EEJECICIOSJECICIOS
1. Un punto material que pende de un resorte se mueve con una aceleración
proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo que a(x)=-4x m/s2 y
que la velocidad del punto es de 2 m/s hacia arriba cuando pasa por el origen.
Determinar la velocidad del punto en función de su posición.
Si el punto se halla en el origen en el instante t=1s, determinar su posición,
velocidad y aceleración en función del tiempo.
Solución
a. Como se da la aceleración en función de la posición, será necesario escribir la
definición básica de la aceleración echando mano de la regla de la cadena.
vdxdv
dtdx
dxdv
dtdvxa
Entonces se podrá obtener la velocidad integrando está relación
dxxdxxadvv 4
Lo cual da
20220
2
22
xxvv
Utilizando las condiciones dadas de que v=v0=2 m/s cuando x=x0=0 y reagrupando
términos, se tiene
b. Se puede integrar ahora está última expresión para obtener la posición en función
del tiempo. La definición da
Que se puede escribir en la forma
212 xxv
212 xxvdtdx
dtx
dx 21 2
Integrando está ecuación se tiene
Donde se ha tomado la constante de integración de manera que haga x=0 cuando t=1
s. Aplicando está expresión en la fórmula que se ha dado para la aceleración se tiene
La ecuación de la velocidad en función del tiempo se puede obtener o bien
sustituyendo en la ecuación a
ctxsen 21 ò 22 tsentx
2244 tsenxta
22cos2221212 22 ttsenxxv
O bien por derivación directa de la posición
22cos2 tdtdxtv
2. La aceleración a de una bola que cae en el aire satisface la ecuación
mAvKagm
2
21
Donde g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2), m es la masa de la bola, K es un
coeficiente de forma, A es el área de la proyección de la bola sobre un plano normal al
movimiento (A=m2),v su velocidad y p la densidad del aire.
Sabiendo que m=0,500 kg, r=6,25 cm, K=1,0 p=1,29 kg/m3 y que la bola parte del
reposo, determinar su velocidad en función de la altura.
Solución Como la aceleración viene dada en función de la velocidad
Habrá que escribir la definición básica de la aceleración echando mano de la regla de la
cadena
201583.081.9 vva
vdxdv
dtdx
dxdv
dtdvva
Está relación se puede reordenar e integrar
v y
dxv
dvv
0 0201583.081.9
Y se obtiene
O sea
Donde y y v se miden positivamente hacia abajo.
081.9ln01583.081.9ln03166.01 2 yv
21
03166.0
001614.01
yev
3. Una curva de una autopista tiene un radio de curvatura que varia desde infinito al
principio y al final hasta un valor pmin en su punto medio. S los neumáticos de un
automóvil que la recorren comienzan a derrapar cuando la aceleración normal
alcanza los 3,6 m/s2, determinar:
La celeridad constante máxima de la cual el auto puede recorrer la curva si min=150 m.
El menor pmin para el cual puede el auto recorrer la curva a 100 km/h.
Solución La componente normal de la aceleración viene dada por
2van
Haciendo p=pmin y despejando v resulta que la máxima celeridad que puede llevar el
auto es
hkmsmav n /5.83/2.236.3150min
Despejando p y haciendo v=100km/h =27.8 m/s se tiene el menor pmin que puede
tener la curva:
mav
n
2156.38.27 22
min
4. El movimiento de un partícula está definido por la relación x = t3 – 9t2 + 24t – 6,
donde “x” está expresado en metros y “t” en segundos. Determínese la posición,
velocidad y aceleración cuando t = 5 seg.
Datos:
t = 5 seg.
x = t3 – 9t2 + 24t – 6
Solución:
dtdxv
dt
tttdv 6249 23
24183 2 ttv
dtdva
dtttda 24183 2
186 ta
Sustituyendo:
Velocidad v = 3t2 – 18t +24v = 3(5)2 – 18(5) +24v = 75 – 90 + 24v = 9 m/s
Desplazamiento
x = t3 – 9t2 + 24t – 6
x = (5)3 – 9(5)2 + 24(5) – 6
x = 125 – 225 + 120 – 6
x = 14 m
Velocidad
v = 3t2 – 18t +24
v = 3(5)2 – 18(5) +24
v = 75 – 90 + 24
v = 9 m/s
Aceleración
a = 6t – 18
a = 6 (5) – 18
a = 30 – 18
a = 12 m/s2
5. En cierto tramo de la vía, los trenes se mueven a 96 km/h. ¿A que distancia atrás
de un tren parado debe colocarse una señal para avisar que viene un tren? Suponga
que los frenos se aplican instantáneamente y que detiene al tren a una rapidez
uniforme de 1.2 m/s2.
Solución
tvdtdv
066.262.1
txdtttdx
0066.262.1
V- 26.66 = 1.2 t x = 0.6t2 + 26.66tV = 1.2t + 96 x = 0.6(-22.21)2 + 26.66 (-22.21)0 = 1.2t + 96 x = 888.08 mt = -26.66 / 1.2t = -22.21 s
6. Un radar sigue que sigue a un avión da las coordenadas de éste en la forma y . En
un cierto instante, y . De medidas sucesivas de y se deduce que las derivadas en ese
instante son , y . Calcular la velocidad y aceleración del avión en el instante
considerado [3].
Solución
Tomando coordenadas polares centradas en el radar, la componente radial de la
velocidad será
y la componente transversal
La resultante tendrá por módulo
Y forma un ángulo
medido en sentido horario respecto a la dirección radial.
La componente radial de la aceleración es
y la componente transversal es
El módulo de la resultante será pues
y forma un ángulo
medido en sentido antihorario a partir de la dirección radial.