Ejercicios Resueltos Angulos en Posicion Normal

7/26/2019 Ejercicios Resueltos Angulos en Posicion Normal

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EJERCICIOS RESUELTOS: TRIGONOMETRÍA Abraham Gironda Surco

Si estás ansioso de brillar en la línea de la alta estética de hombres de rara cultura debesapropiarte de las palabras más trascendentales y plantarlas por todas partes.

1Angulos en posiciON NORMAL

1. RESUMEN CONCEPTOS BASICOS.

Primero .- Un ángulo en posición normal se define como aquel ángulo posicionado en unSCR cuyo vértice coincide con el origen del Sistema y su lado inicial coincide con el

sentido positivo del eje x y el lado final con el radio vector que une el origen y cualquier

punto del plano.

Cualquier punto del plano es definido analíticamente como el par ordenado ( ,) donde la

primera componente " " es llamada la abscisa del punto y la segunda componente " " es

llamada ordenada del punto.

Segundo .- Las RTs de un ángulo en posición normal se definen de la siguiente manera:

=

seno(á ó ) = sin =

coseno(á ó ) = cos =

tangente(á ó ) = tan =

cosecante(á ó ) = csc =

secante(á ó ) = sec =

cotangente(á ó ) = cot =

Tercero.- Los signos de las RTs en los cuatro cuadrantes son:





2

1. Del siguiente gráfico, calcular :

= √ 10sin 12cot

Primero.- Interpretamos el problema

Del gr áfico:

- Sabemos que la abscisa es 1 y la

ordenada es -3.

Segundo.- Calculamos el radio vector y el valor de E.

=

1 (

3)

= √ 1 9 = √ 10

= √ 10 ·−√ 12 · − = 3 4 = 1

2. De la figura, calcular tan

Primero.- Interpretamos el problema.

Abscisa = 1-x

Ordenada = 2x

Radio = √ 17





3Segundo.- Calculamos el valor de x y la tangente.

√ 17 = (1 ) (2 ) → 17 = 1 2 4

5 2 16 = 0

Resolviendo por el ASPA simple: = ; = 2

tan = 12 = 1 22 ∗2 = 1

4

3. Si cos = 0,3̂ y .

Calcular: = tan sec


Si pertenece al segundo cuadrante, el coseno es negativo, luego:

cos = 0,3̂ = 13 =

=

Asumimos, = 1; = 3

Segundo.- Con la información dada realizamos los cálculos.

= → = 3 ( 1) = √ 10

Finalmente, = √ −

− = 10 3 =

4. Si: ∈ y |csc| 4sin = 0. Calcular = sin √ 3cos

|csc| = 4sin6


Al pertenecer al cuarto cuadrante, su ordenada es negativa, luego:





4|csc| = csc = 4sin6 → csc = 4sin6

csc = 4∗12 = 2 = 2

1 = =

Asumimos, = 2; = 1

Segundo.- Realizamos los cálculos respectivos.

= → ( 2) = 1 → 4 = 1

= √ 3

= 12 √ 3 ∗√ 32 = 12 32 = 1

5. Una raíz de la ecuación: 2 3 = 0 es un valor de “ tan”, si

. Calcular: = √ 10(sin cos).


El ángulo pertenece al tercer cuadrante por lo tanto su abscisa y su

ordenada son cantidades negativas.

Segundo.- Realizamos los cálculos.

2 3 = 0 → = 3; = 1

Suponiendo que el valor es 3, entonces: tan = 3 = −− = −

− = −− = ⋯ ..

Luego, = 1; = 3 → = ( 1) ( 3) → = √ 10

Finalmente, = √ 10 −√

−√ = √ 10 −

√ = 4

6. Calcular: = 25sin tan, a partir de la figura mostrada:





5


Para el ángulo sus coordenadas son = 24; = 7; y para el ángulo

negativo sus coordenadas son = 4; = 8 Segundo.- Realizamos los cálculos.

= 24 7 = 25; = ( 4) ( 8) = 4√ 5

Finalmente, = 25 ∗ −− = 7 2 = 9

7. Señale los signos de:

= °− °° ° y = ° °− °

°+ °


Debemos ubicar el cuadrante de cad a ángulo y verificar su signo.


140º pertenece al segundo cuadrante, por lo tanto su abscisa es negativa y:

sin140° > 0;cos140° < 0

La diferencia es positiva, es decir: sin140° cos140° > 0





6El ángulo 260º pertenece al tercer cuadrante, luego tan260° > 0

El ángulo 300º pertenece al cuarto cuadrante, luego tan300° < 0

El producto

tan300°tan260° < 0

Finalmente el cociente M será negativo por la ley de signos

De forma análoga para el caso de R

8. El valor numérico de la expresión:

sin180° 2cos180° 3sin270° 4cos270° 5sec180°


Los ángulos considerados son cuadrantales, podemos utilizar tablas o

simplemente la imaginación pero no calculadoras.

sin180° 2cos180° 3sin270° 4cos270° 5sec180°

= 0 2 ∗( 1) 3 ∗( 1) 4∗0 5 ∗( 1) 6 ∗( 1) = 2 3 5 6 =

9. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en el orden dado:

sin523 cos25

3 ; sin325 cot22

3


Los ángulos están medidos en radianes porque llevan el valor de ,

entonces expresaremos las cantidades racionales en números mixtos.


523 = 1713 = 17 13 = 16 113





7Luego, sin = sin 16 1 = sin 16 = sin > 0

cos253 = cos 8

3 = cos3 > 0

El producto es positivo. De forma análoga se hace el segundo caso.

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE.

1. Señale el valor de sin120°

sin120° = sin(90° 30°) = cos30° = √ 32

2. Calcule: = tan150° ∗ sin315° = tan(180° 30°)∗sin(360° 45°)

= ( tan30°) ∗( sin45°) = √ 33 ∗√ 2

2 = √ 66

3. Determina el valor de cos1200°

1200° = 3 ∗360° 120°

cos1200° = cos(3 ∗360° 120°) = cos120° = cos(90° 30°) = sin30° = 1

2

4. Hallar el valor de = sin( 30°) tan( 53°)

= sin30° tan53° = 12

43 =

3 86 = 11

6

5. Hallar el valor de tan

tan173 = tan 6 3 = tan3 = √ 3

6. Del gráfico, calcule el valor de tan.





8


Los segmentos señalados con un punto son de la misma medida

(congruentes)

tan(360° ) = 33 4 = 37

tan = 37 → =

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