dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice, d ...€¦ · Dynamika I, 2. přednáška m – hmotnost [kg] ma F⋅=∑ i v r a – zrychlení [m/s2] F – síla [N] základní pohybová

Dynamika I, 2. přednáška

Obsah přednášky :

dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,

d’Alembertův princip,

dva druhy úloh v dynamice,

zákony o zachování / změně

Doba studia :

asi 1 hodina

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními zákonitostmi dynamiky bodu


m – hmotnost [kg]

m a Fi⋅ = ∑v r

a – zrychlení [m/s2]F – síla [N]

základní pohybová rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

Dynamika hmotného bodu

a

m·a = F

Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

Základní pohybová rovniceurčuje vztah mezi silami,působícími na hmotný objekt,a pohybem, těmito silami způsobeným.


m a Fi⋅ = ∑v r

základní pohybová rovnice

Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

α

fm

G

F

N

Ty

xa

TNFGFam i

rrrrrv +++==⋅ ∑

G, F - akční sílyN - normálová reakceT = f·N - třecí síla

TFGFam xix −α⋅−α⋅==⋅ ∑ cossinfNFGam ⋅−α⋅−α⋅=⋅ cossin

0FGNFam yiy =α⋅−α⋅−==⋅ ∑ sincosay = 0

ax = a

α⋅+α⋅= sincos FGN( )α⋅+α⋅⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin FGfFGam

( ) ( )α⋅+α⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin fFfGam

vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí

Základní pohybová rovnicemá na pravé straně všechny působící síly.

Vektorovou rovnici rozložíme na složky dle zvoleného souřadného systému.

Vyloučením reakcí získámetzv. vlastní pohybovou rovnici.


m a Fi⋅ = ∑v r

Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

přímý (Newtonův) způsob sestavenípohybové rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,kdy na levé straně rovniceje součin hmotnosti a zrychlení,a ten je na pravé straněroven součtu působících vnějších sil,říkáme přímý, nebo též Newtonůvzpůsob sestavení pohybové rovnice.

Dynamika I, 2. přednáškaDynamika hmotného boduAlternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).

m a Fi⋅ = ∑v r

0amFi

rvr=⋅−∑

Damrv =⋅−

0DFi

rrr=+∑

d’Alembertův principamD vr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

1.

2.

a

mF D

F - D = 0 D = m·am·a = F

Součin hmotnosti a zrychlenípřevedeme na opačnou stranu rovnice.

Zavedeme substituci.

Takto vzniklá rovnicemá formálně charakter rovnice rovnováhy.

Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.Můžeme jej rozložit do dvou kroků :1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.

Její velikost je rovna součinuhmotnosti a zrychlení.Její směr je opačný než je směr zrychlení.

2. Silová soustava vnějších sil, doplněná od’Alembertovu sílu, je v rovnováze.Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.Po dosazení D=m·apak dostáváme pohybovou rovnici.



⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

1.

2.

mF

a

D

F - D = 0 D = m·am·a = F

Poznámka k filosofii mechaniky.D’Alembertova síla ve skutečnosti neexistuje.Jestliže při jízdě autem šlápneme na brzdunebo jedeme do zatáčky,zdá se nám, že pociťujeme sílu,která nás tlačí kupředu, resp. do strany.To je právě ona d’Alemberova síla.

Ve skutečnosti žádná taková síla neexistuje,jde pouze o subjektivní pocit.Ve skutečnosti se naše tělo „chce“pohybovat rovnoměrně přímočaře,zatímco přední sklo se na nás „tlačí“ zepředu,resp. dveře auta zboku.Tato skutečnost se nám pouze subjektivně jevíjako by na nás působila d’Alembertova síla.

Přestože d’Alembertova síla neexistuje,postup zde uvedený je samozřejměv plném rozsahu správný.


m a Fi⋅ = ∑v r

Dynamika hmotného boduAlternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).


⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

D - d’Alembertova síla, dynamická síla,doplňková síla, setrvačná síla.

Působí proti směru zrychlení, její velikost je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.

1.

2.

mF

a

D

přímý (Newtonův) způsob sestavenípohybové rovnice

F - D = 0 D = m·am·a = F

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Oba tytopostupy

jsousamozřejmě

správné,ale

nesmí senavzájem

kombinovat!

m·a = F-D



⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

1.

2.α

f

y

xa

m

G

F

N

T

D

amD ⋅=amD vr

⋅−=1.

2. 0Fi

rr=∑

0DfNFGDTFGFxi =−⋅−α⋅−α⋅=−−α⋅−α⋅=∑ cossincossin

0Fxi =∑ 0Fyi =∑

0FGNFyi =α⋅−α⋅−=∑ sincosα⋅+α⋅= sincos FGN

( ) 0DFGfFG =−α⋅+α⋅⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin( ) ( ) 0DfFfG =−α⋅+α⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin amD ⋅=( ) ( ) 0amfFfG =⋅−α⋅+α⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin


Proti směru zrychlenízavedeme d’Alembertovu sílu.

Sestavíme rovnice rovnováhy.


úloha 1. druhu - kinetostatická úloha 2. druhu - dynamickáje dán požadovaný pohyb, zrychlení avypočtěte sílu F=?, potřebnou k dosažení požadovaného pohybu

( )α⋅+α

⋅−α⋅−α⋅=

sincoscossinf

amfGF

je dána síla F

vypočtěte jak se těleso bude pohybovat a=?

( ) ( )m

fFfGa α⋅+α⋅−α⋅−α⋅=

sincoscossin

amD ⋅=rovnice rovnováhy - algebraické

sa &&=rovnice diferenciální

0Fi =∑

α

m

G

F f

Na

y

x

T


dva druhy úloh v dynamiceDynamika hmotného bodu


m a F⋅ =r r r

r

a dvdt

=

Fdtvdm

rr

=⋅

( )d m vdt

F⋅

=r

r

( )d m v F dt⋅ = ⋅r r

( )d m v m v m v F dtm v

m v t

⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅⋅

⋅

∫ ∫r r r r

r

r

0

1

1 00

r rp m v= ⋅

( )r rI F dtt

t

= ⋅∫0

Δr r r rp p p I= − =1 0

hybnost hmoty

impuls síly

[kg·m·s-1]

[N·s ≈ kg·m·s-1]0pr

pr

Δppp 01rrr

Δ+=

zákon o změně hybnosti

Zákony o změněÚpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit impuls sílyjednodušeji : tFI ⋅=

rr

01 ppprrr

−=ΔZměna hybnostiznamená změnu velikosti,změnu směru nebo obojí.

Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.

Dynamika I, 2. přednáškar r rL r p= ×

( )∫ ⋅=t

0tM dtMI

rr

r r rM r F= ×

moment hybnosti (točivost) [kg·m2·s-1]

impuls momentu [N·m·s ≈ kg·m2·s-1]

moment síly [N·m]

M01 ILLLrrrr

=−=Δ zákon o změně momentu hybnosti

Zákony o změně

rr polohový vektor [m]


m a F⋅ =r r ( )

dsvd

21a

2

⋅=

( ) Fdsvd

21m

2

=⋅⋅

( ) Fds

vmd 221

=⋅⋅

( ) dsFvmd 221 ⋅=⋅⋅

( ) ∫∫ ⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ s

202

1212

1vm

vm

221 dsFvmvmvmd

212

1

202

1

221

K vmE ⋅⋅=

∫ ⋅=s

dsFAr

kinetická energie

práce

[J ≈ kg·m2·s-2]

[N·m ≈ kg·m2·s-2]

AEEE 0K1KK =−=Δ

zákon o změně kinetické energie

Zákony o změněÚpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit prácijednodušeji :

Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.

sFArr

⋅=


∫ ⋅=s

dsFAr

skalární součin

δ⋅⋅=⋅= cossFsFA rr

Fr

δ sr

NFr

PFr

Fr

δ sr

δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN

pracovní složka síly nepracovní složka síly

sFsFA P ⋅δ⋅=⋅= cos

kladná práce – práce vykonaná

°>δ 90

°<δ 90

záporná práce – práce spotřebovaná

Zákony o změně

0=δ 10

°=δ 90

=cos

090 =°cos práce se nevykonává

( ) 090 <°>δcos1180°=δ 180 −=°cos

práce Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :

K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :

0sFA >⋅=→

0sFA >δ⋅⋅=→ cos0A =→

0sFA <δ⋅⋅=→ cossFA ⋅−=→


P dAdt

F dsdt

F v= =⋅

= ⋅r r r r

výkon

[N·m·s-1 ≈ W]

Zákony o změně

∫ ⋅=s

dsFAr

práce [N·m ≈ kg·m2·s-2]

δ

δ

PFr

NFr

Fr

Fr

vr

vr

δ⋅⋅=⋅= cosvFvFP rr

δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN

vFvFP P ⋅δ⋅=⋅= cos


potenciální energieAsdFEs

P =⋅= ∫rr

hgmdygmdygmdyFAh

0

h

0

h

0

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫gmGF ⋅==y 21

0EP

3

=zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

Zákony o změně

hgmEP ⋅⋅= potenciální energie (polohová)

G

F=Gm

Potenciální energie je rovna práci,kterou musíme vykonat,abychom těleso přemístiliz jedné polohy do druhé.

K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním polipráce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly Fvždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)nazýváme konzervativní silové pole.

Potenciální energie je spojenas polohou tělesa nad povrchem Země.

G

F=Gm

G

F=Gm


G

F=Gm

Země R

y( ) ( )2

2

22 yRRgm

yRmM

rmMG

+⋅⋅=

+⋅

⋅κ=⋅

⋅κ=

κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země,r - vzdálenost od středu Země,y - výška nad povrchem Země.

0EP =


P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

na povrchu Země platí :

22 RgM gm

RmMG ⋅=⋅κ⇒⋅=

⋅⋅κ=

Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,nejsou konstantní.

( )∫ ⋅=h

0y dyFA

Práci je tedy třeba určit integrálem.


Země R

y

( ) ( )∫∫ ⋅+⋅

⋅κ=⋅=h

02

h

0y dy

yRmMdyFA

( ) hRRhgm

hRRhmMA

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅⋅κ=0EP =


P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−⋅⋅⋅κ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅⋅⋅κ=

hR1

R1mM

yR1mMA

h

0

E m g h RR hP = ⋅ ⋅ ⋅

+

pro h«R 1hR

R≅

+

hgmEP ⋅⋅≅

potenciální energie (polohová)

AEP =potenciální energie je rovna této práci

Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :

G

F=Gm

2RgM ⋅=⋅κ



P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

y

F

F = k·y

yFykdyykdyFA 212

21

y

0

y

0

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫yFykE 2

1221

P ⋅⋅=⋅⋅=

k - tuhost

potenciální energie (deformační)

JE3Fy

3

⋅⋅⋅

=l l - délka nosníku,

E - modul pružnosti v tahuJ - moment setrvačnosti

3

JE3kl

⋅⋅=

Potenciální energie nemusí být spojena vždy jens polohou hmotného objektu nad povrchem Země.

Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.

Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·y není konstantní.Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.Práci je tedy třeba určit integrováním :

AEP =Potenciální energie je spojenas deformací poddajného objektu (nosníku).

Dynamika I, 2. přednáškazákon o zachování celkové mechanické energie

konst=+= PKC EEE

m

h

v0 = 0EK0 = 0EP0 = m·g·h

EP1 = 0EK1 = ½·m·v1

2

konst=+= PKC EEE

1P1K0P0K EEEE +=+

0vmhgm0 212

1 +⋅⋅=⋅⋅+

hg2v1 ⋅⋅=

v1 ≠ 0

0EP =

Celková mechanická energie se zachovává.

Součet kinetické a potenciální energieje celková mechanická energie.Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává, nazýváme konzervativní soustava.

zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

Dynamika I, 2. přednáškazákon o změně celkové mechanické energie

α

v

AEE 0C1C +=

h

s

m

G

F

T N

EP1 = m·g·hEK1 = ½·m·v1

2

EP0 = 0EK0 = ½·m·v0

2

sTsFvm0vmhgm 202

1212

1 ⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ cos

hgmsTsFvm0vm 202

1212

1 ⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅ cos

mhgmsTsFvmv

21

202

1

1 ⋅⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅

=cos

konst≠+= PKC EEE

EC1 EC0 A

α⋅= sinsh

Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.

Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění, nazýváme nekonzervativní soustava.

(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)

α⋅+α⋅= sincos FGNNfT ⋅=


α

v h

s

m

G

F

T N

m

h

Způsob výpočtu dynamiky,založený na rozboru celkové mechanické energie,se nazývá energetická bilance.


Obsah přednášky :

dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,

d’Alembertův princip,

dva druhy úloh v dynamice,

zákony o zachování / změně

Documents

dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice, d ...€¦ · Dynamika I, 2. přednáška m – hmotnost [kg] ma F⋅=∑ i v r a – zrychlení [m/s2] F – síla [N] základní pohybová