Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Variables separadas

dxdt=f(t)g(x)dxg(x)=f(t)dtG(x)=F(x)+c

Carga de un condensador a travs de una resistencia

Considrese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador est descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga mxima, la corriente cesa en el circuito.

En el circuito de la figura tendremos que la sumaVab+Vbc+Vca=0

La ecuacin del circuito es

iR+qCV=0

Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la seccin del circuito en la unidad de tiempo,i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuacin para integrar

Rdqdt=VqC0qdqCVq=1RC0tdtq=CV(1exp(tRC))

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en funcin del tiempo

i=dqdt=VRexp(tRC)

>> syms R C V;

>> q=dsolve('R*Dq=V-q/C','q(0)=0')

q =C*V - (C*V)/exp(t/(C*R))

>> i=diff(q)

i =V/(R*exp(t/(C*R)))

Damos valores aR=2,C=0.3,V=10 y representamos la cargaqdel condensador y la intensidadide la corriente en funcin del tiempo en la misma ventana grfica

>> qq=subs(q,{R,C,V},{2,0.3,10})

qq =3 - 3/exp((5*t)/3)

>> ii=subs(i,{R,C,V},{2,0.3,10})

ii =5/exp((5*t)/3)

>> hold on

>> ezplot(qq,[0,5])

>> h=ezplot(ii,[0,5]);

>> set(h,'color','r')

>> grid on

>> hold off

>> ylim([0,5])

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

>> x=dsolve('Dx-tan(t)*x=cos(t)')x =(t/2 + sin(2*t)/4)/cos(t) + C2/cos(t)Ecuacin de Bernoulli

>> x=dsolve('Dx-4*x/t=t*sqrt(x)')x = 0 (t^4*(C3 + log(t))^2)/4Ecuaciones diferenciales exactas

Sea la ecuacin diferencial

MATLAB no sabe calcular la solucin de esta ecuacin diferencial mediantedsolvepara este caso,

>> syms t x;>> P=3*t^2+6*t*x^2;>> Q=6*t^2*x+4*x^3;>> diff(P,x)ans =12*t*x>> diff(Q,t)ans =12*t*x>> x=dsolve('Dx+(3*t^2+6*t*x^2)/(6*t^2*x+4*x^3)=0') x = ((9*t^4 - 4*t^3 + C7)^(1/2)/2 - (3*t^2)/2)^(1/2)....

Para obtener la solucin vamos a reproducir el procedimiento empleado para obtener la solucin analtica.

>> syms x t;>> P=3*t^2+6*t*x^2;>> Q=6*t^2*x+4*x^3;>> diff(P,x)ans =12*t*x>> diff(Q,t)ans =12*t*x %diferencial exacta>> u1=int(P,t) %integra P respecto de tu1 =t^2*(3*x^2 + t)>> du2=Q-diff(u1,x)du2 =4*x^3>> u2=int(du2,x) %integra respecto de xu2 =x^4>> u=u1+u2 u =t^2*(3*x^2 + t) + x^4

Si la diferencial no es exacta es posible encontrar un factor integrante, tal que

>> clear>> syms x t c;>> P=2*t*x+x*t^2+x^3/3;>> Q=t^2+x^2;>> diff(P,x)ans =t^2 + 2*t + x^2>> diff(Q,t)ans =2*t %no es diferencial exacta>> dmu=(diff(P,x)-diff(Q,t))/Pdmu =(t^2 + x^2)/(t^2*x + 2*t*x + x^3/3)>> dmu=(diff(P,x)-diff(Q,t))/Qdmu =1>> mu=exp(t); %factor integrante>> u1=int(P*mu,t)u1 =(x*exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3>> du2=mu*Q-diff(u1,x)du2 =exp(t)*(t^2 + x^2) - (2*x^2*exp(t))/3 - (exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3>> simplify(du2)ans =0>> u=u1+cu =(x*exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3+cEcuacin diferencial lineal homognea de coeficientes constantes

Ecuacin diferencial no homognea

Referencias

Problemas y ejercicios de Anlisis Matemtico. Barenkov, Demidovich, Efimenko..., Paraninfo (1975)