. (p 14)

En relación a las influencias del tratado de arquitectura del ingeniero romano, según

Franz Zöllner, la representación recoge tres aspectos fundamentales del primer capítulo

del Libro III del tratado de arquitectura: la influencia del sistema griego de base duodeci-

mal basado en medidas antropomórficas; el valor de la geometría al inscribir el hombre

del canon en las figuras de un círculo y un cuadrado; y la función de algunos instrumentos

técnico-arquitectónicos como la regla, la escuadra y el compás.

30 H. Flasche, “Similitudo templi. Zur Geschichte einer Metapher Deutsche Vierteljahrschrift für Literatur-

wissenschaft und Geistesgeschichte”, 1949, pp. 81-125; cit. por REUDENBACH, p. 669.

31 Román Hernández, González, “Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del

homo ad circulum y homo ad quadratum”. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas,

Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p

14.


52

En este sentido, la ilustración de Leonardo forma parte a una tradición geométrica

cuya máxima expresión es la ciencia de la construcción porque, como escribe Frank Zöll-

ner (1995), el modelo que describe las proporciones del cuerpo humano es también apli-

cable al campo de la arquitectura:

En el contexto de la revaloración en el Renacimiento de la interpretación matemá-

tica de Dios y del mundo, el “Hombre de Vitruvio” es una figura simbólica a partir

de la cual se puede elaborar una teoría sobre el hombre como microcosmos, según

la cual, como creación e imagen divina, es un reflejo de la perfección y la armonía

del universo. La figura del hombre inscrita en un círculo y un cuadrado simboliza

la correspondencia matemática entre micro y macrocosmos. Y para Wittkower

también símbolo de la arquitectura, pues un edificio puede ser entendido metafó-

ricamente como un cuerpo humano32 (p 333).

Como indica Vitruvio «no puede ningún edificio estar bien compuesto sin la sime-

tría y proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado»33. Las reglas de propor-

ción vinculan formas con patrones determinados por la simetría y están asociadas al

cumplimiento de una serie de normas que garantizan el equilibrio y la armonía del con-

junto. El más alto nivel de orden se alcanza con el menor número de formas posible, y

agrada a la vista no porque sea el producto de las formas en sí mismas, sino porque es

resultado de ciertas combinaciones matemáticas, como sucede en la escala musical en

donde los intervalos armónicos resultan de dividir una cuerda en medios, tercios y cuar-

tos34. Del mismo modo, y siguiendo el canon descrito por el ingeniero romano, Leo-

nardo sitúa el sistema fraccionario antropométrico en la base de un modelo de cálculo

de proporciones cuyas razones están sujetas a un orden superior que viene dado por las

propiedades geométricas del círculo y el cuadrado y por su relación con un rectángulo

raíz cuadrada de 235.

32 Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter

Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, 1995, p. 333.

33 El del capítulo I del libro III del tratado de Vitruvio se presenta como una teoría sobre las proporciones

del cuerpo humano. Aunque es una teoría que aparece en una obra de carácter arquitectónico, establece,

por un lado, una relación con unidades metrológicas y, por otro, con una teoría numérica basada en ciertos

conceptos pitagóricos. Román Hernández, González, “El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación

numérica al canon de proporción”. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas,

Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, Julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, págs. 99-109.

34 «La importancia de la armonía musical para los arquitectos del Quattrocento y del Cinquecento, el signi-

ficado de la planta central de las iglesias que se construyeron en el Renacimiento y el “Hombre de Vitruvio”

inscrito en un cuadrado y un círculo como canon antropométrico y su importancia, según Wittkower y otros

investigadores, son símbolos de la arquitectura renacentista al tratarse de un canon de proporciones.» Zöll-

ner, Frank, “L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter

Benjamin”. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 331.

35 «El dibujo de Leonardo ilustra el concepto vitruviano que presenta como regla canónica el cuerpo hu-

mano con perfectas proporciones, aquel que se inscribe en el cuadrado y en el círculo, por lo que no debe

considerarse este dibujo como la representación del microcosmos, sino como un estudio de proporciones.

este dibujo difiere enormemente de aquellas ilustraciones aparentemente idénticas que aparecen en los ma-

nuscritos de la Edad Media, porque no es el resultado de la especulación cosmológica, sino de los numero-

sos experimentos antropométricos que realizara el artista». Liber Divinorum Operum, Parte Iª, visión IV,

para. 15, P. L. 197, col 814c; op. cit., F. SAXL, La vida de las imágenes, Alianza Forma, Madrid, 1989,


53

Su particular concepción introduce una manifiesta asimetría al combinar las posicio-

nes en reposo y movimiento del cuerpo humano en función de dos figuras que sobre un

mismo eje tienen centros distintos: el del Homo ad Circulum situado en el ombligo y el

del Homo ad Quadratum en el sacro. Las claves de esta disposición radican en la com-

prensión de dicha asimetría que, como hemos visto, no está determinada por la sección

áurea, sino por un valor que se sitúa, a la espera de que otros trabajos puedan confirmar

estos resultados, entre las fracciones de 28/17 = 1,646, 43/26 = 1,654 y 48/29 = 1,655.

El trazado que hemos desarrollado arroja dos soluciones muy precisas al problema

de la determinación de la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado y revela que

ésta a su vez forma parte de un conjunto mayor que viene determinado por el formato del

folio. Con independencia de las dimensiones de la cuartilla, mientras ésta mantenga una

proporción igual a la raíz cuadrada de 2, es posible trazarlas con apenas una docena de

movimientos, sin olvidar lo más importante, y es que la solución también da razón de su

posición en la cuartilla, algo que hasta ahora no había sido explicado. Solo son necesarias

tres operaciones: el establecimiento de las líneas guía en función de los “marcos rectores”,

la determinación a partir de éstas de la posición de los centros de las figuras y, finalmente,

un tercer movimiento para hallar sus dimensiones. De esta manera, queda resuelto el

enigma geométrico con el comenzábamos el artículo, que consistía en:

Escoger una cuartilla de modo que se puedan trazar, como yo he

hecho, las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el

hombre del canon con el menor número de pasos que sea posible.

En manos de Leonardo, el enigma se traduce en un trazado que abruma por su pro-

funda simplicidad desde el momento en que establece los ejes de simetría de la ilustra-

ción. Todos los estudios que se han realizado no han tenido en cuenta el formato del folio,

y parten de una de las figuras para llegar a la otra. El trazado en base a la inversión de los

“marcos rectores” permite hacerlo sin importar cuál dibujemos primero, partiendo de las

proporciones del “marco principal” basadas en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de

2, lo que significa que la razón entre el círculo y el cuadrado no tiene que ver únicamente

con las figuras en sí mismas, sino que además está determinada por su vinculación con el

“marco principal” de la composición, que es la que confiere la armonía al conjunto de la

obra y es donde radica su importancia.

ilust. 36a. Existe edición en castellano por V. Cirlot, Vidas y visiones de Hildegarda von Bingen, Siruela,

Madrid, 1997.


54

La armonía es un concepto abstracto, que adquiere forma numérica mediante las le-

yes de proporción, es decir, mediante la concordancia matemática entre las partes y el

conjunto. La ilustración del “Hombre de Vitruvio” refleja a la perfección este concepto.

El objetivo de Leonardo a la hora de plasmar el canon era, en palabras del propio inge-

niero romano, «establecer a partir de un módulo constante y calculado las corresponden-

cias entre las partes de una obra y conjunto, es decir, siguiendo una serie de reglas empí-

ricas determinadas por modulaciones aritméticas». Así es como se desarrolla el trazado,

del mismo modo a cómo lo hacen las progresiones geométricas, en donde la razón de un

término a otro de la serie se obtiene con el número inmediatamente anterior solo que,

trasladando dichas operaciones al papel mediante la regla y el compás. Operando de esta

manera, habría garantizado un orden que le habría permitido encadenar los movimientos

que son necesarios para dibujar las dos figuras a partir de los puntos de referencia indica-

dos por los “marcos rectores”, sintetizando en un trazado, que sorprende por su aparente

simplicidad, las claves de una antigua tradición según la cual todo en la naturaleza puede

ser expresado mediante el lenguaje de las matemáticas.

Su ilustración no es solo la representación de un canon sobre las proporciones ideales

del cuerpo humano, también es un estudio sobre la relación entre las figuras del círculo y

el cuadrado en base a las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2; un modelo

que conjuga continente y contenido como si fuesen las dos caras de la misma moneda,

consecuencia de una cuidadosa planificación que fue ejecutada con una precisión admi-

rable, y de la que se infiere un teorema geométrico-matemático que nos descubre una

dimensión desconocida de la ilustración y abre el camino a nuevos trabajos más centrados

en las consecuencias que se desprenden de la partida de ajedrez que Leonardo propone

con su representación del canon vitruviano. Como hemos visto, al contemplar la obra en

su conjunto resulta tanto o más interesante lo que oculta que lo que nos muestra el genio

italiano, quien era todo un maestro en el arte de revelar secretos de forma disimulada. El

orden interno de la ilustración es una clase magistral sobre la geometría clásica de regla

y compás, una construcción que se asemeja a un poliedro de múltiples caras donde cada

una refleja, como si se tratase de un holograma, el conjunto de relaciones del modelo de

proporciones al que pertenecen sus formas.

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell


55

Anexo I. Cálculo del radio del círculo a partir del cuadrado.

En la siguiente imagen se muestra el

trazado del círculo a partir del cuadrado

que es igual a la altura del hombre del ca-

non y de los puntos indicados por “marco

rector” de la cuartilla de partida (Figura

49). Considerando que los lados del cua-

drado miden 180,00 mm, el cálculo del ra-

dio del círculo es el siguiente. Necesita-

mos hallar el segmento oa’, por lo tanto,

hemos de resolver el cálculo del triángulo

rectángulo odd’, del cual conocemos la

longitud de su hipotenusa (od) y del cateto

adyacente (dd’). Para hallar la longitud de

la hipotenusa tenemos que el segmento

dd’ es igual a la mitad de la longitud del

cuadrado, es decir, 90,00 mm. Por otro

lado, el segmento do es igual a la longitud

del lado comprendida entre la mitad del

“marco rector” y su lado superior. Del

borde inferior del folio al punto en la base

del cuadrado la longitud es de 90,00 mm

(d’). Si sumamos la longitud del lado ab

tendremos que 90,00 mm + 180,00 mm =

270,00 mm, por lo que para hallar el seg-

mento bc solo hay que restar a esta longi-

tud la medida del lado del “marco rector”,

es decir, 270,00 mm – 240,00 mm = 30,00

mm. El segmento da se halla de forma si-

milar. Si a la longitud del lado del cua-

drado (ab) le restamos el segmento ha-

llado (bc) tenemos que 180,00 mm –

30,00 mm = 150,00 mm, por lo que el seg-

mento buscado (da) es igual a esta longi-

tud menos la longitud de la mitad del

“marco rector”, es decir, 150,00 mm –

(240,00 mm/2) = 30,00 mm.

Figura 49. Cálculo del radio de la circunferencia

(oa’) a partir del cuadrado y del “marco rector” del

folio.

El segmento buscado es la hipotenusa

del triángulo rectángulo:

ab − (bc − da) = do

Por lo que ésta mide:

180,00 − (30,00 − 30,00) = 120,00 mm

Y el cateto menor del triángulo:

√((120,00) − (90,00 )) = 79,37 mm

El radio del círculo será igual a:

x = od′ + ad′

Por lo que éste mide:

79,37 + 30,00 = 109,37 mm


56

Anexo II. La ilustración del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea.

En 2012 Claudio Sgarbi presentó los resultados

de su trabajo sobre un infolio que había pasado

desapercibido para los investigadores. Se trata de

una ilustración del “Hombre de Vitruvio”, ha-

llada en la Biblioteca Comunale Ariostea de Fe-

rrara (Cart. Sec. XVI, Fol. Figurato, Classe II, N.

176, Fol 78V) junto a una copia anónima de los

Diez Libros de Arquitectura escritos por el arqui-

tecto romano Vitruvio, que es prácticamente

idéntica a la famosa ilustración de Leonardo.

Descubrió que había sido realizada por Giacomo

Andrea (Figura 50).

Figura 50. Ilustración del “Hombre de Vi-

truvio” de Giacomo Andrea.

La disposición de las figuras del círculo y el cuadrado es la misma en la representa-

ción de Giacomo36. Incluso la medida de los lados del cuadrado es de 180,00 mm en los

dos casos. Resulta significativo que ambos emplearan la misma escala y unidad métrica.

No puede ser una casualidad. Este dato refuerza la validez de un modelo basado en las

proporciones del folio, dado que es una ilustración que fue realizada para que pueda ser

escalada a cualquier tamaño (Figura 51).

Figura 51. Imágenes superpuestas del “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci y de Giacomo Andrea

(ilustración realizada por Matthew Edward).

36 http://www.canonvitruviano.com/pdf/Claudio Sgarbi - All’origine dell’Uomo Ideale di Leonardo.pdf. Lo

poco que sabemos de Giacomo Andrea es por Luca Pacioli, autor del tratado sobre la Divina Proporción,

quien lo describe como un joven arquitecto experto en la obra de Vitruvio que era un gran amigo de Leo-

nardo, quien menciona en sus notas una cena que tuvo con él en 1490, precisamente el año en que sale a la

luz su representación del canon vitruviano.


57

El folio que utilizó Giacomo es algo más pequeño. Mide 214,00 x 302,00 mm. Es

significativo, pues son prácticamente las mismas dimensiones que las del actual formato

DIN A4. Giacomo se anticipó en cinco siglos al estándar que emplea nuestra moderna

industria papelera. Lo más interesante es que en el formato del folio empleado es exacta-

mente el mismo que el que escogió Leonardo: un rectángulo raíz cuadrada de 2; lo que

vendría a demostrar la validez del método basado en las proporciones del folio que hemos

desarrollado en este trabajo.

Otro detalle significativo es el escalado que hizo Giacomo Andrea de la figura del

hombre del canon a partir de las dimensiones del folio para llegar a la imagen final, lo

que demostraría que tanto él como Leonardo consideraban el marco de trabajo como una

parte fundamental del diseño. En las siguientes imágenes, extraídas también del estudio

de Claudio Sgarbi, se puede ver cómo Giacomo escaló la figura humana proyectándola

sobre un folio de las mismas dimensiones para, a continuación, reducir su tamaño a la

mitad (Figura 52).

Figura 52. Proyección y escalado de la figura del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea. Obsérvese la

operación de re-escalado manteniendo las proporciones.

Demasiadas coincidencias. Es muy probable que Leonardo se inspirase en la ilustra-

ción realizada por Giacomo o incluso que hubiesen trabajado juntos en el estudio del

canon de Vitruvio, pues la disposición del cuadrado y el círculo e incluso la escala son

las mismas. El cuadrado en el cual se inscribe el hombre del canon mide 180,00 mm en

ambos casos.


58

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59

Tabla de ilustraciones

Figura 1. El “Hombre de Vitruvio” según Francesco di Giorgio (“Trattato di architettura civile

e militare”, Turín, Biblioteca Reale, códice Saluzziano 148, f. 6v). ............................................. 5

Figura 2. Las divisiones de la regla indican que la altura del hombre del canon es de 24 palmas,

tal y como está descrito en el tratado de Vitruvio y recoge Leonardo en las notas que aparece

debajo de la misma. ..................................................................................................................... 11

Figura 3. El “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci. Dibujo a tinta y lápiz sobre papel

(carta bianca de 345,00 x 246,00 mm) y escala digital de 10 píxeles por milímetro considerando

que la regla tiene una longitud de 180,00 mm (± 0,26 mm). ...................................................... 12

Figura 4. Las proporciones del folio que empleó Leonardo para la representación del “Hombre

de Vitruvio” son las de un rectángulo raíz cuadrada de 2. Considerando sus dimensiones los lados

guardan una proporción de 246,00/345,00 mm = 1,4; una aproximación del 99,17%, equivalente

a una razón de 7/5. ...................................................................................................................... 13

Figura 5. Formato de papel ISO 216. El folio empleado por Leonardo vendría a ser un DIN

A4. ............................................................................................................................................... 14

Figura 6. Reglas de división de un rectángulo según criterios de proporcionalidad y

semejanza. ................................................................................................................................... 15

Figura 7. En amarillo el rectángulo correspondiente a las dimensiones máximas del folio

(345,00 x 246,00 mm) y de color rojo el correspondiente al área teórica de trazado una vez

establecidos los márgenes que ayudan a centrar horizontalmente la composición (339,41 x 240,00

mm). ............................................................................................................................................ 17

Figura 8. De color amarillo el cuadrado de 184,50 mm y la circunferencia resultantes de

aplicar el trazado partiendo de las dimensiones máximas del folio (345,00 x 246,00 mm). El

resultado es una aproximación de un 97,56%. ............................................................................ 18

Figura 9. De color rojo el “área teórica de trazado” o “marco principal”, un rectángulo igual

a la raíz cuadrada de 2 que mide 339,41 x 240,00 mm, una vez aplicada la corrección de los

márgenes, y las figuras del círculo y el cuadrado obtenidas con el modelo en función de las

proporciones del folio. ................................................................................................................ 19

Figura 10. Divisiones sobre el cuerpo del hombre del canon (de color amarillo) y

correspondencias con las intersecciones de las diagonales de los puntos medios de los lados del

cuadrado. ..................................................................................................................................... 20

Figura 11. Cuadrícula de 4x4 codos y divisiones sobre la figura del cuerpo humano (de color

amarillo). Obsérvense las divisiones en los extremos de la regla correspondientes a las 6 palmas

que hacen 1 codo. ........................................................................................................................ 21

Figura 12. Área de trazado y “marco rector” (CC’DD’) formado por el abatimiento de la

hipotenusa (DC’) sobre la base del cuadrado (CD), de donde se obtiene un rectángulo igual a la

raíz cuadrada de 2 (ABCD). ......................................................................................................... 22

Figura 13. El punto donde los dedos medios del hombre del canon tocan el cuadrado que es

igual a su altura coincide con el lado superior del “marco rector” (C’D’). ................................. 22

Figura 14 - Detalle del segmento dibujado entre los hombros, a la altura de los brazos

extendidos en cruz, en el punto donde los dedos del hombre del canon tocan los lados del cuadrado

coincide con el lado superior del “marco rector” (C’D’). ........................................................... 22

Figura 15. Determinación del centro del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon

(o) mediante la división del “marco rector” (CC’DD4) en 4 partes iguales (D1, D2, D3 y D4). ... 23


60

Figura 16. Detalle del trazado basado en la división en 4 partes iguales del “marco rector”

para hallar el centro del cuadrado correspondiente a la ubicación del sacro/coxis del hombre del

canon (o). Como se puede comprobar el punto D3, en las 3/4 partes del “marco rector”, acota

perfectamente la posición del centro de la figura del cuadrado. ................................................. 24

Figura 17. Trazado del lado inferior del cuadrado en base al “marco rector” cuya longitud es

180,00 mm (2oa). ........................................................................................................................ 25

Figura 18. Trazado del cuadrado a partir del lado inferior (z1z2), segmento obtenido en el paso

anterior indicado por la división en 4 partes iguales del “marco rector”. ................................... 26

Figura 19. Aproximación del trazado a partir de un área teórica de 339,41 x 240,00 mm al

cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm. El resultado es un cuadrado idéntico al dibujado por

Leonardo. .................................................................................................................................... 26

Figura 20. Posición del ombligo del hombre del canon en función de la sección áurea del lado

del cuadrado que es igual a su altura (ab/bc = bc/ca = 1,618). ................................................... 27

Figura 21. Detalle del punto señalado por la sección áurea del lado del cuadrado. Como se

puede ver queda bastante por encima de la posición de la posición del ombligo. ...................... 28

Figura 22. Círculo obtenido con la sección áurea a partir de la altura del hombre del canon.

Su diámetro mide 111,25 mm, un valor muy por encima de la medida ponderada que se desprende

de la imagen digital del folio. Como se puede ver, la desviación es tan considerable que el

cuadrado casi queda inscrito en el círculo. .................................................................................. 28

Figura 23. Determinación del círculo (de color amarillo) con la rotación 45º del cuadrado

(z5z6z7z8) que es igual a la altura del hombre del canon. Una forma sencilla y mucho más precisa

de hallar la longitud del radio (oa y ob) que el basado en la aplicación de la sección áurea. De

color blanco, las figuras del círculo y el cuadrado (z1z2z3z4) dibujadas por Leonardo. ............... 29

Figura 24. Detalle de la determinación del círculo a partir de la rotación de 45º del cuadrado

en el que se inscribe el hombre del canon. Aunque es un método muy preciso, el círculo final,

como se puede apreciar, es algo más pequeño que el dibujado por Leonardo y mide 108,64 mm,

frente a los 109,28 mm de la media ponderada según se observa en la imagen digital (una

aproximación del 99,42%). ......................................................................................................... 30

Figura 25. Posición del centro del círculo (y) a partir del “marco rector” y el cuadrado hallados

en el paso anterior (puntos y1 y y2). ............................................................................................. 31

Figura 26. Determinación del círculo a partir del radio que queda indicado por la distancia

entre el punto hallado en el paso anterior y la base del cuadrado (yz). ....................................... 31

Figura 27. De color rojo las líneas de apoyo del cuadrado en el que se inscribe el hombre del

canon y el “marco rector” formado por la base del folio, que es la del rectángulo raíz cuadrad de

2, y en blanco los puntos que permiten trazar los arcos de cuya intersección se ubica el centro del

círculo en el ombligo del hombre del canon. .............................................................................. 33

Figura 28. Detalle de la aproximación a los centros de las figuras del cuadrado y el círculo

del trazado basado en las proporciones del folio según el marcaje en función del “marco rector”.

..................................................................................................................................................... 34

Figura 29. Trazado del “Hombre de Vitruvio” a partir de las referencias indicadas por el

formato del folio basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, el mismo que empleamos

en la actualidad como estándar de las cuartillas DIN-A4. .......................................................... 35

Figura 30. A partir de las referencias indicadas por el formato del folio basado en un

rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, el mismo que empleamos en la actualidad como estándar

de las cuartillas DIN-A4 (nomenclatura puntos de referencia). .................................................. 35


61

Figura 31. “Marco rector” (CC’DD’) formado por la base inferior del cuadrado a partir del

cual se obtiene la longitud del “marco principal”, es decir, el rectángulo raíz cuadrada de 2

(ABCD) para un área de trazado de 339,41 mm x 240,00 mm. ................................................... 37

Figura 32. “Marco rector” (AA’BB’) formado por la base superior del rectángulo raíz cuadrada

de 2 (ABCD) para un área de trazado de 339,41 mm x 240,00 mm. ........................................... 37

Figura 33. Tablero de trazado formado por los dos “marcos rectores” formados por la base

del rectángulo raíz cuadrada de 2: el inferior (CC’DD’) y el superior (AA’BB’). Con esta sencilla

configuración se establecen las líneas guías de la composición. ................................................. 38

Figura 34. Relación del tablero con los ejes vertebradores de la composición, la diagonal de

la longitud del rectángulo raíz cuadrada de 2 y las diagonales correspondientes a los cuadrados de

los dos “marcos rectores” (AA’BB’ y CC’DD’). ......................................................................... 38

Figura 35. Determinación del centro del círculo en función de la longitud del “marco

principal” (AC) en la intersección (o) con el “marco rector superior” (A’B’). La diferencia al

margen inferior del rectángulo es el radio (ox) del círculo que ubica la posición del ombligo (x’).

..................................................................................................................................................... 39

Figura 36. La razón de la posición del ombligo respecto a la longitud del “marco principal”

(x) es la raíz cuadrada de 2, la misma que guardan los lados del rectángulo (AC/AB). .............. 39

Figura 37. Determinación del centro del cuadrado (y) a partir de la división en 4 partes iguales

(D1D2D3D4) del “marco rector” (CC’DD’). ................................................................................ 40

Figura 38. Determinación de las longitudes de los lados del cuadrado (xz) y el radio del círculo

(yz) a partir de la intersección de la diagonal a las 3/4 partes del “marco rector” con el eje vertical

del “marco principal” (z). ............................................................................................................ 40

Figura 39. Trazado del círculo en función de los dos “marcos rectores” (ABA’B’ y CDD4C’).

..................................................................................................................................................... 41

Figura 40. Trazado del cuadrado en función del “marco rector inferior” (CDD4C’). .......... 41

Figura 41. Trazado del círculo en función de los dos “marcos rectores” sobre la imagen de la

ilustración del “Hombre de Vitruvio”. ........................................................................................ 42

Figura 42. Trazado del cuadrado en función del “marco rector inferior” sobre la imagen de la

ilustración del “Hombre de Vitruvio”. ........................................................................................ 42

Figura 43. “Trazado A” en función del “marco rector inferior” (CC’DD4). En primer lugar,

se obtiene la figura del cuadrado y a partir de ésta la del círculo. La aproximación a lo dibujado

por Leonardo a las medidas ponderadas según se observa en la imagen digital es de un 100,08%.

..................................................................................................................................................... 43

Figura 44. “Trazado B” en función de dos “marcos rectores” (CC’DD4 y AA’BB’). El

cuadrado se dibuja de la misma forma, mientras que el círculo se obtiene con la inversión del

“marco rector”. De color amarillo el círculo del primer trazado y de color rojo el del segundo. 43

Figura 45. Detalle de la aproximación a la medida ponderada del radio del círculo a partir de

una fracción de 5/3 = 1,667, un círculo con un radio de 108,00 mm (de color amarillo), y de la

sección áurea, con la que se obtiene un radio de 111,25 mm (de color rojo). ............................. 45

Figura 46. Diferencia entre los círculos correspondientes a los trazados propuestos en función

de un rectángulo raíz cuadrada de 2. De color amarillo el que se obtiene con el “trazado A” y mide

109,37 mm, idéntico al dibujado por Leonardo, y de color rojo el círculo correspondiente al

“trazado B” cuyo radio mide 108,82 mm. ................................................................................... 47

Figura 47. División del cuadrado que es igual a la altura del hombre en 24 palmas, o 4 codos

de 6 palmas cada uno indicados por las divisiones del canon descrito por Vitruvio en su tratado

de arquitectura (de color amarillo). ............................................................................................. 48


62

Figura 48. Posiciones del sacro y el ombligo correspondientes a los centros del cuadrado (24

unidades) y el círculo (29 unidades) en base a una cuadrícula de 48x48 unidades de 3,75 mm

(1/10 de media palma). ................................................................................................................ 48

Figura 49. Cálculo del radio de la circunferencia (oa’) a partir del cuadrado y del “marco

rector” del folio. .......................................................................................................................... 55

Figura 50. Ilustración del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea. ............................... 56

Figura 51. Imágenes superpuestas del “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci y de

Giacomo Andrea (ilustración realizada por Matthew Edward). .................................................. 56

Figura 52. Proyección y escalado de la figura del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea.

Obsérvese la operación de re-escalado manteniendo las proporciones. ...................................... 57

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EL “HOMBRE DE VITRUVIO” DE LEONARDO DA …hombredevitruvio.com/pdf/El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci... · “Canon de las proporciones humanas y ... figura con cabeza