EEJECICIOSJECICIOS

1. Un punto material que pende de un resorte se mueve con una aceleración

proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo que a(x)=-4x m/s2 y

que la velocidad del punto es de 2 m/s hacia arriba cuando pasa por el origen.

Determinar la velocidad del punto en función de su posición.

Si el punto se halla en el origen en el instante t=1s, determinar su posición,

velocidad y aceleración en función del tiempo.

Solución

 

a. Como se da la aceleración en función de la posición, será necesario escribir la

definición básica de la aceleración echando mano de la regla de la cadena.

vdxdv

dtdx

dxdv

dtdvxa

Entonces se podrá obtener la velocidad integrando está relación

dxxdxxadvv 4

Lo cual da

20220

2

22

xxvv

Utilizando las condiciones dadas de que v=v0=2 m/s cuando x=x0=0 y reagrupando

términos, se tiene

b. Se puede integrar ahora está última expresión para obtener la posición en función

del tiempo. La definición da

Que se puede escribir en la forma

212 xxv

212 xxvdtdx

dtx

dx 21 2

Integrando está ecuación se tiene

Donde se ha tomado la constante de integración de manera que haga x=0 cuando t=1

s. Aplicando está expresión en la fórmula que se ha dado para la aceleración se tiene

La ecuación de la velocidad en función del tiempo se puede obtener o bien

sustituyendo en la ecuación a

ctxsen 21 ò 22 tsentx

2244 tsenxta

22cos2221212 22 ttsenxxv

O bien por derivación directa de la posición

22cos2 tdtdxtv

2. La aceleración a de una bola que cae en el aire satisface la ecuación

mAvKagm

2

21

Donde g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2), m es la masa de la bola, K es un

coeficiente de forma, A es el área de la proyección de la bola sobre un plano normal al

movimiento (A=m2),v su velocidad y p la densidad del aire.

Sabiendo que m=0,500 kg, r=6,25 cm, K=1,0 p=1,29 kg/m3 y que la bola parte del

reposo, determinar su velocidad en función de la altura.

Solución Como la aceleración viene dada en función de la velocidad

Habrá que escribir la definición básica de la aceleración echando mano de la regla de la

cadena

201583.081.9 vva

vdxdv

dtdx

dxdv

dtdvva

Está relación se puede reordenar e integrar

v y

dxv

dvv

0 0201583.081.9

Y se obtiene

O sea

Donde y y v se miden positivamente hacia abajo.

081.9ln01583.081.9ln03166.01 2 yv

21

03166.0

001614.01

yev

3. Una curva de una autopista tiene un radio de curvatura que varia desde infinito al

principio y al final hasta un valor pmin en su punto medio. S los neumáticos de un

automóvil que la recorren comienzan a derrapar cuando la aceleración normal

alcanza los 3,6 m/s2, determinar:

La celeridad constante máxima de la cual el auto puede recorrer la curva si min=150 m.

El menor pmin para el cual puede el auto recorrer la curva a 100 km/h.

Solución  La componente normal de la aceleración viene dada por

2van

Haciendo p=pmin y despejando v resulta que la máxima celeridad que puede llevar el

auto es

hkmsmav n /5.83/2.236.3150min

Despejando p y haciendo v=100km/h =27.8 m/s se tiene el menor pmin que puede

tener la curva:

mav

n

2156.38.27 22

min

4. El movimiento de un partícula está definido por la relación x = t3 – 9t2 + 24t – 6,

donde “x” está expresado en metros y “t” en segundos. Determínese la posición,

velocidad y aceleración cuando t = 5 seg.

Datos:

t = 5 seg.

x = t3 – 9t2 + 24t – 6

Solución: 

dtdxv

dt

tttdv 6249 23

24183 2 ttv

dtdva

dtttda 24183 2

186 ta

Sustituyendo:

Velocidad v = 3t2 – 18t +24v = 3(5)2 – 18(5) +24v = 75 – 90 + 24v = 9 m/s

Desplazamiento   

x = t3 – 9t2 + 24t – 6

x = (5)3 – 9(5)2 + 24(5) – 6

x = 125 – 225 + 120 – 6

x = 14 m

Velocidad

v = 3t2 – 18t +24

v = 3(5)2 – 18(5) +24

v = 75 – 90 + 24

v = 9 m/s

Aceleración

a = 6t – 18

a = 6 (5) – 18

a = 30 – 18

a = 12 m/s2

5. En cierto tramo de la vía, los trenes se mueven a 96 km/h. ¿A que distancia atrás

de un tren parado debe colocarse una señal para avisar que viene un tren? Suponga

que los frenos se aplican instantáneamente y que detiene al tren a una rapidez

uniforme de 1.2 m/s2.

Solución

tvdtdv

066.262.1

txdtttdx

0066.262.1

V- 26.66 = 1.2 t x = 0.6t2 + 26.66tV = 1.2t + 96 x = 0.6(-22.21)2 + 26.66 (-22.21)0 = 1.2t + 96 x = 888.08 mt = -26.66 / 1.2t = -22.21 s

6. Un radar sigue que sigue a un avión da las coordenadas de éste en la forma y . En

un cierto instante, y . De medidas sucesivas de y se deduce que las derivadas en ese

instante son , y . Calcular la velocidad y aceleración del avión en el instante

considerado [3].

Solución

Tomando coordenadas polares centradas en el radar, la componente radial de la

velocidad será

y la componente transversal

La resultante tendrá por módulo

Y forma un ángulo

medido en sentido horario respecto a la dirección radial.

La componente radial de la aceleración es

y la componente transversal es

El módulo de la resultante será pues

y forma un ángulo

medido en sentido antihorario a partir de la dirección radial.