DT Bölüm 7 RC RL Devreleri

ELEKTRİK DEVRELERİNE GİRİŞ

Bölüm 7: Birinci derece RL ve RC devrelerinin cevabıHazırlayan: Ertuğrul ErişReferans kitap:Electric Circuits, Nielsson, RiedelPearson, Prentence Hall,2007

Güncelleme 5: Aralık

Ekim 2007 Ertuğrul Eriş 2

RL RC DEVRELERİ (Birinci derece)(Response of first-order RL and RC Circiuts)

RL devresinin öz çözümü (natural response RC devresinin öz çözümü (natural response RL ve RC devrelerinin basamak fonksiyonuna

(anahtar+DC kaynak) cevabı Basamak ve öz çözümler birlikte tam çözüm Ardışıl anahtarlama (Sequential switching) Büyüyen cevap (Unbounded solution)


TERMİNOLOJİ Matematiksel açıdan

Homojen çözüm (homogenous solution): Kaynaklar (0) iken(devre dışı) bulunan çözüm parametreler hesaplanmamış

Özel çözüm (particular solution) Kaynaklar varken ki bir çözüm , kaynak yapısında tahmin edilerek bulunur Özel çözümün parametreleri hesaplanır

Genel çözüm (tam çözüm) =homojen çözüm+özel çözüm Homojen çözümdeki parametreler, tam çözümde ilk koşullar kullanılarak hesaplanır

Devre açısından Öz çözüm (Natural response): kaynaklar devre dışı, başlangıç koşulları varken ki çözüm

Parametreler ilk koşullarla hesaplanır. Zorlanmış çözüm (forced response):Kaynaklar varken fakat ilk koşullar (0) iken bulunan

çözüm Paremetreler (matematikseldeki tam çözümdeki gibi) hesaplanır

Genel Çözüm (tam çözüm) (General solution) =öz çözüm+ zorlanmış çözüm Parametre hesabı yok(daha önce yapıldı) yalnızca toplama yağılır. Nielsson ‘general solution’ diyor!!!

Karşılaştırma Devre açısından Zorlanmış çözüm, matematiksel açıdan homojen çözümle, özel çözümün

bir kısmını içerir; Devre açısından öz çözüm, matematiksel açıdan homojen çözümün bir kısmını içerir Periyodik kare dalga kaynağı uygulandığında, darbe boşluk zaman aralığındaki çözüm öz çözümdür.

İlk koşullar, darbe zaman aralığının son anında belirlenir.


DÖRT FARKLI BİRİNCİ DERECE RC/RL DEVRESİ


BASAMAK GERİLİM KAYNAKLI SERİ RL DEVRESİ MATEMATİKSEL ÇÖZÜM

L

Vti

L

R

dt

tdi

VRidt

tdiL

tbutaxtx

s

s

)()(

)(

)()()(

Birinci derece diferansiyel denklem

genel formu

tL

R

ojen

tojen

ceti

L

R

ceti

tiL

R

dt

tdi

)(

)(

)()(

hom

hom

R

Vti

AtiL

Vti

L

R

dt

tdi

sözel

s

)(

)(

)()(

çözüm hom

0

0

)0()(

)0(

)0(

)(

özel

s

çözümojen

L

Rs

tam

s

sL

R

sttam

R

Ve

R

Viti

R

Vic

R

Vcei

R

Vceti

Homojen çözüm + Özel çözüm çözüm = Tam çözüm


RL ve RC DEVRELERİ İÇİN ÖZ ÇÖZÜM (NATURAL RESPONSE)

Öz çözüm: Devrede kaynaklar yok, ilk koşullara bağlı çözümHomojen çözümden farkı nedir?

dt

tdiLtv

)()( )()(

1)( 0

0

tidvL

tit

t

dt

tdvCtİ

)()( )()(

1)( 0

0

tvdiC

tvt

t

2

2

1Cvw

2

2

1Liw


(L) ELEMANINDA I(O) AKIMI (İLK KOŞUL)NIN OLUŞTURULMASI

Anahtarın iki farklı konumu iki farklı devreyi temsil ediyor. Birinci konum ilk koşulun oluşumu sağlar. İkincisi bu ilk koşulun kaynak olduğu devredir.Matematiksel olarak göstermek mümkün ki lineer devrelerde, yeteri kadar zaman geçtikten sonra, devre elemanlarının akım ve gerilimleri kaynak fonksiyonları biçimndedir.


RL DEVRESİNİN ÖZ ÇÖZÜMÜ Bir doğru kaynaktan üzerine enerji

depolayan self elemanının, enerjisinin aniden(anahtar)bir direnç üzerinden boşalması=öz çözüm

Anahtar yeteri uzunlukta kapalı tutulursa, selften geçecek doğru akım selfi kısa devre

yapar, DC akım kaynağının akımının tamamı self

üzerinden akar is= i(0-), 0- anahtar açılmadan önceki self elemanın

akımı 0+ anahtar kapandıktan sonraki self akımı Başlangıç koşulu i(0)= i(0-)= i(0+),


RL DEVRESİNİN ÖZÇÖZÜMÜ(Natural Response)

0. t)1(2

1

:enerjiharcanan elemanılem Direnç

0 t Re

)0(

0)0(

)0()0()0(

sabiti)aman constant(z timeτ

e(t)

)/(22

)/(22

0

0

-(R/L)t0

tLRo

tLRo

eLiw

ip

Riv

v

ıiii

R

L

ii

(0) anındaki gerilim belirsiz, oysa akım belli: Güç 0 + dan itibaren, enerji 0 dan itibaren tanımlı


RL DEVRESİNİN ÖZÇÖZÜMÜ (Natural

Response) ve ZAMAN SABİTİ (Time Constant)

τ = zaman sabiti= L/R

Zaman sabiti için boyut analizi


ÖRNEK1

iL(t)= 20 e-5t A t≥0; i0= -4 e-5t A ; v0= -160 e-5t V; p 10Ω= 2560 e-10t t≥0+; W 10Ω=256 J.t≥0


ÖRNEK2

i(t)=12e-2t t≥0; v(t)=96e-2t t≥0+;i1(t)=1.6 – 9.6e-2t A. t≥0 ;i2(t)=-1.6 – 2.4e-2t A. t≥0 ;i3(t)=5.76 e-2t A. t≥0+ ; Anahtar kapalı iken enerji:W=320 jouleAnahtar açıldıktan sonraSelflerde harcanan enerjiW=32 joule,Dirençlerde harcanan enerjiW=288 Joule.

2

2

1Liw


ÖRNEK 3

iL(0)= - 12.5 A; WL initial=625 mJ; τ = 4 ms; iL(t)= - 12.5e-250t A;


ÖRNEK 4

V0 = - 8e-10t V , t≥ 0


(C) ELEMANINDA V(O) GERİLİMİ (İLK KOŞUL)NİN OLUŞTURULMASI

Kapasite elemanını doğrudan bir bağımsız gerilim kaynağına bağlarsak ne olur, bağlayabilirmiyiz?Self elemanını doğrudan bir bağımsız akım kaynağına bağlarsak ne olur, bağlayabiirmiyiz?


RC DEVRESİNİN ÖZÇÖZÜMÜ(Natural Response)

0. t)1(2

1

:enerjiharcanan Dirençte

0 t

e(t)

/)0(

0)0(

)0()0(

sabiti)aman constant(z timeτ

)/1(22

)/1(22

(1/RC)t-0

0

0

tRCo

tRCo

eCvw

eR

vp

vv

Rvi

i

vvv

RC

Kapasite elemanına tutulunca,bazen elektrik çarpması oluyor?

(0) anındaki akım belirsiz, oysa gerilim belli: Güç 0 + dan itibaren, enerji 0 dan itibaren tanımlı


ÖRNEK

vc(t)= 100 e-25t V; v0 (t) = 60 e-25t V ; i0= e-25t mA; p 60kΩ= 60 e-50t mW t≥0+ ; W 60kΩ=1,2 mJ


ÖRNEK 2

t)RC/(e)(V)t(v 10

V(t) = 20 e -t V, t ≥ 0, i(t) = 80 e –t μA t ≥ 0+ ; v1(t) = (16 e –t – 20) V , t ≥ 0 ; v2(t) = (4 e –t + 20) V , t ≥ 0W1 = 40 μJ , W2 = 5760 μJ


ÖRNEK 3

V(0-)= 200V; τ=20ms; v(t)=200e-50t V t≥0; WC(0)=8 mJ;

t)RC/(e)(V)t(v 10


ÖRNEK 4

t)RC/(e)(V)t(v 10

V0(t) = 8 e -25t + 4 e -10t V , t≥0


BASAMAK GERİLİM KAYNAKLI SERİ RL DEVRESİ (STEP RESPONSE OF RL)

tL

Rss eR

VI

R

Vti

)(

0 )()(

)ln(1

axdxax

Tam çözüm (general solution): homojen çözüm (homogenous solution) + özel çözüm (particular solution)Tam çözüm (general solution): Öz çözüm (natural response): kaynaklar devre harici ilk koşullar var +

zorlanmış çözüm(forced response): Kaynaklar devrede başlangıç durumu (0).

Tam çözüm:

tL

Rs e

R

V)t(i 1

Zorlanmış çözüm:

tL

R

eI)t(i

0

Öz çözüm:


BASAMAK GERİLİM KAYNAKLI SERİ RL DEVRESİ (STEP RESPONSE OF RL)

Tam çözüm (general solution): homojen çözüm (homogenous solution) + özel çözüm (particular solution)Tam çözüm (general solution): Öz çözüm (natural response): kaynaklar devre harici ilk koşullar var +

zorlanmış çözüm(forced response): Kaynaklar devrede başlangıç durumu (0).

çözüm hom

0)0()(

özel

s

çözümojen

L

Rs

tam R

Ve

R

Viti

çözümözel

s

çözümzorlanmıo

stL

R

tam R

Vi

R

Veti

)0(1)(


TAM / ZORLANMIŞ ÇÖZÜM (Forced solution)Self akımı

RL

I

eR

VI

R

Vti

tL

Rss

/

0

)()(

0

)(

0

Zorlanmış çözüm: Kaynaklar devrede başlangıç durumu (0).


TAM / ZORLANMIŞ ÇÖZÜM (Forced solution)Self Gerilimi

R

L

eRIVtvt

L

R

s

sabiti Zaman

0t )()()(

0

Zorlanmış çözüm: Kaynaklar devrede başlangıç durumu (0).


ÖRNEK

i(t) = 12+ (-8-12) e –t/0.1 A, t≥0.v(t) = 40 e –t10 V, t≥0.

Anahtarın a konumu ilk koşulu sağlar, b konumu ise kaynak ve ilk koşulun bulunduğu devreyi sağlıyor. Genel çözüm.


BASAMAK AKIM KAYNAKLI PARALEL RC DEVRESİ (STEP RESPONSE OF RC)

0 t ,)(

0t ,)(

/

/

RCtsc

RCtssc

eR

VIi

eRIVRIv

0

0

Genel çözüm: Kaynaklar devrede ve başlangıç durumu (0) dan farklıBaşlangıç durumu (0) alınırsa bu genel çözüm zorlanmış çözüm oluyor


ÖRNEK

V0 = - 60 + [30 – (-60)] e -100 t V t≥0; i0 = - 2.25e -100 t mA t≥0+.


SERİ RL ve SERİ RC İÇİN GENEL ÇÖZÜM

tRC

ss

tRC

ss

tRC

tL

Rss

zr

tL

Rss

tL

R

eVVV

eVV

ev

eR

Vı

R

Vi

eR

V

R

V

eI

)(

)(

zr

)(

ÖZ

)(

öz

)(

zr

)(

ÖZ

))(( v(t)

solution) general çözüm, (genel çözüm tam için gerilimi Kapasite

v

:çözüm zorlanmıo ingerilimiiç Kapasite

)(v

:çözüm öz için gerilmi Kapasite

))((i ı(t)

:solution) (General çözüm genel çözüm, Tam

i

Response) Step (Forced, çözüm zorlanmıo için akmı Self

)(i

:response) (natural çözüm öz için akıkı Self

1

1

1

0

0

0

0


TAM ÇÖZÜM ÖRNEK

VC= 90 + [ -30 – 90)] e -5 t V t≥0; i0 = 300 e -5t μA t≥0+.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

t

SERIAL RL CIRCUIT ANALYSIS (FIRST ORDER CIRCUIT)

Indu

ctor

's c

urre

nt il

(t)

Transient solution Particular solution(V/R)=0.5A

Transient solution Particular solution(V/R)=0.5A

Transient solution particular solution, steady state(V/R)=0.5 A

tc=1ms

(di/dt)+(R/L)i=(1/L)50(=Vs)R=100 ohmVs=50VL=0.1H; L=0.5H; L=1Htime constant(tc)=L/R

L=0.1 H

L=0.5 H

L=1 Htc=5ms

tc=10ms

SOLUTIONi(t) = il(0) e**-(R/L)t+(Vs/R)il(0)= 1A, initial condition


ZORLANMIŞ ÇÖZÜM ÖRNEK

Kaynak dönüşümü:Vc(t)= 150-150 e-200t Vİ(t)= 3 e-200t mAV(t) = 150-60 e-200t V


ZORLANMIŞ ÇÖZÜM ÖRNEK

İ(t) = 20- 15 e -1 2.5t A


RL/RC 1.DERECE DİF. DENKLEM RC/RL devre çözümü, 1. derece sabit katsayılı adi differansiyel

denklem çözümüne karşı düşer

Bağımsız değişken: zaman 1 tane olduğu için adi diff denklem, kismi türev yok

a sabit reel sayı Lineer süperpozisyon geçerli b kaynaklara karşı düşen bilinen

7. bölümde DC veya periyodik darbe kaynağı incelenecek RLC devre çözümü, 2. derece sabit katsayılı adi differansiyel

denklem çözümüne karşı düşer, bağımsız değişken sayısı yine zaman olup bir tanedir, türevin mertebesi artar.

)()()(

tbtaxdt

tdx


1.DERECE DİF. DENKLEMİN MATEMATİKSEL ÇÖZÜMÜ

Homojen (homogenous solution) çözüm: b(t) =0 iken bulunan çözüm

Homojen çözüm üstel (exponansiyel) fonksiyon bçimindedir: İki parametresi var: C ve s. (s) Denklemin homojen halinden hesaplanacak. C ise tam çözüm bulunduktan sonra ilk koşul ile hesaplanacak.

Özel çözüm (particular solution) = kaynak biçiminde olup bu denklemi sağlayan çözüm Örneğin kaynak DC kaynak ise bir sabit (hesaplanacak, özel çözüm) bu denklemi sağlar Örneğin kaynak sinüsoidal ise aynı frekanslı fakat genlik ve açısı (hesaplancak) farklı bir

fonksiyon (özel çözüm) bu denklemi sağlar.

Tam çözüm= Homojen + Özel çözüm Bu çözüm verilen denklemde yerine konulduğunda denklemi sağlar, yani çözümdür.

0 )()(

taxdt

tdx

)()()(

tbtaxdt

tdx

stCetx )(hom

Geçici rejim, çözüm neden?

Kalıcı rejim, çözüm neden? İlk koşulun oluşmasıını açıklaması!!!


1.DERECE DİF. DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ ÖZET

Matematiksel çözüm: Homojen çözüm

(homogenous solution) : b(t) =0 iken bulunan çözüm

Özel çözüm (particular solution) = kaynak biçiminde olup bu denklemi sağlayan çözüm

Tam çözüm= Homojen +

Özel çözüm.

)()()(

tbtaxdt

tdx

Devreler üzerinden çözüm: Öz çözüm (Natural

response): İlk koşul var, kaynaklar devre harici olan devrenin çözümü

Zorlanmış çözüm (Forced response): İlk koşul (0) fakat kaynaklar varken ki devrenin çözümü

Tam çözüm= Öz çözüm + Zorlanmış çözüm

Aynı denklemin farklı iki çözümü olur mu?


ARDIŞIL ANAHTARLAMA İÇİN ÖRNEK (Sequential switching)


ARDIŞIL ANAHTARLAMA İÇİN ÖRNEK

t<0

0≤ t ≤35 ms

t ≥ 35 msiL(t) = 6 e -40t A, 0 ≤ t ≤ 35 ms iL(35ms) = 1.48 A.iL(t) = 1.48 e – 60(t-0.035) A, t ≥ 35 ms


ARDIŞIL ANAHTARLAMALI ÖRNEK2

t < 0 anahtar (a)0 ≤ t ≤ 15 ms anahtar (b)15 ms < t anahtar (c)

v(t) = 400 + (0-400) e – 100t V 0 ≤ t ≤ 15 ms v(15ms) = 310.75 V.v(t) = 310.75 e – 200(t – 0.015) V 15ms ≤ t



v(t) = 80 e – 40t V 0 ≤ t ≤ 0.01 s v(10ms) = 53.63 V.v(t) = 53.63 e – 50(t – 0.01) V 10ms ≤ t

(1 ) anhtarı yeteri kadar kapalı tutulduktan sona açılıyor.



i(t) = 3 - 3 e – 0.5t A 0 ≤ t ≤ 1 s i(1s) = 1.18 A.i(t) = -4.8 + 5.98 e –1.25(t – 1) A t ≥ 1 s


BÜYÜYEN ÇÖZÜM (Unbounded response)

Rth= - 5 KΩ

V0(t) = 10 e 40t V t ≥ 0.

1 saniye sonra bu devrede ne olur?


INTEGRAL ALAN DEVRE

)t(vdyvCR

)t(vt

t

sfs

000

0

1

PROGRAM ÇIKTILARI

ÖĞRENİM PROGRAMI OLUŞTURULMASI

?ÖĞRENİM

PROGRAMI?

öğ anket

Öğ.anket

Ders öğ.

anket

Öğrenci Profili

BÖLÜM, PROGRAMÖĞRENCİ

YENİ ÖĞRENCİ

İyileştirme araçları

DIŞ PAYDAŞLAR

Öğ. elem

Yönetim,idare

İç Paydaşlar

ÖĞRENCİ, ÜRÜN

DEVLET, ÖZEL SEKTÖR

MEZUNLAR, AİLELER

MESLEK OD, NGO

SONUÇ: ULUSAL/ULUSLARARASI AKREDİTASYON

AB/ULUASAL

MEZUN ÖĞRENCİÇıktılar için veri top ve değerlendirme

ALAN YETERLİLİKLE

Rİ

BİLGİKnowledge

BECERİSkills

KİŞİSEL/ MESLEKİ YETKİNLİKLERCompetences

DIŞ PAYDAŞ GEREKSİNİMLERİ

ORYANTASYON

ORYANTASYON

PROGRAM ÇIKTILARIPROGRAM

ÇIKTILARI

PROGRAM

ÇIKTILARI

BLOOM’S TAXONOMYANDERSON AND KRATHWOHL (2001)

http://www.learningandteaching.info/learning/bloomtax.htm!!Listening !!

45

TÜRKİYE YÜKSEKÖĞRETİM ULUSAL YETERLİKLER ÇERÇEVESİ (TYUYÇ)

TYUYÇDÜZEYİ

BİLGİ- Kuramsal- Uygulamalı

BECERİLER- Kavramsal/Bilişsel- Uygulamalı

KİŞİSEL VE MESLEKİ YETKİNLİKLER

Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk

Alabilme Yetkinliği

Öğrenme Yetkinliği

İletişim ve Sosyal Yetkinlik

Alana Özgü ve Mesleki Yetkinlik

6LİSANS

_____

EQF-LLL:6. Düzey

_____

QF-EHEA:1. Düzey

- Ortaöğretimde kazanılan yeterliklere dayalı olarak alanındaki güncel bilgileri içeren ders kitapları, uygulama araç –gereçleri ve diğer bilimsel kaynaklarla desteklenen ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgilere sahip olmak

- Alanında edindiği ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanabilmek,

- Alanındaki kavram ve düşünceleri bilimsel yöntemlerle inceleyebilmek, verileri yorumlayabilmek ve değerlendirebilmek, sorunları tanımlayabilmek, analiz edebilmek, kanıtlara ve araştırmalara dayalı çözüm önerileri geliştirebilmek.

- Uygulamada karşılaşılan ve öngörülemeyen karmaşık sorunları çözmek için bireysel ve ekip üyesi olarak sorumluluk alabilmek,

- Sorumluluğu altında çalışanların mesleki gelişimine yönelik etkinlikleri planlayabilmek ve yönetebilmek

- Edindiği bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirebilmek, öğrenme gereksinimlerini belirleyebilmek ve öğrenmesini yönlendirebilmek.

- Alanıyla ilgili konularda ilgili kişi ve kurumları bilgilendirebilmek; düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini yazılı ve sözlü olarak aktarabilmek,

- Düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini nicel ve nitel verilerle destekleyerek uzman olan ve olmayan kişilerle paylaşabilmek,

- Bir yabancı dili kullanarak alanındaki bilgileri izleyebilmek ve meslektaşları ile iletişim kurabilmek (“European Language Portfolio Global Scale”, Level B1)

- Alanının gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı ile birlikte bilişim ve iletişim teknolojilerini kullanabilmek (“European Computer Driving Licence”, Advanced Level).

- Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, duyurulması ve uygulanması aşamalarında toplumsal, bilimsel ve etik değerlere sahip olmak,

- Sosyal hakların evrenselliğine değer veren, sosyal adalet bilincini kazanmış, kalite yönetimi ve süreçleri ile çevre koruma ve iş güvenliği konularında yeterli bilince sahip olmak.

ULUSAL LİSANS YETERLİLİKLER ÇERÇEVESİ

BLOOMS TAXONOMY

DEVRE TEORİSİ DERSİNİN ÖĞRENİM ÇIKTILARI

Dersi tamamlayan öğrenciler devre teorisinin akım, gerilim, güç, Kirşof’un

aksiyomları, eşdeğer devreler gibi temel kavramlarını öğrenecekler,

‘Çevre Akımları’ ve ‘Düğüm Gerilimleri’ yönemleriyle resistif devreleri çözebilecekler,

lineer 1. ve 2. derece elektrik devreleri, matematiksel olarak cebirsel ve diferansiyel denklemler yardımıyla t-domeninde çözebilecekler,

labaratuvarda, teori/uygulama ilişkisini gözlecekler

Ertuğrul Eriş 46Devre Teorisi İlk Ders

Documents

DT Bölüm 7 RC RL Devreleri