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母體 (population) 樣本 (sample) 例： The trial of flipping a coin The weights of a baby 由 400 ceramic tiles 抽出 20 片測量強

度

3.1 母體與樣本

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3.2 Mean 平均數 定義 n 個數的平均數 = 總和除以 n

(N 表示母體個數 )

Sample ←→ PopulationStatistics ←→ parameters

N

Xi

i :mean Population

X :mean Sample n

Xi

i

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總和是：平均數是

Exp3.1 Find the mean of 18, 15, 12, 20, 19, 11, 14, 38, 18, and 17.

Exp 3.2 十天中，貨運包裏的數量為： 110 ，112 ， 120 ， 128 ， 115 ， 150 ， 151 ， 91 ，88 ， 162 。求此十天的日平均包裹量。

這十個數字的總和為 1227 ，因此平均數為 122.7 。

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此時 n ＝ 5 ，樣本平均數為：

假設依據抽取的技術，這組資料可視為一個樣本，也就是說這個樣本是具有代表性的，那麼我們可以推估說這四萬個燈泡的平均使用壽命為 946 個小時。

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這三位球員的薪資總和應該是 $10,950,000 。(1) 倘若其中一人的薪資是 $6,000,000 的話，那麼其他兩人的

薪資加起來應該是 10,950,000 － 6,000,000 ＝ 4,950,000 。這是有可能發生的。

(2) 倘若其中兩人的薪資都是 $6,000,000 ，那這兩人的薪資總和 $12,000,000 就已經超過 10,950,000 了，所以這個情況是不可能發生的。

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此時 n ＝ 6 ，平均數 = 57 ，總分為 6 (57) ＝ 342 。 342 ＝ 4‧72 ＋ 54 ，最多能有四個學生的分數超

過 72 分。

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平均數特質 Mean is a measurement of the center of a set of

data It always exits. It is always unique. 平均數的計算涵蓋資料中的每一筆數據。 比起其它位置統計量，平均數是可靠的 (reliable) 。

(在估計、檢定、或決策上， reliability 是一基本要求 )

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(1) 正確的平均數 =291

(2) 錯誤的平均數是 =390

所以誤差是 390 － 291 ＝ 99 。

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經過計算之後，平均數是 20 。 注意：光是說參加這次參觀活動的成員的平

均年齡是 20 歲，是很容易產生誤導的。

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3.3 加權平均數 回收物塑膠瓶每斤 1 元，保特瓶每斤 2 元，鐵

罐每斤 4 元，裝有此三類回收品的一袋子，總重 50 斤，可賣多少？平均每斤賣多少？

三類回收品平均價： 7/3 元 7/3 * 50 塑膠瓶 25 斤，保特瓶 15 元，鐵罐 10 斤 平均每斤賣…

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The Weighted Mean

公式：

針對每個價格給予「相對重要性權數」，然後計算「加權平均數」。

wi : 權數

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例： 求職棒前五名打擊者的平均打擊率

把打數當成權數，計算：

打擊者 打擊率 打擊次數彭 政 閔 0.392 132

張 泰 山 0.351 268

潘 武 雄 0.350 328

陳 冠 任 0.342 242

高 國 慶 0.333 311

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加權平均數另一個用途

假設有 k 組資料 每組平均數分別為 每組的數據筆數分別為 n1、 n2、 ...、及 nk

總平均 (grand mean) ：

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此時，人數分別為 14、 25、 16 ， 平均數分別為 76、 83、 89 。 帶入上列公式得，總平均為 82.96 ，或 83 。

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n 是奇數時， 中位數是位置在最中間的該筆資料的值 n 是偶數時， 中位數是位置在最中間的兩筆資料的平均數。

3.4 中位數

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將上列五個數依照大小排列： 14、 17、 17、 20、 22中位數是 17

將這些數據依照大小順序排列，得24 28 30 32 32 35 37 37 38 40 40 40中位數是最中間兩個數的平均數，亦即 ( 35 ＋ 37 )／ 2 ＝ 36 。

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將上列資料排序之後，排在第五個的數值為平標準桿中位數為「平標準桿」

Q: 如何計算平均數？

凡是可排序的資料都可得到中位數

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共有 30 筆資料，中位數在第 15.5 個位置上。所以中位數就是 (53 ＋ 54)／ 2 ＝ 53.5 。

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中位數特質 除了有重複值外，在中位數以上和以下有同樣多的資料。 It always exits. It is always unique. 需要排序來求中位數，所以較繁複。 比起平均數，中位數較不受極值 (extrem value) 的影響。 對於近對稱資料，中位數接近平均數；對於右偏資料，平均

數偏右。 一般資料，常用平均數來代表中心；至於偏態資料，以中位

數代表中心較適合。

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Quartiles, deciles, percentiles Q1 ， Q3: 第一、三個四分位數

計算方式： Q1 是小於中位數的資料的中位數 Q3 是大於中位數的資料的中位數

3.5 其它的分位數

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盒形圖

中位數、四分位數，以及最大值與最小值，可以畫成盒形圖 (box plot) ，或盒鬚圖 (box-and-whisker plot) 。

最小值 Q1 中位數 Q3 最大值

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1. 最小值 35 ，最大值 81 。2. 中位數在第 15.5 個位置上， Q1 在第 8 個位置，

Q3 在第 46 個位置。3. min=35, …………

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24 出現五次，次數最多。所以眾數為 24 。

眾數 mode

眾數是發生次數最多的數，或組

平標準桿出現四次，是為眾數。

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3.7 分組資料的描述 次數分配的平均數計算公式：

母體平均數的公式：

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次數分配表整理如右：因此，依據上述公式，平

均數為8645.0/110=78.59

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n／ 2 ＝ 55 ，所以我們必須從左右其中一端開始算55 個。從最小值開始，前五個組別的累積次數為 51 ，因此，我們必須在第六組中繼續再數四個數。記得我們假設第六組中的 39 筆資料，是在這組的組距中平均分佈的，所以我們要從這組的下組界上再加上組距10 當中的 4／ 39 ，亦即

中位數 =

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分組資料中位數

設中位數所在組別的下組界為 L，次數為 f ，組距為 c ，而由 L 到中位數相差的個數為 j ，中位數的公式：

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從最大值開始，後三個組別的累積次數為 20 ，還要往下數 35 個。中位數所在組的上組界為 89.5 ，

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3.8 數學公式補述：加總

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加總公式規則：