Dreapta in Plan 2

7/29/2019 Dreapta in Plan 2

1/6

1

Ce nelegem prin panta unei drepte?

Dac [ 00, 1800 ] { 900} este msura unghiului pe care dreapta d l face cu axa Ox, atuncificientul unghiular sau panta dreptei d este tangenta unghiului pe care dreapta l face cu axa Ox,at: m = tg .

0)90,0(00

m 0)180,90(00

m 00 m

eorem: Panta dreptei care trece prin dou puncte: A(x1,y1), B(x2,y2), x1 x2 este egal cu:

mAB =12

12

xx

yy

.

robleme rezolvate.S se scrie pantele dreptelor: a) Determinate de punctele A(3,1), B(6,3) i respectiv C(2,4), D(5,1).

b) Msura unghiului format de dreapt i axa Ox este de 060 .

ezolvare: a) 03

2

36

13

AB

AB

ABxx

yym ceea ce arat c dreapta urc, deci unghiul format de dreapt i

este ascuit.

013

3

25

41

CD

CD

CDxx

yym , deci unghiul format de dreapt cu axa Ox este obtuz.

ECUA IA DREPTEI N PLAN

CULEGERE DE PROBLEME

Autori:clasa X-B, grupa:Grupul colar Cserey-Goga Crasna

Care este rolul matematicii n viaa real?

Nimic nu este mai periculos dect ignorana. ,,Cunoaterea este putere, iar puterea

este cunoatere-Bacon. Fenomenul cunoaterii implic mult efort prin care omuli cldete o via mai bun, schimb mediul i n ultim instan se schimb pesine. Raiunea i experiena sunt mijloace principale de cunoatere


2/6

2

) Dac 060 atunci 3600 tgmd .

Unghiul a dou drepte n plan.

e numete unghiul dreptei (d2) cu dreapta (d1), unghiul [ 00, 900) cu care trebuie rotit dreapta d2,

jurul unui punct oarecare situat pe aceast dreapt, pentru ca ea s devin paralel sauonfundat cu dreapta (d1).

adar tg =21

21

1 mm

mm

, unde m1 = tg 1 , m2 = tg 2 sunt pantele dreptelor d1 , d2 .

Comentarii:

d1 d2 m1 m2 = - 1. d1 // d2 m1 = m2 .

Probleme rezolvate.

.n planul cartezian se consider punctele A(2,1), B(3,2), C(4,-1). Calculai msura unghiului format dreptele AB i CD.

Rezolvare: 123

12

ABm , 1

24

11

ACm ,

11

11

1

CdAB

CDAB

mm

mmtg nu este definit deci dreptele

AB i CD sunt perpendiculare, msura unghiului format de ele este de 090 .Altfel. CDABmm ACAB 1 .

Artai c dac A(2,3), B(3,7), C(8,9), D(7,5) atunci ABCD este paralelogram.

ezolvare: Vom arta c patrulaterul dat este format din perechi de laturi opuse paralele.

vem: 52

,4,5

2,4 ADCDBCAB mmmm . Din ,CDABmm CDAB iar din ADBCmm ADBC .


3/6

3

Ecuaia dreptei determinat de un punct i o direcie dat.

Teorem:Ecuaia dreptei d, care trece prin A (x1,y1) i are panta m este: y y1 = m(x x1) .

Probleme rezolvate1. S se scrie ecuaia unei drepte care trece prin origine i face cu axa Ox unghiul de 045 .Rezolvare: n acest caz 011 yx i 145

0 tgm deci ecuaia dreptei este )0(10 xy sau

xy (prima bisectoare).

2. S se scrie ecuaia unei drepte care trece prin punctul A(-3,5) i are panta 31m .

Rezolvare: n acest caz3

1,5,3 11 myx . Ecuaia dreptei este )3(

3

15 xy sau 0183 yx .

Ecuaia dreptei determinate de dou puncte distincte.

eorem:Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distinncte: A(x1,y1), B(x2,y2), (x1 x2) este:

y y1 = 1212

xx

yy

(x x1).bservaii: Dac x1= x2, atunci ecuaia dreptei este: x = x1. Identificarea tieturilor: punctele n care o dreapt intersecteaz axele de coordonate: Ox i Oy. Ecuaia dreptei prin tieturile A(a,0), B(0,b), a, b 0 este:

a

x+

b

y- 1 = 0.

Probleme rezolvate1. S se scrie ecuaia dreptei determinat de punctele A(-3,4) i B(5,6).

Rezolvare: Ecuaia dreptei AB: 038826232835

3

46

4

yxxy

xy.

2. S se scrie ecuaia dreptei care taie axa Ox n punctul A(2,0) i taie axa Oy n punctul B(0,3).

Rezolvare: Ecuaia dreptei AB prin tieturi este: 06230132

yxyx

.


4/6

4

Ecuaia general a unei drepte.

Ecuaia general a unei drepte n plan este definit de o ecuaie de gradul nti de forma:ax+by+c=0, cba ,, R, a i b nu sunt simultan nule.

Ecuaia se mai poate scrie:b

am

b

cx

b

ay panta dreptei.

robleme rezolvate:

. S se arate c dreptele: 0564:,0132: 21 yxdyxd sunt paralele.

Rezolvare: Se calculeaz pantele dreptelor : ,3

21 m

3

22 m . Constatm c aceste dou drepte au aceai

ant deci dreptele sunt paralele.

S se scrie ecuaia unei drepte care trece prin punctul A(-2,3) i este paralel cu dreapta de ecuaie

d: 3x-2y+6=0.

ezolvare: se calculeaz panta dreptei 23

dm . Dreapta care ni se cere, are aceai pant cu cea dat.

eci ecuaia ei este acea a unei drepte care trece prin A i are pant2

3m .

ceata este : 01223)2(2

33 yxxy .

plicaii.

S se calculeaz unghiul format de cornii unui acoperi avnd ecuaiile:013:,032: 21 yxdyxd .

ezolvare: pantele cornilor acoperiului sunt:3

1,2 21 mm . Unghiul format de corni se determin calculnd:

1

3

21

3

12

1 21

21

mm

mmg . Deci unghiul format de corni este de 045 .

O poriune din drumul de centur i cea pricipal a unui ora au ecuaiile :01069:,0123: 21 yxdyxd . S se verifice poziia relativ a drumurilor.

ezolvare: Calculm pantele poriunilor de drum: 23

6

9

,2

321 mm . Avnd acelai pant , poriunile

rumurilor sunt paralele.


5/6

5

Probleme propuse.

1. S se scrie pantele dreptelor determinate de punctele: A ( 3,10 ), B ( 6,3 ) .2. n planul cartezian, se consider punctele: A ( 2,1 ); B( 3,2 ); C( 4,-1).

Artai c dreptele ( AB), (AC) sunt perpendiculare

3. Dac A( 2,3 ), B(3,7), C(8,9), D(7,5), atunci patrulaterul ABCD este paralelogram.

4. S se determine punctul C( , 8), dac acesta se afl pe dreapta determinat de punctele:A( -3, 4), B( 5, 6).5. S se arate c dreptele : ( d1): 2x + 3y 1 = 0, ( d2): 4x + 6y + 5 = 0 sunt paralele.6. S se scrie ecuaia unei drepte care trece prin punctul A( -2, 3) i este paralel cu dreapta de ecuaie:

3x 2y + 6 = 0.7,S se scrie ecuaia unei drepte care trece prin:

i. Origine i face cu axa Ox, unghiul = 450 .ii. Origine i face cu axa Ox, unghiul = 1450.

iii. Punctul A(-3, 5) i are panta m =3

1.

8. Determinai i comentai panta m i ordonata la origine n, pentru dreptele:b. y = 5x + 1;c. y = - 2x +3;d. y = - x 1.

9.S se scrie ecuaia dreptei care trece prin:a. Punctul A(1, -2) i este paralel cu dreapta: y = 3x + 5.

b. Punctul A( -3, 2) i este perpendicular pe dreapta: y = -3

1x + 1.

10. S se arate c dreptele: AB, AC sunt perpendiculare, unde A(-4, -2), B(2,0), C( -5,1)11.Artai c punctele: A( 1,2), B( - 5, - 1), C( 7,5) sunt coliniare12.S se determine punctele de intersecie ale dreptelor: (d

1): 3x y + 2 = 0; (d

2): x + y 6 = 0.

13.Pentru ce valori ale lui m R, dreptele : (d1):( m-1)x + my -5 = 0, (d2): mx + ( 2m 1)y + 7 = 0 suntperpendiculare.


6/6

6

Bibliografie

Burtea M.(2002). Matematica. Manual pentru clasa aX-a-M2-editura Carminis. Oras: Pitesti.

Mircea Ganga (2005). Matematic. Manual pentruclasa a X-a

M2-editura Mathpress. Duca D.,Purdea I.,Pop O.,Buican C.,Cojocaru

O.,Sandu C.(2007)-Manual pentru clasa a X-a M2-editura Gil-ora Zalu

Savulescu D, Moldoveanu M, Udrea O (2007),-Matematica M2-editura Grup Editorial Art,OrasBucuresti

www.didactic.ro www.meditatiionline.ro www.calificativ.ro
http://www.didactic.ro/http://www.meditatiionline.ro/http://www.calificativ.ro/http://www.calificativ.ro/http://www.meditatiionline.ro/http://www.didactic.ro/

Documents

Dreapta in Plan 2