區間估計

區間估計值 (Interval Estimate)

• 由於點估計量的值不會恰好等於母體參數，因此區間估計值通常是由點估計量的值加或減某個值求得，我們稱這個加減值是邊際誤差(margin of

error)。

• 區間估計值的一般形式是：點估計值±邊際誤差。

• 區間估計值可以讓我們瞭解，由樣本得到的點估計值與母體參數值的接近程度。

母體平均數 (σ已知)

• 為了求算母體平均數的區間估計值，必須知道母體的標準差 σ 或樣本的標準差 s 以計算邊際誤差。

• 在大部分應用中， σ 很少是已知的數值，而是以 s 來計算邊際誤差。

• 在某些應用中，歷史資料或其他某些可用的訊息，讓我們得以在抽樣前取得母體標準差的優良估計值。

• 在品質管制的應用中，如果程序進行順利無誤，或在「控制中」，是母體標準差為已知也是適當的。此種情況稱為

σ 已知的情況。

個案研究：洛依德公司

• 洛依德公司每週選擇100名顧客的簡單隨機樣本，以瞭解每位顧客每次購物的花費。若以 x 表示每次購物的花費， 樣本平均 數 可以提供母體平均數 μ 的點估計值。洛伊德公司進行此項調查已有數年，根據歷史資料，洛伊德公司假定母體平均數 μ=$82 母體標準差 σ=$20，也顯示母體是常態分配。

x

邊際誤差與區間估計 (1)

• 洛依德公司的例子，購物花費的母體是標準差 σ=$20的常態分配，根據中央極限定理， 的抽樣分配是常態分配，且其標準誤 。

x2100/20 nx

邊際誤差與區間估計 (2)

• 利用標準常態機率表，可以發現95%的常態分配隨機變數的值會落在離平均值±1.96個標準差內，因為 的抽樣分配是常態分配，有95%的 值必須落在 μ ±1.96個標準差內。

• 洛依德公司的例子， 的抽樣分配是常態分配 ，標準誤 。 因為 。結論是：樣本大小為 n=100 而得到的樣本平均數會有95%落在母體平均數±3.92的範圍內。

xx

2x 92.3296.196.1 x

x

邊際誤差與區間估計 (3)

邊際誤差與區間估計 (4) • 假定選取三個不同的隨機樣本，每個樣本100名顧客。

形成的區間並未涵蓋母體平均數

參數μ。

92.3296.196.13 xxx x

邊際誤差與區間估計 (5)

• 假定最近數週內，洛依德公司的品管團隊調查100顧客，得到的購物花費平均數是 = 82，以 計算區間估計值， 可以得到82 ±3.92。因此，以最近一個月的樣本資料得到的區間估計值是82-3.92=78.08 到 82+3.92=85.92。

• 由於以 建立的各種區間估計值中，有95%的區間估計值會包含母體平均數。因此，我們可以說有95%的信心，78.08~85.92的區間會包含母體平均數μ，可以說這個區間是在95%的信賴水準(confidence level)下建立的。其中，0.95稱為信賴係數(confidence coefficient)，區間78.08~

85.92則稱為信賴區間(confidence interval)。

x 92.3x

92.3x

邊際誤差與區間估計 (6)

• 已知邊際誤差為 ，母體平均數μ的區間估計值在σ已知的情況下，通式如下：

– 其中(1- α)是信賴係數，z α/2 是右尾面積為α/2的標準常態機率分配的z值。

• 90%信賴水準下，信賴區間：

• 95%信賴水準下，信賴區間：

• 99%信賴水準下，信賴區間：

)(2 nz

nzx

2

29.85~71.7829.382100

20645.182

92.85~08.7892.382100

2096.182

15.87~85.7615.582100

20576.282

實用忠告

• 母體是常態分配，利用 求算確切的信賴區間，95%的信賴區間，會有95%的信心此區間包含母體平均數。若母體不是常態分配，信賴區間則是近似值。

• 大部分的實際應用中，建立母體平均數的信賴區間時，樣本大小n ≧30 就已足夠；如果母體不是常態分配，但大致上對稱，樣本大小至少為15，也可以得到良好的近似信賴區間。樣本數更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態時，才可使用。

nzx

2

母體平均數 (σ未知)

• 在建立母體平均數的區間估計值時，經常沒有母體標準差的良好估計值。在這種情況下，就要以同一個樣本來估計 μ 和 σ。此種情況稱為 σ未知的情況。

• 若以 s 來估計σ，邊際誤差及母體平均數的區間估計值是根據稱為 t 分配 (t distribution)的機率分配求算而得。

• 雖然 t 分配是假設母體為常態分配而建立的機率分配，但許多研究證明，在許多母體明顯非常態分配的情況下，t 分配仍有其適用性。

t 分配 (t Distribution) (1)

• t 分配是由一群類似的機率分配所組成，任一 t 分配都有其特定的參數，即所謂的自由度(degrees of freedom)。亦即可能有自由度為1、自由度為2、自由度為3等不同的 t

分配。當自由度增加時， t 分配和標準常態分配的差異將愈來愈小。注意： t 分配的平均值為0。

t 分配 (t Distribution) (2)

t 分配 (t Distribution) (3)

• 當 t 分配的自由度為 9 時，則 t0.025=2.262；當自由度是60時，則 t0.025=2.000；當自由度繼續增加，則 t0.025愈逼近 z0.025=1.96。事實上， t 分配自由度為無限大(∞)，就等同於標準常態分配。假如自由度大於100，就可以用自由度無限大的 t 值來近似。換言之，自由度超過 100 的 t 分配，標準常態 z

值是很好的近似值。

邊際誤差與區間估計 (1)

• σ未知時，要計算μ的區間估計必須以樣本標準差 s 作為σ

的估計值，同時 zα/2 則以 t 分配的tα/2 值取代。因此，邊際誤差是 利用邊際誤差，可得到σ未知情況下，母體平均數的區間估計值的通式如下：

• s 為樣本標準差，(1- α)為信賴係數； tα/2 為自由度 n-1，而右尾面積為α/2 所對應的 t 值。

nst /2

n

stx 2

邊際誤差與區間估計 (2)

• 上式中的 t 值的自由度為 n-1，與利用 s 估計母體標準差 σ

有關，樣本標準差的計算式為：

• 自由度是指在 的計算中，提供資訊的獨立資料個數，n 個計算 的資料個數如下所示： 。由於任一資料集之 ，則其中只有 n-1 個 的值是獨立的；亦即，只要知道 n-1 個 的值，則最後一個值可以藉由 這個先決條件所決定。因此，n-1是對應於 的自由度。

1

)( 2

n

xxs i

2)( xxi

2)( xxixxxxxx n ..., , , 21

0)( xxi xxi

xxi

0)( xxi

2)( xxi

邊際誤差與區間估計 (3)

• 為了說明σ未知時的區間估計程序，看看以下的例子：

– 某個研究調查美國家庭信用卡帳戶餘額，以瞭解信用卡債務的情形。研究中共有70個家庭的信用卡帳戶餘額。因為沒有任何歷史資料，無法知道信用卡帳戶餘額的母體標準差。因此，必須利用樣本標準差 s 來估計母體標準差 σ 。

– 由資料算出樣本平均數 =$9312樣本標準差 s = $4007。信賴水準是95%，樣本大小是70，自由度為 n-1 = 69，查表得知在自由度為69下，t 分配右尾是0.025時 t0.025 = 1.995。

– 信用卡帳戶餘額的母體平均數的區間估計值：

x

10267~8357

9559312

70

4007995.193122

n

stx

邊際誤差與區間估計 (4)

• 實用忠告

– 如果母體是常態分配

• 公式： 的區間估計可以適用於任何大小樣本並產生確切的區間估計值。

• 如果母體不是常態分配，此公式的區間估計只是近似值，此種情況下，近似值的近似程度則視母體的分配及樣本大小而定。

• 大部分的實際應用中，以此公式建立母體平均數的信賴區間時，樣本大小 n≧30 就已足夠。但是，如果母體分配有嚴重的偏態或離群值，建議最好將樣本大小增加到50或更多。

– 如果母體不是常態分配，但大致上對稱

• 樣本大小至少為15，此公式仍可得到良好的近似信賴區間，但在樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少近似常態時，才能使用此公式。

n

stx 2

邊際誤差與區間估計 (5)

• 當只有小樣本

– 選擇20名員工為樣本，接受此項訓練，樣本中的每一位員工所需的訓練天數。根據樣本資料的直方圖，無法得到母體是常態分配的結論，也看不出偏態或離群值，因此 t 分配及20個資料值的樣本來計算母體的區間估計值，應是可接受的。

– 這些資料計算出的平均數和樣本標準差：

7.54~3.482.35.5120

84.6093.25.51

093.2 ,191

84.6120

889

1

)(

5.5120

1030

025.0

2

tn

n

xxs

n

xx

i

i

母體平均數區間估計程序摘要

• 如何選擇夠大的樣本以得到預期的邊際誤差。

• 已知區間估計值如下：

• 即是邊際誤差。因此，知道 z α/2 、母體標準差 σ 和樣本數 n 決定了此一邊際誤差。一旦決定信賴係數 1- α，就可以決定 z α/2 。 如果有σ 的值，就可以在任何特定的邊際誤差下，找到所需的樣本數 n。

• 令E=所要的邊際誤差，則

• E值是使用者在特定信賴水準下願意接受的邊際誤差，常用的信賴水準為95%，其對應的z0.025 = 1.96。

樣本數大小的決定 (1)

nzx

2

nz

2

2

222/2/

2/ E

zn

E

zn

nzE

樣本數大小的決定 (2)

• 估計樣本數大小，須先知道母體標準差 σ ，即使 σ未知，如果先前已有 σ 的初始值或計畫值(planning value)，仍可以公式估計。

• 三種獲得σ 的計畫值的方法：

– 以先前來自相同或類似單位的樣本求得樣本比例；

– 以前測(或先驅)實驗取得初步樣本，以此樣本得到的樣本標準差作為σ 的計畫值；

– 利用判斷或「最佳猜測法」決定 σ 值。例如：先估計母體的最大值與最小值，最大值與最小值的差距可作為全距(range)的估計值，再將全距除以 4 作為標準差的約略估計值，以作為母體σ 的計畫值。

樣本數大小的決定 (3)

• 在一個美國租車費用的調查中發現，租用中型汽車的平均費用是每天$55。假設原先執行這項調查的公司想要執行另一項新的調查，以估計現階段在美國租用一輛中型汽車一天所需的費用。在設計此項新的研究時，計畫主持人特別指定在估計每天租車費的母體平均數時，必須採用的邊際誤差為$2，信賴水準則為95%。一位分析師看過先前研究的樣本資料，得到樣本標準差為$9.65。

• 建議的樣本數是90個中型汽車租金的樣本。

43.892

65.996.1)(2

22

2

222/

E

zn

母體比例 (1)

• 母體比例 p 的區間估計值的通式是：

• 若np≧5 且 n(1-p) ≧5，則 的抽樣分配會近似常態分配。

• 的標準誤是：

邊際誤差p

p

p

n

ppp

)1(

母體比例 (2)

• 母體比例的區間估計值：

• 其中，1- α 為信賴係數，而z α/2為標準常態分配右尾面積α/2所對應的z值。

n

ppzp

)1(2/

母體比例 (3)

• 為了瞭解女性高爾夫球員對高爾夫球課程的看法，針對全美900位女性高爾夫球員進行調查。調查結果發現，有396

位女性高爾夫球員對練習發球的次數感到滿意，如此，對發球次數感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例的點估計為396/900=0.44，其95%的信賴區間估計為：

• 結論：我們有95%的信心說，有40.76%~47.24%的女性高爾夫球員，對其練習發球的次數感到滿意。

4724.0~4076.0

0324.044.0

900

)44.01(44.096.144.0

)1(2/

n

ppzp

母體比例 (3)

• 樣本大小的決定

• E = 所要的邊際誤差

• 我們不能使用上式公式計算特定邊際誤差下的樣本大小，因為 必須在抽樣後才能得知，因此我們需要 的計畫值，以便計算所需要的樣本大小。以符號 p*表示 的計畫值，以下式計算所需樣本大小：

2

22/

2/

)1()(

)1(

E

ppzn

n

ppzE

p p

p

2

**22/ )1()(

E

ppzn

母體比例 (4)

• 計畫值 可依下列程序獲得： – 以先前來自相同或類似的樣本之樣本比例作為計畫值p*；

– 以前測(或先驅)實驗選擇適當的樣本，以此樣本比例作為計畫值p*；

– 利用判斷或「最佳猜測法」來決定計畫值p*；

– 在沒有先前的實驗資料可用的情形下，可設 p*的計畫值為0.50。

p

母體比例 (5)

• 再回到女性高爾夫球員的相關調查，假若此調查之主持人希望在95%的信賴水準下，母體比例估計的邊際誤差為0.025，則需要多大的樣本?

• 以之前的調查結果中 = 0.44當作計畫值 p*：

• 若沒有其他資訊，而選擇使用p* = 0.50當作計畫值的理由是因為，此時樣本數會最大，可保證有足夠的樣本數來確保達到所需要的精確度。

5.1514025.0

)44.01(44.096.1)1()(2

2

2

**22/

E

ppzn

p

6.1536025.0

)50.01(50.096.1)1()(2

2

2

**22/

E

ppzn

母體比例 (6)