3

CUPRINS

1. PROCESE TERMICE N ECHIPAMENTELE ELECTRICE 1.1. Cmpul termic 1.2. Ecuaiile cmpului termic 1.3. Transmisia termic 1.4. Cmpul de temperatur n regim staionar 1.4.1. Cmpul termic al pereilor plani paraleli fr surse interne de cldur 1.4.2. Cmpul termic n perei cilindrici fr surse interne de cldur 1.4.3. Cmpul termic ntr-un conductor lung, de seciune dreptunghiular, cu surse interne de cldur 1.4.4. Cmpul termic ntr-un conductor circular cu surs intern de cldur 1.4.5. Cmpul termic n conductoarele cu izolaie 1.4.6. Cmpul termic n bobine 1.5. Cmpul termic n regim tranzitoriu 1.5.1. Ecuaia general a bilanului termic 1.5.2. nclzirea corpurilor n regim de durat 1.5.3. Rcirea corpurilor 1.5.4. nclzirea unui corp n regim de scurt durat 1.5.5. nclzirea corpurilor n regim de scurtcircuit 1.5.6. nclzirea unui corp n regim periodic intermitent 1.6. Stabilitatea termic a aparatelor electrice

2. FORE ELECTRODINAMICE I ELECTROMAGNETICE 2.1. Calculul forelor electrodinamice n regim staionar 2.1.1. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i coplanare 2.1.2. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i paralele 2.1.3. Fore electrodinamice n circuite cu configuraie complex 2.1.4. Fore electromagnetice n apropierea pereilor feromagnetici 2.1.5. Fore electromagnetice n nie feromagnetice 2.1.6. Forele electrodinamice n bobine 2.2. Calculul forelor electrodinamice n regim nestaionar 2.2.1. Forele electrodinamice n curent alternativ monofazat 2.2.2. Forele electrodinamice n curent alternativ trifazat 2.2.2.1. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele i coplanare, n regim nominal 2.2.2.2. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele i coplanare, n regim de scurtcircuit 2.2.2.3. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare plasate n vrfurile unui triunghi echilateral, n regim nominal

2.2.2.4. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare plasate n vrful unui triunghi echilateral, n regim de scurtcircuit 2.3. Stabilitatea electrodinamic a aparatelor electrice

3. ELECTROMAGNEI 3.1. Clasificarea electromagneilor

4

3.2. Bilanul energetic a unui electromagnet 3.2.1. Lucrul mecanic al unui electromagnet de curent continuu 3.2.2. Lucrul mecanic al unui electromagnet de curent alternativ 3.2.3. Randamentul electromagneilor 3.3. Regimul dinamic al electromagnetului 3.4. Circuitul magnetic al electromagneilor 3.4.1. Calculul circuitului magnetic la ntrefier mare 3.5. Calculul forei dezvoltate de electromagnei 3.5.1. Calculul forei de atracie la electromagnei de curent continuu 3.5.2. Calculul forei de atracie la electromagnei de curent alternativ monofazat 3.5.3. Calculul spirei n scurtcircuit 3.5.4. Calculul forei de atracie la electromagneii de curent alternativ trifazat 3.6. Acionarea electromagneilor 3.6.1. Modificarea timpului de acionare al electromagneilor 3.6.2. Comparaie ntre electromagneii de c.c. i cei de c.a.

4. COMUTAIA ELECTRIC 4.1. Modelarea arcului electric 4.1.1. Spectrul termic i de curent n arcul electric 4.1.2. Efectul Pinch 4.2. Arcul electric de curent continuu 4.2.1. Caracteristicile arcului electric de c.c. 4.2.2. Stabilitatea arcului electric de c.c. 4.2.3. Metode de stingere ale arcului electric 4.3. Arcul electric de curent alternativ 4.3.1. Caracteristicile arcului electric de c.a. 4.3.2. Metode de stingere ale arcului electric de c.a. 4.3.3. Tensiunea de restabilire 4.3.4. Arcul electric n aparatele de comutaie 4.4. Principii de stingere ale arcului electric 4.4.1. Principiul deion asociat cu suflajul magnetic 4.4.2. Principiul efectului de electrod asociat cu efectul de ni 4.4.3. Principiul expandrii asociat cu jetul de lichid 4.4.4. Principiul jetului de gaz 4.4.5. Principiul vidului avansat 4.4.6. Principiul materialelor granulate

5. CONTACTE ELECTRICE 5.1. Suprafaa de contact 5.2. Rezistena de contact i componentele sale 5.2.1. Rezistena de striciune 5.2.2. Rezistena pelicular 5.2.2.1. Dependena rezistenei de contact de fora de apsare 5.3. Fenomene perturbatoare n contactele electrice 5.3.1. nclzirea contactelor electrice 5.3.2. Forele de repulsie n contactele electrice 5.3.3. Vibraia contactelor 5.3.4. Lipirea i sudarea contactelor 5.3.5. Migraia materialului la contacte

5

5.4. Uzura contactelor 5.5. Materiale utilizate pentru contacte electrice 5.5.1. Condiiile de funcionare ale contactelor electrice 5.5.2. Materiale pentru contacte electrice 5.6. Soluii constructive ale contactelor electrice 5.6.1. Contacte fixe 5.6.2. Contacte de ntrerupere 5.6.3 Contactele glisante

6. INSTALAII ELECTRICE 6.1. Clasificarea instalaiilor electrice 6.2. Clasificarea construciilor i a locurilor de munc 6.3. Regimurile de lucru ale consumatorilor electrici 6.4. Caracteristicile consumatorilor electrici 6.5. Determinarea puterii necesare consumatorilor 6.6. Calitatea energiei electrice 6.6.1. Variaia tensiunii de alimentare 6.6.2. Regimul deformant 6.6.3. Nesimetria instalaiilor electrice 6.6.4. Efectele variaiilor de frecven 6.7. Sigurana n funcionare a instalaiilor electrice 6.7.1. Determinarea fiabilitii echipamentelor electrice 6.8. Avarii n instalaiile electrice 6.8.1. Mentenana instalaiilor electrice

Bibliografie

6

Cursul de ECHIPAMENTE ELECTRICE se adreseaz, n special studenilor de la secia de Inginerie Electric, dar i celorlali studeni ai facultilor de profil tehnic care doresc s cunoasc fenomenele de comutaie i protecie electric. Noiunea de echipament electric este foarte larg i se preteaz la numeroase interpretri; de aceea trebuie s precizm c n domeniul Electrotehnicii prin echipament electric nelegem dispozitivele destinate comutaiei electrice, proteciei consumatorilor electrici i unele dispozitive folosite n acionrile electrice. Transferul de energie electric de la locul de producere la locul de utilizare se realizeaz prin intermediul reelelor electrice. Att la productorii de energie electric ct i n reelele de transport, dar mai ales la consumatorii industriali sau casnici sunt utilizate aparate i echipamente electrice de comutaie i protecie. Definind un aparat de comutaie ca un ansamblu de dispozitive electromecanice sau elec-trice cu ajutorul crora se stabilesc sau se ntrerup circuitele electrice, rezult c din punct de vedere structural aparatele de comutaie se mpart n dou mari categorii: aparate de comutaiei mecanic, ce au cel puin un element mobil pe durata efecturii comutaiei. La rndul lor aceste aparate pot fi: a) neautomate, cum ar fi: ntreruptoarele i comutatoarele cu prghie, ntreruptoarele i comutatoarele pachet, butoane de acionare, ntreruptoare basculante, separatoare i controlere; b) automate din care amintim: contactoarele, ntreruptoarele de joas i nalt tensiune i separatoare de scurtcircuitare; aparate cu comutaie static, ce nu au componente n micare iar conectarea sau deconectarea este comandat i realizat electronic. Aceast categorie de aparate de comutaie se realizeaz cu dispozitive semiconductoare de putere ca: diode, tiristoare, triacuri sau tranzistoare de putere. n afara aparatelor de comutaie exist o categorie larg de aparate i echipamente electrice de protecie, cu rolul de a proteja generatoarele electrice, liniile electrice, transfor-matoarele i consumatorii mpotriva suprasarcinilor, supracurenilor, scurtcircuitelor, supratensi-unilor sau a oricror regimuri anormale de funcionare. Din categoria aparatelor electrice de protecie fac parte: siguranele fuzibile, releele de protecie, declanatoarele, bobinele de reac-tan, eclatoarele i descrctoarele.

7

Cursul este structurat pe dou pri distincte: n volumul nti se vor aborda iniial aspectele teoretice ale proceselor termice i ponderomotoare din aparatele i echipamentele electrice (fore electrodinamice i electromag-netice), procesele de comutaie (arcul electric) i studiul electromagneilor (ca pricipal dispozitiv de acionare a aparatelor electrice). n volumul doi sunt prezentate principalele tipuri de aparate i echipamente electrice de comutaie i protecie de joas, medie i nalt tensiune, precum i echipamentele electrice pentru pornirea i reglarea turaiei mainilor electrice. Mulumesc pentru sprijinul primit la realizarea acestui curs din partea colegilor i a colaboratorilor.

Autorul

8

1. PROCESE TERMICE N ECHIPAMENTELE ELECTRICE

n aparatele electrice (dar i n motoarele electrice sau orice alt dispozitiv ce folosete energia electric) se dezvolt necontenit cldur datorit transformrii unei pri din energia elec-tromagnetic n energie termic. Principalele surse de cldur dintr-un parat electricsunt: conductoarele parcurse de cu-rentul electric, miezurile de fier strbtute de fluxuri magnetice variabile n timp, arcul electric (dintre piesele de contact deschise), pierderile de putere activ din izolaii i ciocnirile mecanice. Celelalte elemente ale aparatului, care nu sunt surse de cldur, pot fi puternic solicitate termic prin propagarea cldurii de la un corp la altul prin conducie termic. Cldura ce se dezvoltat n aparatele electrice face ca temperaturile diferitelor pri ale acestora s creasc n timp, pn la o valoare staionar (corespunztoare regimului staionar), cnd ntreaga cldur produs n aparat se cedeaz mediului ambiant prin convecie. Pentru a se asigura o funcionare sigur i de durat a aparatelor elctrice (din punctul de vedere al solicitrilor termice), standardele impun (ca n funcie de materialele utilizate i condiiile de exploatare ale aparatului electric) anumite limite maxim admisibile pentru temperaturile din regimul staionar.

1.1. Cmpul termic

Temperatura, ca mrime de stare ce caracterizeaz energia intern a unui corp, este principalul factor ce influeneaz durata de via i stabilitatea n funcionare a unui aparat electric. Rezult c este necesar cunoaterea variaiei n timp i a repartiiei spaiale a temperaturii. Repartiia temperaturilor ntr-un corp este o funcie de spaiu i timp, adic: = (x, y, z, t) [C] (1.1) Pentru un cmp termic staionar (invariabil n timp) se obine o repartiie doar spaial a temperaturii care se exprim astfel: = (x, y, z) [C] (1.2) Deoarece temperatura este o mrime care poate fi caracterizat, ntr-un sistem de msur dat, printr-un singur numr, nefiind legat de noiunea de direcie i sens, cmpul de temperaturi este un cmp scalar. Definim supratemperatura sau nclzirea () ca diferena dintre temperatura corpului () i temperatura mediului ambiant (a): = a = T Ta [C], [K], (1.3) n care: temperaturile i a se msoar n grade Celsius, iar temperaturile absolute T i Ta n Kelvin. nclzirea fiind o diferen de temperaturi se msoar n grade Celsius [C] sau Kelvin. n regim staionar relaia (1.3.) devine: s = s a (1.4) unde s i s sunt nclzirea i respectiv temperatura n regim staionar.

9

Supratemperatura staionar la care ajung diferitele pri ale aparatului depinde de regimul de funcionare a acestuia i de temperatura mediului ambiant. Valorile temperaturii mediului ambiant sunt stabilite prin standarde pentru diferite zone climatice. Valorile temperaturilor maxim admisibile pentru diversele subansamble care compun aparatul, n regimul de funcionare normal sau de avarie depind de materialele folosite la construcia sa i sunt date n standarde. Deoarece puterea aparatului este determinat de supratemperaturile maxim admisibile n diferitele lui pri, rezult c nclzirea admis pentru un anumit element al aparatului trebuie aleas n aa fel nct s asigure o putere maxim la o durat de funcionare prestabilit (prin standarde sau de beneficiari). Verificarea supratemperaturii maxime admise se va face asupra celor mai sensibile pri ale aparatului: cilor de curent, izolaiile electrice, elementelor elastice, lipituri, i contacte. Pentru ca nclzirea nici unui punct din aparat s nu depeasc limitele admise de standarde, este necesar ca disiparea cldurii ctre mediul ambiant s fie ct mai activ. Condiiile de disipare a cldurii dintr-un aparat electric ctre mediul ambiant reprezint unul din criteriile fundamentale de dimensionare a aparatelor electrice, i de aceea este necesar cunoaterea surselor de nclzire i transferul de cldur n aparat i spre mediul ambiant. Prin studiul solicitrilor termice ale aparatelor electrice se urmrete determinarea prin calcul a nclzirii diferitelor pri ale aparatului, la un anumit regim de funcionare i n n comndiii bine determinate. Totalitatea punctelor cu aceiai temperatur dintr-un cmp termic formeaz o suprafa izoterm sau suprafa de nivel. Pentru a ajunge de la o izoterm la o alt izoterm pe drumul cel mai scurt se utilizeaz vectorul gradient (grad ) definit astfel: k

zj

yi

xgrad

+

+

= [grd/m] (1.5)

Astfel se asociaz fiecarui punct al cmpului de temperatur (x, y, z) o valoare determinat pentru vectorul grad , iar funcia grad = f(x, y, z) reprezint un cmp vectorial plan al gradienilor de temperatur. Sensul pozitiv al gradientului de temperatur este sensul n care temperatura crete de la o izoterm la alta, iar direciile grad i a izotermelor n fiecare punct sunt perpendiculare. Conform legilor calorimetriei ntre dou puncte nvecinate cu temperaturi diferite, energia caloric se propag de la punctul cu temperatur mai mare spre punctul cu temperatur mai mic. Sensul acestei energii de egalizare (caracterizat de un flux termic P) coincide cu sensul descreterii temperaturii. Definim drept cdere de temperatur () valoarea negativ a gradien-tului de temperatur: = grad [C] (1.6) Dac raportm cldura transmis ntre dou izoterme (dQ) la timpul n care are loc acest transfer de cldur obinem fluxul termic P:

dtdQP = [W] (1.7)

Raportnd fluxul termic la unitatea de suprafa se obine densitatea fluxului termic ( q ):

]m/W[dAdPq 2= (1.8)

Pentru un flux omogen, adic un flux care are aceeai valoare n toate punctele suprafeei A, rezult:

10

]m/W[APq 2= (1.9)

ntre punctele cu temperaturi diferite dintr-un aparat electric are loc o egalizare a energii-lor calorice, care se poate caracteriza matematic prin densitatea de flux termic ( q ). Aceasta, pe lng valoarea numeric are o direcie i un sens bine determinat n spaiu adic este o mrime vectorial. Rezult c n cazul general funcia q = f(x, y, z, t) reprezint un cmp vectorial spaio-temporal, care indic sensul de propagare a cldurii. n regim staionar cmpul vectorial al dennsitii de flux termic este doar o funcie spaialq = f(x, y, z).

Figura 1.1. Mrimile ce caracterizeaz transferul de cldur ntre dou suprafee izoterme.

n figura 1.1 este reprezentat propagarea prin conducie a cldurii printr-o suprafa elementar de aria dA, ntre dou suprafee izoterme, dup direcia versorului normalei la izoterm n . Se observ c vectorul q are sens contrar cu versorul n i grad iar propagarea cldurii avnd loc de la suprafaa cu temperatur mai mare ( + d) la suprafaa cu temperatura mai mic (). Principala surs de nclzire n aparatele electrice o constituie dezvoltarea cldurii prin efect electrocaloric (Joule-Lenz) n conductoarele parcurse de curent. Expresia energiei transformate n cldur n conductoarele parcurse de curent electric este dat de Legea transformrii energiei n conductoare sau forma local a legii lui JouleLenz:

jEp = [W/m3] (1.10) Adic puterea specific p dezvoltat n unitatea de volum a conductorului, n procesul de conducie electric este dat de produsul scalar dintre intensitatea cmpului electric E [V/m] i densitatea de curent j [A/m2]. Puterea specific se poate msura i n [W/Kg]. innd cont de Legea lui Ohm:

Ej = [A/m2] (1.11) i de expresia conductivitii electrice: = 1 (1.12) rezult: p = j2 (1.13)

11

n care [S/m] este conductivitatea electric iar [ m] este rezistivitatea electric a materialului conductor. Pentru a obine forma integral a Legii transformrii energiei n conductoare filiforme (adic considerm densitatea de curent constant n seciunea transversal a conductorului) integrm relaia (1.13) pe volumul V al conductorului, obinnd puterea P produs prin efect electrocaloric (ireversibil): ]W[iRiudliEdlAjEdVjEP 2

lV V

===== (1.14)

n care: A aria seciunii transversale a conductorului, u tensiunea electric, R rezistena electric a conductorului, i curentul electric prin conductor. Considernd fluxul termic P cldura dezvoltat n intervalul de timp dt se scrie: = dtPQ (1.15) Dac fluxul termic P este constant n timp rezult: Q = P dt, ecuaie echivalent cu (1.7).

1.2. Ecuaiile cmpului termic

Pe baze empirice s-a dedus legtura dintre densitatea de flux termic q i cmpul vectorial grad sub forma unei dependene liniare: q = grad (1.16) Rezult c densitatea fluxului termic q este proporional cu cderea de temperatur (conform figurii 1.1), adic direciile celor dou mrimi coincid. Rezult c propagarea cldurii se face perpendicular pe izoterme, dup direcia gradientului de temperatur. Constanta de proporionalitate [W/mgrd] se numete conductivitate termic i caracterizeaz materialele din punctul de vedere al conduciei termice. Pentru un mediu izotrop i omogen este constant n orice direcie i n orice punct al corpului. Dei depinde de temperatur, n majoritatea apli-caiilor se neglijeaz aceast dependen i se consider ca o constant de material. Dac mediul nu este omogen este o funcie de punct = (x, y, z), iar dac mediul este i anizotrop este un tensor, adic depinde de direcie, astfel ntr-un sistem de axe carteziene x, y i z reprezint conductivitile termice dup direcia axelor x, y i z. n acest caz n locul relaiei (1.16) se pot scrie relaiile:

zq;

yq;

xq zzyyxx

=

=

= (1.17)

Rezultnd:

+

+

=++= k

zj

yi

xkqjqiqq zyxzyx (1.18)

Deoarece divergena densitii de flux termic q reprezint o msur pentru sursa de cldur din unitatea de volum (adic pentru cldura specific p) putem scrie:

12

div q = q = p (1.19) n care s-a notat cu nabla operatorul de derivare:

kz

jy

ix

+

+

= (1.20)

Rezult: pzyx

q 22

z2

2

y2

2

x =

+

+

= (1.21)

Se obine astfel o ecuaie tip Poisson pentru medii anizotrope, care determin cmpul termic n mediile cu surse de cldur:

0pzyx 22

z2

2

y2

2

x =+

+

+

(1.22)

Pentr corpurile izotrope, unde x = y = z = , se obine a doua form mai simpl a ecuaiei lui Poisson:

0pzyx 22

2

2

2

2

=

+

+

+

(1.23)

Menionm c pierderile specifice p din ecuaiile Poisson nu reprezint neaprat pierderi prin efect electrocaloric (definite de relaia 1.13) ci pot reprezenta i pierderi n miezurile feromagnetice (prin histerezis sau cureni turbionari) sau chiar pierderi de putere activ n izolaii, dar exprimate n [W/m3]. Pentru cazul corpurilor cu seciune circular se folosesc coordonatele cilindrice definite astfel:

x = r cos ; y = r sin ; z = z (1.24) Scriind ecuaia lui Poisson n coordonate cilindrice pentru un mediu izotrop se obine relaia:

0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=

+

+

+

+

(1.25)

n cazul corpurilor fr surse interne de cldur, pentru care p = 0, Laplace a obinut ecuaiile care i poart numele, i care sunt cazuri particulare ale ecuaiilor lui Poisson. Astfel pentru corpuri anizotrope n coordonate carteziene ecuaia lui Laplace are forma:

0zyx 22

z2

2

y2

2

x =

+

+

(1.26)

Pentru corpuri izotrope, n coordonate carteziene, ecuaia Laplace este:

0zyx 22

2

2

2

2

=

+

+

(1.27)

Pentru corpuri izotrope, n coordonate cilindrice, ecuaia lui Laplace este:

0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=

+

+

+

(1.28)

13

Ecuaiile Poisson i Laplace descriu cmpul termic n regim staionar. Dac distribuia temperaturii n corp nu este staionar, cmpul termic satisface o ecuaie de tip Fourier dedus pe baza Legii conservrii energiei i care este de forma:

+

+

=

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (1.29)

n care s-a notat cu "a" difuzivitatea termic, care are expresia:

]s/m[c

a 2

d

= (1.30)

Difuzivitatea termic caracterizeaz ineria termic a corpurilor. Conductivitatea termic s-a notat cu [W / m grd], c [Ws / kggrd] este cldura speci-fic masic iar d [kg / m3] este densitatea corpului. Se observ c n regim staionar ecuaia lui Fourier (1.29) se reduce la ecuaia lui Laplace pentru medii izotrope n coordonate carteziene (1.27). Prin rezolvarea ecuaiilor Laplace, Poisson sau Fourier n condiii de frontier i iniiale cunoscute se poate obine cmpul termic al unui aparat. Pentru corpurile cu o structur complex se fac aproximri ale geometriei acestora sau se folosesc metode numerice de calcul a cmpului termic.

1.3. Transmisia termic

Cmpul termic ntr-un aparat electric depinde att de sursele de nclzire ct i de disiparea cldurii n mediul ambiant prin transmisivitate termic. Prin suprafaa corpului care se afl n contact cu un gaz sau lichid, de o alt temperatur dect corpul, are loc un schimb de cldur. Cu ct diferena de temperatur este mai mare, cu att transmisia termic este mai intens. Din momentul n care cantitatea de cldur produs devine egal cu cantitatea de cldur disipat n exterior, se stabilete regimul staionar. Transmisia cldurii se poate face n trei moduri: prin conducie, prin convecie i prin radiaie. ntr-un aparat electric apar n general toate cele trei moduri de transmisie a cldurii, dar deoarece predomin unul sau dou dintre acestea, n unele cazuri, celelalte feluri de transmisiviti se pot neglija. Transmisia termic prin conducie este fenomenul propagrii cldurii prin masa corpurilor solide, lichide sau gazoase, sau ntre aceste corpuri aflate n contact intim, prin egalizarea energiei cinetice a moleculelor lor. Pornind de la relaia (1.16) i conform notaiilor din figura 1.1 putem scrie:

ndndgradq == n

dtdAQd

ndAdP 2

== (1.31)

Rezult pentru cldura transmis prin conducie mediului ambiant expresia:

dtdAdndQ = (1.32)

Cldura cedat mediului ambiant prin conducie Q depinde de proprietile mediului n care are loc procesul de transmitere a cldurii i de valoarea gradientului de temperatur.

14

Transmisia termic prin convecie este fenomenul de transmitere a cldurii la suprafaa de contact dintre un corp i mediul fluid cu care se afl n contact. Iniial, are loc un transfer de cldur prin conducie de la mediul solid la moleculele lichidului sau gazului cu care se afl n contact. Fluidul din zona de contact i micoreaz densitatea i fiind mpins de masa de fluid mai rece, n sus, iau natere cureni de fluid care extrag cldura din corp prin transfer de mas a fluidului. Dac acest proces nu este influenat n mod voit, constituie transmisivitatea termic prin convecie natural. n cazul unui suflaj forat, din exterior, a fluidului de rcire se obine o intensificare a conveciei prin aa numita convecie artificial. n cazul gazelor convecia artificial se obine prin ventilare, iar pentru lichide prin pompe de circulare a lichidului de rcire. Fluxul termic obinut prin convecie nu poate fi separat de cel prin conducie i deci rezult: qc = c (c a) = c (Tc Ta) = c [W / m2] (1.33) Am notat cu c [W / m2grd] transmisivitatea termic prin conducie i convecie. Aceast transmisivitate depinde de foarte muli factori cum ar fi: de temperatura corpului, temperatura fluidului de rcire, natura fluidului de rcire, forma, dimensiunea i orientarea suprafeei prin care se cedeaz cldura lichidului de rcire. Valorile lui c se dau n literatura de specialitate. Pentru a ameliora condiiile de rcire prin conducie i convecie a aparatelor se recomand convecia forat i forme adecvate ale suprafeei de rcire. Cldura total transmis prin conducie i convecie de la aparat mediului ambiant este: dtdS)(Q acC c = [J] (1.34) Am notat cu S este suprafaa de rcire prin conducie i convecie. Transmisia termic prin radiaie este fenomenul de transmitere a cldurii de la un corp cu temperatura diferit de zero absolut, prin radiaie electromagnetic. Energia radiaiilor electromagnetice captate de un corp cu temperatura mai redus conduce la nclzirea sa. Acest proces are loc prin tranziia electronilor din atomi, de pe nivele energetice superioare spre cele inferioare. Aceast tranziiei duce la emisia de cuante de energie. Capacitatea corpului de a emite sau absorbi unde electromagnetice depinde n primul rnd de diferena de temperatur, de suprafaa lateral, de poziionarea suprafeei laterale, de culoarea acesteia ide calitatea ei (rugo-zitatea ei). Densitatea fluxului termic cedat prin radiaie mediului ambiant (qr) se obine pe baza Legii lui StefanBoltzman: qr = r (c a) = r (Tc Ta) = r [W / m2] (1.35) Am notat cu r [W / m2 grd] trasmisivitatea termic prin radiaie a crei expresie este:

=

4a

4c

0r 100T

100TCq (1.36)

Rezult pentru transmisivitatea termic prin radiaie expresia:

ac

4a

4c

0r TT100T

100T

C

= [W / m2 grd] (1.37)

S-au fcut urmtoarele notaii: C0 = 5,77 [W / m2grd2] este coeficientul de radiaie al corpului absolut negru; coeficientul de radiaie sau absorbie al corpului;

15

c temperatura corpului n [C] respectiv [K]; a temperatura mediului ambiant n [C] respectiv [K]; Tc temperatura absolut a corpului n [K];

Ta temperatura absolut a mediului n [K]; Valoarea coeficientul de radiaie al corpului este dat n tabele, n funcie de aspectul, culoarea i rugozitatea suprafeei de cedare a cldurii prin radiaie. Trebuie avut n vedere c suprafaa radiant Sr, este numai suprafaa care radiaz n spaiul liber (a crei normal nu intersecteaz din nou corpul) i care este mai mic dect suprafaa lateral n cazul carcaselor profilate. Este de asemenea avantajos s vopsim suprafeele exterioare ale corpului n culori mate i nchise care favorizeaz cedarea de cldur prin radiaie. Cldura total transmis prin radiaie de un corp, mediului ambiant este:

dtdS)(Q racrr = [J] (1.38) Schimbul real de cldur are loc prin radiaie, convecie i conducie. Ponderea celor trei fenomene diferind de la un aparat la altul. Lund n considerare toate cele trei tipuri de transmisiviti termice obinem pentru densitatea fluxului termic global expresia: q = qr + qc = r (c a) + c (c a) = (r + c) (c a) [W / m2] (1.39) Notnd cu [W / m2 grad] transmisivitate termic global rezultant:q = (c a) [W / m2] (1.40) Cantitatea total de cldur disipat prin transmisivitate termic de la aparat spre mediul ambiant este:

dtdS)(dtdS)(Q racrSrS

cacc += [J] (1.41)

1.4. Cmpul de temperatur n regim staionar

Regimul staionar (permanent) are loc cnd ntreaga cantitate de cldur ce se dezvolt n aparat se cedeaz mediului ambiant, prin transmisivitate termic. n acest caz temperatura aparatului rmne constant n timp la valoarea staionar s. Datorit neomogenitii aparatelor electrice temperaturile difer de la un punct la altul, dei sunt constante n timp. Este necesar din punct de vedere tehnic s determinm repartiia spa-ial a cmpului termic, n cele mai frecvent ntlnite cazuri n aparatele electrice. Determinarea cmpului termic = (x, y, z) se face separat pentru medii fr surse interne de cldur i pentru mediile cu surs intern de cldur.

1.4.1. Cmpul termic al pereilor plani paraleli fr surse interne de cldur

Considerm un perete plan paralel, de grosime , splat n stnga de un fluid cu o temperatur 1 i n dreapta de un fluid cu temperatura mai mic 2. ntre fluide i perete are loc un schimb de cldur prin transmisie termic 1 i respectiv 2 astfel nct temperaturile la extremitatea peretelui sunt 1 i 2.

16

Figura 1.2. Cmpul termic ntr-un perete plan paralel fr surse interne de cldur

Peretele neavnd surse interne de cldur (p = 0), i fiind omogen rezult c conductivitatea termic este constant ( = ct.). Considernd peretele de extensie infinit rezult c transmiterea cldurii are loc perpendicular pe perete (q=qx). Cazul studiat este o simplificare care modeleaz cazul carcaselor plane sau al pereilor plani ai cuptoarelor. Dorim s determinm repartiia temperaturilor n acest perete. Pornind de la ecuaia lui Lapace (1.27) i innd cont c iqq x = , rezult c ecuaia ce trebuie integrat este:

0dxd

2

2

=

(1.42)

Prin dou integrri succesive se obine:

1Cdxd

=

(1.43)

= C1 x + C2 (1.44) Se observ c variaia temperaturii n perete este liniar (ca n figura 1.2). Determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se face din condiiile de limit: pentru x=x1 avem = 1, iar pentru x=x2 avem = 2. Rezult pentru constante expresiile:

21

211

xxC

= (1.45)

12

21122

xx

xxC

= (1.46)

Scriind relaia (1.31) sub forma:

17

dxdq =

12

12

xx

= (1.47)

i fcnd notaiile: 1 2 = cderea de temperatur, x1 x2 = grosimea peretelui; Rezult relaia:

qRq t =

= (1.48)

care poate fi interpretat (prin analogie cu circuitele electrice de curent continuu) ca o Lege a lui Ohm pentru transmiterea cldurii. S-a fcut notaia: Rt = / (1.49) Rt poart denumirea de rezisten termic. Analogia dintre circulaia fluxului termic (q) prin perei plani paraleli i circuitele electrice de c.c. permite calculul rapid al cderilor de temperatur pentru pereii formai din mai multe straturi. Pentru aceasta se realizeaz scheme electrice echivalente ale circuitului termic pe baza echivalenelor:

Iq , U , RR t (1.50) Dac peretele este constituit din mai multe straturi plan paralele, cu rezistenele termice Rt1, Rt2, ..., Rtn, atunci cderea total de temperatur este:

qn

n

2

2

1

1n21

++

+

=+++= ...... (1.51)

Pe baza analogiilor (1.50), se pot calcula relativ uor cderile de temperatur pe straturi, conductivitile termice echivalente i rezistenele termice totale.

1.4.2. Cmpul termic n perei cilindrici fr surse interne de cldur

Considernd un perete cilindric, de lungime mare, n raport cu diametrul, se poate admite c transmisia cldurii prin conducie are loc numai n direcie radial, adic q=qr (se neglijeaz efectul de capt). Acest caz este o modelare, simplificat a cazului carcaselor cilindrice ale motoarelor i aparatelor electrice, a izolaiilor cablurilor electrice sau a unor etuve cilindrice.

18

Figura 1.3. Perei cilindrici, fr surse interne de cldur.

Considernd peretele omogen ( = ct.), fr surse interne de cldur i avnd simetrie axial, cmpul termic va satisface o ecuaie de tip Laplace n coordonate cilindrice:

0rr

1r 2

2

=

+

(1.52)

Integrnd ecuaia diferenial (1.52) de dou ori obinem succesiv formele:

0drd

r

1drd

drd

=

+

(1.53)

0drd

drd

drd

r =

+

(1.54)

0drd

rdrd

=

(1.55)

1Cdrd

r =

(1.56)

r

drCd 1 = (1.57) = C1 ln r + C2 (1.58) Condiiile de frontier sunt: la r = r1 avem = 1 i la r = r2 avem = 2 . Impunnd condiiile de frontier ecuaiei (1.58) rezult: 1 = C1 ln r1 + C2 (1.59) 2 = C1 ln r2 + C2 (1.60) Prin rezolvarea sistemului de mai sus se obin constantele de integrare:

19

2

1

211

r

rC

ln

= (1.61)

2

1

21122

r

r

rrCln

lnln = (1.62)

care nlocuite n relaia (1.58) conduc la forma final a variaiei cmpului termic n funcie de raza r:

2

1

12

21

r

r

r

r

r

r

ln

lnln = (1.63)

Rezult o variaie logaritmic a temperaturii n funcie de raz.

1.4.3. Cmpul termic ntr-un conductor lung, de seciune dreptunghiular, cu surse interne de cldur

Acest caz modeleaz cile de curent sub form de bare, bobinele de form plat i plcile electroizolante n care se dezvolt pierderi dielectrice. Considerm c sursele de cldur sunt uniform repartizate n masa conductorului, iar cantitatea de cldur dezvoltat n unitatea de volum i unitatea de timp este egal cu pierderile specifice volumice p [W / m3]. nclzirea fiind n regim staionar, cmpul termic este un cmp spaial, invariabil n timp. Conductorul avnd dimensiunile transversale mult mai mari ca grosimea, lum n considerare doar componenta transversal a densitii de flux termic: q = q(x). Cmpul de temperatur se obine prin integrarea ecuaiei Poisson n coordonate carteziene (1.22), care pentru =ct. obine forma:

0pdxd

2

2

=

+

(1.64)

20

Figura 1.4. Perei plani cu surse interne de cldur.

Prin integrri succesive se obine:

1Cxp

dxd

+

=

(1.65)

21

2

CxC2

xp++

= (1.66) Condiiile de frontier sunt: la x = 0 avem = 1; la x = avem = 2 . nlocuind aceste condiii n relaia (1.66), rezult constantele de integrare:

C2 = 1 iar

=21

1 2pC (1.67)

Iar ecuaia final a cmpului termic este:

1212 x

2p

x2

p +

+

= (1.68)

Solicitarea maxim va avea loc la x = xm, iar maxim a temperaturii va fi = m.

Pentru a afla temperatura maxim inem cont c la x = xm avem: 0dxd

mxx

=

=

(1.69) nlocuind n relaia (1.65) rezult:

1m Cxp

=

(1.70)

21

Adic: ( )21m p2x

= (1.71)

nlocuind n (1.68) rezult valoarea maxim a temperaturii:

1m21

2m

m x2p

2xp +

+

= (1.72)

Aceasta este valoarea la care trebuie verificat materialul conductorului. Variaia parabolic a temperaturii este reprezentat n figura 1.4. Un caz frecvent ntlnit este acela cnd temperaturile celor dou suprafee laterale sunt egale. n acest caz 1 = 2 = a, adic:

2x m

= (1.73)

2

1m 22p

+= (1.74)

n acest caz variaia temperaturii este:

12 x

2p

x2

p +

+

= (1.75)

1.4.4. Cmpul termic ntr-un conductor circular cu surs intern de cldur

Considerm un conductor de raz mic n raport cu lungimea sa (adic putem aproxima temperatura ca fiind constant ntr-o seciune transversal), i fcnd abstracie de efectul de capt, cmpul termic n conductor satisface o ecuaie Poisson n coordonate cilindrice (relaia 1.25). n ipotezele menionate cmpul termic va depinde doar de raz:

0prr

1r 2

2

=

+

+

(1.76)

Neglijnd variaia cu temperatura a rezistivitii electrice, adic considernd p = j2 = ct. rezult prin integrare:

2rp

r

C2rpC

r

1drd 12

1 =

=

(1.77)

2

2

1 C4rp

rC +

= ln (1.78)

Pentru determinarea constantelor de integrare se folosesc condiiile la limit i anume: la

r = 0 avem = max i deci 0drd

0r

=

=

iar la r = r1, = 1.

Din relaia (1.77) rezult:

22

C1 = 0 (1.79) iar din relaia (1.78) rezult:

+=4

rpC2

112 (1.80)

Rezult c ecuaia cmpului termic este:

( ) 1221 rr4p +

= (1.81) Variaia parabolic a temperaturii cu raza conductorului este reprezentat n figura 1.5. Temperatura maxim ce apare n conductor va apare n axa conductorului (la r = 0) i va

avea valoarea:

211 r4

p

+=max (1.82)

Figura 1.5. Cmpul termic ntr-un conductor cilindric cu surse interne de cldur

Supratemperatura maxim ce apare n conductor va fi:

23

21r4

p

== max (1.83)

1.4.5. Cmpul termic n conductoarele cu izolaie

Considernd un conductor izolat parcurs de curent, acesta se nclzete avnd temperatura maxim n axa conductorului (max).

Cum cderea de temperatur n seciunea transversal a conductorului este neglijabil datorit conductivitii termice foarte mari, ne propunem s determinm temperatura de la suprafaa de separaie dintre conductor i izolaie (1), care este cea mai mare temperatur care solicit izolaia. Cderea de temperatur n stratul de izolaie (1 2) variaz dup o funcie logaritmic, aa cum s-a determinat n cazul transmisiei cldurii printr-un perete cilindric, conform relaiei (1.63).

Figura 1.6. Conductor izolat de seciune circular

Considerm un conductor cilindric de diametru d, acoperit cu un strat de izolaie de grosime (D d) /2 i a crui lungime este l. Neglijnd efectul de capt densitatea de flux termic q este orientat radial:

drdQ)r(qq == (1.84)

Rezult c fluxul termic P ce strbate conductorul este: P = q S (1.84) S-a notat cu S suprafaa lateral curent (situat la distana r de ax) prin care cldura trece de la conductor la izolaie. Rezult:

24

drdlr2P pi= (1.85)

r

drl2

Pd pi

= (1.86)

Integrnd relaia (1.86) rezult:

pi

=

2d

2D r

drl2

Pd2

1

/

/

(1.87)

Rezult: dD

l2P

21 lnpi

+= (1.88)

Cedarea cldurii de la suprafaa exterioar a conductorului spre mediul ambiant (de temperatur a) se face conform ecuaiei transmisiei cldurii (1.40). q = (2 a) (1.89) S-a notat cu transmisivitatea termic global. Rezult:

1aa2 S

Pq

+=

+= (1.90)

Suprafaa lateral de cedare a cldurii ctre mediul ambiant este: S1 = pi D 1 (1.91) nlocuind n relaia (1.90)

lDP

a2pi

+= (1.92)

nlocuind (1.88) rezult:

dD

l2P

lDP

a1 lnpi

+pi

+= (1.93)

Folosind relaia (1.82), rezult c temperatura maxim din conductor (care este n axa conductorului circular) este:

l4p

dD

l2P

lDP

api

+pi

+pi

+= lnmax (1.94)

Izolaia va fi verificat la temperatura 1 calculat cu relaia (1.93). Considernd cazul unui conductor dreptunghiular de seciune A B, cu grosimea izolaiei i de lungime 1, ca cel din figura 1.7, ne propunem s calculm solicitarea termic maxim a izolaiei i temperatura maxim din conductor. Dac temperaturile celor dou

25

suprafee limit ale izolaiei sunt 1 i 2, fluxul termic va fi:

( ) ( )[ ]x2B2x2A2ldxdP +++= (1.95)

( )[ ]x8BA2ldxdP ++= (1.96)

( )[ ] dxx8BA2lPd

++= (1.97)

Figura 1.7. Conductor izolat de seciune dreptunghiular.

Integrnd relaia (1.97) de la 2 la 1 i de la x = 0 la x = , rezult:

( )( )

+

++

=BA2

8BA2 u

dul8

Pd12

(1.98)

Fcnd notaiile: 2 (A + B) + 8 x = u i 8 dx = du (1.99)

Rezult. ( )

( )BA28BA2

l8P

21 +

++

= ln (1.100)

+

+

+=

BA41

l8P

21 ln (1.101)

Fcnd aproximaia:

BA4

BA41

+

+

+ln (1.102)

Rezult:

( )BAl2P

21 +

+= (1.103)

26

Ceea ce reprezint solicitarea termic maxim la care este solicitat izolaia. Dac cldura este cedat mediului ambiant (2= a) rezult c aceast solicitare maxim va fi: ( )[ ] ( )BAl2

Pl8BA2

Pa1 +

+

+++= (1.104)

Calculul prezentat este acoperitor deoarece se disipeaz cldur i prin capetele conductorului.

1.4.6. Cmpul termic n bobine

Calculul cmpului termic n bobine reprezint o importan tehnic deosebit deoarece este des ntlnit i este relativ complex. Caracteristic unei bobine este faptul c structura ei este neomogen. Aa cum rezult din seciunea longitudinal din figura 1.8 o bobin este format din: conductoare active, izolaia conductoarelor, izolaia dintre straturi, lacul de impregnare i carcasa bobinei. Fiecare din aceste elemente este caracterizat prin conductivitatea termic i cldura specific proprie. Aceast neomogenitate nu permite un calcul analitic exacz a cmpukui termic ci este necesar omogenizarea aproximativ prin medierea constantelor de material.

Figura 1.8. Seciune longitudinal printr-o bobin

n conductorul de bobinaj se dezvolt cldur prin efect JouleLenz, iar n izolaii, dac se neglijeaz pierderile de putere activ prin polarizare nu se dezvolt cldur (adic sunt medii fr surse interne de cldur). n cazul n care bobina are miez de fieromagnetic, n curent alternativ se produce cldur prin cureni turbionari i histerezis. Din aceste motive calculul

27

analitic al cmpului termic al bobinelor n regim staionar, se poate face doar prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi bobina se consider omogen, adic p = ct.; se consider o conductivitate termic medie m pentru materialul bobinei format din conductoare i izolaie; cldura se evacueaz din bobin numai prin suprafeele cilindrice laterale i nu prin suprafeele frontale (se neglijeaz efectele de capt); pe suprafeele laterale admitem transmisivitate termic medie m. n aceste ipoteze rezult c densitatea fluxului termic q este orientat n direcie radial q = q(r). n acest fel problema este analoag matematic cu nclzirea unui conductor cilindric, schimbndu-se numai condiiile de frontier. Se ntlnesc dou situaii distincte: cazul bobinelor fr miez de feromagnetic sau al bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent continuu, cnd deoarece miezul nu are surse interne de cldur cedarea cldurii se face att prin suprafaa cilindric exterioar (2 pi r2 1) ct i prin suprafaa interioar (2 pi r1 1); cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent alternativ cnd cedarea cldurii se face numai prin suprafaa cilindric exterioar (2 pi r2 1) deoarece din cauza curenilor turbionari i a pierderilor prin histerezis, miezul magnetic se nclzete i apare un flux termic suplimentar dirijat de la miez spre nfurarea de curent alternativ. Condiiile de frontier pentru cele dou cazuri fiind diferite i conduc la cmpuri termice diferite. n cazul bobinelor fr miez de feromagnetic sau alimentate n c.c. densitatea de flux termic este orientat radial spre exteriorul i interiorul bobinei. Rezult c temperatura maxim se obine undeva n interiorul bobinei (n dreptul razei rm). Cunoscnd temperaturile suprafeelor interioare i exterioare (1 respectiv 2) ne propunem s determinm legea de variaie = (r) precum i valoarea temperaturii maxime m la raza rm. Ca o concluzie practic se recomand ca n cazul bobinelor de curent continuu cu miez feromagnetic s se realizeze un contact termic bun ntre miez i bobinaj pentru o mai bun cedare a cldurii. Pornind de la relaia (1.78) vom determina constantele de integrare pe baza condiiile de frontier:

la r = r1, = 1 iar la: r = r2, = 2, care introduse n relaia (1.78), permit determinarea celor dou constante, sub forma:

( ) ( )

= 212

122

m

1

21 rr4

p

r

r

1Cln

(1.105)

( ) ( )

+= 212122m

1

2

2

m

22

22 rr4p

r

r

r

4rpC

ln

ln (1.106)

28

Figura 1.9. Cmpul de temperatur ntr-o bobin fr miez de feromagnetic sau alimentat n c.c..

Pentru a determina raza rm la care se obine temperatura maxim i temperatura maxim m, folosind relaia (1.77) i punnd condiia (d / dr)r =r m = 0 rezult:

02

rpr

Cm

m

m

1=

; p

C2r m1m

= (1.107)

Temperatura maxim va avea valoarea:

2m

2m

m1m C4rp

rC +

= ln (1.108)

innd seama de (1.107.) obinem expresia: m = C1 (ln rm 0.5) + C2 (1.109) nlocuind constantele C1 i C2 n relaia (1.78) se poate determina distribuia radial a temperaturii (reprezentat n figura 1.9), i prin nlocuirea n relaia (1.108) se determin temperatura maxim. n cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent alternativ

29

miezul feromagnetic constituie o surs suplimentar de cldur foarte important datorit curenilor turbionari care circul n materialul miezului i a pierderilor prin histerezis. Din cauza cldurii dezvoltate n miez, se consider c bobina poate ceda cldur numai prin suprafaa ei exterioar, iar la limita dintre miez i bobin, temperatura 1 este temperatura maxim pentru bobin, adic temperatura la care trebuie s reziste izolaiile. Ca o concluzie practic, rezult c n cazul bobinelor de curent alternativ cu miez feromagnetic se recomand izolarea termic cu materiale electroizolante a bobinajului fa de miez.

Figura 1.10. Cmpul de temperatur ntr-o bobin de c.a. cu miez de feromagnetic.

Pentru bobina din figura 1.10 vom determina legea de variaie a temperaturii funcie de raz pornind de la relaia (1.78), obinut prin integrarea ecuaiei Poisson n coordonate cilindrice (1.25). Determinarea constantelor de integrare din relaia (1.78) se va face n urmtoarele condiii de frontier: la r = r1, = 1 = max, (d / dr)r = r1 = 0 iar la r = r2, = 2. Din relaia (1.77) rezult:

m

1

1

1

2rp

r

C

(1.110)

m

21

1 2rpC

= (1.111)

30

care nlocuit n relaia (1.78) rezult:

m

22

2m

21

22 4rp

r2

rpC

+

= ln (1.112)

Ecuaia cmpului termic al bobinei este dat de relaia:

( )222m2m

21

2 rr4p

r

r

2rp

+

+= ln (1.113)

Reprezentarea grafic a variaiei temperaturii ca raza este dat n figura 1.10. Notnd cu = 1 2, cderea de temperatur n direcia radial se obine prin nlocuirea n relaia (1.113) a lui r cu r1 i cu 1:

( )2122m2

1

m

21 rr

4p

r

r

2rp

+

= ln (1.114)

Pentru utilizarea practic a relaiilor deduse anterior este necesar aproximarea conductivitii termice medii m ce apare n expresia cmpului termic. n practic se utilizeaz mai multe aproximri deduse empiric dintre care cele mai des utilizate sunt: pentru conductoare rotunde:

=2d60 im , (1.115)

pentru conductoare dreptunghiulare:

+

+

++

=

bi

m b22b22481, (1.116)

sau:

+

+=

22B

2AA

im (1.117)

S-au fcut notaiile: grosimea stratului de izolaie; b grosimea echivalent a stratului dintre conductoare umplut cu aer sau mas de impregnare; grosimea izolaiei dintre straturi; d diametrul conductorului neizolat; A, B dimensiunile conductorului dreptunghiular dup direcia axial, respectiv radial; i conductivitatea termic a materialului izolaiei; b conductivitatea termic a masei de impregnare; conductivitatea termic a izolaiei dintre straturi. Calcularea cmpului termic din bobine fcut anterior este acoperitoare deoarece n cazurile reale cedarea cldurii se produce i prin suprafeele frontale ale bobinei, i deci distribuia temperaturii pe nlimea bobinei va fi neuniform i inferioar celei calculate. Acest lucru se poate evidenia experimental.

31

1.5. Cmpul termic n regim tranzitoriu

Definim regimul tranzitoriu ca acel regim n care cmpul de temperatur este funcie att de coordonatele spaiale ct i de timp: = f(x, y, z, t). Cldura care se dezvolt n aparate contribuie la creterea temperaturii corpului n timp, iar transmisia cldurii ctre mediul ambiant se face combinat prin conducie, convecie i radiaie. Determinarea repartiiei spaio-temporale a temperaturilor se poate face innd cont de dependena de temperatur a constantelor de material (conductivitatea termic, transmisivitatea termic, rezistivitatea electric etc.) conform teoriei moderne a nclzirii. Conform acestei teorii dependena de temperatur se face polinomial (empiric) sau exponenial. Astfel dac considerm o variaie liniar cu temperatura a rezistivitii: Rezult: = 0 (1 + ) (1.118) Teoria modern a nclzirii este mai precis, dar necesit un volum mai mare de calcule i este folosit mai ales n proiectarea asistat pe baza metodelor numerice. O metod mai simpl de calcul a cmpului termic n regim tranzitoriu este teoria clasic a nclzirii, n care se neglijeaz dependena de temperatur a constantelor de material. Tot pentru simplificarea calculelor se fac i urmtoarele ipoteze simplificatoare: corpul este omogen; pierderile n unitatea de volum sunt constante (p = ct.); temperatura mediului ambiant este constant (a = ct.). n regim nestaionar cmpul termic este descris de ecuaii difereniale deduse pe baza bilanului termic, adic forme particulare ale Legii conservrii energiei.

1.5.1. Ecuaia general a bilanului termic.

Pornind de la Legea conservrii energiei, i folosind ipotezele teoriei clasice a nclzirii putem gsi o ecuaie general de bilan termic (ecuaii tip Fourier) prin integrarea creia s obinem o soluie analitic a fenomenului de difuzivitate termic. Majoritatea cazurilor practice de regimuri tranzitorii pot fi reduse la cazul conductorului drept de seciune constant, cu rcire natural sau forat. Conform teoriei clasice a nclzirii (i acceptnd ipotezele ei simplificatoare), se consider un conductor cilindric (ca n figura 1.11) rectiliniu i omogen de lungime infinit i cu diametru suficient de mic pentru a putea aproxima aceeai temperatur ntr-o seciune oarecare. Conductorul este parcurs de un curent electric, ce dezvolt o putere p n unitatea de volum. Se ine cont de efectul de capt, considernd c la origine exist o surs suplimentar de cldur, care d natere la un flux termic longitudinal. Temperatura corpului nefiind constant de-a lungul conductorului, exist tendina de uniformizare a temperaturilor prin conductivitate termic. Datorit ariei transversale mici considerm c fluxul termic este axial, n direcia x, iar conductorul cedeaz cldur mediului ambiant doar prin suprafaa lateral, care are o temperatur constant. n aceste condiii tem-peratura conductorului va fi o funcie de lungimea axial x i de timp: = f(x, t).

32

Figura 1.11. Bilanul termic a unui conductor drept de seciune constant

Legea conservrii energiei n elementul infinitezimal dx din conductorul drept, de seciune constant i mic A reprezentat n figura 1.11 are expresia: dQ1 + dQ2 = dQ3 + dQ4 + dQ5 (1.119) S-au fcut notaiile: dQ1 este cantitatea de cldur dezvoltat n elementul de volum (A dx), n timpul dt: dQ1 = p A dx dt = j2 A dx dt (1.120) dQ2 este cantitatea de cldur datorat fluxului termic longitudinal, ce intr pe calea conduciei prin seciunea transversal A, n timpul dt i care conform (1.32) este: dt

xAdQ2

= (1.121)

dQ3 este cantitatea de cldur ce iese prin conduciei din elementul de volum (A dx), n timpul dt, care conform (1.32) este:

dtdxxx

AdQ3

+

= (1.122)

dQ4 este cantitatea de cldur cedat mediului ambiant prin transmisivitate termic combinat, prin suprafaa lateral S, n timpul dt, care conform (1.41) este: dQ4 = S ( a) dt = lp ( a) dx dt (1.123) unde s-a notat cu lp perimetrul seciunii transversale; dQ5 este cantitatea de cldur nmagazinat n elementul infinitezimal de volum (A dx), n timpul dt i care are expresia:

dtdxt

AcddMcdQ d5

== (1.124)

unde c este cldura specific, iar dM = d A dx este masa elementului infinitezimal i d densitatea materialului conductorului. nlocuind n relaia (1.119) vom obine:

( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

Adtdx

AdtdxAj

dap

++

+

=

22

2

(1.125)

33

Simplificnd cu Adxdt rezult:

( )ap222

d Alj

xtc +

=

(1.126)

mprind cu cd i innd cont c difuzitivitatea termic are conform (1.30) expresia: a = / c d se obine ecuaia diferenial cu derivate pariale a transmisiei cldurii sub forma:

( )ad

p

d

2

2

2

Acl

c

jx

at

+

=

(1.127)

Pornind de la aceast ecuaie se pot deduce alte ecuaii particulare ce se folosesc n practic la determinarea cmpurilor termice n regim nestaionar. n practic de cele mai multe ori se studiaz separat procesele de nclzire fa de cele de distribuie spaial a cmpului termic. De exemplu, n procesul de nclzire n regim staionar ( = s), temperatura

conductorului are o valoare bine determinat, independent de x i t,

=

=

0

x;0

t 22

i

deci relaia (1.127) va deveni: sd

p

d

2

Acl

c

j

=

(1.128) Supratemperatura staionar va fi:

s = s a (1.129)

llAlAI

lAj

p2

2

p

2

s

=

= (1.130)

Deoarece rezistena electric are expresia R = 1 / A, suprafaa lateral de cedare a cldurii ctre mediul ambiant este S= lp l, iar fluxul termic este P = I2 R, rezult c supratemperatura staionar are expresia:

SP

s

= (1.131)

1.5.2. nclzirea corpurilor n regim de durat

Pentru determinarea ecuaiei nclzirii unui corp, n regim de durat vom porni de la relaia (1.127) i vom neglija cderea de temperatur n conductor obinnd relaia:

=

Acl

c

jdtd

d

p

d

2

(1.132)

Deoarece: d = d (1.133) Rezult:

dtAc

ldt

c

jdd

p

d

2

= (1.134)

34

dtMcSdt

McPd

= (1.135)

P dt S dt = c M d (1.136) Relaia (1.136) nu este alceva dect Legea conservrii energiei care se poate enuna astfel: cantitatea de cldur nmagazinat n corp este diferena dintre cldura dezvoltat prin efect electrocaloric n corp i cldura cedat mediului ambiant prin transmisivitate termic. Am dovedit astfel c ecuaiile de bilan termic sunt forme particulare ale Legii conservrii energiei, n ipoteze simplificatoare. Deoarece P = S s relaia (1.136) se mai poate scrie: S (s ) dt = c M d (1.137) Definim constanta termic de timp, prin expresia:

SMcT

= [s] (1.138)

Folosind expresia constantei termice de timp ecuaia (1.137) se poate scrie succesiv:

=

s

dTdt

(1.139)

Tdtd

s

=

(1.140)

Integrnd relaia (1.140) rezult:

( ) CTt

s += ln (1.141)

Constanta de integrare se deduce din condiiile de limit: la t = o, r = r0 Rezult: C = ln( s) (1.142) Adic relaia (1.141) prin nlocuire devine:

s0

s

Tt

= ln (1.143)

s0

sTt

e

=

(1.144)

+=

Tt

sTt

0 e1e (1.145)

Relaia (1.145) reprezint ecuaia de nclzire n timp a corpului, n cazul cel mai general. Dac n momentul iniial (t = 0) temperatura conductorului este egal cu temperatura mediului

35

ambiant (0) = a i deci supratemperatura iniial este nul (0 = 0), se obine o lege de variaie

de forma:

=

Tt

s e1 (1.146)

Reprezentnd grafic curbele de nclzire date de relaiile (1.145) i (1.146) sunt reprezentate n figura 1.12 prin curbele 1 i respectiv 2 constatndu-se c ambele curbe au aceeai supratemepratur staionar s. Pentru a evidenia o propietate important a curbelor de nclzire se ia un punct arbitrar M pe curba de nclzire din figura 1.12. Conform relaiei (1.140) se poate scrie:

Tdtd s

=

(1.147)

Din reprezentarea grafic a curbei de nclzire din figura 1.12 rezult:

ABAM

dtd

=

(1.148)

deoarece AM = s , rezult c AB = T. Segmentul T ca subtangent la curba de nclzire, corespunztoare punctului M, rmne mereu constant pentru orice poziie a punctului M pe curb. Constanta termic de timp T = c M / S poate fi luat constant numai dac i c nu depind de temperatur i are dimensiunea unui timp. Cu ajutorul ei se poate trasa simplu curba de nclzire, aa cum rezult n figura 1.13.

Figura 1.12. Curbele de nclzire a unui corp.

Din relaia (1.146) scris sub forma: Tt

s

e1

=

(1.149)

Se poate calcula / s pentru t / T ={0, 1, 2, 3, 4} .a.m.d. Se reprezint punctele cores-punztoare (0,64; 0,86; 0,95; 0,98, etc.) i avnd n vedere c subtangenta la curb T = const., se traseaz curba universal a nclzirii (adimensional).

36

Dei teoretic nclzirea staionar se atinge dup un timp infinit practic se constat c regimul staionar se ncheie dup aproximativ 4 constante termice de timp. n cazul corpurilor cu mas mare, nclzirea n regim permanent se atinge dup un numr mare de ore (10 20), datorit ineriei termice mari. De aceea pentru a reduce timpul necesar determinrii experimentale a curbei de nclzire se folosete construcia grafic prezentat n figura 1.14, care are la baz urmtoarele considerente:

Figura 1.13. Curba universal de nclzire a corpurilor.

Derivnd relaia (1.146) se obine:

Tt

s eT1

dtd

=

(1.150)

Rezult succesiv:

s

sTt

e

=

(1.151)

( )= sT1

dtd

sau: (1.152)

37

Figura 1.14. Deteminarea grafoanalitic a supratemperaturii staionare a corpurilor cu inerie termic mare.

dtdTs

= (1.153)

Scriind relaia (1.153) sub forma:

tTs

= (1.154)

rezult c la t =constant, = f() este ecuaia unei drepte, care taie axa ordonatelor la = 0, adic

= s. Astfel, prin determinarea experimental a poriunii OD din curba de nclzire, la intervale de timp egale t, se determin creterile de supratemperatur 1; 2; 3, corespunztor punctelor A, B, C, se determin n sistemul de axe = f() punctele A', B' i C' i ducnd dreapta ce unete aceste puncte, acolo unde intersecteaz axa ordonatelor se obine nclzirea staionar s .

1.5.3. Rcirea corpurilor.

Dac ntr-un conductor s-a atins temperatura staionar, atunci ntreaga cldur dezvoltat ]n conductor este cedat mediului ambiant. Dac nceteaz dezvoltarea de cldur n conductor (p = 0), din acel moment ncepe procesul de rcire, care const n cedarea cldurii acumulate n conductor mediului ambiant. Cnd temperatura conductorului atinge temperatura mediului ambiant, ntreaga cantitate de cldur se consider complet evacuat, i procesul de rcire ncheiat. Pornind de la ecuaia bilanului termic (1.136), n ipoteza p = 0, se obine: c M d = S dt (1.155) Adic:

38

Tdtd

=

(1.156)

Integrnd relaia (1.156) rezult:

ClnTt

*CTtln +=+= (1.157)

Adic: TtCln

Tdt

eCe+

== (1.158) Considernd c la t = 0,

= s rezult ecuaia curbei de rcire sub forma:

Tt

s e

= (1.159) Dac la t = 0, supratemperatura are o valoare oarecare i, atunci rcire va avea expresia:

Tt

i e

= (1.160) Reprezentarea grafic a relaiilor (1.159) i (1.160) este dat n figura 1.15. Proprietile curbei de nclzire sunt valabile i pentru curba exponenial de rcire, adic subtangenta la curba de rcire n orice punct M al curbei, este o constant egal cu constanta termic de timp T. Dei matematic procesul de rcire se ncheie ntr-un timp infinit de lung, practic dup 4 constante termice de timp el poate fi considerat ncheiat. Constanta termic de timp a unui corp este aceeai la nclzirea i rcirea corpului cu condiia ca att nclzirea ct i rcirea s aib loc n aceleai condiii. Astfel dac rcirea este forat prin ventilare sau prin circularea artificial a fluidului de rcire, constanta termic de timp T se modific.

Figura 1.15. Curbe de rcire a unui corp 1.5.4. nclzirea unui corp n regim de scurt durat

ntr-un regim de scurt durat procesul de nclzire dureaz mult mai puin dect constanta de timp termic T. Dup o scurt perioad de nclzire alimentarea aparatului se ntrerupe pentru o durat suficient de mare ca el s se rceasc pn la temperatura mediului ambiant (

= 0).

39

n figura 1.16 am reprezentat curbele de nclzire i rcire corespunztoare acestui regim de funcionare. Dac puterea care se dezvolt n regim de scurt durat (RSD) este PSD, se constat c supratemperatura maxim care se atinge n acest regim este

SD, mai mic dect supratemeratura care s-ar atinge n regim de durat i care corespunde temperaturii maxime admisibile. Putem concluziona c n acest regim se poate aplica o suprasarcin, fr a periclita stabilitatea termic a aparatului. Folosirea aparatului n regim de scurt durat la o putere mai mare dect cea n regim permanent este recomandabil pentru a mri eficiena economic a aparatului i a obine reducerea costurilor. Definim coeficientul de suprasarcin termic

admisibil n regim de scurt durat astfel: D

SD

SD

sp P

Pk =

= (1.161)

Figura 1.16. nclzirea unui corp n regim de scurt durat

Scriind ecuaia curbei de nclzire (1.146) pentru regimul de scurt durat:

=

Tt

sSD

i

e1 (1.162)

Am notat cu ti timpul de nclzire n regim de scurt durat. Rezult pentru coeficientul

de suprasarcin expresia: Ttp i

e1

1k

= (1.163)

Pentru a obine o expresie mai simpl pentru Kp, dezvoltm n serie Taylor pe Tti

e

i reinem primi doi termeni:

Tt1e iT

t1

(1.164)

Rezult pentru Kp expresia:

40

iP t

Tk = (1.165)

Deoarece pierderile specifice sunt proporionale cu ptratul curentului, coeficientul de suprasarcin pentru curent (kI) este:

iPI t

Tkk == (1.166)

Rezult c n regim de scurt durat, pentru ca aparatul s nu se nclzeasc peste tempe-ratura admisibil, el poate fi strbtut de un curent de kI ori mai mare dect curentul din regim de permanent.

1.5.5. nclzirea corpurilor n regim de scurtcircuit

Un caz specific al regimului de scurt durat, de o deosebit importan tehnic, corespunde regimului de scurtcircuit care se caracterizeaz prin cureni de intensitate foarte mare, de 10 20 de ori mai mari dect curenii nominali, sau chiar mai mari, i o durat foarte scurt (0,05 2 s), deoarece aparatele de protecie elimin defectul. De aceea, acest regim se poate considera adiabatic, ntreaga cldur care se dezvolt n aparat, n regim de scurtcircuit, acumulndu-se n aparat, neavnd loc cedare de cldur ctre mediul ambiant.

n figura 1.17 am reprezentat nclzirea unui corp n regim de scurtcircuit, dup un regim permanent (cazul cel mai frecvent ntlnit n practic). Ecuaia diferenial a bilanului termic (1.136) devine n acest caz (=0): P dt = c M d (1.167) Deoarece: P = S rs (1.168) T = c M / S (1.169)

Rezult: s

dTdt

= (1.170)

Integrnd relaia (1.170) rezult: Tt

s = (1.171)

41

Figura 1.17. nclzirea unui corp n regim de scurtcircuit.

Se observ c temperatura variaz liniar cu timpul. Reprezentarea grafic (figura 1.17) a regimului de scurtcircuit, declanat la momentul t1 cnd corpul se gsete la temperatura staionar s i care dureaz pn la momentul t2. Deoarece durata regimului (t2 t1) este foarte scurt, supratemperatura maxim m depete de 2 3 ori supratemperatura n regim staionar. Evident, scurtcircuitul poate apare nainte de atingerea regimului staionar, sau putem conecta un aparat direct n regim de scurtcircuit, n care caz temperatura va varia dup o curb paralel cu cea din figur dar deplasat corespunztor n jos. Conform relaiei (1.171) se poate da o interpretare fizic constantei termice de timp T dup cum urmeaz: constanta termic de timp este acel interval de timp n care conductorul, fr nclzire iniial i fr schimb de cldur cu mediul ambiant se nclzete, la pierderi constante (p=ct.) pn la supratemperatura s din regim staionar. Conductoarele parcurse de curentul de scurtcircuit se nclzesc puternic, ceea ce poate duce la topirea lor i la avarii grave n instalaii. Rezult c este de dorit ca aparatele de protecie s elimine ct mai rapid defectul de scurtcircuit, nainte ca conductoarele s fie avariate prin efectul cumulativ al cldurii nmagazinate.

1.5.6. nclzirea unui corp n regim periodic intermitent

n numeroase aplicaii tehnice aparatele sunt alimentate periodic deoarece sarcina aparatului variaz periodic. Astfel dup o perioad de nclzire urmeaz o perioad de rcire, ciclul repetndu-se la intervale de timp egale.

Regimul se numete periodic intermitent (RPI) cnd alimentarea i repaosul aparatului se succed n mod periodic. n figura 1.18 sunt prezentate intervale de timp de nclzire ti i de rcire tr. Aparatul se va nclzi treptat dup o curb n zig-zag tinznd s se stabilizeze din punct de vedere termic ntre dou temperaturi min i max . Intervalul de timp ti + tr = tc se numete durata unui ciclu i trebuie s ndeplineasc condiia tc < 10 min.

42

Raportul: r1

iA tt

tD+

= (1.172)

se numete durat de anclanare (acionare), iar raportul:

100tt

tDri

iA +

=[%] (1.173)

poart denumirea de Durat relativ de anclanare iar valorile ei sunt standardizate la: 10, 25, 60 i 100 %. Pentru a determina legea de variaie = f(t) n regim periodic intermitent, am reprezentat n figura 1.18 curbele de nclzire paralele cu curba i, i curbele de rcire paralele cu curba r, n ipoteza c T are aceiai valoare la nclzire i rcire (lucru care este adevrat doar pentru aparatele care nu sunt cu convecie forat).

Folosind ecuaiile ce descriu nclzirea (1.145) i rcirea corpurilor (1.158) vom putea scrie pentru RPI prezentat n figura 1.18:

=

Tt

s1

i

e1 (1.174)

Tt

12

i

e

= (1.175)

+=

Tt

sTt

43

ii

e1e (1.176)

Tt

34

r

e

= (1.177) ...

Tt

n2n2

r

e

= (1.178)

+=

+Tt

sTt

n21n2

ii

e1e (1.179)

43

Figura 1.18. nclzirea corpurilor n Regim periodic intermitent.

Dup un numr suficient de mare de cicluri nclzire-rcire ale RPI, se stabilete un regim periodic staionar (supratemperatura oscileaz ntre valoarea maxim max i valoarea minim min. Rezult c:

2n 1 = 2n + 1 (1.180) Se observ c: 2n = min, adic:

Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

ee

=min (1.181)

Prin nlocuire n (1.179) rezult:

s

Tt

Tt

c

i

e1

e1

=

max (1.182)

Valorile determinate pentru max i min determin domeniul n care variaz temperatura corpului dup un numr foarte mare de cicluri ale RPI. Dac n RPI avem tr = 0, rezult max = min = s i regsim regimul permanent ca un caz particular al RPI, fr intervalul de rcire. De importan tehnic este determinarea Coeficientul de suprasarcin admisibil Kp, definit prin relaia (1.161) i care n RPI devine:

44

Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=

=

=

(1.183)

Coeficientul suprasarcin n curent definit prin relaia (1.166) devine n RPI:

Apr D

1kk == (1.184)

n exploatare se va avea n vedere faptul c orice aparat construit pentru un regim permanent poate fi suprancrcat n RPI cu o suprasarcin cel mult egal cu cea dat de coeficientul de suprasarcin. Prin suprancrcare aparatul nu va depi solicitrile maxime admisibile i va fi folosit ntr-un mod mai eficient.

1.6. Stabilitatea termic a aparatelor electrice

nclzirea reprezint una din solicitrile cele mai importante la care sunt supuse aparatele electrice n timpul exploatrii lor. Limita de nclzire i deci temperatura cea mai mare pe care o atinge un aparat electric, ntr-un punct al su, este determinat de urmtorii factorii: necesitatea conservarii proprietilor fizicomecanice i chimice ale conductoarelor; conservarea proprietilor electroizolante ale izolaiilor i o durat de via ct mai mare a acestora; conservarea propietilor mbinrilor prin lipire i sudare; meninerea calitii contactelor electrice n limitele admisibile. Limitele de temperatur (maxime i minime) ale aparatelor electrice sunt date n standarde i trebuiesc respectate cu rigurozitate pentru ca nici una din caracteristicile tehnice ale aparatului s nu sufere vreo nrutire care s-i prejudicieze funcionarea sau care s-i reduc durata de via prestabilit. Putem defini Stabilitatea termic a unui aparat n regim permanent ca fiind proprietatea aparatului de a suporta solicitrile termice ale unui anumit curent un timp orict de lung, fr ca nclzirea diferitelor pri ale aparatului s depeasc temperaturile maxim admisibile, sau s produc degradarea inadmisibil a oricrei caracteristici tehnice a sa.

Stabilitatea termic a unui aparat este caracterizat n regim permanent de ctre curentul nominal al aparatului (In), care este n c.c. valoarea maxim a curentului, iar n curent alternativ valoarea efectiv maxim, denumit curent echivalent termic. Acest curent este valabil atta timp ct condiiile termice exterioare sau de rcire sunt cele prescrise n standarde. n caz contrar trebuiete adaptat regimul de lucru la noile condiii termice. Deoarece fenomenele termice sunt cumulative n regim tranzitoriu valorile maxime admisibile vor fi i n funcie de timpul ct aparatul va fi solicitat termic. Astfel pentru curentul de scurtcircuit care apare, n general, dup funcionarea aparatului n regim nominal de durat nclzirea va depinde i de temperatura avut de aparat anterior regimului de avarie. Deoarece durata scurtcircuitului este mic se admite o nclzire mai mare dect nclzirea staionar din regim nominal, fr a exista pericolul de degradare a aparatului.

45

Proprietatea aparatului de a suporta solicitrile termice ale curenilor de scurtcircuit, pentru o durat bine precizat, fr deteriorri inadmisibile ale niciuneia din caracteristicile sale tehnice, se numete Stabilitate termic a aparatelor electrice n regim de avarie i se exprim prin curentul de stabilitate termic (Ist). Valoarea lui este prevzut n standarde, raportat la numite intervale de timp: 10 secunde, 5 secunde sau 1 secund. Alegerea curenilor de stabilitate termic pentru un aparat, se face innd seama de valorile maxime ale curentului de scurtcircuit (n cazul cel mai defavorabil) i de durata maxim posibil a acestui curent, innd cont de caracteristicile schemei de protecie. Calcularea curentului de stabilitate termic pentru o valoare nestandardizat a timpului de acionare a curentului de scurtcircuit (tx) se obine din condiia: I2 t = ct. (1.185) cu formula:

x

stNstx tNII = (1.186)

n care N este cea mai apropiat valoare standardizat a duratei curentului de scurtcircuit de timpul tx, iar N {1,5,10}

46

Pe baza noiunilor tehnice prezentate n capitolul Procese termice n echipamentele electrice rspundei la urmtoarele ntrebri:

1. Ce surse de cldur exist n aparatele electrice? 2. Ce este efectul electrocaloric? 3. Ce pierderi apar n miezurile feromagnetice? 4. Ce pierderi apar n izolaii? 5. Definii supratemperatura. 6. Ce subansamble ale aparatelor i echipamentelor electrice se verific la nclzire? 7. Ce este o izoterm? 8. Care este ecuaia unei izoterme? 9. Care este Legea transformrii energiei n conductoarele parcurse de curent? 10. n ce se msoar pierderile specifice? 11. n ce se msoar fluxul termic? 12. Definii densitatea de flux termic. 13. n ce se msoar densitatea de flux termic? 14. Care este legtura empiric ntre densitatea de flux termic i temperatur? 15. Ce msoar divergena densitii de flux termic? 16. Definii conductivitatea termic. 17. n ce se msoar conductivitatea termic? 18. Definii coordonatele cilindrice n funcie de coordonatele carteziene. 19. Definii operatorul Laplace n coordonate carteziene. 20. Definii operatorul Laplace n coordonate cilindrice. 21. Scriei ecuaia Poisson, n coordonate carteziene, ntr-un mediu izotrop. 22. Scriei ecuaia Poisson, n coordonate carteziene, ntr-un mediu anizotrop. 23. Scriei ecuaia Poisson, n coordonate cilindrice. 24. Scriei ecuaia Laplace, n coordonate carteziene, ntr-un mediu izotrop. 25. Scriei ecuaia Laplace, n coordonate carteziene, ntr-un mediu anizotrop. 26. Scriei ecuaia Laplace, n coordonate cilindrice. 27. Scriei ecuaia Fourier pentru regimul termic nestaionar. 28. Definii difuzivitatea termic. 29. n ce se msoar difuzivitatea termic? 30. Cte tipuri de transmisiviti termice cunoatei? 31. Care este expresia cldurii cedat mediului ambiant prin conducie? 32. Care este expresia cldurii cedat mediului ambiant prin convecie? 33. Ce este convecia forat? 34. Cum se poate realiza rcirea forat n aer? 35. Cum se poate realiza rcirea forat n ulei? 36. Care este Legea lui Stefan Boltzmann? 37. Ct este transmisivitatea termic prin radiaie? 38. Care este expresia cldurii cedate mediului ambiant prin radiaie? 39. Cum trebuiesc vopsite carcasele pentru o rcire ct mai intens prin radiaie? 40. Care este transmisivitatea termic total? 41. Care este Legea lui Ohm pentru transmiterea cldurii? 42. Care este expresia rezistenei termice? 43. n ce se msoar rezistena termic? 44. Ce sunt condiiile de limit? 45. Pe baza cror echivalene se realizeaz circuitul electric echivalent transmisiei cldurii? 46. La ce bobine trebuie s izolm termic bobinajul de miezul feromagnetic? 47. Care este ecuaia general a bilanului termic a unui conductor?

47

48. Cum variaz rezistivitatea electric cu temperatura? 49. Definii regimul termic staionar. 50. Care este expresia supratemperaturii staionare? 51. Care este expresia constantei termice de timp? 52. n ce se msoar constanta termic de timp? 53. Care este interpretarea matematic a constantei termice de timp? 54. Care este interpretarea fizic a constantei termice de timp? 55. Care este ecuaia nclzirii unui corp cu supratemepratur iniial? 56. Care este ecuaia nclzirii unui corp fr supratemepratur iniial? 57. Care este ecuaia rcirii unui corp? 58. Definii regimul termic de scurt durat? 59. Ct este coeficientul de suprasarcin termic n regim de scurt durat? 60. Ct este coeficientul de suprasarcin pentru curent n regim de scurt durat? 61. Cum variaz temepratura n regim de scurtcircuit? 62. Definii Regimul periodic intermitent. 63. Definii durata relativ de anclanare. 64. Ct este coeficientul de suprasarcin termic n regim periodic intermitent? 65. Ct este coeficientul de suprasarcin pentru curent n regim periodic intermitent? 66. Ce este stabilitatea termic a unui aparat? 67. Ce mrime caracterizez stabilitatea termic a unui aparat n regim permanent? 68. Ce mrime caracterizez stabilitatea termic a unui aparat n regim de avarie? 69. Ce timpi s-au standardizat pentru stabilitatea termic la scurtcircuit? 70. Cu ce formul se echivaleaz curenii de stabilitate termic la scurtcircuit?

48

2. FORE ELECTRODINAMICE I ELECTROMAGNETICE

n aparatele i echipamente electrice parcurse de cureni mari apar pe lng solicitrile termice, studiate n capitolul anterior, i solicitri mecanice datorate forelor electrodinamice sau electromagnetice. Forele electrodinamice acioneaz asupra conductoarelor parcurse de cureni, ca rezultat al interaciunii dintre cureni i cmpurile magnetice create de ali curenii electrici. Aciunea acestor fore devine important n special n cazul curenilor de scurtcircuit, solicitnd conductoarele, barele i izolatoarele la solicitri de tipul for tietoare i momente ncovoietoare, care pot da natere la avarii grave n instalaiile electrice. De aceea, de aceste fore trebuie s se in seama la construcia aparatelor i echipamentelor electrice pentru a asigura stabilitatea lor mecanic. Forele electromagnetice apar datorit variaiei energiei magnetice prin intereaciunea dintre curenii electrici i corpurile feromagnetice. Principalele metode folosite la calculul forelor electrodinamice i electromagnetice sunt: metoda bazat pe formula lui Biot-Savart-Laplace; metoda bazat pe teoremele forelor generalizate i aprecierea variaiei energiei magnetice; metoda bazat pe calculul tensiunilor maxwelliene n cmp magnetic (metod folosit n special n cazul contactelor electrice). Pentru calculul forelor electrodinamice se poate folosi expresia forei Laplace:

( )BdlidF = (2.1) a crei modul are exprresia: dF = i B dl sin (2.2) Semnificaia mrimilor din relaiile (2.1) i (2.2) este dat n figura 2.1. n figura 2.1 s-a notat cu unghiul dintre inducia magnetic B i versoruldl al circuitului parcurs de curentul i , iar cu dF fora elementar Laplace corespunztoare poriunii de circuit dl. Fora total ce acioneaz asupra ntregului circuit de lungime l se obine prin integrarea lui dF:

=1

0dlBiF sin [N] (2.3)

49

Figura 2.1 Explicativ pentru calculul forei Laplace.

Pentru a putea calcula fora Laplace trebuie s calculm inducia magnetic B, ceea ce se poate realiza cu formula lui Biot-Savart-Laplace. Pentru a calcula intensitatea cmpului magnetic elementar dH n punctul M, caracterizat prin vectorul de poziie r , de poriunea infinitezimal de circui filiform dl, parcurs de curentul i, folosim formula:

( )3r4rdlidH

pi

= (2.4)

Modulul cmpului magnetic elementar va fi:

2r4dlidH

pi

=

sin (2.5)

n figura 2.2 sunt explicate mrimile ce intervin n formula lui Biot-Savart-Laplace.

Figura 2.2. Explicativ la formula lui Biot-Savart-Laplace. n formula (2.5) este unghiul format de vectorii dl (versorul circuitului parcurs de curentul i) i r vectorul de poziie a punctului M. S-a notat cu 0= 4 pi 107 [H / m] , permeabilitatea magnetic a vidului.

50

innd cont de Legea legturii dintre B, H i M, rezult c modulul induciei magnetice B n punctul M, va fi:

20

r

sindli4

dB pi

= (2.6)

Pe baza formulei (2.6) se poate calcula analitic inducia magnetic B n fiecare punct al conductorului. Metoda se recomand n cazul conductoarelor de form simpl (conductoare paralele, conductoare perpendiculare, etc.). Pentru a calcula fora exercitat de un ntreg circuit C1, de lungime l1, asupra poriunii elementare de circiut dl2 se integreaz relaia (2.6):

pi

=

1C12

122

0 dlr

sinsinidli4

dF (2.7)

n figura 2.3 sunt prezentate mrimile ce intervin n calculul forei elementare dF.

Figura 2.3 Explicativ pentru calculul forei electrodinamice cu formula lui Biot-Savart-Laplace.

Fora total ce acioneaz ntre circuitele C1 i C2 se obine prin integrarea forei elementare dF de-a lungul conductorului filiform C2. Se obine expresia:

21C

1C

22210 iiCdldl

r

sinsinii4

F1 2

=

pi

= (2.8)

n relaia (2.8) s-a notat cu C, coeficientul de contur al circuitelor C1 i C2 care depinde doar de configuraia geometric i de poziionarea celor dou circuite. Dac considerm medii masive sau ansambluri de circuite parcurse de cureni, pentru care cunoatem energia magnetic, putem calcula forele electrodinamice sau electromagnetice pe baza Teoremelor forelor generalizate. Considerm un sistem de n circuite cuplate magnetic i parcurse de curenii i1 in. Energia magnetic nmagazineaz n sistemul de n circuite este:

kk

n

1km i2

1W ==

(2.9)

Fluxurile care strbat suprafeele limitate de contururile circuitelor sunt legate de cureni prin inductivitile proprii i mutuale, conform relaiilor lui Maxwell:

51

p

n

1pkpkkk iMiL +=

=

(k p) (2.10)

Am fcut notaiile: Lk inductivitatea proprie a circuitului k, Mkp inductivitatea mutual a circuitelor k i p. nlocuind pe (2.10) n (2.9) rezult:

===

+=n

1ppkp

n

1kk

n

1kkkm iMi2

1iL21W

2 (2.11)

Conform Teoremei forelor generalizate, fora generalizat F, la curent constant, este:

.cti

mx

x

WF=

= (2.12)

La flux constant fora generalizat va fi:

.ct

mx

x

WF=

= (2.13)

n Teoremele forelor generalizate Fx este o for dac coordonata generalizat x este o coordonat liniar, i este un moment dac coordonata generalizat este un unghi. Relaiile (2.12) i (2.13) in seama de variaia inductivitilor propri i mutuale, n raport cu coordonata generalizat x. Aceste relaii se folosesc n aplicaiile n care inductivitile proprii i mutuale sunt cunoscute sub form analitic: Astfel dac dorim s calculm fora ce acioneaz ntre dou bobine cuplate magnetic pornim de la expresia energiei magnetice (2.10) particularizat pentru dou circuite : 12212112

222

211m iiM2

1iiM21iL

21iL

21W +++= (2.14)

Aplicnd teorema de reciprocitate a circuitelor electrice cuplate magnetic, rezult: M12 = M21 = M (2.15) Relaia (2.14) devine: 21

222

211m iiMiL2

1iL21W ++= (2.16)

Considernd curenii independeni de deformaia circuitelor (i1 =i2= ct.), relaia (2.12) devine:

dxdMii

dxdLi

21

dxdLi

21F 212

22

121x ++= (2.17)

n aceast relaiei primii doi termeni reprezint forele interne din fiecare circuit, iar ulti-mul termen reprezint fora de interaciune dintre cele dou sisteme.

2.1. Calculul forelor electrodinamice n regim staionar.

52

n regim staionar curenii ce parcurg circuitele electrice sunt constani i deci forele electromagnetice sunt invariabile n timp. Pentru calcularea acestor fore putem utiliza una din metodele descrise anterior. Cele mai reprezentative cazuri de fore electrodinamice sunt cele dintre conductoare a cror dimensiune liniar transversal este neglijabil n raport cu lungimea lor i cu distana dintre ele (conductoare filiforme). Determinarea acestor fore, ca mrime i punct de aplicaie, este posibil utiliznd o metod grafoanalitic, care face ipoteza simplificatoare c se poate izola poriunea din circuit corespunztoare celor dou conductoare.

2.1.1. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i coplanare.

Considerm dou conductoare filiforme, rectilinii i coplanare prezentate n figura 2.4, parcurse de curenii i1 i i2 i care fac ntre ele un unghi oarecare. Aplicnd metoda de calcul bazat pe teorema lui BiotSavartLaplace, inducia magnetic n punctul Pk (n care se afl elementul infinitezimal dl2) determinat de elementul de curent i1 dy se calculeaz conform relaiei (2.6):

210

kr

dyi4

dB pi

=

sin (2.18)

Fora care se exercit asupra elementului de circuit dl2 sub influena elementului de curent dy parcurs de curentul i1, se determin conform (2.2), cu observaia c elementul dl2 i in-ducia dBk sunt perpendiculare i deci sin = 1, rezult:

210

22k2

r

dyi4

dliFd pi

=

sin (2.19)

n figura 2.4 sunt prezentate mrimile ce intervin n relaiile (2.18) i (2.19) Din figur rezult c:

= sinx

r ; = tgxy rezult = d

xdy 2sin (2.20)

nlocuind relaiile (2.20) n relaia (3.19) se determin fora elementar:

2210

k2 dld

xii

4Fd

pi

=

sin (2.21)

53

Figura 2.4. Determinarea forelor dintre dou conductoare rectilinii i coplanare.

Fora determinat de ntreg circuitul parcurs de curentul i1, asupra elementului dl2 va fi:

pi

=2

1d

x

dlii4

dF 2210k sin (2.22)

221

210

k dlx

ii4

dF pi

=

coscos (2.23)

Notnd fora pe unitatea de lungime (numit fora specific) cu fk, rezult:

xii

4dldFf 21210

2

kk

pi

==

coscos [N / m] (2.24)

Prescurtat relaia (2.24) se poate scrie: fk = C (2.25) S-au fcut notaiile: mrimea

217

210 ii10ii

4=

pi

= (2.26)

se numete factorul de curent a circuitelor, i depinde doar de curenii ce interacioneaz electrodinamic i de permeabilitatea magnetic a mediului.

54

mrimea

xC 21 = coscos (2.27)

se numete factorul de contur al circuitelor electrice, i depinde de parametrii geometrici ai circiutelor electrice.

Figura 2.5. Determinarea forei electrodinamice rezultante printr-o metod grafo-analitic.

Pe baza formulei (2.25) i al factorilor de contur dai n literatura de specialitate, se pot calcula relativ uor forele electrodinamice ce rezult din interaciunea unor conductoare coplanare, rectilinii i filiforme. Pentru a calcula fora total ce acioneaz asupra conductorului parcurs de curentul i2 i datorate curentului i1 putem folosi o metod grafo-analitic (sau echivalentul ei numeric). Astfel n figura 2.5. s-au reprezentat forele specifice corespunztoare punctelor de abscis xi, plasate pe conductorul 2 i calculate cu ajutorul relaiei (2.23). Pentru determinarea forei rezultante F12 care acioneaz asupra conductorului 2, se unesc vrfurile segmentelor fk ce reprezint la scar forele specifice i se obine o suprafa de arie A. Fora electrodinamic rezultant F12 se calculeaz prin planimetrarea ariei A i este orientat perpendicular pe conductor, Punctul de aplicaie al forei este centrul de greutate al suprafeei de arie A.

55

Rezult c fora exercitat de conductorul 1 asupra conductorului 2, notat cu F12 va avea expresia: F12 = X Y A (2.28) Am notat cu X scara forelor specifice [N / m 1 / m] i cu Y scara lungimilor [m / m]. Aria planimetrat A [m2] este aria forelor specifice.

2.1.2. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i paralele.

Cel mai des ntlnit caz n aplicaiile tehnice este cazul conductoarelor drepte, plan paralele i de lungime considerat infinit. n figura 2.6 am reprezentat dou conductoare t filiforme i paralele de lungime egal cu 1, situate fa n fa i parcurse de acelai curent i.

Conform relaiei (2.24) i considernd c x = a = ct., rezult:

ai

4f 2120k

pi

=

coscos (2.29)

Din figura 2.6 rezult:

221

1ah

hr

h+

==cos (2.30)

( ) 2222 ahlh1

r

hl+

=

=cos (2.31)

nlocuind relaiile (2.30) i (2.31) n relaia (2.29) se obine expresia forei specifice sub

forma: ( )

+

++

pi

=

222220

kahl

hlah

hi4

f (2.32)

56

Figura 2.6. Determinarea forelor electrodinamice dintre conductoare paralele

Fora total care acioneaz asupra conductorului 2, se obine prin integrarea relaiei (2.32):

( )

+

++

pi

==

l

0 222220l

0 k12dh

ahlhl

ahhi

a4dhfF (2.33)

( ) l0

22222012 ahlahi

a4F ++

pi

= (2.34)

la

la1li

a2F

220

12

+

pi

= (2.35)

Rezult fora specific expresia:

pi

=

lai

a2f 20k (2.36)

Factorul de corecie este:

la

la1

la

2

+=

(2.37)

n cazul conductoarelor de lungime infinit (1 >> a), fora specific se poate calcula innd cont c factorul de corecie devine: 1

la

l

=

(2.38)

Fora specific va fi:

20k i

a2f

pi

= (2.39)

n cazul n care distana dintre conductoare este comparabil cu diametrul conductoarelor (adic numai putem considera conductoarele filiforme) fora de interaciune dintre acestea se poate calcula pe baza Teoremelor forelor generalizate. Considerm dou conductoare paralele, drepte, cu seciune circular de raz r, prezentate n figura 2.7. Fora de interaciune se determin cu ajutorul teoremei forelor generalizate, pornind.de la expresia inductivitii mutuale dintre cele dou conductoare.

Figura 2.7. Conductoare paralele, drepte, finite de seciune circular.

57

Pornind de la expresia inductivitii unui circuit format din dou conductoare paralele de lungime 1, de diametru 2r i distana dintre conductoare a:

+