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Ecuaciones de evolucion para elp−Laplaciano fraccionario.

JULIO D. ROSSI

con J. M. Mazon, J. Toledo (U. Valencia)

http://mate.dm.uba.ar/∼jrossi

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Ecuaciones de evolucion no locales.

Sea J : RN → R, radial, nonegativa, suave y tal que∫RN

J(r)dr = 1.

Ecuacion de difusion no local

ut (x , t) = J ∗ u − u(x , t) =

∫RN

J(x − y)u(y , t)dy − u(x , t).

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Ecuaciones de evolucion no locales.

Un posible modelo es pensar que u(x , t) es la densidad deindividuos en x en tiempo t y J(x − y) es la probabilidad desaltar de y a x . Entonces

(J ∗ u)(x , t) =

∫RN

J(x − y)u(y , t)dy

es la tasa a la cual llegan individuos a x desde otros lugares y

−u(x , t) = −∫RN

J(y − x)u(x , t)dy

es la tasa a la cual dejan x para ir a otros lugares.

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Dominios acotados.

Problemas(1). Problemas de Neumann (flujo cero)

ut (x , t) =

∫Ω

J(x − y)(u(y , t)− u(x , t))dy , x ∈ Ω.

(2). Problemas de Dirichlet (densidad cero fuera)

ut (x , t) =

∫RN

J(x − y)(u(y , t)− u(x , t))dy , x ∈ Ω,

u(x , t) = 0 x 6∈ Ω.

Estas ecuaciones de difusion tienen propiedades parecidas ala ecuacion del calor

ut = ∆u.

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Laplaciano fraccionario.

Para el Laplaciano usual ∆u, aplicando la transformada deFourier se tiene

∆u(ξ) = −|ξ|2u(ξ),

y entonces resulta natural definir (∆u)s por la formula

(∆u)s(ξ) = −|ξ|2su(ξ).

Para este operador hay una representacion no local,

∆su(x) = p.v∫RN

1|x − y |N+2s (u(y)− u(x))dy .

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Nuestro problema.

El problema de evolucion para el p−Laplaciano no local

ut (x , t) = p.v∫

BJ(x−y)|u(y , t)−u(x , t)|p−2(u(y , t)−u(x , t))dy

con nucleo singular

J(x − y) =1

|x − y |N+sp , 0 < s < 1, 1 ≤ p <∞.

Los tres problemas: - Cauchy - Neumann - Dirichlet

Existencia y unicidad, Comportamiento asintotico, lımitescuando s 1 (para recuperar problemas localesut = div(|Du|p−2Du)).

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Obs.

div(|Du|p−2Du)

es el operador asociado al funcional

F (u) =

∫|Du|p

p.

Analogamente

∆spu := p.v

∫B

J(x − y)|u(y)− u(x)|p−2(u(y)− u(x))dy

esta asociado con el funcional

G(u) =1

2p

∫B

∫B

J(x − y)|u(y)− u(x)|pdy dx

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Resultados (Dirichlet)

Teorema Para todo u0 ∈ L2(Ω) existe una unica solucion fuerteut (t , x) = ∆s

pu(t , x) en (0,T )× Ω,

u(t , x) = 0 en (0,T )× (RN \ Ω),

u(0, x) = u0(x) en Ω.

Ademas, se tiene un principio de contraccion:∫Ω

(u1(t)− u2(t))+ ≤∫

Ω(u1,0 − u2,0)+ t ∈ (0,T ).

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Resultados (Dirichlet)

Teorema Para q ≥ p ≥ 1 y u0 ∈ L∞(Ω) ∩ L2(Ω) se tiene

‖u(t)‖qLq(Ω) ≤ C‖u0‖q−p

L∞(Ω)‖u0‖2L2(Ω)

t,

con C = C(Ω,N, s,p).

Para el problema de Neumann se tienen resultados similares,pero las soluciones van a la media del dato inicial, (u0)Ω,

‖u(t)− (u0)Ω‖Lp(Ω) ≤(

C‖u0‖L2(Ω)

t

)1/p

.

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Resultados (Dirichlet). s 1

Consideramos el lımite s → 1− en estos problemas no-localesut (t , x) = Lp,s∆s

pu(t , x), en (0,T )× Ω,

u(t , x) = 0, en (0,T )× (RN \ Ω),

u(0, x) = u0(x), en Ω,

con Lp,s = 2Kp,N

(1− s), Kp,N = 1|SN−1|

∫SN−1 |e1 · σ|pdHN−1(σ).

Teoremalim

s→1−sup

t∈[0,T ]‖us(t)− v(t)‖L2(Ω) = 0,

donde v es la solucion devt (t , x) = ∆pv(t , x), en (0,T )× Ω,

v(t , x) = 0, en (0,T )× ∂Ω,

v(0, x) = u0(x), en Ω,

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Resultados (Dirichlet). s 1

Vale el mismo resultado de paso al lımite para el problema deNeumann. En este caso en problema lımite es,

vt (t , x) = ∆pv(t , x), en (0,T )× Ω,

|∇v(t , x)|p−2∇v(t , x) · ν(x) = 0, en (0,T )× ∂Ω,

v(0, x) = u0(x), en Ω.

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Ideas de las demostraciones.

Usamos Teoria de Semigrupos. La idea para resolver

ut + A(u) = 0

es considerar lımites de discretizaciones (Euler implıcito)

un+1 = un − τA(un+1)

Def. u es una solucion Mild si es lımite de estasaproximaciones cuando τ → 0.

Observemos que hay que asegurar que el problema

un+1 + τA(un+1) = un

tiene una unica solucion.

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Ideas de las demostraciones.

Def A es accretivo si

‖x − x‖ ≤ ‖x − x + τ(y − y)‖, para τ > 0 y (x , y), (x , y) ∈ A.

Se tiene“A es acretivo si y solo si (I + τA)−1 es univaluado yno-expansivo para todo τ > 0”

Si estamos en un espacio de Hilbert, A en H es accretivo si ysolo si

〈x − x ; y − y〉 ≥ 0 (x , y), (x , y) ∈ A,

es decir, A es monotono.

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Ideas de las demostraciones.

Para asegurar existencia de solucion de un+1 + τA(un+1) = unhace falta la condicion rango.

Def A se dice m−accretivo si A is accretivo y

R(I + τA) = H ∀τ > 0.

Teorema (Crandall-Liggett) Si A es m−accretivo, entonceshay solucion mild (se dice que A genera un semigrupo decontracciones (e−tA), t ≥ 0 en D(A)).

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Ideas de las demostraciones.

Ahora hay que asegurar solucion fuerte (la derivada temporalde una solucion mild, u, existe).

Teorema (Brezis-Pazy) Sea Φ : H 7→ (−∞,+∞] propio,convexo y debil semi-continuo tal que min Φ = 0, siu0 ∈ D(∂Φ), entonces la solucion mild de

ut + ∂Φ(u) = 0, u(0) = u0,

es una solucion fuerte.

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Ideas de las demostraciones.

En nuestro caso tenemos A dado por

Def A = Dp,s

(u, v) ∈ Dp,s ⇐⇒u, v ∈ L2(Ω) y u es solucion de−∆s

pu = v en Ω,

u = 0 en RN \ Ω.

Obs: Dp,s = ∂Dsp con

Dsp(u) :=

12p

∫RN

∫RN

1|x − y |N+sp |u(y)− u(x)|p dx dy .

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Ideas de las demostraciones.

Para ver que Dp,s es m-accretivo in L2(Ω), hay que ver lacondicion rango

L2(Ω) ⊂ R(I + Dp,s).

Para esto, dada f ∈ L2(Ω), la clave es considerar el problemavariacional

minu∈L2(Ω)

Dsp(u) +

12

∫Ω

u2 −∫

Ωfu

y probar que tiene un unico minimizante.

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Ideas de las demostraciones.

Para ver el decaimiento de las soluciones primero observamosque las normas Lr decrecen con t ,

‖u(t)‖Lr (Ω) ≤ ‖u(τ)‖Lr (Ω), t ≥ τ.

Ahora usamos la siguiente desigualdad de Sobolev-Poincare:∫Ω|u(t , x)|p dx ≤ C

∫RN

∫RN

|u(t , y)− u(t , x)|p

|x − y |N+sp dy dx ,

para obtener∫Ω|u(t , x)|q dx ≤ C‖u0‖q−p

L∞(Ω)

∫RN

∫RN

|u(t , y)− u(t , x)|p

|x − y |N+sp dy dx ,

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Ideas de las demostraciones.

Entonces

t∫

Ω|u(t , x)|q dx ≤

∫ t

0

∫Ω|u(τ, x)|q dx dτ

≤ C‖u0‖q−pL∞(Ω)

∫ t

0

∫RN

∫RN

|u(τ, y)− u(τ, x)|p

|x − y |N+sp dy dx dτ.

Por otra parte, multiplicando por u la ecuacıon e integrando, seobtiene ∫ t

0

∫RN

∫RN

|u(τ, y)− u(τ, x)|p

|x − y |N+sp dτ ≤ ‖u0‖2L2(Ω).

Y se concluye∫Ω|u(t , x)|q dx ≤ C

‖u0‖q−pL∞(Ω)‖u0‖2L2(Ω)

t.

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Ideas de las demostraciones.

Finalmente, para ver el lımite s 1, consideramos losfuncionales Φs,Φ : L2(Ω)→ [0,∞[ dados por

Φs(u) = Lp,sDsp(u) =

1− spKp,N

∫RN

∫RN

|u(y)− u(x)|p

|x − y |N+sp dxdy

y

Φ(u) :=

1p

∫Ω|∇u|p

y probamos la convergencia Mosco de los functionales Φs a Φ

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Ideas de las demostraciones.

Es decir, probamos que

∀u ∈ Dom(Φ) ∃un ∈ Dom(Φs) : us → u y Φ(u) ≥ lim sups→1

Φs(us);

ysi us u entonces Φ(u) ≤ lim inf

s→1Φs(us).

Y gracias a esto y a un resultado general de Brezis-Pazy yAttouch concluimos la convergencia de las soluciones de losproblemas de evolucion

lims→1−

supt∈[0,T ]

‖us(t)− v(t)‖L2(Ω) = 0.

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Posibles continuaciones.

Problemas(1). Totalmente no-local (con Gaston Beltritti)

0 =

∫ ∫J(x−y , t−s)|u(y , s)−u(x , t)|p−2(u(y , s)−u(x , t)) dy ds

para x ∈ RN , t > 0. Con dato u(x , t) = f (x , t), x ∈ RN , t ≤ 0.

(2). Lımites cuando p →∞ (pilas de arena).

ut (x , t)− f (x , t) ∈ ∂Is(u(x , t)

con

Is(u) =

0 |u(x)− u(y)| ≤ |x − y |s,+∞ si no .

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Posibles continuaciones.

Problemas(3). Problemas de frontera libre (diseno optimo) (con Joao VitorDa Silva)

Min1

2p

∫ ∫J(x − y)|u(y)− u(x)|p dy dx ,

conu(x) = 1 RN \ Ω,

y con una restriccion de volumen

|u(·) > 0 ∩ Ω| ≤ α.