逢 甲 大 學 自動控制工程學系專題製作

專 題 論 文

馬達轉速之PID控制 PID Control in Rotation Speed of Motor

指導教授：林南州

學 生：盧廷星

徐亦駿

中 華 民 國 九 十 五 年 五 月 十 二 日

2

i

誌謝

時光飛逝，大學四年的生活就要告一段落了，感謝自控系所有師長在這四年

時間在課業上及生活上的指導，讓學生有充分的資源和空間從事研究，並且在學

習過程中給予指導，以及不吝嗇地傳授經驗及知識給我們，在日常生活中也教導

我們一些做人處世的原則，師長們的諄諄教誨我們將謹記在心。

另一方面也感謝指導老師林南州教授的悉心指導與指正，讓我們在這一年中

學了許多在電腦輔助模擬方面的相關知識，以及模擬和實際的落差，還有許多控

制系統的相關知識。最後感謝曾經指導過我們的教授群們以及學長們，因為有你

們的參與，充實了我們的大學生活，也擁有了許多美好的回憶。

ii

摘要

本專題的目的，是以套裝軟體 MATLAB 當輔助，來模擬馬達轉速的各項特

性。利用大學四年所學的控制知識，應用在建立馬達的數學模型上，再利用古典

以及現代控制理論，將馬達的各項特性在時間領域以及頻域做分析以及比較，然

後利用 PID 控制器將馬達的的各項誤差消除，以達到最佳化的效果。

iii

Abstract

The purpose of this special topics is using software package-MATLAB to

simulate all kinds of characteristic of motor. Using learned knowledge about control

in create motor’s mathematics model, and comparing with time domain and frequency

domain of motor in classics and modern control theorems. Then by using PID

controller to erase all kinds of error of motor and achieve optimal result.

iv

目錄

誌謝……………………………………………………………………………………i

摘要………………………………………………………………………… i i

Abstract………………………………………………………………………………iii

目錄……………………………………………………………………………… iv

圖目錄……………………………………………………………………………… vi

表目錄………………………………………………………………………………vii

符號說明 …………………………………………………………………………viii

第一章 緒論…………………………………………………………………………1

1.3 研究動機……………………………………………………………1

1.3 模擬平台……………………………………………………………1

1.3 PID 控制器介紹……………………………………………………3

1.3.1 比例控制( PK )………………………………………………4

1.3.2 積分控制 ( IK )……………………………………………4

1.3.3 微分控制( DK )………………………………………………4

第二章 馬達模型建立……………………………………………………………5

2.1 物理系統的數學模式與系統轉移函數…………………………6

2.2 馬達微分方程式建立……………………………………………9

2.3 微分方程式轉換狀態空間…………………………………………12

第三章 Simulink 模擬…………………………………………………………17

3.1 Simulink 簡介 ……………………………………………………17

3.2 建立馬達 Model……………………………………………………17

3.3 調整不同參數值之模擬結果 ………………………………………19

3.3.1 調整 PK 值對系統之影響………………………………………20

3.3.2 調整 PK 和 IK 值對系統之影響……………………………21

3.3.3 調整 PK 和 DK 值對系統之影響……………………………22

第四章 PID 參數值最佳化 ………………………………………………………24

4.1 ZIEGLER-NICHOLS 理論…………………………………………24

v

4.2 參數最佳化之模擬結果……………………………………………26

4.2.1 P 控制器參數最佳化…………………………………………39

4.2.2 PI 控制器參數之最佳化…………………………………30

第五章 S-Domain 驗證…………………………………………………………31

5.1 各參數值之時域和頻域比較圖 ………………………………31

5.1.1 P 控制器參數最佳化………………………………………31

5.1.2 P I 控制器參數之最佳化…………………………………32

5.2 結果討論 ……………………………………………………………32

第六章 結論………………………………………………………………………34

參考文獻 ……………………………………………………………………………35

vi

圖目錄

圖 2.2.1 馬達之簡化模型 ………………………………………………………9

圖 2.2.2 電壓對轉速馬達方塊圖………………………………………………11

圖 2.2.3 馬達加入負載方塊圖…………………………………………………11

圖 2.2.4 PID 馬達方塊圖………………………………………………………12

圖 2.3.1 動態方程式的示意方塊圖 ……………………………………………16

圖 3.2.1 未加入控制器之馬達 Model ……………………………………18

圖 3.2.2 加入控制器之馬達 Model …………………………………………18

圖 3.3.1 未加入控制器之馬達轉速圖………………………………………19

圖 3.3.2 加入控制器之馬達轉速圖…………………………………………20

圖 3.3.3 加入控制器與未加控制器之馬達轉速比較…………………………21

圖 3.3.4 PK 控制器和 PK ， IK 控制器馬達轉速比較…………………………22

圖 3.3.5 PK 控制器和 PK ， DK 控制器馬達轉速比較…………………………23

圖 4.2.1 電壓對角速度根軌跡圖 ………………………………………………26

圖 4.2.2 電壓對角位移根軌跡圖 ………………………………………………27

圖 4.2.3 根軌跡找Ｋ值圖………………………………………………………28

圖 4.2.4 pK 參數最佳化之馬達轉速圖…………………………………………29

圖 4.2.5 pK ， IK 參數最佳化之馬達轉速圖……………………………………30

圖 5.1.1 T-Domain和S-Domain之P控制器比較………………………………31

圖 5.1.2 T-Domain 和 S-Domain 之 PI 控制器比較……………………………32

vii

表目錄

表 1.2.1 直流伺服馬達C-100-20額定規格………………………………………1

表 4.1.1 PID 控制器增益之調整與設定表……………………………………24

viii

符號說明

aE 電樞電壓 (V)

cE 反電動勢電壓(V)

ai 電樞電流 (A)

aR 電樞電阻 (Ohm)

aL 電樞電感 (H)

EK 反電勢常數 (V/(Rad/Sec))

ω 馬達轉軸角速度 (Rad/Sec)

TK 扭矩常數 ((N．m)/A)

mJ 轉動慣量 (Kg．m2 )

D 黏滯係數 (Kg．m/(Rad/Sec))

LT 負載扭矩 (N．m)

1

第一章 緒論

1.1 研究動機

馬達不論在家庭或工商業界，都是不可或缺的裝置，也是一切動力的主要來

源。馬達有各種不同的形式，傳統的馬達偏重於大型動力用，但近年來由於各種

自動化機器的普及，故小型精密馬達也佔有重要的地位。

近年來，雖然說電力電子、DSP、近代控制理論的發展，以高性能 DSP 為

基礎的馬達控制技術迅速發展，數位馬達驅動器已成為市場與技術發展的一種主

流，DSP 的發展與應用愈加多樣化，數位訊號處理的理論也成為各種專業領域的

基本常識，但是傳統的 PID 控制仍然是各業界所喜愛的技術，因為它價格較低

廉、容易以電路實現、精密度及穩定度高…等，不論在實際工業程序或自動化生

產線控制上依然是一項好用且不可或缺的技術[1]。因此本專題就是以大學四年

所學的控制知識來應用在馬達控制上，還有對於 PID 控制器的討論，藉此來驗收

一下大學四年以來對於控制系統的了解。

PID 通常是求快又求穩，適時善用 PID 的特性，可達到最佳的效果。例如當

製程可以加速時利用 PI 全力加速，當必須剎車時利用穩住在所要的設定點。搭

配製程條件與 PI、PD 的切換，可以使得操作變數既快且穩。現在工業界，由於

市場競爭激烈，自動化的技術成為工業界相當重要的一環。而自動化技術最主要

的基礎就是有良好的馬達控制系統，而如果欠缺了一套優良的驅動方式去控制馬

達，一切都是空談。

1.2 模擬平台

一個典型的直流伺服馬達額定規格與馬達參數如表 1.2.1 所列。以日本山洋

(SANYO)公司的直流伺服馬達 C-100-20 為例，其額定輸出功率為 PR=120W， 額

定輸出扭矩為 TR= 0.117Kg．m，其額定電樞壓 ER =70V[2]。

表 1.2.1 直流伺服馬達 C-100-20 額定規格

馬 達 型 號 符 號 單 位 C-100-20 C-200-20

2

額定輸出功率 PR Kw 0.12 0.23

額定扭矩 TR Kg．m 11.7 22.5

額定電樞電壓 ER V 70 60

額定電樞電流 IR A 3.1 5.8

額定轉速 NR RPM 1000 1000

伺 連續鎖定扭矩 TS Kg．m 0.145 0.29

峰值鎖定扭矩 TPS Kg．m 13.0 26.0

電樞電流 (鎖定) IS A 3.5 7

服 峰值電樞電流 IPS A 33 65

最高轉速 Nmax RPM 2000 2000

靜態磨擦扭矩 TF Kg．m 0.00012 0.00015

馬 功率變化率 Q Kw/Sec 1.32 2.92

峰值角加速度 PS Rad/Sec 2 13500 15800

扭矩漣波 rT % 3.5 3.5

達 扭矩常數 (10%) TK (Kg．m)/A 0.046 0.046

電壓常數 EK V/(Rad/Sec) 0.454 0.454

黏滯阻泥係數 D Kg．m/

(Rad/Sec) 0.000153 0.000191

轉子慣量 mJ Kg．m 2 0.00010 0.00017

電樞電阻 aR 　Ω　 4.7 1.65

電樞電感 aL mH 11 4.5

機械時間常數 mT msec 23 15

電氣時間常數 eT msec 2.4 2.7

熱導時間常數 thT Min. 45 50

3

熱阻 (thermal

resistance) thR C/W 1.5 1.0

最大容許溫升 － Degree 130 130

絕緣等級 － Class F F

激磁方法 － － Permanent Magnet

冷卻方法 － － Totally-Enclosed, Natural

Air-Cooling

電壓/轉速比 KEG V/KRPM 30 30

轉 電壓漣波比 VP-P % 5 5

速 線性度 　 % 1 1

計 內阻(電阻) iR 　 65 65

內阻(電感) iL mH 60 60

最小負載電阻 lR 　 5 5

1.3 PID 控制器介紹

在工程實務中，PID 閉迴路控制應用是最為廣泛使用。問世至今已有近 60

年的歷史，此種控制具有結構簡單、穩定性好、工作可靠、調整方便等四項優點

而成為工業控制技術的工具。假若受控制對象的組態與參數無法完全掌握，或是

無法獲知精確的數學模型時，系統的控制器的參數就必須依靠經驗和實際調試來

確定，此時，應用 PID 控制技術最為方便。

PID 控制包含三個部分：比例增益、積分增益、微分增益三個部分，實際應

用中，也有 PI 與 PD 控制器。PID 控制器就系根據於系統的誤差，利用比例增益、

積分增益與微分增益計算出控制量[3]，其控制器輸出量和控制器輸入量之間差

值(誤差)在時域中可由式(1.3.1)表示如下:

4

( ) 1( ) ( ( ) ( )P d

i

de tu t K e t T e t dtdt T

= + + ∫ (1.3.1)

( )e t 表示誤差量， PK 為比例增益係數、 IK 為積分時間常數、 DK 為微分時間

常數。藉由拉式轉換，(1.3.1)式又可以表示為：

1( ) [ ] ( ) [1 ] ( )IP D P di

KU S K K S E S K T S E S

S T S= + + = + + (1.3.2)

1.3.1 比例控制( PK )

比例控制是一種最簡單且直觀的控制方式，比例控制器可以減少上升時間，

而當僅有比例控制時，系統輸出會存在穩態誤差(Steady-state error)，且無法完全

消除外界所加入的固定擾動。

1.3.2 積分控制( IK )

積分控制主要目的在於消除穩態誤差。在一個自動控制系統中，為了消除穩

態誤差，在控制器中必須引入"積分項"，將系統的誤差量對時間做積分累加，隨

著時間的增加，積分量會增加。基於這個理由，即便誤差很小，積分項也會隨著

時間的增加而加大，超過某一個門檻值(Threshold value)即推動控制器的輸出增

大使穩態誤差進一步減小，直到等於零。但是他可能會使暫態反應(Transient

response)變差。

1.3.3 微分控制( DK )

在微分控制中，控制器的輸出與輸入誤差訊號的微分，亦即與誤差的變化率

成正比關係。在自動控制系統，克服誤差接近目標值的過程中，受控制系統可能

5

會出現來回振盪無法穩定，甚至發散失穩。其原因是在於，系統中存在有較大慣

性的元件或是有某元件的物理特性其行為總是滯後(delay)於命令值，使得力圖克

服誤差的過程中，總是落後於誤差的變化。解決的辦法是使克服誤差的作用的變

化要"超前"於誤差變化，亦即在誤差接近零時，克服誤差的作用就應該是零。微

分控制隱含有預測之意。將誤差量對時間微分，能預測誤差變化的趨勢。因此，

PD 控制器，就能夠提前預測行為並反應，使克服誤差的控制作用等於零，甚至

為負值，避免被控制的對象嚴重地超越目標值(Overshoot)。 所以對有較大慣性

被控制系統， PD 控制能改善系統的穩定性。

6

第二章 馬達模型建立

2.1 物理系統的數學模式與系統轉移函數

對任一線性非時變系統之控制，首先須由實際物理系統建立其數學模式，再

將此數學模式利用拉氏轉換轉換至頻域，以方便系統之分析與設計，而在頻域之

系統表示方式均以系統之轉移函數來表示[3]。以下將分別說明：系統轉移函數

之定義與如何將複雜系統之轉移函數，藉由方塊圖來化簡，以建立一物理系統之

轉移函數。

對任一線性非時變系統的轉移函數定義為零初值系統之脈衝響應的拉氏轉

換。即

( ) { ( )} { ( )* ( )}G s L g t L t g tδ= = (2-1-1)

脈衝函數 ( )tδ 定義為0

0( ) 1t dtδ

+

−=∫

若以 G(s)表示一單輸入單輸出系統的轉移函數，其中 R(s)輸入為脈衝函數，

C(s)為系統輸出，則轉移函數 G(s)與輸出輸入函數的拉氏轉換關係如下：

( )( ) { ( )}( )

C sG s L g tR s

= = (2-1-2)

系統方塊圖，對於複雜系統之分析，在多數情況下有困難以單一關係式或單

微分方程式來描述，因此須以方塊圖來描述系統的組合與相互關連性再配合轉移

函數來表示系統的因果關係。

7

為了瞭解方塊圖表如何以數學運作，我們必須首先瞭解在方塊圖表的符號。

如下圖所示為三類方塊圖之元素，所顯示的符號以下列方式定義：

(1)方塊：方塊代表一成份。或者是一系統的幾個成份的聯合。此方塊有一訊號

的輸入及輸出。相關於此方塊是其移轉函數。通常，此方塊的所有能

源連接均為了清晰理由而予簡單的省略。

(2)方向箭頭：此方向箭頭表示一個訊號的流向或資料住出每個方塊或沿著電線。

(3)匯合點：這是兩訊號相加在一起或相互減少的點。注意儘管有兩訊號可能相

互減少的事實。我們仍然稱之為匯合點。注意如果底邊符號是(+)，

正回授正在此系統中使用，如果底邊符號是(-)，負回授是正在使用

中。

對於方塊圖之化簡有下列一系列改變方塊圖表的八個基本公式或恒等式，而這些

公式則是以方塊圖方式來描述。

(1)串聯方塊：轉移函數（或增益）之乘積。

(2)除去一個向前迴路：轉移函數（或增益）之加減。

= G1 G2 Sin Sout Sin G1G2 Sout

-

+

方塊

箭頭方向

匯合點

8

(3)將一個輸入的分支點移到一方塊的輸出：

(4)將分支點移到方塊之前：

(5)將匯合點移到方塊之後：

(6)將一匯合點由方塊輸出移到輸入：

±

+

Sin2

Sout

±

+ Sin1 G

Sin2

= Sin1

1G

Sout

Sin2 ±

+ Sout +

±

Sin1

Sin2 G

Sout = Sin1 G

G

Sout

Sout Sout = Sin G

Sout

Sin G

G

Sin Sin

G Sin Sout =

Sin G Sout

G1

±

+ Sin G1

G2

Sout = Sin G1±G2 Sout

9

(7)去除一回授的迴路：

(8)交換方塊：

2.2 馬達微分方程式建立

圖 2.2.1 馬達之簡化模型

馬達實體本身是由電線圈繞而成，而線圈在電器元件中代表著電感，且線圈

本身有阻抗，如施加外部電壓後就會產生轉矩[1]，如圖 2.2.1 所示，我們可以把

馬達的轉動利用數學方程式來表示出來。

±

+ Sout Sout

H

Sin G = Sin 11 GHm

+

+

+

+ Sout Sin G1

G2

= Sin

11G

12G

Sout

M

ai aL

be

aE mB

mT mθ

fR

fL fe

aR

10

a a a aE R i L= + ωEa K

dtdi

+ （2-2-1）

把第(2-2-1)式中利用拉普拉氏轉換後，可以改寫成下式方程式(2-2-2)。

)()()()( sIsLRsKsE aaaEa +=− ω (2-2-2)

把第(2-2-2)式中的電流的 s函數整理成一邊，即可得方程式(2-2-3)。

aa

Eaa sLR

sKsEsI

+−

=)()(

)(ω

(2-2-3)

直流馬達經電壓驅動後產生轉矩，而直流馬達的轉矩公式為( aIKT φ= )，可知，

轉矩和電流成正比關係，故馬達轉矩時間方程式經過拉普拉氏轉換後，可以寫成：

)()( sIKsT aT= (2-2-4)

另外在馬達驅動後，馬達本身會產生一轉矩來對抗外加電壓所產生之轉矩，而此

一對抗轉矩和馬達本身的轉子之轉動慣量( mJ )有關，又和馬達轉動的磨擦係數或

稱黏滯係數(D)有關，所以把此轉矩寫成方程式，可表示為：

mJT = ωω D

dtd

+ (2-2-5)

把第(2-2-5)式利用拉氏轉換，可表示成：

)()()( sDsJsT m ω+= (2-2-6)

把第(2-2-6)式整理後可寫成：

11

DsJ

sTsm +

=)()(ω (2-2-7)

利用(2-2-1)～(2-2-7)式，把它畫成方塊圖。可表示成下圖：

圖 2.2.2 電壓對轉速馬達方塊圖

如果將馬達的負載加進來考慮的話，則原本之第(2-2-6)式須改寫為：

)()()()( sDsJsTsT mL ω+=− (2-2-7)

則方塊圖須改為下圖：

圖 2.2.3 馬達加入負載方塊圖

在加入負載的方塊圖中，可以利用梅森增益可寫出轉移函數Ｇ(s)：

)(sEa

)(sEc

)(sIa )(sT

)(sTL

)(sω+

_ +

_

aa RsL +1

TK + DsJm +

1

EK

負載

)( sE a

aa RsL +1

TK DsJm +1

EK

)(sIa )(sT )(sω+

_

12

Ｇ(s)= =+

−T

aLa K

RsLTsE

s

)(

)(ω

DsJK

RsLK

DsJRsLK

m

E

aa

T

maa

T

+++

++

1

1

(2-2-8)

可以整理後改寫為：

TEmaa

T

T

aaLa

m

E

aa

T

maa

T

TLa

KKDsJRsLK

KRsL

TsE

DsJK

RsLK

DsJRsLK

KRsLTsEs

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

+++

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

))(()(

1

1

)()(ω (2-2-9)

若將 PID 控制器加入，則方塊圖需改為如圖

圖 2.2.4 PID 馬達方塊圖

2.3 微分方程式轉換狀態空間

古典控制系統的描述是利用轉移函數，而近代控制系統的描述是利用動態方

程式。狀態空間系統控制的優點是可以考慮到整個系統各項參數相互間的影響，

當一個系統多個控制參數會相互影響時，如果使用 PID 對於各別參數作控制，

-

+ +

-

-+

( )sω

負載

DsJm +1

TK

aa RsL +1

EK

2D P IK s K s K

s+ +

)(sTL

( )R s+

13

其效果會比使用狀態空間系統控制要差很多。對於一個實際受控的系統，我們會

先建立它的狀態空間函數，再作系統鑑別，將系統參數擷取出來，再依此參數作

為控制依據[3]~[5]。

狀態(State)變數是能夠完整描述系統動態行為的最少變數之集合。動態方程

式(Dynamic Equation) :

(1) 將狀態變數的微分值表示成所有狀態變數與所有輸入變數的線性組合，稱之

為狀態方程式(State Equation)。

(2) 將輸出值表示成所有狀態變數與所有輸入變數的線性組合，稱之為輸出方程

式(Output Equation)。

以上兩者合稱為動態方程式(Dynamic Equation)。馬達轉動方程式為

aa a a a E

diE R i L Kdt

ω= + + (2-3-1)

且反電動勢 ( )cE t 等於角速度 ( )tω 與反電動勢常數 EK 之乘積

( ) ( ) ( )c E Ed t

E t K K tdtθ

ω= = (2-3-2)

而角速度為角位移之一次微分

( ) ( )d ttdtθ

ω = (2-3-3)

將轉動方程式移項後為

( ) ( ) ( ) ( )1 1a aa a ca a a

di t RE t i t E tdt L L L

= − − (2-3-4)

馬達驅動後，轉子之轉動慣量 Jm與摩擦係數D及負載 ( )LT t 之關係方程式為

14

( ) ( ) ( ) ( )m Ld t

J T t D t T tdtω

ω= − − (2-3-5)

而轉矩 ( )T t 等於轉矩常數 TK 與電樞電流 ( )ai t 之乘積

( ) ( )T aT t K i t= (2-3-6)

將驅動後之關係方程式移項後為

( ) ( ) ( ) ( )1 1 Lm m m

d t DT t t T tdt J J Jω

ω= − − (2-3-7)

綜合上述各項一階微分方程式(First-Order O.D.E)建立狀態方程式(State Equation)

( ) ( ) ( ) ( )1a a Ea aa a a

di t R KE t i t tdt L L L

ω= − − (2-3-8)

( ) ( )d t tdtθ

ω=

( ) ( ) ( ) ( )1T a Lm m m

d t K Di t w t T tdt J J Jω

= − − (2-3-9)

將馬達之輸出轉速 ( )tω 建立輸出方程式(Output Equation)

( )tω =Output (2-3-10)

利用狀態方程式(State Equation)及輸出方程式(Output Equation)建立動態方

程式(Dynamic Equation) ，其中先另.x Ax Bu= + ， y Cx Du= + 為動態方程式

(Dynamic Equation) ， A、B、C 和 D 為向量或矩陣，A 為系統矩陣，B 為輸入

矩陣，C 為輸出矩陣，D 為直接傳輸矩陣。

15

對於具有 p 個輸入，q 個輸出，及 n 個狀態變數的線性非時變系統，吾人可

以定義輸入,輸出與狀態變數為向量為列矩陣(Column Matrices)形式

1

2

( )( )

( )

( )p

u tu t

U t

u t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

1

2

( )( )

( )

( )q

y ty t

Y t

y t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

1

2

( )( )

( )

(n

x tx t

X t

x t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

A 為 n×n 階系統矩陣(System Matrix)

11 1

1

n

n nn

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

M O M

L

B 為 n×p 階輸入矩陣( Input Matrix )

11 1

1

p

n np

b bB

b b

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

M O M

L

C 為 q×n 階輸出矩陣( Output Matrix )

11 1

1

n

q qn

c cC

c c

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

M O M

L

D 為 q×p 階直接傳輸矩陣( Direct Transmission Matrix )

11 1

1

p

q qp

d dD

d d

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

M O M

L

16

動態方程式可用於單輸入單輸出系統，亦可用於多輸入多輸出系統。若系統

為非時變系統，則 A、B、C、D 均為常數(Constant)矩陣。動態方程式的示意方

塊圖為，

圖 2.3.1 動態方程式的示意方塊圖

再將動態方程式以狀態空間矩陣實現之，

( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( )

100

0 0 1 0 00 10

aa E

aa a a

a L

T

mm m

di t R Kdt i tL L L

d tt E t T t

dtK D td t

JJ Jdt

θθ

ωω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(2-3-11)

( )( )( )( )

[0 0 1]ai t

t t

t

ω θ

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2-3-12)

+

+

+

+ U Y

D

B ∫ C

A

17

第三章 Simulink 模擬

3.1 Simulink 簡介

Matlab 這套軟體之所以普遍被世界各國研究人員喜愛的地方就是它擁有當

今最新科技理論的軟體搭配，這些由各頂尖學者、科學家所寫成的程式集，在

Matlab 環境中稱這些程式集為工具盒(Toolboxes)。方塊模擬器(Simulink Tool -

box)—把信號與系統用方塊圖(Block diagrams)方式結合，表現在 Simulink 視窗

上。進一步可以模擬時間反應(Simulation)、做穩定性分析(Stability test)、頻率分

析(Frequency analysis)、等值系統數學模式(Complete or equivalent math. Model)或

線性化(Linearization, Trim condition)等事。方塊圖是表現系統的簡潔方法，它明

顯地展示出輸入、輸出及系統內部的關係[6][7]。Simulink 就是具體實現方塊圖

的最佳程式。Simulink 可使任何學習控制的人用方塊圖快速建立動態系統的模

塊，不論系統是線性或者非線性。

3.2 建立馬達 Model

當馬達的狀態空間建立後，接下來就開始著手模擬。首先，先在

Simulink 下開啟新的 Model，然後把狀態空間的Ａ矩陣之第一列取拉式

轉換 [8]，得 (3-2-1)式。

1( ) ( ) ( ) ( )a Ea a aa a a

R KsI s E s I s W sL L L

= − − (3-2-1)

根據 (3-2-1)式開始在 Model 拉方塊，依次將Ａ矩陣第二列及第三列

取拉式轉換可得 (3-2-2)式及 (3-2-3)式。

( ) ( )s s W sθ = (3-2-2)

1( ) ( ) ( ) ( )T a L

m m m

K DsW s I s W s T sJ J J

= − − (3-2-3)

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再依 (3-2-2)式及 (3-2-3)式，把整個系統 Model 建構完全，則初步完

成了馬達未加入控制器的整個系統 Model。如圖 3.2.1 所示

圖 3.2.1 未加入控制器之馬達 Model

此時，我們加入控制器把輸入電壓取代，可得圖 3.2.2，

圖 3.2.2 加入控制器之馬達 Model

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則我們可以依據表 1.2.1 之馬達參數開始著手模擬。

3.3 數值之模擬結果

根據表 1.2.1 的馬達參數帶入未加入控制器之馬達 Model，如圖 3.2.1，

可模擬出結果如圖 3.3.1，在穩態的轉速維持在 149.0 6(Rad/Sec)，剛好

界於表 1.2.1 的最高轉速與額定轉速之間，所以此結果屬合理範圍。

圖 3.3.1 未加入控制器之馬達轉速圖

將控制器加入馬達後，如圖 3.2.2，假設參考輸入 (Reference Input)等

於 100(Rad/Sec)， PK =1， 0I DK K= = 進行模擬，結果如圖 3.3.2 所示。

20

圖 3.3.2 加入控制器之馬達轉速圖

我們由圖 3.3.2 結果可知，當我們輸入 100（Rad/Sec）時，而輸出

卻只有 68.044(Rad/Sec)，顯然跟我們預期有一段很大的落差，因此我們

如給予系統一命令，系統的輸出不可能等於輸入的命令，所以我們以下

開始介紹，如何調整控制器之參數值來達到我們期望，以及調整各控制

器參數值對系統之影響來分別作討論。

3.3.1 調整 PK 值對系統之影響

當我們施予馬達外加負載 0.12(Kg．m)時，分別對有加入 PK 控制器及無加

入 PK 控制器來進行模擬，加入的 PK 控制器值大小，假設為 20，結果如圖 3.3.3

所示之。

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圖 3.3.3 加入控制器與未加控制器之馬達轉速比較

如上圖 3.3.3 所示結果，我們可以知道，當系統 PK 值調大時，可以減少上

升時間，而當僅有比例控制時，系統輸出會存在穩態誤差(Steady-state error)，且

無法完全消除外界所加入的固定擾動。

3.3.2 調整 PK 和 IK 值對系統之影響

在圖 3.3.3 可知單只有 PK 控制器時，無法消除穩態誤差，如須消除穩態誤

差時，必須加入 IK 控制器，才得以消除，我們繼續將上例加入 IK 控制器，來加

以比較，得到結果如圖 3.3.4 所示，可知加入 IK 控制器後的穩態誤差隨著時間的

增長而越來越小。

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圖 3.3.4 PK 控制器和 PK ， IK 控制器馬達轉速比較

3.3.3 調整 PK 和 DK 值對系統之影響

微分控制器 DK 主要是降低系統的過擺，也就是讓系統的贊態響應的穩定度

增加，但是，不能消除穩態誤差，我們將 PK 控制器和 PK ， DK 控制器來分析比

較，如圖 3.3.5 結果，所以 PD 控制器的優點是使系統的反應速度變快，而且使

系統的暫態響應更趨近於穩定，而不至於系統加快後暫態穩定度而受到影響。

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圖 3.3.5 PK 控制器和 PK ， DK 控制器馬達轉速比較

24

第四章 PID 參數值最佳化

4.1 Ziegler-Nichols Tuning Method ZIEGLER-NICHOLS 於 1940 年提出，其控制器的增益調整，我們將由下例

來舉例說明，之後不管遇到任何系統，只要找出系統的 UK 和 UP 值，套入 PID 控

制器增益之調整與設定表即可完成最佳化目的[9][10]。

Step1 : 加入 PID 控制器於控制系統中，將 PID控制器轉移函數改寫成下列形式，

PK :比例增益、 IT :重置時間(Rest Time)、 DT :微分時間(Derivative Time) 、1/ IT :

規零率。

( ) Ic P DKG s K K ss

= + +

1(1 )P DI

K T sT s

= + + (4-1-1)

Step2 : 將 PID 控制器的積分與微分動作暫時關閉( IT =∞, DT =0)，僅使用比例控制

動作，調整 PK 直到持續震盪的臨界穩定現象產生，此時臨界穩定的增益 PK 稱之

為極限增益(Ultimate Gain) UK ，持續震盪的震盪週期稱之為極限週期(Ultimate

Period) UP 。

Step3 : PID 控制器增益之調整與設定表

表 4.1.1 PID 控制器增益之調整與設定表

種類\參數 PK IK DK

P 0.5 UK ∞ 0

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PI 0.45 UK UP /1.2 0

PID 0.6 UK 0.5 UP 0.125 UP

假設一開路系統為 G(s)=1/ ( )( )1 5s s s+ + ，我們利用 Ziegler-Nichols 調整法，設計

一個 PID 控制器。例特性方程式為 ( )sΔ = 3s + 26s + 5 0Ps K+ = 利用羅斯準(Routh-

Hurwitz Criterion)判斷此系統特性方程式之臨界穩定值

3s 1 5

2s 6 PK

s 306

PK−

0s PK

當 PK =30 時(發生臨界穩定)輔助方程式2( ) 6 30 0A s s= + = ，解得 5s j= ± ，所

以 UP =2 / 5π sec，根據調整與設定表計算，得 PID 控制器轉移函數

1( ) (1 )c P DI

G s K T sT s

= + +

1 218(1 0.125 )2 50.5

5

ss

ππ

= + +×

5 0.2518(1 )

5s

sπ

π= + +

220.2518( 5 )

5s s

s

ππ

π

+ +=

26

25.73(1.103 3.14 2.236)s s

s+ +

=

26.32 ( 2.84 2.207)s s

sπ + +

=

2( 1.42)6.32 ss

+= (4-1-2)

4.2 參數最佳化之模擬結果

跟據 ZIEGLER-NICHOLS 理論，只要找到 UK 和 UP 的值就能找出 PID 的各

個參數值，因此，我們將馬達的轉移函數求出，畫出根軌跡後，便能找出我們所

要的 UK 和 UP 值，我們由（4-2-1）式來求出馬達根軌跡。

2

( )( )( ) ( )

E T

a a m a m a a

K KsG sE s L J s L D J R s R Dω

= =+ + +

(4-2-1)

經(4-2-1)式求出根軌跡如圖 4.2.1，

圖 4.2.1 電壓對角速度根軌跡圖

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很明顯的，電壓對轉速轉移函數屬於二階系統，根軌跡不會和虛軸有交點，因此

我們另尋方法使其根軌跡通過虛軸與之相交，吾將（4-2-1）式之電壓對角速度

轉移函數等效於電壓對角位移轉移函數，如此，系統的階數增加一階，便可使根

軌跡與虛軸相交，（4-2-1）式經轉換後變成（4-2-2）式，

3 2( )( )( ) ( )

E T

a a m a m a a

K KsG sE s L J s L D J R s R Dsθ

= =+ + +

(4-2-2)

將（4-2-2）式畫出根軌跡如圖 4.2.2。

圖 4.2.2 電壓對角位移根軌跡圖

接下來我們可以利用指令，[6][7]找出根軌跡與虛軸相交的 K 值和頻率 s

(Rad/Sec)，程式如下：

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>> n=[KD kt];

>> d=[jm*la (jm*ra+la*d) (ra*d+ke*kt) 0];

>> G=tf(n,d);

>> step(G)

>> rlocus(G);

>> zoom on;

>> [k p]=rlocfind(G)

此時，程式跑出根軌跡如圖 4.2.3，因為吾人須找出根軌跡與虛軸交點，所以利

用滑鼠在跟軌跡與虛軸交點間按滑鼠左鍵，則程式會自動找出交點的座標，跑出

來的圖如下。

圖 4.2.3 根軌跡找Ｋ值圖

由圖 4.2.3 上所找到的根軌跡和虛軸交點即是我們要找的 K 值，上面的程式

碼即告訴我們 K 值大小為 199.6068，以及頻率大小 s=139.58 (Rad/Sec)，因此，

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我們要找的 UK =K＝199.6068， UP =2π/139.58=0.045，此時，只要將 UK 和 UP 乘以

某個倍數代入控制器中即可達到最佳化目的。

4.2.1 Ｐ控制器參數最佳化

由上一步驟已知 UK =Ｋ＝199.6068，又 PID 控制器增益之調整與設定表告

訴我們， PK 值須設為 PK ＝0.5× UK =0.5×199.6068=99.8034，則我們將此時的 PK

值代入控制器中，進行模擬，可得圖 4.2.4。

圖 4.2.4 pK 參數最佳化之馬達轉速圖

4.2.1 PI 控制器參數之最佳化

同樣上一步驟，找到最佳化 PK =0.45× UK =0.45×199.6068=89.8231， IK =

PK ÷( UP ×1.2)= 89.8231÷(0.045×1.2)=1663.4，把參數代入 model 中模擬，可得圖

4.2.5，如下圖。

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圖 4.2.5 pK ， IK 參數最佳化之馬達轉速圖

由圖 4.2.4 及圖 4.2.5 可以看出，兩個圖之變化不是說非常的明顯，原因可

由第貳部分的 IK 值作解釋，因為經計算出來後的 IK 值很小，所以必須經過非常

長的時間才得以看出系統最後趨近於穩定，所以變化才會如此不明顯，這也說明

了，ZIEGLER-NICHOLS 兩位大師，不管用何種控制器，都能達到系統最佳化之

效果。

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第五章 S-Domain 驗證

5.1 各參數值之時域和頻域比較圖

在這章之前，都是以時域 (T-Domain)來做模擬分析，比較是否有與

書本上的理論所講一致，綜觀之前的分析結果，我們都得到合理的印證，

而在本章則開始來介紹頻域 (S-Domain)的分析方法，然後來進行模擬，

其結果又是否與時域產生一致性，這是本章節大概介紹的重點。

在本章模擬的數據及參數，依然會連用前章節所用，這樣分析結果

才不會有偏差存在，接下來我們依前面章節所模擬過程，把它另外寫成

程式，分析比較的項目可分為下列幾種情形：

5.1.1 P 控制器參數最佳化

承上一章第壹部分計算，算出最佳化 pK 值等於 99.8034，我們將此值分別代

入 2 個不同程式來模擬，結果如圖 5.1.1 所示，可以清楚看出兩個圖型相互重疊，

顯示出在 T-Domain 的結果和 S-Domain 分析可以互相來印證，雖然用不同方法

來分析，但結果必須相同的道理，在這個討論中得到了呼應。

圖 5.1.1 T-Domain 和 S-Domain 之 P 控制器比較

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5.1.2 PI 控制器參數之最佳化

一樣承造上個步驟，把 PK =0.45× UK =0.45×199.6068=89.8231， IK = PK ÷

( UP ×1.2)= 89.8231÷(0.045×1.2)=1663.4 代入不同的程式中來比較，結果如圖

5.1.2。因為此分析步驟只是要確定兩個圖形是否一致，所以取樣時間很短，以

便看清楚圖形的暫態變化，至於穩態部分，已在第三章第二節的第貳部份做分

析，當加入 IK 控制器時，取樣時間趨近於無線大時，穩態誤差會趨近於零，而

這個理論在這部份模擬也是會成立的。

圖 5.1.2 T-Domain 和 S-Domain 之 PI 控制器比較

5.2 結果討論

從以上結果可知，不管從何種方法下去模擬系統，所得到結果都能一致，

因此兩個方法都能用，但兩種方法在適用上還是有點差別在，首先用時域方法分

析時，能分析的範圍較為廣泛，不限定為線性系統或非線性系統，因此，此一方

法能較為廣泛適用，但是，頻域（S-Domain）則只能限定為線性系統來分析，若

是為非線性系統時，則必須在系統中找一平衡點作線性化動作，才能作（S-Domai-

n）分析，但很可惜的是在這自然界並沒有所謂的線性系統，我們所接觸到的線

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性系統都是經過線性化的動作後的系統，而線性系統最大好處是比非線性系統分

析較為容易，所以兩者分析方法來說，各有優缺點，要選擇哪一個來分析，取決

於系統，如果是線性系統，以（S-Domain）分析較為簡單，但若遇到非線性系統

時，則以（T-Domain）分析較為方便。

這次選用的模擬系統剛好為二階系統，所以就沒有不穩定的問題而需要 PID

控制器來作控制，真正需要用 PID 控制器時機是系統處於臨界穩定或不穩定時來

加以控制，不然其實一般二階系統只需用 PI 或 PD 控制器來控制即可，三階以

上才需考慮使用 PID 控制器。

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第六章 結論

本次專題的目的，就是在馬達轉速的控制，因此如何讓馬達快速且準確到達

我們所下的命令，便即是我們的目標。在這一年的製作過程中，我們經歷了許多

大大小小的問題，從馬達數學模型的建立，到時域以及頻域的分析，這階段最難

的就是找到很多組相關的數據卻很多都不合適，但最終還是解決了。然後進入

Simulink 的動態模擬，由於先前我們都有修過系統模擬的課程，所以在建立方塊

圖以及各項參數設定方面並沒遇到什麼問題，但是我們發現市面上 Simulink 的

教學書籍真的非常少，最終還是在舊書攤才找到的。在這階段的過程中，原先我

們先從 s 領域下手，但指導老師強烈建議我們先從 t 領域下手模擬，並且也讓我

們了解了 s 領域只適用於線性非時變的系統，但實際上系統大多是非線性的，所

以先用近代控制理論中的狀態空間去模擬，然後在 s 領域來做驗證為最佳。接下

來是加入 PID 控制器後的模擬，其實整個專題最難的地方就在這裡，因為在 t 領

域中每條微分方程式都是環環相扣的，若要加入新的方塊進去必須要再重新修正

才行，再來就是 PID 控制器的增益調整，我們在使用單一控制器時，表現出來的

行為是跟理論相同，但是在 PID 一起加入後整個圖形就變了很多，所以在參數調

整方面我們就想起了先前線控所學的 Ziegler-Nichols 調整方法，結果不出所料的

改善了我們的問題。在 s 領域驗證方面，我們參考了許多相關的書籍，也學會了

許多 Matlab 應用在控制系統中的指令及語法，在 s 領域及 t 領域互相比對以及除

錯後，完成了本次的專題。

製作完本次的專題後，我們了解到 PID 控制器每個都有單獨的優點跟缺點，

但是在控制系統中卻缺一不可，必須將各個控制器的優點發揮到極致，將缺點降

到最低，也就是要一組最佳化增益參數，方能將整個系統改善。在這一年的製作

過程中，每一個階段都碰到了許多問題，後來都慢慢的解決。與其說學會了如何

控制馬達，不如說學會了正視問題以及解決問題，這對於未來若想要從事更高深

的研究或是在往後工作職場上的學習態度及工作態度有很大的幫助。

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參考文獻

[1] 陳文耀，電動機控制工程，復文書局，2003。

[2] http://pemclab.cn.nctu.edu.tw/peclub/W3cnotes/cn05/index.htm-

#sec04

[3] 張碩，自動控制系統，鼎茂圖書出版有限公司，2001。

[4] 賴騰憲，黃國龍，馬達控制，逢甲大學自動控制工程學系學士論文，2004。

[5] 張岑瑋，張恩焌，彭子昂，直流馬達伺服控制 ，逢甲大學自動控制工程

學系學士論文，2004。

[6] 周鵬程，Matlab程式語言入門[智慧型計算概論]，全華科技，2004。

[7] 張智星，Matlab 程式設計[入門篇]，清蔚科技、鈦思科技，2004。

[8] 黃英哲，控制系統模擬，五南圖書出版有限公司，2000。

[9] Ogata，Modern Control Engineering，俊傑圖書公司，1999。

[10] Franklin ,Feedback Control Of Dynamic Systems ,Prentice Hall,2002。