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INFORME TALLER No 3TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
PROBLEMA 1
Se realizaron pruebas de lixiviación en reactor agitado con 2 diferentes tipos de minerales de cobre. Las Tablas 1.1 y 1.2 muestran los datos cinéticos para el mineral tipo A y B respectivamente. Utilizando el modelo de núcleo no reaccionado determinar si existe un control de tipo cinético o difusional para los dos tipos de mineral. Determinar adicionalmente el tiempo que demora en reaccionar completamente el mineral. La masa inicial de mineral es de 200 gr y el volumen de solución es de 800 cm3.
Tabla 1.1 Datos cinéticos para el Mineral A
t Cu[hr] [g/l]0.0 0.00.5 45.01.5 54.83.0 61.55.0 73.57.5 84.510.8 96.314.0 105.818.0 118.322.5 130.027.5 141.033.0 151.039.0 161.545.5 172.852.5 184.860.0 192.3
Tabla 1.2 Datos cinéticos para el Mineral B
t Cu[hr] [g/l]0.0 0.00.5 48.81.5 55.33.0 61.85.0 71.37.5 84.510.5 97.514.3 112.818.8 129.822.5 142.327.5 155.532.0 171.539.4 189.045.9 205.052.7 219.860.9 237.3
Solución:
Ecuación para calcular la conversión X:
La masa inicial de Cu es m0 = 200 gr, y representaría el sólido a extraer con el líquido reactivo de acuerdo a la teoría del núcleo sin reaccionar,
Mineral de Cu(sólido) + Reactivo (líquido) → Producto (Cu en disolución),
En general la masa P de Cu como producto, véase segundo miembro de la ecuación química, expresada en gramos será la concentración C dada en la tabla 1.1 o 1.2 multiplicada por el volumen V de la solución, estos es
. (1.1)
Para V = 800 cm3 = 0.8 litros, la ecuación anterior queda
, (1.2)
donde C es dada en gr/lt y la masa P “convertida” en gr de Cu.
En virtud a la definición de conversión para reacciones heterogéneas se puede escribir en términos de la concentración C de Cu y la masa inicial m0 de Cu en el mineral A, es decir1
, (1.3)
Con m0 = 200 gr la expresión matemática para calcular la conversión es
X = 0.004·C, (1.4)
donde la constante de 0.004 tiene las unidades de l/gr. Nótese que la conversión es adimensional y varía entre cero y uno.
Caso mineral A
Por ejemplo, para el segundo dato de la tabla 1.1 se tiene t = 0.5 s y C = 45.0 gr/l, entonces según la ecuación (1.4),
X = 0.004·C = 0.004·45.0 = 0.18.
Análogamente se hace los cálculos para los otros datos de la cinética del mineral A y se obtiene los resultados de la conversión expuestas en la tabla 1.3.
Tabla 1.3Resultados de la conversión X
para el mineral A
1 En general, la conversión X se define como la fracción de material convertida. Para reacciones tipo sólido-fluido, X = 1-F, donde F = Volumen del núcleo sin reaccionar/Volumen total de la partícula, en base al modelo del núcleo sin reaccionar. La última definición es útil cuando se conoce la variación del tamaño de partícula del sólido con el tiempo. Para la resolución del problema en este trabajo, la expresión de la conversión se ha basado en la definición general.
t/hr X0 0
0,5 0,1801,5 0,2193,0 0,2465,0 0,2947,5 0,33810,8 0,38514,0 0,42318,0 0,47322,5 0,52027,5 0,56433,0 0,60439,0 0,64645,5 0,69152,5 0,73960,0 0,769
Los datos tabulados en la tabla 1.3 se asumen como datos experimentales de la conversión X en función del tiempo.
A continuación, se presentan una ecuación generalizada que resume el modelo de núcleo sin reaccionar, empleadas para determinar la etapa controlante de la velocidad de transformación:
, (1.5)
donde
Con los datos experimentales de X se obtienen valores de F(X) en función del tiempo, si existe al menos perceptiblemente una relación lineal de F(X) con el tiempo t, entonces la etapa controlante será la correspondiente. En la tabla 1.4 se dan los valores de F(x) obtenidos con los datos experimentales de X como función discreta del tiempo, para cada etapa de transferencia.
Las representaciones gráficas de los resultados de F(x) con el tiempo t se muestran en las figuras 1.1, 1.2 y 1.3 para cada etapa respectiva. Además de la recta de tendencia, de ecuación general y = bx, obtenida con el método de mínimos cuadrados, recta que pasa por el origen de coordenadas para cada caso y acompañada del coeficiente de determinación R2.
Tabla 1.4 Resultados de la evaluación de F(X) para el mineral A
Datos F(X) t/hr X Liquido Ceniza R. química0 0 0 0 0
0,5 0,180 0,180 0,0118 0,06401,5 0,219 0,219 0,0178 0,07923,0 0,246 0,246 0,0228 0,08985,0 0,294 0,294 0,0334 0,10967,5 0,338 0,338 0,0453 0,128510,8 0,385 0,385 0,0605 0,149714,0 0,423 0,423 0,0748 0,167618,0 0,473 0,473 0,0968 0,192422,5 0,520 0,520 0,1209 0,217027,5 0,564 0,564 0,1470 0,241733,0 0,604 0,604 0,1742 0,265739,0 0,646 0,646 0,2067 0,292645,5 0,691 0,691 0,2470 0,324152,5 0,739 0,739 0,2970 0,361160,0 0,769 0,769 0,3328 0,3866
y = 0,0163xR2 = 0,4383
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Co
nve
rsió
n X
Figura 1.1 Conversión X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de difusión a través de la película líquida. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
y = 0,00548x
R2 = 0,99707
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 20 40 60 80
Tiempo t/hr
Con
vers
ión
X
Figura 1.2 Conversión X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de difusión a través de la capa de ceniza. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
y = 0,00752x
R2 = 0,76895
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Conv
ersi
ón X
Figura 1.3 Conversión X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de reacción química. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
De las figuras se observa notoriamente que la función F(X) con el tiempo guarda una relación lineal para el caso de la difusión a través de la capa de ceniza, por lo tanto:
La etapa controlante es la difusión a través de la capa de ceniza.
La recta de regresión y = 0.00548x (véase figura 1.2) corresponde a la ecuación
(1.6)con
,
en base a lo argumentado sobre la ecuación (1.5). Otra importante conclusión es la que se desprende al comparar la ecuación (1.6) con la ecuación (1.5); esto es,
de esta relación se determina fácilmente el tiempo necesario para que el mineral A reaccione completamente ( X = 1):
hr.
Caso mineral B
A partir de la ecuación general (1.4), escrita nuevamente aquí para seguir una mejor compresión, puede determinarse los valores de la conversión para el mineral de B:
X = 0.004·C. (1.4)
Por ejemplo, para el quinto dato de la tabla 1.2 se tiene t = 5.0 s y C = 71.3 gr/l, la conversión será:
X = 0.004·71.3 = 0.285.
Así, para los demás datos de tiempo y concentración se entregan los resultados en la tabla 1.5.
Tabla 1.5Resultados de la conversión X para el mineral B
t/hr X t/hr X0 0 18,8 0,519
0,5 0,195 22,5 0,5691,5 0,221 27,5 0,6223,0 0,247 32,0 0,6865,0 0,285 39,4 0,7567,5 0,338 45,9 0,82010,5 0,390 52,7 0,87914,3 0,451 60,9 0,949
Análogamente al caso del mineral A, se utiliza la ecuación general (1.5) para determinar los valores de F(X) con datos experimentales de X y t dados en la tabla 1.3 para el mineral
B, con el objeto de determinar la etapa controlante de la velocidad de transferencia de materia. Los resultados se muestran en la tabla 1.6.
Tabla 1.6Resultados de la evaluación de F(X) para el mineral B
Datos F(X) t/hr X Liquido Ceniza R. química0 0 0 0 0
0,5 0,195 0,195 0,0139 0,06981,5 0,221 0,221 0,0182 0,08003,0 0,247 0,247 0,0230 0,09035,0 0,285 0,285 0,0313 0,10597,5 0,338 0,338 0,0453 0,128510,5 0,390 0,390 0,0622 0,151914,3 0,451 0,451 0,0867 0,181318,8 0,519 0,519 0,1204 0,216622,5 0,569 0,569 0,1504 0,244727,5 0,622 0,622 0,1876 0,277032,0 0,686 0,686 0,2421 0,320339,4 0,756 0,756 0,3166 0,375145,9 0,820 0,820 0,4036 0,435452,7 0,879 0,879 0,5085 0,505760,9 0,949 0,949 0,6901 0,6296
Se grafican los datos de F(X) y el tiempo t en horas para cada caso, al mismo tiempo se determina la recta regresión y = bx mediante el criterio de mínimo cuadrados, en las figuras 1.4, 1.5 y 1.6 se exhiben los resultados.
y = 0,0189xR2 = 0,672
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Co
nvers
ión
X
Figura 1.4 Conversión X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de difusión a través de la película líquida. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
y = 0,00916x
R2 = 0,94031
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 20 40 60 80
Tiempo t/hr
Convers
ión X
Figura 1.5 Conversión X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de difusión a través de la capa de ceniza. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
y = 0,01010x
R2 = 0,94698
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Conv
ersi
ón X
Figura 1.6 Conversión X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de reacción química. ●, dato experimental; ─, dato calculado con la recta regresión.
La figura 1.4 rebela que los datos de F(X) no están sobre una línea recta y por consiguiente la etapa de difusión a través de la película líquida no es la controlante. Si bien las figuras 1.5 y 1.6 no discrepan significativamente en los valores de los coeficientes de determinación, la figura 1.6 muestra una tendencia lineal perceptible de los datos; en cambio, en la figura 1.5 se observa que los datos de F(X) y t no forman una relación lineal, a pesar de tener un R2 = 0.94, para valores muy bajos del tiempo la función F(X) podría confundirse con una recta, no obstante esta conclusión es discutible. Se puede decir que
la etapa controlante en este caso es parcialmente la de reacción química.
En realidad, la teoría de la etapa controlante no indica que debe realizarse necesariamente un ajuste de mínimos cuadrados de los datos experimentales, en especial tomar el estadígrafo R2 como un parámetro para determinar la etapa controlante, éste último no es una condición necesaria y suficiente, sino más bien la teoría indica que una gráfica de los datos discretos de F(X) en función del tiempo deben mostrar un tendencia lineal. Sin embargo, un análisis estadístico más riguroso podría ser útil para marcar bien las diferencias entre los resultados relativos a la capa de ceniza y la de reacción química, el cual lleva por nombre método de los residuos o errores.
Con la ayuda de las rectas de regresión se estiman los valores de F(X) para los tiempos dados y se restan a estos los correspondientes valores de F(X), obtenidos con datos experimentales de X y t, para cada caso, o sea, ceniza y reacción química. Los resultados se muestran de manera gráfica en las figuras 1.7 y 1.8.
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Res
iduo
Figura 1.7 Gráfica de los residuos para el mineral A
En la situación de la figura 1.7, casi en todo el rango de los datos se puede decir que los residuos tienen un tendencia, por lo tanto el modelo de la etapa de difusión a través de la ceniza no explica las observaciones y en consecuencia no es la etapa controlante para la velocidad de transferencia de masa. Cuando el tiempo tiende a valores muy cercanos a cero los residuos parecen tener una tendencia aleatoria, pero con cierto argumento discutible.
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo t/hr
Res
idu
o
Figura 1.8 Gráfica de los residuos para el mineral B
Aquí, la figura 1.8 manifiesta que los datos tienen una cierta tendencia aleatoria perceptible si se trunca los datos en el tiempo mayor a las 12 horas, lo cual indica que el modelo matemático para la conversión en el tiempo es consistente con los datos experimentales. Sin embargo, para tiempos por debajo 12 horas la etapa controlante puede no ser la de reacción química. Se puede concluir que el método de los residuos puede ser útil en la decisión de la etapa controlante, el resultado del coeficiente estadístico R2 = 1, o muy cerca de uno, no siempre indica una excelente calidad del ajuste del modelo a los datos, el análisis del método de los residuos es más significativo en la calidad del ajuste de los mínimos cuadrados.
Entonces, considerando como etapa controlante la de reacción química para la estimación del tiempo necesario para la conversión completa del mineral B, se puede escribir la siguiente ecuación de estimación:
F(X) = 0,0101·t, (1.7)
en la cual .
La ecuación (1.7) es la misma que aparece en la figura 1.6, a saber, y = 0,0101x, comparando la ecuación (1.7) con la ecuación general (1.5), se desprende la relación
,
de donde se obtieneτ = 99 hr
como el tiempo mínimo para la reacción completa del mineral B.
PROBLEMA 2
Se realizó prueba en pila piloto de 8 m de altura. Se cargaron 100000 T de mineral de cobre con leyes que se muestran en la tabla 2.1. La pila se regó por 240 d en forma continua a una tasa de riego de 10 lt/hr/m2.
Tabla2.1Ley de Cobre
Especie Ley [%]Cu2S 0.1CuS 0.05
CuFeS2 0.3Cu5FeS4 0.3
Mediante pruebas en laboratorio se encontró que las curvas de extracción de estas especies siguen el siguiente modelo:
. (2.1)
Utilizando los datos de la tabla 2.2 determinar:
i. Curva de extracción de cobre en función del tiempoii. Curva de concentración de cobre en función del tiempo. Asumir densidad de la pila
de 1.7 T/m3. iii. Consumo teórico total de Fe3+ al cabo de los 240 d.
Tabla 2.2 Parámetros Curvas de Extracción
Especie A k [d-1]Cu2S 100 0.03CuS 80 0.02
CuFeS2 30 0.01Cu5FeS4 50 0.008
Nota: Considerar la densidad de la pila igual a 1.7 T/m3.
Solución:
Caso i
Puesto que la solución de riego no contiene las especies de la solución de drenaje o del mineral, la expresión para calcular el porcentaje de extracción de Cu se simplifica llega a ser:
, (2.2)
Donde Mi es la masa en toneladas de la especie i extraida, Qi es la masa inicial en toneladas de la especie i en la pila piloto.
Sea:
Especie 1 = Cu2SEspecie 2 = CuS
Especie 3 = CuFeS2
Especie 4 = Cu5FeS4
Entonces para todo i se cumple i = 1,2,3 y 4. Despejando la masa extraída de la ecuación (2.2) se obtiene
, (2.3)
Por otro lado, la cantidad de cada especie en el mineral de ley Li y peso P = 100000 ton, puede calcularse como:
, (2.4)
de acuerdo a la definición de ley de un mineral. Por ejemplo, para los datos de la calcosina: L1 = 0.1 %, entonces según la ecuación (2.4)
ton.
Análogamente se calcula Qi para las restantes especies, en la tabla 2.3 se muestran los resultados obtenidos en base a la ecuación (2.4).
Tabla 2.3Toneladas de especie en la pila
de peso P = 100000 ton
i Especie Qi /ton1 Cu2S 1002 CuS 503 CuFeS2 3004 Cu5FeS4 300
La sustitución de la ecuación (2.1) en la ecuación (2.3) da la siguiente relación funcional:
, (2.5)
es decir Mi depende exclusivamente del tiempo para cada especie i. Así, por ejemplo, después de 10 días de operación, la masa extraída de la especie calcocina (de la tabla 2.2 A1 = 100, k1 = 0.03 d-1) será:
ton.
En virtud a la ecuación (2.5), se pueden obtener los resultados de la cantidad de masa Mi extraída para todas las especies para distintos tiempos. Sin embargo, el objetivo de este apartado es poder calcular la masa extraída m i de Cu, lo cual se lleva a cabo por la aplicación de una sencilla regla estequiométrica entre el peso atómico del Cu, 63.5 gr/mol, y el peso molecular PM en gr/mol de la especie i, esto es
, (2.6)
νi es el número de átomos-mol de Cu en un mol de la especie i, por ejemplo, para la especie Cu2S se tiene ν1 = 2. Siguiendo con el caso particular fijado para t = 10 días, la masa extraída de Cu contenida en 25.918 ton de calcosina será:
ton
La sustitución de la ecuación (2.5) en la ecuación (2.6) da una relación directa entre la masa extraída mi de Cu en la especie i con el tiempo t en días.
. (2.7)
Así, por aplicación de esta ecuación para t = 10 días, las toneladas m i de Cu contenidas en las otras especies, se muestra la tabla 2.4.
Tabla 2.4Toneladas de Cu en extraída
por especie para 10 días
Especie mi/ tonCu2S 20,689CuS 4,816
CuFeS2 2,964Cu5FeS4 7,298
La masa total de Cu extraída al cabo de 10 días de operación es
ton
En forma general, la extracción de Cu total se puede escribir como
. (2.8)
El símbolo m (sin subíndice i) representa la masa total extraída de Cu desde el mineral para el tiempo t de operación.
La formulas deducidas anteriormente pueden fácilmente introducirse en el software Microsoft Excel, resulta risible hacer los cálculos con detalles para diferentes tiempos ya que el procedimiento empleado es el mismo para el ejemplo descrito para 10 días. En la tabla 2.6 se rebelan los resultados de la masa total extraída en toneladas de Cu para diferentes tiempo desde 0 hasta los 240 días, con intervalos de 10 días. Además, en la tabla 2.5 se exhiben las cantidades extraídas de especie y de Cu por especie para los tiempos definidos.
Tabla 2.5 Resultados de las toneladas extraídas de especie y de cobre
Toneladas de especie CuS2 CuS CuFeS2 Cu5FeS4t/días CuS2 CuS CuFeS2 Cu5FeS4 Cu/ton Cu/ton Cu/ton Cu/ton
0 0 0 0 0 0 0 0 010 25,918 7,251 8,565 11,533 20,689 4,816 2,964 7,29820 45,119 13,187 16,314 22,178 36,016 8,759 5,646 14,03630 59,343 18,048 23,326 32,006 47,370 11,988 8,072 20,25540 69,881 22,027 29,671 41,078 55,781 14,631 10,268 25,99650 77,687 25,285 35,412 49,452 62,013 16,795 12,254 31,29660 83,470 27,952 40,607 57,182 66,629 18,567 14,052 36,18870 87,754 30,136 45,307 64,319 70,049 20,017 15,679 40,70480 90,928 31,924 49,560 70,906 72,583 21,205 17,150 44,87390 93,279 33,388 53,409 76,987 74,459 22,177 18,482 48,721100 95,021 34,587 56,891 82,601 75,850 22,973 19,687 52,274110 96,312 35,568 60,042 87,783 76,880 23,625 20,777 55,553120 97,268 36,371 62,893 92,566 77,643 24,159 21,764 58,580130 97,976 37,029 65,472 96,982 78,208 24,596 22,657 61,375140 98,500 37,568 67,806 101,058 78,627 24,953 23,464 63,954150 98,889 38,009 69,918 104,821 78,937 25,246 24,195 66,336160 99,177 38,370 71,829 108,294 79,167 25,486 24,856 68,534170 99,390 38,665 73,558 111,501 79,337 25,682 25,455 70,563180 99,548 38,907 75,123 114,461 79,463 25,843 25,996 72,436190 99,665 39,105 76,539 117,193 79,557 25,975 26,486 74,166200 99,752 39,267 77,820 119,716 79,626 26,082 26,929 75,762210 99,816 39,400 78,979 122,044 79,677 26,171 27,331 77,235220 99,864 39,509 80,028 124,193 79,715 26,243 27,694 78,596230 99,899 39,598 80,977 126,177 79,744 26,302 28,022 79,851240 99,925 39,671 81,835 128,009 79,764 26,350 28,319 81,010
Tabla 2.6Resultados del total de toneladas de Cu extraídos
t/días m / ton Cu t/días m / ton Cu0 0 130 186,83510 35,767 140 190,99920 64,456 150 194,71430 87,685 160 198,04440 106,676 170 201,03850 122,358 180 203,73960 135,436 190 206,18370 146,449 200 208,40080 155,811 210 210,41490 163,840 220 212,247100 170,784 230 213,919110 176,835 240 215,444120 182,146
Para expresar los resultados de la tabla 2.6 en términos relativos es necesario calcular la masa inicial total de Cu en la pila para luego finalmente calcular el porcentaje de extracción Cu total.
Si Qi es la cantidad de masa de la especie i que contiene Cu, entonces la masa qi de Cu en la especie i se obtiene fácilmente por estequiometría, esto es
, (2.9)
νi tiene el mismo significado que en la ecuación (2.6), o sea representa el número de átomos-mol de una un mol de la especie i, el número 63.5 es el peso atómico del Cu en gr/mol.
Para el caso de la calcosina Cu2S: ν1 = 2, PM1 = 159.1 y Q1 = 100 ton, este último extraído de la tabla 2.3; la masa de Cu contenida en Cu2S es
ton
En la tabla 2.7 se exponen los resultados de la masa inicial de Cu en la pila contenida en cada especie.
Tabla 2.7Masa inicial de Cu
en cada especie de la pila
i Especie qi / ton Cu1 Cu2S 79,8242 CuS 33,2113 CuFeS2 103,8154 Cu5FeS4 189,854
Por consiguiente, el contenido total qo de Cu en la pila es
ton
En general se puede escribir,
. (2.10)
Ahora bien, con los valores conocidos de la masa inicial y total qo de Cu y la masa total m de Cu extraída (véase valores de m en la tabla 2.6) es posible calcular el porcentaje de extracción de Cu como
, (2.11)
para cualquier tiempo. En la situación particular de t = 10 días, m = 35.767 ton y la extracción porcentual de Cu es
%.
En la tabla 2.8 se entregan los resultados en base para los datos de la tabla 2. 6 y el valor conocido de qo.
Tabla 2.8Porcentaje de extracción total de Cu
para 406. 705 ton de Cu inicial en la pila
t/días m / ton Cu % Ext (Cu)0 0 010 35,767 8,79420 64,456 15,84830 87,685 21,56040 106,676 26,22950 122,358 30,08560 135,436 33,30170 146,449 36,00980 155,811 38,31190 163,840 40,285100 170,784 41,992110 176,835 43,480120 182,146 44,786130 186,835 45,939140 190,999 46,963150 194,714 47,876160 198,044 48,695170 201,038 49,431180 203,739 50,095190 206,183 50,696200 208,400 51,241210 210,414 51,736220 212,247 52,187230 213,919 52,598240 215,444 52,973
Una expresión general para la extracción porcentual de Cu para cualquier tiempo puede ser derivado si se considera la ecuación (2.8):
, (2.12)
con qo = 406.705 ton, los resultados de extracción en función del tiempo se obtienen en tanto por ciento en peso de toneladas.
En la figura 2.1 se contempla la curva de extracción de Cu como dependencia del tiempo, en el intervalo cerrado 0 ≤ t ≤ 240 días.
Se observa que la extracción de Cu es una función monótona creciente y asintótica, al aumentar el tiempo la extracción crece progresivamente hasta los 120 días, aproximadamente, luego la velocidad de extracción se hace lenta.
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Tiempo t/días
% E
xtra
cció
n d
e C
u
Figura 2.1 Curva de la extracción de cobre en función del tiempo obtenida con los datos de la tabla 2.8 y consistentes con la ecuación (2.12).
Caso ii
En este caso se pide hallar la concentración instantánea, un problema inverso al ejercicio 2 resuelto en los apuntes de lixiviación de Nelson Parra (2007).
Puesto de que se conoce la masa de extracción de Cu como una función continua en el tiempo, dada por la ecuación (2.8), entonces puede obtenerse exactamente la concentración para cualquier tiempo a través de la definición de la concentración instantánea.
. (2.13)
Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de la ecuación (2.13) por el diferencial de tiempo:
. (2.14)
El caudal constante qs de salida de la pila piloto se define como qs = dV/dt, luego la ecuación (2.14) se transforma en
, (2.15)
lo cual implica obtener la derivada de m con respecto a t, afortunadamente la función
,
Escrita en el anterior caso como la ecuación (2.8). Derivando la función m se obtiene
. (2.16)
El caudal de salida qs puede determinarse a partir de un balance global de materia. En la figura 2.2 se muestra esquemáticamente el proceso de lixiviación.
Figura 2.2 Pila de lixiviación.
Del balance global de materia se deduce
, (2.17)siendo A el área media de la pila, el cual es
. (2.18)
La densidad de la pila ρp = P/Vp, donde P y Vp es la masa y el volumen de la pila, respectivamente. Así se tiene
. (2.19)
Para los datos: P = 100000 ton y ρp = 1.7 ton/m3,
m3.
A partir de la ecuación (2.18)
m2.
El caudal de salida en lt/hr será
qs = 10·7350 = 73500 lt/hry en lt/días,
H = 8 mPilade
Lixiviación
q =10 lt/hm2
qs lt/m2
lt/días
Reemplazando este último valor de qs en la ecuación (2.15) da
,
en unidades ton/lt; si el segundo miembro de esta ecuación se multiplica por el facto de conversión 106 gr/1ton se llega a la siguiente expresión para determinar C en las unidades usuales de gr/lt:
. (2.20)
Por ejemplo para el primer componente Cu2S y t = 10 días: ν1 = 2, PM1 = 159.1, A1 = 100, k1 = 0.03días-1 y Q1 = 100 ton. Inmediatamente de la ecuación (2.20) se deduce que la derivada de m1 (masa de Cu extraída en la especie 1) respecto de t es
ton/días
De manera similar se calcula para las otras derivadas de la masa de Cu en las otras especies con respecto al tiempo, en la tabla 2.9 se exhiben los resultados para t = 10 días.
Tabla 2.9Resultados de las derivadas
en ton Cu/días para t = 10 días
i Especie dmi/dt1 Cu2S 1,77412 CuS 0,43513 CuFeS2 0,28184 Cu5FeS4 0,7010
Sumando las derivadas para todos los valores de i se obtiene la derivada de la masa total de Cu respecto al tiempo, esto es
ton/días
Reemplazando esta derivada expresada en ton/días en la ecuación (2.20), la concentración de Cu en unidades de gr/lt será:
gr/lt.
Para determinar las concentraciones para cualquier tiempo se sigue el mismo procedimiento de cálculo empleado antes para la calcocina y t = 10 días, en la tabla 2.10 se entregan los resultados del cálculo de la concentración para tiempos desde 0 hasta 240
días, en intervalos de 10 días. En la figura 2.3 se muestra gráficamente la variación de la concentración con el tiempo.
Tabla 2.10Resultados de las derivadas de la mása extraída y concentración de Cu
t/días dm1/dt dm2/dt dm3/dt dm4/dt dm/dt C/(gr/lt)010 1,7741 0,4351 0,2818 0,7010 3,1919 1,80920 1,3143 0,3562 0,2550 0,6471 2,5726 1,45830 0,9736 0,2916 0,2307 0,5974 2,0934 1,18740 0,7213 0,2388 0,2088 0,5515 1,7203 0,97550 0,5343 0,1955 0,1889 0,5091 1,4278 0,80960 0,3958 0,1600 0,1709 0,4699 1,1967 0,67870 0,2932 0,1310 0,1547 0,4338 1,0127 0,57480 0,2172 0,1073 0,1399 0,4004 0,8649 0,49090 0,1609 0,0878 0,1266 0,3696 0,7450 0,422100 0,1192 0,0719 0,1146 0,3412 0,6469 0,367110 0,0883 0,0589 0,1037 0,3150 0,5659 0,321120 0,0654 0,0482 0,0938 0,2908 0,4982 0,282130 0,0485 0,0395 0,0849 0,2684 0,4412 0,250140 0,0359 0,0323 0,0768 0,2478 0,3928 0,223150 0,0266 0,0265 0,0695 0,2287 0,3513 0,199160 0,0197 0,0217 0,0629 0,2111 0,3154 0,179170 0,0146 0,0177 0,0569 0,1949 0,2841 0,161180 0,0108 0,0145 0,0515 0,1799 0,2567 0,146190 0,0080 0,0119 0,0466 0,1661 0,2326 0,132200 0,0059 0,0097 0,0421 0,1533 0,2111 0,120210 0,0044 0,0080 0,0381 0,1415 0,1920 0,109220 0,0033 0,0065 0,0345 0,1307 0,1749 0,099230 0,0024 0,0053 0,0312 0,1206 0,1596 0,090240 0,0018 0,0044 0,0283 0,1113 0,1458 0,083
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
0 50 100 150 200 250
Tiempo t/días
Co
nce
ntr
ació
n C
/(g
r/lt
)
Figura 2.3 Curva de la concentración de Cu versus el tiempo
La concentración de Cu disminuye exponencialmente al transcurrir el tiempo, la concentración se hace cero para un tiempo infinito. Cuando el tiempo tiende a cero, la concentración instantánea tiende a un valor menor a 2.3 gr/lt (véase figura 2.3) pero no igual a este ya que la derivada en t = 0 no está definida. Al principio la velocidad con que disminuye la concentración es alta y luego varía cada vez más lenta. Con la expresión analítica para la derivada, dm/dt, ecuación (2.16) y la ecuación (2.20) se obtiene una función continua para la concentración, es decir, se puede evaluar la concentración para cualquier tiempo desde 0 < t ≤ 240 días.
Otro procedimiento para la obtención de la concentración pero no como una función continua sino más bien discreta con el tiempo, es el uso del método numérico aproximado para calcular la derivada como diferencia finita, así la ecuación (2.20) se transforma aproximadamente en
, (2.21)
Útil cuando la derivada de la función m(t) sea compleja de derivar. La precisión con este método depende de las características propias de m(t), del tamaño del intervalo y del error de redondeo. Por ejemplo, a partir de los valores obtenidos de m en la tabla 2.6 se puede obtener fácilmente la derivada aproximada ∆m/∆t, en la que ∆t = 10 días y ∆m será la diferencia entre un valor de m y el inmediato inferior, previamente se calculan los valores medios del tiempo que corresponden a la derivadas así obtenidas. En la tabla 2.11 se presentan los cálculos en forma tabular, además de la concentración.
Tabla 2.11Resultados de la derivada y la concentración por el método numérico
Datos Valor medio ∆m/∆t Concentraciónt/días Ton Cu t / días ton/días C/(gr/lt)
0 0 5 3,5767 2,02810 35,767 15 2,8689 1,62620 64,456 25 2,3228 1,31730 87,685 35 1,8991 1,07740 106,676 45 1,5682 0,88950 122,358 55 1,3078 0,74160 135,436 65 1,1013 0,62470 146,449 75 0,9362 0,53180 155,811 85 0,8029 0,45590 163,840 95 0,6944 0,394100 170,784 105 0,6052 0,343110 176,835 115 0,5311 0,301120 182,146 125 0,4689 0,266130 186,835 135 0,4164 0,236140 190,999 145 0,3715 0,211150 194,714 155 0,3329 0,189160 198,044 165 0,2994 0,170170 201,038 175 0,2702 0,153180 203,739 185 0,2444 0,139190 206,183 195 0,2216 0,126200 208,400 205 0,2014 0,114210 210,414 215 0,1833 0,104220 212,247 225 0,1671 0,095230 213,919 235 0,1526 0,086240 215,444
En la figura 2.4 se expone la comparación de los resultados de la concentración con el método analítico y con el método de diferencia finita. Con línea a trazos son los resultados con el modelo numérico y con línea continua con el procedimiento analítico.
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
0 50 100 150 200 250
Tiempo t/días
Co
nce
ntr
ació
n C
/(g
r/lt
)
Figura 2.5 Concentración de Cu versus tiempo.─, curva obtenida con el método analítico;
---, curva con el método de diferencia finita.
Obsérvese que la curva trazada con el método de diferencia finita coincide prácticamente con la curva obtenida analíticamente, no habiendo diferencia significativa. Esto se debe a la forma uniforme que caracteriza a la curva y la aproximación lineal por segmentos de recta son adecuadas para obtener resultados precisos y casi exactos.
Caso iv
Al cabo de los 240 días las cantidades de Cu extraídas por cada especie del mineral han sido calculadas y están expuestas como el dato final en la tabla 2.6 y 2.8, en la siguiente tabla 2.12 se muestra ordenadamente los valores numéricos de las toneladas de Cu extraídas con las especies químicas.
Tabla 2.12Toneladas de Cu extraídos del mineral
al cabo del tiempo de 240 días
Especie Ton de Cu extraídosCu2S 79,764CuS 26,350
CuFeS2 28,319Cu5FeS4 81,010
A partir de las reacciones químicas involucradas para cada especie con la sal de Fe2(SO4)3,
Calcosina:Cu2S + Fe2(SO4)3 = CuS + CuSO4 + 2FeSO4 (2.22)
Covelina:CuS + Fe2(SO4)3 = CuSO4 +2FeSO4 + S (2.23)
Calcopirita:CuFeS2 + Fe2(SO)3 = CuSO4 + 5FeSO4 + 2S (2.24)
Bornita:Cu5FeS4 + 2Fe2(SO)3 = CuSO4 + 5FeSO4 +4CuS (2.25)
puede obtenerse fácilmente mediante la estequiometría directa entre los iones Cu2+ y Fe3+, el consumo teórico de Fe3+ en toneladas, primero por cada especie y finalmente el total.2
De la ecuación química (2.22):
ton.
De la ecuación química (2.23):
ton.
De la ecuación química (2.24):
ton.
De la ecuación química (2.25):
ton.
Por lo tanto,
Consumo teórico total de Fe3+ = 70.092+26.350+99.540+56.949 = 272. 9 ton.
PROBLEMA 3
2 Los pesos atómicos relativos de los elementos involucrados han sido extraídos de una tabla periódica: A(Fe) = 55.8, A(S) = 32.1 y A(Cu) = 63.5.
Se realizó experimento en el cual se midió la presión capilar a 5 diferentes alturas dentro de una columna en función del tiempo. Utilizando los datos en planilla Excel adjunta y la correlación de van Genuchten determinar:
i. Curva de variación de la humedad en función del tiempo para las 5 diferentes alturas.
ii. Curva de variación de la conductividad hidráulica en función del tiempo para las 5 diferentes alturas.
iii. Curva de variación del flujo de salida de la columna en función del tiempo. iv. Asumiendo que hay una pérdida de un 10% del flujo de alimentación por
evaporación, determinar el flujo con el cual se alimentó la columna.
Para el cálculo considerar los valores de los parámetros que se muestran en la tabla 3.1
Nota: Para el cálculo considere z = - z (eje z va desde la parte superior de la columna hacia abajo)
Tabla 3.1 Parámetros
Parámetro ValorN 1.5α [m-1] -5Densidad Mineral [T/m3] 2.27Densidad Lecho [T/m3] 1.38Humedad Residual [m3 solución/ m3 lecho] 0.001Permeabilidad [darcy] 450Densidad Líquido [T/m3] 1.10Viscosidad Líquido [poise] 0.001Δz [m] 1.6
Solución: Éste es uno de los problemas de modelado del proceso de lixiviación en pilas.Para el inciso i, la correlación de van Genuchten da la relación de la humedad θ con la cabeza capilar ψ, a través de la ecuación:
, con , (3.1)
donde θr representa la humedad residual en m3 líquido/m3 lecho, θs representa la humedadde saturación, α, n y m son constantes determinadas. Además, con base a los datos dados en una planilla de Microsoft Excel, se puede escribir
, (3.2)
z es la profundidad de la columna en la dirección negativa de z en el instante t. De las anteriores ecuaciones se deduce inmediatamente
, (3.3)
con t ≥ 0, z ≤ 0 y rango θr ≤ θ ≤ θs. El problema se resume en hallar θs y m ya que los valores numéricos de los otros parámetros de la ecuación (3.1) son dados en el enunciado del problema, a saber, θr = 0.001, α = -5 m-1 y n = 1.5.
El cálculo de θs es como sigue, a partir de la definición de la saturación
,
que para la saturación completa del lecho, se cumple S = 1 y la ecuación anterior queda como
; (3.4)
es decir, la humedad de saturación θs es igual numéricamente a la porosidad del lecho. Ahora bien, dado la densidad aparente del lecho y la densidad del mineral (o densidad del sólido), la porosidad puede ser calculado en función de estas variables mediante3
, (3.5)
Para ρa = 1.38 T/m3 y ρm = 2.27 T/m3, se obtiene
ó bien,
en virtud a la ecuación (3.4).
Hasta aquí se tiene casi todos los parámetros conocidos a excepción del valor de m, este último se obtiene a partir de la ecuación m = 1-1/n, esto es,
.
Finalmente, sustituyendo los valores numéricos de los parámetros en el modelo de van Genuchten, se obtiene la ecuación particular
, (3.6)
donde ψ tiene unidades de metros, pues así los miembros de la ecuación se hacen adimensionalmente homogéneos.La expresión matemática anterior para la humedad θ es escrita de una manera más elegante como
3 La densidad del lecho y la densidad aparente del lecho son dos conceptos muy diferentes. Mientras la densidad del lecho es la relación de la masa del lecho y el volumen del lecho, la densidad aparente del lecho es masa del sólido sobre el volumen del lecho. Estas relaciones son consistentes con la definición de porosidad del lecho. Entonces el valor numérico dado como densidad del lecho en la tabla 3.1 más bien debe referirse como la densidad aparente del lecho, de lo contrario no sería útil para el cálculo de la porosidad; un análisis de las unidades de la expresión (5) y la definición de la porosidad es suficiente para la compresión de lo dicho anteriormente.
, , (3.7)
La función ψ es dada en forma tabular en la tabla de abajo, extraída de la planilla de Microsoft Excel del problema propuesto (véase los datos completos en el Anexo1).
Tabla 3.2
t/días Ψ1 Ψ2 Ψ3 Ψ4 Ψ5
0,1 -37,530 -326,701 -327,010 -327,010 -327,0100,2 -14,020 -313,573 -327,010 -327,010 -327,0100,3 -7,583 -227,130 -327,010 -327,010 -327,0100,4 -5,126 -117,852 -327,000 -327,010 -327,0100,5 -3,858 -60,454 -326,881 -327,010 -327,0100,6 -3,057 -33,296 -325,816 -327,010 -327,0100,7 -2,544 -20,489 -320,037 -327,010 -327,0100,8 -2,188 -13,718 -299,019 -327,010 -327,0100,9 -1,912 -9,619 -245,417 -327,010 -327,0101,0 -1,704 -7,164 -171,228 -327,007 -327,010· · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·
7,8 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,8807,9 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,8808,0 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880
Entonces, la sustitución de los valores de ψ entregados en la tabla 3.2 en la ecuación (3.7), da los correspondientes valores numéricos de la humedad θ en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 8 días, para las profundidades z1 = 1.6 m, z2 = 2z1, z3 = 3z1, z4 = 4z1 y z5 = 5z1, respectivamente. En la tabla A.2 del anexo 1 se presentan los resultados para todos los tiempos a las cinco alturas definidas.
En base al modelo de van Genuchten, ecuación (3.7), la representación gráfica de θ = θ(t), en el intervalo 0 ≤ t ≤ 8 días, para cada altura definida, se obtiene la curva de la humedad en función del tiempo en la figura 3.1.
Para todos los valores de z, se observa que la humedad aumenta rápidamente con el tiempo hasta cambiar muy lentamente por encima de 0.181, prácticamente constante, si y sólo si, se toman cuatro decimales, esto se debe a que la función ψ varía muy lentamente con el tiempo después de los 6 días, (véase la figura 3.2). La rapidez con que se llega la humedad a este valor “pseudo-constante” disminuye con respecto a los niveles de profundidad, en el sentido del menor valor al mayor valor de z en valor absoluto, véase la figura 3.1. Sin embargo, el valor casi constante de 0.181 es menor que la de saturación (θs = 0.392). Esto no quiere decir que el sistema no alcanzará la humedad de saturación, sino lo hará pero en un tiempo mucho mayor para el cual ψ = 0. En la figura 3.2 se observa notoriamente como la función ψ cambia extremadamente lenta después de los 6 días.4
4 En la planilla adjunta de datos de ψ en función del tiempo para las cinco alturas se observa que los datos no están redondeadas sino entrecortadas para visualizar con tres decimales, por ejemplo los datos correspondientes a t = 8 días los valores de ψ con 8 decimales son notoriamente distintas y en realidad hasta los 8 días las propiedades de la pila como humedad, conductividad hidráulica, entre otros no será constante si se toman todas los decimales de los datos de ψ. De ahí que la necesidad de tomar muy en cuenta el número de cifras significativas de los datos y de los resultados para emitir conclusiones erróneas.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Tiempo t/días
Hu
med
ad
8 m
6,4 m
4,8 m
3,2 m
1,6 mθ
θr
Figura 3.1 Curva de la humedad en función del tiempo para cinco alturas diferentes obtenida con el modelo de van Genuchten ecuación (3.7) en combinación con la tabla 3.2. Los segmentos de curva con línea discontinua representa una extrapolación de θ para valores de tiempo t < 0.1 días. En el punto t = 0 la humedad es θ =θr =0.001.
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Tiempo t/días
Cab
eza
cap
ilar
ψ /
m
8 m6,4 m
4,8 m
3,2 m
Figura 3.2 Variación de ψ con el tiempo t para diferentes profundidadesEn el caso ii, la conductividad hidráulica según el modelo de van Genuchten está dada por la siguiente expresión matemática:
(3.7)
con
, (3.8)
siendo Ks la conductividad hidráulica de saturación en m/días, k la permeabilidad de la pila en m2, ρ, μ son la densidad y la viscosidad del líquido, respectivamente, y g representa la aceleración de la gravedad.
De la tabla 3.1, k = 450 darcy, ρ = 1.10 T/m3 y μ = 0.001 poise. En unidades cgs:
,
,
Sutituyendo estos valores, además de g = 981 cm/s2, en la ecuación (3.8) se obtiene:
.
En unidades prácticas:
.
Remplazando este último valor de Ks y simultáneamente también los otros parámetros conocidos en la ecuación (3.7), se tiene
. (3.9)
O bien
, (3.10)
donde θ está dada por la otra ecuación de van Genuchten:
, .
Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores y la tabla de valores para ψ, la función K es una composición de las funciones de θ y ψ, en otras palabras así, K= θ◦ψ, ψ = ψ(t, z). Con esto y los datos de la tabla 3.2, los resultados de K en función del tiempo para las cinco alturas dadas se muestran en la tabla A.3 del Anexo 1
En la figura 3.3 se muestra la curva de la conductividad hidráulica K en función del tiempo a cinco profundidades diferentes de la pila.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Tiempo t/días
Co
nd
uct
ivid
ad h
idrá
ulic
a K
/(m
/día
s)
1,6 m
3,2 m
4,8 m
6,4 m
8 m
Figura 3.3 Conductividad hidráulica K en función del tiempo a diferentes profundidades.
De la figura 3.3, de inmediato se desprende que la familia de curvas pasa por el origen de coordenadas y a medida que se incrementa el tiempo la conductividad aumenta más rápidamente a bajas profundices que a altas profundidaes; después de t > 6 días la conductividad varía imperceptiblemente alcanzando un valor casi constante de 3.201 m/día. La curvas obtenidas así son consistentes con las determinadas para θ = θ (t).
En el caso iii, la ecuación para trazar la curva de variación del flujo de salida de la columna en función del tiempo se obtiene a partir de la ecuación general de Darcy.
, (3.11)
Puesto que el problema de transferencia de materia es unidireccional en el sentido negativo del eje z, Nelson Parra (2007) sugiere la siguiente ecuación al hacer el cambio z = -z para obtener un q siempre positivo.5
, (3.12)
Si se aplica ahora el teorema del valor medio de las integrales, la ecuación anterior puede escribirse de manera más práctica donde la derivada dψ/dt es reemplazada por diferencias finitas:
5 Al hacer un cambio de variable por más simple que sea, dentro la expresión de una ecuación diferencial, es necesario, paralelamente, indicar la relación de las diferenciales; si z = -z, entonces debe cumplirse dz =-dz. Ahora bien, en la ecuación sugerida (3.12) para tener un q > 0, no queda otra que dz es positivo, ya que en los datos de la tabla 3.1 aparece la diferencia finita correspondiente ∆z = 1.6 m dado como valor positivo, en cualquier caso la verificación de la expresión (3.12) se manifestará en la obtención de los resultados positivos de q.
, (3.13)
donde representa el valor medio de la conductividad hidráulica obtenida por la evaluación de la función K(θ) en el valor promedio de la variable ψ en el intervalo de ∆ψ y ∆z. La aplicación anterior está intrínsecamente relacionada con las definiciones de diferencial exacta e inexacta y el teorema de Rolle para las derivadas e integrales. Así por ejemplo, el caudal o el calor son variables que no tiene diferencial exacta pues no son propiedades de estado.
En las tablas A.4, A.5 y A5 del Anexo 1 se muestran los cálculos tabulares para la obtención de , ∆ψ/∆z y el caudal q. La figura 3.4 presenta la gráfica de los caudales de salida en función del tiempo, es muy importante señalar que para los cálculos el origen de coordenadas para el eje z o mejor dicho como valor de referencia se toma en z = 1, ya que en z = 0 no se conoce el caudal de entrada qe, si bien las derivadas son evaluadas en valores promedios de ψ, pero el caudal de salida puede ser indicada para cada base de elemento de pila, así se tendrá un problema consistente con las definiciones matemáticas para calcular derivadas y consistente con la representación física del caudal de salida, véase también la figura 3.5 para una mejor comprensión.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Tiempo t/días
Caudal d
e s
alid
a q
/(m
/día
)
3.2 m
4.8 m
6.4 m
8 m
Figura 3.4 Caudal de salida en función del tiempo. El caudal salida es referida a la base del elemento de pila pero evaluada en el punto medio de cada elemento de pila.
Figura 3.5 Esquema de la columna en elementos finitos.
Nótese que la deriva dψ/dt con los datos de ψ no puede estimarse en los extremos relativos inferiores de cada elemento de pila sino estaría en contra de la definición y existencia de la derivada de una función, pero si puede estimarse la derivada en el valor promedio de ψ de cada elemento, incluso en los extremos absolutos de la columna. Por consiguiente, el caudal se ha calculado en los promedios de ψ pero pueden ser indicados para las profundidades de cada base del elemento ya que el caudal es un flujo de salida. 6
En el caso iv, el problema es sencillo de resolver, como el área de la columna es constante, entonces el caudal que ingresó a la pila se puede obtener por unidad de área.
A partir de un balance de materia se deduce:
qa = qp + qs, (3.14)
Aquí, qa, qp y qs, son los caudales de entrada, pérdida debido a la evaporación y de salida, respectivamente.
Sabiendo que se pierde el 10 % del caudal de alimentación, entonces la ecuación (3.14) se puede escribir como
qa = 0.1qa + qs,de donde
, (3.15)
De acuerdo a los resultados numéricos del caudal de salida, este tiende a un valor casi constante, a saber, qs = 3.2 m3/m2/días (véase la figura 3.4 o la tabla A.6 del Anexo1), suponiendo que el caudal no tiene cambio alguno con dos cifras significativas, entonces, el flujo volumétrico de alimentación será:
m3/m2/días.
6 Cuando una función f(x) se define en un intervalo a ≤ x ≤ b existe la derivada de la función f ’(x) en el intervalo abierto a < x < b; es decir, no está definida en los extremos relativos.
1
2
3
4
5
q2
q3
q4
q5
∆z =1.6 m
ψ2
ψ1
ψ3
ψ4
ψ5
z = 0
